Cuadernillo de Geometría Analítica (M3)

INTRODUCCIÓN

Este “Cuadernillo de Apuntes” de Geometría Analítica, se

elaboró bajo la aprobación y supervisión de la Academia

de Matemáticas del C.E.T.i.s. No. 83, con la finalidad de

contar con una herramienta de apoyo didáctico y

académico, tanto para los maestros como para los

alumnos, para que en aquéllos reforce la fluidez y

seguimiento de la exposición y en éstos se mejore su

grado de comprensión y entendimiento. El contenido

concuerda en tiempo y extensión con el programa de

estudios en vigor. Su desarrollo consta de una breve

INTRODUCCIÓN y un OBJETIVO POR UNIDAD, cada

objetivo está trabajado en forma sencilla y clara. Incluyen

dibujos y esquemas así como algunos ejemplos resueltos.

Cada objetivo, contiene su sección de Autoevaluación

conformada por un problemario para ser solucionado por

el alumno y confirme lo aprendido en clase. La

profundidad y forma en que están tratados los temas en

este trabajo, quedan a disposición del análisis y crítica

constructiva de los demás maestros de la materia, que

con sus comentarios y sugerencias le añadirán un valor

académico adicional en beneficio de nuestros alumnos,

que representan el motivo y objetivo de nuestra labor.

1 | P á g i n a

O B J E T I V O

Poner al alcance de los alumnos del sistema escolarizado

y abierto que inician su preparación en el apasionante

mundo de las matemáticas, una herramienta de consulta

de fácil comprensión y con orientación didáctica orientada

hacia la adquisición de conocimientos con posibilidades

de aplicación en el medio laboral.

2 | P á g i n a

FUNDAMENTACIÓN

Para coadyuvar en el constante esfuerzo para mejorar la

calidad de la capacitación que se ofrece al alumnado de

nuestros centros de estudios, es absolutamente necesario

que los maestros de cada área, participen con un alto

sentido de responsabilidad académica y compromiso

social. Una de las varias formas de participar con

responsabilidad académica, es la de plasmar

conocimientos y experiencias de aprendizaje con alto

contenido didáctico, en escritos sencillos que se

conviertan en valiosas herramientas de consulta y

orientación para nuestros alumnos. Estos escritos deben

ser verdaderas guías para la mejor comprensión de los

conocimientos relevantes que deben adquirirse y

puntualizar las habilidades que deben ser desarrolladas

para ejecutare con cierto grado de destreza. La actuación

del maestro es un compromiso social, estiba en tener

conciencia de la importancia de la labor que estamos

desempeñando al formar Recursos Humanos que al

egreso deben contar con conocimientos, actitudes y

habilidades muy bien definidas que deben facilitarles su

incorporación a la población económicamente activa: Por

lo anterior, los cuadernillos de apuntes elaborados por los

maestros, toman singular importancia, por la pertinencia y

congruencia con la que son realizados.

UNIDAD I: SISTEMA DE EJES COORDENADOS.

3 | P á g i n a

INTRODUCCIÓN: En esta unidad se muestra el manejo de un sistema de coordenadas cartesianas, la representación de puntos en el plano y el cálculo de la distancia entre puntos. Se analiza la división de un segmento en una razón dada y en su punto medio. Se calcula el área de un polígono cualquiera en función de las coordenadas de sus vértices, realizando las representaciones gráficas correspondientes.

OBJETIVO DE LA UNIDAD.El alumno: Resolverá problemas teóricos del sistemas de ejes coordenados, mediante la investigación de gráficas en los que se representen coordenadas cartesianas de un punto y lugares geométricos que abarquen situaciones prácticas de su entorno físico, para familiarizarse con la traducción del lenguaje gráfico al lenguaje verbal; asociando la aplicación de los conceptos básicos como distancia, división de un segmento en una razón dada y área de polígonos en la construcción de modelos matemáticos y aplicará las fórmulas correspondientes en la solución de algunos problemas que faciliten el planteamiento de la situación; contribuyendo a favorecer un ambiente escolar, colaborativo y responsable

1.1 SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS.

Sistema de coordenadas cartesianas

Este sistema también se denomina cartesiano en honor a René Descartes, por haber sido quien lo empleara en la unión del álgebra y la geometría plana para dar lugar a la geometría analítica.

Sistema de coordenadas cartesiano: Este sistema está formado por dos rectas o ejes, perpendiculares entre sí, generalmente un eje es horizontal y el otro vertical, que al interceptarse forman ángulos rectos y dividen al plano donde están contenidos en cuatro partes llamados cuadrantes (I, II, III y IV), las cuales se enumeran en el sentido contrario de las manecilla del reloj, como se muestra en la Figura:

Considerando que cada eje es una recta numérica que contienen todos los números reales en forma creciente de izquierda a derecha en el eje horizontal y de abajo a arriba en el eje vertical, es decir todos los números positivos están a la derecha y arriba del origen (O) y los negativos a la izquierda y abajo del mismo origen. Al eje

4 | P á g i n a

horizontal se le llama eje de las X o de las Abscisas, y al eje vertical de las Y o de las Ordenadas. Para la ubicación de un punto cualquiera en el plano se consideran las distancias a los ejes, que son sus Coordenadas. La distancia de un punto al eje de las Y es su Abscisa y la distancia al eje de las X es su ordenada. Las Abscisas se representan por la letra X y las Ordenadas por la letra Y, es decir que las coordenadas de un punto P son P(X, Y), las cuales se anotan como parejas ordenadas dentro de un paréntesis y separadas por una coma. Las coordenadas del origen O son (0,0).

1.2 LOCALIZACIÓN DE PUNTOS EN EL PLANO

Cuando nos encontramos en una gran ciudad, podemos localizar cualquier esquina si contamos con dos datos: el nombre de la calle y el nombre de la avenida que cruza.En un salón de clases se puede localizar cualquier asiento, con tan sólo dos datos: el número de la fila y el número de la hilera. Los anteriores son ejemplos de la localización de puntos en el plano coordenado.

Representación gráfica de los puntos.

En el sistema de coordenadas rectangulares hay una relación que establece que a cada par de números reales (x, y) le corresponde un punto definido del plano, y a cada punto del plano le corresponde un par único de coordenadas (x, y).

En el proceso graficador hay que tomar en cuenta que siempre el número que se da primero es la de la abscisa (x) y el segundo la ordenada (y), así como los signos de las coordenadas del punto para ubicarlo en los cuadrantes, para ello se emplea papel cuadriculado o de coordenadas rectangulares, ya que facilita la localización y el marcado de puntos en el plano.

La localización de un punto por medio de sus coordenadas se llama trazado del punto, para trazar el punto A(2,5) , fijamos la coordenada en el eje “X” que esta 2 unidades a la izquierda del origen, con lo cual representamos la abscisa del punto, luego fijamos la coordenado del eje “Y” que está a 5 unidades hacia arriba del origen, con lo cual representamos la ordenada del punto como vemos en la figura:

Se debe prestar atención en no confundir el eje de las abscisas con el de las ordenadas: el primer número representa el de la abscisa x y, en consecuencia, se marca sobre el eje horizontal de las x, mientras que el segundo es la ordenada y, por

5 | P á g i n a

tanto, se indica sobre el eje vertical de las y. Por ello, los puntos A (5, 2) y B (2, 5) tienen localizaciones muy diferentes, como podemos observar en la figura anterior.

EJEMPLO: A continuación, se indican sobre un plano los puntos P(1, 3), Q(–3, 5), R(–2, –3), S(1, – 4).

Se observa que si ambas coordenadas son positivas, el punto se encuentra en el primer cuadrante (I); si son ambas negativas, el punto se encuentra en el tercer cuadrante (III); si la abscisa es negativa y la ordenada positiva, se localiza en el segundo cuadrante (II), y, finalmente, si la abscisa es positiva y la ordenada negativa, se encuentra en el cuarto cuadrante (IV). Por consiguiente, se puede afirmar que a cada pareja ordenada de puntos le corresponde un punto del plano, y viceversa; a cada punto del plano le corresponde una pareja ordenada de puntos.

ACTIVIDADES EVALUATORIASPROBLEMARIO:

I.- Graficar lo siguiente:

1.- ¿En qué cuadrante se localizan los siguientes puntos?a¿ . N (−5 ,0)b¿ .O(−2 ,−4)c ¿ .P(−7 ,5)d ¿ . S (−4.9 ,−2.7)

e ¿ .U ( 94,−32 )

2.-Determinar gráficamente los siguientes puntos.a¿ . A (3 ,4 ) , B (−2 ,1 ) ,C(−5 ,−2)b¿ .C (1 ,3 ) ,M (0 ,4 ) , R(−6 ,6)c ¿ .B (2 ,2 ) ,G (7 ,4 ) ,O(−8 ,10)d ¿ . L (−9 ,−3 ) ,F (−5 ,1 ) , I (4 ,0)

6 | P á g i n a

3.-Trazar la línea que pasa por los puntos:(1 ,2 ) y (3 ,4 )(−2 ,1 ) y (−4 ,4 )(−3 ,−2 ) y (−1 ,−7 )(2 ,−4 ) y (5 ,−2 )(3 ,0 ) y (0 ,4 )(−4 ,0 ) y (0 ,−2 )

4.- Dibujar el triángulo cuyos vértices son los puntos: (0 ,6 ) , (3 ,0 ) y (−3 ,0 ) .

5.- Dibujar el cuadrado cuyos vértices son los puntos: (4 ,4 ) , (−4 ,4 ) , (−4 ,−4 ) y (4 ,−4 ) .

6.- Dibujar el rectángulo cuyos vértices son: (1 ,−1 ) , (1 ,−3 ) , (6 ,−1 ) y (6 ,−3 ) .

7.- Dibujar el rombo cuyos vértices son: (1 ,4 ) , (3 ,1 ) , (5 ,4 ) y (3 ,7 ) .

8.- Dibujar la recta que pasa por (4 ,0 ) y (0 ,6 ) y la recta que pasa por (0 ,1 ) y (4 ,5) y hallar el punto de intersección de las dos rectas.

9.- Probar gráficamente que la serie de puntos (−3 ,5 ) , (−3 ,1 ) , (−3 ,−1 ) , (−3 ,−4 ) se hallan en una línea paralela a la línea que contiene a los puntos: (2 ,−4 ) , (2 ,0 ) , (2 ,3 ) , (2,7 ) .

10.- Probar gráficamente que la línea que pasa por (−4 ,0 ) y (0 ,−4 ) es perpendicular a la línea que pasa por (−1 ,−1 ) y (−4 ,−4 ) .

7 | P á g i n a

1.3 PROPIEDADES DE SEGMENTOS DE RECTA.

Distancia no dirigida entre dos puntos.

Sean P1(x1, y1) y P2(x2, y2) dos puntos que no se hallan sobre una misma recta horizontal o vertical (ver figura) se traza una recta que pasa por P1, paralela al eje x y otra recta que pasa por el punto P2 paralela al eje y, estas rectas se intersectarán en un punto Q (x2, y1) formando así un triángulo P2 QP1, en el cual identificamos:

P1 P2│¿ hipotenusa ¿ d ¿(distancia)P1Q ¿ cateto adyacente ¿ (x2−¿ x1)QP2 ¿ cateto opuesto ¿(y2 – y1)

Al aplicar el teorema de Pitágoras, tenemos:

(P1P2)2 ¿ (P1Q)2 +(QP2)2

P1P2 ¿√ (P1Q )2+(QP2 )2

P1P2 ¿√ (x2−x1 )2+( y2− y1 )2

∴ La distancia no dirigida entre dos puntos se representa por:

d=√(x2−x1 )2+( y2− y1)2

EJEMPLOS:1. Calcular la distancia entre los puntos: A(−3,2) y B(1 ,−1). Solución: Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos, tenemos:

AB=√(−3−1)2+(2+1)2=√16+9=√25=5

8 | P á g i n a

2. Demuestra que los siguientes puntos A(−4 ,6) ,B(6 ,2) yC (4 ,−4) son los vértices de un triángulo escaleno. (Sus tres lados son desiguales)

Solución:

Debemos calcular las longitudes de los lados AB , AC y BC usando la fórmula de la distancia.

AB=√(−4−6 )2+(6−2)2=√100+16=√116=10 . 77

AC=√(−4−4 )2+(6+4 )2=√64+100=√164=12 .8

BC=√(6−4 )2+(2+4 )2=√4+36=√40=6 .32

9 | P á g i n a

ACTIVIDADES EVALUATORIASPROBLEMARIO

I.- Halla la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son:1. A (−2 ,5 ) y B (4 ,−3 )2. L (0 ,4 ) y B (9 ,2)

II.- Resuelve los siguientes problemas.

1. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a 2√3 es el punto A (1 ,0 ); si la ordenada del otro extremo es (−3 ), halla su abscisa.

2. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a 4 es el punto P (2 ,−2 ) ; si la abscisa del otro extremo es (2), halla su ordenada.

3. Demuestra que los siguientes puntos son los vértices de un triángulo isósceles. (Dos lados iguales y uno desigual)

1. A (−2 ,2 ) , B (3 ,1 ) y C (−1 ,−6 )2. A (−2 ,1 ) , B (2,2 ) yC (5 ,−2)

4. Demuestra que los siguientes puntos son los vértices de un triángulo rectángulo. (Sus tres lados son desiguales)

1. A (3 ,2 ) ,B (−2 ,−3 ) yC (0 ,4)2. K (2,−2 ) , L (−8 ,4 ) yM (5 ,3)

5. Demuestra que los puntos siguientes son los vértices de un paralelogramo. (Sus lados opuestos son paralelos e iguales)

a). A (4 ,2 ) , B (2,6 ) ,C (6 ,8 ) y D (8 ,4 )b). A (1 ,3 ) , B (7 ,3 ) ,C ( 9 ,8 ) y D (3 ,8 )

10 | P á g i n a

División de un segmento en una razón dada.

Vamos a determinar las coordenadas de un punto Pque divida a un segmento de

recta AB de extremos conocidos, en partes tales que guarden entre sí la razón (0

relación) r= AP

PB , consideremos el segmento AB

en donde A y B son dos puntos cualesquiera y se designan con las coordenadas A(x1, y1) y B(x2, y2). El punto que

divide al segmento es P(x , y) ,

y la razón es r= AP

PB , que quede claro que lo que se busca son las coordenadas del punto P. Ver figura:

De acuerdo con la figura los

segmentos A1P1 y

P1 B1guardan la misma relación que

los segmentos AP y PB , es decir:

r= APPB

=A1P1

P1 B1

=x−x1

x2−x

En donde: r=

x−x1

x2−x

de donde:

11 | P á g i n a

r ( x2−x )=x−x1

rx 2−rx=x−x1

rx 2+x1=x+rxrx 2+x1=x (1+r )

finalmente la abscisa del punto P será igual:

x=rx2+x1

1+r para r≠1Siguiendo el mismo procedimiento para las ordenadas, obtenemos:

r= APPB

=A2P2

P2B2

=y− y1

y2− yde donde:

y=ry 2+ y1

1+r para r≠1

Para el caso particular de que el P(x , y) sea la mitad del segmento AB y la razón r=1, le llamaremos punto medio y las coordenadas de P serán:

x=x2+x1

2 y=

y2+ y1

2

Punto medio

Punto medio es el punto que divide a un segmento en dos partes iguales. El punto

medio de un segmento, es único y equidista de los extremos del segmento

Ejemplos:a). Los extremos de un segmento de recta son: A(−3 ,−4 ) y B(4,2). Determinar sobre dicho segmento un punto P que divide a este segmento según la razónr=2.

Solución: Su abscisa será:

x=(2 )(4 )+(−3 )

1+2=8−3

3=5

3

Su ordenada será: y=

(2 )(2)+(−4 )1+2

=4−43

=03=0

El punto pedido P(,0)

12 | P á g i n a

b). Dado el segmento de recta cuyos extremos son A(−6,8) y B (4 ,−2)

Determinar el punto P que lo divide en la relación

23

Solución:

x=(2

3)(4 )−6

1+(23)

=8−183+2

=−105

=−2

y=(2

3)(−2)+8

1+(23)

=−4+243+2

=205

=4

El punto P buscado es P(−2 ,4 ).

c). Encontrar el punto medio M del segmento AB , sabiendo que: A(-8,-6) y B(4,2).Solución:

x=4−82

=−42

=−2

y=2−62

=−42

=−2

El punto M buscado es: M (−2 ,−2) .

Determinación de la razón cuando un segmento se divide en n partes iguales.

Si un segmento se divide en n partes iguales, la razón para determinar las coordenadas de cada punto que divide a dicho segmento, se calcula de la siguiente manera:

a). Si el segmento AB, se trisecta (dividir en tres partes iguales), la razón para cada punto es:

Para el punto P1, tenemos:

r=A P1

P1B=1

2→Unsegmento→dos segmentos

13 | P á g i n a


r=A P2

P2B=2

1=2

b). Si el segmento AB se divide en cuatro partes iguales la razón para cada punto es:


r=A P1

P1B=1

3


r=A P2

P2B=2

2=1

c). b). Si el segmento AB se divide en cinco partes iguales la razón para cada punto es:

14 | P á g i n a


r=A P1

P1B=1

4Para el punto P2, tenemos:

r=A P2

P2B=2

3


r=A P3

P3B=3

2


r=A P4

P4 B=4

1=4

Criterios de aplicación.1.- La razón es positiva cuando el punto buscado estará situado entre los puntos dados del segmento.

r=+¿2.- La razón es negativa,

cuando el punto buscado este situado fuera de los puntos dados del segmento.

15 | P á g i n a

r=−¿

EJEMPLOS:

1). Los extremos de un segmento de recta son: A(−3 ,−4 ) y B(4 ,2) .Determinar sobre dicho segmento un punto P que divide a este segmento según la razón r=2.

Solución:

Su abscisa será: x=

(2 )(4 )+(−3 )1+2

=8−33

=53

Su ordenada será: y=

(2 )(2)+(−4 )1+2

=4−43

=03=0

El punto pedido: P(,0)

2). Dado el segmento de recta cuyos extremos son A(−6,8) y B (4 ,−2)

Determinar el punto P que lo divide en la relación

23

Solución:

x=(2

3)(4 )−6

1+(23)

=8−183+2

=−105

=−2

y=(2

3)(−2)+8

1+(23)

=−4+243+2

=205

=4

El punto P buscado es P(−2 ,4 ).

ACTIVIDADES EVALUATORIASPROBLEMARIO.

16 | P á g i n a

I.- Halla las coordenadas del punto medio para cada uno de los siguientes segmentos, cuyos extremos son:

a). A (−4 ,6 ) y B (3 ,−2 )b). A (2 ,5 ) y B (8 ,1 )c). A (−2 ,1 ) y B (3 ,−5)

II.- Resuelve los siguientes problemas.

1.- Los vértices de un triángulo son A (3 ,8 ) ,B (2 ,−1 ) yC (6 ,−1 ) . Si D es el punto medio del lado BC ,calcular la longitud de la mediana AD.

Mediana: Es el segmento de recta trazado de un vértice de un triángulo al punto medio de su lado opuesto.

2.- Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados sucesivos del cuadrilátero cuyos puntos son (−3 ,−1 ) , (0 ,3 ) , (3 ,4 ) y (4 ,−1 ), forman un paralelogramo.

3.- Los extremos del diámetro de una circunferencia son A (3 ,−2 ) y B (5 ,6 ) ; halla las coordenadas del centro.

4.- Demuestra que las rectas que unen los puntos medios de los lados del triángulo cuyos vértices son A (−1 ,5 ) ,B (−4 ,−6 ) y C (−8 ,−2 ) , y dividen a dicho triángulo en cuatro triángulos iguales.

5.- Halla las coordenadas de un punto P ( x , y ) que divide al segmento determinado por

P1 (−2 ,5 ) y P2(10 ,−2) en la relación r=23

6.- Se sabe que el punto P(8 ,−4 ) divide al segmento que se determina por los puntos P1 (14 ,−12 ) y P2( x2 , y2) en la relación r=2 , halla las coordenadas del P2 .

7.- Halla las coordenadas de los puntos que trisectan al segmento A (3 ,5 ) y B (6 ,10 );determina también su punto medio.

8.- El extremo del diámetro de una circunferencia de centro C (6 ,−2) es A (2 ,4 );halla las coordenadas B (x , y ) del otro extremo.

9.- Halla las coordenadas de los puntos que dividen al segmento determinado por A (9 ,−3 ) y B(−2 ,7) en 4 partes iguales.

10.- Para el tendido de un cableado telefónico sobre una calle se requieren cuatro postes, los cuales deben estar separados por distancias iguales. Si el primero de los postes se encuentra en uno de los extremos del cableado que está en el punto A ¿ y el último extremo que se localiza en B(−30 ,−30), se desea determinar las coordenadas del punto D yC para colocar ahí otros postes entre A y B. las longitudes están dadas en metros m.

17 | P á g i n a

1.4 ÁREA DE UN POLÍGONO EN FUNCIÓN DE LAS COORDENADAS DE SUS VÉRTICES.

Área de una región triangular se expresa por:

A=12 |x1 y1

x2 y2

x3 y3

x1 y1

|=12

( x1 y2+ x2 y3+x3 y1−x1 y3−x3 y2−x2 y1 )

Esta fórmula también se emplea para determinar el área de cualquier polígono. Se hace notar que el primer renglón se ha repetido al final con el fin de facilitar la operación. Si los vértices se ordenan en la fórmula en sentido contrario a las manecillas del reloj, el área resultante es de signo positivo; en caso contrario será negativa.

Ejemplo: Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A (3 ,2 ) ,B (7 ,4 ) y C (−2 ,5 ) .

A=12 |x1 y1

x2 y2

x3 y3

x1 y1

|=12| 32

7 4−2532

|A=1

2[ (3 ) ( 4 )+ (7 ) (5 )+ (−2 ) (2 )−(3 ) (5 )−(−2 ) (4 )− (7 )(2)]

A=12

[12+35−4−15+8−14 ]

A=12

[22 ]=222

=11unidades2 Área=11unidades2

18 | P á g i n a


I.- Halla el área, perímetro y semiperímetro para los siguientes triángulos cuyas coordenadas de los vértices son:

1. A (3 ,−4 ) , B (5,2 ) y C (−7 ,−3 )2. A (−4 ,−1 ) ,B (−2 ,−6 ) yC (5 ,−2 )3. A (7 ,−3 ) ,B (−2 ,2 ) y C(6 ,4)

II.- Halla el área, perímetro y semiperímetro para los siguientes polígonos cuyas coordenadas de los vértices son:

1. A (−3 ,3 ) ,B (4 ,2 ) ,C (7 ,7 ) y D (−1 ,6 )2. A (−3 ,−2 ) , B (−7 ,1 ) ,C (−2 ,8 ) , D (1 ,5 ) y E (6 ,3 )3. A (−5 ,1 ) ,B (−4 ,6 ) ,C (3 ,5 ) , D (7 ,2 ) y E(2 ,−4)

III.- Resuelve los siguientes problemas.

1. Los vértices de un triángulo rectángulo son los puntos (1 ,−2 ) , (4 ,−2 ) , (4 ,2 ) .Determinar la longitud de los catetos, después el área del triángulo y la longitud de la hipotenusa.

2. Halla el área del triángulo cuyos vértices son: A (2 ,−2 ) ,B (−8 ,4 ) yC (5 ,3 );comprueba el resultado por la fórmula:

A=(b )(h)

2

3. Los vértices de un cuadrilátero son los puntos (1 ,3 ) , (7,3 ) , (9,8 ) y (3,8 ) ; Calcule su área y compruebe el resultado por la fórmula: A=bh

19 | P á g i n a

UNIDAD 2: LOS ELEMENTOS DE UNA RECTA COMO LUGAR GEOMÉTRICO.

INTRODUCCION: En esta unidad se muestran las definiciones algebraica, analítica y gráfica de una recta, se analiza el concepto de pendiente y ángulo de inclinación, así como las diferentes formas para determinar su ecuación general. Se incluye también el cálculo del ángulo entre dos rectas y la distancia de un punto a una recta.

OBJETIVO DE LA UNIDAD.El alumno: Resolverá problemas teóricos que involucren a la línea recta, aplicando e integrando de manera crítica y reflexiva, los conceptos, técnicas y procedimientos básicos de la Geometría Analítica, mediante el empleo de distintas formas de la ecuación de la recta y sus transformaciones, gráficas, ecuaciones y propiedades de la recta, que apliquen en distintos ámbitos del entorno físico en el que se desenvuelve; colaborando a generar un ambiente escolar que favorezca el desarrollo de actitudes de iniciativa, responsabilidad e interés científico.

2.1 PENDIENTE Y ÁNGULO DE INCLINACIÓN

La recta.

Intuitivamente sabemos qué es una recta; sin embargo, a pesar de su sencillez, el de recta es un concepto fundamental en las matemáticas, ya que muchos de los fenómenos o procesos que se estudian en las ciencias son lineales, es decir, las variables que intervienen en ellos se relacionan por medio de una ecuación que representa una recta.

De acuerdo con los axiomas de Euclides las propiedades fundamentales de la recta son:

Dos rectas distintas son paralelas o se cortan en un solo punto. Por dos puntos distintos pasa únicamente una recta.

Pendiente de una recta

Se define como pendiente o coeficiente angular de una recta, al grado de inclinación que dicha recta posee con respecto a un sistema de referencia, o coordenado. Matemáticamente se dice que la pendiente de una recta es una diferencia de ordenadas entre una diferencia de abscisas, y se denota convencionalmente con la literal m y de acuerdo con la definición, se expresa por m=tg θ

Se suele decir que la pendiente de una recta se define como la tangente de su ángulo de inclinación.

Ángulo de inclinación

El ángulo de inclinación de una recta es el ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje x. Sea L una recta no paralela al eje x y que lo intersecta en el punto

20 | P á g i n a

Incremento en y>0

Incremento en x>0

P2

Y

XP1

A. La dirección de la recta en relación con los ejes coordenados puede indicarse si se conoce el ángulo θ<180 ° que se obtiene al girar la semirrecta A⃗X en sentido contrario al recorrido de las manecillas del reloj hasta coincidir con la recta L.Por lo tanto, este ángulo (θ) se denomina inclinación de la recta L . A partir de la ecuación m=tg θ , despejando para el ángulo de inclinación, tenemos:θ=arc tgm

Criterios de aplicación sobre la pendiente.

El ángulo (θ ) de inclinación de la recta puede tomar cualquier valor entre 0 ° ≤θ≤180 °, por lo que los siguientes criterios facilitan la comprensión del comportamiento de la pendiente en el sistema de coordenadas rectangulares:

a). m es un número positivo, si 0 °<θ<90°

21 | P á g i n a

X

L

X’

Y

𝜃A

Incremento en x>0

X

P1

P2

Incremento en y<0

Y

X

Incremento en y = 0

P2P

b). m es un número negativo, si 90 °<θ<180 °

c). m=0 , si θ=0 °

22 | P á g i n a

Y

Incremento en x = 0

P2

P

X

Y

d). m=∞, si θ=90 °

La pendiente se define matemáticamente por el siguiente

TEOREMA. Sean P1 ( x1 , y1 ) y P2(x2 , y2) dos puntos diferentes cualesquiera de una recta, la pendiente de dicha recta es:

m=y2− y1

x2−x1

siendo x1≠x2

EJEMPLO.Halle la pendiente y ángulo de inclinación de la recta que se forma por los puntos (−2 ,6) y (3 ,−4 ) . Grafique la recta. La pendiente de la recta a través de estos puntos es:

m=y2− y1

x2−x1

= −4−63−(−2 )

=−105

=−2

Por lo tanto, la pendiente es m=−2 y la recta que pasa por P1 y P2 se muestra en la figura:

23 | P á g i n a

Y

X

4,32 P

Para determinar el ángulo de inclinación utilizamos la ecuación: θ=arc tgm

θ=arc tgmθ=arc tg (−2 )θ=−63 °26 '6 ' '

Como la m es negativa, el ángulo θ es mayor de 90 ° pero menor de 180 ° , por lo que el ángulo encontrado deberá restarse a 180 ° , es decir:

θ=180°−63 °26 '6' '=116° 33'54 ' '


1.- Halla la pendiente y el ángulo de inclinación para las siguientes rectas que se forman con los puntos: A (−5 ,−2 ) y B (7 ,5 ) M (7 ,8 ) y N (4 ,3 ) A (0 ,3 ) y B (11 ,−1 ) P (7 ,4 ) y Q(1 ,−2)

2.- Determina la pendiente de las siguientes rectas cuya inclinación es:a¿ .135 ° c ¿ .60 °b¿ .120 ° d ¿ .45 °

3.- Determina el ángulo de inclinación para las siguientes rectas cuya pendiente es:a¿ .1b¿ .2.144506c ¿ .−1.428148d ¿ .−0.6

24 | P á g i n a

Y Y

X

𝜃1𝜃2

4.- Determina la inclinación de una recta cuya pendiente es −0.7002 .

5.- Determina la inclinación de una recta cuya pendiente es 32.

6.- Determina la pendiente de una recta cuyo ángulo de inclinación es de 60 ° .

7.- Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos A (1,5 ) y B (7 ,−7 ) .

8.- Se apoya una escalera contra una pared. El extremo superior queda a 4 metros (m) sobre el piso y el inferior a 2m de distancia de la pared. ¿Cuál es la inclinación de la escalera con respecto al piso? Dibuje el esquema.

2.2 PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD.

1.- Dos rectas que son paralelas, sus pendientes son iguales. Dos rectas, L1 y L2 ,

son paralelas sólo si sus inclinaciones son idénticas; si las pendientes de las rectas son m1 y m2 , la condición de paralelismo establece que m1=m2 .

Como L1 y L2 son paralelas, sus inclinaciones θ1 yθ2 son iguales, es decir, θ1=θ2 y en consecuencia tgθ1=tgθ2, por lo tanto m1=m2 .2.- Dos rectas son perpendiculares entre sí, si la pendiente de una de las rectas es recíproca y de signo contrario de la pendiente de la otra recta.

25 | P á g i n a

Dos rectas son perpendiculares entre sí cuando el producto de sus pendientes es igual a (−1 ): m1m2=−1

ACTIVIDADES EVALUATORIAS PROBLEMARIO.

1.- Dadas las siguientes rectas que pasan por los puntos A y B ,así como las definidas por los puntos M yN ;determina si son paralelas o perpendiculares entre sí:a¿ . A (4 ,1 ) ,B (−2 ,5 ) yM (3 ,7 ) ,N (−1 ,1)b¿ . A (−7 ,1 ) ,B (1,−6 ) y M (−4 ,−6 ) ,N (3 ,2)

2.- Demuestra, por medio de pendientes, que los puntos dados son los vértices de un paralelogramo.a¿ . A (4 ,6 ) ,B (2 ,−2 ) ,C (−11 ,−1 ) y D(−3 ,−9)b¿ . A (2 ,4 ) ,B (6 ,2 ) ,C (8 ,6 ) y D(4 ,8)

3.- Demuestra que los puntos dados son los vértices de un rombo y que sus diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio.a¿ . A (6 ,5 ) ,B (9 ,9 ) ,C (5 ,6 ) y D(2,2)b¿ . K (2 ,2 ) , L (5 ,6 ) , M (9 ,9 ) y N (6 ,5)

4.- Demostrar por medio de pendientes que los siguientes puntos son las paralelas de un cuadrado y que sus diagonales son perpendiculares.a¿ . A (0 ,1 ) , B (3 ,5 ) ,C (7 ,2 ) y D (4 ,−2)b¿ . K (4 ,−2 ) , L (7 ,2 ) ,M (3 ,5 ) y N (0 ,1)

5.- Se tiene que la recta r1 pasa por los puntos A(1 ,−3), B(−3 ,−11) y la recta r2 por P (3 ,13 ) ,Q (−1,5 ) . Determina si r1 yr 2 son paralelas, perpendiculares o se cortan oblicuamente.

26 | P á g i n a

L1

2.3 ANGULO DE INTERSECCIÓN ENTRE DOS RECTAS.

Ángulo de dos rectas.

Consideremos la figura las dos rectas L1 y L2. Sea C su punto de intersección y A y B los puntos en que cortan al eje X . Sean θ1 yθ2los dos ángulos suplementarios que forman. Cada uno de estos ángulos, θ1 yθ2 , se miden, en sentido contrario al de las manecillas de un reloj, o sea en sentido positivo. La recta a partir de la cual se mide el ángulo se llama recta inicial; la recta hacia la cual se dirige el ángulo se llama recta final. Las pendientes de las rectas inicial y final se llaman pendiente inicial y pendiente final, respectivamente.

Gráficamente, se tiene:

Vamos a calcular cada uno de los ángulos θ1 yθ2cuando se conocen las pendientes m1 y m2de los lados que forman estos ángulos.

El triángulo ABC, siendo θ1=ACB , tendremos:α 2=α 1+θ1, o sea θ1=α2−α1(1)

Tomando las tangentes de ambos miembros de (1)

Tenemos:

tgθ1=tg α 2−tgα 1

1+ tgα 2tg α 1

27 | P á g i n a

L1

A B

C

α 2α 1

Y '

Y

θ1

θ2

α 2

θ2

X

L1

L2

A

Pero m1=tg α1 y m2=tgα 2 . Luego, de (2)

tgθ1=m2−m1

1+m2m1

(3)

Para el triángulo ABC, con θ2 por ángulo exterior, tenemosθ2=α1+(180°−α 2)

Tomando tangentes de ambos miembros, obtenemos:

tgθ2=tgα 1+ tg(180°−α 2)

1−tg α1 tg(180°−α 2)=

tg α1−tgα 2

1+ tgα 1tg α2

,

De donde obtenemos el resultado buscado:

tgθ2=m1−m2

1+m1m2

(4)

Para calcular un ángulo especificado es esencial saber si se debe usar la fórmula (3) o la (4) , es decir, debemos tener la seguridad de que estamos calculando un ángulo particular o su suplemento. Esto se resuelve muy sencillamente si observamos que, en ambos resultados, el numerador se obtiene restando la pendiente inicial de la pendiente final. De acuerdo con esto tenemos el siguiente

TEOREMA. Un ángulo especificado θformado por dos rectas está dado por la fórmula.

tgθ=m2 – m1

1+m1m2

,m1m2≠−1 ,(5)

En donde m1 es la pendiente inicial y m2la pendiente final correspondiente al ángulo θ.

28 | P á g i n a

EJEMPLO. Determinar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos:A (−2,1 ) ,B (3,4 ) y C (5 ,−2 ); comprobar los resultados.

Solución:

Al graficar los puntos dados, se obtiene:

Determinaremos las pendientes de los lados del triángulo.

m AB=y A− yB

x A−xC= 1−4

−2−3=−3

−5=3

5

mBC=yB− yC

xB−xC

= 4+23−5

= 6−2

=−3

m AC=y A− yCx A−xC

= 1+2−2−5

= 3−7

=−37

Al aplicar la fórmula

tgθ=m2 – m1

1+m1m2

Resulta para el ángulo a

tg a=mAB– mAC

1+mACmAB

29 | P á g i n a

tg a=

35−(−3

7 )1+(−3

7 )( 35 )

=

21+1535

35−935

tg a=3626

=1.3846

a ¿arc tg (1.3846 ) ∴ a ¿54 ° 09 ' 44 ' '

Para el ángulo b

tg b=mBC – mAB

1+mABmBC

tg b=−3(−3

5 )1+( 3

5 )(−3 )=

−185

5−95

tg b=−18−4

=4.5

b ¿arc tg (4.5 )∴ b ¿77 ° 28'16' '

Para el ángulo c

tg c=mAC – mBC

1+mBCmAC

tg b=

−37

−(−3 )

1+(−3 )(−37 )

=

−3+217

7+97

tg c=1816

=1.125

c ¿arc tg (1.125 ) ∴ c ¿48 ° 21'59' '

Por el teorema: “La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180 °”, tenemos:

a + b + c ¿180 °

30 | P á g i n a

54 ° 09' 44' '+¿ 77 ° 28'16' '+¿ 48 ° 21'59' '=180 °


I. – Determina los ángulos interiores de los siguientes triángulos cuyos vértices son los puntos que a continuación se indican; comprueba los resultados:

1. A (−2 ,0 ) ,B (5 ,−5 ) y C (3 ,7 )

2. K (2,5 ) , L (−3 ,−2 ) y M (4 ,2 )

3. A (−2,3 ) ,B ( 4,4 ) y C (−3 ,−1 )

4. K (−5 ,−4 ) , L ( 9 ,−2 ) yM (1,6)

2.4 DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA PUNTO-PENDIENTE.

La recta como lugar geométrico.

Se llama línea recta no vertical al lugar geométrico de los puntos tales que, tomados dos puntos diferentes, el valor de la pendiente siempre es constante.

Esta definición nos permite determinar la ecuación de una recta cuando se conocen dos de sus condiciones geométricas, por ejemplo, su pendiente y uno de sus puntos, o dos de sus puntos.

TEOREMA.La ecuación de la recta que pasa por el punto P1 ( x1 , y1 ) y tiene la pendiente dada m , es:

y− y1=m(x−x1)

EJEMPLO: Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4 ,−5) y cuya pendiente es 3. Escribe la ecuación en la forma punto-pendiente.

Solución

Tenemos que y− y1=m (x−x1 ) ,donde x1=4 , y1=−5 y m=3 ; por tanto:

y− (−5 )=3 ( x−4 )

31 | P á g i n a

y+5=3(x−4)

Esta última ecuación es la de la recta que pasa por el punto P(4 ,−5) y cuya pendiente es 3; está expresada en la forma punto-pendiente.


1.- Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente que se indica.

A (5 ,9 ) ym=3Q (0 ,−2 ) y m=−34

2.- Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y tiene el ángulo de inclinación que se indica.

A (7 ,4 ) yθ=60 ° P (2 ,−7 ) y θ=135 °

3.- Halla la ecuación de las rectas siguientes en la forma punto-pendiente.

1. Pasa por el punto P(3 ,7)y tiene pendiente 4.

2. Pasa por el punto P(−2 ,5)y tiene pendiente−3.

3. Pasa por el punto (−1 ,−6) y tiene pendiente 1/4.

4. Pasa por el punto (4 ,−9) tiene pendiente −1/5.

32 | P á g i n a

2.5 DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA PENDIENTE-ORDENADA EN EL ORIGEN.

Veamos el caso particular de la ecuación en la forma punto-pendiente, la denominada pendiente-ordenada en el origen.

Si una recta de pendiente m corta el eje y en el punto P(0 , b) tenemos que:y− y1=m (x−x1 )

y−b=m ( x−0 )y−b=mx∴ y=mx+b

A esta forma de la ecuación de la recta, también se le denomina común. Una recta paralela al eje yno tiene ordenada en el origen; por lo anterior la ecuación obtenida no se aplica; en este caso su ecuación es x=a. Se hace notar que la recta l tiene su ordenada en el origen, intersectando al eje yen b .

TEOREMA.

33 | P á g i n a

O

x

(0 , b)

y

La ecuación de la recta cuya pendiente es my tiene su ordenada en el origen (b) , es:y=mx+b.

EJEMPLOS.a). Determina la ecuación de la recta cuya pendiente es 4 y la ordenada en el origen es −7. Escribe la ecuación en la forma pendiente-ordenada en el origen.

Solución.y=mx+b, donde m=4y b=7; luego:

y=4 x+(−7)y=4 x−7

b).Hallar la ecuación de la recta que tiene de pendiente (−27 ) y su intersección con el eje

y es (3).

Solución.Si se sustituyen los datos dados en la ecuación, pendiente y ordenada, en el origen de la recta, resulta:

y=mx+b

y=−27

x+3

c). Halla la ecuación de la recta cuya ordenada en el origen es −2 y que es perpendicular a la recta y=5 x+2. Expresa la ecuación en la forma pendiente-ordenada en el origen.

Solución.Como las rectas son perpendiculares, entonces los valores de sus pendientes son

recíprocos entre sí y de signo contrario. El recíproco de 5 es 15

; luego, el valor de la

pendiente de la recta cuya ecuación queremos determinar es −15

, luego.

y=mx+b

34 | P á g i n a

y=−15

x+(−2)

y=−15

x−2


1.- Halla la ecuación de la recta que tiene la pendiente dada y sus intersecciones con el eje y se indica.

m=−35

,intersección (−3 )m=−5 ,intersección (2)

2.- Determina la ecuación de la recta de pendiente 4y ordenada en el origen igual a −5.

3.- Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto Q(2 ,−5) y que es paralela a la recta y=−4 x+11.

4.- Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 (−1,−4 ) y P2 (3 ,2 ) . Expresa la ecuación en la forma pendiente ordenada en el origen, comprobar con los dos puntos que se obtiene el mismo resultado.

5.- Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(−3 ,2) y que es perpendicular a

la recta : y=−15

x−2.

6.- Determina si las rectas y1=4 x+5 y y=14x−3 son paralelas, perpendiculares o se

cortan oblicuamente.

7.- Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto M (8 ,−3 ) y es perpendicular a

la recta y=23x+2.

35 | P á g i n a

2. 6 LA ECUACIÓN DE LA RECTA COMO MODELO MATEMÁTICO.

Numerosos problemas del mundo real se describen mediante una relación lineal entre las variables que intervienen en él; es decir, su relación se expresa por medio de una ecuación de primer grado, la cual generalmente se presenta en la forma pendiente-ordenada en el origen, o sea, en la forma y=mx+b .

EJEMPLO: Analicemos el siguiente problema.

Una computadora tiene 10 años de uso y su valor actual es de $23,000 , pero hace cuatro años su valor era de $41 ,400. Si el valor de la computadora varía linealmente con el tiempo, determina:

a). La ecuación que expresa el valor del sistema en términos del tiempo transcurrido.

Solución.

Respecto a este problema es importante puntualizar lo siguiente:1. El valor (v) del sistema varía con el tiempo (t); por lo tanto, la variable

independiente es t , en tanto que la variable dependiente es v . Es decir, nuestros pares ordenados son de la forma (t, v)

2. La relación entre las variables es lineal; por consiguiente la ecuación particular que las relaciona es de la forma y=mx+b , donde y=v y x=t .

De acuerdo con lo anterior, a partir de los pares ordenados (10 ,23 ,000) y (6 ,41,400) encontramos la ecuación específica del problema. Observa que hace cuatro años la computadora tenía seis años de uso y para ese tiempo su valor era de $41,400.

Determinamos primero el valor de la pendiente:

36 | P á g i n a

m=y2− y1

x2−x1

=23,000−41,40010−6

=−4,600

Con el valor de la pendiente y uno de los pares ordenados podemos resolver la ecuación; por ejemplo, si utilizamos el par ordenado (10, 23,000), tenemos que:

y− y1=m(x−x1)y−23,000=−4600(x−10)y=−4,600 x+46,000+23,000y=−4,600 x+69,000

La expresión del valor del sistema en función del tiempo es:

v=−4,600 t+69,000

b). ¿Cuál fue el valor del sistema cuando era nuevo?

Solución.Cuando el sistema era nuevo, t=0; por consiguiente, tenemos:v (0)=−4,600(0)+69,000v (0)=69,000

c). ¿Cuánto se deprecia el valor de la computadora por año?

Solución.Como la pendiente representa la razón de cambio de la variable dependiente respecto a la independiente, entonces de acuerdo con la ecuación específica, por cada año que transcurre el valor de la computadora se deprecia $4600.

d). ¿Cuál será el valor de la computadora después de 12 años de uso?

Solución.De acuerdo con la ecuación obtenida:v (12)=−4,600(12)+69,000v (12 )=−55,200+69,000v (12)=13,800

La computadora tendrá un valor de $13,800 después de 12 años de uso.

e). Si se contempla vender la computadora cuando su valor sea de $4,600, ¿cuántos años tendrá de uso?

Solución.

37 | P á g i n a

En este caso contamos con el dato v=4,600 y lo que debemos encontrar para qué valor de 5 es v=4600; es decir:

v=−4,600 t+69,0004,600=−4,600t+69,0004,600−69,000=−4,600 t−4600t=−64,400

t=−64,400−4,600

=14

t=14

f). ¿Después de cuantos años de uso el valor de la computadora se deprecia totalmente?

Solución.Cuando el sistema se deprecia totalmente, v=0 ; Luego:v=−4,600 t+69,0000=−4,600 t+69,0004,600 t=69,000

t=69,0004,600

t=15

Después de 15 años la computadora se deprecia totalmente.

Gráfica de la función v=−4,600 t+69,000

0 2 4 6 8 10 12 14 160

1000020000300004000050000600007000080000

v= -4600(t) + 69000

Tiempo en años (t)

Valo

r d

el eq

uip

o (

v)

38 | P á g i n a


1.- El valor comercial de un automóvil que tiene ocho años de uso es de $56,000. Cuando tenía cinco años de uso, su valor era de $80,000.Si dicho valor varía linealmente con el tiempo, determina:

a). La ecuación particular que expresa el valor del auto en términos del tiempo de uso.

b). El valor del automóvil cuando tenga 12 años de uso.

c). El valor del automóvil cuando era nuevo.

d). A los cuantos años de uso el automóvil ya no tendrá valor comercial.

2.- Una casa que tiene cuatro años de uso tiene un valor de $48,000, pero cuando era nueva su valor era de $300,000. Si el valor de la casa varía linealmente con el tiempo, calcula:

a). La ecuación que expresa el valor de la casa en términos del tiempo.

b). El valor de la casa dentro de 20 años.

c). La variación del valor de la casa por año.

3.- Suponga que la demanda (comprarán) por semana de un producto es de 100 unidades, cuando el precio es de $58 por unidad y de 200 unidades a un precio de $51 cada una. Determina la ecuación de la demanda y su gráfica, suponiendo que es lineal.

4.- Un pequeño negocio pronostica que su ingreso crecerá de acuerdo con el método de la línea recta con una pendiente de $50,000 por año. En su quinto año, el negocio tuvo ingresos por $330,000. Determine una ecuación que describa la relación entre los ingresos R, y el número de años T, desde la apertura del negocio.

5.- Un nuevo edificio de apartamentos se vendió por $960,000 cinco años después de que se compró. Los propietarios originales calcularon que el edificio se apreciaba $45,000 por año mientras ellos fuesen los propietarios. Determine la ecuación lineal que describa la apreciación del edificio si x es el número de años desde la compra original.

6.- A 15,000 pies sobre el nivel del mar el agua hierve a 185° F , mientras que a 18,000 pies hierve a 179.6° F . Si la relación entre el punto de fusión del agua y la altitud es lineal, determina:

a). La ecuación que expresa la temperatura de fusión del agua respecto a la altitud.

39 | P á g i n a

b). La temperatura de fusión del agua al nivel del mar.

c). La temperatura de fusión del agua a 12,000 pies de altura sobre el nivel del mar.

7.- Un fabricante de refrigeradores produce 3000unidades cuando el precio es de $940 y 2200 unidades cuando el precio es de $740. Suponga que el precio p y la cantidad q producidas están relacionadas de manera lineal. Determine la ecuación de la oferta y su gráfica.

2.7 DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS DADOS.

Por geometría, una recta queda perfectamente determinada por dos cualesquiera de sus puntos; analíticamente, la ecuación de una recta también queda perfectamente determinada cuando se conocen las coordenadas de dos cualesquiera de sus puntos.

TEOREMALa ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados P1 ( x1 , x2) y P2 (x2 , y2 ), es:

y− y1=( y1− y2

x1−x2) (x−x1 )

A esta forma de la recta también se le denomina cartesiana.

EJEMPLO.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (−3 ,−1 ) y B (5,2 ) . Y convertirla a la forma pendiente-ordenada (común).

Solución: Al sustituir los datos dados en la ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados, resulta:

y− y1=( y1− y2

x1−x2) (x−x1 )

40 | P á g i n a

y+1=(−1−2−3−5 )( x+3 )

y+1=−3−8

( x+3 )

−8 ( y+1 )=−3 (x+3 )

−8 y−8=−3 x−9Ecuación de larecta que pasa por dos puntos

−8 y=−3x−9+8

−8 y=−3x−1

y=3 x8

+ 18Ecuación de larecta escritaen la forma pendienteordenada


1.- Halla la ecuación de las rectas que pasan por los puntos dados.

a¿ . A (2 ,4 ) y B (−7,5 )b¿ . M (−1,3 ) y N (2 ,6)

2.- Un collar antiguo se espera que tenga un valor de $360 después de 3 años y de $640 al cabo de 7 años. Determine la ecuación que describa el valor del collar después de x años.

3.- Un mapa coordenado de un campus universitario da las coordenadas (x , y )de tres edificios principales como sigue:

Centro de cómputo (3.5 ,−1)Laboratorio de ingeniería (0.5 ,0)Biblioteca (−1 ,−4.5)

Determine las ecuaciones (en forma pendiente-ordenada) de las trayectorias en línea recta que conectan:

a). El laboratorio de ingeniería con el centro de cómputob). El laboratorio de ingeniería con la biblioteca. Demuestre que estas trayectorias son perpendiculares.

41 | P á g i n a

4.- Una compañía que repara copiadoras comerciales cobra por un servicio una cantidad fija más una tarifa por hora. Si un cliente tiene una factura de $150 por un servicio de una hora y $280 por un servicio de tres horas, determine una ecuación lineal que describa el precio de un servicio, en donde x es el número de horas del servicio.

2.8 USO DE LAS DISTINTAS FORMAS DE LA ECUACIÒN DE UNA RECTA.

Formas de la ecuación de una recta.

Anteriormente aprendiste a determinar la ecuación de una recta cuando se conocen dos de sus condiciones geométricas. Como ahora sabes, cuando la ecuación se expresa de la forma y=mx+bse denomina en la forma pendiente ordenada en el origen, cuando se escribe de la forma y− y1=m(x−x1) se llama ecuación de la recta en la forma punto pendiente por último cuando se expresa

y− y1=( y1− y2

x1−x2) (x−x1 ) se llamaecuaciónque pasa por dos puntos .

Ahora aprenderemos a hallar la ecuación de una recta expresándolas en las formas siguientes:

Forma simétrica Ecuación de la recta en su forma general Ecuación de la recta en la forma normal

Forma simétrica de la recta.

42 | P á g i n a

Si conocemos las intersecciones de una recta con los ejes coordenados podemos

demostrar que esa recta está determinada por la ecuación xa+ yb=1, donde a es la

abscisa en el origen (valor de x cuando y=0) y b es la ordenada en el origen (valor de y cuando x=0).

De acuerdo con la figura tenemos que:

Al determinar la pendiente de la recta dada tenemos:

m=y2− y1

x2−x1

m=b−00−a

,∴m=−ba

Según la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente y considerando el punto (0 , b) tenemos que:

y− y1=m (x−x1 )

y−b=−ba

( x−0 )

y−b=−bxa

Al multiplicar ambos miembros de la ecuación anterior por aresulta:a ( y−b )=−bx , luego

ay−ab=−bxay+bx=ab

43 | P á g i n a

y

P2(0,b)

P1(a ,0)

x

Al dividir ambos miembros de la ecuación anterior por abresulta:

ay+bxab

=abab

ayab

+ bxab

=1

yb+ xa=1, o también

xa+ yb=1

Esta forma de representar una recta se llama forma simétrica de la ecuación de una recta.

EJEMPLOS.

a).- Halla la forma simétrica de la ecuación de la recta cuya ordenada y abscisa en el origen son 3 y 2 respectivamente.

Solución: En este caso, b=3 , a=2; luego:

xa+ yb=1∴ x

2+ y

3=1

b).- Halla la forma simétrica de la ecuación de la recta cuya abscisa y ordenada en el origen son −5 y −4 respectivamente.

Solución.

xa+ yb=1∴ x

−5+ y−4

=1utilizando laley de los signosx

−5− y

4=1

c).- Halla la forma simétrica de la ecuación de la recta y=2x+8.

Solución.Determinemos el valor de la abscisa y de la ordenada en el origen, respectivamente:

Abscisa en el origen (valor de x cuando y=0)2 x+8= y2 x+8=02 x=0−82 x=−8

44 | P á g i n a

x=−82

x=−4 , luego a=−4

Ordenada en el origen (valor de y cuando x=0)y=2 (0 )+8

y=8 ,luego b=8

De acuerdo con lo anterior, la ecuación de la recta y=2x+8 en la forma simétrica. xa+ yb=1

x−4

+ y−8

=1∴− x4+ y

8=1


1.- Halla la ecuación simétrica de la recta cuyas intersecciones con los ejes “x” y “y” se indican respectivamente.A (−5 ,0 ) y B (0 ,−2 )M (3 ,0 ) y N (0 ,1)

2.- Escriba en su forma simétrica las ecuaciones.a¿ .3 x+2 y−6=0b¿ .5 x−8 y+40=0

3.- Halla la forma simétrica de la ecuación de la recta cuya abscisa y ordenada en el origen son 2 y 7, respectivamente.

45 | P á g i n a

4.- Halla la forma simétrica de la ecuación de la recta y=3 x−12

5.- Una recta pasa por los puntos P (7 ,4 ) y Q (3 ,−6 ); halla su ecuación en la forma simétrica.

6.- Una recta de pendiente (−72 ) y que pasa por el punto A (−2 ,6 ) ; determina su

ecuación en la forma simétrica.

7.- Una recta intersecta a los ejes “x” y “y” en (3 ) y (5 ) respectivamente; halla la ecuación en la forma pendiente-ordenada de la recta paralela a la recta anterior y que pasa por el

punto A(−83

,0).

Ecuación de la recta en la forma general.

La ecuación de la forma Ax+Bx+C=0, se llama ecuación general de la recta, en donde los coeficientes A ,B y Cson números reales cualesquiera, con la condición de que A o B debe ser diferente de cero y C puede o no ser igual a cero.

Para saber si la ecuación Ax+Bx+C=0, representa siempre una línea recta, es necesario analizar su comportamiento para cuando el coeficiente de y es igual o diferente de cero.

Consideremos tres casos particulares en los que la ecuación Ax+Bx+C=0, está incompleta.

CASO I. Si B=0 , entonces A≠0 , por lo que la ecuación Ax+Bx+C=0, se reduce a:

46 | P á g i n a

Ax+Bx+C=0Ax+0 y+C=0∴ Ax+C=0

Esta forma corresponde a la ecuación de una recta paralela al eje y; es decir:

A x+C=0Ax=−C

∴ x=−CA

abscisaen elorigen

CASO II. Si B≠0 , al dividir la ecuación Ax+By+C=0 por B, resulta:Ax+By+C=0

AxB

+ B yB

+CB

=0

AxB

+ y+CB

=0

∴ y=−AxB

−CB

Esta forma corresponde a la ecuación de una recta de pendiente-ordenada en el origen, es decir, y=mx+b , por lo que por analogía podemos deducir que:

m=−AB

pendiente de larecta

b=−CB

ordenada enel origen

Representan la pendiente y de la ordenada en el origen a partir de la ecuación general. Por lo anterior, concluimos que la ecuación Ax+Bx+C=0, representa una recta.

EJEMPLOS:

a).- ¿Cuáles son la pendiente y la intersección con el eje yde la recta cuya ecuación es 3 x−7 y−21=0?

Solución.La ecuación de la recta dada está escrita en la forma general cuyos coeficientes son:

3 x−7 y−21=0

Ax+By+c=0

47 | P á g i n a

∴ A=3∴B=−7∴C=−21

La pendiente de la recta se determina por:

m=−AB

m=−3−7

∴m=37

La intersección de la recta con el eje y es:

y=b=−CB

b=−−21−7

b=−3

Para representar gráficamente la ecuación de la recta dada, determinamos su intersección con el eje x , es decir:

x=−CA

x=−−213

∴ x=7

Gráficamente, tenemos:

48 | P á g i n a

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

4.50A(-1, 4)

P(0, 2.5)

Q(5/3, 0)

eje x

eje

y

b).- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(−5,2) y tiene una pendiente de (1/3); escribirla en las formas: general, pendiente-ordenada en el origen y simétrica.

Solución:Al sustituir los datos dados en la ecuación punto y pendiente de una recta resulta:

y− y1=m(x−x1)

y−2=13(x+5)

3 y−6=x+5

∴ x−3 y+11=0 Ecuaciónde larectaen la forma general

Si x−3 y+11=0, tenemos:

−3 y=−x−11

y=−−x−11−3

∴ y=13x+ 11

3Ecuaciónde la rectaen la forma pendiente ordenada

Los coeficientes de la forma general de la ecuación de la recta son: A=1; B=−3 ,C=11

Al determinar las intersecciones de la recta con los ejes x y y, tenemos

49 | P á g i n a

x=a=−CA

a=−111

∴a=−11

y=b=−CB

b=−11−3

∴b=113

Al sustituir los datos en la ecuación de la forma simétrica, resulta:

xa+ yb=1

∴− x11

+ y113

=1

−x11

+ 3 y11

=1

c).- Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4,5) y que es perpendicular a la recta 7 x+6 y+8=0

Solución:a).- La pendiente de la recta 7 x+6 y+8=0 es:

m1=−AB

=−(7 )

6=7

6

La pendiente de la recta buscada debe ser recíproca y de signo contrario a m1; por lo tanto:

m2=67

Así, como m=6 /7 y el punto P(4,5) hallemos la ecuación de la recta indicada:

y−5=67(x−4 )

50 | P á g i n a

Al multiplicar por 7 el primer miembro de la ecuación y multiplicar por 6 el segundo miembro la ecuación anterior resulta:

7 ( y−5 )=6 ( x−4 ) , luego

7 y−35=6 x−24

6 x−24−7 y+35=0

6 x−7 y+11=0


1.- Halla la forma general de la ecuación de la recta que pasa por el punto P(−5,1) y cuya pendiente es 7.

2.- Halla la forma general de la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(−3 ,25)y Q(2 ,−10).

3.- Halla la forma general de la ecuación de la recta que pasa por el punto P(5, 4) y que es perpendicular a la recta y=2/5 x−10.

4.- Halla la forma de la ecuación de la recta de pendiente 3/5 y ordenada en el origen −4.

5.- Halla la forma general de la ecuación de la recta que pasa por el punto (3 ,−2) y que es paralela a la recta 2 x+5 y+1=0.

6.- Halla la forma general de la ecuación de la recta que pasa por el punto (4 ,−2 ) y que es perpendicular a la recta 5 x− y−3=0.

7.- Determina la pendiente, ángulo de inclinación y las intersecciones con los ejes coordenados, para la recta que pasa por el punto A (3 ,−4 )y es paralela a la recta 3 x−4 y+11=0; escríbela en las formas general, pendiente-ordenada en el origen y simétrica.

8.- Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 (9 ,−4 ) ,P2 (−3 ,4 ) . En la forma:a). Pendiente-ordenada en el origen.b). General.c). Simétrica.

9.- Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(−5 ,−32)y B(7 ,16)en la forma:a). Pendiente-ordenada en el origen.b). General.c). Simétrica.

51 | P á g i n a

10.- Encuentra la pendiente, e intersecciones con los ejes coordenados para la rectas.a¿ .4 x+3 y+13=0b¿ .3 x−7 y−21=0 Ecuación de la recta en la forma normal.

Dada una recta L, tracemos a partir del origen de un sistema de coordenadas una semirrecta perpendicular a ésta y llamémosla normal, a la que representaremos con la letra N. Sea el punto P1(x1 , y1) donde se cortan o se intersectan ambas rectas, como se muestra en la figura.

Consideremos que P es la longitud de recta O P1 (distancia del origen a la recta L) y que es el ángulo que se genera al girar la normal alrededor del origen. Asimismo, tomemos como dirección en la normal la dirección del punto O al punto P1; de esta manera, la longitud de P se considera siempre positiva, igual que el ángulo , cuyos valores oscilan entre 0 ° y360 ° , ambos incluidos (0 ° ≤θ≤360 ° ) .Deduciremos a continuación la ecuación de una recta en la forma normal, suponiendo que conocemos la medida del ángulo y la longitud de P .

De acuerdo a la figura, la pendiente de la normal es:

Por fórmula trigonométrica:

mN= tan θ= senθcosθ

Por lo que la recta L tiene pendiente:

mL=−cos θsenθ

Puesto que L y N son perpendiculares, sus pendientes son recíprocas y de signo contrario.

52 | P á g i n a

90º

P1(x1 , y1 ¿

P

y1

y1

x1

x1

L

y

N

x

De acuerdo con la ecuación en la forma punto-pendiente, y− y1=m (x−x1 ) , tenemos que para la recta L:

y− y1=−cos θsenθ

(x− x1)

Ahora bien, por trigonometría sabemos que:

senθ=y1

Py cosθ=

x1

P

De donde resulta: x1=P cosθy1=Psen θ

De acuerdo con lo anterior, la expresión:

y− y1=−cos θsenθ

(x−x1 )equivalea :

y−P=−cosθsenθ

[x− (P−cosθ ) ]

Al desarrollar y simplificar esta expresión obtenemos la ecuación buscada:

senθ ( y−Psenθ )=−cos θ(x−P cosθ¿)¿y senθ−Psen2θ=−x cosθ+P cos2θy senθ+ xcosθ=Psen2θ+P cos2θ

y senθ+ xcosθ=P(sen¿¿2θ+cos2θ)¿

Recuerda que por identidades trigonométricas:

sen2θ+cos2θ=1

Por consiguiente:

y senθ+ xcosθ=P , luego

y senθ+ xcosθ−P=0o también:

x cosθ+ y senθ−P=0

La expresión anterior es la ecuación de una recta en la forma normal.

53 | P á g i n a

EJEMPLOS:a).- Determina la ecuación de una recta en la forma normal si en la figura P=8 y θ=30° .

Solución:x cosθ+ y senθ−P=0

x cos30 °+ y sen30 °−8=0

Por trigonometría sabemos que:

sen30 °=12y cos30 °=√3

2

De acuerdo con lo anterior, la ecuación de la recta en la forma normal es:

x (√32 )+ y ( 1

2 )−8=0

∴ √32

x+12y−8=0

PROBLEMAS.

1.- Halla la ecuación de la recta en la forma normal, para los siguientes valores de P y θ ; trazar la gráfica correspondiente.

P=7 yθ=45 °

54 | P á g i n a

r

P

θ=30°x

y

P=2 y θ=225°

P=4 y θ=300 °

P=6 yθ=135 °

Reducción de la ecuación de la recta de la forma general a la normal.

Sean Ax+By+C=0 y x cosθ+ y sen θ−P=0 las ecuaciones de una misma recta expresada en su forma general y normal, respectivamente.

Como las dos ecuaciones determinan una misma recta, sus coeficientes don proporcionales, es decir.

cosθA

=K ,senθB

=K y− PC

=K

Donde K es la constante de proporcionalidad. De acuerdo con lo anterior, tenemos:

1. cosθ=KA2. senθ=KB3.−P=KC

Si elevamos al cuadrado los miembros de las ecuaciones 1 y 2 y las sumamos miembro a miembro, resulta:

cos2θ ¿K2 A2

sen2θ=K2B2

cos2θ+sen2θ=K2 A2+K 2B2

Comocos2θ+sen2θ=1, entonces resulta:

1=K 2 A2+K2B2

1=K 2(A ¿¿2+B2)¿

Ahora despejamos K2 :

K2= 1

(A ¿¿2+B2)¿

Al obtener la raíz cuadrada de ambos miembros de la igualdad anterior resulta:

K= 1

±√A2+B2

55 | P á g i n a

De acuerdo con la expresión de K obtenida tenemos:

cosθ=KA

De donde:

cosθ=[ 1

±√A2+B2 ]( A1 )cosθ= A

±√A2+B2

Análogamente:

senθ=KBDe donde:

senθ=[ 1

±√A2+B2 ]( B1 )senθ= B

±√A2+B2

Y: −P=KC

−P= C

±√A2+B2

Por lo tanto, la forma normal de la ecuación Ax+By+C=0es:

A

±√A2+B2x+ B

±√ A2+B2y+ C

±√ A2+B2=0

De todo lo anterior podemos concluir lo siguiente.

Dada la ecuación general de una recta Ax+By+C=0 , para que tome la forma normal se multiplica cada uno de sus términos por el factor :

1

±√A2+B2

56 | P á g i n a

el cual recibe el nombre de factor normalizador de la ecuación general y cuyo signo queda indeterminado.

Para determinar el signo del factor normalizador, aplicaremos la igualdad siguiente: −P=KC

Según esta igualdad, KC, o también :1

±√A2+B2C ,

que es un número negativo.

Por consiguiente, el signo del factor normalizador debe ser contrario al signo del término independiente Cde la ecuación que se normaliza, ya que:

¿¿

En caso de que C=0 , el signo del factor normalizador se considerará igual al de B .

EJEMPLO. a).- Reduce la ecuación 12 x−5 y−8=0 a la forma normal.

Solución.Determine primero el valor del factor normalizador con su signo correspondiente:

K= 1

±√A2+B2

donde, de acuerdo con la ecuación, A=12 y B=−5 ; luego:

K= 1

±√122+(−5)2=±

113

Como el signo de C es negativo (−8 ) , el signo de K es positivo. Por consiguiente, la ecuación en la forma normal de la recta 12 x−5 y−8=0 es:

1213

x− 513

y− 813

=0

b).- Halla la forma normal de la recta 4 x−3 y+2=0.

57 | P á g i n a

Solución.

K= 1

±√A2+B2

donde A=4 y B=−3. Luego:

K= 1

±√42+(−3)2=±

1

√25=1

5

Debido que el signo del término independiente C es positivo (+2), el signo deK es negativo. Por tanto:

K=−15

La ecuación que buscamos es:

−45

x+35y−2

5=0

c).- La ecuación de una recta es 3 x−4 y−24=0; reducir su ecuación a la forma normal; determinar los valores de P y θ .

Solución.Los coeficientes son: A=3 ,B=−4 y C=−24. Conocidos los valores de los coeficientes, se determina el valor del signo del radical, resultando.

K= 1

±√A2+B2

K= 1

±√32+(−4)2=±

1

√25=1

5

Como el coeficiente de Ces negativo, el signo de K debe ser contrario a C .

Al sustituir los datos encontrados, resulta:

35x−4

5y−24

5=0

El valor de P es:

−P= C

±√A2+B2

−P=−245

∴P=245

58 | P á g i n a

El valor del ángulo θ. Es:

cosθ= A

±√A2+B2senθ= B

±√A2+B2

cosθ=35=0.6 senθ=−4

5=−0.8

Se nota que la función seno es de signo negativo y la función coseno es positiva, por lo que se deduce que el ánguloθse ubica en el cuarto cuadrante del sistema coordenado.

θ=arc cos ( 0.6 )θ=arc sen (−0.8)

θ=53° 07 '48 ' 'θ=53 ° 07' 48' '

Si se resta a 360 °, se determina el valor preciso de θ .

360 °=359 ° 59'60' '

−53 ° 07 ' 48 ' '∴θ=306 °52' 12' '


1.- Encontrar la forma normal de las siguientes ecuaciones.

a).- 3 x+4 y−5=0

b).- 5 x−126+13=0

c).- 20 x−21 y+5=0

d).- 8 x+15−17=0

e).- 2 x+3 y−8=0

2.- Halla la forma normal de la ecuación de la recta que pasa por los puntos:

a).- A(2,−1) y B (6 ,2)

b).- P(1 ,−6) y Q(−2 ,−3)

3.- Reduce las ecuaciones siguientes a la forma normal y determina los valores de P y θ.

a).- x− y−4=0

b).- 2 x+3 y−8=0

59 | P á g i n a

c).- 3 x−4 y−7=0

d).- 4 x+5 y+10=0

e).- 3 x−4 y+11=0

2.9 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.

La fórmula para calcular la distancia dirigida de un punto P1 ( x1 , y1 ) a una recta L determinada por la ecuación Ax+By+C=0 es:

d= Ax+By+C±√A2+B2

Por conveniencia, diremos que la distancia d será positiva si el punto P1 ( x1 , y1 ) está situado arriba de la recta y negativa si está por debajo. Lo anterior se puede obtener si e signo del radical √A2+B2 es el mismo que el de B, el coeficiente de la variable y.

Si no interesa el signo de la distancia (distancia no dirigida), entonces su longitud es el valor absoluto de la expresión anterior, es decir.

d=|Ax+By+C√ A2+B2 |EJEMPLOS.

a).- Encuentra la distancia dirigida del punto P (5 ,−3 ) a la recta 2 x+3 y+4=0.

Solución.Con base en la ecuación de la recta, A=2 ,B=3 y C=4 , y con el punto P , x=5 y y=−3. Por tanto:


d=2(5)+3(−3)+4

±√22+32

d= 5±√13

60 | P á g i n a

Como el signo de B es positivo, entonces el radical √13 también lo es; por ende:

d= 5

√13=1.39

El punto estará situado arriba de la recta porque des positiva.

b).- Halla la distancia dirigida del punto P (9 ,−3 ) a la recta 3 x−4 y−24=0.

Solución.


d=3 (9 )−4 (−3 )−24

±√32+(−4)2

d=27+12−24

±√25= 15

±√25

Como el signo de B es negativo, entonces el signo del radical √25 también lo es; por lo tanto:

d= 15−5

=−3

d=−3

De acuerdo al resultado obtenido, el punto P (9 ,−3 ) está situado debajo de la recta 3 x−4 y−24=0.

c).- Determina la distancia no dirigida de la recta 5 x+4 y+15=0 al punto A(2,4 ).

Solución.La distancia pedida se considera absoluta y al sustituir los datos en la ecuación obtenemos:

d=|Ax+By+C√ A2+B2 |d=|5 x+4 y+15

√52+42 |Y al sustituir las coordenadas del punto A (2 ,4 ), tenemos:

61 | P á g i n a

d=|5 (2)+4(4)+15

√25+16 |d=|10+16+15

√41 |∴d=| 41

√41|= 41

√41

La distancia de la recta 5 x+4 y+15=0 al punto A(2,4 ) es:

d= 41

√41

d).- Determinar la distancia no dirigida comprendida entre las rectas paralelas 6 x−8 y−24=0 y3 x−4 y+12=0

Solución.Los segmentos que determinan la recta 6 x−8 y−24=0 sobre los ejes x y y , es decir sus intersecciones son: (4,0) y (0 ,3) .

Al determinar la distancia de la recta 3 x−4 y+12=0 a cualquiera de los puntos encontrados, resulta:

Para (4,0)

d=|Ax+By+C√ A2+B2 |d=¿

d=|3 (4)−4 (0)+12

√9+16 |d=|12+12

√25 |=245

∴d=245

Para (0−3)

d=|Ax+By+C√ A2+B2 |d=¿

62 | P á g i n a

d=|3 (0)−4 (−3)+12

√9+16 |d=|12+12

√25 |=245

∴d=245

También se puede resolver, al determinar los segmentos que la recta 3 x−4 y+12=0 forma con los ejes xy y, es decir, sus intersecciones con dichos ejes, y calcular después la distancia de la recta 6 x−8 y−24=0 a cualquiera de los puntos de intersección encontrados.


1.- Determina la distancia dirigida de las siguientes rectas dadas al punto indicado.

a).- 8 x−15 y+10=0P (−2 ,3 ) .

b).-20 x+21 y+4=0 P (−1 ,−2 ) .

c).-3 x−4 y−12=0Q (−2 ,−1 ) .

d).-6 x+8 y+5=0P ( 4 ,2 ) .

e).- 5 x−12 y−22=0P (−3 ,−2 ) .

2.- Determina la distancia absoluta (no dirigida) de las siguientes rectas dadas al punto indicado.

a).- 4 x−5 y−13=0 A (7 ,−1) .

b).-2 x+5 y+10=0C (1 ,3 ) .

c).-3 x−4 y−12=0P (5 ,−2 ) .

3.- Determina la distancia no dirigida comprendida entre las siguientes rectas paralelas.

a).- 3 x+4 y−12=0 y 3x+4 y+8=0

63 | P á g i n a

b).-15 x+8 y+30=0 y 15 x+8 y−4=0

c).-9 x+12 y−27=0 y9 x+12 y+33=0

d).-20 x−21 y+9=0 y20 x−21 y−20=0

e).-x− y−9=0 y x− y+3=0

UNIDAD 3: LAS CÓNICAS.

INTRODUCCION: En esta unidad se realiza el estudio de las secciones cónicas: circunferencia, parábola y elipse. Se efectúa el análisis de sus elementos, de sus diferentes formas y se obtienen sus ecuaciones canónicas y generales.

OBJETIVOS DE LA UNIDAD.El alumno: Resolverá problemas teóricos relativos a las cónicas, a partir de su caracterización como lugar geométrico, que permita aplicar e integrar sus propiedades gráficas y sus ecuaciones ordinarias y general, recuperando los conceptos procedimientos, geométricos y analíticos, sobre puntos, rectas y segmentos y contribuirá a generar un ambiente escolar que favorezca el desarrollo de actitudes de iniciativa, responsabilidad y colaboración hacia el entorno en que se desenvuelve.

3.1 DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA.

LA CIRCUNFERENCIA.

Es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano que equidistan en un punto fijo. El punto fijo se llama centro de la circunferencia. Cualquier segmento de recta cuyos puntos extremos sean el centro de la circunferencia y un punto cualquiera de ésta se denomina radio.

64 | P á g i n a

La circunferencia. El punto O representa el centro.

Elementos de una circunferencia.

A continuación definiremos conceptos relacionados con la circunferencia.

CIRCULO. Es la región del plano limitada por una circunferencia

RADIO. Es cualquier segmento de recta en el que uno de sus extremos es el centro de una circunferencia, y el otro es un punto cualquiera de la misma. También llamaremos radio a la distancia de cualquier punto de la circunferencia a su centro y lo designaremos con r.

CUERDA. Es cualquier segmento de recta cuyos extremos son puntos que pertenecen a la circunferencia.

DIAMETRO. Es una cuerda que contiene el centro de la circunferencia. La longitud de un diámetro es el doble de la longitud del radio.

SECANTE. Es cualquier recta que corta una circunferencia en dos puntos.

TANGENTE. Es cualquier recta que contiene un y sólo un punto de la circunferencia, el cual se llama punto de tangencia. Se dice que esa recta y la circunferencia son tangentes en ese punto.

La ecuación de la circunferencia.

La ecuación de la circunferencia de centro en el origen y radio r.

La circunferencia cuyo centro coincide con el origen del sistema de coordenadas rectangulares y tiene por radio la constante r, tiene por ecuación:

x2+ y2=r2

Demostración.

Sea P(x , y) un punto cualquiera de la circunferencia de centro en el origen y radio r.

65 | P á g i n a

O

Y

P(x,y)

Al aplicar la ecuación de la distancia entre dos puntos, tenemos para el segmento OP :

d=√(x1−x2 )2+( y1− y2)2

OP=√ (0−x )2+(0− y )2

r=√x2+ y2

Al elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación, resulta:

∴r 2=x2+ y2

La expresión x2+ y2=r2 también se denomina forma canónica de la ecuación de la circunferencia.

EJEMPLO.Determinar la ecuación de la circunferencia de centro en el origen cartesiano y de radio igual a 4.

Solución.Al sustituir los datos en la ecuación de la circunferencia en su forma canónica, resulta:

x2+ y2=r2

x2+ y2=(4)2

x2+ y2=16

Ecuación de la circunferencia de centro en el origen y radio igual a 4.

Para graficar se despeja y en función de x y se le dan valores arbitrarios a la variable independiente x , obteniendo los valores de la variable dependiente y y se registran en un tabulador.

Ecuación de la circunferencia de centro fuera del origen o de la forma ordinaria.

66 | P á g i n a

X’ X

Y’

O A

r

x

La ecuación de una circunferencia cuyo centro es el punto C (h , k ) y radior es:

( x−h )2+ ( y−k )2=r2

La expresión anterior es la forma ordinaria o estándar de la ecuación de la circunferencia de radio r y con centro en el punto C (h , k ) . Esta ecuación permite identificar las coordenadas del centro y el radio de una circunferencia, de ahí la facilidad para el trazo de una gráfica.

Demostración.

Con base a la definición geométrica de la circunferencia, se tiene que el punto P(x y) cumple la condición de que |CP|=r , la cual analíticamente se expresa por la fórmula de distancia entre dos puntos, es decir:

|CP|=√ (x−h )2+( y−k )2

r=√ (x−h )2+( y−k )2

Al elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación, tenemos:

∴r 2=( x−h )2+( y−k )2

Forma general de la ecuación de una circunferencia.

Si en la ecuación ( x−h )2+ ( y−k )2−r2=0 desarrollamos los binomios al cuadrado y reducimos términos semejantes, llegamos a una ecuación de la forma:

67 | P á g i n a

Y

XO

C(h,k)

r

P(x, y)

x2+ y2+Dx+Ey+F=0

La ecuación anterior es la forma general de la ecuación de la circunferencia. Observa que el coeficiente de x2y de y2 es 1.

EJEMPLOS.a).- Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro C (−4,3) y de radio 5.

Solución.En este caso,h=−4 , k=3 y r=5; luego:

( x−h )2+ ( y−k )2=r2

[ x−(−4) ]2+( y−3 )2=52

( x+4 )2+ ( y−3 )2=25

Ecuación de la circunferencia en la forma ordinaria

Al desarrollar y simplificar el miembro izquierdo de la ecuación anterior queda:

x2+8 x+16+ y2−6 y+9=0x2+ y2+8x−6 y+25−25=0

x2+ y2+8x−6 y=0

Ecuación de la circunferencia en la forma general

68 | P á g i n a

C(-4,3)

r

X

Y

O

b).- Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (4 ,−5) y cuyo centro es el punto C (6 ,−4).

Solución.La longitud del radio de la circunferencia es igual a la distancia que hay entre los puntos mencionados, es decir:

r2= (x−h )2+( y−k )2

r2= (6−4 )2+[−4−(5)]2

r2=(2)2+ (−4+5 )2

r2=4+1r2=5r=√5

Con r=√5 y el punto C (6 ,−4) ya podemos determinar la ecuación de la circunferencia:

( x−h )2+ ( y−k )2=r2

( x−6 )2+ [ y−(−4)]2=(√5 )2

( x−6 )2+ ( y+4 )2=5Forma ordinaria

Luego:x2−12 x+36+ y2+8 y+16−5=0

x2+ y2−12x+8 y+47=0Forma general

c).- Determinar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C (10 ,−5) y que es tangente a la recta 4 x+3 y−50=0.

Solución.Según lo señalado antes (y los principios de la geometría plana), una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio, cuyos puntos extremos son el punto de tangencia y el centro de dicha circunferencia. La longitud el radio es igual a la distancia no dirigida que hay del centro C (h , k ) a la recta tangente.

De acuerdo con lo anterior, la distancia no dirigida que hay del punto C (10 ,−5) a la recta 4 x+3 y−50=0es la longitud de su radio, es decir:

69 | P á g i n a

y

r=¿

Con el punto C (10 ,−5 ) yr=5, determinamos la ecuación de la circunferencia:

( x−h )2+ ( y−k )2=r2

( x−10 )2+[ y−(−5)]2=52

( x−10 )2+( y+5 )2=25Formaordinariax2−20 x+100+ y2+10 y+25=25

x2+ y2−20 x+10 y+100=0 Forma general


1.- Determina la ecuación de la circunferencia de centro en el origen cartesiano y cuyo radio se indica a continuación; construye la gráfica correspondiente.

a).- r=6b).- r=√7c).- r=8d).- r=√5

2.- Determina la ecuación de la circunferencia en sus formas ordinaria y general, cuyo centro es el punto C y que pasa por el punto A, traza la gráfica correspondiente.

a).- C (−6,7 ) y pasa por A(2,2)b).- C (−3 ,4) y pasa por A(2,−5)c).- C (−4 ,−3) y pasa por A(4 ,−9)d).- C (3 ,2)y pasa por A(−1,−5)

70 | P á g i n a

x

r

C (10 ,−5)

3.- Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos que a continuación se indican; determina la ecuación de la curva en su forma ordinaria y general; traza la gráfica correspondiente.

a¿ .−A (−7,0) y B(0 ,4 )b).- A(6 ,−2) y B(−4 ,3)c).- A(5 ,−2)y B(7 ,2)d).- A(−2,−4 ) y B(1 ,2)

4.- Determina cada una de las ecuaciones de la circunferencia que pasa por los centros dados y es tangente a la recta que se indica.

a).- C (−2,3) y es tangente a la recta 20 x−21 y−42=0b).- C (13 ,−6) y es tangente a la recta 3 x−4 y−13=0c).- C (1 ,2) y es tangente a la recta 3 x−4 y−15=0

5.- Determina la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria y general, para los centros y radios dados a continuación, construye la gráfica correspondiente.

a).- C (4 ,2)y r=3b).- C (2 ,−3 )y r=5c).- C (5 ,0) y r=4d).- C (−1 ,−3) y r=√7

3.2 DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA.

La parábola.

Es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano cuya distancia a un punto fijo, llamado foco, es igual a su distancia a una recta fija, denominada directriz.

71 | P á g i n a

En la figura se muestra una parábola, y ahí distinguimos estos elementos: El punto F es el foco de la parábola. La recta fija D es su directriz. La recta que contiene al foco y es perpendicular a la directriz es el eje de la parábola

se designa con la letra L. El punto medio entre el foco y la directriz se llama vértice y se simboliza con la letra V.

Observa en la figura que el vértice es el punto de intersección de la parábola y su eje. La distancia dirigida de V a F se representa con la letra a, es decir:

a=VF La distancia no dirigida del foco a la directriz es el parámetro de la parábola y se

representa con la letra P.

|AF|=P

Entonces:

|AV|=P2y|VF|= P

2

O sea: P=|2a|

Ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco en el punto F (a ,o) , donde a>0 .

En la figura se representa una parábola cuyas características son:

72 | P á g i n a

a. Sea P un punto cualquiera del plano que está en la parábolab. La recta fija D sea su directriz.c. Sea Q un punto que pertenece a la recta D, de modo que PQ sea perpendicular a

D, es decir, la distancia que hay del punto P a la directriz D es la longitud del segmento PQ.

d. Sea F su foco y la recta L su eje, la cual es perpendicular a la directriz y contiene al foco.

e. Sea V su vértice, el cual está colocado en el punto medio del segmento de la recta RF . Observa en la figura siguiente que el vértice es el punto más cercano a la directriz.

f. De acuerdo con la definición de la parábola, se tiene que PF=PQ.

Para encontrar la ecuación de una parábola en un sistema de coordenadas coloquemos su eje focal sobre el eje x, el vértice V en el origen y el foco en el punto F (a ,0 ), como se observa en la figura anterior. Por lo tanto, la ecuación de su directriz es x=−a o x+a=0.

73 | P á g i n a

Directriz x=a

Según la definición de la parábola y la figura tenemos que:

a. FP=PQb. PQ=x−(−a)=x+ac. FP=√ ( x−a )2+ ( y−0 )2

Por consiguiente:

√ ( x−a )2+( y−0 )2=x+a

A continuación elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuación anterior:

[√ ( x−a )2+ ( y−0 )2 ]2=( x+a )2

Al desarrollar y simplificar la expresión anterior resulta:

( x−a )2+ y2=x2+2ax+a2

x2−2ax+a2+ y2=x2+2ax+a2

A continuación despejamos y2 :y2=2ax+2ax

y2=4axAsí tenemos que la ecuación de una parábola con vértice en el origen, eje focal en el eje xy cuyas coordenadas son F (a ,0) es:

y2=4ax

A partir de esta ecuación podemos deducir lo siguiente:

1. Su gráfica es simétrica respecto al eje x, es decir, si el punto P(x , y) satisface su ecuación, entonces el punto P(x ,− y )también la satisface, es decir, ambos puntos están en dicha gráfica.

2. Si y es diferente de cero, entonces y2 será siempre un número positivo, por lo que se deduce que tanto el valor de a como el de x deben tener el mismo signo. Si a es mayor que cero, entonces la xsólo podrá tomar números positivos, es decir, la extensión de la variable x es el intervalo x≥0 , mientras que la extensión de la variable y es el conjunto de los números reales, ya que y=±√4 ax .

De acuerdo con estas condiciones, la curva resulta una parábola abierta que se extiende infinitamente a la derecha, hacia arriba y hacia abajo, como se muestra en la figura siguiente.

74 | P á g i n a

El segmento de recta LRde esa figura, que es perpendicular al eje focal y pasa por el foco, se llama lado recto y su longitud es 4 a . Esto se puede demostrar al sustituir en la ecuación y2=4ax la a por la x , es decir, si x=a, entonces:

y2=4a (a )y2=4a2

Luego:

√ y2=√4 a2

|y|=2a

y=±2a

Es decir, las coordenadas del punto L son (a ,2a) y las de R son (a ,−2a), y de acuerdo con la fórmula de la distancia tenemos:

LR=√(a−a )2+ [2a−(−2a)]2

LR=√0+ (4 a )2

LR=√|(4 a )2|

LR=|4 a|

Es importante precisar que a la longitud del lado recto también se le llama anchura focal.

75 | P á g i n a

EJEMPLOS.1.- Dada la ecuación de la parábola y2=12 x , encuentra lo que se indica.a). Las coordenadas del foco

Solución.a). Coordenadas del foco. La ecuación es de la forma y2=4ax ; luego:

4 a=12

a=124

a=3

Por ende, las coordenadas del foco son F (3 ,0 ) .b). La longitud del lado recto

Solución.b). Longitud del lado recto (LR):

LR=|4 a|LR=|4 (3)|=|12|

LR=12

El lado recto tiene 12 unidades de longitud.c). El parámetro.

Solución.c). El parámetro es:

P=|2a|, luego P=6

d). La ecuación de la directriz.

Solución.d). La ecuación de la directriz es x+a=0 ; así:

x+3=0 , o tambiénx=0−3x=−3

e). Las coordenadas de los puntos extremos del lado recto.

Solución.Coordenadas de los extremos del lado recto. El valor de las abscisas en los puntos extremos del lado recto es el correspondiente a la abscisa del foco; luego, x=3, por consiguiente:

y2=4axy2=4 (3 ) (3 )y2=36y=±√36y=±6

76 | P á g i n a

Es decir, las coordenadas de los puntos extremos del lado recto son (3 ,6) y (3 ,−6 ) .

f). Esboza la gráfica de la parábola.

2.- Halla la ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco F (4,0) .

Solución.Según las condiciones geométricas señaladas, y2=4ax , donde a=4 ; por tanto, su ecuación es:

y2=4 (4 ) xy2=16 x

77 | P á g i n a

3.- Halla la ecuación de la parábola con vértice en el origen, cuya longitud del lado recto es 14 y su gráfica se abre hacia la derecha.

Solución.Como su gráfica se abre hacia la derecha y su vértice está en el origen, su ecuación es de la forma y2=4ax , con a>0 ;luego:

LR=4 a4 a=14

Es decir:

y2=14 x

78 | P á g i n a

Ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco en la parte negativa del eje x .

Si el foco de una parábola con centro en el origen se localiza en la parte negativa del eje x, entonces el foco se representa con F (a ,0)y la directriz con x=−a, donde a<0.

Entonces la medición positiva desde un punto P(x , y)a la recta directriz en – a−x . Por tanto, de acuerdo con la definición de la parábola tenemos que:

√ ( x−a )2+ y2=−a−x

Al elevar al cuadrado y simplificar la expresión que resulta llegamos a

y2=4ax

Como a es menor que cero, entonces la x sólo puede tomar valores negativos y cero, es decir, la extensión de la variable x es el intervalo x≤0. La extensión de la variable y es el conjunto de todos los números reales, por lo que resulta una parábola como la que se muestra en la siguiente figura. Observa que la recta directriz es paralela al eje y, pero corta al eje x en su parte positiva.

EJEMPLO.1.- Dada la ecuación de la parábola y2=−8x , determina lo que se indica.

a).- Las coordenadas del foco.SoluciónEl signo negativo del coeficiente de la x nos indica que la parábola se abre hacia la izquierda, luego el foco se encuentra en la parte negativa del eje x.

79 | P á g i n a

4 a=−8

a=−84

=−2

a=−2De acuerdo con lo anterior, las coordenadas del foco son F (−2,0 ) .

b).- La ecuación de la directrizSolución.

x+a=0 , luegox+(−2 )=0

x=2c).- La longitud del lado recto.Solución.

LR=|4 a|LR=|4 (−2 )|LR=|−8|LR=8

d).- La longitud del parámetro.Solución.

P=|2a|=|2 (−2 )|=4

e).- Las coordenadas de los puntos extremos del lado recto.Solución.En los puntos extremos de dicho segmento x=−2; luego, al sustituir este valor en la ecuación resulta.

y2=−8xy2=−8 (−2 )

y2=16y2=±√16y2=4axy=±4

Por lo tanto los puntos extremos de lado recto son (−2,4 ) y (−2 ,−4 ) .

f).- Gráfica de la parábola.

80 | P á g i n a

2.- Dada la ecuación de la parábola con vértice en el origen y en la que las coordenadas de su foco son F (−4 ,0) .

Solución. De acuerdo con las condiciones señaladas, el eje focal está en el eje x y su gráfica se abre hacia la izquierda (a=−4<0); entonces su ecuación es de la forma y2=4ax , donde a=−4 ; luego:

y2=4(−4) xy2=−16 x

La gráfica sería la siguiente:

81 | P á g i n a

Ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco F (0 , a).Deduzcamos a continuación la ecuación de una parábola con vértice en el origen y cuyo eje focal está en el eje y, como se muestra en la figura. De acuerdo con ella y la definición de la parábola, se cumple esta condición geométrica.

PF=PQ

Luego:

√ ( x−0 )2+( y−a )2=√( x−x )2+[ y−(a)]2=√ ( y+a )2

de donde:

√ x2+( y−a)2= y+a

A continuación elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuación anterior para eliminar el radical:

x2+( y−a)2=( y+a )2

Desarrollamos y simplificamos la expresión anterior:

x2+ y2−2ay+a2= y2+2ay+a2

Al despejar x2 resulta:

x2=2ay+2ayx2=4 ay

La expresión anterior es la ecuación que queremos deducir. De esta ecuación se desprende lo siguiente:

1. Su gráfica es simétrica respecto al eje y, es decir, para cada punto P(x , y) que la satisface, entonces el punto (−x , y) también la satisface.

2. El lado recto pasa por el foco; luego, si y=a, entonces de acuerdo con la ecuación tenemos:

x2=4 ay

82 | P á g i n a

x2=4 a (a )x2=4 a2

Al extraer la raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación anterior resulta:

x=±2a

De acuerdo con ello, las coordenadas de los puntos extremos del lado recto son (2a , y ) y (−2a , y ), y su longitud es la distancia que hay entre esos puntos, o sea:

LR=√ [2a−(−2a) ]2+( y− y )2

LR=√(4 a)2

LR=|4 a|

Es decir la longitud del lado recto (LR) es el valor absoluto del producto 4 a.

3. Si x es diferente de cero, entonces x2 es siempre un número positivo, por lo que los valores de a y y deben tener siempre el mismo signo, es decir, ambos positivos o ambos negativos.

4. Si a es mayor que cero (a>0), entonces su gráfica es una cuerva abierta que se extiende infinitamente hacia arriba y ambos lados, esto se debe a que el valor de yserá siempre un número positivo o cero y la x puede tomar cualquier valor real.

5. Si aes menor que cero (a<0),entonces su gráfica es una curva abierta que se extiende infinitamente hacia abajo y hacia la derecha e izquierda respectivamente, esto se debe a que el valor de y será cero o siempre un número negativo, y x puede tomar cualquier valor real.

EJEMPLOS.1.- Halla la ecuación de la parábola con vértice en el origen y cuyo foco se encuentra en las coordenadas F(0, 5)

Solución.De acuerdo con las condiciones geométricas señaladas, el eje focal de la parábola está en el eje y y su gráfica se abre hacia arriba (a=5>0); luego, su ecuación de la forma

x2=4 ay , donde a=5 ,es decir:

x2=4 (9 ) yx2=20 y

83 | P á g i n a

2.- Determina la ecuación de la parábola con vértice en el origen, cuyo eje focal está sobre el eje y y cuya gráfica contiene el punto P(8 ,−4 ).

Solución.Como el eje focal está sobre3 el eje y, entonces la ecuación es de la forma x2=4 ay . Puesto que la gráfica contiene al punto P (8 ,−4 ) , entonces se cumple lo siguiente:

82=4 a (−4 )

4 a= 64−4

4 a=−16Por lo tanto, la ecuación es:

x2=−16 y


1.- En los ejercicios siguientes determina la ecuación de la parábola con vértice en el origen y que satisfaga las condiciones dadas. Trazar la gráfica correspondiente

a). Foco en (4 ,0)b). Foco en (3 ,0)c). Foco en (0 ,6)d). Foco en (0 ,−4)

84 | P á g i n a

2.- Determina la ecuación, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto para la parábola de vértice en el origen y cuyo eje coincide con el eje x, pasando por el punto indicado: Traza la gráfica respectiva.

a). K (−2 ,4 )b). L(5 ,7)c). M (−6 ,−4)

3.- Determina la ecuación, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto para la parábola de vértice en el origen y cuyo eje coincide con el eje y, pasando por el punto indicado; traza la gráfica respectiva.

a). K (4 ,−2)b). L(7 ,5)c). M (−4 ,−6)

4.- Determina las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto para cada una de las ecuaciones; traza la gráfica correspondiente.

a). x2=20 yb). y2=20 xc). x2=18 yd). y2=−2 x

Ecuación de la parábola con vértice fuera del origen.

Analicemos los casos siguientes de la parábola con vértice fuera del origen.

Caso I. Eje de la parábola paralelo al eje x y foco ubicado a la derecha del vértice.

85 | P á g i n a

La ecuación que correspondería a esta parábola si su vértice estuviera en el origen es y2=4ax ; por tanto, de acuerdo con el teorema de traslación, su ecuación con vértice en el punto V (h ,k )es:

( y−k )2=4a ( x−h )Esta ecuación es la forma ordinaria de la ecuación de la parábola.

EJEMPLO.

Escribe la ecuación de la parábola con vértice en (2, 6) y foco en (52,6¿

Solución. Como el vértice y el foco están en la recta horizontal y=6 y el foco está a la derecha del vértice, la gráfica es una parábola que se abre infinitamente hacia la derecha, por lo que su ecuación es de la forma:

( y−k )2=4a ( x−h )

Donde:a=VF

a=52−2∴a=1

2

86 | P á g i n a

Con el vértice V (2 ,6) y a=12

encontraremos la ecuación solicitada en la forma ordinaria:

( y−6 )2=4( 12 ) ( x−2 )

Caso II. Ecuación de la parábola con vértice en V (h ,k ) , eje focal paralelo al eje x y foco ubicado a la izquierda del vértice.

87 | P á g i n a

Si su vértice estuviera en el origen sería: y2=−4ax . Por lo tanto su ecuación en la forma

ordinaria es: ( y−k )2=4a ( x−h )EJEMPLO.Halla la ecuación de la parábola cuyo vértice se halla en las coordenadas V (−4 ,−3) y cuyo foco está en F (−7 ,−3 ) .

Solución.Como el foco está a la izquierda del vértice, la ecuación de la parábola es de la forma ( y−k )2=4a ( x−h ), con a<0 en donde h=−4 , k=−3. Su gráfica es la siguiente.

De acuerdo con la figura anterior tenemos a=VF Distanciadirigida deV a F

a=−7−(−4 )a=−7+4a=−3

La ecuación de la parábola en la forma ordinaria es:

[ y− (−3 ) ]2=4 (−3 ) (x+4 )( y+3 )2=−12 ( x+4 )

Caso III. Ecuación de la parábola con vértice en V (h ,k ) , eje paralelo all eje y y foco arriba del vértice.

La ecuación ordinaria de esta parábola es :

( y−h )2=4a ( y−k )

88 | P á g i n a

EJEMPLO.Determina la ecuación de la parábola de vértice en V (4 ,3 ) y foco en F ( 4 ,4 ) .

Solución.De acuerdo con las condiciones geométricas señaladas, el foco y el vértice de la parábola están en la recta vertical x=4; además, el foco se sitúa arriba del vértice, por lo que la gráfica se abre hacia arriba y por consiguiente, su ecuación es de la forma:

( y−h )2=4a ( y−k )Donde:

a=VFdistancia dirigida deV a Fa=4−3a=1

Con el vértice V (4,3), es decir, h=4 , k=3 y a=1, determinemos la ecuación de la parábola:

( x−4 )2=4 (1)( y−3)

( x−4 )2=4 ( y−3)

89 | P á g i n a

Caso IV. Ecuación de la parábola con vértice en el punto V (h ,k ), eje paralelo al eje y y foco abajo del vértice.

La forma ordinaria de la ecuación de esta parábola es:

( y−h )2=−4a ( y−k )

90 | P á g i n a

EJEMPLO.Halla la ecuación de la parábola con vértice en el punto V (3 ,5)y foco (3 ,4).

Solución.Puesto que el vértice y el foco están en la recta x=3, la ecuación de la parábola en la forma ordinaria es ( x−3 )2=4 a( y−5)

a=VFdistancia dirigida deV a Fa=4−5a=−1

Por lo tanto, la ecuación:( x−3 )2=4 (−1)( y−5)

( x−3 )2=−4 ( y−5)

91 | P á g i n a


1.- Halla la ecuación de la parábola con vértice en el punto V (2 ,3 ) y foco en F (6 ,3).

2.- Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en el punto V (2,2) y foco enF (−2,2) .

3.- Halla la ecuación de la parábola con foco en el punto F (−5 ,5 ) y vértice enV (−5 ,8).

4.- Halla la ecuación de la parábola con vértice en el punto (−3 ,0 ) y foco en(−3,1) .

Aplicaciones.

Las formas parabólicas se encuentran frecuentemente en el mundo físico, antenas de televisión, puentes colgantes, antenas de satélite, arcos de puentes, micrófonos, reflectores, recolectores de calor solar, etc.

EJEMPLO.1.- Una antena para televisión tiene forma de paraboloide. Calcula la posición del receptor que se coloca en el foco si la antena tiene un diámetro de 10 pies y 2 pies de profundidad.

Solución.La parábola generatriz se muestra en seguida en un plano xy en la figura, donde se ha colocado el vértice en el origen y el eje de la parábola en el eje y .

92 | P á g i n a

De acuerdo a la figura, la ecuación de la parábola es de la forma x2=4 ay .Si x=5 , entonces y=2.Así que tenemos:

(5 )2=4a (2 )

25=8a

a=258

∴a=3.125

El receptor está colocado a 3.125 pies arriba del vértice a lo largo del eje de la parábola.

2.- Los cables de un puente colgante forman un arco parabólico. Los pilares que lo soportan tienen una altura de 16 m sobre el nivewl del puente y están separados 200 m. El punto más bajo del cable queda a 6 m sobre la calzada del puente. Calcula la altura del cable a 80 m del centro.

93 | P á g i n a

Solución.Si tomamos como eje x la horizontal que define el puente y el eje y como el eje de la parábola, tenemos la gráfica siguiente:

De acuerdo con la figura, la ecuación de la parábola es de la forma:

( x−h )2=4 a ( y−k ) , donde h=0 y k=6

Al susutituir valores queda: ( x−0 )2=4 a ( y−6 )x2=4 a ( y−6 )

Cuando x=100, entonces y=16. Por tanto:

(100 )2=4a (16−6 )10000=4 a(10)

4 a=1000

Al susutituir en la ecuación x2=4 a ( y−6 ) queda:

x2=1000 ( y−6 ); luego si x=80 resulta:64001000

= y−6

6.4= y−6

94 | P á g i n a

y=12.4

La altura del cable a 80 m del centro es de 12.4 metros.


1.- El arco parabólico que se forma en el puente de concreto de la figura tiene un claro de 80 m y una altura de 10 m. Calcula la altura de arco a 8 m del centro.

2.- El faro de un automóvil tiene un reflector parabólico de 11.25 cm de profundidad. Si el bulbo luminoso está a 5 cm del vértice a lo largo del eje de simetría, determina:

a) El diámetro del reflectorb) El ancho que tiene el faro al nivel del bulbo luminoso.

95 | P á g i n a

3.- Los cables de un puente colgante forman un arco parabólico. Los pilares que los soportan tienen una altura de 30 m y están separados por una distancia de 400 m. Si el punto más bajo de los cables queda a 10 m sobre el puente, calcula la altura que tienen a 10 m de este último.

4.-Calcula la altura máxima que puede tener un autobús de 2.4 m de ancho para que pase sin problemas por un túnel que tiene forma de arco parabólico. La altura del túnel es de 5 m y el largo de 6 m.

96 | P á g i n a

3.3 DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE

La elipse.

97 | P á g i n a

Es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano cartesiano tales que la suma de su distancia a dos puntos fijos es constante, la cual siempre es mayor que la distancia entre dichos puntos fijos.

En la figura se representa una elipse en la que podemos distinguir los elementos siguientes: Focos. Los puntos F y F ’ son los puntos fijos denominados focos. Eje focal. Es la recta que pasa por los focos; en la figura es la recta L. Vértices. Son los puntos de intersección de la elipse con su eje focal. En la figura

los puntos V y V ’ son los vértices de la elipse. Eje mayor. Es el segmento de recta cuyos puntos extremos son los vértices de la

elipse, es decir, el segmento V V ' . Centro de la elipse. Es el punto medio del segmento de recta cuyos puntos

extremos son los vértices de la elipse. En la figura, el punto C representa el centro de la elipse.

Eje menor. Es el segmento de recta que pasa por el centro de la elipse (es decir, por el punto C) y es perpendicular al eje focal. En la figura el segmento BB' representa el eje menor de la elipse.

Lado recto. Es el segmento de recta perpendicular al eje focal que pasa por uno de sus extremos y cuyos puntos extremos están sobre la elipse. La elipse tiene dos lados rectos, pues tiene dos focos. En la figura LR y L ' R ' . Son los lados rectos de la elipse.

Ecuación de la elipse con vértice en el origen y cuyo eje focal está sobre el eje x.

Para encontrar esta ecuación que tengas las condiciones simétricas señaladas en la definición, primero colocamos su centro en el origen del plano cartesiano, de forma que su eje mayor V ' V coincida con el eje x, como se muestra en la figura.

Asimismo consideremos que C es la distancia del centro de la elipse a cada uno de los focos; de este modo, las coordenadas de éstos serán F (c ,0) y F’ (−c ,0). Por último, denotemos con la expresión 2a la distancia constante a la que nos referimos en la definición.

Si el punto P(x , y) es un punto cualquiera de la elipse y tomamos como referencia la definición, tenemos que:

98 | P á g i n a

F ' P+FP=2a

Como :

FP=√ ( x−c )2+( y−0 )2

F ' P=√ (x+c )2+( y−0 )2

Entonces aplicando la fórmula de la distancia.

√ ( x−c )2+( y−0)2+√( x+c )2+¿¿

Para eliminar los radicales, trasladamos uno de ellos al segundo miembro de la igualdad.

√ ( x+c )2+¿¿Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad.

¿¿Desarrollamos

x2+2xc+c2+ y2=4a2−4 a√( x−c )2+ y2+x2−2 xc+c2+ y2

Simplificamos

4 a√ ( x−c )2+ y2=4 a2−4 xc

Dividimos entre 4 ambos miembros de la igualdad e introducimos a al radical

√a2 (( x−c )2+ y2 )=a2−xc

Volvemos a elevar al cuadrado para eliminar el radical

a2 (x2−2 xc+c2+ y2)=a4−2a2 xc+x2c2

Reduciendo términos semejantes

99 | P á g i n a

a2 x2−x2 c2+a2 y2=a4−a2 c2Factorizando

x2(a2−c2)+a2 y2=a2(a2−c2)

Dividiendo la igualdad entre el producto a2(a2−c2)

x2

a2 + y2

a2−c2 =1

Como a2>c2 entonces a2−c2 es positivo, podemos hacer a2−c2 ¿b, por consiguiente, esta ecuación recibe el nombre de forma ordinaria de la ecuación de la elipse, es decir, la forma ordinaria de la ecuación de la elipse con centro en el origen y focos en F (c ,0)y F’ (−c ,0) es:

x2

a2 + y2

b2 =1

En resumen, la gráfica de la ecuación x2

a2 + y2

b2 =1 donde a2>b2 y c2=a2−b2 es una elipse

que tiene las características siguientes:

1.- Su centro está en el origen.2.- Su eje focal está en el eje x .3.- Las coordenadas de sus vértices son V (a ,0) y V ’(−a ,0).4.- Las coordenadas de los puntos extremos de su eje menor son B(0 , b) y B’ (0 ,−b ) .5.- Las coordenadas de sus focos son F (c ,0) y F’ (−c ,0).6.- La longitud de su eje mayor VV ' es 2a.7.- La longitud de su eje menor BB' es 2b .

8.- La longitud de cada lado recto (LR ) es 2b2

a

100 | P á g i n a

Excentricidad de la elipse.Se denomina excentricidad de la elipse a la razón de sus ejes determinados por la longitud de su eje mayor y la distancia entre sus focos. Si indicamos la excentricidad con la letra e se tiene que:

e=2c2a

e= ca

e=√a2−b2

a

Puesto que c es menor que a, entonces e es menor que la unidad; por otro lado, como

c2=a2−b2 se tiene que:

e2=a2−b2

a2 =1−( ba )2

Entonces:

e2=√1−( ba )2

Si analizamos la ecuación anterior tenemos:1.- Si a es muy grande comparada con b entonces la excentricidad de la elipse tiene a 1, lo cual resultará una elipse muy alargada.

2.- Si ba

tiende a 1, entonces el valor de la excentricidad tiende a cero y la elipse se

asemejará a una circunferencia. En caso de que a=b, el lugar geométrico será una circunferencia.

En conclusión, según el valor de la excentricidad de la elipse puede ser alargada o casi circular.

De acuerdo con la ecuación de la excentricidad e= ca=√a2−b2

a , si el valor de b se acerca

al de a, la excentricidad tiende a cero y la gráfica es casi circular. A la vez, si el valor de b es casi cero, la excentricidad tiende a uno y la gráfica es una elipse muy aplanada.

EJEMPLO.1.- Dada la ecuación siguiente de la elipse, determina lo que se indica.

a). Las coordenadas de los focos.

Solución.La elipse tiene centro en el origen y su eje focal está en el eje x; luego, a2=16 y b2=12 ; por consiguiente:

c2=a2−b2

101 | P á g i n a

c2=16−12c2=4

Es decir: c=±√4 c=±2

Las coordenadas de los focos son F (2 ,0 ) y F ’ (−2,0 ) .

b). Las coordenadas de los vértices.

Solución.Las coordenadas de los vértices son de la forma V (a ,0) y V ’ (−a ,0); por ende, en este caso las coordenadas de los vértices son V (4,0) y V ’(−4,0).

c). La longitud de cada lado recto

Solución.

LR=2b2

a

LR=2(12)

4

LR=6

d). Las coordenadas de los vértices del eje menor.

Solución.Las coordenadas de los extremos del segmento de recta BB’ son B(0 ,√12) y

B' (0 ,−√12) .

e). La longitud del eje mayor.

Solución.V V '=2aV V '=2(4)V V '=8

f). La longitud del eje menor.

Solución.BB'=2bBB'=2√12=2√4 (3)BB'=4√(3)=6.9

g). La excentricidad.

102 | P á g i n a

Solución.

e= ca

e=24

∴ e=12

2.- Halla la ecuación de la elipse con vértices en V (3,0) yV ’ (−3,0)y cuya excentricidad

es igual a 23

.

Solución.El centro de la elipse es el punto medio del segmento VV ’; luego, el centro es el origen y, de acuerdo con la localización de los vértices, el eje focal está en el eje x ; por lo tanto, la ecuación que buscamos es de la forma:

x2

a2 + y2

b2 =1

Donde:

e= ca

Como a=3 y e=23

, entonces:

23= c

3De donde resulta:

c=2(3)

3∴ c=2

Ahora determinemos el valor de b2:b2=a2−c2

b2=(3)2−(2)2

b2=9−4b2=5

Por tanto, la ecuación de la elipse es: x2

9+ y2

5=1

Ecuación de la elipse con centro en el origen y eje focal sobre el eje y.

De la misma manera que se determinó la ecuación x2

a2 + y2

b2 =1 podemos demostrar que la

ecuación de la elipse que tiene las condiciones geométricas señaladas es: x2

b2 + y2

a2 =1

103 | P á g i n a

En la figura se muestra una elipse con centro en el origen y eje focal sobre el eje y .

En resumen, tenemos que la gráfica de la ecuación x2

b2 + y2

a2 =1 , con a2>b2 y

c2=a2−b2, es una elipse que tiene las características siguientes:

1.- Su centro está en el origen.2.- Su eje focal está en el eje y .3.- Las coordenadas de sus vértices son V (0 ,a) y V ’(0 ,−a) .4.- Las coordenadas de sus focos son F (0 , c) y F ’ (0 ,−c) .5.- La longitud de su eje mayor VV ' es 2a.6.- La longitud de su eje menor BB' es 2b .

7.- La longitud de cada lado recto LR es 2b2

a8.- Las coordenadas de los puntos extremos de su eje menor son B(b ,0) y B’ (−b ,0 ) .

9.- La excentricidad es e=ca.

EJEMPLO.Dada la ecuación de la elipse 25 x2+16 y2=400 , determina:

a). Las coordenadas de los focos.

Solución.Si dividimos ambos miembros de la ecuación anterior entre 400 resulta:

25x2+16 y2

400=400

400

104 | P á g i n a

25x2

400+ 16 y2

400=400

400

x2

16+ y2

25=1

De acuerdo con lo anterior, la elipse tiene su centro en el origen y su eje focal está sobre el eje y; por lo tanto las coordenadas de sus focos son: de la forma F (0 , c ) y F (0 ,−c ) ,de donde: c2=a2−b2

c2=25−16c2=9c=±√9c=±3

Las coordenadas de sus focos son F (0,3 ) y F (0 ,−3 ) ,b). Las coordenadas de sus vértices.Solución.De acuerdo con la ecuación de la elipse, las coordenadas de los vértices son de la forma V (0 ,a) y V ’(0 ,−a) . En este caso puesto que a2=25 , las coordenadas de los vértices son V (0 ,5) y V ’(0 ,−5) .

c). La longitud del lado recto (LR).

Solución.

LR=2b2

a

LR=2(16)

5

LR=6.4

d). La longitud del eje mayor.

Solución.

V V '=2aV V '=2(5)V V '=10

e). La longitud del eje menor.

Solución.BB'=2bBB'=2 (4)BB'=8

105 | P á g i n a

f). Las coordenadas de los vértices de su eje menor.

Solución.Según la ecuación de la elipse, las coordenadas de los vértices del eje menor son de la forma B(b ,0) y B’ (−b ,0 ). Como b2=16 , las coordenadas de los vértices del eje menor son B(0 ,4 ) y B’ (0 ,−4 ).

g). La excentricidad de la elipse.

Solución.

e= ca

e=35


1.- Dada la ecuación de la elipse x2

25+ y2

9=1 , determina:

a). La longitud del eje mayorb). La longitud del eje menorc). Las coordenadas de los focos d). Las coordenadas de los vérticese). La longitud de cada lado rectof). La excentricidad

2.- Dada la ecuación de la elipse y2

100+ x2

64=1, determina:


3.- Dada la ecuación de la elipse 16 x2+25 y2=400 , encuentra:a). La longitud del eje mayorb). La longitud del eje menorc). Las coordenadas de los focos d). Las coordenadas de los vérticese). La longitud de cada lado rectof). La excentricidad

4.- Dada la ecuación de la elipse 36 x2+100 y2=3600 , encuentra:

106 | P á g i n a


5.- Halla la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos V (0,5) y V ’ (0.−5) , y cuyos focos son los puntos F (0,3) y F ’ (0 ,−3) .

6.- Determina la ecuación de la elipse con centro en el origen, eje focal sobre el eje x ,

longitud del eje mayor igual a 12 unidades y excentricidad de 13.

7.- Halla la ecuación de la elipse con centro en el origen, eje focal sobre el eje y , longitud de cada lado recto igual a 8unidades y la del eje mayor igual a 10.

8.- Halla la ecuación de la elipse con vértices V (10,0 ) yV ’ (−10,0 ) y longitud de cada lado recto es igual a 12.8 unidades.

APLICACIONES.Las elipses tienen diversas aplicaciones en el mundo real; entre las más importantes se encuentran las que se detallan a continuación.

Propiedad reflectora.Los segmentos de recta que unen los focos de una elipse (como se muestra en la figura) con un punto cualquiera ubicado en ella forman ángulos iguales don la recta tangente a la elipse que pasa por dicho punto.

Debido a esta propiedad, si se coloca una fuente de luz o de sonido en uno de los focos de un reflector, cuya superficie haya sido generada por la revolución de una elipse alrededor de su eje mayor, todas las ondas reflejadas pasarán por el otro foco.

107 | P á g i n a

La propiedad reflectora de la elipse se aplica en medicina para desintegrar cálculos renales. El llamado litotriptor es un aparato que utiliza un reflector elíptico de ultrasonido. Para usarlo, se coloca el reflector de modo que la fuente sonora se ubique en uno de los focos y el cálculo renal en el otro; las ondas se concentran en el tumor para hacerlo vibrar y posteriormente desintegrarlo.


Resuelve los problemas de aplicación de la elipse que se presentan a continuación.

1.- En la tabla siguiente se indica la excentricidad de las órbitas elípticas de los planetas ubicados alrededor del sol. ¿Cuál de ellas es la más alargada? ¿cuál de las órbitas se acercan más a un tipo circular?

Planeta Mercurio

Venus Tierra Marte Júpiter Saturno Urano Neptuno Plutón

Excentricidad 0.2056 0.0068 0.0167 0.0934 0.0484 0.0461 0.0100 0.0100 0.24842

108 | P á g i n a

2.- Un puente tiene forma de arco semielíptico. Si su claro es de 30 m y su altura máxima es de 12 m, calcula su altura a 13 m del centro.

3.- Un litotripor tiene 17 cm de altura y 16 cm de diámetro. Determina a qué distancia del vértice debe estar situado el foco para que desde ahí se emitan ondas de choque acuáticas de alta energía y a que distancia del mismo vértice debe ubicarse el cálculo renhal que se desea desintegrar.

Ecuación de la elipse con centro en el punto C (h , k ) y cuyo eje focal es paralelo al eje x .

109 | P á g i n a

La ecuación de esta elipse se obtiene de la ecuación de la elipse cuyo eje focal esté en el eje x y cuyo centro se ubica en el origen; es decir, en la ecuación:

x2

a2 + y2

b2 =1

Sustituimos y por ( y−k ) y x por (x−h), es decir, la ecuación de la elipse con centro en el punto C (h , k ) y eje focal paralelo al eje x en la forma reducida es:

( x−h )2

a2 +( y−k )2

b2 =1

De la figura anterior se deduce lo siguiente: Las coordenadas de los vértices del eje mayor son V (h+a , k ) y V ’(h−a , k) Las coordenadas de los vértices del eje menor son B(h , k+b) y B ’ (h , k−b) Las coordenadas de los focos son F (h+c , k ) y F ’ (h−c ,k )

EJEMPLO.Escribe la ecuación de la elipse con centro en el punto C (3 ,−4) , eje focal paralelo al eje

x, en la que la longitud del eje mayor es 10 y de excentricidad 4 /5. Halla las coordenadas de los vértices y de los focos.

Solución. De acuerdo con las condiciones geométricas indicadas, la ecuación de la elipse en la forma reducida es:

( x−h )2

a2 +( y−k )2

b2 =1

Donde 2a=10. Si despejamos a, tenemos:

110 | P á g i n a

a=5

e= ca=4

5

Luego: c=9e

c=5 ( 45 )

c=4

Determinamos a continuación el valor de b2:

De donde: b2=a2−c2

b2=25−16b2=9

Como sabemos que h=3y k=−4, la ecuación de la elipse es:

( x−3 )2

25+

( y+4 )2

9=1

A partir de esta ecuación determinemos los vértices y los focos de la elipse. Las coordenadas de los vértices son:

V (h+a , k ) y V ’(h−a ,k) V (3+5 ,−4 ) y V ’ (3−5 ,−4 )V (8−4 ) y V ’(−2,−4 )

Las coordenadas de los focos son:F (h+c , k ) y F ’ (h−c ,k )F (3+4 ,−4) y F ’ (3−4 ,−4 )F (7 ,−4) y F ’ (−1 ,−4)

Ecuación de la elipse con centro fuera del origen en el punto C (h , k ) y cuyo eje focal es paralelo al eje y .

111 | P á g i n a

Análogamente, la ecuación de la elipseque tiene estas condiciones geométricas se

obtiene de la ecuación de la elipse x2

b2 + y2

a2 =1 , al sustituir x por ¿) y y por ( y−k ). Por

tanto, la ecuación de la elipse es:

( x−h )2

b2 +( y−k )2

a2 =1

De acuerdo con la figura las coordenadas de los focos son:F (h , k+c ) y F ' (h , k−c)

Las coordenadas de los vértices son: V (h ,k+a) y V ’(h ,k−a)

Las coordenadas de los vértices del eje menor son: B(h , k+b) y B ' (h ,k−b)

EJEMPLO.Determina la ecuación de la elipse con centro en el punto C (−2,1), eje focal paralelo al eje y, longitud del eje menor 16 y longitud del lado recto igual a 32/3.

Solución.De acuerdo con las condiciones indicadas, la ecuación de la elipse es de la forma:

( x−h )2

b2 +( y−k )2

a2 =1

Donde: h=−2 y k=1. Además2b=16

Es decir:

b=162

112 | P á g i n a

b=8 luego

b2=64

Entonces el lado recto (LR) es:

LR=2b2

a=32

3

LR=2(64 )a

=323

2 (64 ) (3 )=32a ,Luego:

a=2(64)(3)

32=12

a2=144

La ecuación de la elipse en la forma reducida es :( x+2 )2

64+

( y−1 )2

144=1

Las coordenadas de los vértices se determinan por: V (h ,k+a) y V ’(h , k−a)V (−2 ,1+12 )=V (−2 ,13)V ' (−2 ,1−12 )=V '(−2,11)

Las coordenadas de los focos se determinan por: F (h , k+c ) y F ' (h , k−c)

Donde:

c=√a2−b2=√80=4√5

Luego: F (−2 ,1+4 √5 ) y F ' (−2,1−4√5)

Pasos para encontrar la forma ordinaria de la elipse a partir de la forma general.

Paso I. Se agrupan en un paréntesis los términos que contienen a x y a y.Paso II. Coloca el término independiente de lado derecho de la ecuación y factoriza las expresiones algebraicas agrupadas a partir del máximo factor común de los coeficientes.Paso III. Forma trinomios cuadrados perfectos con las expresiones agrupadas en el lado izquierdo, en la forma acostumbrada y suma el lado derecho de los números necesarios para que se mantenga la igualdad.Paso IV. Factoriza los trinomios cuadrados perfectos y simplifica el miembro derecho.Paso V. Divide ambos miembros de la ecuación anterior por el término independiente obtenido en la simplificación. Paso VI. Simplifica las fracciones del lado izquierdo de la ecuación.

113 | P á g i n a


1.- A partir de la ecuación de la elipse 16 x2+25 y2−32x−100 y−284=0 encuentra lo siguiente:

a).- La ecuación de la elipse de la forma ordinaria.b).- Halla las coordenadas del centro de la elipse.c).- Halla la longitud del eje mayor.d).- Halla la longitud del eje menor.e).- Determina las coordenadas de los vértices.f).- Determina las coordenadas de los focos.g).- Determina la excentricidad de la elipse.h).- Determina la longitud de cada lado recto.

2.- A partir de la ecuación de la elipse 9 x2+16 y2−36 x+96 y+36=0 encuentra lo siguiente:


3.- A partir de la ecuación de la elipse 25 x2+9 y2−50 x+36 y−164=0 encuentra lo siguiente:


4.- A partir de la ecuación de la elipse 169 x2+144 y2−338 x−864 y−22871=0 encuentra lo siguiente:

a).- La ecuación de la elipse de la forma ordinaria.b).- Halla las coordenadas del centro de la elipse.c).- Halla la longitud del eje mayor.d).- Halla la longitud del eje menor.

114 | P á g i n a

e).- Determina las coordenadas de los vértices.f).- Determina las coordenadas de los focos.g).- Determina la excentricidad de la elipse.h).- Determina la longitud de cada lado recto.

C O N C L U S I O N E S

Definitivamente, las carreras técnicas son estudios que

preparan a las personas para “ser”, “estar” y “hacer”,

dicho de otra manera, enseñan a vivir, como vivir y de que

vivir. Por lo tanto, el aspecto práctico de las materias

referentes al componente básico, tiene que ser reforzado.

Lo anterior, permitirá al egresado disponer de una

herramienta muy valiosa al momento de aspirar a

incorporarse a un trabajo, ya que llevará consigo los

conocimientos y habilidades elementales, que lo apoyarán

a responder con eficacia a los requerimientos de su

ambiente y responsabilidad laboral.

Sirva el presente “cuadernillo de apuntes”, para coadyuvar

con el propósito arriba mencionado y que sea bueno para

estimular la curiosidad de los alumnos hacia la adquisición

115 | P á g i n a

de conocimientos y reforzamiento del aprendizaje para

que se cumplan de forma sencilla y uniforme.

BIBLIOGRAFIA

Matemáticas III, Enfoque por competenciasCuellar, Juan AntonioPrimera edición, 2010Editorial Mc. Graw HillISBN: 978-607-15-0376-3

Matemáticas III, Geometría AnalíticaGarza Olvera, BenjamínSexta reimpresión, 2003.Editorial DGETIISBN: 968-29-9076-X

Geometría Analítica Lehmann, Charles H.Reimpresión, 1965Editorial UTEHA

116 | P á g i n a

Cuadernillo de Geometría Analítica (M3)

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