curso inicial Matemática

7/24/2019 curso inicial Matemtica

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UNIDAD ACADMICA MANUEL DORREGOINSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIN DOCENTE N 108 - MORN

Mdulo de MatemticaBsica

Curso Inicial 2013


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Mdulo de Matemtica Bsica-2013 Pgina 2

Estimados estudiantes:

Este mdulo introductorio, tiene como propsito que ustedes, futuros docentes, repasen,

reconstruyan y profundicen de manera amena y contextualizada, contenidos matemticos

considerados bsicos. La matemtica no se encuentra sola en el mundo que habitamos afirma IreneZapico (2006) en su libro Matemtica en su salsa. No es posible estudiar y aprender en profundidad

un determinado tema aislado, sin relacionarlo con otros, aunque pertenezcan a otras reas, ya que se

encuentran conexiones tanto en sus orgenes como en su desarrollo y consecuencias. Por ello, hemos

abordado temas matemticos desde una perspectiva de integracin con otras disciplinas. Esperamos

que disfruten de la lectura y logren realizar las actividades propuestas. Les proponemos que

profundicen los distintos temas, investiguen aquellos conceptos que no tienen claros o no recuerdan

con precisin. Muchos xitos y felicitaciones por elegir la docencia.

Equipo de Profesores de Matemtica del Instituto Superior de Formacin Docente N 108

Unidad Acadmica Manuel Dorrego

Recomendaciones y pautas de trabajo:

Para que realmente logren beneficiarse de este mdulo especialmente preparado para ustedes les

proponemos que lo lean con detenimiento. Luego subrayen o marquen aquello que les resulte confuso

o que no lo entiendan, para luego consultarlo en los encuentros que se realizarn en el desarrollo del

curso inicial. Al realizar las actividades, anoten las dificultades, si no las pueden resolver al principio,

intntenlo nuevamente, y si finalmente no las pueden realizar, no se alarmen. En los encuentros

analizaremos cuales fueron las dificultades y en base a las mismas nos pondremos a trabajar juntos

para resolver las actividades, y lo ms importante, debatiremos las diferentes formas de pensar cmo

llegar a un resultado o a varios, si los hubiese. Tambin es importante que puedan compartir con sus

compaeros las dudas que tengan para que todos se beneficien de manera positiva. Los profesores los

acompaaremos en esta etapa inicial y a lo largo de toda la carrera para que ustedes logren alcanzar

sus metas y objetivos profesionales. Cabe aclarar que en las primeras semanas de clase, en el Taller de

Pensamiento Lgico Matemtico, se retomar nuevamente este mdulo para profundizar los conceptos

abordados en el.


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La Matemtica y el lenguaje

Tipos de lenguajeEn la vida cotidiana, se emplean distintos tipos de lenguaje. Por ejemplo, cuando contamos lo

que hicimos durante el ltimo fin de semana, o cuando un locutor de radio emite su programa, seemplea el lenguaje de las palabras. Este se llama lenguaje coloquial.

Pero, si queremos explicarle a alguien cmo llegar a una casa ubicada en una zona rural, es

mejor realizar un croquis o un plano, porque transmite la explicacin ms claramente. En este caso,

empleamos el lenguaje grfico.

Cuando caminamos por la calle o recorremos una ruta, podemos ver una gran variedad de

carteles. Algunos de ellos son seales de trnsito. Otros, presentan smbolos que indican la cercana de

un aeropuerto, de un hospital o de cualquier otro lugar o caracterstica de la zona. En este caso, se

emplea el lenguaje simblico.

Muchas ciencias, como la Matemtica, la Qumica y la Fsica, tienen smbolos propios. Hay

distintos tipos de lenguaje, distintos smbolos, distintos sistemas de numeracin. Pero, en Matemtica,

es imprescindible que todos usemos las convenciones adecuadas para cada situacin.

Cmo pasar de un lenguaje a otro

Traducir es expresar una idea de un idioma a otro. En Matemtica, cuando se expresa una

informacin de un tipo de lenguaje a otro, se realiza algo parecido a una traduccin.


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Observemos los siguientes ejemplos:

Andrs expres el clculo en lenguaje simblico. Laura pens su traduccin en lenguaje coloquial.

En este caso, Andrs se expres en el lenguaje coloquial. Laura, en cambio, pens cmo decir lo mismo

en lenguaje simblico. Para hacerlo, bautiz con la letra x a un nmero cualquiera, y expres, como

2 . x, a su doble, y como 3 . x, a su triple. Tambin us los smbolos de la adicin, de la multiplicacin y

de la igualdad.

Martn us el lenguaje grfico para representar las cantidades de agua y de tierra que hay en nuestro

planeta, relacionndolas entre s. Andrs, us el lenguaje coloquial para expresar la misma relacin.


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El lenguaje de los smbolos matemticosAdems de los smbolos de las cuatro operaciones fundamentales, existen muchos otros. En el

cuadro siguiente aparecen algunos de ellos y sus significados en lenguaje coloquial:

El lenguaje de los grficos

Actualmente, existe una inmensa cantidad de informacin que circula, se ampla y se difunde,da por da, a travs de los medios de comunicacin.

La presentacin de toda informacin en el lenguaje coloquial suele ser muy engorrosa y

complicada. Es por eso que, para facilitar su comunicacin y su rpida comprensin, en muchos casos se

confeccionan distintos tipos de grficos.

Algunos de ellos son los siguientes:

Grficos de curvas: permiten mostrar la evolucin de un fenmeno en el tiempo.


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Pictogramas: son grficos en los que se utiliza un dibujo alusivo al tema que se est mostrando.

Pirmides: permiten una comparacin de cantidades.

Grficos de barras: permiten comparar las cantidades visualmente, observando las alturas de

los rectngulos o barras.

Grficos circulares:permiten estudiar la distribucin interna de los datos que representan un

hecho.


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Sistemas de numeracinEl hombre tuvo la necesidad de contar objetos y animales desde pocas remotas. Por ejemplo,

el hombre prehistrico contaba los animales que cazaba para alimentarse y las pieles que guardaba

para abrigarse.

Comenz usando los dedos de sus manos, o guijarros, o haciendo marcas en las paredes de

piedra de su caverna. Pero, a medida que la cantidad creca, se hizo necesario un sistema derepresentacin ms prctico.

Cada civilizacin cre una especie de idioma matemtico, que le serva para escribir las

cantidades y resolver operaciones con ellas: son los sistemas de numeracin.

Un sistema de numeracines un conjunto de smbolos y reglas, las cuales indican cmo se usan

esos smbolos para escribir nmeros y poder resolver operaciones con ellos.

Los sistemas de numeracin pueden ser posicionaleso no posicionales.

Actividades:

Escriban:

a) El mayor y el menor nmero posible, de 4 cifras distintas, con los smbolos 1, 3, 5 y 7.

b) El mayor y el menor nmero posible, de 4 cifras distintas, con los smbolos 0, 1, 3, y 5.

c) El mayor y el menor nmero impar posible, de 4 cifras distintas, con los smbolos 0, 1, 3 y 5.

d)

El mayor y el menor nmero par posible, de 4 cifras distintas, con los smbolos 0, 1, 3 y 5.

La base de un sistema de numeracinEn el sistema de numeracin decimal, las unidades se agrupan de a 10, para formar un grupo

llamado decena. A su vez, las decenas se vuelven a agrupar de a 10, para formar un grupo llamado

centena, y as sucesivamente. Por esta razn, decimos que es de base diez. La base de un sistema de

numeracin indica de a cunto se agrupa.

La base que ms se ha utilizado en la historia es 10. Esto se debe a que el hombre posee 10

dedos en sus manos. Sin embargo, hubo pueblos que emplearon otras bases en sus sistemas de

numeracin.


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Uno de ellos fueron los babilnicos, que habitaron en el actual Irak. Estos agrupaban no solo de

a 10, sino tambin de a 60. Los sistemas que agrupan de a 60 se llaman sexagesimales.

Actualmente, usamos la base 60 para agrupar los 60 segundos que forman el minuto y los 60

minutos que forman la hora.

Mltiplos y divisoresSe llama mltiplode un nmero al producto de este por un nmero natural cualquiera. Si unnmero es mltiplo de otro, este es divisordel primero.

Nmeros primos y compuestosUn nmero natural es primosi slo admite dos divisores: el 1 y el propio nmero.

Un nmero m se llama compuesto si se puede expresar como producto de otros dos nmeros a

yb, mayores que 1 y menores que m: m = a.b

Esta manera de expresar un nmero compuesto en trminos de sus factores primos se llama

"descomposicin en primos". Cada nmero tiene una nica descomposicin en primos.

Eratstenes, un matemtico que vivi antes del nacimiento de Cristo, le present al rey

Ptolomeo una placa metlica cuadrada, con 10 filas compuestas por 10 casilleros cada una. En cada uno

de ellos figuraba un nmero natural, ordenados del 1 al 100. Los lugares correspondientes al 1 y a los

nmeros compuestos menores que 100 estaban perforados. Por lo tanto, quedaban visibles solamente

los nmeros primos menores que 100. Esta tabla se conoce como criba de Eratstenes.

Actividad:

A continuacin se ha intentado reproducir la criba de Eratstenes, para encontrar los nmeros

primos menores que 100. En la grilla se ha redondeado el 2 y tachado sus mltiplos, exceptundolo

a l mismo.


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Realicen ustedes lo siguiente:

Redondeen el siguiente nmero que no est tachado, y tachen todos sus mltiplos,

exceptundolo a l.

Repitan el procedimiento anterior, hasta que se hayan acabado los nmeros para redondear.

Los nmeros que quedaron redondeados son los primos y los que quedaron tachados son los

compuestos.

a)

Expliquen por qu quedaron los nmeros primos y tachados los compuestos.

b) Escriban todos los nmeros primos menores que 100. Cuntos son?

La Matemtica y los pasatiemposA lo largo de los siglos, el mundo y la humanidad fueron cambiando en todos los aspectos. Los

juegos y pasatiempos no son una excepcin.

Uno de los pasatiempos numricos ms antiguos son los llamados cuadrados mgicos. Estos

son tableros formados por filas y columnas de igual cantidadde casilleros. Cada casillero est ocupado

por un nmero. La suma de los nmeros de cada fila, de cada columna y de cada una de las diagonales

es siempre la misma y se llama constante del cuadrado mgico.

Se supone que estos pasatiempos ya eran conocidos en la China hace unos 5000 aos. Se cree

que la construccin de estas figuras constitua, en la Antigedad, un pasatiempo que despertaba la

curiosidad de muchas personas. Como los antiguos atribuan propiedades sobrenaturales a ciertos

nmeros, era muy comn que vieran virtudes mgicas en estos cuadrados.

En Asia, los cuadrados mgicos eran considerados como amuletos e, incluso, se crea que

prevenan ciertas enfermedades. Por esta razn, se construan cuadrados mgicos de plata y las

personas los llevaban colgados del cuello, como si fueran collares.

El cuadrado mgico ms pequeo es el que tiene 9 casilleros; es decir, el de 3 filas con 3

casilleros cada una. Es imposible la construccin de un cuadrado mgico de 4 casilleros.

Otro pasatiempo matemtico famoso son las estrellas mgicas. En ellas, la suma de los nmeros

escritos en una misma fila, es una constante.


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Actividades:

1)

Ubicar en cada casilla del cuadrado los nmeros del 1 al 9 de manera que se convierta en un

cuadrado mgico. Cunto vale esa suma?

2) Completen este cuadrado mgico de 16 casilleros:

3)

Completen estas estrellas mgicas:


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Hay nmeros que son perfectosLos matemticos de la antigedad atribuan cualidades a algunos nmeros, a los cuales

llamaban perfectos.

Un nmero es perfecto cuando es igual a la suma de los divisores menores que l. Por ejemplo,

los divisores de 6 son: 1, 2, 3 y 6. Sus divisores menores que el son: 1, 2 y 3. Si sumamos 1, 2 y 3,

obtenemos el 6. Entonces, el 6 es un nmero perfecto.Existe un solo nmero perfecto de dos cifras. Y solamente uno de tres cifras. Los nmeros

perfectos se van espaciando cada vez ms. El ltimo nmero perfecto que se descubri fue en el ao

2001 y tiene nada menos que 4.053.496 cifras! Se necesitara una tira de papel de unos 10.000

metros para escribir esa cantidad de cifras.

Actividad:

Encuentren el nmero perfecto que le sigue a 6.

Los nmeros geomtricosObserven las figuras:

En la Antigedad los matemticos consideraban nmeros triangularesa aquellos que, como el

1, el 3 o el 6, permitan disponer sus unidades en forma de tringulo.

Del mismo modo, consideraban como nmeros cuadrados a aquellos cuya cantidad de

unidades se podan disponer en forma de cuadrado.


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Tambin descubrieron que existan los nmeros pentagonales.

Actividad:

Observen cmo se forman los primeros nmeros de cada tipo y completen la serie:

Los trucos matemticosEn muchas revistas de juegos de ingenio, suelen publicarse los famosos trucos matemticos.

Parecen mgicos pero no lo son. Con solo conocer algunas propiedades matemticas, se puede

develar el misterio.

Por ejemplo, lean este:


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Esta es la explicacin de este misterioso truco matemtico:

Los egipcios y la geometraLa geometra tuvo su origen en Egipto. Las inundaciones peridicas del Nilo llevaron a los

antiguos habitantes de esa regin a valorar y cuidar la tierra en la que podan sembrar. Por lo tanto,

desarrollaron acertados conocimientos de agrimensura, es decir, del arte de medir los terrenos.

Por otra parte, la arquitectura egipcia desarroll verdaderas maravillas en las que aplicaron sus

conocimientos de la aritmtica y la geometra. Por ejemplo, en la orientacin de sus templos y

pirmides debieron realizar clculos muy exactos.

Una de las herramientas que usaron para el trazado de perpendiculares fueron los cordeleros,

cuerdas con cuatro nudos, cuyas distancias relativas eran: 3, 4 y 5. Hacan coincidir, en un mismo punto,

los dos nudos extremos de la cuerda, y fijaban los otros dos nudos, de modo que la cuerda quedara

tensa. Entonces, los nudos formaban los vrtices de un tringulo rectngulo.Los conocimientos desarrollados por los egipcios pasaron a los griegos, que dieron a la

geometra su carcter de ciencia.

La palabra geometra proviene del griego (geo, tierra; metro, medida) y significa medida de la tierra

Los conceptos que no se definen, pero sobre los que se construyen otros, se llaman trminos

primitivos. Por ejemplo: el punto, la recta y el plano son, en geometra, trminos primitivos.

Las ciencias se basan en una serie de afirmaciones bsicas, los axiomasy los postulados, que

son consideradas verdaderas. Equivalen a las reglas de juego de cualquier juego o deporte. Deben ser

aceptadas por todos para desarrollar el conocimiento.

A partir de ellas, se demuestran otras afirmaciones que se llaman teoremas.


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Actividad:

Averigen, en un diccionario o en una enciclopedia, que significan estas palabras:

- Axioma

- Postulado

-

Teorema

Rectas y ngulos

Puntos y rectas en el plano


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ngulos

Actividades:


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El sistema sexagesimalPara medir la amplitud de los ngulos, se utiliza el sistema sexagesimal, que tiene como unidad

el grado y como submltiplos, el minuto y el segundo.

Este sistema de unidades se llama sexagesimal, porque su base es 60: 1 grado equivale a 60

minutos y 1 minuto, a 60 segundos.

El sistema sexagesimal no se utiliza solo para la medicin de ngulos. Tambin usamos el mismosistema para medir el tiempo, ya que 1 hora equivale a 60 minutos y 1 minuto, a 60 segundos.

Actividad:

Calcular:

a) Cuntos segundos tiene una hora?

b)

Cuntos minutos transcurren desde las 12 horas hasta las 17 horas?

c) Un barco que navega en direccin norte gira su timn 45 al oeste. Al cabo de un tiempo, vuelve

a girar 2230 y por ltimo 90 en el mismo sentido. Qu rumbo lleva ahora?

Figuras planas, reas y permetros


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Clasificacin de polgonos

Actividades:


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Para recordar:

Actividades:


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Cuerpos y volmenes

Actividades:

De algunos matemticos y los cuerpos geomtricosEuler enunci un teoremaque relaciona el nmero de vrtices (V) de un cuerpo con el nmero

de caras (C) y aristas (A) de los poliedros.

Esta relacin est dada por la siguiente expresin:


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V + CA = 2

Actividades:

1) Expliquen qu significa la palabra teorema.

2)

Enuncien, en lenguaje coloquial, la relacin del teorema de Euler.

3) Comprueben la relacin del teorema de Euler para el:

- Tetraedro

-

Octoedro

- Dodecaedro

Arqumedes (287-212 a. C.), posiblemente fue el matemtico ms grande de la Antigedad. Su

importancia puede compararse con la de Gass y Newton. Naci en Siracusa, ciudad griega, que

actualmente pertenece a la regin de Sicilia, al sur de Italia. Fue inventor y realiz descubrimientos en

varios campos: geometra, aritmtica, fsica e ingeniera.

En geometra, estudi el clculo de longitudes, las reas y los volmenes en figuras limitadas por lneasy superficies curvas, utilizando un mtodo de aproximaciones sucesivas. Tambin calcul el valor

aproximado del nmero .

Ren Descartes y el sistema de coordenadas cartesianoRen Descartes fue un filsofo y matemtico que naci en Giras (Francia), en 1596. Por su

pensamiento, fue considerado el fundador de la filosofa moderna. Se educ en un el colegio jesuita

desde los 8 aos. Tena una salud delicada, por lo que cuentan que goz de un trato preferencial en la

escuela; por ejemplo le permitan estar hasta tarde en cama. Se gradu en Derecho y estuvo alistado en

el ejrcito, pero su inters se centr siempre en problemas filosficos y matemticos. Realiz muchos

viajes, y se estableci en Holanda, donde, salvo espordicas visitas a Francia, vivi el resto de su vida,

dedicndose al estudio y a la vida retirada. Escribi muchas obras filosficas y cientficas: Reglas para la

direccin del espritu, Meditaciones metafsicas, Los principios de la filosofa , entre otras. En el ao

1637, public su famoso Discurso del Mtodo. Descartes procur aplicar a la filosofa los

procedimientos racionales de la ciencia, particularmente de la matemtica.

En 1647, recibi una pensin de la corte francesa, en honor a su obra. En 1649, acept la

invitacin de la reina Cristina de Suecia, y viaj a Estocolmo, donde muri poco despus de su llegada,

por una enfermedad pulmonar, el 11 de febrero de 1650, a los 53 aos.

La principal contribucin de Descartes a la Matemtica fue su idea de representar a los puntosdel plano mediante un par ordenado de nmeros: (x;y). Este sistema fue llamado, en su honor,

coordenadas cartesianas, y permiti conectar estrechamente la geometra con el lgebra.

Descartes fue el primero en usar las letras del alfabeto para designar las cantidades desconocidas

(notacin que empleamos actualmente). Tambin utiliz exponentes para indicar las potencias de los

nmeros.

Sistema de coordenadas cartesianasPara representar puntos en el plano, se puede utilizar un sistema de coordenadas cartesianas.

Este est formado por dos rectas numricas perpendiculares. El punto de interseccin de ambas rectas


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es el origen. El eje horizontal se llama eje x o eje de abscisas; el eje vertical se llama eje y o eje de

ordenadas. En cada eje se debe elegir un segmento como unidad, es decir, una escala.

Cada punto del plano se puede identificar con un par ordenado de nmeros, llamados coordenadas

cartesianas. El primer nmero del par se denomina abscisa, o coordenada x, e indica la distancia al

origen leda sobre el eje horizontal. El segundo nmero del par se llama ordenada, o coordenada y, e

indica la distancia al origen leda sobre el eje vertical.

Los ejes dividen al plano en cuatro cuadrantes.


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Actividades:

Anoten las coordenadas de los puntos sealados con A, B, C, D, E, F, G y H:

a) Qu puntos estn en el primer cuadrante?

b)

Qu puntos estn en el segundo cuadrante?

c)

Qu puntos estn en el tercer cuadrante?

d) Qu puntos estn en el cuarto cuadrante?

e) Hay puntos sobre los ejes?Cules?

f)

Indiquen:

- Las abscisas de B y de F.

- Las ordenadas de D y de C.

-

Dos puntos que tengan la misma abscisa.

- Dos puntos que tengan la misma ordenada.

- Un punto que tenga abscisa 0.

-

Un punto que tenga ordenada 0.


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Resolucin de problemas mediante ecuaciones


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Actividad:

Completen este crucigrama numrico:

Algunos problemitas para concluir:

1)

Hallar un nmero primo que sea igual a un cuadrado perfecto menos 1. Hay otro?

2) Dos luces intermitentes se encienden, una cada 14 segundos y la otra cada 6 minutos. Cada

cunto tiempo se encienden juntas?

3)

Cuntos tringulos hay en la figura?


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A

B

E

C

D

4)

En un tringulo issceles obtusngulo uno de los ngulos agudos mide 25. Cunto mide cada

uno de los otros dos?

5) Cuando el matemtico Carl Friederich Gass tena tan slo 10 aos, su maestro le propuso

sumar todos los nmeros naturales desde el 1 hasta el 100, con el aparente objetivo de

tenerlo ocupado. Luego de algunos minutos, para la sorpresa de su maestro, Gass le inform

cual era la respuesta. La velocidad en la resolucin del clculo se debi a su habilidad para

aplicar las propiedades de las operaciones matemticas. Pueden calcular cul fue la respuesta

que dio Gass a su maestro?

6) Jorge quiere cambiar el piso del patio. Las baldosas que le gustan son cuadradas y vienen de

dos medidas: de 25 cm de lado y de 30 cm de lado.

Si su patio rectangular mide 3,75m x 4,75m, cuntas baldosas de 25cm de lado necesita como

mnimo para cubrirlas?cuntas de las de 30cm de lado? (Aclaracin: una vez que se parten las

baldozas, lo que sobra no se puede usar).

7)

En la figura, ABC es un tringulo equiltero de 18 cm de permetro, CD = AC y el cuadriltero

ACDE tiene 20 cm de permetro. Cul es el permetro del polgono ABCDE?

Bibliografa

Aragn, M. y otros (2006) Entender Matemtica, Editorial Estrada, Buenos Aires.

Marina, A. y otros (2007) Matemtica. Nuevamente. Editorial Santillana, Buenos Aires.

Rodas, P. Y otros (2006) Carpeta de Matemtica, Editorial Aique, Buenos Aires.

Salpeter, C. (2009) Pitgoras,Ediciones SM, Buenos Aires.

Zapico, I. y otros (2006) Matemtica en su salsa, Editorial Lugar, Buenos Aires.

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