DETERMINACIN DE LOS ESFUERZOS NORMALES EN LA FLEXIN

Nota:Tngase en cuenta que el traductor de este libro nombra a los esfuerzos como tensiones. Es pertinente anotar que dicho trmino es ms correcto que la expresin esfuerzo y responde ms a la fsica del fenmeno (GCT).Tambin debe ponerse especial atencin, el autor denota las reas con la letraFy los momentos de inercia con la letraJEn la flexin plana pura, en las secciones transversales de la viga, surgen solamente momentos flectores, que actan en el plano que pasa por uno de los ejes centrales principales de inercia de la seccin transversal de la viga.El momento flector es el momento resultante de las fuerzas normales interiores, distribuidas en la seccin.Para establecer la ley de distribucin y la magnitud de las fuerzas interiores, que surgen en la seccin transversal de la viga, son insuficientes las ecuaciones de la esttica. Hace falta recurrir tambin a las condiciones de deformacin de la viga.Si una viga (probeta), sobre cuya superficie se ha marcado una red, se somete a flexin plana pura, podremos observar lo siguiente (fig. 6.16):

Fig. 6.16 (Segn Stiopin)Fig. 6.17 (Segn Stiopin)

1) las lneas1-1y2-2de la superficie de la viga giran cierto ngulodq,despus de la deformacin, permaneciendo rectas. Es de suponer que lassecciones transversales de la viga, que eran planas antes de ocurrir la deformacin, permanecern planas tambin despus de la deformacin (hiptesis de las secciones planas).Los clculos que se basan en tal suposicin, concuerdan bien con los resultados de los ensayos;2) la fibraab,situada en la parte convexa de la viga, se alarga, lo que certifica que esta fibra se tracciona, mientras que la fibraefse acorta, lo que demuestra su compresin. La longitud de la fibracdno se altera y, por lo tanto, esta fibra no sufre ni traccin, ni compresin.La capa de la viga (al nivel de la fibracd)que no sufre en la flexin traccin ni compresin, se denominacapa neutra. La lnea por la que se corta esta capa con el plano de la seccin transversal de la viga (Fig. 6.17) se denominaeje (lnea) neutro. La interseccin del plano de solicitacin con el de la seccin transversal se denominalnea de solicitacin.De los resultados de los ensayos analizados se deduce que las fibras de la viga se deforman de manera distinta: las deformaciones mayores las sufren las fibras que se encuentran ms lejos de la capa neutra. Demostremos que las deformaciones varan linealmente, segn la altura de la seccin de la viga.En efecto, el segmentobbrepresenta el alargamiento total de la fibraab,cuya longitud, antes de la deformacin, era igual a la de la fibracd,situada en la capa neutra. El alargamiento unitario de esta fibra es,,(6.4)siendorel radio de curvatura de la capa neutra de la viga; la magnitud der, es, por ahora, desconocida;y,la distancia de la fibra en cuestin a la lnea neutra.Antes de pasar al clculo de las tensiones (esfuerzos), introducimos una hiptesis ms: suponemos que las fibras de la viga no presionan unas sobre otras, es decir, que las tensiones en direccin perpendicular al eje de la viga, son iguales a cero. As, pues, cada fibra resulta sometida a traccin o compresin monoaxial. La frmula que se obtiene, basndose en esta hiptesis, da resultados que estn bien de acuerdo con los datos de los ensayos. Entonces, segn la ley de Hooke para el caso del estado tensional monoaxial,,(6.5)es decir, quelas tensiones normales varan, segn la altura de la seccin transversal, proporcionalmente a la distancia del eje neutro.Las tensiones mximas tendrn lugar en los bordes, superior e inferior, de la seccin.El grfico desest representado en la figura 6.17. Consideramos que las tensiones de traccin son positivas.Se debe subrayar que los vectores de las tensiones normales son, claro est, perpendiculares al plano de la seccin transversal de la viga y los segmentos, que representan estas tensiones en el grfico, convencionalmente, se hacen coincidir con el plano de la seccin.Una vez determinada la ley de distribucin de las tensiones se puede calcular su magnitud de las ecuaciones de equilibrio. Examinemos el equilibrio de la parte de la viga que se encuentra sometida a la accin del momento exteriormy de las fuerzas interiores que surgen en la seccin transversal trazada (Fig. 6.18).

Fig. 6.18 (Segn Stiopin)(Ntese que aqu se usa la letraFpara designar el rea)Para que esta parte se encuentre en equilibrio se deben satisfacer seis ecuaciones de equilibrio: las sumas de las proyecciones de las fuerzas que actan sobre los tres ejes de coordenadas, as como las tres sumas de los momentos, respecto a los ejesx,yyz,debern ser iguales a cero.1.Igualamos a cero la suma de las proyecciones sobre el eje y,SY = 0.2.Lo mismo respecto al ejex,SX = 0.Las ecuacionesSY = 0ySX = 0se convierten en identidades, puesto que las fuerzas interioressdFson perpendiculares a estos ejes.3.Igualamos a cero la suma de las proyecciones sobre el eje z,SZ = 0,o sea,

Teniendo en cuenta (6.5), hallamos.Pero, ya quer, pues se analiza el caso cuando la vigaestencorvada. Luego,.Esta integral representa el momento esttico del rea de la seccin transversal de la viga respecto al eje neutro. Puesto que la integral es igual a cero,la lnea neutra en la flexin, pasar por el centro de gravedad de la seccin.4. La ecuacinSMz= 0se convierte en identidad, al ser los esfuerzos interiores (fuerzas)sdFparalelos al ejez.5. La ecuacinSMy= 0nos da. Teniendo en cuenta (6.5), obtenemos,.Pero, luego,.La integralrepresenta el producto de inercia de la seccin, respecto a los ejesxey.Puesto que este producto es igual a cero, los ejesxeydebern ser ejes principales de la seccin y el momentomdeber encontrarse en el plano que pasa por uno de los ejes principales, condicin que se cumple en el caso de la flexin plana. De aqu se deduce tambin, quela lnea de solicitacin y la lnea neutra (eje neutro) son perpendiculares entre si.6. Igualamos a cero la suma de los momentos de las fuerzas respecto al eje x,SMx= 0;Teniendo en cuenta (6.5), hallamos,

La integralrepresenta el momento de inercia de laseccin respecto al eje neutro x.Sobre la parte separada de la viga pueden actuar varios pares exteriores, en lugar de uno, as como cualquier otra carga. En este caso, en la ecuacin de equilibrioSMx= 0figurar la suma algebraica de los momentos de todas estas fuerzas, que es numricamente igual almomentoflector en la seccin transversal.Teniendo esto en cuenta, podemos escribir la correlacin anterior en la forma siguiente:,(6.6)de donde se deduce,(6.7)La magnitudes lacurvatura de la capa neutra de la viga.Anteriormente se demostr que la lnea neutra de la seccin transversal pasa por el centro de gravedad. Por lo tanto, el eje (eje longitudinal) de la viga, que es el lugar geomtrico de los centros de gravedad de sus secciones transversales, se encuentra en la capa neutra. As, pues, obtenemos que la expresin (6.7) determina la curvatura del eje de la viga.Es decir, lacurvatura del eje de la viga en la flexin es proporcional al momento flector e inversamente proporcional aEJx, que se denomina rigidez de la seccin a la flexin.Introduciendo el valor deen (6.5), llegamos a la importante frmula,(6.8)que permite calcular la tensin normal en cualquier punto de la seccin transversal de la viga, si se conoce el momento flectorMflec,y el momento de inercia de la seccin.La frmula (6.8) fue obtenida para la flexin pura.En la flexin transversal, en las secciones transversales de la barra aparecen tanto tensiones normales como tangenciales.El surgimiento de tensiones tangenciales va acompaado de la aparicin de deslizamientos, y, como resultado de stos, las secciones transversales de la viga dejan de ser planas (deja de ser vlida la hiptesis de Bernoulli). Durante la flexin transversal surgen tambin tensiones en las secciones longitudinales de la barra, es decir que las fibras presionan las unas sobre las otras.Estudios ms minuciosos demuestran que a pesar de esto la frmula (6.8) da resultados suficientemente seguros en la flexin transversal tambin.

ESFUERZO NORMAL:

Elesfuerzo normal(esfuerzo axiloaxial) es elesfuerzo internoo resultante de las tensiones perpendiculares (normales) a la seccin transversal de unprisma mecnico. Este tipo de solicitacin formado por tensiones paralelas est directamente asociado a latensin normal.Definicin:Dada una seccin transversal al eje longitudinal de unavigaopilarel esfuerzo normal es lafuerza resultantede las tensiones normales que actan sobre dicha superficie. Si consideramos un sistema decoordenadas cartesianasen que el eje X est alineado con el eje recto de la viga, y los ejes Y y Z estn alineados con lasdirecciones principalesde inercia de la seccin eltensor de tensiones([T]xyz) y el esfuerzo normal (Nx) vienen dados por:

DIMENSIONES DE DOS PIEZAS:El dimensionado de piezas mecnicas de seccin constante, usualmente vigas, pilares, barras, ejes y similares sometidos a esfuerzos normales se refiere al clculo de la seccin transversal mnima para asegurar que dicho elemento tiene una resistencia adecuada frente a los esfuerzos normales actuantes en la pieza. El dimensionado es totalmente diferente si la pieza est traccionada o comprimida.El dimensionado de piezas sometidas en todas sus secciones a esfuerzos normales de traccin es muy simple y se reduce a asegurar que el rea transversal sea suficientemente grande para que las tensiones se repartan sobre un rea suficientemente grande. En este caso, usualmente se emplea la frmula para el rea mnima dada por elprincipio de Saint-Venant:

Donde:es el rea mnima de la seccin crtica o seccin con mayores tensiones. es el esfuerzo normal sobre la seccin crtica.es la tensin admisible requerida para un diseo seguro, que depender tanto del material de la pieza como del nivel de seguridad requerido.En el caso de piezas sometidas a esfuerzos normales de compresin el rea mnima es substancialmente mayor ya que en ese caso debe tenerse en cuenta los efectos delpandeo, que obligan a considerar secciones mucho ms grandes.

ESFUERZOS CORTANTES EN VIGAS

Con objeto de desarrollar algo de comprensin en cuanto al mtodo de aplicar la frmula del cortante, y tambin ver algunas de sus limitaciones, estudiaremos ahora las distribuciones del esfuerzo cortante en unos cuantos tipos comunes de secciones transversales de vigas.Luego presentaremos aplicaciones numricas de la frmula del cortante en los ejemplos siguiente.

Seccin transversal rectangular.Consideremos que la viga tiene una seccin transversal rectangular de ancho b y altura h como se muestra en la figura 5A.La distribucin del esfuerzo cortante a travs de la seccin transversal puede determinarse calculando el esfuerzo cortante en una altura arbitraria y medida desde el eje neutro, figura 5B, y luego graficando esta funcin.El rea con sombra oscura A se usar aqu para calcular r. Entonces,Q=A=[y+=Aplicando la frmula del cortante, tenemosEste resultado indica que la distribucin del esfuerzo cortante sobre la seccin transversal es parablica.Como se muestra en la figura 5C, la intensidad vara entre cero en la parte superior y el fondo, y=h/2, y un valor mximo al nivel del eje neutro, y=0. Especficamente, puesto que el rea de la seccin transversal es A=bh, tenemos entonces en y=0, de la ecuacin 4.rmax=1.5Este mismo resultado para rmaxpuede obtenerse directamente con la frmula del cortante r=VQ/It, observando que rmaxse presenta donde Q es mxima, ya que V, I y t son constantes.Por inspeccin,Q ser un mximo cuando se considere toda el rea arriba (o abajo) deleje neutro; esto es, A=bh/2 y y=h/4. Asi,rmax==1.5Porcomparacin, rmaxes 50% mayor que el esfuerzo cortante promedio determinado con la ecuacin 7; es decir rprom=V/A.

Es importante recordar que para toda r que acta sobre la seccin transversal en la figura 5C, se tiene un correspondiente r actuando en la direccin longitudinal a lo largo de la viga.Por ejemplo, si la viga es seccionada por un plano longitudinal a travs de su eje neutro, entonces, como se indic arriba, el esfuerzo cortante mximo acta sobre este plano, figura 5D.Este es el esfuerzo que ocasiona que una viga de madera falle segn se muestra en la figura 6.Aqu la rajadura horizontal de la madera comienza al nivel del eje neutro en los extremos de la viga, ya que las reacciones verticales someten a la viga a grandes esfuerzos cortantes y la madera tiene una resistencia baja al cortante a lo largo de sus fibras, que estn orientadas en direccin longitudinal.

Es instructivo mostrar que cuando la distribucin del esfuerzo cortante, ecuacin 4, se integra sobre toda la seccin transversal, se obtiene la fuerza cortante resultante V.Para hacer esto, se escoge una franja diferencial de rea dA=b dy, figura 5C, y como r tiene un valor constante sobre esta franja, tenemos:=y--h/2h/2=(h)-

Viga de patn ancho. Una viga de patn ancho se compone de dos patines (anchos) y un alma como se muestra en la figura 7.Con un anlisis similar al anterior se puede determinar la distribucin del esfuerzo cortante que actasobre su seccin transversal.Los resultados se ilustran grficamente en la figura 7B y 7C.Como en el caso de la seccin transversal rectangular, el esfuerzo cortante vara parablicamente a lo largo del peralte de la viga, ya que la seccin puede ser tratada como la seccin rectangular, que primero tiene el ancho del patn superior, b, luego el espesor del alma, talma, y otra vez el ancho del patn inferior, b.En particular, advirtase que el esfuerzo cortante variar slo ligeramente a travs del alma, y tambin, que el esfuerzo cortante experimenta un salto en la unin de patn y alma, puesto que el espesor de la seccin transversal cambia en este punto, o en otras palabras, que t en la frmula del cortante cambia. En comparacin, el alma soportar una cantidad significativamente mayor de la fuerza cortante que los patines.Esto se ilustrar numricamente en el ejemplo 2.Lmites en el uso de la frmula del esfuerzo cortante.Una de las principales suposiciones que se usaron en el desarrollo de la frmula del cortante es que el esfuerzo cortante est uniformemente distribuido sobre el ancho t de la seccin donde se calcula.Es decir, el esfuerzo cortante promedio se calcula a travsdel ancho.Se puede someter a prueba la exactitud de esta suposicin comparndola con un anlisis matemtico ms exacto basado en la teora de la elasticidad.A este respecto, si la seccin transversal de la viga es rectangular, la distribucin real del esfuerzo cortante a travs del eje neutro vara como se muestra en la figura 8.El valor mximo rmaxse presenta en los bordes de la seccin transversal, y su magnitud depende de la relacin (b/h)(ancho/peralte). para secciones con b/h=2, rmaxes casi un 40% mayor que rmax, figura 8B. El error se vuelve an mayor a medida que la seccin se torna ms plana, o a medida que se incrementa la relacinb/h. Los errores de esta magnitud son ciertamente intolerables si se utiliza la frmula del cortante para determinar el esfuerzo cortante en el patn de una viga del patn ancho, segn se indic antes.

Asimismo, habr que sealar que la frmula del cortante no dar resultados precisos cuando se utilice para determinar el esfuerzo cortante en la unin patn-alma de una viga de patn ancho, puesto que ste es un punto de cambio repentino de la seccin transversal y, por consiguiente, en este lugar se presenta una concentracin de esfuerzo.Adems, las regiones internas de los patines son superficies libres, figura 7B, y, en consecuencia, el esfuerzo cortante sobre estas superficies debe ser cero.No obstante, si se aplica la frmula del cortante para determinar los esfuerzos cortantes en estas superficies, se obtiene un valor de r que no es igual a cero, figura 7C.Afortunadamente, estas limitaciones para la aplicacin de la frmula del cortante a los patines de una viga no son importantes en la prctica de la ingeniera.Con mucha frecuencia los ingenieros slo tienen que calcular el esfuerzo cortante mximo promedio que se desarrolla en el eje neutro, donde la razn b/h (ancho/peralte) es muy pequea y, por consiguiente, el resultado calculado se aproxima mucho al esfuerzo cortante mximo verdadero tal como antes se explic.Se puede sealar otra limitacin importante en el uso de la frmula del cortante con respecto a la figura 9, la cual muestra una viga de seccin transversal irregular o no rectangular.Si se aplica la frmula del cortante para determinar el esfuerzo cortante (promedio) r a lo largo de la lnea AB, tendr la direccin mostrada en la figura 9BVG.Considrese ahora un elemento del material tomado del punto limtrofe B, de tal modo que una de sus caras se localice en la superficie externa de la viga, figura 9C.Aqu el esfuerzo cortante calculado r en la cara frontal del elemento se descompone en las componentes, ry r.Por inspeccin, la componente r debe ser igual a cero, puesto que su componente longitudinal correspondiente r, que acta cobre la superficie limtrofe libre de esfuerzo, debe ser cero,Por consiguiente, para satisfacer esta condicin, el esfuerzo cortante que acta sobre el elemento en la superficie limtrofe deber ser tangente a sta.La distribucin del esfuerzo cortante a lo largo de la lnea AB tendra entonces la direccin que se muestra en la figura 9D.Debido a la mxima inclinacin de los esfuerzos cortantes en las superficies limtrofes, el esfuerzo cortante mximo ocurrir en los puntos A y B.Valores especficos del esfuerzo cortante se deben obtener mediante los principios de la teora de la elasticidad. Sin embargo, advierta que se puede aplicar la frmula del cortante para obtener el esfuerzo cortante que acta a travs de cada una de las lneas marcadas en la figura 9.Estas lneas intersecan las tangentes a las fronteras de la seccin transversal segn +ngulos rectos y, como se muestra en la figura 9E, el esfuerzo cortante transversal es vertical y constante a lo largo de cada lnea.

Para resumir los puntos anteriores, la frmula del cortante no da resultados exactos cuando se aplica a miembros de seccin transversal corta o plana, o en puntos donde la seccin transversal cambia repentinamente.Tampoco se deber aplicar a travs de una seccin que corte el contorno del miembro con un ngulo diferente de 90.Ms bien, en estos casos se deber determinar el esfuerzo cortante por medio de mtodos ms avanzados basados en la teora de la elasticidad.

PROCEDIMIENTO DE ANLISIS.

Se puede usar la frmula del cortante para encontrar la distribucin del esfuerzo cortante que acta sobre la seccin transversal de un miembro prismtico recto de material homogneo y comportamiento elstico-lineal.Se requiere que la fuerza cortante interna que se origine se dirija a lo largo de un eje de simetra de la seccin transversal.Asimismo, el principio de Saint-Venant exige que se aplique la frmula del cortante en puntos alejados de cualesquier discontinuidad en la seccin transversal y de los puntos de carga concentrada.Para aplicar la ecuacin, se sugiere el siguiente procedimiento.

Fuerza cortante interna.Seccione el miembro perpendicularmente a su eje en el punto donde se va a determinar el esfuerzo cortante y useun diagrama de cuerpo libre y una ecuacin de equilibrio apropiado a fin de obtener la fuerza cortante interna V en la seccin.

Propiedades de la seccin.Determine la posicin del eje neutro, que pasa por el centroide de la seccin transversal. Luego determine el momento de inercia I de toda la seccin respecto al eje neutro.Pase una seccin imaginaria por el punto donde va a determinarse el esfuerzo cortante, cortando la seccin trasversal en dos partes.Mida el ancho t del rea en esta seccin respecto al eje neutro.Pase una seccin imaginaria por el punto donde va a determinarse el esfuerzo cortante, cortando la seccin transversal en dos partes.Mida el ancho t del rea en esta seccin. La porcin del rea que queda ya sea arriba o debajo de este corte es A.Determine Q por integracin, Q=o bien usando Q= A.Aqu es la distancia del centroide de A es la porcin de la seccin transversal que est unida al miembro mediante los esfuerzos cortantes longitudinales, figura 4D.

Esfuerzo cortante.Usando un conjunto coherente de unidades, sustituya los datos en la frmula del cortante y calcule el esfuerzo cortante r.Se sugiere que se establezca la direccin correcta del esfuerzo cortante transversal sobre un elemento de volumen de material localizado en el punto en que se va a calcular el esfuerzo.

Esto puede hacerse teniendo en cuenta que r acta sobre la seccin transversal en la misma direccin que V.Con esto se pueden establecer entonces los esfuerzos cortantes correspondientes que actan en los otros tres planos del elemento.EJEMPLO 1

La viga mostrada en la figura 10 est hecha de madera y est sometida a una fuerza cortante interna vertical resultante V=3 kip.a)determine el esfuerzo cortante en el punto p de la vigab)calcule el esfuerzo cortante mximo en la viga.

SOLUCIN.

Parte a)Propiedades de la seccin.El momento de inercia de la seccin transversal respecto el eje neutro es:I=3=41.7 pulg4Se traza una lnea horizontal por el punto P y el rea parcial Ase muestra sombreada en la figura 10b.Por consiguiente,.Q=A=[0.5pulg +(2 pulg)](2 pulg)(4 pulg)=12 pulg3Esfuerzo cortante.La fuerza cortante en la seccin es V=3 kip. Aplicando la frmula del cortante, tenemos:rp=Como rp contribuye al valor de V, acta hacia abajo en P sobre la seccin transversal.En consecuencia, un elemento de volumen del material en este punto tendr esfuerzos cortantes actuando sobre l como se muestra en la figura 10c.

Parte (b)

Propiedades de la seccin.El esfuerzo cortante mximo ocurre en el eje neutro, ya que t es constante en toda la seccin transversal y Q es mximo para tal caso.El rea A sombreada en la figura 10d. Tenemos:Q= A=[](4 pulg)(2.5 pulg)=12.5 pulgEsfuerzo cortante.Aplicando la frmula del cortante, obtenemos:rmax=note que esto es equivalente a:rmax=1.5

a tensin cortanteotensin de cortees aquella que, fijado un plano, acta tangente al mismo. Se suele representar con la letra griegatau(Fig 1). Enpiezas prismticas, las tensiones cortantes aparecen en caso de aplicacin de unesfuerzo cortanteo bien de unmomento torsor.12Enpiezas alargadas, comovigasypilares, el plano de referencia suele ser un paralelo a la seccin transversal (i.e., uno perpendicular al eje longitudinal). A diferencia del esfuerzo normal, es ms difcil de apreciar en las vigas ya que su efecto es menos evidente.TENSIN CORTANTE PROMEDIO:

Fig 2. Esfuerzo cortante sobre tornillos.Un problema que se presenta en su clculo se debe a que lastensionesno se distribuyen uniformemente sobre un rea, si se quiere obtener la tensin media es usada la frmula:

dondeV(letra usada habitualmente para designar esta fuerza) representa lafuerza cortanteyArepresenta el rea de la seccin sobre la cual se est aplicando. En este caso, el esfuerzo cortante, como su nombre lo indica, corta una pieza. En esta imagen (Fig 2.), el tornillo y el perno presentan esfuerzo cortante al sercortadospor las piezas que unen (lnea verde).FRMULA DE COLLIGNON-JOURAWSKISi se requiere encontrar la tensin cortante debida fuerza cortante en un punto especfico, lo cual es comn en vigas, se usa la siguiente frmula, conocida como frmula de Collignon (1877):

dondeVyrepresenta la fuerza cortante,myprimer momento de rea parcial(que coincide con el producto delcentroidey el rea que se abarca desde un extremo hasta el punto donde se quiere encontrar el esfuerzo):

Izelmomento de inerciade la seccin total respecto a un eje perpendicular a la direccin del cortante ytzel espesor de la figura a lo largo de un eje perpendicular a la direccin del cortante.Aunque esta frmula fue publicada por. Collignonen1877y se conoce con su nombre, previamente haba sido utilizada en1844por el ingeniero rusoD. J. Jourawski3para calcular tensiones en vigas demadera, publicando esta frmula en1856.Puntos importantes: El esfuerzo cortante en el cordn superior y el inferior es cero. El esfuerzo cortante en lalnea neutrade la pieza (coincidente con elcentro de gravedad) suele ser mximo. El momento de inercia y el centroide de las figuras es con respecto al eje neutro de la pieza.

Deduccin de la frmula de Collignon-JourawskiLa frmula de Collignon anterior no proporciona el valor exacto de la tensin tangencial, sino slo el promedio a lo largo de una lnea que divida en dos la seccin transversal. Para comprender ese hecho conviene examinar la deduccin de la misma. Para la deduccin partiremos de lasecuaciones de equilibrio elsticocuando no existen fuerzas msicas, la primera de ellas para la componente X es igual a:(1)Si se presupone que slo el esfuerzo cortante est dirigido segn el eje Y (y que esta direccin coincide con una de lasdirecciones principales de inercia), y que el eje X coincide con el eje de lapiezay, adems, que las tensiones estn provocadas nicamente por unesfuerzo normalconstante y unmomento flectory unesfuerzo cortantevariables, tenemos:

Substituyendo estas dos ltimas ecuaciones en la ecuacin de equilibrio (1), se tiene la relacin entre la tensin tangencial y el esfuerzo cortante:(1')Integrando directamente esa ltima ecuacin se llega a:

La anterior ecuacin resulta incmoda porque depende de la coordenadaC(z) situada sobre una vertical donde el cortante se anula (puede comprobarse que coincide que es la coordenada de un punto sobre el contorno de la seccin, usando las condiciones de contorno que acompaan a las ecuaciones de equilibrio elstico). Sin embargo, se puede definir la tensin cortante media como:

Esta ltima coincide (salvo signo) con la frmula de Collignon usada para calcular la distribucin media de tensiones cortantes a lo largo de la seccin que se mencionaba en el apartado anterior. Cabe sealar que hemos introducido el llamadoprimer momento de rea parcial:

TENSIN CORTANTE MXIMALa anterior ecuacin puede usarse para calcular la tensin tangencial mxima para diferentes tipos de seccin y comparar su valor con el de la tensin promedio. Puede probarse que para cualquier tipo de seccin transversal se cumple que:

Seccin rectangularPara una seccin rectangular de medidasbxhsometida a un esfuerzo cortante paralelo a uno los lados de la misma, la distribucin de tensiones cortantes y la tensin cortante mximas vienen dadas por:

Dondees la altura del punto donde se calculan las tensiones respecto al centro de la seccin. Eso significa que para las secciones rectangulares.