Definicion de Esfuerzo

Resistencia de materiales

1

1.6 ESFUERZO

En la sección anterior se mostró cómo aparece la distribución de fuerzas internas

en un cuerpo al cual se le hace un corte imaginario. Cualquiera de las dos partes

que se tome del cuerpo tiene que estar en equilibrio estático; sin embargo, no es

posible considerar las innumerables fuerzas individuales sobre las partículas que

aparecen en la sección expuesta.

No obstante, las fuerzas internas que actúan en diferentes puntos de la sección

expuesta se pueden describir en función de una cierta cantidad denominada

esfuerzo.

1.6.1 Definición de esfuerzo

El esfuerzo se define para un punto sobre la superficie expuesta del cuerpo al

hacer el corte imaginario, por ejemplo, para el punto Q de la Fig. 1.31.

En la Fig. 1.32, A es el pequeño elemento de área, sobre el cual actúa una

fuerza pequeña F con una dirección única, establecida en un sistema de

coordenadas X, Y, Z. Esta fuerza se puede resolver en sus componentesFn y

Ft.

Cuando A tiende a cero, igualmente F tiende a cero, pero el cociente de la

fuerza y el área tiende a un límite finito, este cociente se llama esfuerzo y

describe la intensidad de la fuerza interna sobre un área específica.

Esfuerzo Normal: La intensidad de la fuerza, o fuerza por unidad de área, que

actúa normal a A, se define como esfuerzo normal ().

Matemáticamente se puede expresar:

A

FnLim

0A

Ecuación 1-2

Fig. 1-31

Diagrama de cuerpo libre

de una parte de un elemento

estructural o mecánico.

Fig. 1-32 Elemento de área de la sección

expuesta.

(b) (a)


2

Si la fuerza o esfuerzo sale de la superficie se tiene un esfuerzo normal a

tracción. Si la fuerza o esfuerzo entra a la superficie, se tiene un esfuerzo

normal de compresión. La dirección de Fn siempre será normal al área.

a) Esfuerzo Cortante: La intensidad de la fuerza, o fuerza por unidad de área

que actúa tangente a A, se define como esfuerzo cortante. ()

Matemáticamente se puede expresar como:

A

FtLim

0A

Ecuación 1-3

La dirección de Ft tiene infinito número de posibilidades, la única

condición es que siempre actúa paralelamente a A

.

Para especificar la dirección de los esfuerzos, F se resuelve en las

componentes rectangulares según el sistema de coordenadas X, Y, Z

referenciado, Fig. 1.33, donde el eje X se toma perpendicular a A.

El esfuerzo normal se expresa como:

A

FxLim

Ax

0 Ecuación

1-4

y se inducen dos componentes de esfuerzo cortante como son:

A

FLim

A

FyLim

Axz

Axy

00 Ecuación 1-5

Las tres componente de esfuerzo sobre el diferencial de área A, se

muestran en la Fig. 1.34, y de acuerdo con la ecuación 1-3 se expresan en

unidades de fuerza dividido por unidades de longitud al cuadrado (área)

2L

F

Fig. 1-13

Componentes rectangulares de F según el sistema coordenado X, Y

y Z.

Fig. 1-32

Componentes del esfuerzo obre

el área A.


3

Unidades de Esfuerzos:

La aplicación de los principios de la Resistencia de Materiales en los cálculos de

Ingeniería requiere la manipulación de varios sistemas de unidades y es de gran

importancia asegurar que se utilicen unidades consistentes en los modelos

matemáticos utilizados para el cálculo.

Aunque la norma ICONTEC establece el Sistema Internacional como sistema

básico de unidades en Colombia, es importante aclarar que las empresas

suministradoras de materiales para ingeniería continúan utilizando el sistema

métrico técnico y el anglosajón, lo que implica la necesidad de conocer y utilizar

estos sistemas de unidades.

Las tablas 1.2, 1.3 y 1.4 muestran las unidades en los tres sistemas.

Tabla 1-2 Dimensiones básicas en el Sistema Internacional de unidades (S.I.)

Magnitud Unidad Otras unidades derivadas

Longitud

Tiempo

Fuerza

Temperatura

Angulo

Esfuerzo

Metro (m)

Segundo (s)

Newton (N)

Kelvin (K)

Radian

Pascal (Pa)2m

N

Milímetro (mm) 1mm = 10m-3

Minuto (min); hora (h)

2s

mKg

Grados Celsius (°C)

Grado

Mpa = 106 Pa

Tabla 1-3 Dimensiones básicas en el Sistema de unidades Anglosajonas

Magnitud Unidad

Anglosajona

Otras unidades Anglosajonas

Longitud

Tiempo

Fuerza

Temperatura

Angulo

Esfuerzo

Pie (ft)

Segundo (s)

Libra (Lb)

Fahrenheit (°F)

Grados

2pul

Lb

(psi)

Pulgada (pulg); 1 pie = 12 pulg


Kip: 1 Kip =103 Lb

Radián

Ksi: 1 Ksi = 103 Lb/pulg

2 o (psi)


4

Tabla 1-4 Dimensiones básicas en el Sistema Métrico Técnico

Magnitud Unidad Otras unidades derivadas

Longitud

Tiempo

Fuerza

Temperatura

Angulo

Esfuerzo

Metro (m), cm.

Segundo (s)

Kilogramo (Kg)

Kelvin (K)

Radian

2cm

Kg

Milímetro (mm) 1mm = 10m-3


gr.

Grados Celsius (°C)

Grado

Kg/cm²

La tabla 1.5 muestra los distintos factores de conversión entre las unidades de

esfuerzos de estos tres sistemas.

Tabla 1-5 Factores de conversión entre las unidades de esfuerzo

Unidad Pa Kg/cm2

P.S.I

Pa

Kg/cm2

P.S.I

1

9 810

6 912

1,019 x 10-5

1

0,0705

1,45 x 10-5

14,2

1

Tabla 1.6 Prefijos de unidades en el Sistema Internacional

Prefijos de unidades en

el Sistema

Internacional

Símbolo Cantidades

Giga

Mega

Kilo

Centi

Mili

Micro

G

M

K

cm

m

109 = 1 000 000 000

106 = 1 000 000

103 = 1 000

10-²

= 0,01

10-3

= 0,001

10-6

= 0,000001


5

Relación entre las componentes del esfuerzo y las cargas internas.

En una sección expuesta de un cuerpo las componentes de los esfuerzos están

relacionados con las cargas internas que actúan sobre la sección. Las relaciones

entre las componentes de esfuerzo y las cargas internas se establecen utilizando el

cálculo integral.

Anteriormente se establecieron las componentes de los esfuerzos que actúan en

un área A. (Fig. 1.35).

Toda la sección expuesta se puede dividir en áreas A sobre las cuales actúan

fuerzas internas F, que varían en magnitud y dirección. Las componentes de F

(Fig.1.36) se pueden expresar según las expresiones matemáticas siguientes:

AFzAFyAFx xzxyx

Si A tiende a cero se tiene un diferencial de área dA y las fuerzas internas que

actúan en la sección expuesta del elemento estructural se pueden expresar como

sigue:

Fig. 1-33 Componentes de

esfuerzo en un área A para una sección expuesta de un elemento

estructural.

Fig. 1-36 Componentes de la

fuerza F que actúa en un área

A.


6

A

x0

A

xz

A

x0

A

xy

A

0xy0xz

A

x

dAyMzdAVy

dAzMydAVy

dA)zy(TxdANx

1.6.2 Estado general de esfuerzos.

Las componentes de los esfuerzos presentados en la sección anterior se

establecieron para un plano imaginario que corta el elemento estructural. Este

plano es paralelo al plano yz del sistema de coordenada x,y,z, referenciado.

Sin embargo, a través de un punto cualquiera de un cuerpo puede pasar un

infinito número de planos imaginarios, con diferentes orientaciones. Si se

establece un corte imaginario por medio de un plano paralelo al plano xy del

sistema de coordenadas referenciado, un área A queda sometida a las

componentes de esfuerzo mostrados en la Fig. 1.37.

Al pasar un plano imaginario por el cuerpo paralelo al plano xz del sistema de

coordenadas referenciado, un área A queda sometida a las componentes de

esfuerzos mostrados en la Fig. 1.38

Para facilitar la observación del estado general de esfuerzos en un punto

cualquiera de un cuerpo se considera un pequeño cubo de lado a , Fig. 1.39,

donde se muestran las componentes de los esfuerzos en cada una de las tres caras;

frontal, superior y lateral derecha.

Obviamente por razones de equilibrio, las caras opuestas a las anteriores llevarán

los mismos esfuerzos correspondientes pero en dirección contraria; los cuales no

están representados en la Fig. 1.39, por razones de claridad en el dibujo.

Para establecer una convención de signos, y una nomenclatura coherente se

procede de la siguiente manera:

Cualquier plano recibe el nombre del semieje al cual es perpendicular. De este

modo se tienen las caras positivas: X,Y,Z y caras negativas: -X, -Y, -Z. Fig. 1.40

(a) y (b).

Los esfuerzos se designan por una letra griega y dos subíndices; el primer

subíndice corresponde al nombre de la cara sobre la cual actúa el esfuerzo y el

segundo corresponde a la dirección en que va dirigido dicho esfuerzo. Se utilizará

la letra griega para los esfuerzos normales y para los esfuerzos cortantes. Así

por ejemplo se tendrá que xy es un esfuerzo cortante que actúa en la cara X

(primer subíndice) y lleva la dirección Y (segundo subíndice) Fig. 1.39; zz es un

esfuerzo normal que actúa en la cara Z y lleva la dirección Z. Como para los


esfuerzo en un área A para una sección expuesta al plano

XY.


esfuerzo en un área A para una sección expuesta al plano

XZ.

Fig. 1-35 Estado de esfuerzos

en un plano cualquiera del

elemento estructural.


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esfuerzos normales, siempre van a coincidir, los dos subíndices, bastará con

colocarlo una sola vez, así se tendrá siempre x, y y z Fig. 1.39.

El signo de los esfuerzos normales se considera positivo si actúan a tracción y

negativo si actúan a compresión.

Respecto a los esfuerzos cortantes, se consideran positivos, si actuando en una

cara positiva, el sentido del esfuerzo va en el mismo sentido de los semiejes X, Y,

Z, o si actuando en una cara negativa, el sentido del esfuerzo va en el sentido de

los semiejes -X, -Y, -Z. Se consideran negativos, si actuando en una cara

positiva, el sentido del esfuerzo va en el mismo sentido de los semiejes negativos

-X, -Y, -Z y viceversa. Es decir, se asume algo similar al producto de signos

algebraicos (+) x (+) = (+) ; (+) x (-) = (-) ; (-) x (-) = (+); Fig. 1.41.

Fig. 1.41 ejemplo de los signos en los esfuerzos cortantes

En resumen, el estado más general de esfuerzos que pueda existir en un punto de

un elemento sometido a un estado general de cargas, será similar al mostrado en

la Fig. 1.39, y comprenderá tres esfuerzos normales x, y y z, y seis esfuerzos

cortantes: xy, yx, yz, zy, xz, zx.

Es interesante resaltar la diferencia notable que existe entre el estado de fuerzas

en un punto y el estado de esfuerzos. Mientras que la fuerza en un punto queda

completamente definida por las tres componentes rectangulares y puede

representarse como un vector columna:

Fz

Fy

Fx

El estado general de esfuerzos queda definido por sus nueve componentes y se

(a)

(b)

Fig. 1-40 denominación de

planos


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representa matricialmente como sigue:

zzyzx

yzyyx

xzxyx

σττ

τστ

ττσ

La cual se conoce como la representación matricial del tensor esfuerzo. Tal tensor

es de segundo orden.

Es importante establecer las relaciones que se presentan dentro de las

componentes de los esfuerzos cortantes, para lo cual se mira el diagrama de

cuerpo libre del cubo mostrado en la Fig. 1.39, utilizando una proyección en el

plano xy, Fig. 1.42.

Las fuerzas normales y cortantes que actúan en las diferentes caras de cubo, se

obtienen multiplicando las correspondientes componentes de esfuerzos por el

área (a)2 de cada cara.

Las únicas fuerzas con momentos con respecto al eje z diferentes de cero, son las

fuerzas cortantes.

Estas fuerzas forman dos pares, uno en sentido contrario al movimiento de las

agujas del reloj (positivo) xy(a)2a, el otro en el mismo sentido del movimiento

de las agujas del reloj (negativo), -yx(a)2a.

Expresándolo matemáticamente se tiene:

0axaxaxax 0M2

yx2

xyz

de donde se concluye que:

yxxy

Ecuación 1-6

Análogamente, haciendo diagramas de cuerpo libre proyectados a los planos xz,

yz, se deducen las relaciones siguientes:

zxxzzyyz Ecuación 1-7

También se puede observar que un esfuerzo cortante, en un punto cualquiera, no

puede actuar en un solo plano; un esfuerzo cortante igual debe actuar en un plano

ortogonal (perpendicular al primero). Es decir si existe xy entonces

necesariamente existirá yx, etc.

Fig. 1-42 Diagrama de

cuerpo libre del estado

de esfuerzos proyectado

en el plano XY.


9

1.7 DEFORMACIONES

Toda carga externa que actúa en un cuerpo, produce cambios en la posición de los infinitos

puntos de éste. Los cambios de posición de los puntos se llaman desplazamientos. Si los

desplazamientos son tales que la distancia entre dos puntos específicos del cuerpo no

cambia, éste ha sido sometido a un desplazamiento de cuerpo rígido. Esta clase de

desplazamiento implica la traslación y la rotación del elemento como un todo, sin ningún

cambio de forma. Por otra parte, si los desplazamientos generan variación en la distancia

entre dos puntos específicos del cuerpo, entonces la forma de este cambia y se dice que el

elemento estructural está sometido a deformación. La deformación puede ser visible o

prácticamente inadvertida si no se cuenta con equipo adecuado para hacer mediciones

precisas. Pero, por lo general, las deformaciones pueden implicar desarreglos muy

complicados y para someterlos a medición, es necesario hacer una simplificación, que

consiste en descomponer las deformaciones en deformaciones longitudinales y

deformaciones angulares.

En la Fig.. 1.43, X, Y y O representan respectivamente las longitudes de los segmentos

de recta, OA y OB, y la localización del punto O en el elemento no deformado. Asimismo

X', Y' y O' representan, respectivamente, las longitudes de los segmentos y la

localización del punto en el cuerpo que ha cambiado de posición y se ha deformado.

Cuando el cuerpo cambia de posición, el punto O sufre un desplazamiento (O) hasta O' y

si se deforma los segmentos se alargan o se contraen hasta las nuevas longitudes X' y Y',

y rotan los ángulos y , tal como se indica en la Fig.1.43. Los segmentos X' y Y'

realmente pueden ser curvos pero si sus longitudes son suficientemente pequeñas, se

pueden representar como segmentos de recta.

La deformación longitudinal se define como el cambio de longitud de un segmento de recta

que determina la distancia entre dos puntos específicos de un cuerpo; para los segmentos de

recta OA y OB, la deformación longitudinal se define como:

Fig. 1-43 Elementos lineales en un punto en

estado no deformado y deformado.


10

yyyxx yx ''

Ecuación 1-8

1.7.1 Deformación unitaria Lineal.

La deformación unitaria se define como el cambio de longitud por unidad de longitud de

un segmento de recta que define la distancia entre dos puntos específicos de un cuerpo;

para el segmento de recta OA, la deformación unitaria se define como:

dx

dx'dx

x

x'xLim

dx

x

x

x

xx

x

Ecuación 1-9

Análogamente la deformación unitaria para el segmento OB se define como:

dy

dy'dy

y

y'yLim

dy

y

y

y

yy

y

Ecuación

1-10

Las cantidades x y y se denominan deformaciones unitarias, llamadas también

deformaciones unitarias lineales, en el punto O, en las direcciones X y Y respectivamente.

Representa el cambio de longitud por unidad de longitud de un segmento infinitesimal de

recta. Es una cantidad adimensional, pero basados en los sistemas de unidades se le asignan

unidades de pulg/pulg, m/m, etc.

1.7.2 Deformación Unitaria cortante.

La deformación unitaria cortante se relaciona con el cambio de ángulo que ocurre entre los

dos segmentos de recta OA y OB, perpendiculares entre sí en el cuerpo no deformado.

En la Fig. 1-43 la deformación unitaria cortante entre los segmentos OA y OB se designa

por xy y se define como el cambio en el ángulo recto entre dichos segmentos cuando el

elemento se deforma y se expresa como:

xy Ecuación 1-1

La deformación unitaria cortante se mide en radianes y es una cantidad adimensional. Se le

puede considerar positiva si el ángulo recto original disminuye, y negativa si el ángulo recto

original aumenta.

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