Curvas Conicas y Cicloides

8/8/2019 Curvas Conicas y Cicloides

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Bienvenidos


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CURVAS CNICAS

elipse parbola hiprbola


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Teorema de Dandelin

La generacin tridimensional de las cnicas, lleva consigousando el teorema de Dandelin que se enunciar acontinuacin, la aparicin de ciertos elementos de las cnicascomo son los focos o directrices, cuyo origen no se habaexplicado hasta ahora. El teorema de Dandelin se enuncia as:Dada una superficie cnica y un plano que la seccionaformando una cnica, siempre se pueden dibujar una o dosesferas (una en el caso de la parbola como se ver)tangentes interiores a la superficie cnica y al plano de corte.

El teorema sigue diciendo: Los puntos de tangencia delas esferas (o esfera) con el plano de corte, son los focos (o elfoco) de la cnica, y las circunferencias interseccin de las

esferas con la superficie cnica hacen que los planos quepasen por dichas circunferencias, corten al plano de corte endos rectas (una en la parbola) que son las directrices de lacnica. Se aplicar a continuacin el teorema de Dandelin acada una de las cnicas.


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ParbolaSe llama parbola a la curva abierta generadapor un punto de tal modo que en cualquierposicin, su distancia a un punto fijo llamado

foco de la parbola es siempre igual a sudistancia fija llamada directriz.
http://tmp/svj2m.tmp/pag/1/1/1.htm


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definicin

=

=

=+

1

1

0

1

2

0

22

1

2

1)(

x

yay

x

ax

bybx


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Tangente por un punto dela parbola

Segn se desprende dela generacin, paradeterminar la tangentea la la parbola en unpunto P de ella, bastaproyecta este puntosobre la directriz (Q en

la figura) y trazar lamediatriz del segmentoFQ.
http://tmp/svj2m.tmp/pag/1/1/tp.htm


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punto cualquiera a laparbola

Dada una parbola y unpunto cualquiera delplano M tracemos lacircunferencia de centroM y radio MF.Esta circunferenciapuede cortar a ladirectriz en dos puntos,(P y Q en la figura) unoo ninguno, por cada

interseccin hay unatangente que es lamediatriz del segmentodefinido por cadainterseccin y el Foco F.
http://tmp/svj2m.tmp/pag/1/1/tp2.htm


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Teorema de Dandelin en laparbola

El plano de corte, cortar a las generatrices representadas en un nico punto V

que ser el vrtice de la cnica (Fig. 7). Dibujando la nica circunferencia (esfera)tangente a la recta que representa al plano de corte, y a las generatrices, se obtienenla solucin dibujada.

El punto de tangencia de la circunferencia con el plano de corte es el punto Fque ser el foco de la parbola. Los puntos de tangencia con la superficie cnicarepresentan a la circunferencia de la solucin tridimensional. T1T2 sera la nicacircunferencia.

Prolongando el segmento T1T2 que sera la representacin bidimensional delplano que pasa por la circunferencia, esta prolongacin corta al plano de corte en d quesera una recta perpendicular al papel, directriz de la parbola que es nica.


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Elipse

Se llama elipse a la curva cerrada generada porun punto que se desplaza sobre un plano de talforma que en cualquier posicin la suma de sus

distancias con respecto a dos puntos fijosllamados focos de la elipse es una constante igual

al dimetro mayor.


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Circunferencia focal de la elipse

Este problema se basa en el conceptode circunferencia focal de una elipse.Para cada punto Pde la elipsetomemos sobre la semirrecta quecontiene al radio vector PF un puntoQ tal que la longitud del segmento PQsea igual a la del radio vector PF.

Puesto que la suma de las longitudesPF+ PF es constante e igual a 2a, PF + PQ = PF + PF= 2a, el lugargeomtrico de los puntos Q obtenidosal variar el punto Psobre la elipse esuna circunferencia de radio 2a y

centro F, que se llama circunferenciafocal. Existe una para cada foco. Elsegmento PQ = PFes la distancia delpunto Pa la circunferencia focal.Como consecuencia de esto podemosdar como definicin de elipse lasiguiente.
http://tmp/svj2m.tmp/pag/1/1/2.htm


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Dimetros conjugados de laelipse

Como en el caso de la circunferencia, se denominadimetro de la elipse a una cuerda de la misma que pasepor el centro. Como en el caso de la circunferencia, uniendolos puntos medios de dos cuerdas paralelas se obtiene una

recta que pasa por el centro de la elipse, pero a diferenciade la circunferencia, esta recta no es perpendicular alascuerdas.


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Tangente en punto de laelipse

Consideramos una elipse defocos G y F, y constante 2a,

segn hemos visto en lageneracin, la tangente esla mediatriz del segmentoPF siendo P el punto de lacircunferencia focalasociado al punto detangencia. El conocimientode P determina de modoinmediato el de la tangente.
http://tmp/svj2m.tmp/pag/1/1/te1.htm


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Tangentes a la elipse porun punto cualquiera

Basta que tracemos lacircunferencia de centro M y

radio MF (en gris). Lasintersecciones (dosmximo) con lacircunferencia focal (enazul) son los puntos P y Qque permiten trazar lastangentes como mediatricesde PF y QF.
http://tmp/svj2m.tmp/pag/1/1/te2.htm


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El plano de corte, cortar a lasgeneratrices representadas en lospuntos A y B que sern los vrtices dela cnica (Fig. 5). Dibujando lascircunferencias (esferas) tangentes ala recta que representa al plano de

corte, y a las generatrices, seobtienen las dos soluciones dibujadas.Los puntos de tangencia de lascircunferencias con el plano de corteson los puntos F1 y F2 que sern losfocos de la elipse. Los puntos de

tangencia con la superficie cnicarepresentan a las circunferencias queseran en la solucin tridimensional.T1T2 sera una circunferencia y T3T4sera la otra circunferencia.

eorema e an e n en aelipse


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HiperbolaSe trata de una curva abierta generada por un punto que semueve de tal forma que en cualquier posicion la diferencia

de sus distancias desde dos puntos fijos llamados focos de lahiperbola sea una constante igual al eje transversal(distancia

de sus vertices).


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Hiprbola


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Tangente a la Hiperbola

d d li l


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Teorema de Dandelin en lahiprbola El plano de corte, cortar a las generatrices representadas en los

puntos A y B que sern los vrtices de la cnica Dibujando lascircunferencias (esferas) tangentes a la recta que representa al planode corte, y a las generatrices, se obtienen las dos soluciones dibujadas.Los puntos de tangencia de las circunferencias con el plano de corte sonlos puntos F1 y F2 que sern los focos de la hiprbola. Los puntos detangencia con la superficie cnica representan a las circunferencias queseran en la solucin tridimensional. T1T2 sera una circunferencia y

T3T4 sera la otra circunferencia.


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Demostraciones


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Figuras Cicloidales

Uno puede definirlos de una manerageneral como la trayectoria de losmovimientos que se componen de

dos movimientos uniformes,circulares o rectilneosLa propiedad de ser braquistcrona:La Cicloide tiene, adems, la propiedad de ser la curva dedescenso ms rpido. Esto quiere decir que si un punto sedesplaza en cada libre desde un punto ms alto, A, hasta otroms bajo, B, la curva por la llega antes al punto B es,precisamente, la Cicloide. Este descubrimiento se hizo tambinen el siglo XVII, al haber planteado Johann Bernouilli el entoncesllamado "Problema de la braquistcrona".

Propiedad de tautocronaPropiedad de tautocrona


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CicloideLa cicloide es el lugar descrito por un punto asociado a una

circunferencia de radio R a distancia R del centro de lacircunferencia, que rueda sin deslizar sobre una recta; segn

que el punto generador est en la circunferencia, en elinterior o en el exterior del crculo limitado por ella, es decir,segn que el valor de sea 1, menor que 1 o mayor que 1,

obtenemos la cicloide, la cicloide acortada o la cicloidealargada.


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Cicloide normal

Es la curva que describe un punto P de una circunferencia que rueda sobre una rectaCicloide acortada

Es la curva que describe un punto P, interior de la circunferencia que rueda sobre la recta

Cicloide alargada

Es la curva que describe un punto P, exterior de la circunferencia que rueda sobre la recta

Cicloide


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Para lograr que la lenteja se mueva describiendouna cicloide Huygens se las ingeni mediante unade las propiedades geomtricas de la cicloide Si secuelga el pndulo con una cuerda de longitud 4R yse instala a ambos lados del punto de apoyo unacicloide como extremos, entonces la lentejadescribe una cicloide igual. Sea cual sea laamplitud del movimiento oscilatorio el perodo es elmismo.

En el siguiente video se muestra como las esferascaen en el mismo tiempo sea cual sea su origen departida:


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EpicicloideSon curvas generadas por un punto de una circunferencia al

girar exteriormente y sin deslizamiento sobre otracircunferencia.

La curva generada depende de la relacin entre los radiosde ambas circunferencias.

Si los radios coinciden se obtiene la famosa cardioide y si lacircunferencia que gira tiene un radio de longitud la mitad

de la que no gira se obtiene la nefroide.


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Es la curva que describe un punto P de una circunferencia que rueda sobre el

exterior de otra circunferencia

Epicicloide


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HipocicloideSon curvas generadas por un punto de una circunferencia al

girar interiormente y sin deslizamiento sobre otracircunferencia.

La curva generada depende de la relacin entre los radiosde ambas circunferenciasl.

Si el radio de la circunferencia que gira es la mitad del radiode la grande (Radio/radio=2) se obtiene un segmento

rectilneo, si es la tercera parte se genera una deltoide, y enel caso Radio/radio = 4 se obtiene una astroide.


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Es la curva que describe un punto P de una circunferencia que rueda sobre elinterior de otra circunferencia

Hipocicloide


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Espiral de arquimedesMatemticamente la espiral de Arqumedes se definecomo el lugar geomtrico de un punto del plano quepartiendo del extremo de una semirrecta se mueve

uniformemente sobre ella, mientras que la semirrectagira tambin uniformemente sobre uno de sus

extremos.

------->Su ecuacin expresada en coordenadas polares es


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CONSTRUCCIN DE LA ESPIRAL DEARQUMEDES CONOCIENDO EL PASO

MM

La espirales una lnea curva que da vueltas alrededordeun punto alejndose de l gradualmente. Se denomina

paso a la distancia radial que existe entre dos vueltasoespiras consecutivas.Sea OMel paso de la espiral (Fig. 9):1 Se dibuja la circunferencia con centro en el punto Oy radio OM.2 Se divide esta circunferencia en un nmero de partesiguales, por ejemplo en 16, numerando cada uno deestos puntos 1', 2', 3', ...3 Se divide el segmento OMen el mismo nmero de

partes iguales en que se haya dividido lacircunferencia, es decir 16, numerando a partir delcentro todos los puntos 1, 2, 3, ...4 Se trazan las circunferencias concntricas con centroen el punto O y radios 01, 02, 03, ...5 Los puntos de interseccin de estas circunferenciascon los radios01', 02', 03', ...nos dan los puntosA,a, C, ... que, unidos a mano alzada o con plantilla,definen la espiral.


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Propiedades

n "El rea barrida por el radio de la espiral en suprimera revolucin es la tercera parte delrea del crculo cuyo radio es el radio final

de esta revolucin...""El rea barrida por el radio en la segundavuelta es 6 veces el rea de la primeravuelta"

"El rea barrida en la segunda revolucinest en razn 7/12 con el crculo cuyo radioes la posicin final del radio vector"


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Es la curva que genera un punto fijo de unarecta tangente a la circunferencia que ruedasin resbalar sobre la misma

F'' F' F

O

4

5

M-87

6

M'

M''

3

E

E''

E'

D'

D''

D

2

1

AB

B' B''

CA'

A''

C'

C''

Evolvente de la circunferencia


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Gracias por la atencin

Apolonio

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