De la didactica general a la didactica especial

MAESTRIA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA

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Material para fines académicos RECURSOS DIDÁCTICOS PARA LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS DRA. JUDITH AGUILA MENDOZA

DE LA DIDÁCTICA GENERAL A LA DIDÁCTICA PARTICULAR

Tomado de: Castelnuovo, Emma. (2004) Didáctica de la matemática moderna.

Argentina. Ed. Trillas. (pág. 15-29)

Comenius y Pestalozzi: Los principios de la escuela activa

“Si bien estas escuelas son diferentes ─la escuela de la primera infancia, la

escuela de la infancia, la de la adolescencia y la de la juventud─, no queremos

que se enseñen cosas diferentes, sino las mismas cosas de maneras distintas.

Queremos decir las cosas que pueden hacer al hombre verdaderamente hombre,

a los sabios verdaderamente sabios, acercarlos según la edad y el nivel de

preparación que debe siempre tender a elevarlos ulteriormente.”

He aquí cómo se expresaba Jan Amos Komemenski, más conocido como

Comenius, en su obra Didáctica magna, escrita de 1627 a 1657, el hombre que

fue llamado el “Galileo de la Educación”.

Reflexionemos sobre el texto que hemos expuesto; en su pryección de una

escuela para todos, Comenius distinguía diferentes estratos, según la edad, y a

cada uno de éstos señalaba un determinado programa de instrucción. No se

trataba de cambiar temas, sino de tratar los mismos con maneras diversas a

medida, precisamente, de la posibilidad de comprensión de los alumnos, y

considerados desde un punto de vista siempre, más amplio, extendiéndose como

una espiral; así se formará la cultura “ de modo tal”, dice Comenius, “que aquello

que se ha aprendido hoy refuerce aquello que se aprendió ayer y abra el camino

para lo que se aprenderá mañana”

Hoy, en términos modernos, se dice que una instrucción que sigue esta

metodología se logra por ciclo. En Italia, muchas materias son desarrolladas con

métodos cíclicos. Así, en el estudio de la historia, un mismo tema, por ejemplo la

historia del Renacimiento italiano, se viene tratando ya en las ecuelas elementales

donde son elogiadas algunas figuras ─ Mazzini, Garibaldi─ más que los hechos;

se reanuda después en la escuela media inferior donde se estudian las causas

políticas y en donde el Renacimiento es considerado desde el punto de vista

puramente italiano con pocas referencias de naciones extranjeras. El tema, en los

cursos superiores, es tratado sobre una base más amplia; se estudian las caudas

económicas, sociales, etc., y el Renacimiento aparece como un fenómeno

encuadrado en la historia de Europa. El tratamiento es, entonces, como el

continuo ensanchamiento de un mismo tema.


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En cambio no se desarrollaría una enseñanza “por ciclos” si se siguiera

cronológicamente todo el decurso de la historia en la duración del curso completo

de estudios, desarrollando, por ejemplo, la historia antes de Cristo en el periodo

elemental, los primeros mil años de nuestra era en la escuela media inferior, y

todos los hechos del último milenio en el curso secundario superior.

Es fácil darse cuenta cuán absurdo sería, tanto desde el punto de vista

pedagógico como social, un curso de historia de tipo unitario, monolítico, como el

descrito. El método cíclico ha sido ideado para hacer de cada hombre un ser

preparado, darle una cultura completa después de cada ciclo de estudios, aunque

esta cultura no sea profunda en los primeros ciclos.

El método cíclico tiene como objetivo fomentar el respeto de la personalidad

humana, y es conmovedor pensar cómo este principio que está bajo las bases de

una didáctica moderna actualizada, haya sido delineada hace más de tres siglos

por un hombre, Jan Amos Comenius, que era hijo del pueblo.

Hemos, pues citado el ejemplo de la enseñanza de la historia. La enseñanza de la

geometría en Italia se desarrolló también por el método cíclico; las nociones

aprendidas por vía experimental en la escuela elemental se vienen reorganizando

y desarrollando en el curso de geometría intuitiva; estas mismas nociones son

después reanudadas en el curso secundario superior y encuadradas en un

sistema hipotético-deductivo. Pero, ...

…. Ejercitando, como yo ahora comienzo a hacerlo; haciendo que los muchachos

tracen líneas, ángulos y círculos, así se da precisión a la intuición de cada objeto y

se genera en el alumno una energía activa que lo llevará al conocimiento claro de

todo aquello que entrará en el círculo de sus experiencias.

Estas palabras son las de Enrico Pestalozzi, el hombre que fue llamando “ el

Beethoven de la educación”. Son consideraciones expuestas en su obra Cómo

Gertrudis instruye a sus hijos, escrita en 1801. Suenan tan dulces y vivas que es

casi una irreverencia comentarlas; mas lo debemos hacer porque adquirirán, a la

luz de la historia de la pedagogía, un relieve aún mayor.

Aquí se habla de actividad, de energía activa y de intuición. Mientras que los dos

primeros términos son claros, el término intuición es siempre vago y tiene varias

interpretaciones. Veamos el significado etimológico de la palabra “intuición”. Intueri

significa mirar adentro, mirar con atención; en su origen, el significado era estático:

significaba contemplar la verdad en sentido platónico. Este significado ha

evolucionado y de estático ha llegado a ser dinámico; ya en Roisseau, pero sobre


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todo en Pestalozzi, la intuición nace del trabajo en el sentido de una operación. La

intuición es una construcción.

El término intuición se encontrará frecuentemente en nuestro discurso, sobre todo

tratándose de la enseñanza de la geometría intuitiva; es por esto que hemos

querido precisar los dos significados que conducen en modo diverso a la

enseñanza de un primer curso de geometría.

Escuchemos una vez más a Comenius: “ El conocimiento debe, necesariamente,

empezar a través de los sentidos ─ si es verdad que nada puede ser objeto de

comprensión si no ha sido primero objeto de sensación. ¿Por qué, entonces,

empezar la enseñanza con una exposición verbal de las cosas y no con una

observación real de ellas? Solamente cuando esta observación de la cosa haya

sido hecha, la palabra podrá intervenir para explicarla con eficacia.”

No es distinto lo que sostiene Pestalozzi: “ Cada estudio científico cuyas

definiciones han sido evocadas del alma de los muchachos como un deus ex

machina o que le han sido murmuradas al oído como por un apuntador de teatro,

no tiene mayor valos que el del estudio destinado a producir míseros comediantes.

Cuando las fuerzas fundamentales del espíritu humano son adormecidas y sobre

su sueño no son vertidas más que palabras vanas, no se pueden formar sino

soñadores, los cuales sueñan sombras tanto más vanas cuanto más grandes y

pretensiosas sean las palabras volcadas sobre la miseria y el fastidio de su alma…

Las descripciones deben preceder a las definiciones. Si cualquier cosa está clara

para mí, eso no significa que yo la pueda definir, que solamente yo la pueda

describir; puedo decir con precisión cómo está hecha, mas no qué cosa es.”

No hace falta poner al alumno en condiciones de inferioridad; descorazonarlo con

una “didáctica catedrática”, con una enseñanza verbal, porque así su aprendizaje

será pasivo. Mediante la experiencia directa, la actividad, la concepción por sí sola

a través de los sentidos, de las cosas y de las operaciones sobre las cosas, es

como le nacerá el concepto, primero vago y apenas esbozado, después más

preciso, consistente, claro y universal.

Hombres….

Los conceptos de Comenius y de Pestalozzi surgen de las necesidades de la

sociedad, y en la sociedad se experimentan, se concretan, se generalizan hasta

asumir un sentido preciso y desarrollarse con seguridad y confianza, donde fuese

siempre iluminada por aquellos principios fundamentales. En sus obras se ven,

aunque no explícitamente enunciados, aquellos conceptos de psicología científica

que constituyen los fundamentos de los modernos métodos didácticos, y que han


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conducido a considerar la didáctica de cada materia como una ciencia en sí, cuya

base está en el estudio de la estructura mental del educando.

Decroly y Montessori: Los principios de la Pedagogía Científica

Comenius había indicado la necesidad de desmenuzar un programa unitario a lo

largo de todo el curso de estudios, en determinados “ciclos”, cada uno de los

cuales debíase reanudar, con miras más amplias, con los mismos temas

desarrollados en el ciclo precedente; Pestalozzi había insistido en la constante

actividad por parte del alumno y aclarado el concepto de intuición como

construcción. Ambos se habían lanzado contra una enseñanza verbal

nemotécnica y por tanto retórica, y habían exaltado el método natural, el método

que sostiene a los sentidos como el instrumento necesario para la precisión. El

desarrollo de los órganos de los sentidos lleva el desarrollo de las facultades

perceptivas y, por tanto, en segunda instancia, a la observación.

De esto parten, con miras diversas y por direcciones opuestas a distancia de un

siglo de publicación de Cómo Gertrudis instruye a sus hijos, dos grandes artífices

de la pedagogía científica: María Montessori y Ovide Decroly. Los métodos de

estos educadores señalaron al principio de nuestro siglo, una línea de acción

particularmente significativa para la enseñanza de las materias científicas. A los

métodos se les condujo al estudio de los niños, tanto intelectual o psíquicamente

anormales; para éstos, era evidente que se debía hacer hincapié no sobre la

facultad intelectual, sino sobre la respuesta de los sentidos; se debía pues, partir

de los concreto.

Por esto fueron estudiados desde sus detalles los tipos de material de

experimentación que podían ejercitar una acción sobre los sentidos y por reflejo,

sobre la mente. Las correlaciones sensitivo-mentales, esto es concreto-abstracto,

eran datos y sujetos, moderados o anormalmente acelerados. De todos modeos,

era una vía de investigación científica para llegar a la inteligencia y por el estudio

de esta misma, oportunamente modificada, para poder aplicarse también a los

niños normales con el propósito de acelerar y hacer más claro el proceso de

adquisición que, a menudo, era largo y tedioso. El problema médico y psiquiátrico,

se transforma, independiente uno del otro, en problema pedagógico; de médicos

se derivaron a pedagógicos.

Su atención se dirige particularmente a la edad preelemental y a la elemental.

Demos un caso de las dos metodologías en un ejemplo particular: la adquisición

del concepto de número, de los primeros números que son los naturales.


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Escogimos este tema por considerarlo un poco fuera del tiempo y de la historia, no

sujeto al ambiente en el cual se vive, rebelde, diríamos, a cualquier manifestación

de civilización y de progreso. El niño de hoy, al que nuestros abuelos no podrían

reconocer, porque a los dos o tres años es en muchos aspectos un hombre

pequeño en miniatura, tan habituado a los últimos descubrimientos hechos en el

mundo de la técnica que los considera como patrimonio natural, se encuentra en

cuanto respecta al número” de uno a dos a tres”, como se encontraban los niños

de hace milenios; como se encuentran los niños de los pueblos primitivos.

“ De uno a dos de dos a tres”: en las metodologías anteriores, a la de Montessori y

la de Decroly, también apoyándose en la ayuda de los sentidos, no se ponía

acento en el paso de número a número, sino que se insistía en la percepción de

un determinado número; no hay “de uno a dos o de dos a tres”; más bien hay “uno

o dos o tres”

Así por ejemplo, para dar la idea del número 3 se mostraba un esquema gráfico de

este tipo ( tres puntos) para dar la idea del número, 5 se presentaban 5 puntos.

Pero existía allí el paso de número; no se insistía, a saber sobre operaciones, al

principio manuales, que se debían hacer para pasar de un número a otro. Se

trataba entonces de una didáctica basada en la percepción de transformaciones,

de operaciones, Se tenía el concepto de intuición como contemplación, no como

construcción activa.

El mérito de Montessori y Decroly es el de haberse inspirado en la concepción

pestalozziana de la intución y haberla desarrollado para la didáctica da cada

disciplina, en particular de las matemáticas.

Para darnos cuenta del proceso mental con que el método Montessori hace

trabajar al niño, consideremos la adquisición del concepto de número. Si damos al

niño unas reglillas de madera, de longitud diferente: una de 10 centímetros, una de

20 y otra de un metro; éstas materializan los diez primeros números. Cada reglilla

tiene franjas en color, alternando el rojo y el azul de longitud constante (10 cm),

correspondiente a la dimensión de la reglilla más pequeña; cada reglilla

representa entonces un número, el número es así la medida de la reglilla. Con

estas reglillas se forman los números, por ejemplo, poniendo enseguida de la

reglilla “2” la reglilla ”3” el niño construye y verifica por sí mismo, <<es largo como

la reglilla “5”; el número 5 es, entonces, la suma de 2 y 3>>, o bien 1 + 4. Se

comprende que con este procedimiento no sólo hay percepción pasiva de una

imagen, hay también construcción, se opera. Se trata de un método activo-

sintético, sintético porque es constructivo; de los elementos se pasa al conjunto, a

lo global.


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El método del belga Decroly, pudiéndose también aproximar al de Montessori,

porque también es operativo, difiere sustancialmente por la idea y los medios de

operación. El método de Decroly es este: la mente del niño no es atraída por el

detalle del elemento, de la unidad, pero sí de una vista en conjunto, del todo. Por

tanto, Decroly no pone en la mano del niño material para construir, pero sugiere

por los puntos que se tratan, los fenómenos naturales más adecuados que lo

conducirán a medir y a contar. Es el análisis que hace un aturalista el que Decroly

sugiere al niño; de la observación global lo conduce a la descomposición del

fenómeno, al análisis. De lo complejo se pasa a lo simple; el método de Decroly

es activo-analítico.

Comenius tenía ya indicado en su Didáctica magna que se debe partir de la

generalidad para llegar a los detalles, pero el gran mérito de Decroly es el de

haber demostrado con investigaciones psicológicas que lo global es un proceso

intelectual típico del niño pequeño, y de haber aplicado de lleno estas ideas a la

enseñanza de una materia un particular.1

Los métodos Montessori y Decroly se inspiran entonces, de distinta manera, en las

concepciones de Comenius y de Pestalozzi. Estos métodos tienen como finalidad

el paso de lo concreto a lo abstracto, con la preparación de ejercicios que

conduzcan a medir y a contar. Un meticuloso examen de los procedimientos

propuestos por los dos pedagogos para el paso de lo concreto a lo abstracto, nos

hace concluir que entre ellos hay una laguna, por lo que se refiere a la didáctica de

las matemáticas.

Decroly lleva la atención del niño hacia la variación de un fenómeno, por ejemplo,

el crecimiento de una planta, que es fenómeno natural; por tanto las variaciones

son continuas. Se trata pues de una función continua siempre limitada, dado que

hay un principio y un fi, un nacimiento y una muerte, ya que el objeto considerado

es precisamente un fenómeno natural. Por tanto, el niño no está capacitado de

manera extraordinaria para “concebir imaginativamente”, idealizando el objeto

mismo. “La observación dice Decroly, conduce a establecer un puente entre el

mundo y el pensamiento” es decir, entre lo concreto y lo abstracto.

Estamos perfectamente de acuerdo con estas ideas, pero comprendemos que se

deben separar los fenómenos de la naturaleza si queremos llegar a la abstracción.

1 Con la psicología de la forma, el globalismo de Decroly precisa, todavía más, sus bases científicas; la psicología gestatl

aporta un nuevo instrumento de investigación para el estudio de las estructuras mentales del niño dando una importante contribución a la pedagogía. Este tema se puede consultar también en David Katz, La psicología de la forma, Espasa Calpe, Madrid, y en el folleto de Egle Becchi, La pedagogía della Gestatl, Florencia, La Nueva Italia, 1961.


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En el método Montessori, en cambio, la experiencia matemática no se ejercita

sobre fenómenos de variación continua, pero si procede de modo discontinuo;

como se trabaja con material, idealizándolo. Se puede, por ejemplo, trabajando

con las reglillas rojas y azules, pensar en agregar siempre una y así llegar

consecuentemente a la idea de lo infinito.

En este sentido, el método Montessori es más matemático que el método Decroly;

en el de Montessori, en cambio, no hay el concepto de continuidad, pero se puede

llegar al concepto de infinito.

Podemos concluir que en ambos métodos falta “una cierta cosa” para que se

consideren como métodos para introducirse de lleno en el mundo matemático; es

aquella “cierta cosa” la que conduce a la intuición propia del matemático.

Jean Piaget: Didáctica Psicológica

Hemos visto cómo los métodos de Montessori y Decroly siguen caminos

didácticos opuestos; ambos son activos, pero el primero es un método sintético, el

segundo es analítico; tales métodos han sido criticados por la psicología moderna.

Veamos por qué. Los materiales y los útiles que ofrecen al niño Montessori y

Decroly tienen por objeto facilitar el paso de lo cuantitativo a lo cualitativo, al

número y a la medida; “manipulando” lo cualitativo, introducen poco a poco lo

métrico y lo numérico; medida y número son “unidos” a aquel concreto

determinado. El niño es obligado a seguir ciertos pasos que le son sugeridos, si no

por el maestro, por el material mismo con el cual trabaja.

Entonces, esta pedagogía no es libre. Justamente la libertad de la construcción

matemática que quiere alcanzar la metodología, está basada en la experiencia

psicológica del suizo Jean Piaget.

La concepción que tiene Piaget del material, o mejor dicho del recurso al objeto y

a la acción, es notablemente distinto de la de los pedagogos que hemos

mencionado; más bien, la evolución del significado de base concreta que

encontramos en Piaget es esencialmente diferente debido a una critica hacha a

las dos metodologías precedentes. Para Piaget, el material no debe servir de tema

para hacer sentir la necesidad de número o de la medida, sino servir de tema para

hacer sentir la necesidad del número o la medida, sino servir en el desarrollo de

ciertas leyes que después serán necesarias en la adquisición de un concepto

matemático, por ejemplo, para formación del número; dichas leyes, a menudo

erróneamente, se consideran como patrimonio del niño desde la más tierna edad.

Piaget ha organizado durante un año una serie de experiencias con millares de

niños, en un coloquio singular con maestros especializados, de esto han surgido


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las dificultades y las incomprensiones de los niños hacia dichas leyes, sin las

cuales es imposible construir el edificio matemático.

Hablaremos de algunas experiencias que conducen a la formación del concepto

de número y del concepto de medida y que se refieren a la edad preelemental;

tales experiencias han sido establecidas por millares de niños y por tanto nos

aportan datos de abundancia.

Experiencia de la conservación de los conjuntos

Se presentan al niño dos recipientes cilíndricos de vidrio iguales, conteniendo uno

agua roja y otro agua azul al mismo nivel. El agua del segundo recipiente se pasa

a un tercero siempre de vidrio, mucho más alto y más angosto, y se pregunta al

niño si el primero y el tercer recipiente contienen la misma cantidad de líquido.

La respuesta es negativa en los niños de hasta 5 años. Ellos dicen: “contiene más

el tercero porque el agua llega más arriba”.

Si el agua del segundo recipiente se vierte en dos o tres vasos pequeños, los

niños dirán que estos vasos contienen más agua “ porque son muchos”

La misma experiencia puede hacerse con cantidades discontinuas, con bolitas

rojas y azules que el niño puede colocar y pasar en varios recipientes; pero el

resultado es siempre el mismo, la comprensión por el pequeño es exclusivamente

de carácter perceptivo.

Solamente hasta los 6 años se tiene la conservación del conjunto; el niño sonríe

ante la pregunta que se le hace y dice: “ claro que la cantidad de agua es la

misma, bastaría volver a verterla nuevamente al primer recipiente para ver que el

agua llega siempre al mismo nivel”. He aquí que ahora el niño posee la ley de la

reversibilidad.

De este género de experiencias, resulta que no es posible que el niño comprenda

el concepto de número, ya que le falta la ley de conservación de conjuntos, esto

es la ley de variación del número.

Experiencia del ordenamiento en serie

Para formar el concepto de número, es necesaria también una condición de orden;

el niño debe estar en posibilidad de poder ordenar en sucesión los elementos, y

esto no se obtiene sino hasta los 5 o 6 años.

La experiencia es la siguiente: se da al niño cierto número de palitos ─con forma

de paralelepípedo de igual base─, que difieran un poco uno del otro, por ejemplo


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en un cm y se le ordena ponerlos en escala, por orden de altura. El adulto que no

ha visto jamás hacer esta experiencia permanecerá maravillado viendo cómo le

resulta difícil; a los niños mas pequeños podrán confrontar dos palitos y basta;

otros, un poco mayores, podrán agrupar unos pocos palitos. A los 5 o 6 años, es

cuando el niño encuentra el método; comienza a escoger el más pequeño y lo

confronta con todos los otros, después…

Se comprende cómo es necesario posser esta ley de continuidad para poder

construir el número; porque el 2 está comprendido en el 3, y el 3 en el 4, etc.

Experiencia sobre la correspondencia biunívoca

Generalmente, se afirma que el niño posee el número si ha comprendido la ley de

la correspondencia biunívoca; Piaget prueaba con una experiencia, ahora ya

clásica, que esto no es cierto, la correspondencia puede representar para el niño

sólo un hecho perceptivo.

He aquí la experiencia. Utilizamos dos conjuntos de fichas de tamaño igual, unas

de color rojo y otras de color azul. Se disponen sobre una mesa 6 fichas rojas

alineadas a cierta distancia una de la otra; se le dice al niño que coloque otras

tantas de color azul. Con ello podemos observar ahora tres estados de la

comprensión infantirl; los más pequeños, hasta los 4 años y medio, juzgarán

simplemente la cantidad del espacio ocupado; dispondrán las fichas azules cerca

unas de las otras, sin correspondencia, pero de modo que se forme la misma

longitud realizada por las fichas rojas. Este estado es pronto superado

posteriormente por una correspondencia; el niño colocará una ficha azul en

correspondencia con cada ficha roja. En este punto es cuando decimos que el

niño posee la correspondencia biunívoca, y también el número, al menos por la

acción de manipulación operatoria. Pero si separamos las fichas de su conjunto,

una de la otra insistiendo sobre el hecho de que no se suprima ni se añada

ninguna, el niño dirá que las fichas azules no son tantas como las rojas. La

correspondencia era, por tanto, sólo una forma perceptiva, cuando llega a faltar la

correspondencia visual no hay más equivalencia para el niño. Solamente a los 5 ó

6 años el niño admitirá que la equivalencia perdura, cualquiera que sea la figura

geométrica formada por las fichas.

Piaget demuestra con investigaciones psicológicas que la construcción del número

por parte del niño no puede hacerse, si antes no se han asimilado ciertas leyes.

De las experiencias logradas en gran escala, resulta que estas leyes y, por tanto,

el concepto de número, no se forman sino a una cierta edad.


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“Si se quiere llegar después, dice Piaget, al concepto de medida, se habrá

lesionado la naturaleza del todo cualitativa, de las nociones primitivas”

Comencemos por referirnos a las experiencias realizadas con niños de tierna edad

(de 2 a 3 años), y que parecen extrañas desde el punto de vista matemático. Son

experiencias que se tornan evidentes haciendo copias de dibujos del cuadrado,

del circulo, del triángulo o del rectángulo, todos son copiados por el niño como

figuras redondas. Se dirá que es la dificultad manual que no permite al niño dibujar

las figuras de otro modo. Pero pronto nos damos cuenta que el niño copia de

diferente manera una cruz, por ejemplo. Esto significa que el niño se da cuenta de

las formas cerradas y de las formas abiertas.

Así, si se dibujan dos círculos uno dentro del otro, uno fuera del otro, secantes, el

niño copiará con escrupulosa exactitud la posición reciproca.

Son entonces formas topológicas las que afectan primero toda su atención; la

percepción euclidiana viene después, hacia los 4 años.

Hablemos ahora de las leyes que conducen a la medida y hagamos dos

experiencias; una que pone en evidencia “la no conservación de la longitud” y la

otra “ la no conservación de la superficie”.

1. Se colocan sobre una mesa dos muñecos a una cierta distancia uno de

otro; ponemos después un cartón grueso entre los dos, y entonces se

pregunta al niño si los muñecos están a la misma distancia que al principio.

Los niños de tierna edad dirán que la distancia ha cambiado, que ahora los

muñecos están más cercanos. Y si en el cartón abrimos una ventanilla,

dirán que cuando se abre ésta el espacio es el mismo, pero cuando se

cierra es menor.

Estas observaciones son verdaderamente muy extrañas; el error quizá

pueda ser explicado pensando en el sentido que los niños le dan a la

palabra “espacio”. Espacio para el niño, es espacio vacío; es una región en

donde uno puede extenderse. Si ponemos un cartón, el espacio vacío

disminuye. Es interesante observar que el concepto que tiene el niño del

espacio, corresponde tal vez al significado etimológico de la palabra, a la

cual muchos lingüistas le atribuyen el significado original de extensión.

2. Del mismo tipo es la interesante experiencia de la no conservación de la

superficie. Se presentan al niño dos cuadrados iguales de cartón verde;

éstos representan dos prados, si ponemos sobre ellos dos vacas pequeñas

de juguete, y se pregunta: ¿Tienen las vacas la misma cantidad de hierba

para comer?” el niño responderá afirmativamente. Después, sobre el


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primero de estos cartones, y precisamente en el centro , se coloca un

pedazo pequeño de cartón color marrón y se dice al niño que éste

representa una casa . Ahora se le pregunta: “¿Tienen las vacas la misma

cantidad de hierba para comer?”. El niño estará de acuerdo en que la vaca

del primer prado tiene menos hierba para comer porque ahí está el espacio

ocupado por la casa. Pero, aquí radica el hecho psicológicamente

interesante, si se coloca también un pedazo pequeño de cartón color

marrón, igual al primero, en un ángulo en lugar de colocarlo en el centro, los

niños comenzarán a confundirse y responderán que ahora el espacio libre

que tiene la vaca para comer no es el mismo porque cuando la casa está

en un ángulo, la vaca tiene más espacio y tiene más que comer.

Errores de este género son atribuibles, ya sea al significado que se da

comúnmente a la palabra espacio ─si, por ejemplo , en un cuarto, una

mesa está colocada en un rincón, en lugar de estar colocada en el centro,

decimos que hay más espacio─, ya sea a la confusión que el niño tiene

entre la noción de superficie y la de perímetro. Tal vez se deba, sobre todo,

a que para llegar a la conclusión de que las vacas tienen la misma cantidad

de hierba para comer, le hace falta comprender que los dos prados son

equivalentes en cuanto son diferencias de polígonos iguales dos a dos, lo

que exige de la facultad de abstracción.

Se concluye que no es posible formar el concepto de medida sino hasta

que no existan las leyes de conservación, y estas leyes el niño no las

comprende sino hasta los 6 años.

De estas experiencias, hemos referido solamente algunas que nos parecen

particularmente significativas, para que se comprenda el sentido que Piaget

da al material. La función del material es para Piaget exclusivamente

operativa; son las transformaciones de configuración a configuración sobre

las cuales debe fijarse la atención y la actividad del niño, y no las

configuraciones mismas, de las cuales más bien debe liberarse poco a

poco.2

De las investigaciones hechas con millares de niños, Piaget deduce que en

el niño nacen primero las estructuras topológicas, después casi

simultáneamente, las de tipo algebraico, por ejemplo, la reversabilidad de

las acciones; posteriormente, nacen las de orden, por ejemplo, la capacidad

de disponer de las reglas de sucesión.3

2 Para un material que tiene estos fines, el lector puede encontrar muchas ideas en el folleto de J.Piaget, B.

Boscher, A. Chatelet, Introducción al cálculo. Puede consultarse también el folleto de C. Gattegno, Guía introducción para los núemros en colores. Neuchatel, Delachaux y Niestlé, 1961. 3 Estas ideas de Piaget se encentran expuestas en su artículo, publicado en el libro La enseñanza de las

matemáticas, de J. Piaget, J. Dieudonné, A. Lichnerowtgz, G. Choquet, C. Gattegni. Aguilar , Madrid.


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Ahora bien, aparte del interés psicológico, el hecho verdaderamente notable

es que tales estructuras corresponden a aquellas sobre las cuales, según la

escuela de Bourbaki,4 está basada toda la estructura matemática. Esta

correspondencia entre el nacimiento de los primeros conceptos

matemáticos en la mente del niño, es fundamento de la matemática

moderna, que pone como base del edificio un sistema operatorio, lo que

nos debe hacer recapacitar ya que tiene sus reflejos en la didáctica.

Las experiencias de las cuales hemos hablado se refieren a la edad

preeemental; pero los trabajos de Piaget se extienden también hasta el

periodo elemental, y en un libro suyo De la lógica del niño a la lógica del

adolescente,5 considera en particular el periodo del cual nos ocupamos,

esto es, la edad de la preadolescencia. En este último trabajo Piaget

investiga sobre la comprensión de algunas experiencias en física por parte

de los jóvenes, tales como la igualdad de los ángulos de incidencia y de

reflexión, los vasos comunicantes, el equilibrio de un cuerpo sobre un plano

inclinado, las condiciones de equilibrio de una balanza. La comprensión de

estas experiencias, es decir, su interpretación y traducción en fórmulas,

exige facultades analíticas y sintéticas que en general, un muchacho no

posee sino hasta los 14 o 15 años.

Según Piaget la diferencia esencial entre el pensamiento del niño y el del

adolescente, es que el niño hace relación a lo real, en lo referente a leyes,

según la experiencia de lo que tiene ante sus ojos, mientras que el

adolescente hace referencia a casi todo lo que no ha visto realizado en la

experiencia, y puede moverse por tanto en un sistema hipotético-deductivo.

Y tal parece como si en la mente del muchacho naciese, en un cierto punto,

un esquema anticipado que le permite acertar y proveerse de las leyes.

Varios trabajos de la Escuela de Ginegra se inspiraron en las ideas de

Piaget, entre otros, los libros de Louis Johannot: El razonamiento

matemático del adolescente, y de Hans Aebli: Didáctica psicológica;

aplicación a la didáctica de la psicología de Jean Piaget,6 libros que tratan

en particular la edad de la preadolescencia. Esta escuela de “didáctica

psicológica”, basada sobre estudios de psicología infantil, se ha designado

con el nombre de didáctica genética, porque no se limita a estudiar las

reacciones de un periodo aislado de la infancia, sino que analiza, desde su

nacimiento, la formación de los conceptos y las operaciones en la mente del

4 Sobre las ideas de Bourbaquistas y su matemática moderna, véase en particular, “ las matemáticas de ayer

y hoy” del capítulo 2. 5 B. Inhelder y J. Piaget, De la logique de Venfant a la logique de Vadolecent, París, 1955. Presses

Universitairesde France. 6 Neuchatel, Delachaux y Niestlé, 1947 y 1951


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niño. Esto es extremadamente importante a los fines de la enseñanza:

“didáctica general”, dice Aebli en la introducción de su libro, “estudia los

caracteres fundamentales de los procesos formativos y de ellos deduce los

principios metodológicos sobre los cuales debe basarse la enseñanza”.

La idea fundamental de esta escuela es que el interés del niño no sea

atraído por el objeto material en sí o por el ente matemático, sino más bien

por las operaciones sobre el objeto o sus entes. Operaciones que,

naturalmente, serán primero de carácter manipulatorio para después

interiorizarse y posteriormente, pasar de lo concreto a lo abstracto. “Recurrir

a la acción”, dice Piaget en el prefacio escrito para el libro de Michael

Margot,7 “no conduce del todo a un simple empirismo, al contrario, prepara

la deducción formal ulterior, con tal que se tenga presente que la acción,

bien conducida, puede ser operatoria, y que la formalización más

adelantada lo es también.”

La primacía de las operaciones en el desarrollo de las estructuras mentales

nos conduce a la necesidad de una pedagogía nueva, a una enseñanza

activa basada sobre ellas.

Repitamos que las experiencias de Piaget se refieren en particular a niños

pequeños; es sobre todo para la edad preelemental y elemental para la cual

estas experiencias han sido organizadas sobre larguísimas ecalas y, por

tanto, no están exentas de críticas, ellas nos dan una base sólida para una

didáctica psicológica de las matemáticas en esas edades. Para el periodo

de la preadolescencia, hace poco se han hecho estudios, ya sea por la

Escuela de Ginebra, ya sea por otras escuelas.8 Como quiera que sea, nos

parece que el camino a seguir está claramente delineado por las palabras

de Piaget: “El recurso de la acción.”

Veremos cómo en el Capitulo 3, en particular en “el paso de los concreto a

lo abstracto”, esta línea de traajo sugerida por la psicología, coincide en

modo impresionante con las ideas fundamentales de las matemáticas

modernas que, partiendo de concepciones del todo diversas, colaboran, en

forma armónica, sugiriendo un programa orgánico y un método de

enseñanza de las matemáticas en la edad de la preadolescencia.

7 Michael Margot. L’école opérante, Psychopédagogie de l’élaboration mathématique. Neuchatel, Delachaux

y Niestlé, 1960. 8 Muy interesante es el trabajo del inglés Z. P. Dienes; véase en particular, el folleto Costruiano la

matematica. Publicado por la Organizzazioni Speciali”, 1962.

De la didactica general a la didactica especial

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