Navegacion Aerea Duracion: 1 hora 30 minutos

Ingenieros Aeronauticos NoDNI Curso 11/12

Escuela Superior de Ingenieros1erApellido

2doApellido13/4/12

Universidad de Sevilla Nombre Ejercicio 2

Valor total:7 puntos.

1. (1.75 puntos) Responder las siguientes preguntas, suponiendo un modelo de Tierra esferico.

a) Definir ruta ortodromica y loxodromica. Cual se emplea en la practica y como?b) Las formula de la distancia y rumbo inicial ortodromicos entre dos puntos A (origen) y B (destino) son

dort = RE, donde cos = senA senB + cosA cosB cos(B A), y para el rumbo inicial:

cos(A) =cosA senB cosB senA cos(B A)

sen

Usando estas formulas, calcular la distancia (en millas nauticas) y rumbo inicial ortodromicos, entre las ciu-dades de Bogota (43556 N 740451 O) y Sidney (335136S 1511240E).

c) Las formulas de la distancia y rumbo loxodromicos son dlox = ReB Acos

, donde el rumbo se calcula de:

ln

(tan (pi/4 A/2)tan (pi/4 B/2)

)=B Atan

Usando estas formulas, calcular la distancia (en millas nauticas) y rumbo loxodromicos, entre Bogota y Sidney.Comparar con el apartado anterior.

2. (1.75 puntos) Responder a las siguientes preguntas sobre cinematica y representacion de la actitud.

a) La actitud del sistema de referencia B respecto a A viene dada por un giro de 30o en torno al eje z, y la delsistema de referencia C respecto a A viene dada por un giro de 150o en torno al eje y. Calcular la actitud deC respecto a B y expresarla de tres formas diferentes: como matriz de cosenos directores, como angulos deEuler y como cuaternion. Se recuerda la siguiente expresion que puede ser util:

Cbn =

cc cs scs + ssc cc + sss scss + csc sc + css cc

b) Una empresa aeronautica decide cambiar la definicion tradicional de los angulos de Euler para ver si puede

evitar la singularidad, definiendolos de la siguiente manera:

n1yn

S2xS

S 3yS

BFS

Deducir las ecuaciones diferenciales cinematicas para este caso y comprobar si existe o no singularidad, y siexistiera, para que valor de angulos aparece. Sera util para describir la actitud de una aeronave este conjuntode angulos de Euler?

3. (2 puntos) Para este apartado se considerara Tierra esferica y angulo de deriva cero ( = 0).

a) Describir genericamente el INS, dibujando un diagrama con los diferentes bloques de calculo (actitud, veloci-dad, posicion, modelo de gravedad, etc...) y las relaciones entre ellos. Comentar las ventajas e inconvenientesdel INS.

b) Con que parametros se modela el error en actitud de una aeronave Cbn? Encontrar justificadamente unaexpresion que relacione Cbn con dichos parametros.

c) Se quiere estudiar la propagacion del error en la estimacion de un angulo empleando un giroscopo. Para ello,se considera una situacion unidimensional de forma que = , se supone el angulo inicial perfectamenteconocido, y se modela la salida del giroscopo como = + , donde es la velocidad angular real y esruido blanco gaussiano de varianza 2 . Modelar estadsticamente el error, discretizar su ecuacion diferencialen el tiempo, y estudiar como cambia en el tiempo su distribucion estadstica. Pasados 70 minutos, calcular unintervalo 2 para el error en la estimacion del angulo suponiendo que el ARW del giroscopo es 0,5o/hr.

4. (1.5 puntos) Responder a las siguientes preguntas sobre el sistema de navegacion GPS:

a) Definir los conceptos de disponibilidad, continuidad e integridad.

b) Calcular la desviacion tpica total de los errores de la senal GPS, recordando que dichos errores vienen dadospor la suma de los siguientes factores:

Segmento espacial: error reloj ( = 1,1 m), calculo orbita ( = 0,8 m).Segmento usuario: Efectos atmosfericos, ruido del receptor y resolucion, efectos multicamino: = 7 m.

c) Cual es la configuracion de los satelites respecto al usuario mas favorable para minimizar el error geometricodel GPS? Usando el anterior resultado y suponiendo que para dicha configuracion la matriz G = (HTH)1

tiene el siguiente valor:

G =

0,672 0 0 00 0,672 0 00 0 1,6 0,5050 0 0,505 0,409

,calcular el factor PDOP y el factor TDOP y proporcionar una estimacion 2 del error en el tiempo obtenidoy una estimacion 2-DRMS del error en la posicion horizontal obtenida.

SOLUCION:

1. 1.75 puntos

a) Ortodromica: Ruta mas corta entre dos puntos de la Tierra. Loxodromica: Ruta mas corta entre dos puntos dela Tierra, manteniendo el rumbo constante. En la practica se utilizan rutas loxodromicas puesto que son massimples, tomando varios puntos de la ortodromica (waypoints) y viajando entre ellos por loxodromicas.

b) De las formulas se obtiene = 2,25 rad = 128,83o. Puesto que un minuto de arco es igual a una millanautica, dort = 128,83 60 = 7729,6 nmi. De la formula del rumbo obtenemos (A) = 130,75o, pero puestoque Sidney esta al sur(oeste) de Bogota es necesario corregir (A) = 360o 130,75o = 229,25o.

c) Para la loxodromica obtenemos primero el rumbo. Las longitudes hay que corregirlas puesto que |AB | >180o. Puesto que Sidney esta al oeste de Bogota hay que restarle 360o a la longitud de Sidney. Entonces con laformula del rumbo loxodromico obtenemos 73,22o. Pero puesto que Sidney esta al oeste hay que sumar 180o

obteniendo = 253,22o. Usando la formula de la distancia y la conversion entre minutos de arco y millasnauticas obtenemos (sin necesidad de saberse el radio de la Tierra o la conversion de kilometros a millas)dlox = 7991,6 nmi. Obviamente la distancia loxodromica sale mayor que la ortodromica, y los rumbos nodemasiado distintos.

2. 1.75 puntos

a) Los esquemas que se obtienen del enunciado son

A30ozA

B?C

y

A150oyA

C

Para encontrar la matriz usamos CCB = CCAC

AB = C

CA (C

BA )

T . Por tanto:

CCB =

cos(150o) 0 sen(150o)0 1 0sen(150o) 0 cos(150o)

cos(30o) sen(30o) 0 sen(30o) cos(30o) 00 0 1

T

=

3/4 3/4 1/21/2 3/2 03/4 1/4 3/2

Usando la matriz que se indica en el enunciado, se obtienen los angulos de Euler:

sen = 1/2 = 30ocos =

3/2, sen = 1/2 = 150o

cos = 1, sen = 0 = 180o

2

Finalmente para los cuaterniones se tiene qC/A = qB/AqC/B . Despejando qC/B , obtenemos:

qC/B =qB/AqC/A|qB/A|2

= qB/AqC/A

=(cos 150 + k sen 150

) (cos 750 + j sen 750

)=

(cos 150 k sen 150) (cos 750 + j sen 750)

= cos 150 cos 750 + i sen 150 sen 750 + j cos 150 sen 750 k sen 150 cos 750= 0,25 + i0,25 + j0,933 k0,067

b) Siguiendo un procedimiento identico (pero cuidadosamente adaptado a esta eleccion de angulos de Euler) alas paginas 1012 de las transparencias del tema 3, llegamos a: 12

3

= s3s2 c3 0c2 0 1c3s2 s3 0

123

= A 123

Invirtiendo esta matriz, obtendramos las EDC para estos angulos de Euler: 12

3

= A1 123

En la inversion aparece el inverso del determinante de la matrizA, que es igual a sen 2. Por tanto la singulari-dad aparece cuando 2 = 00, 1800. Estos angulos no seran utiles en la practica porque la identidad (la actitudde referencia donde b = n) ya estara en la singularidad! (a diferencia de los angulos de Euler tradicionalesdonde solo aparece en situaciones extremas).

3. 2 puntos

a) El esquema se encuentra en la pagina 16 del tema 4 de las transparencias. Las ventajas fundamentales son elhecho de ser autonomo (por lo que no depende de senales externas y se puede usar en cualquier punto de laTierra), y su alto ancho de banda (la solucion de navegacion se puede considerar continua); como desventaja,el error (deriva) crece con el tiempo y no esta acotado, ademas de necesitar un valor inicial (fix).

b) Pagina 23 del tema 4 de las transparencias.

c) Pagina 48 del tema 4 de las transparencias (ultima version). La respuesta numerica es 2 7/6 0,5 = 1,08o.4. 1.5 puntos

a) Paginas 3641 del tema 5 de las transparencias (solo es necesario dar una definicion corta de cada una).

b) UERE =1,12 + 0,82 + 72 = 7,1309 m.

c) Para el caso de cuatro satelites, un tetraedro, con el usuario ligeramente por debajo del centro de una de lascaras y los satelites en los vertices, de forma que uno se encuentra en el cenit del usuario y los otros tresligeramente por encima del horizonte.Respuestas numericas usando el UERE del apartado (b) y c = 3 108 m/s:

PDOP =G11 +G22 +G33 = 1,716

TDOP =G44 = 0,64

HDOP =G11 +G22 = 1,1593

t(2 ) = 2 TDOP UEREc

= 30 ns

2DRMS = 2 HDOP UERE = 16,53 m

3