Curso Resistencia de materiales [15153] · Equilibrio estático: ... La viga AB se encuentra...

17 de junio de 2019

Curso – Resistencia de materiales [15153]

Santiago de Chile, Junio 2019

1

Clase 11 – Circulo de Mohr

Plan de estudios - Ingeniería Civil en Mecánica

Profesores: Matías Pacheco Alarcón ([email protected])

Aldo Abarca Ortega ([email protected])

Ayudante: Estéfano Muñoz ([email protected])

17 de junio de 2019 2

E s f u e r z o s c o m b i n a d o s

റԦ𝜎 =

𝜎𝑥𝑥𝜏𝑦𝑥𝜏𝑧𝑥

𝜏𝑥𝑦𝜎𝑦𝑦𝜏𝑧𝑦

𝜏𝑥𝑧𝜏𝑦𝑧𝜎𝑧𝑧

Tensor de tensiones

𝜎𝑥𝑥

𝜎𝑧𝑧

𝜎𝑦𝑦

𝜏𝑥𝑧

𝜏𝑧𝑥

𝜏𝑦𝑧

𝜏𝑧𝑦

𝜏𝑦𝑥

𝜏𝑥𝑦

Estado triaxial

റԦ𝜎 =𝜎𝑥𝑥𝜏𝑦𝑥

𝜏𝑥𝑦𝜎𝑦𝑦

Tensor de tensiones

Estado Biaxial

𝜎𝑥𝑥

𝜎𝑦𝑦

𝜏𝑥𝑦

𝜏𝑦𝑥


𝜃

𝜃 𝜃F

FT

FN

𝜎𝑁 =𝐹𝑁𝐴′

=𝐹 cos 𝜃

𝐴/ cos 𝜃=𝐹𝑐𝑜𝑠2 𝜃

A𝜏𝑇 =

𝐹𝑇

𝐴′=

𝐹 sin 𝜃

𝐴/ cos 𝜃=

𝐹 sin 2𝜃

2𝐴

E s f u e r z o s c o m b i n a d o s : Cargas en planos inclinados


𝜃

𝜃 𝜃F

FT

FN

𝜎

𝜏

𝜏𝑦𝑥

𝜏𝑥𝑦𝜎𝑥𝑥

𝜎𝑦𝑦

𝜃




𝐹𝑥,𝑦 = 0

Equilibrio estático:

𝜎

𝜏

𝜏𝑦𝑥

𝜏𝑥𝑦

𝜎𝑥𝑥

𝜎𝑦𝑦

𝜃

𝐴′ sin 𝜃𝐴′cos𝜃

O G

H



𝐹𝑁 = 0 :

𝐻𝐺𝐹𝑁 = 𝑂𝐻𝜎𝑥𝑥𝐴′ cos 𝜃 − 𝑂𝐻𝜏𝑥𝑦𝐴′ cos 𝜃 + 𝑂𝐺𝜎𝑦𝑦𝐴′ sin 𝜃 − 𝑂𝐺𝜏𝑥𝑦𝐴′ cos 𝜃

𝜎𝐴′ =𝑂𝐻

𝐻𝐺𝜎𝑥𝑥𝐴′ cos 𝜃 −

𝑂𝐻

𝐻𝐺𝜏𝑥𝑦 𝐴′ cos 𝜃 +

𝑂𝐺

𝐻𝐺𝜎𝑦𝑦𝐴′ sin 𝜃 −

𝑂𝐺

𝐻𝐺𝜏𝑥𝑦 𝐴′ cos 𝜃

𝜎 =𝐻𝐺 cos 𝜃

𝐻𝐺𝜎𝑥𝑥 cos 𝜃 −

𝐻𝐺 cos 𝜃

𝐻𝐺𝜏𝑥𝑦 cos 𝜃 +

𝐻𝐺 sin 𝜃

𝐻𝐺𝜎𝑦𝑦 sin 𝜃 −

𝐻𝐺 sin 𝜃

𝐻𝐺𝜏𝑥𝑦 cos 𝜃

𝜎 = 𝜎𝑥𝑥 cos2 𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 cos

2 𝜃 + 𝜎𝑦𝑦 sin2 𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 sin 𝜃 cos 𝜃

𝐹𝑥,𝑦 = 0


𝜎

𝜏

𝜏𝑦𝑥

𝜏𝑥𝑦

𝜎𝑥𝑥

𝜎𝑦𝑦

𝜃


O G

H



𝐹𝑇 = 0 :

𝐻𝐺𝐹𝑇 = 𝑂𝐻𝜎𝑥𝑥𝐴′ sin 𝜃 − 𝑂𝐻𝜏𝑥𝑦𝐴′ cos 𝜃 + 𝑂𝐺𝜎𝑦𝑦𝐴′ cos 𝜃 − 𝑂𝐺𝜏𝑥𝑦𝐴′ sin 𝜃

𝜏𝐴′ =𝑂𝐻

𝐻𝐺𝜎𝑥𝑥𝐴′ sin 𝜃 −

𝑂𝐻

𝐻𝐺𝜏𝑥𝑦 𝐴′ cos 𝜃 +

𝑂𝐺

𝐻𝐺𝜎𝑦𝑦𝐴′ cos 𝜃 −

𝑂𝐺

𝐻𝐺𝜏𝑥𝑦 𝐴′ sin 𝜃

𝜏 =𝐻𝐺 cos 𝜃

𝐻𝐺𝜎𝑥𝑥 sin 𝜃 −

𝐻𝐺 cos 𝜃

𝐻𝐺𝜏𝑥𝑦 cos 𝜃 +

𝐻𝐺 sin 𝜃

𝐻𝐺𝜎𝑦𝑦 cos 𝜃 −

𝐻𝐺 sin 𝜃

𝐻𝐺𝜏𝑥𝑦 sin 𝜃

𝜏 = 𝜎𝑥𝑥 sin 𝜃 cos 𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 cos2 𝜃 + 𝜎𝑦𝑦 sin 𝜃 cos 𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 sin

2 𝜃

𝐹𝑥,𝑦 = 0


𝜎

𝜏

𝜏𝑦𝑥

𝜏𝑥𝑦

𝜎𝑥𝑥

𝜎𝑦𝑦

𝜃


O G

H



𝜎 𝜃 = 𝜎𝑥𝑥 cos2 𝜃 + 2𝜏𝑥𝑦 sin 𝜃 cos 𝜃 + 𝜎𝑦𝑦sin

2 𝜃

𝐹𝑥,𝑦 = 0


𝜎

𝜏

𝜏𝑦𝑥

𝜏𝑥𝑦

𝜎𝑥𝑥

𝜎𝑦𝑦

𝜃


O G

H

𝜏 𝜃 = 𝜏𝑥𝑦(cos2 𝜃 − sin2 𝜃 ) − 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 sin 𝜃 cos 𝜃

𝜎 𝜃 =𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦

2+𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦

2cos 2𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 sin 2𝜃

𝜏 𝜃 =𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦

2sin 2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 cos 2𝜃



𝑑𝜎 𝜃

𝑑𝜃= − 𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦 sin 2𝜃 − 2𝜏𝑥𝑦 cos 2𝜃 = 0

Los máximos esfuerzos se encuentran en ángulos en donde la derivada de los esfuerzos respecto al ángulo es nula:

𝑑𝜏 𝜃

𝑑𝜃= 𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦 cos 2𝜃 − 2𝜏𝑥𝑦 sin 2𝜃 = 0


E s f u e r z o s c o m b i n a d o s : Circulo de Mohr

Combinando las ecuaciones de esfuerzo normal y cortante:

𝜎 𝜃 =𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦

2+𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦

2cos 2𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 sin 2𝜃 𝜏 𝜃 =

𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦

2sin 2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 cos 2𝜃

𝜎 𝜃 −𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦

2

2

+ 𝜏 𝜃 2 =𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦

2

2

+ 𝜏𝑥𝑦2




2

2


2

2

+ 𝜏𝑥𝑦2

Centro: 𝐶 =𝜎𝑥𝑥+𝜎𝑦𝑦

2

Radio: R =𝜎𝑥𝑥−𝜎𝑦𝑦

2

2+ 𝜏𝑥𝑦

2

Ángulo de corte máximo: tan 2𝜃 =𝜎𝑥𝑥−𝜎𝑦𝑦

2𝜏𝑥𝑦

Ángulo de esfuerzo normal máximo: tan 2𝜃 = −2𝜏𝑥𝑦

𝜎𝑥𝑥−𝜎𝑦𝑦




2

2


2

2

+ 𝜏𝑥𝑦2

𝜎

𝜏

𝐶𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦

2

𝐴( 𝜎𝑥𝑥, 𝜏𝑥𝑦 )

𝐵( 𝜎𝑦𝑦, 𝜏𝑥𝑦 )

2𝜃

Ejemplo:

Se tiene el sistema de vigas de la figura. Encontrar el estado principal de esfuerzos y el esfuerzo máximo de corte en el punto señalado de la sección A para la configuración dada, el cual se encuentra a 45° de la normal. Encontrar L máximo para que la estructura no falle:


Ejemplo:

Se tiene el sistema de cañerías de acero (E=210 [GPa]) de la figura. La viga AB se encuentra empotrada en los puntos A y B mientras que la viga CD está unida sólidamente a la viga AB en el punto C. El sistema es cargado con una fuerza puntual F=2 [kN] y un momento torsor T=0,5 [kNm], ambas cargas aplicadas en el punto D:

• Determine las reacciones en los puntos A y B.• Obtenga los esfuerzos principales de la sección en A en el punto inferior


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C u r s o – Re s i s te n c i a d e M a te r i a l e s [ 1 5 1 5 3 ]

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