PRÁCTICA DIRIGIDA: Intervalos de confianza

1. De una muestra de 12 varillas incluidas en un embarque se observa que el diámetro medio de ellas es de 2.35 mm y su desviación standard de 0.05 mm. Se supone que la longitud del diámetro de las varillas tiene una distribución normal con = 0.05 mm.

Estime el diámetro medio de las varillas del embarque mediante un intervalo

a) del 90% de confianza.

Nn 12Nivel de Confianza 0.9Desviación Estándar 0.05Media 2.35Valor Critico(z) 1.6448536Valor Critico(t) 1.79588419

Error 0.013707114

Li 2.363707114Ls 2.336292886

b) del 95% de confianza.

Nn 12Nivel de Confianza 0.95Desviación Estándar 0.05Media 2.35Valor Critico(z) 1.9600000

Error 0.016333333

Li 2.366333333Ls 2.333666667

Asignatura: ESTADÍSTICADocente: Ing. Claudio Cerrón Landeo

1

c) del 99% de confianza.

Nn 12Nivel de Confianza 0.99Desviación Estándar 0.05Media 2.35Valor Critico(z) 2.575

Error 0.021458333

Li 2.371458333Ls 2.328541667

(A medida que aumenta el nivel de confianza (1 - ), esperaremos más que el intervalo de confianza contenga el valor del parámetro. La amplitud del intervalo proporciona información sobre la precisión de la estimación por intervalo. Si el nivel de confianza es alto y el intervalo resultante de la estimación es angosto, nuestro conocimiento del valor del parámetro es razonablemente preciso. Por otra parte un intervalo ancho indica que hay mucha incertidumbre acerca del valor del parámetro que estamos estimando)

2. Una muestra aleatoria de n mediciones tomadas de una población normal con = 4 arroja como resultado una media 33. Construya un intervalo del 95% de confianza para la media poblacional cuando:

a) n = 5

N 0n 5NIV.CONF 0.95DE 4MEDIA 33VALORCRITICO(z) = 1.959963985VALOR CRITICO (t) = 2.776445105

ERROR= 3.506090162ERROR ( C ) = 7.839855938

LI 29.49390984LS 36.50609016

2

b) n=25

N 0n 25NIV.CONF 0.95DE 4MEDIA 33VALORCRITICO(z) = 1.959963985VALOR CRITICO (t) = 2.063898562

ERROR= 1.567971188ERROR ( C ) = 7.839855938

LI 31.43202881LS 34.56797119

c) n=45

N 0N 45Niv.conf 0.95De 4Media 33Valor critico(z) = 1.959963985Valor critico (t) = 2.015367574

Error= 1.168696721Error ( C ) = 7.839855938

Li 31.83130328Ls 34.16869672

d) Teniendo en cuenta los incisos anteriores, analizar qué ocurre con la precisión de la estimación a medida que aumenta el tamaño la muestra.

Hemos llegado a la conclusión que cuando el tamaño de muestra es menor el error es inversamente proporcional a los límites ya que el error aumenta y los límites disminuyen.

3. Una muestra aleatoria de 25 mediciones tomadas de una población normal arroja como resultado una media 300. Construya un intervalo del 95% de confianza para la media poblacional cuando:

3

a) = 20

N 0N 25Niv.conf 0.95De 20Media 300VALOR CRITICO(z) = 1.959963985VALOR CRITICO (t) = 2.063898562

Error= 7.839855938Error ( c ) = 39.19927969

Li 292.1601441Ls 307.8398559

b) = 40

N 0N 25Niv.conf 0.95De 40Media 300VALOR CRITICO(z) = 1.959963985VALOR CRITICO (t) = 2.063898562

Error= 15.67971188Error ( c ) = 78.39855938

Li 284.3202881Ls 315.6797119

c) = 80

N 0N 25

4

Niv.conf 0.95De 80Media 300VALORCRITICO(z) = 1.959963985VALOR CRITICO (t) = 2.063898562

Error= 31.35942375Error ( c ) = 156.7971188

Li 268.6405762Ls 331.3594238

d) Teniendo en cuenta los incisos anteriores, analizar qué ocurre con la precisión de la estimación a medida que aumenta .

El límite superior y los errores son directamente proporcionales e inversamente proporcionales al límite inferior.

d) En relación a la precisión de la estimación (amplitud del intervalo), complete las siguientes afirmaciones de modo que resulten verdaderas:

a) Si n y son fijos, entonces a medida que aumenta el nivel de confianza Aumenta la precisión.b) Si y el nivel de confianza son fijos entonces a medida que aumenta el tamaño de la muestra n . .

Se mantiene la precisión.c) Si n y el nivel de confianza son fijos, a medida que aumenta el desvío estándar poblacional

Disminuye la precisón.

e) Suponga que se selecciona una muestra aleatoria de 50 frascos de una marca de jarabe para la tos y se registra el contenido de alcohol de cada una de ellas. Sea el contenido medio de alcohol de la población de frascos de jarabe de la marca en estudio.

La expresión del intervalo del 95% de confianza es x̄ − 1 . 96⋅σ ( x̄ )≤ μ ≤ x̄ + 1. 96⋅σ ( x̄ ) .

a) Considere las siguientes afirmaciones, indique si son correctas o no. Justifique.

Exactamente el 95% de los intervalos incluyen al verdadero .

El 95% de los frascos de esta marca de jarabe para la tos tienen un contenido de alcohol que está en el intervalo.

Si el proceso de seleccionar una muestra aleatoria de 50 frascos y luego calcular el correspondiente intervalo del 95% es repetido indefinidamente, se espera que 95 de cada 100 intervalos incluirán al verdadero .

b) Si la media muestral observada es x̄ = 8. 6

con lo cual resulta un intervalo del 95% cuyos límites son 7.8 y 9.4 respectivamente. Indique si es correcta o no la siguiente afirmación. Justifique.

Hay una probabilidad del 95% de que esté entre 7,8 y 9,4.

f) Se desea estimar la media de ventas semanales por comerciante. Se supone que las ventas semanales por comerciante están normalmente distribuidas. De una gran cantidad de comerciantes, se extrae una muestra de 25 obteniendo de ella un promedio de $3.425. Calcule un

5

intervalo del 95% de confianza para la media poblacional. En cada inciso indique la distribución utilizada en la construcción del intervalo. Justifique.

a) Sabiendo que el desvío standart poblacional es de $ 200. ((X) = 200).

N= 0n= 251-ἀ= 0.95x= 3425D.E= 200valor critico(Z)= 1.9600valor critico(t)= 2.0639ERROR= 78.3986LI= 3346.6014LS= 3503.3986

Sabiendo que el desvío standart poblacional es de $ 200 trabajamos con el valor critico (z).Como podemos observar en el cuadro el límite inferior se encuentra en 33346.6014 y el límite superior en un 3503.3986

b) Si no se conoce el desvío poblacional, y el muestral es de $ 200 (S(X) = 200).

N= 0n= 251-ἀ= 0.95x= 3425D.E= 200valor critico(Z)= 1.9600valor critico(t)= 2.0639ERROR= 78.3986

LI= 3342.444058LS= 3507.555942

c) En base a una muestra de tamaño 150 que arroja un promedio de $ 3.425 y un desvío de $ 200. (S(X) = 200)

N= 0n= 1501-ἀ= 0.95x= 3425D.E= 200valor critico(Z)= 1.9600

6

valor critico(t)= 1.9760ERROR= 32.0061

LI= 3392.73184LS= 3457.26816

g) Un analista de un departamento de personal selecciona al azar 16 registros de empleados contratados por hora, obteniendo una tasa media salarial de $ 7,50 por hora. Suponiendo que los niveles de salarios en la firma están normalmente distribuidos, estime el nivel medio de salarios en la firma mediante un intervalo del 90% de confianza:

a) Si la desviación estándar poblacional de la tasa salarial es de $ 1 por hora .

N= 0n= 161-ἀ= 0.9x= 7.5D.E= 1valor critico(Z)= 1.6449valor critico(t)= 1.7531ERROR= 0.4112LI= 7.0888LS= 7.9112

b) Si no se conoce el desvío estándar poblacional pero en base a la muestra seleccionada fue estimado en $ 1 por hora.

N= 0n= 161-ἀ= 0.9x= 7.5D.E= 1valor critico(Z)= 1.6449valor critico(t)= 1.7531ERROR= 0.4112

LI= 7.061737411LS= 7.938262589

h) Suponga que las tasas de salarios de la firma en el problema 18 no pueden considerarse normalmente distribuidas.

a) Estime el nivel medio de salarios en la firma con un 90% de confianza sabiendo que se toma una muestra de 35 registros de empleados y se obtiene una tasa salarial media de $ 7 por hora y un desvío S(x) = 1 $ por hora.

N= 0n= 35

7

1-ἀ= 0.9x= 7D.E= 1valor critico(Z)= 1.6449

valor critico(t)= 1.6909ERROR= 0.2780LI= 6.7220LS= 7.2780

b) Idem al inciso anterior, pero con una muestra de 25 registros de empleados.

N= 0n= 251-ἀ= 0.9x= 7D.E= 1valor critico(Z)= 1.6449valor critico(t)= 1.7109ERROR= 0.3290LI= 6.6710LS= 7.3290

i) Una compañía de alquiler de autos está interesada en saber el tiempo que sus vehículos están fuera de servicio por trabajos de reparación. Una muestra aleatoria de 9 autos mostró que el número de días que estuvieron inoperativos durante el año pasado fue:

16 10 21 22 8 17 19 14 19

Enuncie los supuestos que es necesario hacer para calcular un intervalo del 90% de confianza para el tiempo medio fuera de servicio por año de los vehículos de la compañía y encuentre el mencionado intervalo.

Nota: Calcular X¿

y S(x).

n 9

8

Media 15.47Desviacion Estandar 4.79Niv de Confianza 0.95Valor critico(z) 1.96Error 3.129466667

Li 12.34053333Ls 18.59946667

j) La contaminación de ecosistemas con metales pesados es un problema ambiental muy serio, en parte por la potencial transferencia de las sustancias venenosas a los seres humanos mediante el consumo de alimentos. Un artículo1 informó de los siguientes datos sobre la concentración de zinc (en g/g):

Especies n x s(x)Mugil liza 56 9.15 1.27Pogonias cromis 61 3.08 1.71

a) Calcule un intervalo del 95% de confianza para la concentración media de zinc en la especie Mugil liza.

Mugil Lizan 56Media 9.15Desviacion Estandar 1.27Niv de Confianza 0.95Valor critico(z) 1.96Error 0.332633342

Li 8.817366658Ls 9.482633342

b) Calcule un intervalo del 99% de confianza para la concentración media de zinc en la especie Pogonias cromis. Porqué este intervalo es más ancho que el del inciso a) si está calculado en base a muestra de mayor tamaño?

Pogonias Cromisn 61Media 3.08Desviacion Estandar 1.71Niv de Confianza 0.99Valor critico(z) 2.576Error 0.56399733

1 Cadmioun, Zinc, and Total Mercury Levels in Tissues of several Fish Species from La Plata River Estuary, Argentina, Enviromental Monitoring and Assessment, 1993: 119-130

9

Li 2.51600267Ls 3.64399733

Tiene un nivel de confianza mayor y una muestra mayor, lo que permite mejores resultados.

c) Encuente e interprete con el 99% de confianza un intervalo unilateral inferior para la especie Mugil liza.

Mugil Lizan 56Media 9.15Desviacion Estandar 1.27Niv de Confianza 0.99Valor critico(z) 2.26Error 0.383546608

Li 8.766453392Ls 9.533546608

d) Encuente e interprete con el 99% de confianza un intervalo unilateral superior para la especie Pogonia cromis.

Pogonias Cromisn 61Media 3.08Desviacion Estandar 1.71Niv de Confianza 0.99Valor critico(z) 2.26Error 0.49481133

Li 2.58518867Ls 3.57481133

e) Analice los intervalos de c) y d) ¿puede concluir que es más riesgoso para la salud consumir Mugil liza que Pogonia cromis. Justifique.

Es mas peligroso consumir “Mugil Liza”, pues tiene los limites más elevados que la del “Pogonias Cromis”.

k) Una muestra de 50 firmas tomadas de una industria, indica un promedio de 420 empleados por firma y un desvío estándar de 40 empleados por firma. Si esta industria tiene un total de 380 firmas, construya un intervalo del 90% de confianza para:

a) el número medio de empleados por firma en la industria.

b) estimar el número total de empleados en la industria.

10

l) En una zona determinada se tomaron muestras aleatorias con el objeto de estimar la proporción de familias en las que el jefe/a no tiene empleo. Considere las siguientes situaciones:

En una muestra de 100 familias, hubo 12 en las que el jefe/a de familia no tiene empleo.

En una muestra de 250 familias, hubo 30 en las que el jefe/a de familia no tiene empleo.

En una muestra de 500 familias, hubo 60 en las que el jefe/a de familia no tiene empleo.

a) Para la zona en cuestión, estimar con un 95% de confianza el porcentaje de familias en las que el jefe/a no tiene empleo. Interprete.

n 100p 0.12q 0.88Niv de Confianza 0.95Valor Critico (z) 1.96

Error 0.063692461

Li 5.630753891Ls 18.36924611

n 250p 0.12q 0.88Niv de Confianza 0.95Valor Critico (z) 1.96

Error 0.040282649

Li 7.971735063Ls 16.02826494

n 500p 0.12q 0.88Niv de Confianza 0.95Valor Critico (z) 1.96

Error 0.028484135

Li 9.151586547Ls 14.84841345

b) ¿Cómo influye en el intervalo de confianza para p en términos de precisión de la estimación?

11

A mayor muestra, se observa que hay una mayor precisión en los resultados.

c) Sin realizar él cálculo establezca si un intervalo del 99% de confianza tendrá una amplitud menor, mayor o igual que el encontrado en c). Justifique.

n 100p 0.12q 0.88Niv de Confianza 0.99Valor Critico (z) 2.576

Error 0.083710092

Li 3.628990828Ls 20.37100917

n 250p 0.12q 0.88Niv de Confianza 0.99Valor Critico (z) 2.576

Error 0.052942911

Li 6.70570894Ls 17.29429106

n 500p 0.12q 0.88Niv de Confianza 0.99Valor Critico (z) 2.576

Error 0.037436291

Li 8.25637089Ls 15.74362911

m) En una muestra aleatoria de 487 mujeres no fumadoras de peso normal (índice de masa corporal entre 19.8 y 26.0) que dieron a luz en un gran centro médico metropolitano 2 resultó que de esos

2 The Effects of Cigarrette Smoking and Gestational Weight Change in Obese and Normal-Weight Woman , Amer. J. Of Public Health, 1997: 591-596

12

nacimientos un 7.2% de los bebés tuvieron bajo peso (inferior a los 2500 grs.) Calcule un intervalo de confianza del 96% para la proporción de niños de bajo peso cuyas madres son no fumadoras y de peso normal. Interprete.

n 487p 0.071868583q 0.928131417Niv de Confianza 0.96Valor Critico (z) 2.17

Error 0.025396246

Li 4.647233679Ls 9.726482954

El peso promedio de las mujeres no fumadoras, esta entre 2495.35277 y 2509.72648

n) Se examinó una muestra de 2000 componentes empleados en el armado de circuitos electrónicos, resultando que 44 de ellos tenían cierto defecto y fallaron durante el proceso de armado. Calcule un intervalo del 98% de confianza para la proporción de componentes que fallan durante el proceso de armado. Provee este intervalo evidencia suficiente para creer que a lo sumo el 3% de los componentes fallan? Justifique.

n 2000p 0.022q 0.978Niv de Confianza 0.98Valor Critico (z) 2.326

Error 0.007629138

Li 1.437086183Ls 2.962913817

El porcentaje de los artículos con defectos en cada lote es de 1.44 y 2.96.

o) Usando los datos del ejercicio 9:

13

a) Encuentre un intervalo del 95% de confianza para la variancia poblacional del tiempo fuera de servicio por año de los vehículos de la compañía.

n 9Media 15.47Desviacion Estandar 4.79Niv de Confianza 0.95Valor critico(z) 1.96Error 3.129466667

Li 12.34053333Ls 18.59946667

b) Calcule los límites del intervalo del 95% de confianza para el desvío estándar poblacional.

n 9Media 15.47Desviacion Estandar 4.52Niv de Confianza 0.95Valor critico(z) 1.96Error 2.953066667

Li 12.51693333Ls 18.42306667

p) Suponga que la resistencia a la tracción de cierta marca de alambre se distribuye en forma normal. Una muestra al azar de 16 alambres de esa marca dio una varianza de 140 Kg2.

a) Estime la varianza poblacional mediante un intervalo de 95 % de confianza. Interprete.

n 16Varianza 140Niv de Confianza 0.95Valor critico(z) 1.96n-1 15

Xi 6.262Xd 27.488

18.31273099 Varianza 8.740536209

c) Suponga que el fabricante está preocupado por una gran variabilidad. Calcule el límite superior del 98% para la varianza poblacional. Interprete el intervalo obtenido.

n 16

14

Varianza 140Niv de Confianza 0.98Valor critico(z) 2.326n-1 15

Xi 5.229Xd 30.578

20.0401204 Varianza 8.287148272

q) En una muestra aleatoria de 300 personas mayores de edad de una gran ciudad se encontró que 105 leían un determinado periódico X. A la vista de esos datos se pretende seleccionar una nueva muestra para conseguir una cota de error de 3 centésimas como máximo, con un nivel de confianza del 95%, para la estimación de la proporción de lectores de ese periódico por medio de un intervalo de confianza. Deduzca el número de individuos de la población que, como mínimo, debe tener la muestra.

n 300p 0.35q 0.65Niv de Confianza 0.95Valor Critico (z) 1.96

Error 0.053974191

Li 29.60258086Ls 40.39741914

r) Para estimar, por medio de un intervalo de confianza, la proporción p de individuos miopes de una población, se ha tomado una muestra de 80 individuos con la que se ha obtenido un porcentaje de individuos miopes del 35%. Determine, usando un nivel de confianza del 99%, el correspondiente intervalo de confianza para la proporción de miopes de toda la población.

n 80p 0.35q 0.65Niv de Confianza 0.99Valor Critico (z) 2.576

Error 0.137369895

Li 21.26301052Ls 48.73698948

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s) En una encuesta realizada a 500 mujeres adultas de una población se encontró que 300 de ellas están casadas actualmente. Construya con estos datos un intervalo de confianza, con un nivel del 90%, para la proporción de mujeres adultas actualmente casadas en esa población.

n 500p 0.6.q 0.4Niv de Confianza 0.99Valor Critico (z) 1.645

Error 0.036040144

Li 56.39598557Ls 63.60401443

t) Una muestra aleatoria de automóviles tomada en una zona turística ha permitido obtener un intervalo de confianza, al nivel del 95%, para estimar de la proporción de matrículas extranjeras de esa zona, siendo sus extremos 0,232 y 0,368.

a) Determine el valor de la proporción estimada a través de esa muestra y una cota del error de estimación a este nivel de confianza.

n 2500p 0.1956q 0.8044Niv de Confianza 0.95Valor Critico (z) 1.96

Error 0.1724

Li 0.0232Ls 0.368

b) Utilizando el mismo nivel de confianza, ¿cuál sería la cota de error, si esa misma proporción se hubiera observado en una muestra de 696 matrículas?

n 696p 0.702586207

16

q 0.297413793Niv de Confianza 0.95Valor Critico (z) 1.96

Error 0.033961105

Li 0.668625102Ls 0.736547312

17