PROCESO DE ADMISIÓN 2019

CURSO DE MATEMÁTICA

P.S.U.

PREUNIVERSITARIO INPREGA

Profesores: Milton Paredes

Eduardo Putz

Prueba de Selección Universitaria de Matemática:

Considerando la incorporación progresiva de los

contenidos actualizados para la admisión 2019.

Ejes Temáticos: Números

Algebra y Funciones

Geometría

Datos y Azar

Habilidades Cognitivas:

Comprender

Aplicar

Analizar

Sintetizar y Evaluar

Tabla de Especificaciones:

Ejes

Temáticos

Habilidades Cognitivas

Comprender Aplicar Analizar, Sinte-

tizar y Evaluar.

Números

Algebra y Funciones

Geometría

Datos y Azar

Total (%) 20% al 25% 40% al 45% 30% al 40%

21%

24%

28%

27%

100%

T o t a l

Consta de 75+5 = 80 preguntas para ser desarrollada

en un tiempo de 2 horas 40 minutos.

(17)

(19)

(22)

(22)

(80)

(16 - 20) (32 - 36) (24 - 32)

TRABAJO

SEMANAL

1ª Sesión

2ª Sesión

3ª Sesión

Duración del curso: 33 semanas

Cada 5 semanas hay un repaso y ensayo general.

CONTENIDOS Y

EJERCITACIÓN

CONTENIDOS Y

EJERCITACIÓN

CONTENIDOS Y

EJERCITACIÓN

Taller semanal online. (www.inprega.cl)

SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

CA' = A

AB

x

u

x!

log

es menor que es mayor que es menor o igual a es mayor o igual a es distinto de es aproximado a tal que pertenece no pertenece unión de conjuntos intersección de cjtos conjunto vacío complemento cjto A ángulo recto

es perpendicular a es paralelo a ángulo trazo AB para todo existe implica, entonces doble implicancia es congruente con es semejante con valor absoluto de x factorial de x vector u logaritmo en base 10

CONJUNTOS NUMÉRICOS:

Definición de número natural, cardinal.

Números pares, impares, dígitos, primos y

compuestos.

Orden en los naturales.

Operaciones en IN: adición , sustracción,

multiplicación , división

Propiedades de las operaciones en IN.

Prioridad de operaciones, paréntesis y problemas.

Los Números Naturales: Son los elementos del

conjunto IN; donde:

IN = {1,2,3,4,5,6,..........}

Si a los números naturales le agregamos el cero

como elemento se obtiene el conjunto de los

Números Cardinales o INo ; entonces:

INo = {0,1,2,3,4,5,6,........}

CONJUNTOS NUMERICOS:

Algunos Subconjuntos de INo:

a) Los números Pares:

{0,2,4,6,8,10,12,14,16,....}

b) Los números impares:

{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,............} ;

c) Los números dígitos: Números formados por sólo

una cifra; luego:

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

(INo = {0,1,2,3,4,5,6,7,.......} (IN = {1,2,3,4,5,6,7,...........}

Forma: 2n – 1; con n IN.

en IN estos son:

{2,4,6,8,10,12,14,16,....}

Forma: 2·n; con n IN.

en INo estos son:

Forma: 2·n; con n INo.

d) Los números primos: Son todos los p IN tales

que p > 1 y sus únicos divisores son “1” y “p” ; es

decir el uno y el mismo número, en consecuencia

todo número primo tiene sólo dos divisores.

Ejemplos:

i) 2 es primo, sus divisores son sólo 1 y 2.

ii) 17 es primo, sus divisores son sólo 1 y 17.

iii) 21 no es primo, 1 y 21 no son sus únicos

divisores ya que 3 y 7 también lo son.

Si IP es el conjunto de todos los números primos,

se tiene que sus elementos son:

IP = {

Notar que el número 2 es el único que cumple con

ser número par y primo a la vez.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,...... }

d) Los números Compuestos: Son todos los q IN

con q 1 tal que q no sea número primo; los que se

pueden descomponer como un producto de dos o

más números primos.

Ejemplos:

i) 6 es compuesto, ya que 6 = 2 ·3 con 2 y

3 primos. ii) 56 es compuesto, ya que 56 = 2·2·2·7 con 2

y 7 primos. iii) 60 es compuesto, ya que 60 = 2·2·3·5 con

2, 3 y 5 primos.

Orden en IN: Para todo a , b IN se define:

i) (a > b) ( m IN / a = b + m )

ii) (a < b) ( b > a)

iii) (a b) ( a > b a = b )

iv) (a b) ( a < b a = b )

Ejemplos:

8 5 ya que ___________ 6 9 ya que ___________

6 9 ya que ___________ 8 2 ya que ____________

7 3 ya que ___________ 7 7 ya que ____________

8 = 5 + 3

< 9 6

7 = 3 + 4

6 9

8 2

7 = 7

Ejercicio:

Defina por extensión los siguientes conjuntos:

A = { x IN / x > 5 }

B = { x IN / x < 4 }

C = { x IN / x 8 }

D = { x IN / x 6 }

E = { x IN / 4 < x < 9 }

F = { x IN / 3 x < 7 }

H = { x IN / 2 x 7 }

G = { x IN / 2 < x 8 }

A = {6,7,8,9,10,11,....}

B = {1,2,3}

C = {8,9,10,11,12,....}

D = {1,2,3,4,5,6}

E = {5,6,7,8}

F = {3,4,5,6}

G = {3,4,5,6,7,8}

H = {2,3,4,5,6,7}

( IN = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,.......} )

Operaciones en IN:

(1) Adición: Ejemplo: 3 + 2 = 5 ; donde 3 y 2 son los

sumandos y 5 es la suma de tales cantidades.

(2) Multiplicación: Ejemplo: 7 · 5 = 35 ; donde 7

y 5 son los factores y 35 es el producto de tales

cantidades.

Propiedades de la Adición y Multiplicación en IN:

PROPIEDAD ADICION MULTIPLICACION

Conmutatividad:

a,b IN a,b IN

a + b = b + a a · b = b · a

Clausura o ley de composición interna :

a,b IN a,b IN

a + b = c c IN a b = c c IN

PROPIEDAD ADICION MULTIPLICACION

Asociatividad:

a,b,c IN a,b,c IN

a + (b + c) = (a + b) + c a · (b · c) = (a · b) · c

Elemento Neutro:

No Existe Es el 1 ; a IN

a · 1 = a = 1 · a

Distributividad: a,b,c IN

No Cumple a·(b + c) = a · b + a · c

(b + c)·a = a · b + a · c

Notar que la multiplicación es distributiva sobre la

adición:

Ejemplo:

3 (5 + 2) = (3 5) + (3 2)

3 · 7

21

15 + 6

21

En cambio la adición no es distributiva sobre la

multiplicación:

Ejemplo:

4 + (5 · 7) (4 + 5) · (4 + 7)

4 + 35

39

9 · 11

99

(3) Sustracción y división:

Estas operaciones no siempre tienen solución en

IN, luego no cumplen con la propiedad de clausura;

ni con ninguna de las propiedades de la adición y

multiplicación así por ejemplo:

(a) 12 - 9 = 3 ; donde 12 es el minuendo, 9

el sustraendo y 3 es la resta o diferencia.

(b) 7 - 15 = ; no tiene solución en IN.

(c) 32 : 8 = 4 ; donde 32 es el dividendo, 8 el divisor

y 4 es el cuociente.

(d) 19 : 7 = ; no tiene solución en IN.

1) Completar el cuadro siguiente, con las cantidades

faltantes:

Número Operación Número Resultado

32

76

32

72

+

-

·

:

:

4

8

48

50

160

25

16

26

5

18

200

Ejercicios con números Naturales:

Número Operación Número Resultado

53

40 4

90

15

-

·

:

·

:

20

12

18

18

4

35

10

5

300

48

2) Hallar los siguientes tres términos en cada una de las siguientes secuencias de números:

a) 1, 4, 7, 10, 13, , , , ...

b) 2, 6, 12, 20, , , , ....

c) 5, 10, 17, 26, , , , ....

d) 9, 8, 16, 15, 30, 29, , , , ....

16 19 22

30 42 56

12 23 34 45 56 67 78

+3 +3 +3 +3 +3 +3 +3

4+1 9+1 16+1 25+1 36+1 49+1 64+1

37 50 65

58 57 114

9-1 8·2 16-1 15·2 30-1 29·2 58-1 57·2

f) Números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, , , , ....

e) La sucesión de Fibonacci:

0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , , , , ....

0+1 1+1 1+2 2+3 3+5 5+8 8+13 13+21 21+34 34+55 55+89

89 55 144

21 28 36

+2 +3 +4 +5 +6 +7 +8

3) Las siguientes figuras se forman con cuadrados idénticos. En base al número de cuadrados negros y blancos complete:

a) Los cuadrados negros son

la _____________ parte de los

blancos.

b) Los cuadrados blancos son

______________ de los negros.

N°fig.

1

2

3

1

2

3

4

8

12

cuarta

el cuádruplo

4) Juan tiene 10 años menos que el triple de la edad

de Carlos; y la edad de este excede en 3 años a la

mitad de la edad de Sergio el que tiene 18 años.

¿Cuál es entonces la edad de Juan?

A) 16 años

B) 22 años

C) 26 años

D) 36 años

E) 46 años

Sergio: 18 años Mitad: 9años

Carlos:

9 + 3 = 12 (excede en 3 a 9)

Triple edad de Carlos: 3 ·12 = 36

Juan: 36 – 10 = 26 (10 menos que 36)

5) Se dan las siguientes equivalencias: una ficha roja

equivale a 3 azules y cada azul equivale a 2 blancas:

¿A cuánto equivaldrán 120 fichas blancas?

A) 10 rojas

B) 15 rojas

C) 15 azules

D) 20 rojas

E) 20 azules

1 R = 3 A 1 A = 2 B

1 A = 2 B /·60

60 A = 120 B

1 R = 3 A /·20

20 R = 60 A

20 R = 60 A = 120 B

6) Resolver los siguientes ejercicios de operatoria

combinada:

Ejemplo:

25 12 + 50 + 180 : 12 – 2 =

300 + 50 + 15 - 2

365 - 2

363

Notar que en un ejercicio combinado que no tiene

paréntesis, se resuelven primero las

multiplicaciones o divisiones y al final las sumas y

restas.

a) 720 : 12 – 15 2 + 25 4 =

b) 320 10 : 5 – 500 + 640 : 16 4 =

60 - 30 + 100

30 + 100

130

3200 : 5 - 500 + 40 · 4

640 - 500 + 160

300

7) Resolver los siguientes ejercicios de eliminación

de paréntesis:

Ejemplo:

150 - 80 - 3(52 – 35) =

Notar que en un ejercicio con paréntesis, se

resuelven primero los paréntesis más interiores,

hasta eliminar completamente estos y reducir.

150 - [80 - 3 · 17 ]

150 - [ 80 - 51 ]

150 - 29

121

a) 520 - 50 + 5 (35 - 12 ) =

b) 105 - 6 (24 – 8) - 2 (19 – 5) =

520 - [ 50 + 5 · 23 ]

520 - [ 50 + 115 ]

520 - 165

355

105 - [ 6 · 16 - 2 · 14 ]

105 - [ 96 - 28 ]

105 - 68

37

El paseo de un grupo de 36 alumnos tiene como

presupuesto: $180.000 en transporte, $115.200 en

alojamiento y $162.000 en alimentación. ¿Cuál es el

costo por persona si los gastos se reparten en partes

iguales?

Transporte: $180.000

Alojamiento: $115.200

Alimentación: $162.000

Gasto total:

+

$457.200

Número total de personas: 36

Costo por persona: 457.200 : 36 = ' ' 1 ' ' ' 9 0 7

2

5 2 2

7

0 0 0 0

0

0

0

c/u: $12.700

8) Resolver el siguiente problema de operatoria:

Ejercicios Complementarios:

1) ¿En que caso se duplica el resultado para cada

una de las cuatro operaciones?

l) En la adición si los sumandos se duplican.

ll) En la sustracción si el minuendo y sustraendo se duplican.

lll) En la multiplicación si los factores se duplican.

lV) En la división si se duplica el dividendo manteniendo el divisor.

A) Sólo l y ll

B) Sólo l , ll y lll

C) Sólo l , ll y lV

D) Sólo ll , lll y lV

E) En todas

(V)

(V)

(F)

(V)

Desarrollo en siguiente diapositiva

l) En la adición si los

sumandos se duplican.

5

+7

12

10

+14

24

La suma se duplica

(V) ll) En la sustracción si el minuen-

do y sustraendo se duplican. (V)

15

- 9

6

30

- 18

12

La diferencia se duplica

lll) En la multiplicación si

los factores se duplican.

lV) En la división si se duplica el

dividendo manteniendo el divisor. (F) (V)

4 · 5 = 20

8 · 10 = 80

El producto se cuadruplica

18 : 3 = 6

36 : 3 = 12

El cuociente se duplica

2) Se define A = { x/xIN 5 x 9 } ; con

B = {z/zIN 3 z 8 } ; luego la suma entre el

mayor valor de “x” y el menor valor de “z” es:

A) 11

B) 12

C) 13

D) 14

E) 15

A = {x/xIN 5 x 9}

B = {z/zIN 3 z 8}

A = {6,7,8,9}

B = {3,4,5,6,7}

Mayor valor de “x” + menor valor de “z”

= 9 + 3

= 12

3) Referente a dos números primos mayores que 2;

es verdadero decir que:

l) Su suma es siempre nº par.

ll) Entre ellos existe sólo nos pares.

lll) Su producto es siempre nº impar.

A) Sólo l

B) Sólo l y ll

C) Sólo l y lll

D) Sólo ll y lll

E) Todas

(V)

(F)

(V)

Desarrollo en siguiente diapositiva

números primos mayores que 2:

{3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,...}

Su suma: Ejemplos: 3 + 5 = 8

7 + 19 = 26

13 + 31 = 44 Resultado par.

l) Su suma es siempre nº par. (V)

ll) Entre ellos existe sólo nos pares.

Ejemplo: Entre 7 y 11 están el 8 , 9 , 10 y 9 no es par

(F)

lll) Su producto es siempre nº impar.

Su producto: Ejemplos: 3 · 5 = 15

7 · 19 = 133

13 · 31 = 403 Resultado impar.

(V)

4) Se define P = 40 - 9·6:2

Q = 5 + 24:6·2

R = 72:3 - 3·5

En base a estos valores se cumple que:

A) P = Q > R

B) Q > P > R

C) P > Q = R

D) Q > R > P

E) P > Q > R

= 40 - 54:2 = 40 - 27 = 13

= 5 + 4·2 = 5 +8 = 13

= 24 - 15 = 9

13 = 13 > 9

P = Q > R

5) Al reducir la siguiente expresión:

[6·(16 – 7) – 5·(14 – 8)] : [ 2·(12 – 9)] = ?

A) 2

B) 3

C) 4

D) 6

E) 8

[6·(16 – 7) – 5·(14 – 8)] : [ 2(12 – 9)] =

[ 6 · 9 – 5 · 6 ] : [ 2 · 3 ]

[ 54 – 30 ] : [ 6 ]

24 : 6

= 4

6) Pago $23.500 por un pedido de 5 sacos de

cemento. ¿Cuánto tendré que pagar por un nuevo

pedido de 8 sacos de cemento?

A) $32.500

B) $36.700

C) $37.600

D) $38.500

E) $42.600

$23.500 por 5 sacos

el valor de 1 saco es:

23.500 : 5 = ' 4 3 5

7 '

0

' '

0

0

0

0

el valor de 8 sacos es:

4.700 · 8 = $37.600

7) Un camión puede cargar 15.000 Kg. Lleva 80

sacos cuyo peso es de 75 Kg. por unidad. ¿Cuántos

más de estos sacos falta subir para cubrir la carga

máxima?

A) 120

B) 140

C) 160

D) 190

E) 200

80 sacos cuyo peso es de 75 Kg

80 · 75 = 6.000 Kg.

Peso disponible:

15.000 - 6.000 = 9.000 Kg

Sacos que faltan subir:

9.000 : 75 = 120

8) Un empleado gana $65.000 semanalmente y

ahorra cada semana cierta suma. ¿Cuándo ha

ganado $455.000 tiene ahorrado $98.000. ¿Cuánto

ahorra a la semana?

A) $12.500

B) $13.000

C) $13.500

D) $14.000

E) $14.500

Ha ganado $455.000

Semanalmente gana $65.000

El número de semanas es:

455.000 : 65.000 = 7 semanas

Tiene ahorrado $98.000 en 7 semanas

En una semana ahorra:

98.000 : 7 = $14.000

9) ¿Cuál es la ganancia que obtuvo una persona en la

venta de un campo?

(1) Vendió en $2.000.000 cada hectárea del campo.

(2) Compró en $9.000.000 pagando $1.500.000 por

la hectárea.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por si sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional.

No se sabe número de hectáreas y valor anterior de estas.

Se conoce el precio de

venta y de compra con el

número de hectáreas.

Se obtienen 6 hectáreas y el precio de compra de c/u pero no el de venta.

Respuestas de Ejercicios Propuestos Clase-01

1) A={6,7,8,9,..} ; B={1,2,3,4,5,6} ; C={4,5,6,7,..} ;

D={1,2,3,4,5,6} ; E={5,6,7,8} ; F={7,8,9,10,11} ;

G={9,10,11,12,13,14} ; H={5,6,7,8,9,10} ;

I={8,10,12} ; J={5,7,9,11,13} ;

K={11,13,17,19,23} ; L={2,3,4,5,6,7}

2) {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,

61,67,71,73,79,83,89,97}

3) D

4) E

5) C

6) B

7) A

8) C

9) A

10) D

11) D

12) B

13) A

14) C