Definicin de transformada de Laplace.Contenido[ocultar] 1Definicin de transformada de Laplace 2Propiedades de la transformadad de Laplace 2.1Linealidad de la transformadad de Laplace 2.2Transformada de Laplace de t elevado a la n.tn 2.3Transformada de laplace del Seno 2.4Transformada de laplace del Coseno 2.5Transformada de laplace del Seno hiperblico 2.6Transformada de laplace del Coseno hiperblico 2.7Transformada de laplace del Logaritmo natural 2.8Transformada de laplace de la Raz n-sima 2.9Funcin de Bessel de primera especie 2.10Funcin modificada de Bessel de primera especie 2.11Funcin error 2.12Derivacin 2.13Integracin 2.14Desplazamiento de la frecuencia 2.15Desplazamiento temporal en t 2.16Desplazamiento potencia n-sima 2.17Convolucin 2.18Transformada de Laplace de una funcin con perodo p 2.19Otras transformadas inversas comunes 3Ejemplo 1 4Ejemplo 2 5Ejemplo 3 6Ejemplo 4 7Transformadas de Algunas Funciones Bsicas 8Algunas Demostraciones 8.1Seno 8.2Coseno 8.3Seno Hiperblico 8.4Coseno Hiperblico 9Ejemplo 5 10Ejemplo 6 11Ejemplo 7 12Ejemplo 8 13Ejemplo 9 14Ejemplo 10 15Teorema de Contraccion o expansion de la transformada de Laplace 16Video ejemplos 16.1Ejemplos de la transformada por definicin 17Busca mas temas 18Videos 18.1Videos Transformada de Laplace 18.2Busca mas temas

Definicin de transformada de LaplaceSeauna funcin definida para. Entonces la integralse llama Transformada de Laplace def, siempre y cuando la integral converja. Cuando la integral definitoria converge, el resultado es una funcin des. Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen til en el anlisis de sistemas lineales. Una de las ventajas ms significativas radica en que laintegraciny derivacin se convierten en multiplicacin y divisin. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinmicas, mucho ms fciles de resolver. Otra aplicacin importante en los sistemas lineales es el clculo de la seal de salida. sta se puede calcular mediante la convolucin de la respuesta impulsiva del sistema con la seal de entrada. La realizacin de este clculo en el espacio de Laplace convierte la convolucin en una multiplicacin, habitualmente ms sencilla. La transformada de Laplace toma su nombre en honor dePierre-Simon Laplace. La transformada de Laplace es al tiempo continuo lo que la transformada de\mathcal{Z}es al discreto Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versin unilateral. Tambin existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:La transformada de LaplaceF(s) tpicamente existe para todos los nmeros realess>a, dondeaes una constante que depende del comportamiento de crecimiento def(t).Propiedades de la transformadad de LaplaceLinealidad de la transformadad de Laplace

Transformada de Laplace de t elevado a la n.t^n

Transformada de laplace del Seno

Transformada de laplace del Coseno

Transformada de laplace del Seno hiperblico

Transformada de laplace del Coseno hiperblico

Transformada de laplace del Logaritmo natural

Transformada de laplace de la Razn-sima

Funcin de Bessel de primera especie

Funcin modificada de Bessel de primera especie

Funcin error

Derivacin(que crece ms rpido que) no pueden ser obtenidas por Laplace, ya que, no es una funcin de orden exponencial. Los pasos para resolver del problema planteado son:1. Aplicar2. Despejamos y solucionamos Y(s)3. Aplicamospara tene Y(t)4. Tenemos la solucin del problemaIntegracin\mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau)\, d\tau \right\} = {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}De la definicin de convolucionf(t)*g(t)= \int_\infty^0{f( \tau)g( \tau)d \tau}Cuandog(t-\tau)=1entoncesf(t)*1= \int_\infty^0{f( \tau)d \tau}por lo que tenemos que:f(t)= \int_\infty^0{f( \tau)d \tau}Desplazamiento de la frecuencia

Desplazamiento temporal entNota:es la funcin escaln unitario.Desplazamiento potencian-sima

Convolucin

Transformada de Laplace de una funcin con perodo p

Otras transformadas inversas comunesEjemplo 1Evale.

Solucin: De acuerdo con la definicin,

Se sobre entiende que en el lmite superior queremos decir quecuandopara.Ejemplo 2Evale.Solucin: De acuerdo con la definicin,. Al integrar por partes conllegamos a;

Ejemplo 3Evale.

Solucin: De acuerdo con la definicin,

El resultado depende del hecho de, para.Ejemplo 4Evale.Usando los teoremas de las transformadasTransformadas de Algunas Funciones BsicasFuncinTransformada de Laplace

Algunas DemostracionesSeno\begin{align*} \mathcal{L} \left \{ sen(k*t) \right \} &= \\ &= \int_{0}^{\infty }(sen(k*t))e^{-s*t}dt\\ &= \lim_{b-> \infty } \int_{0}^{b}(sen(k*t))e^{-s*t}dt\\ &= \lim_{b-> \infty } \left [ e^{-s*t}(\frac{-k*cos(k*t) - s*sen(k*t)}{s^{2} + k^{2}}) \right ] \\ &= \lim_{b-> \infty } \left [ e^{-s*b}(\frac{-k*cos(k*b) - s*sen(k*b)}{s^{2} + k^{2}}) - e^{-s*0}(\frac{-k*cos(k*0) - s*sen(k*0)}{s^{2} + k^{2}}) \right ]\\ &=-(\frac{-k}{s^{2} + k^{2}}) \\ &= \frac{k}{s^{2} + k^{2}} \end{align*}Al momento de evaluar la integral dentro del lmite vemos que la primera parte se hace 0 (por propiedades de los lmites) y en la segunda parte simplemente evaluamos cada expresin con el 0 sustituido.Coseno\begin{align*} \mathcal{L} \left \{ cos(k*t) \right \} &= \int_{0}^{\infty }(cos(k*t))e^{-s*t}dt \\ &= \lim_{b-> \infty } \int_{0}^{b}(cos(k*t))e^{-s*t}dt \\ &= \lim_{b-> \infty } \left [ e^{-s*t}(\frac{k*sen(k*t) - s*cos(k*t)}{s^{2} + k^{2}}) \right ] \\ &= \lim_{b-> \infty } \left [ e^{-s*b}(\frac{k*sen(k*b) - s*cos(k*b)}{s^{2} + k^{2}}) - e^{-s*0}(\frac{k*sen(k*0) - s*cos(k*0)}{s^{2} + k^{2}}) \right ] \\ &= -(\frac{-s}{s^{2} + k^{2}})\\ &= \frac{s}{s^{2} + k^{2}} \end{align*}Al igual que en la anterior, la primera parte de evaluar la integral dentro del lmite se hace 0 y en la segunda parte simplemente evaluamos cada expresin con el 0 sustituido.Seno Hiperblico\begin{align*} \mathcal{L} \left \{ senh(k*t) \right \} &= \int_{0}^{\infty }(senh(k*t))e^{-s*t}dt\\ &= \int_{0}^{\infty }(\frac{e^{k*t} - e^{-k*t}}{2})e^{-s*t}dt\\ &= \lim_{b\to\infty }\int_{0}^{b}(\frac{e^{k*t} - e^{-k*t}}{2})e^{-s*t}dt\\ &= \lim_{b\to\infty } (\frac{e^{-t(s+k)}}{2(s+k)} - \frac{e^{-t(s+k))}}{2(s-k)})\\ &= \lim_{b\to\infty } (\frac{e^{-b(s+k)}}{2(s+k)} - \frac{e^{-b(s-k))}}{2(s-k)} - \frac{e^{0(s+k)}}{2(s+k)} + \frac{e^{0(s-k))}}{2(s-k)}) \\ &= \frac{1}{2(s-k)} - \frac{1}{2(s+k)} \\ &= \frac{2(s+k) - 2(s-k)}{2(s-k)(s+k)}\\ &= \frac{2k}{2(s^{2} - k^{2})} \\ &= \frac{k}{(s^{2} - k^{2})} \end{align*}Para poder realizar esta demostracin fue necesario cambiar el senh por la frmula con la que est definido. Despus de haber hecho este cambio se integra y se evala el lmite como los ejemplos anteriores. Es importante mencionar que para la primera parte del lmite sea 0 es necesario hacer un pequeo cambio en el exponente para que todo tienda a 0.Coseno Hiperblico\begin{align*} \mathcal{L} \left \{ cosh(k*t) \right \} &= \int_{0}^{\infty }(cosh(k*t))e^{-s*t}dt\\ &= \int_{0}^{\infty }(\frac{e^{k*t} + e^{-k*t}}{2})e^{-s*t}dt\\ &= \lim_{b\to\infty }\int_{0}^{b}(\frac{e^{k*t} + e^{-k*t}}{2})e^{-s*t}dt\\ &= \lim_{b\to\infty } (-\frac{e^{-t(s+k)}}{2(s+k)} - \frac{e^{-t(s-k))}}{2(s-k)}) \\ &= \lim_{b\to\infty } (-\frac{e^{-b(s+k)}}{2(s+k)} - \frac{e^{-b(s-k))}}{2(s-k)} + \frac{e^{0(s+k)}}{2(s+k)} + \frac{e^{0(s-k))}}{2(s-k)})\\ &= \frac{1}{2(s+k)} + \frac{1}{2(s-k)} \\ &= \frac{2(s-k) + 2(s+k)}{2(s-k)(s+k)} \\ &= \frac{2s}{2(s^{2} - k^{2})} \\ &= \frac{s}{(s^{2} - k^{2})} \end{align*}Al igual que en la anterior, para poder realizar esta demostracin fue necesario cambiar el cosh por la frmula con la que est definido. Despus de haber hecho ese cambio se contina con el procedimiento de forma normal. Tambin es necesario hacer un pequeo cambio en el exponente para que la primera parte del lmite se haga 0.Ejemplo 5Evale.Usando los teoremas de las transformadasEjemplo 6Evale..Usando los teoremas de las transformadasEjemplo 7DeterminarDado el 1er teorema de traslacion obtenemos querestamos el corrimiento.Ejemplo 8Determine la tansformada de LaplaceForzamos el seno para que tenga la formaAplicamos la tranformadaEjemplo 9Aplicar la transformada de Laplace deAplicamos la Transformada de Laplace y obtenemosEjemplo 10Aplicar la transforamada de Laplace de:Teorema de Contraccion o expansion de la transformada de LaplaceL\{f(t)\}=F(s)yg(t)=f(at) \rightarrow L\{g(t)\}=\frac{1}{a}F(\frac{s}{a})L\{ gt \} = L\{f(at)\}= \int_0^{\infty}f(at)e^{at}dthacemosu=atentonces\frac{du}{a}=dtsutituimos\frac{1}{a}\int_0^{\infty} f(u)e^{\frac{s}{a}u}dupor lo tantoL\{ g{t} \} = \frac{1}{a} F(\frac{s}{a})Pedido por la taringuera laurisnavy.

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