ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO

FACULTAD DE MECÁNICA

ESCUELA DE INGENIERÍA DE MANTENIMIENTO

TEMA:

CINEMATICA DE LAS PARTICULAS

REALIZADO POR: JUAN CARLOS GRANIZO RODRIGUEZ

JORGE LUIS SALAO BRAVO

RIOBAMBA – ECUADOR

OBJETIVO GENERAL

Presentar definiciones y relaciones matemáticas que determinen la posición , velocidad y aceleración

de una partícula tanto en el movimiento rectilíneo y curvilíneo.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

• Establecer la relaciones de la aceleración en función de otra variable.

• Conocer el movimiento relativo y dependiente de partículas y establecer sus relaciones

INTRODUCCIÓN“La física es la naturaleza misma no hay nada que esconder”

La cinemática de una partícula, no es más que el movimiento de la misma en diferentes

trayectorias y producidas por fuerzas internas o externas, cuyo cuerpo a medida que se esta

moviendo va cambiando de posición, lo mismo que es decir que se esta desplazando. El producto

de esta fuerza por el desplazamiento, que se lo denomina trabajo, al mismo tiempo que este

trabajo produce una transferencia de energía al mismo cuerpo pudiendo ser cinética y potencial,

con lo cual para desarrollar esa energía en movimiento se necesita cierta potencia la cual genera

un rendimiento a favor o en contra.

En este compendio se trata de ver y analizar las aplicaciones de la cinética de una partícula

analizando los métodos energéticos, cuyas aplicaciones las observamos diariamente como en la

naturaleza, nuestra vida diaria, la industrias, etc. Conociendo los medios de desarrollo del trabajo

potencia y energía, descubriendo cual son los beneficios que pueden generar para ha favor del

hombre.

EL SOLIDO RIGIDODefinición.- Un sólido rígido se considera a un conjunto de partículas materiales: m1,...mi ....mn cuyas distancias

mutuas permanecen invariables, en las condiciones habituales de trabajo del cuerpo. Así por ejemplo, la distancia

entre dos partículas cualesquiera como mi y mj ; que designamos por dij ; se mantiene siempre constante, fig.1.

Fig.1. Para estudiar el sólido rígido podemos considerarlo constituido por muchos

partículas materiales, que pueden numerarse

En otras ocasiones se toma al sólido como un continuo, pero sin interesarnos por su estructura interna. Entonces, se

considera formado por elementos de masa dm, sin necesidad de asignarles numeración.

MOVIMIENTOS DEL SOLIDO RIGIDO

El movimiento general de un sólido rígido es la composición de un movimiento de traslación del centro de masas

y de un movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas.

TRASLACION RECTILINEA

MOVIMIENTO DE TRASLACION

TRASLACION CURVILINEA

MOVIMIENTO DE ROTACION ALREDEDOR DE UN EJE QUE PASA POR EL CENTRO DE MASA

MOVIMIENTO DE TRASLACION

Un sólido rígido efectúa una traslación, cuando un triedro unido al cuerpo no cambia su orientación en el transcurso

del movimiento, con relación a unos ejes fijos con origen en un punto O, fig.2 y fig.3.

Fig.2. Traslación Rectilínea

TRASLACION RECTILINEA

Si las trayectorias seguidas por los partículas del Solido Rígido en su movimiento, son líneas rectas. Así sucede con

las trayectorias de los puntos A y B de la fig.2, que se representan en el dibujo mediante líneas discontinuas.

TRASLACION CURVILINEA

Cuando las trayectorias de las partículas del Solido Rígido son líneas curvas. Observa en la fig.4, las trayectorias de

A y B, y entiende que es una traslación, porque el triedro sigue paralelo así mismo, y a la posición inicial. Un ejemplo

muy conocido se muestra en la fig.3.

Fig.3. Los ejes ligados a las cestas de la noria, tienen un movimiento de

traslación respecto de los ejes fijos en O, situados en el suelo. Todos

los puntos de las cestas al moverse, sufren una traslación curvilínea.

Observa la trayectoria de un punto de la cesta, señalada con línea

discontinua.

Fig.4. Traslación curvilínea

Cuando un sólido rígido efectúa una traslación sea rectilínea o curvilínea, en cada instante los vectores velocidad y

aceleración, son los mismos para todas las partículas del sólido.

MOVIMIENTO DE ROTACION ALREDEDOR DE UN EJE FIJO

Consideremos un sólido rígido y unos ejes fijos en él (X´, Y´, Z´). El sólido efectúa una rotación cuando este sistema deejes, gira con velocidad angular ω, alrededor de otros ejes fijos (X, Y, Z),. El eje alrededor del cual gira el sólido se llama

eje de rotación, siendo Z = Z´. Cualquier partícula como la mi fig.5, describe una circunferencia con centro en el punto Oi

del eje, pues por definición de sólido rígido la distancia a Oi es constante.

La velocidad vi que lleva cada partícula mi a lo largo de la circunferencia de radio ri que describe, se llama velocidad

lineal y es distinta para cada partícula del sólido. El módulo de la velocidad lineal de una partícula, es igual a la

velocidad angular por el radio de la circunferencia que describe vi =ω·ri. En la fig.6, se representan las velocidades

lineales de dos partículas C y D, observa que es mayor cuanto más alejada está del eje. Si la velocidad angular cambia

con el tiempo, sobre el sólido actúa una aceleración angular α, que es un vector en la dirección del eje de rotación,

fig.6. Se obtiene derivando la velocidad angular respecto del tiempo.

Fig.5. Cuando el sólido gira a derechas, observa como los ejes ligados al

sólido (x´, Y´, Z´) giran alrededor de los ejes fijos (X, Y, Z). Entonces el vectorvelocidad angular ω se determina mediante el avance de un sacacorchos que

gire en el mismo sentido del sólido, encontrándose además sobre el eje de

rotación Z = Z´.

Fig.6. Los vectores velocidad angular ω y aceleración angular αtienen la dirección del eje de rotación y valen igual para todas las

partículas del sólido rígido. En cambio la velocidad lineal varía según

la distinta de las partículas al eje de rotación.

La aceleración angular es en cada instante, la misma para todos los puntos del sólido rígido. La aceleración angularestá relacionada con la aceleración tangencial resultando que su módulo, es igual a la aceleración angular α por el

radio ri de la circunferencia que describe la partícula; at ,i = α · ri

MOMENTO ANGULAR DE UN SOLIDO RIGIDO

Analicemos un disco plano que gira alrededor de un eje perpendicular que pasa por su centro, fig.7, en cuya dirección

se encuentra el vector velocidad angular ω . El momento angular de una partícula de masa mi respecto del punto O del

eje, es:

Fig.7. Están representadas solamente algunas de las n-partículas del sólidorígido. Observe como el momento angular LO,i ; es paralelo al vector velocidad

angular ω.

Considerando que es un producto vectorial, resulta un vector perpendicular al plano del disco y que tiene por lo tanto la dirección del eje de rotación, siendo su módulo LO,i = ri mi vi sen 90º =mi ri vi . Igualmente sucede con todas las demás

partículas del disco.

Sustituyendo en la ecuación de LO resulta: LO = I · ω . Cuando el vector momento angular LO sea paralelo al vector ω,

entonces el eje se llama, “eje principal de inercia” y en los sólidos de geometría regular, como discos, cilindros, esferas,

coincide con sus ejes de simetría. Para rotaciones alrededor de ejes principales resulta la ecuación vectorial.

Siendo I el momento de inercia respecto del eje, que se puede determinar experimentalmente, o mediante el cálculo para

cuerpos de geometría regular. Aunque el desarrollo se ha efectuado por sencillez para un disco, el resultado es general

para cualquier figura geométrica que gire alrededor de un eje principal de inercia, (únicos casos que aquí vamos a tratar).

Para calcular el módulo del momento angular total del disco respecto de O, sumaremos todos los módulos de lo momentos

angulares de todas sus n partículas, y teniendo en cuenta que vi = ω · ri . Resulta El sumatorio contiene la suma de la masa

de cada partícula por el cuadrado de su distancia al eje, se llama momento de inercia I del sólido.

CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA DE UN SOLIDO RIGIDO

Para la determinación matemática del Momento de Inercia se considera al sólido como un medio continuo formado por

elementos de masa dm, para lo que tomaremos una distribución geométrica formada por puntos que se encuentran a

la misma distancia del eje de rotación.

Para una distribución continua la expresión del Momento de Inercia asignada con (1) debe ser reemplazada por otra

ecuación. En ésta el sumatorio se sustituye por una integral, el vector de posición de cada partícula por la variable r y

la masa de cada partícula por dm. Resultando:

RADIO DE GIROEn las aplicaciones en las se emplea el momento de inercia de un cuerpo, muchas veces resulta conveniente considerar

toda la masa concentrada idealmente en un punto. A la distancia desde ese punto al eje se le llama radio de giro y resulta

especialmente útil para cuerpos irregulares ya que no se dispone de fórmulas sencillas para calcular el Momento de

Inercia.

Consideremos un sólido cuyo Momento de Inercia respecto de un eje es I, suponiendo que toda la masa estuviera

concentrada en un punto, tal que el momento de inercia respecto del mismo eje sigue siendo I, a la distancia del punto al

eje se llama radio de giro k. Sustituyendo en la ec.(1) teniendo en cuenta que ahora ri es el mismo para todas las

partículas resulta:

Observando la ec.(4), el sólido rígido cuyo radio de giro k es conocido, puede ser asimilado a un anillo que tiene igual

masa y de radio, r = k.

ENERGIA CINETICA DEL SOLIDO RIGIDO

Entendemos por energía cinética del sólido rígido la suma de las energía cinéticas del todas las partículas que lo

constituyen. Como ya sabemos, la energía cinética es una magnitud física escalar relativa al observador en el

referencial fijo XYZ.

El movimiento más general del sólido rígido puede reducirse a una rotación de velocidad angular ω con respecto a un

eje que pasa por un punto arbitrario o, más una traslación cuya velocidad vo es la correspondiente a dicho punto. Así,

la velocidad, en el referencial fijo, de un punto genérico Pi del sólido viene dada por

TRABAJO Y ENERGIA EN EL MOVIMIENTO GENERAL

DE UN SOLIDO RIGIDO

donde ri = oPi es el vector de posición del punto genérico Pi respecto del punto arbitrario o perteneciente al sólido. Si

consideramos una partícula genérica de las que constituyen el cuerpo, digamos la partícula i-ésima como en la figura, su

energía cinética en el referencial fijo XYZ es

TRABAJO EN LA ROTACION

ENERGIA CINETICA DE ROTACIONEl trabajo es el resultado de una fuerza que aplicada al sólido desplaza su punto de aplicación. Supongamos una

fuerza F que actúa tangencialmente a la trayectoria que describe una partícula del sólido, fig.16.

Fig.16. El trabajo de rotación efectuado por el momento de la fuerza

aplicada, se invierte en hacer girar el cuerpo, incrementando su velocidad

angular y su energía cinética de rotación.

Y que por su acción el cuerpo gira un ángulo dθ. El trabajo elemental es dW= F · dr ; siendo dr un desplazamiento, cuyo

módulo es dr = r.dθ. El trabajo efectuado por el momento entre dos posiciones angulares θ0 y θ, es la suma de lostrabajos elementales que se determina mediante una integral:

Cada uno de los sumandos, es la energía cinética de rotación del sólido rígido.

Si el momento es constante sale de la integral y resulta W = M ·(θ0 - θ).

El trabajo realizado por el momento aplicado, es una energía, que pasa al cuerpo en forma de energía cinéticallamada de rotación, modificando la velocidad angular del sólido desde ω0 a ω. Operando en la integral:

TRABAJO Y ENERGIA DE ROTACION

Tal como en el movimiento de traslación de una partícula, cuando tenemos rotando un rígido con eje fijo las

fuerzas externas a él efectúan trabajo mecánico. Consideremos el cuerpo rígido de la figura, que puede rotar

alrededor del eje fijo Z del sistema de coordenadas que usaremos como sistema de referencia.

Cuerpo Rígido con eje fijo

Si ejercemos una fuerza en el plano xy sobre una partícula cualquiera, realizará un trabajo mecánico puesto que

habrá un desplazamiento angular. Esto se observa mejor cuando se ve desde arriba.

Sobre el cuerpo se ha aplicado una fuerza constante en magnitud y dirección respecto de la tangente a la curva. La

fuerza Fr se puede suponer como la suma de dos vectores cuyas direcciones son radiales y tangenciales

respectivamente.

La componente radial no trabaja pues no existe desplazamiento en esa dirección. La componente tangencial trabaja,

pues existe desplazamiento angular ∆θ que se puede relacionar con el desplazamiento angular s.

El trabajo que la fuerza tangencial realiza será: dW=FTds. Si se toma un desplazamiento

infinitesimal ds, se tiene que: ds=Rdθ.

Por lo tanto: dW=FT Rdθ

y como la magnitud del torque que la fuerza tangencial realiza sobre la partícula es τ =F T R, se tiene que:

dW=τdθIntegrando a ambos lados, y considerando que W0=0 para θ0, se tiene:

De donde finalmente:

Que permite calcular el trabajo que una fuerza constante realiza sobre el cuerpo, puesto que es una partícula de

un rígido.

TRABAJO DEBIDO A LA FUERZA DE GRAVEDAD

El trabajo asociado con el peso de un objeto (es decir, la fuerza debido a la gravedad) puede obtenerse previamente por la

definición básica de trabajo definida a través del producto punto (dU = F ¥dr). Subsecuentemente el proceso involucra el

producto punto, un resultado escalar. Considere, por ejemplo, el problema de mover un peso de posición 1 a la posición 2

como indicado debajo. Cuando el peso se mueve, uno debe considerar dos cosas: las componentes del peso y las

componentes del camino. Para el problema propuesto los componentes del vector de fuerza son:

Fx = Fz = 0 y Fy = -W.

Las componentes del vector posición son:

sx = x2-x1 , sx = x2-x1, y sz = 0

El trabajo va de la posición 1 a 2 se da, en la forma integral, como:

Fzdsz) Fydsy (FxdsxU 1-2 =

= 0 (x2-x1) + -W(y2-y1) +0 (0)

= -W(y2-y1) = -W∆y

El trabajo hecho por el peso de un cuerpo que mueve de una posición a otra es el producto del peso (W =

mg) y el desplazamiento vertical del centro de gravedad del cuerpo (∆y). El trabajo es negativo para ∆y > 0

(cuando el cuerpo sube), y es positivo para ∆y < 0 (cuando el cuerpo se mueve hacia abajo).

TRABAJO DEBIDO A UNA FUERZA POR UN RESORTE

La fuerza ejercida por un resorte en un objeto puede expresarse en términos de la constante del resorte y la

cantidad de desplazamiento que experimenta el resorte (longitud deformada). Para un resorte lineal, la

relación entre la fuerza y desplazamiento es F = kx. Donde F es la fuerza, k es la constante del resorte, y x

es el desplazamiento. Para los propósitos de desarrollo, tomamos un bloque, es atado a un cable de un

puente como se muestra.

Como la caja se mueve, el cordón se alarga y desarrolla una fuerza. Un diagrama de cuerpo libre muestra que la

fuerza del cordón del puente está opuesta la dirección de movimiento. Por consiguiente, el trabajo se expresará

como:

dU1-2 = -F dx

Integrando entre el límite bajo de x (x = 0) y el límite superior resulta en el trabajo siendo dado como:

U1-2 = - k(x1)2

Si el bloque fuera soltado ahora, la dirección de la fuerza estaría igual que la dirección de movimiento, y el trabajo

sería positivo.

U2-1 = + k(x1)2

Una expresión general para el trabajo debido a resortes (asumiendo los resortes lineales dónde F = kx) es define

fácilmente integrando la fuerza como una función del desplazamiento del resorte. Si el resorte es inicialmente

deformado, esta integración produce la expresión general:

Uresorte = kx2

El signo del término de trabajo dependería en la dirección de movimiento del objeto a que él se ató (el trabajo es

positivo si el resorte fuera comprimido, y negativo si el resorte fuera alargado). Una expresión general para el trabajo

debido a un resorte puede definirse, con tal de que algunas deformaciones de resortes se identifican

(x0 , x1 , y x2) junto con la constante del resorte k.

x0 = Longitud del resorte deformado. Cuando el resorte es deformado, no ejerce una fuerza en el objeto siendo

movido, y por consiguiente no contribuye al trabajo.

x1 = Longitud del resorte en su posición inicial (la posición en la que empieza el primer movimiento). La posición

inicial del objeto no tiende a deformar la longitud del resorte.

x2 = Longitud del resorte en su posición final (la posición a que el movimiento se detiene, o una posición intermedia

usada para el análisis).

Una expresión más general para el trabajo hecho por la fuerza en un resorte mientras que mueve una partícula de

la posición 1 a 2 esto da por:

U1-2 = k(x22-x1

2)

No hay fuerza subsecuentemente por resorte cuando está en su posición redeformación, todos las fuerzas que

contribuyen al resultado del trabajo de estirar (o comprimiendo) el resorte con respecto a su longitud deformada. Es

a menudo conveniente pensar en la longitud del resorte como la diferencia entre la longitud del resorte en sus

posiciones iniciales y finales, y su longitud original. Estos pueden definirse como ∆x1 y ∆x2 , dónde:

∆x1 = (x1 -x0) ∆x2 = (x2 -x0)

Por consiguiente, el trabajo hecho por la fuerza por un resorte cuando una partícula se mueve de la posición 1 a 2

puede expresarse como:

U1-2 = k(∆x22 - ∆x1

2) = k [(x2 -x0)2

- (x1 -x0)2 ]

El signo del trabajo (cualquiera + o -) depende en la dirección de la fuerza en el resorte y el movimiento del objeto a

que se ata. El trabajo es positivo si la dirección de la fuerza del resorte y movimiento coincide, y es negativo si las

direcciones de la fuerza del resorte y movimiento están opuestos.

EL PRINCIPIO DEL TRABAJO Y LA ENERGÍAConsidérese una partícula de masa m, sobre la que actúa una fuerza F, Y que se mueve a lo largo de una

trayectoria que puede ser rectilínea o curva

Expresando la segunda ley de Newton en función de las componentes tangenciales de la fuerza y de la

aceleración, se escribe,

donde v es la rapidez de la partícula. Recordando v = ds/dt, se obtiene

Ft ds = mv dv

Integrando desde Al (donde s = s1 y v = v1) a A2 (donde s = s2 y v = v2), escribimos

El miembro izquierdo de la ecuación anterior representa el trabajo Ul2 de la fuerza F ejercida sobre la partícula

durante el desplazamiento de Al a A2, el trabajo es una cantidad escalar. La expre­sión también es una cantidad

escalar; se define como la energía cinética de la partícula, y se representa por T. Escribimos

Sustituyendo en la Ec 1°, tenemos

La cual expresa que, cuando una partícula se mueve de A1 a A2 bajo la acción de una fuerza F, el trabajo de la

fuerza F es igual al cambio en la energía cinética de la partícula. Esto se conoce como principio del trabajo y la

energía. Reacomodando los términos, escribimos

APLICACION DEL PRINCIPIO DE TRABAJO Y ENERGÍA

Una de la aplicación del principio de trabajo y energía son la utilización de pistones

PistonesEl elevador hidráulico se basa en el principio de que el trabajo necesario para mover un objeto es el producto de

la fuerza por la distancia que recorre el objeto. El elevador hidráulico utiliza un líquido incompresible para

transmitir la fuerza, y permite que una pequeña fuerza aplicada a lo largo de una gran distancia tenga el mismo

efecto que una gran fuerza aplicada a lo largo de una distancia pequeña. Esto hace que pueda emplearse una

pequeña bomba de mano para levantar un automóvil.

CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA

Cuando se consideran únicamente transformaciones de tipo mecánico, es decir, cambios de posición y cambios

de velocidad, las relaciones entre trabajo y energía se convierten de hecho en ecuaciones de conservación, de

modo que si un cuerpo no cede ni toma energía mecánica mediante la realización de trabajo, la suma de la

energía cinética y de la energía potencial habrá de mantenerse constante.

En efecto, si

Pero decir que la suma Ep + Ec no varía entre los estados inicial y final equivale a afirmar que su energía

mecánica total se mantiene constante a lo largo del movimiento:

El sistema podrá variar su energía cinética y su energía potencial y cambiar por tanto de velocidad y de posición,

con la única restricción de que la suma de aquéllas se mantenga constante. Así, un aumento en el término de

energía cinética debe llevar asociado la disminución correspondiente de la energía potencial para que en conjunto

nada cambie.

Este sería el caso de un péndulo ideal sin rozamientos; si se le eleva a una altura dada y se le suelta a

continuación, el péndulo oscilará indefinidamente, ganando velocidad a medida que pierde altura y posteriormente

ganando altura a medida que pierde velocidad. Esta transformación continua e indefinida de energía potencial en

energía cinética y viceversa es una consecuencia de la ecuación de conservación:

La conservación de la energía mecánica explica el principio empírico formulado por Galileo y defendido

posteriormente por Leibniz según el cual un cuerpo que cae desde una altura dada adquiere una velocidad lo

suficientemente grande como para, tras rebotar en el suelo, elevarse de nuevo hasta la altura inicial. Suponiendo

despreciables las pérdidas de energía mecánica, por el choque contra el suelo y por rozamiento con el aire, la

energía mecánica total inicial se ha de conservar.

Al principio sólo es potencial; al llegar al suelo se ha transformado completamente en energía cinética, la cual, tras

el choque, va convirtiéndose progresivamente en potencial conforme el cuerpo gana altura, hasta recuperar la

posición inicial.

APLICACIÓNES DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA

Represa EléctricaEn un a represa, la energía potencial del agua, que se encuentra en un embalse a gran altura, se transforma en

energía cinética al caer en el fondo de la represa. Allí gran parte de su energía cinética se transforma en energía

cinéticas de las turbinas que mueve. Esta energía cinética se transforma a su vez en energía eléctrica en los

generadores conectados a las turbinas.

La energía eléctrica se distribuye, mediante alambres conductores, a las ciudades vecinas. Durante este proceso de

distribución calorífica que se manifiesta en el calentamiento de los alambres. Ya en la ciudad el resto de la energía

eléctrica continúa transformándose en más energía calorífica, en planchas, cocinas eléctricas, en energía cinética de

los motores y así podríamos seguir indefinidamente la historia y evolución de cada una de estas formas de energía

a través del espacio y del tiempo.

EJERCICIOS

DE

APLICACIÓN

1. Una sección de la pista de una “montaña rusa” consiste de dos arcos circulares AB y CD, unidos por

una porción de recta BC. El radio de AB es 90 ft, y el radio de CD es 240 ft. El vehículo y sus ocupantes, de

peso combinado de 560 lb, alcanza el punto A prácticamente con velocidad cero, y después cae libremente

alo largo de la pista. Determine la fuerza normal ejercida por la pista sobre el vehículo cuando este

alcance el punto B. Ignore la resistencia del aire y la resistencia al rodamiento

Datos:

rAB = 90 ft

rCD = 240 ft

W = 560 lb

VA = 0

NB = ?

D.C.L.

Energía Cinética Trabajo:

Principio de Trabajo y Energía

lbN

N

g

wwN

m

167

08.26298.428

240cos

2

2

DLC

2. Una banda transportadora traslada cajas, con una velocidad , a una rampa fija en A, donde se deslizan y

finalmente, cae en B. Sabiendo que , determinar la velocidad de la banda transportadora si las cajas dejan

la rampa en B con una velocidad de

Datos: Calcular:

Solución:

s

ftV

B8

Ecu (A)

Ecu (B)

Ecu A= Ecu B

Ecu (C)

(1) (2)

(1) en (2) Remplazo en Ecu (C)

3. Una piedra de 5lb se suelta desde una altura h, y golpea en el piso con una velocidad de 80ft/s.

a) Hallar la energía cinética de la piedra al golpear el piso y la altura h desde la que fue soltada.

b) resuelva la parte a asumiendo que se suelta la misma piedra en la Luna (La aceleración de la gravedad

en la luna es de 5.31ft/s2)

fth

sft

sfth

g

Vh

Vhg

mVhgm

mVT

47.99

/17.322

)/80(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

b)

4. El vagón minero de 400kg,es subido por un plano inclinado utilizando el cable y el motor M. Durante un

breve tiempo, la fuerza en el cable es F=(3200 t )N, donde se expresa en segundos .Si el vagón tiene una

velocidad inicial v =2 cuando s=0 y t=0 ,determine la distancia que se mueve en el plano cuando t=2s