Composición: Laura Bono Diseño: Gerardo Miño

Edición: Segunda. Junio de 2012 Tirada: 1300 ejemplares

ISBN: 978-84-15295-12-9

Lugar de edición: Buenos Aires, Argentina

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De esta edición: © 2012, Miño y Dávila srl / © 2012, Pedro Miño De la primera edición: © 2012, Ediciones Espartaco

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En Uruguay: Lorenzo Pérez 3008 Tel: 2708 07 51 Montevideo, Uruguay Mail: espartac@montevideo.com.uy

Índice

Los autores .................................................................................................... 7

Prólogo, por Gema Fioriti ................................................................. 11

Capítulo : Construcción de triángulos: del dibujo a la fi gura, por Susana Ammann y Cecilia González ........................ 19

Capítulo : Buscando cuadriláteros y sus defi niciones, por Cecilia González y Leonardo Lupinacci .................... 29

Capítulo : Misión posible, ¿una construcción imposible?, por Fernando Bifano y Leonardo Lupinacci .................... 39

Capítulo : Moviendo fi guras para cubrir sin superponerlas, por Leonardo Lupinacci ..................................................... 49

Capítulo : La semejanza genera familias, por Rosa Cicala y Cecilia González ................................ 59

Capítulo : Los puntos en su lugar, por Rosa Ferragina y Leonardo Lupinacci ..................... 73

Capítulo : Cónicas: algo más que focos y directriz, por Fernando Bifano y Rosa Ferragina .......................... 85

Capítulo : El encuentro entre geometría y álgebra a través de la función, por Rosa Cicala .................................................................. 95

Capítulo : Un binomio con presencia: geometría y funciones, por Fernando Bifano .........................................................107

Capítulo : En demanda del modelo, por Leonardo Lupinacci ...................................................119

Capítulo : Variaciones al instante, por Rosa Ferragina ............................................................129

Capítulo : Estimaciones y predicciones. Asomándonos al futuro, por Rosa Cicala ..................................................................143

Epílogo, Otras escenas de la matemática escolar, por José Villella ................................................................. 153

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Los autores

SUSANA AMMANN Profesora de Matemática Física y Cosmografía. Licenciada en Enseñanza de las

Ciencias, orientación en Matemática, UNSAM. Profesora en Didáctica de la Matemática en las Licenciaturas de Nivel Inicial, Básico y Secundario, UNSAM. Profesora en Institutos de Formación Docente de la Provincia de Buenos Aires, en Nivel Primario y Secundario. Ha participado, dictando talleres, en diversas reuniones científi cas tanto en nuestro país como en el exterior.

FERNANDO BIFANO Lic. en Enseñanza de las Ciencias, orientación en Matemática, UNSAM. Maes-

trando en Enseñanza de las Ciencias Experimentales y la Matemática por la misma universidad. Especialista miembro del Equipo Técnico de la Dirección Operativa de Evaluación Educativa del Ministerio de Educación del GCBA. Pro-fesor de Didáctica de la Matemática en cursos virtuales, UNSAM y UNRN. Profesor en Institutos de Formación Docente de Nivel Medio y Primario de la CABA. Ha participado, dictando cursos y seminarios, en diversas reuniones científi cas tanto en nuestro país como en el exterior. Tiene publicado artículos y libros en colaboración, sobre temas atenientes a su especialidad.

ROSA CICALA Lic. en Enseñanza de las Ciencias, especialidad: Didáctica de la Matemática

(UNSAM). Especialista en “Escuela y Nuevas Alfabetizaciones”. Posgrado en Estadística aplicada a la Investigación. Magister en Educación a Distancia. Se desarrolló profesionalmente en el área de Informática y Educación asesorando en proyectos curriculares de nivel primario y medio en la Dirección de Currícula y en capacitación docente del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Actual-

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mente es docente e investigadora en diversas universidades nacionales (UNLU, UTN-FRBA, UNSAM, UNIPE).

ROSA FERRAGINA Lic. en la Enseñanza de las Ciencias, especialidad: Didáctica de la Matemática

(UNSAM). Profesora de Matemática y Matemática Aplicada, INSPT-UTN. Pro-fesora en Institutos Terciarios de Formación Docente, en provincia y ciudad de Buenos Aires, en la carrera Profesorado en Matemática. Profesora del Seminario de Temas Avanzados II en Licenciatura en la Enseñanza de las Ciencias de la UNSAM, modalidad a distancia. Ha participado, dictando cursos y seminarios, en diversas reuniones científi cas tanto en nuestro país como en el exterior. Ha publicado libros de texto para el nivel medio y pre universitario.

GEMA FIORITI Profesora de Matemática y Cosmografía. Magister en Didáctica de las Ciencias y

las Matemáticas. Directora del CEDE (Centro de Estudios en Didácticas Especí-fi cas) de la UNSAM. Profesora Titular ordinaria de Didáctica de la Matemática de la Especialización y Maestría en Enseñanza de las Ciencias. Orientación Matemática (UNSAM). Directora de Proyecto de Investigación Picto 2008: Geometría y TIC: estudio didáctico de propuestas de enseñanza en la escuela secundaria. Coordinadora regional del equipo de trabajo en Matemática del Pro-yecto FET (Fortalecimiento de la educación técnica) de la Fundación YPF.

CECILIA GONZÁLEZ Profesora de Matemática. Maestrando de la Universidad Nacional de San Martín

en la Maestria en enseñanza de las ciencias y matemática. Miembro del Equipo Técnico de la Dirección de Evaluación Educativa de la Ciudad de Buenos Aires. Ha participado, dictando talleres, en diversas reuniones científi cas tanto en nuestro país como en el exterior.

LEONARDO LUPINACCI Profesor de Matemática y Matemática Aplicada, INSPT-UTN. Licenciado en

Enseñanza de las Ciencias orientación Didáctica de la Matemática, UNSAM. Profesor de Matemática en el nivel Medio y en el Ciclo Preuniversitario de la UNSAM. Profesor de Didáctica de la Matemática en Institutos de Formación Docente de la Provincia de Buenos Aires. Ha participado en el dictado de talleres, cursos y en la presentación de comunicaciones, referente al tema Didáctica de la Matemática y TIC, en diversas Jornadas y Congresos Nacionales e Interna-cionales.

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JOSÉ VILLELLA Doctor en Didáctica de la Matemática. Profesor de Matemática y Matemática

aplicada. Licenciado en Educación. Profesor para la enseñanza primaria. Es docente e investigador de la Universidad Nacional de San Martín donde también ocupó cargos de gestión. Asesora al programa Huellas de la Escuela del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Hace investigación y docencia en la Fundación Cultural Glaux de Buenos Aires. Ha recibido premios y menciones especiales por sus libros y publicaciones tanto en Argentina como en el extranjero sobre su tema de interés: el análisis de la gestión de la clase de matemática mediada por el docente considerado un profesional de la enseñanza.

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Prólogo

por Gema Fioriti

El material que se presenta en este libro es el producto de un trabajo realizado en colaboración por los integrantes del Grupo Matemática1 del CEDE de la

UNSAM2 en el marco del proyecto de investigación PICTO3 2008, Geometría y TIC: estudio didáctico de propuestas de enseñanza en la escuela secundaria.

En ese momento pensamos en desarrollar propuestas de enseñanza de la geome-tría elaboradas de manera conjunta con docentes de escuelas primarias y medias. Comenzamos pensando en la geometría, porque veíamos que su estudio estaba y está aún descuidado en la escuela. La entrada de las netbooks por el programa Conectar Igualdad4, provocó un cambio de intereses en los docentes con los que integrantes del grupo trabajan y apareció la necesidad de estudiar el so ware Geo-gebra que viene incorporado en las computadoras. Hay un interés genuino por estudiar el so ware como herramienta para enseñar matemática.

Este programa es de so ware libre, se originó en la tesis de maestría del proyecto de Markus Hohenwarter en la Universidad de Salzburgo en 2002. Fue diseñado combinando acciones de los programas de geometría dinámica existentes (Cabri Geómetra; Sketchpad) y de los programas CAS (Derive, Maple) en un sistema simple, integrado y fácil de usar para enseñar matemática (Hohenwarter, Lavicza, 2010). Geogebra, además de ser un so ware de geometría dinámica, incorpora

1. El grupo está dirigido por Mg Gema Fioriti y compuesto por los investigadores: Dr. José Villella y los siguientes Licenciados: Susana Ammann, Fernando Bifano, Rosa Cicala, Rosa Ferragina, Cecilia González, Leonardo Lupinacci.

2. CEDE es la sigla del Centro de Estudios en Didácticas Específi cas que funciona en la Escuela de Humanidades de la Universidad Nacional de San Martín (UNSAM) de Buenos Aires, Argentina (www.unsam.edu.ar).

3. PICTO es la sigla que representa a un tipo de investigación subvencionado por el estado argentino que trabaja sobre temas orientados.

4. Programa que instaló la netbook en las escuelas secundarias de Argentina. Un ejemplo similar es el Plan CEIBAL de Uruguay.

12 Geogebra entra al aula de Matemática

algunas funcionalidades de los sistemas de procesamiento simbólico y posibilita trabajar temas de Geometría Analítica, de Álgebra y de Cálculo Aritmético.

El so ware libre se basa en una fi losofía altruista, los programas se elaboran para compartirlos, situación que aporta a formar en valores a trabajar desde la educa-ción. La idea de libre incluye además la posibilidad de que cualquier usuario pueda proponer modifi caciones fundamentadas técnicamente que mejoren se utilización. Esto, que es una virtud del programa, lleva como contrapartida que durante el trabajo en clase, en algunas ocasiones nos encontremos con versiones diferentes. Sin embargo, hemos observado que es un obstáculo muy simple de salvar.

En el marco del proyecto se sostienen y discuten ideas que orientan nuestra tarea; volvemos a ellas y las resignifi camos a partir de los logros y difi cultades que surgen en la puesta en aula de los problemas que hemos planteado para resolver usando soportes informáticos.

Algunas de esas ideas fuerza son:

• Qué es hacer matemática. Entendemos que los problemas en contextos extra matemáticos o intramatemáticos son el motor del aprendizaje; que la producción de conjeturas y de pruebas son tareas constitutivas de la actividad matemática y que gran parte de la actividad matemática puede identifi carse con la modeli-zación, es decir la construcción de modelos de lo que queremos estudiar para trabajar con ellos y producir e interpretar resultados.

• El conocimiento se construye por la interacción con los otros, y con un medio que ofrece resistencias. Estas ideas ponen en cuestión la gestión de la clase por el docente. A lo largo de nuestra experiencia del trabajo con docentes en el aula, hemos acumulado un cierto conocimiento de estas cuestiones cuando el trabajo en las clases se organiza con lápiz y papel. Nos preguntamos ahora: ¿cómo se gestiona una clase con computadoras?

• El trabajo del docente se piensa en un colectivo que discute con sus colegas de la misma escuela, de otras escuelas y de las universidades, acerca del trabajo que es enseñar matemática. En ese sentido las actividades que estamos presentando son el producto de refl exiones conjuntas en situaciones de formación permanente, en congresos en las aulas de formación inicial de docentes de matemática. Las situaciones que van a encontrar en este libro son una herramienta para organizar la enseñanza y se podrán enriquecer con los aportes de cada docente o grupo de docentes.

En algunos capítulos de este libro se incluyen problemas que se pueden llevar al aula, que también el docente podrá resolver y que le permitirán refl exionar sobre diferentes aspectos que afectan su práctica. Se incluyen refl exiones elaboradas en

13Prólogo, por Gema Fioriti

el grupo de la UNSAM que aportan a la gestión de la clase por el docente quien ahora se ve enfrentado a la situación de tener que trabajar a la par el conocimiento geométrico-matemático y el uso de la herramienta (el so ware).

En otros capítulos la propuesta intenta poner al docente en situación de resolver problemas matemáticos, a la vez que aprende a usar el Geogebra. No se trata de propuestas cerradas, el docente tendrá que decidir el momento en que va a poner en obra los problemas dependiendo de los conocimientos matemáticos que quiere enseñar, de lo que sus alumnos saben, del momento del aprendizaje, en fi n de sus objetivos. El docente encontrará al fi nal de cada capítulo preguntas para seguir estudiando el tema, desde los aspectos matemáticos y didácticos

Se decide ordenar los capítulos teniendo en cuenta las edades de los alumnos y una lógica de progresión de los temas. Los cinco primeros capítulos abordan temas de geometría que están en los diseños curriculares para alumnos de hasta 15 años. Los capítulos que desarrollan los temas de lugares geométricos y cónicas, se pueden trabajar de manera conjunta; la selección y organización de las actividades será decisión del docente.

En el Capítulo 1 se proponen actividades para el aula del último ciclo de pri-maria y primer ciclo de la escuela secundaria. Se presenta la problemática de la relación fi gura-dibujo con lápiz y papel y en el entorno Geogebra. Los conceptos de circunferencia y la construcción de triángulos son los conocimientos centrales involucrados en la resolución de las actividades.

El Capítulo 2 aborda el tema cuadriláteros a partir de las construcciones. Se podrá experimentar cómo habilitar un comando puede ser una variable didáctica, es decir una herramienta del docente para gestionar la clase. La utilización de diferentes comandos moviliza conocimientos y técnicas matemáticos distintos. Muestra cómo las defi niciones se construyen a partir de la refl exión sobre las manipulaciones de las construcciones, lo que permite cargarlas de sentido.

En el Capítulo 3 se proponen construcciones imposibles como herramientas para generar la necesidad de la validación. El hecho de que la construcción no se pueda realizar hace que los alumnos fuercen los datos sin poder arribar a conclusiones ciertas y este hecho genera la necesidad de recurrir a la producción de argumentos o pruebas para explicar la imposibilidad de solución.

El Capítulo 4 aborda el estudio de las fi guras a partir de las transformaciones geométricas, tema habitualmente descuidado en la enseñanza y sin embargo muy presente en el entorno, en las construcciones, en el arte, en la naturaleza…

El capítulo 5 desarrolla la semejanza de fi guras poniendo en primer plano la condición necesaria y sufi ciente que son las dos condiciones: proporcionalidad de lados e igualdad de ángulos. Se trabaja también la relación entre perímetro y área de polígonos semejantes y se propone la utilización de la hoja de cálculo como una

14 Geogebra entra al aula de Matemática

herramienta para conjeturar sobre la razón de semejanza y su sentido. A medida que se desarrolla el capítulo se introducen refl exiones acerca del cambio de sentido de la carpeta como así también de la potencia de algunos comandos.

El capítulo 6 trata sobre lugar geométrico, las primeras actividades trabajan los lugares geométricos clásicos circunferencia, círculo, mediatriz y bisectriz, sin recurrir a las herramientas que posee el so ware; para ello se propone desactivar los comandos correspondientes. El objetivo de no habilitar esta herramienta es tratar de que los alumnos construyan el sentido de este concepto. Se analiza de qué manera la disponibilidad o no de los comandos, opera como una condición de la situación que el docente puede controlar con fi nes didácticos.

El capítulo 7 trabaja el tema cónicas como lugar geométrico. Las actividades que se proponen, además de poner en juego los conocimientos geométricos pueden dar lugar a la producción de conjeturas por los alumnos. La primera actividad de simulación de un plegado podrá trabajarse con alumnos de 13-14 años, el resto de las actividades que se propone se podrán retomar para el estudio del tema con alumnos mayores en otro momento de su escolaridad. Se seleccionaron dos for-mas de construcción a partir de las cuales se pueden generar todas las cónicas. La riqueza de estas dos posibilidades reside en que ayudan a identifi car los elementos invariantes en cada construcción que son los que las caracterizan y van permitir construir las defi niciones

Los capítulos que siguen abordan el estudio de conocimientos matemáticos que se podrán trabajar con alumnos a partir de 15-16 años.

Los capítulos 8 y 9 abordan problemas de enunciados geométricos cuya solución necesita de otros registros: algebraico y simbólico. En el capítulo 8 se inicia este recorrido, por esta razón se abordan cuestiones generales respecto de la noción de función, de la génesis instrumental y gestión de la clase que aportan elementos para el análisis didáctico del tratamiento del tema.

El capítulo 9 propone un problema fértil para trabajar la noción de función. Se trata de una situación planteada en un contexto geométrico para estudiar la variación del área de un cuadrado en función de diferentes elementos del mismo. Geogebra permite trabajar con registros simbólico, algebraico, geométrico de manera simultánea, lo que aporta mucha riqueza matemática al estudio.

En el capítulo 10 se trabaja la modelización funcional en un contexto de econo-mía. Se parte de la función demanda de un producto y se analiza cómo la incorpo-ración de parámetros a su fórmula permite encontrar situaciones más complejas y generales del mismo modelo. Este estudio es posible por la utilización del Geogebra como herramienta.

15Prólogo, por Gema Fioriti

El problema que se propone en el capítulo 11 ayuda a construir la idea de variación instantánea de una función para darle sentido al concepto de derivada, que habitualmente se estudia como una regla del cálculo. Si bien Geogebra tiene el comando derivada lo que aquí se propone es llegar a la función derivada a través de la representación de todas las variaciones instantáneas de cada punto de la función original. La potencia del so ware radica en la posibilidad de grafi carlas a todas, situación casi imposible de realizar con lápiz y papel, motivo por el cual siempre se aborda este concepto de manera algebraica como un límite.

El último capítulo, desarrolla contenidos básicos de estadística para llegar a obtener un modelo de la recta de regresión lineal. Se utiliza la versión 4 de Geogebra que si bien no es la defi nitiva, posee herramientas más potentes para desarrollar este tema. Una vez más se combinan los diferentes registros (tablas, diagrama de puntos, funciones por modelos de regresión) que se trabajan de manera simultánea lo que da mucha potencia al trabajo matemático que se puede desplegar.

A modo de síntesis

La incorporación de las computadoras en la sociedad generó un cambio muy importante, del mismo modo la incorporación de computadoras en el aula genera un cambio cultural escolar. Este cambio afecta al conocimiento matemático, a los modos de estudiarlo, a la organización y gestión de la clase. Y la escuela está inmersa en un sistema escolar del siglo pasado. Es un gran desafío para tod@s.

En algunos grupos de estudio con docentes, es posible escuchar que la existencia de las computadoras en la escuela es un riesgo y una oportunidad.

Entre los riesgos está limitar la enseñanza a mostrar lo que se ve en pantalla, los dibujos geométricos, las representaciones gráfi cas de funciones, etc. La oportunidad está en proponer situaciones como las construcciones imposibles que ayudan a generar argumentos para la prueba.

El riesgo está en que se vacíe de contenido la enseñanza; el so ware resuelve las técnicas cuya aplicación es una actividad muy frecuente en las aulas. Nosotros apostamos a la oportunidad de producir avances en la enseñanza y el estudio de la matemática. En ese camino estamos y esperamos que este libro sea un aporte en esa dirección.

Mg. Gema FioritiSan Martín, 12 de octubre de 2011.

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Capítulo 1Construcción de triángulos: del dibujo a la figura

Susana Ammann – Cecilia González

Estudiar las fi guras planas es uno de los objetivos centrales de la geometría tanto en la enseñanza primaria, como así también en los primeros años de la

escuela secundaria.Siendo un eje relevante, valdrá preguntarnos: ¿Qué signifi ca estudiar las fi guras?

¿Pretendemos que sólo sean reconocidas perceptivamente? ¿Qué recuerden cómo se llaman, y las clasifi quen? ¿Qué usen sus propiedades para resolver problemas?

A todas estas preguntas cualquier docente responderá que sí, pero el signifi cado de fi gura cambia en relación con las personas que las miran o construyen. Para los niños pequeños las fi guras son sólo dibujos, es decir marcas en el papel cuya interpretación es perceptiva y no se plantea alguna otra relación más general.

Si ante el dibujo de un cuadrado, preguntamos a un niño cómo estaría seguro que es esa la fi gura, nos miraría atónito sin entender qué queremos, pero ya cuando esa pregunta la hacemos a un alumno de 10 u 11 años, podrá afi rmar que es un cuadrado porque sus lados son iguales y sus ángulos son rectos.

Investigadores como Laborde, C. (1998) establecen una diferencia entre fi gura –objeto geométrico descripto por las propiedades que lo defi ne– y dibujo como una de las representaciones de ese objeto.

A medida que los niños crecen, evolucionan en conceptualizar los objetos geométricos y sus propiedades, pero este proceso no necesariamente resulta espon-táneo, supone resolver diferentes tipos de problemas y en este proceso pensamos que las construcciones, tanto en entornos virtuales como en lápiz y papel tienen un valor prioritario.

Proponemos en este capítulo, construcciones de triángulos considerando como base alguna de sus propiedades, partiendo de sus elementos, como sus lados o ángulos dejando las medidas como una «noción paramatemática»1.

1. El término «noción paramatemática» se debe a Chevallard (1985) y se refi ere a nociones que, dentro de la enseñanza actual, son consideradas como herramientas transparentes, no cuestionables y no se las considera como objeto de estudio.

20 Geogebra entra al aula de Matemática

Muchas actividades de geometría pueden ser estudiadas con la utilización de un so ware de geometría dinámica. El hecho de poder desplazar los elementos base de la fi gura y acceder así a la «clase» de dibujo que la representa, abre un campo de nuevas oportunidades de aprendizaje: el alumno no sólo es observador sino podrá explorar y conjeturar en un tiempo considerablemente menor a aquel utilizado en las construcciones en lápiz y papel.

Realizar las siguientes actividades nos permitirá refl exionar juntos acerca de “lo que caracteriza los dibujos dinámicos es la capacidad de ser modifi cados por un movimiento continuo de sus componentes, asegurando que la propiedades geométri-cas de dichos objetos se mantienen invariantes. Esto quiere decir que toda propiedad geométrica se traduce en un fenómeno visual que se produce al arrastrar los objetos, de manera que el arrastre se convierte en un medio de reconocimiento y de verifi cación de las propiedades geométricas en un dibujo dinámico” (Acosta Gempeler, 2004, p. 5).

Actividad 1Reproducir con Geogebra, la siguiente fi gura, realizada en lápiz y papel.

Es posible que ubiquemos tres puntos cualesquiera en la pantalla2, utilizando la herramienta Nuevo Punto, y al unirlos con Segmento entre Dos Puntos, veremos el dibujo de un triángulo. Pero, al elegir Mueve y Arrastra aplicándolo sobre alguno de esos puntos, observamos una familia de triángulos a partir del dado, siendo esta la primera diferencia entre construir en lápiz y papel, y en un programa de geometría dinámica en cuanto al tiempo y cantidad de fi guras construidas.

2. Recomendamos que se trabaje en Geogebra como una hoja en blanco, sin la Vista Algebraica, Ejes y Cuadrícula.

21Capítulo 1: Construcción de triángulos: del dibujo a la figura

Al ubicar el mousse adentro de la fi gura construida e intentar arrastrar la misma, podremos verifi car que no es posible este desplazamiento. Geogebra reconoce una fi gura como tal, cuando se utiliza la herramienta Polígono. La cual permite, no sólo desplazar la fi gura por la hoja de trabajo, sino generar muchas otras posibles.

Actividad 2Construir un triángulo, dados los segmentos a y b.

¿Cuántos triángulos se pueden construir? ¿Por qué? ¿De qué elementos depende la formación de nuevos triángulos?

Construimos los segmentos a y b, a partir de la herramienta Segmento entre Dos Puntos. Para visualizar el nombre que Geogebra le asigna a cada segmento y poder modifi carlo, utilizamos el botón derecho del mouse a partir del cual se despliega su menú contextual.

Este menú posibilita varias acciones como se evidencia que permiten interactuar dinámicamente con la construcción.