LEYES DEL MOVIMIENTO PLANETARIOAldo Emmanuel Valero8 de Marzo de 2010ndice general Pg.

1-Introduccin........... 3

2- Leyes de Kepler.... 4

3- Deduccin de la primera ley de Kepler.44- Deduccin de la segunda ley de Kepler11

5- Deduccin de la tercera ley de Kepler..13

1 Introduccin

Johannes Kepler (1571-1630), astrnomo y filsofo alemn, enunci las tres leyes que llevan su nombre del movimiento planetario, apoyndose en la extensa cantidad de datos obtenidos durante sus aos de observacin de los planetas.

Estas leyes se ajustaban de manera perfecta a la informacin astronmica obtenida por Kepler, pero carecan de una demostracin matemtica formal ya que para la poca aun no se contaba aun con las leyes del movimiento en general, si bien ya haba un avance grande en Fsica, faltaba resolver algunos problemas importantes como lo era esa fuerza misteriosa llamada Gravedad.

No fue sino hasta que sir Isaac Newton publico unos de los documentos mas importantes de la historia de la ciencia, Principios matemticos de la filosofa natural de 1687. En esta publicacin estaban enunciadas las tres leyes del movimiento, las que ahora llamamos Leyes de Newton y la ms importante y de un logro intelectual sin precedentes para la poca, la Ley de gravedad o Ley de gravitacin universal. Gracias a que ahora se contaba con una demostracin matemtica de la fuerza de gravedad y de la fuerza en si, Newton logro describir las leyes de Kepler de forma cuantitativa y dar un paso muy importante en la comprensin del Universo en el que vivimos.Hoy en da se sabe mucho ms de la Gravedad de lo que Newton logro demostrar. El sabia perfectamente que las masas de atraan y que esa fuerza de atraccin mantena a los planetas en orbita alrededor del Sol y hasta encontr una ecuacin matemtica que describa dicha fuerza, la cual es proporcional al inverso del cuadrado de la distancia que separaba a las masas (1/r2). Pero lo que Newton no lograba comprender era el por qu de dicha fuerza de gravedad, no haba manera de explicarlo cualitativamente, fsicamente, solo se tenia la ecuacin, pero por qu exista esa fuerza, era un misterio hasta la llegada de Einstein el cual demostr la nueva y mas aceptada Ley de gravedad donde interviene lo que llamamos curvatura del espacio tiempo producida por objetos masivos como los planetas o el Sol.

Ahora bien, este documento solo trata las Leyes de Kepler partiendo del uso de la segunda ley del movimiento de Newton y de la ley de gravitacin universal. Las ecuaciones obtenidas a travs de este anlisis son muy precisas y explican el movimiento planetario de forma casi perfecta. Una de las falencias que se descubrieron en el estudio del movimiento planetario empleando la Fsica Clsica fue lo que hoy se conoce como precesin del perihelio del planeta Mercurio. Esta perturbacin en la orbita de Mercurio de se debe a su proximidad al Sol en la cual la curvatura del espacio tiempo es muy notoria. Para este problema se hayo la solucin en la teora de la relatividad general de Einstein.Mencionamos esto ya que debe quedar claro que las Leyes de Kepler o las Leyes de Newton son precisas dentro de un cierto margen de aplicacin y por lo tanto no son universales. Si bien esto es as, los trabajos de Newton, Kepler, Galileo, etc. son, en mi opinin, los ms importantes en la historia de la ciencia, estos hombres encontraron una forma de describir el Universo y sentaron las bases del conocimiento cientfico para que luego los avances y la evolucin de las observaciones sigan dando explicacin al comportamiento de la naturaleza.

2 Leyes de Kepler.En el ao 1596, Kepler publica Mysterium Cosmographicum, un trabajo en el cual demuestra la ventaja geomtrica de la teora copernicana y las leyes que llevan su nombre. Estas leyes del movimiento planetario se enuncian de la siguiente manera:1. Un planeta gira alrededor del Sol describiendo una rbita elptica con el Sol ubicado en uno de los focos.2. Una recta imaginaria que une al Sol con el planeta, barre reas iguales en tiempos iguales.3. El cuadrado del periodo orbital del planeta es proporcional al cubo del semieje mayor de la rbita. 3 Deduccin de la primera ley

Ponemos como ttulo deduccin y no demostracin porque queremos tratar de explicar el movimiento planetario teniendo en cuenta de que no sabemos nada acerca de su naturaleza. Luego haremos la comparacin con las leyes de Kepler, afirmando su veracidad.

Primero vamos a partir de la ley de gravitacin universal de Newton ya que vamos a estudiar la interaccin entre dos cuerpos, en este caso el Sol y un planeta cualquiera que orbita alrededor de el. Vamos a tener en cuenta que no existe interaccin entre estos cuerpos con el resto de los objetos del Universo, dicho de otra manera que la fuerza de atraccin producida por los dems objetos es despreciable.

Colocando cada trmino como corresponde definimos la fuerza de gravedad actuante sobre el planeta (y sobre el propio Sol) en forma escalar y en forma vectorial. Para ello consideramos el siguiente sistema de coordenadas donde el Sol esta ubicado en el origen, esto nos permitir visualizar los vectores que entran en juego y definir la ecuacin vectorial de la fuerza gravitatoria.

Lo primero que puede llamar la atencin es que usamos las tres dimensiones, o sea los ejes X, Y, Z. Esto es porque la finalidad de este trabajo es demostrar las leyes del movimiento haciendo de cuenta que no sabemos nada de cmo se mueven en realidad los astros. Por este motivo, aun no podemos afirmar si la orbita de un planeta es plana o no. Por que lo planteo as? Por el simple hecho de sentir al menos una pequea sensacin de lo que pudo sentir Isaac Newton al aplicar sus leyes a los planetas y demostrar las de Kepler.En el grafico tenemos:

Ahora podemos escribir la fuerza de gravedad sobre el planeta en forma escalar y vectorial, esta ltima ser multiplicando la fuerza escalar por el vector unitario negativo. Ordenando, tenemos:

La fuerza neta sobre el planeta es igual a esta ltima y a su vez es igual a la segunda ley del movimiento de Newton, igualando nos queda la aceleracin actuante:

Como podemos observar, la aceleracin actuante es paralela al vector unitario y por lo tanto, tambin al vector posicin.Teniendo en cuenta esto ltimo, podemos demostrar que la orbita es una curva plana. Empezaremos por hacer la derivada del producto vectorial entre la aceleracin y la velocidad del planeta, esto nos da la conclusin que buscamos:

Si el vector posicin y el vector velocidad son multiplicados en forma vectorial, siempre dan el mismo valor (vector k). No importa en que posicin de la orbita se encuentre el planeta, siempre el producto vectorial es el mismo, lo que nos indica que la curva descripta en su trayectoria es plana. Por lo tanto el planeta se mueve sobre un mismo plano a lo largo de todo su periodo orbital.Nota:La forma de entender esta demostracin es conocer sobre lgebra Vectorial. Como los vectores estn contenidos en un mismo plano en todo momento, su producto vectorial dar un vector perpendicular a dicho plano. Si este ltimo es constante quiere decir que tanto vector posicin como vector velocidad, siempre estn en el mismo plano y por ende la rbita es una curva plana.Ecuacin de la rbita:Sabemos que:, trabajando esta ecuacin obtenemos:

Multiplicamos (3) por el vector aceleracin:

Considerando la regla del triple producto vectorial:

A este producto tambin lo podemos escribir as:

Igualando estas dos formas vectoriales e integrando, tenemos:

Donde c es la constante de integracin, mejor dicho, vector constante.Ahora bien, todas estas deducciones y trabajos matemticos nos servirn para lo siguiente. Vamos a plantear un sistema de coordenadas X, Y, Z, O con el Sol en el origen y colocando al vector k alineado con el eje Z, el planeta describir su rbita sobre el plano XY.

En el grafico podemos observar que el resultado del producto vectorial esta en el mismo plano que , esto nos dice que el vector c debe ser coplanar (estar en el mismo plano) con estos dos ltimos. Entonces los tres quedan contenidos en el plano XY.Ahora bien, supongamos, como esta en el grfico, al vector c alineado con el eje X en todo momento (recordemos que es constante). Como el vector posicin r se desplaza en torno a O, formar un ngulo con el vector c.

Con esta situacin podemos intentar hallar una ecuacin de la orbita si tenemos en cuenta que |r| y son las coordenadas polares de la curva en el plano XY con origen en O donde esta ubicado el Sol. El origen de los ngulos ser el vector constante c que siempre esta ubicado en el eje X.Dicho esto, tomemos la ecuacin (4) y multipliqumosla escalarmente en ambos miembros por el vector r

Dividamos numerador y denominador por Ms .G y ordenemos:

Finalmente aqu tenemos la ecuacin de la orbita planetaria. Por lo que podemos ver corresponde a una seccin cnica en coordenadas polares donde e es la excentricidad y d es la distancia desde el foco a la directriz:

De las cnicas, sabemos que la nica curva cerrada es la elipse, lo cual coincide con las observaciones del movimiento de los astros que mantienen un periodo y repiten sus posiciones en el cielo de acuerdo a este. Vale decir que la excentricidad de la elipse es menor a 1 y se aproxima a cero cuando la cnica tiende al crculo, lo cual implica que una rbita alargada posee una excentricidad cercana a 1 y una orbita casi circular tiene una excentricidad cerca de cero.Podemos agregar que la mayora de los planetas del sistema solar tienen rbitas casi circulares, la Tierra por ejemplo, tiene e = 0.017 aproximadamente y ha variado a los largo de los milenios tomando valores de 0.000483 a 0.060791 en los ltimos 5 millones de aos. A estas variaciones se las suele relacionar como causantes (en parte) de los cambios en el clima global segn la teora de Milancovitch debida a las fluctuaciones de la radiacin solar recibida.Por otro lado, el ejemplo mas comn de orbitas con excentricidades cercanas a 1 son los cometas, generalmente poseen rbitas alargadas con grandes diferencias de distancia al Sol en afelio y perihelio. En la imagen siguiente tenemos algunos ejemplos de rbitas:

Ecuacin cannica o en coordenadas cartesianas de la rbita.Del el grafico anterior tenemos:

F: foco.

P: punto de la curva considerado.

l: recta directriz.

d: distancia del foco a la directriz

La ecuacin de la cnica en coordenadas polares es:

La ecuacin cannica de una elipse con origen en el centro de la misma es la siguiente:

Para dejar la ecuacin (6) en funcin de los parmetros de la (5); hacemos lo siguiente:

Como el origen de coordenadas esta en uno de los focos de la elipse, la ecuacin (7) presenta un desplazamiento h sobre el eje X igual a la distancia entre focos sobre dos.

Finalmente hemos demostrado la primera ley de Kepler confirmando que:

Un planeta gira alrededor del Sol describiendo una rbita elptica con el Sol ubicado en uno de los focos.4 Deduccin de la segunda ley.

Concebido ya que los planetas orbitan en curvas elpticas alrededor del Sol, vamos a determinar una segunda consecuencia importante, la cual nos llevara a demostrar la segunda ley de Kepler.

Supongamos que un planeta orbita alrededor del Sol y que pasa de la posicin P a la posicin P barriendo un ngulo elemental d en un tiempo dt.

Aproximando el sector elptico elemental a un triangulo, tenemos que su rea es:

La velocidad del sector es:

Descomponiendo el vector velocidad respecto a r, tenemos:

Reemplazando (9) en (8) queda:

El momento angular del planeta viene dado por:

En forma escalar el momento angular vale:

Reemplazando (11) en (10), resulta:

Esta ltima ecuacin afirma la segunda ley de Kepler que nos dice que la velocidad del sector es constante:

Una recta imaginaria que une al Sol con el planeta, barre reas iguales en tiempos iguales.5 Deduccin de la tercera ley.

La tercera ley de Kepler del movimiento planetario nos da una relacin entre el periodo orbital y el semieje mayor de la elipse. Para encontrar dicha relacin, tengamos en cuenta lo deducido hasta ahora:

Sabemos que

Vimos que:

El rea total la obtendremos integrando desde un tiempo igual a cero hasta un tiempo igual al periodo orbital T. Sabemos a dems que el rea de una elipse es igual a

A = a b, de manera que:

El rea barrida en un periodo completo es el rea total encerrada en la elipse, entonces:

Ahora debemos encontrar el valor de k para dejar el periodo en funcin de parmetros ms manejables.

De la deduccin de la ecuacin de la orbita, sabemos que:

Esta ltima ecuacin nos da la tercera ley de Kepler:El cuadrado del periodo orbital del planeta es proporcional al cubo del semieje mayor de la rbita e independiente de la excentricidad de la misma.1

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