Contenidos y bibliografa - Anlisis II - Ao lectivo 2013

Unidad 1: Aplicaciones de la funcin derivada Polinomio de Taylor. Frmula de Taylor. Frmula de Maclaurin. Clculo del trmino complementario.

Bibliografa: Rabuffetti (Cap. 8); Cuadernillo de la docente titular; Leithold (pg. 639-647)

Regla de L'hopital

Bibliografa: Cuadernillo de la docente titular; Leithold (pg. 604-617)

Concavidad y convexidad. Criterio para su determinacin. Punto de inflexin.

Bibliografa: Stewart (pg. 294-305); Cuadernillo de la docente titular

Unidad 2: Sucesiones Lmite de una sucesin. lgebra de sucesiones. Cota superior e inferior. Supremo e nfimo. Axioma del supremo.

Sucesiones montonas. Propiedades. Criterio de convergencia de Cauchy. El nmero e.

Bibliografa: Leithold (pg. 647-659); Cuadernillo de la docente titular; Salas-Hille (pg. 683-687 585-589)

Unidad 3: Series infinitas de trminos constantes Condicin necesaria para la convergencia. Condicin suficiente para la divergencia. Condicin necesaria y suficiente para

la convergencia. Serie armnica. Serie geomtrica. Serie p. lgebra de series. Series que divergen en los m primeros

trminos. Series infinitas de trminos positivos. Criterio de comparacin. Criterio de comparacin por paso al lmite.

Criterio de la integral. Series infinitas de trminos positivos y negativos. Criterio de las series alternantes. Residuos

despus de k trminos. Convergencia absoluta y condicional. Criterio para una serie de signos cualesquiera. Criterio de

D'alambert o de la razn. Criterio de Cauchy o de la raz.

Bibliografa: Leithold (pg. 659-697); cuadernillo de la docente titular.

Unidad 4: Integrales Integral definida. La integral segn Riemann. Definicin. Criterio de integrabilidad para funciones acotadas. Integral

definida para funciones continuas. Lema de Darboux. La integral expresada como un lmite. Teorema de acotacin.

Teorema del valor medio (interpretaciones). Funcin integral. Teorema fundamental del clculo. Funcin primitiva.

Regla de Barrow-Newton.

Bibliografa: Apuntes de clase (lvarez); Leithold (pg. 328-371); Cuadernillo de la docente titular.

Integral indefinida. Mtodos de integracin: por descomposicin, por susutitucin, por partes. Integracin de funciones

racionales: distintos casos. Integrales de funcione trigonomtricas e integrales por sustituciones trigonomtricas.

Bibliografa: Rabuffetti (pg. 323-358); Cuadernillo de la docente titular; Larson (pg. 543-549)

Integrales impropias

Bibliografa: Leithold (pg. 618-632)

Unidad 5: Aplicaciones de la integral Clculo de reas. Volumen de slidos de revolucin. Rectificacin de arcos. rea de una superficie de revolucin.

Bibliografa: Cuadernillo de la docente titular; Larson (pg. 445-485 y 507-512)

Unidad 6: Series de potencia Convergencia y divergencia. Teorema de las tres condiciones. Radio e intervalo de convergencia. Diferenciacin de series

de potencia. Integracin de series de potencia. Relacin entre los radios de convergencia.

Bibliografa: Leithold (pg. 698-738); Cuadernillo de la docente titular

604 CAPTULO 7 TCNICAS DE INTEGRACIN, FORMAS INDmRMINADAS E INTEGRALES IMPROPIAS

7.7 FORMA INDETERMINADA 0/0 Y TEOREMA DEL VALOR MEDIO DE CAUCHY

En este texto se han presentado lmites de cocientes de funciones para los cuales el lmite del numerador y del denominador son cero. Por ejemplo

lm sen t y t-->0 t

, x 2 - 9 hm---x-->3 X - 3

son dos de dichos lmites. Para calcular estos lmites, no se puede aplicar inmediatamente el teorema del lmite de un cociente ya que en este teorema se requiere que el lmite del denominador sea diferente de cero. Sin embar-go, se siguieron otros procedimientos. Se determin que el primero de los lmites es 1, cuando se demostr el teorema 1.10.2. El segundo de estos lmi-tes se calcul al factorizar la diferencia de cuadrados del numerador y des-pus dividir el numerador y denominador entre x - 3 para obtener 6 como lmite. Ahora se estudiar un mtodo ms general que puede aplicarse a l-mites como estos.

7.7.1 Definicin de la forma indeterminada 0/0 Si f y g son dos funci()nes tales que

limf(x) = O y limg(x) = O z~a x~a

entoncesf(x)/g(x) tiene la fonna lndetermiaada 0/0 en a.

C> EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 De la definicin 7. 7.1, seto t tiene la forma indeterminada 0/0 en O, y x

2 -

9 tiene la forma in-x- 3

determinada 0/0 en 3.

7.7 FORMA INDETERMINADA 0/0 Y TEOREMA DEL VALOR MEDIO DE CAUCHY 605

[-3, 3] por [-2, 2]

f(r) = sen 1 y g(t) = cos t t

FIGURA 1

[0. 12] por [0. 8]

f(x) = x' - 9 y g(x) = 2x X- 3

FIGURA2

[-3, 3] por [-l. 3]

f(x) = _x_ ex - 1

FIGURA3

[> EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 como lm sen o y t--+0 }~"A t = O, se puede aplicar la regla de L'Hopital para obtener

l. sen t Im--r--+0 t

l. cos t Im--r--+0 1

A fin de mostrar grficamente esta aplicacin de la regla de L'Hopital, consulte la figura 1, la cual muestra las grficas de f(t) = sen t/t y g(t) = cos t/1 trazadas en el mismo rectngulo de inspeccin de [-3, 3] por [-2, 2]. La figura apoya el hecho de que las dos funciones tienen el mismo lmite de 1 conforme t ~ O. En t = O, f tiene una discontinuidad removible y g es continua. ~

[> EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 Como lm (x2 - 9) = O y lm (x - 3) = O x~3 x~3

se puede aplicar la regla de L'Hpital para obtener

lm x2 - 9 = lm 2x X--+3 X - 3 X--+3 1

= 6

Refirase a la figura 2 para ver una interpretacin grfica de esta apli-cacin de la regla de L 'Hopital. En la figura se muestran las grficas de f(x) = (x 2 - 9)/(x - 3) y g(x) = 2x/I trazadas en el mismo rectngulo de inspeccin de [0, 12] por [0, 8]. La figura apoya el hecho de que los lmi-tes de las dos funciones es 6 cuando x ~ 3. En x = 3, f tiene una discon-tinuidad removible, mientras que g es continua en ese nmero. ~

... EJEMPLO 1 f(x) = _x_

ex - 1

Sea

(a) Trace la grfica def A qu valor parece que se aproximaf(x) cuando x tiende a O? (b) Confirme analticamente la respuesta del inciso (a) calcu- lando el Im f(x) .

x--+0

Solucin (a) La figura 3 muestra la grfica deftrazada en el rectngulo de inspeccin

de [-3, 3] por [-1, 3]. Como f(O) no existe, la grfica tiene un agujero (cubierto por el eje y) en x = O. De la grfica, parece que f(x) se aproxi-ma a 1 conforme x tiende. a O.

(b) Como el }~ x = O y }~(e"' - 1) = O, se puede aplicar la regla de L'Hpital, obtenindose

lm _x_ x--+0 ex - 1

lm j_ .r-+0 ex

lo cual confirma la respuesta del inciso (a).

606 CAPTULO 7 TCNICAS DE INTEGRACIN, FORMAS INDfTERMINADAS E INllGRALES IMPROPIAS

[0, 4.7} por [-10. 11

j(x) = x 3 - 3x + 2 i-x+inx

FIGURA4

~ EJEMPLO 2 Sea f(x) = x 3 - 3x + 2

1-x+lnx

Evale !~f(x), si existe, y apoye grficamente la respuesta.

Solucin Primero se revisar si es posible aplicar la regla de L'Hpital. lrn (x 3 - 3x + 2) = 1 - 3 + 2 x-->1

lrn (1 - x + lnx) = 1 - 1 + O x-->1

=o

Por tanto, se aplica la regla:

lrn x 3 - 3x + 2 x-->1 1 - x + ln X

lrn 3x2 - 3 x-->1 -l + _!_

X

=o

Ahora, corno lrn (3x2 - 3) = O y lrn (-1 + 1/x) = O, se aplica otra vez x41 X4)

la regla de L'Hpital, obtenindose

lrn 3x2 - 3 lrn ~ x-->1 -l + _!_ x-->1 1

x - x2

6 -1

= -6 La figura 4 muestra la grfica de f trazada en el rectngulo de inspeccin de [0, 4. 7] por [-10, 1]. La grfica tiene un agujero en (1, -6), lo cual apoya la respuesta. ....

A fin de demostrar el teorema 7.7.2, se necesita emplear el teorema del valor medio de Cauehy, atribuido al matemtico francs Agustn L. Cauchy (1789-1857), que extiende a dos funciones el teorema del valor medio para una funcin. Una interpretacin geomtrica del teorema se pospone hasta la seccin 9.1, donde se estudian derivadas asociadas con ecuaciones pararntricas.

7.7.3 Teorema del valor medio de Cauchy Sify g son dos funciones tales que

(1) f y g son continuas en el intervalo cerrado [a, b); () fy g son diferenciables en el intervalo abierto (a, b); (ill) para toda x del intervalo abierto (a~ b), g'(x) * O, entonces eXiste un nmero z en el intervalo abierto (a, b) tal que

f(b)- /(a) = g(b)- g(a)

/'(z) g'(z)

Demostracin Primero se mostrar que g(b) '*' g(a). Suponga que g(b) = g(a). Corno g satisface las dos condiciones de la hiptesis del teo-rema del valor medio, existe un nmero e en (a, b) tal que g'(e) = [g (b) -g(a)]/(b - a). Pero si g (b} = g (a), entonces existe un nmero e en (a, b) tal que g'(e) = O. Pero la condicin (iii) de la hiptesis de este teorema estable-ce que para toda x de (a, b), g'(x) *- O. Por tanto se tiene un contradiccin. De modo que, la suposicin de que g (b) = g (a) es falsa. En consecuencia, g(b) - g(a) '*' O.

7.7 FORMA INDETERMINADA 0/0 Y TEOREMA DEL VALOR MEDIO DE CAUCHY 607

Ahora considere la funcin h definida por

h(x) = f(x) - f(a)

Entonces

[ f(b) - f(a)][g(x) _ g(a) g(b) - g(a)

h'(x) = f'(x) - [f(b) - f(a)]g'(x) g(b) - g(a) (1)

Por tanto, hes diferenciable en (a, b) puesto que fy g son diferenciables en este intervalo, y h es continua en [a, b] ya que f y g son continuas en dicho intervalo.

Al calcular h(a) y h(b) se tiene

h(a) = f(a) - f(a) [ f(b) - f(a)][g(a) g(a)} g(b) - g(a) =o

h(b) = f(b) f(a) - [f(b) - f(a)][g(b) - g(a)] g(b) g(a)

=o

En consecuencia, la funcin h satisface las tres condiciones de la hip-tesis del teorema de Rolle. Entonces existe un nmero z en el intervalo (a, b) tal que h'(z) = O. As, de (1),

f'(z) f(b) - f(a) g'(z) = 0 g(b) - g(a)

Como g'(z) ~ O en (a, b), de la ecuacin anterior se obtiene f(b)- f(a) g(b) - g(a)

f'(z) g'(z)

donde z es algn nmero del intervalo (a, b). Esto demuestra el teorema.

Si g(x) x, entonces la conclusin del- teorema del valor medio de Cauchy es la conclusin del teorema del valor medio ya que g'(z) = l. As, el teorema del valor medio es un caso especial del teorema del valor medio deCauchy.

EJEMPL03 Determine todos los valores de z en el intervalo (0, 1) que satisfacen la conclusin del teorema del valor medio de Cauchy para las funciones definidas por

f(x) = 3x2 + 3x - 1 y g(x) x 3 - 4x + 2

Solucin Al derivar f y g se obtiene f'(x) = 6x + 3 y g'(x) = 3x2 - 4

Las funciones f y g son diferenciables y continuas en cualquier nmero, y para toda x en (0, 1), g'(x) ~ O. Por tanto, mediante el teorema del valor medio de Cauchy, existe un nmero z en (0,_1) tal que

/(1) - /(0) g(l) - g(O)

608 CAPtruLO 7 TCNICAS DE INTEGRACIN, FORMAS INDETERMINADAS E INTEGRALES IMPROPIAS

Si se sustituye f(l) por 5, g(l) por -1 ,f(O) por -1 y g(O) por 2 en la ecua-cin anterior, y sta se resuelve para z, se tiene

6z + 3 = 3z 2 - 4

6z2 + 6z 5 = O

-6 ~36 + 120 z = 12

En el intervalo (0, 1), z = * (-3 + ..[39) = 0.54083. Ahora se tienen los elementos para demostrar el teorema 7.7.2. Se dis-

tinguirn tres casos: (i) x -7 a+; (ii) x -7 a-; (iii) x -7 a.

Demostracin del teorema 7.7.2 (i) Como en la hiptesis no se supone que f y g estn definidas en a, se consideran dos nuevas funciones F y G para las cuales

F(x) = {~(x) si x ;t: a si x a

y G(x) { ~(x) si x ;t: a si x = a

(2)

Sea b el extremo derecho del intervalo l dado en la hiptesis. Como f y g son diferenciables en /, excepto posiblemente en a, se concluye que F y G son diferencables en el intervalo (a, x], donde a < x < b. Por tanto, F y G son continuas en (a, x]. Las funciones tambin son continuas por la dere-cha en a porque lm F(x) = lm f(x) y lm f(x) = O, lo cual es F(a);

x~a+ x~a+ x---+a+ de manera semejante, lm G(x) G(a). Por tanto, F y G son continuas en

x4-a+ el intervalo cerrado [a, x]. De este modo, F y G satisfacen las tres condi-ciones del teorema del valor medio de Cauchy. En consecuencia,

F(x) - F(a) F '(z) G(x)- G(a) = G'(z)

donde z es algn nmero tal que a < z < x. De (2) y de la ecuacin ante-rior se tiene

f(x) f'(z) g(x) = g'(z)

Como a < z < x, se deduce que conforrne x -7 a+, z -+ a+; por tanto,

lm f(x) = lm f'(z) x-'>a+ g(x) x-'>a+ g'(z)

Pero por hiptesis, este lmite es L. As,

lim f(x) = L x-'>a+ g(x) La demostracin del caso (ii) es semejante a la demostracin del caso (i)

1 se deja como ejercicio (refirase al el ejercicio 44). El caso (iii) se deduce inmediatamente de los casos () y (ii).

La regla de L'Hpital tambin se cumple si x crece sin lmite o si x de-crece sin lmite, como se establece en el teorema siguiente.

7.7 FORMA INDETERMINADA 0/0 Y TEOREMA DEL VALOR MEDIO DE CAUCHY 609

7.7.4 Teorema Reglo de L' Hopitol Sean f y g dos funciones diferenciables para toda x > N, donde N es una constante positiva, y suponga que para toda x > N; g'(x) ~ O. Si llm f(x) = O y lm g(x) = O, y

x~+ x~+-

Si Um f'(x) = L entonces 11m f(x) = L $-++ g'(x) .. ...... g(x)

El teorema tambin es vlido si x -+ +oo se sustituye por x -+ -oo.

Demostracin Se demostrar el teorema para cuando x ~ +oo. La demostracin para cuando x ~ -oo se deja como ejercicio (vea el ejercicio 45).

Para toda x > N, sea x = 1/t; entonces t = 1/x. Sean F y G las fun-ciones definidas por F(t} = f(l/t) y G(t) = g(l/t) , si t ~ O. Entonces f(x) = F(t) y g(x) = G(t), donde x > N y O < t < 1/N. De las defini-ciones 3.7.1 y 1.6.1 se puede mostrar que las proposiciones

lm f(x) = M y lm F(t) = M ..t---++oo /-+O+

tienen el mismo significado. Se le pedir que demuestre esto en el ejercicio 42. Como por hiptesis lm f(x) = O y lm g(x) = O, se puede concluir que

X~ +- X~+-

lm F(t) = O y lm G(t} = O t---+0+ t-+0+

Al aplicar la regla de la cadena al cociente F'(t)/G'(t) se tiene

F'(t) G '(t)

-* rG) _l.. g'(!)

t2 t

r(~) gW f'(x) g '(x}

Como por hiptesis lm f'(x)fg'(x} = L, se deduce de lo anterior que x-+ +oa

(3)

. F'(t) hm G'( ) = L (4)

t->0+ t

Puesto que para toda x > N, g'(x ) ~ O, entonces

G'(t) ~ O para toda O < t < * De esta proposicin, y de (3) y (4), se deduce del teorema 7.7.2 que

lm F(t} = L t->O + G(t)

Pero como F(t)/G(t) = f(x)fg(x) para toda x > N y t ~ O, entonces

lm f(x) = L x ->+- g(x)

de modo que el teorema se ha demostrado.

610 CAPiTULO 7 TCNICAS DE INTEGRACIN, FORMAS INDETERMINADAS E INTEGRALES IMPROPIAS

EJEMPI.O 4 Evale el lmite si existe. 1

lm _x_ x-++~ tan l.

X

Solucin lm x...,.+_ X

L'Hpital se tiene

! lm _x_ lm x~+.,., tan 1 x...,.+oo

X

! lm 2 x-++~ sec2

- 1 - 2

O. De modo que por la regla de

X

Los teoremas 7.7.2 y 7.7.4 tambin se cumplen si L se sustituye por +oo o -oo. Las demostraciones de estos casos se omiten. Sin embargo, ob-serve que si lmf(x) = O, lm g(x) = O y lm [f'(x)/g'(x)] no existe y no

x...,.a x...,.a x4a es +oo ni -oo, entonces el lm [j(x)/g(x)] puede existir. Vea el ejercicio

x->a

41 como un ejemplo de tal situacin.

EJEMPI.O 5 Demuestre que si se elimina la discontinuidad en O del ejemplo 1, la funcin que resulta ser diferenciable en O. Solucin La funcin del ejemplo 1 est definida por

f(x) = ex

y ah se mostr que lm f(x) = l. Se elimina la discontinuidad definiendo x->0

la funcin de modo que sea 1 en O. Si Fes esta nueva funcin,

si x "#O F(x)

si x =O

A fin de demostrar que Fes diferenciable en O, se calcula F'(O).

F'(O) lm --'--'--::-"--'"" x-;0

- 1

X

Como lm (x ex + 1) = O y lm (xex - x) = O, se aplica la regla de x ..... o x ..... o

L'Hpital y se tiene

F'(O) = lm 1 - e" x-+0 ex + xex - 1

7.7 FORMA INDmRMINADA 0/0 Y TEOREMA DEL VALOR MEDIO DE CAUCHY 611

Como lm (1 - ex) = O y lm (ex + xex - 1) = O, se aplca otra vez x~O x~o

la regla de L'Hopital y se obtiene

F'(O) = lm ----'----x-.o eX + ex + XeX -!

2

Por tanto, se ha demostrado que Fes diferenciable en O.

EJERCICIOS 7.7 . En los ejercicios la JO, haga lo siguiente: (a) trace la grfica de f en la graficadora y determine a qu valor parece que se aproxima f(x) cuando x tiene a a; ( b) confirme analticamente la respuesta del inciso (a) calculando lim j(x).

x->a

l. f(x) X 2. /(x) tanx-x tanx X senx

a =0 a =0

3. f(x) = 4. j(x) = X X

a =2 a o

5. j(x) = 2x _ 3x 6. /(x) tanh 2x X tanh X

a =0 a =0

7. J(x) = 8. /(x) = xl sen x 3 + 3x- 4

a o a

9. /(x) = x3 + 8 10. f(x) 3 COS X

x 3 + x 2 + 4 2x - 1C a -2 a = JC/2

En los ejercicios 1 l a 16, calcule el lmite, si existe, y apaye grficamente la respuesta.

11. 1 tan 3x 12. lim Im--x-.0 tan 2x x_,l X - 1

2 sen-

9 sen 9 13. lim 14. lm x-++- 9->0 tan3 9

X

15. lm ln(sen x) 16. lm ex- cosx x->tr/2 (!C - 2x)2 x->0 x sen x

En los ejercicios 17 a 28, evale el lmite si existe.

17. lm 18. x-+t+ X

19. lm 20. z:-++(>0

z

21. lm sent 22. t->0 ln(2e' - l)

. (1 + x)l/5 _ (1 _ x)l/5 23. hm -'.:.--.:.....:.:."'-:---'-'-.:.:-'-.-:-

x->0 (l + x)l/3 _ (1 _ x)l/3

2x2-[ lime ___ x->0 sen2 x

lm .>->0 1 - cosh y

24. lim X-t+M

X

25. lm 1 + cos 2x 26. lm x->tr 1 senx X->0 X

cos x- cosh x senh x sen x 27. lm 28. lm x->0 x2 X->0 sen 3 x

En los ejercicios 29 a 36, determine todos los valores de z en el intervalo (a, b) que satisfacen/a conclusin del teorema del valor medio de Cauchy para el par de funciones indicado. 29. /(x) xl, g(x) = x2; (a, b) = (0, 2)

30. J(x) = 1 +

,g(x) = -1 +

; (a, b) (0, 2)

31. j(x) = sen x, g(x) = cos x; (a, b) = (0, !C) 32. j(x) = cos 2x, g(x) = sen x; (a, b) = (0, t 1C) 33. j(x) In x, g(x) = x 2; (a, b) = (1, 3) 34. j(x) ., x + 5, g(x) x + 3; (a, b) (-4, -1) 35. f(x) = e 2X, g(x) = e'; (a, b) = (0, 2) 36. j(x) = ln(x + 1), g(x) = In x; (a, b) = (1, 2) 37. Un circuito elctrico tiene una resistencia de R ohms, una

inductancia de L benrys y una fuerza electromotriz de E volts, donde R, L y E son positivos. Si i amperes es la corriente que fluye en el circuito t segundos despus de que se cierra el interruptor, entonces

Si t, E y L son constantes, calcule lm i. R-.o+

38. En una progresin geomtrica, si a es el primer tnnino, r es la razn comn de dos tnninos consecutivos y S es la suma de los primeros n tnninos, y sir * 1, entonces

S=

Calcule el lm S. Si r 1, es consistente el resultado r--+1

con la suma de los primeros n tnninos? 39. Considere que

f(x) cosx-1 X

612 CAPTULO 7 TCNICAS DE INTEGRACIN, FORMAS INDmRMINADAS E INTEGRAUS IMPROPIAS

Sea F la funcin que se obtiene de f al eliminar la discontinuidad en O; esto es,

demuestre que lim [f(x)/g(x)] existe y calcule este lmite. x -->0

Sugerencia: Aplique el teorema de estriccin.

! f(x) F(x) = lmf(x) si x = O x-->0 si x ;t O Qemuestre que Fes diferenciable en O calculando F '(O).

42. Suponga que fes una funcin definida para toda x > N, donde N es una constante positiva. Si 1 = l/x y F(l) = f(L/1). donde 1 ~ O, demuestre que las proposiciones

lm f(x) = M y lm F(l) = M tienen el mismo sig-x-++1>0 t-+0+

40. (a) Demuestre que si a > O, entonces ni ti cado.

a' - 1 lm -- = lna x~O X

43. Calcule los valores para a y b tales que

lm sen 3x + ax + bx 3 = 0 ..r-+0 x3 (b) A partir del resultado del inciso (a), demuestre que si

r > O y s > O, entonces 44. Demuestre el teorema 7.7.2(ii).

41. Sean

lm (rs)' - 1 lm r' - 1 + lm s' - l x -+0 X ..r -tO X x-+0 X

j(x) = x 2 sen.!_ y g(x) = x X

45. Demuestre el teorema 7.7.4 para cuando x ~ -oo. 46. Suponga que f y g son dos funciones tales que la funcin

JI g tiene la forma indeterminada 0/0 en a. Adems su-ponga que

lm f'(x) = L 1 y lm g'(x) = L2 x-+a x-+a

Qu puede concluirse acerca de lm [f(x)/g(x)] en cada x-->a

Demuestre que lm j(x) = O, lm g(x) = O, y que x-+0 x-+0

uno de los siguientes casos: (a) L 1 ~ O y L2 ~ O; lm [j'(x)/g'(x)] no existe ni es + oo ni - oo. Tambin (b) L 1 = O y ~ ~ O: (e) L 1 ~ O y L2 = O; (d) L 1 = O

y L2 = O? x-->0

7.8 OTRAS FORMAS INDETERMINADAS Otra forma indeterminada de un cociente de dos funciones ocurre cuando el numerador y el denominador crecen o decrecen sin lmite. Por ejemplo, suponga que desea evaluar el lmite, si existe,

lm In x X-->0+ l

X

No se puede aplicar el teorema que trata acerca del lmite de un cociente porque lm In x = -oo y lm (1/x) = +oo. En este caso se dice que la

x-+0+ x-+0+ funcin definida por

f(x) In x -.-

X

tiene la forma indeterminada (-oo)/(+oo) en x = O. La regla de L'Hpital tambin se aplica a una forma indeterminada de este tipo as como a las for-mas (+oo)/(+oo), (-oo)/(-oo) y (+oo)/(-oo). La regla se da en los dos teo-remas siguientes, para los cuales las demostraciones se omiten debido a que estn ms all del alcance de este libro.

---

7.8.1 Teorema Regla de L'Hopital Sean f y g funciones diferenciables en el intuvalo abierto /, excep-to posiblemente en ~1 nmero a de /, y suponga que para toda x ~ a

[0, )]por[-!, 1]

f (x) = In x 1/x

FIGURA 1

7.8 OTRAS FORMAS INDETERMINADAS 613

en 1, g'(x) ~ O. Si llm/(x) es igual a +oo o -oo, y 11m g(x) es igual x4a x~~

a +oo o -oo, y_

si 11m /:(x) = L ..... a g (x) entonces

){m /(X) = x- .a g(x)

El teorema tambin es vlido si todos los Umites son limites por la derecha o lmites por la izquierda.

..... EJEMPLO J Sea

f(x) = lnl x X

(a) Trace la grfica de f A qu valor parece que se aproxima j(x) cuando x tiende a O por la derecha? (b) Confirme analticamente la respuesta del in-ciso (a) calculando lm j(x).

x ~o+

Solucin (a) La figura 1 muestra la grfica def trazada en el rectngulo de inspeccin

de [0, 3] por [-1 , 1]. En la grfica, parece que j(x) se aproxima a O cuando x tiende a O por la derecha.

(b) Como lm In x = -oo y lm (1/x) = +oo, se aplica la regla de x --70+ x -+0.,_

L'Hopital obtenindose

lm In x .r-+0 + 1

X

1 lm _:!._

1 x ~o+ - x2

lm (-x) x ~o+

o

lo cual confirma la respuesta del inciso (a) .

7.8.2 Teorema Regla de L'Hopital Sean f y g funciones diferenciables para toda x > N, donde N ~s ~ constante positiva, . y suponga que para toda x > N, g'(x) ~ O. Si

lm /{x) es igual a +o o - oo, y lm g(x) es igual a +oo o -oo, y .r-++.. x4+

si f'(x) Um -;--( ) = L entonces _. ... +- g X

Um f(x) = L x-++- g(x)

El teorema tambin es vlido si x -7.. +oo se sustituye por x ~ -oo.

Los teoremas 7.8.1 y 7.8.2 tambin se cumplen si L se sustituye por +oo o -oo, y las demostraciones para estos casos tambin se omiten .

..... EJEMPL02 Evale, si existe,

lm 5x x-++~ ln(2 + e x )

y apoye grficamente la respuesta.

614 CAPTULO 7 TCNICAS DE INTEGRACIN, FORMAS INDmRMINADAS E INTEGRALES IMPROPIAS

[0, 91 por [0, 61

f(x) = 5x y y = 5 ln(2 +e')

FIGURA2

Solucin Como lm 5x = +oo y lm ln(2 + ex) = +oo, al apli-x~+~ x~+~

carla regla de L'Hopital se tiene

lm (10 + 5ex)e-x X-++oo

lm oae-x + 5) x-++oo

= 5

La figura 2 muestra las grficas de la recta y = 5 y de la funcin f(x) = 5x/ln(2 + ex) trazada en el rectngulo de inspeccin de [0, 9] por [0, 6]. Se ha apoyado la respuesta ya que la recta parece ser una asntota horizontal de la grfica de f ~

EJEMPL03

l . sec x !m--x->n:/2 - sec 3x

Evale, si existe,

Solucin Como lm sec x +oo, y lm sec 3x x->n:/2-X->!t/2-

regla de L'Hopital se tiene

l. sec x m--x->n:/2 - sec 3x

lm sec x tan x x->n:/2- 3 sec 3x tan 3x

-oo, de la

Observe que lm sec x tan x = +oo, y lm 3 sec 3x tan 3x = -oo y x->n:/2- x->n:/2-

que aplicar otra vez regla de L'Hopital no ser til. Sin embargo, el co-ciente original puede escribirse como

lm sec x lm cos 3x x->n:/2 - SeC 3x = x->1a

y lm g(x) = O, entonces la funcin definida por f(x)g(x) tiene la forma in-x-> a

determinada ( +oo )o en a. Para calcular el lmite de una funcin que tiene una de estas formas indeterminadas, se debe cambiar a la forma 0/0 o oo/ oo antes de aplicar la regla de L' Hpital. Los ejemplos siguientes ilustran el mtodo.

~

,..:.--;-: --

.

.

[-3, 3] por [-1, 3]

f(x) = ..!, - --1-x x2 sec x

FIGURA3

7.8 OTRAS FORMAS INDmRMINADAS 615

IJll> EJEMPL04

lrn sen-1 x ese x x-+0+

Evale, si existe,

Solucin Corno lrn sen-1 x = O y lrn ese x = +oo, la funcin x---+0+ x---+0+

definida por f(x) = sen-1 x ese x tiene la forma indeterminada O (+oo) en O. Antes de aplicar la regla de L'Hpital se expresa sen-1 x ese x como sen-1 x/sen x, y se considera lrn (sen-1 x/sen x). Ahora lm sen-1 x = O

..t-+0+ .t-+0+

y lrn sen x = O; de modo que se tiene la forma indeterminada 0/0. Por x-+O+

tanto, de la regla de L'Hpital se tiene

-1 l. sen x lffi ---

x-.o+ sen X

=

lrn ~ r-.o+ COS X

1 T

IJll> EJEMPLO 5 Sea

f(x) =

(a) Trace la grfica de f A qu valor parece que se aproxirnaf(x) cuando x tiende a O? (b) Confirme analticamente la respuesta del inciso (a) calcu-lando lrn j(x).

x-->0

Solucin (a) La figura 3 muestra la grfica de/trazada en el rectngulo de inspeccin

de [-3, 3] por [-1, 3]. La grfica tiene un agujero (cubierto por el eje y) en x = O debido a que j(O) no existe. En la grfica, parece que f(x) se aproxima a 0.5 cuando x tiende a O.

(b) Corno

= +oo y lrn = +oo x-->0 x 2 SeC X

se tiene la forma indeterminada + oo - (+oo). Al reescribir la expre-sin se tiene

lrn(..!_- 1 ) x-->0 x 2 x 2 sec X

1' ( ] COS X ) lffi ----x-->0 x2 x2

lrn 1 - cos x x-->0 x2

Corno lrn (1 - cos x) x-->0

O y lm x 2

L'Hpital y se obtiene

lm 1 - cos x x-->0 x2

l. sen x Jrn--x-->0 2x

x-->0 O, se aplica la regla de

616 CAPTULO 7 TCNICAS DE INTEGRACIN, FORMAS INDETERMINADAS E INTEGRALES IMPROPIAS

[0, 3] por [0, 5]

j(X) = (X + !)COIX

FIGURA4

Si se aplica la regla de L'Hpital una vez ms, ya que lm sen x = O x--+0

y }~ 2x = O, se tiene

l. sen x tm--x--+0 2x

Por tanto,

1 COS X tm--x--+0 2 1 2

lm(_!_- 1 ) - 1 x --+0 x 2 x 2 sec x - 2

lo cual confirma la respuesta del inciso (a).

Para cualquiera de las formas indeterminadas 0, ( +oo)0, 1 +"", el pro-cedimiento para evaluar el lmite se presenta en el ejemplo 6.

EJEMPL06 Evale, si existe, Jm (X + !)COl X

.... ~o+

Apoye grficamente la respuesta.

Solucin Como lm (x + 1) x--+0+

forma indeterminada 1 +"". Sea

y = (X + I)COIX

Entonces

lny = cotx!n(x + 1)

De modo que

!n(x + 1) tan x

lm In y = lm ln(x + J) x--+0+ x--+0+ tan X

1 y lm cotx x---+0+

+ oo, se tiene la

(1)

(2)

Como lm ln(x + 1) = O y lm tan x x--+0 + x--+0+

O, puede aplicarse la regla de L'Hpital al miembro derecho de (2) obtenindose

lm ln(x + l) x --+0+ tan X

lm x + 1 x--+0+ sec2 X

Por tanto, al sustituir 1 en el miembro derecho de (2) se tiene

lm lny = 1 x-+0+

(3) Debido a que la funcin exponencial es continua en todo su dominio, el cual es el conjunto de los nmero reales, se puede aplicar el teorema 1.9.1; de modo que

lm exp(ln y) X--+0 +

exp( lm In y) .x--+0+

7.8 OTRAS FORMAS INDETERMINADAS 617

Entonces, se deduce de (3) y de esta ecuacin que

lim y = e1 K~O+

Pero de (1), y = (x + l)001 x, y en consecuencia, lm (x + l)cotx = e

X-40+

La figura 4, que muestra la grfica de f(x) = (x + l)cot x trazada en el rectngulo de inspeccin de [0, 3] por [0, 5], apoya la respuesta. 1 lnx ~ 6. lm (1 + xInx x-+Q+

8. um( 5 - - 1-) x->2 x2 + X - 6 X - 2

En los ejercicios 9 a 16, calcule el lmite, si existe, y apoye grficamente la respuesta.

9. lm~ x-t+ X

lO. lm ln(x + 100) x-++- In x

ll. lm xcscx A-+0+

12. llm (2x - 1) tan nx .r-+1/2+

13. lm 14. lm (-1 - .!) .r_,o+ sen x x

15. lm(l + 3x)!/x x -.o

16. llm xlllnx .t-+0+

En los ejercicios 17 a 34, calcule el lmite si existe.

17.

19.

21.

23.

lm ln(l- 2x) x-+112-, tan trx

lm (e' + x)21x x-++-

lm (sen x)'2 x-+0+

l, x2 + 2x Jm---

x-H- e3X - 1

25. lm (1 + senh xZix x->0

27. lm [(cosx)ex'/2]41'4 X->0

29. lm [(x6 + 3x5 + 4)1/6 x-++

30. lm ln(x + e') x-++- 3x

32.

34. lm (x-.t-++-

18 lm ln(cos x) x->n2- In( tan x)

20. lm (senh xtanx .t-+0+

22. lm (x + e 2x)l/x x-+0

24. ( 1 )'' lm 1 + -2 X-+-'1'""' X 26. lim (x - 2) tan -

41 Jtx

x-2

28. lm {cos xllx' x->0

x] -!/x

31. lm _e_ x-+-0+ X

35. Trace la grfica de

j(x) = 2' e'

en un rectngulo de inspeccin conveniente, y a partir de la grfica prediga el comportamiento de j(x) cuando (a) x ~ -oo, y (b) x ~ +OO. Confirme analticamente las respuestas de los incisos (a) y (b) determinando (e) lm f(x), y (d) lm f(x), respectivamente.

x--~ x~+-

36. Realice el ejercicio 35 si ex f(x) = 3'

37. Demuestre que ex crece ms rpido que xP para todos los valores positivos de p, sin importar que tan grande sea p, evaluando

38. Demuestre que In x crece menos rpido que xP para todos los valores positivos de p, sin importar que tan pequeo sea p, evaluando

lm xP

si x

8.1 APROXIMACIONES POLINOMIALES MEDIANTE LA FRMULA DE TAYLOR 639

8.1 APROXIMACIONES POLINOMIALES MEDIANTE #

LA FORMULA DE TAYLOR

\"'-A "--

Mientras que los valores de funciones polinomiales pueden determinarse efectuando un nmero finito de adiciones y multiplicaciones, otras funciones, entre ellas las funciones logar~rrcas, exponenciale.(x) ~iste para toda x del intervalo abietto (a, b). Entonces existe un ndmero z en el intervalo abierto (a. b) tal que

[(a) /"(a) 2 f(b) = /(a) + 11 (b - a) + -,-- (b - 11) + .. .

+ f("l(a) (b - a)" + f("+l>(z} (b - a)"+l n! . (n + 1)! (1)

~ ecuacio (1) taJDbi se cumple lii -b

640 CAPTULO 8 APROXIMACIONES POUNOMIALES, SUCESIONES Y SERIES INFINITAS

[-3, 3] por [0, 4]

f(x) ~ e'

FIGURA 1

[-3, 3) por [0, 4] f(x) ~e'

P 1(x)~J+x FIGURA2

donde

y

EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 se calcular el polinomio de Maclaurin de n-simo grado para la funcin exponencial natural. Si f(x) = ex, entonces todas las derivadas de f en x son iguales a ex y las deri-vadas evaluadas en cero son l. Por tanto, de (6),

(7)

As, los primeros cuatro polinomios de Maclaurin de la funcin exponencial natural son

P0(x) PJ(X) +X P2(x) = 1 + X + 4x2 PJ(X) = 1 +X+ 4x2 + ~x3

Las figuras 1 a 4 muestran la grfica de f(x) = ex junto con las grfi-cas de P0(x) , P1(x), P2(x) y P3(x), respectivamente, trazadas en el rectngulo de inspeccin de [-3, 3] por [0, 4]. En la figura 5 se muestran las grficas de los cuatro polinomios de Maclaurin y la grfica de f(x) = ex en el mismo sistema coordenado. Observe cmo los polinomios aproximan ex para

LeandroResaltado

8.1 APROXIMACIONES POLINOMIALES MEDIANTE LA FRMULA DE TA YLOR 641

[-3, 3] por [0, 4]

f(x) = e'

P2(x) = 1 + x +

FIGURA3

[-3, 3] por (0, 4] f(x) = e'

FIGURA4

FIGURAS

!; ~

valores de x cercanos a cero, y note que conforme n se incrementa, la aproximacin mejora. Las tablas 1 y 2 proporcionan los valores de ex, Pn(x) (cuando n es igual a O, 1, 2 y 3) y ex - Pn(x) para x = .0.4 y x = 0.2, respectivamente. Observe que con estos dos valores de x, a medida que x est ms cerca de O, es mejor la aproximacin para un Pn(x) especfico.

642 CAPTULO 8 APROXIMACIONES POUNOMIALES, SUCESIONES Y SERIES INFINITAS

.\ '' 1 r ~ \ .. ~ .

[-1 , 1] por (-0.0001, 0.0001]

x ( x2 x 3 x4 x5 ) y=e- l+x+-+-+-+-2! 3! 4! 5!

y = 0.00005 y y = -0.00005

FIGURA6

[-6, 6] por (-4, 4] f(x) = sen x

P1(.r) = x

FIGURA 7

[-6, 6] por [-4, 4] f(x) = sen x

.r) PlxJ = x- 6"

FIGURAS

Como 0.00004 < 0.00005, se considera P5( 4) como la aproximacin de .fe con una exactitud de cuatro cifras decimales. De (7),

P5(.!. ) = l - .!_ - .!. - ..!.. - _!_ - _t_ 2 2 8 48 384 3 840

de donde se obtiene ..fe = 1.6487.

.... EJEMPLO 2 Estime en la graficadora los valores de x para los cuales P5(x) aproxima ex con una exactitud de cuatro cifras decimales.

Solucin Si P5(x) aproxima a ex con una exactitud de cuatro cifras decimales, entonces

1 ex - P5(x) 1 < 0.00005 La figura 6 muestra la grfica de y = ex .- P5(x), es decir,

y = ex - (l + x + x2/2! + x3/3! + x 4/4! + x5/5!) y las rectas y = 0.00005 trazadas en el rectngulo de inspeccin de [ -1, 1] por [-0.0001, 0.0001] . Al emplear el procedimiento de interseccin (intersect), o los de rastreo y aumento (trace y zoom-in), de la graficadora, se determina que la curva y la recta y = 0.00005 se intersectan cuan-do x = -0.5824 y x = 0.5667. De esta forma, se concluye que cuando -0.5824 < x < 0.5667, P5(x) aproxima ex con una exactitud de cuatro cifras decimales.

Esta respuesta apoya la conclusin del ejemplo 1 de que P5( 4) apro-xima a ..fe con una exactitud de cuatro cifras decimales. ...

[) EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 Ahora se determinar el poli nonio de Maclaurin de n-simo grado para la funcin seno. Sif(x) = sen x, entonces

f'(x) = cos x

8.1 APROXIMACIONES POUNOMIAUS MEDIANTE LA FRMULA DI TAYLOR 643

[-6, 6] por [-4, 4] f(x) = sen x

x3 x 5 P,(x) = x- 6 + 120

FIGURA9

[-6, 6] por [-4, 4] f(x) = sen x

x3 x.s x 1

P,(x) = x-6+ 120-5040 FIGURA 10

FIGURA 11

~ ~ 1 ./

1

[-1, 1] por [-0.0000002, 0.0000002]

y = sen x- ( x-f + t2~- 5~0 ) y = 0.0000001 y y = -0.0000001

FIGURA 12

Las figuras 7 a 10 muestran la grfica de la funcin seno junto con las grficas de sus polinomios de Maclaurin de grados l, 3, 5 y 7, respectivamente, trazadas en el rectngulo de inspeccin de [-6, 6] por [-4, 4]. La figura 11 muestra las grficas de estos cuatro polinomios de Maclaurin y la grfica de f(x) = sen x dibujados en el mismo sistema coordenado. Observe que las aproximaciones polinomiales mejoran conforme n se incrementa.

644 CAPlULO 8 APROXIMACIONES POUNOMIALES, SUCESIONES Y SERIES INFINITAS

[-Jr. Jr) por [-2. 2) f(x) = cos x

FIGURA 13

Del inciso (a), este clculo es preciso con seis cifras decimales. Por tanto, sen 0.5 = 0.479426

~ EJEMPLO 4 Determine el polinomio de Taylor de tercer grado de la funcin coseno en t 1r y la forma de Lagrange del residuo. Trace las grfi-cas del polinomio y de la funcin coseno en el mismo rectngulo de inspeccin.

Solucin Seaf(x) = cos x. Entonces de (4),

( n) ( n)( n) f" n) ( n)2 P3(x) = j + X - + --2!- X - + f"'(~ 1r) ( 3! X-Como f(x) = cos x,j'(x) = -sen x,f"(x) = -cos x,f"'(x) = sen x,

q rr) = i -!2 rq rr) = - i -!2 rq rr) = - i -J2 rq rr) = i -!2 Por tanto,

P3(x) = ~ -J2 - -21 -!2 (x - -41 rr) - .!. -J2 (x - -'- rr)2 + ..!.. -!2 (x - -'- rr)3 4 4 12 4 Como (x) = cos x, de (5) se obtiene

R3(x) = ~(cos z)(x - ~ rr)4 donde z est entre .rr y x Debido a que 1 cos z 1 :5 1, se concluye que 1 R3(x) 1 S ~(x - ~rr)4 para toda x.

La figura 13 muestra las grficas de P3(x) y de f(x) = cos x trazadas en el rectngulo de inspeccin de [-rr, rr] por [-2, 2]. Observe cmo la grfica del polinomio aproxima la grfica de la funcin coseno cerca de x = .rr . ..._

~ EJEMPLO 5 Utilice el polinomio de Taylor de tercer grado de la funcin coseno en ~rr. determinado en el ejemplo 4, para calcular un valor aproximado de cos 47, y determine la exactitud del resultado.

Solucin 47 - 1~ 1r rad. Por tanto en la solucin del ejemplo 4 se considera x = ~~~ rr y x - 1r = ~ rr , y

donde

R3( 1~ n) = -i4cosz(~ rr)4 Como O < cos z < .1,

donde .rr < z < 1~ rr

O < R3( 1~ n) < -14< ~ n)4 < 0.00000007 Si se considera ~ 1r = 0.0349066, de (9) se obtiene

cos 47 = 0.681998

(10)

lo cual tiene una exactitud de seis cifras decimales debido a la desigual-dad (10). ..._

Ahora se demostrar el teorema 8.1.1. Se conocen varias demostra-ciones de este teorema, aunque ninguna est bien motivada. La siguiente demostracin utiliza el teorema de del valor medio de Cauchy (7.7.3).

F(x)

8.1 APROXIMACIONES POLINOMIAUS MEDIANTE LA FRMULA DE TAYLOR 645

Demostracin del teorema 8.1.1 Sean F y G dos funciones defini-das por

f(b) f( ) ! '( )(b ) f"(x) (b )2

646 CAPTULO 8 APROXIMACIONES POLINOMIALES, SUCESIONES Y SERIES INFINITAS

! "( ) (n)( ) J(n+l)( ) f(b) = f(a) + f'(a)(b - a) + --2f- (b - a)2 + ... + ----;;-f-Cb - aY' + (n + l)~ (b - a)"+ 1

EJERCICIOS 8. 1

lo cual es el resultado deseado. El teorema se cumple si b < a debido a que la conclusin del teorema del valor medio de Cauchy no se afecta si a y b se intercambian.

Existen otras formas del residuo de la frmula de Taylor. Dependiendo de la funcin, puede convenir emplear una forma del residuo ms que otra. El teorema siguiente, llamado frmula de Taylor con forma integral del residuo, expresa el residuo como una integral.

8.1.2 Teorema Frmula de Taylor con forma integral del residuo

Si fes una funcin cuyas primeras n + 1 derivadas son continuas en un intervalo cerrado que contiene a a y x, entoncesf(x) = P,(x) + R,(x), donde P11(x) es el polinomio de Tayloi' de n-nesimo grado dejen a y R,(x) es el residuo dado por _

R (x) = .!. Jx (x - tY' (t) dt n n! a

La demostracin de este teorema se deja como ejercicio (vea el ejer-cicio 40).

Se ha visto cmo una funcin puede aproximarse mediante una suce-sin de polinomios de Taylor. Los valores de estos polinomios para una valor dado de x puede considerarse como una sucesin de nmeros, tema de la siguiente seccin. El polinomio de Taylor de n-simo grado es la suma de n + 1 trminos, y conforme n crece sin lmite, la suma puede o no aproxi-marse a un lmite. Tales consideraciones forman las bases de las series in-finitas, definidas en la seccin 8.3 y es el tema principal de este captulo.

En los ejercicios 1 a JO, determine el polinomio de Mac/aurin del grado indicado para la funcin f con el residuo en la forma de Lagrange. Trace las grficas de f y del polinomio en el mismo rectngulo de inspeccin y observe cmo la grfica del poli-nomio aproxima la grfica de f cerca del punto donde x = O.

11. f(x) = XJI2; a = 4; grado 3 12. f(x) = -IX ; a = 4; grado 4 13. f(x) = sen x; a i tr; grado 3 14. f(x) = cos x; a = ~ 1r; grado 4

1. f(x) = - 1-;grado4 2. f(x) = - 1 -3 ; grado S x-2 x+ 3. f(x) = e - x; grado S 4. f(x) = tan x; grado 3 5. f(x) = cos x; grado 6 6. f(x) cosh x; grado 4. 7. f(x) senh x; grado 4 8. f(x) = e- x2; grado 3 9. f(x) = (1 + x)312; grado 3

10. f(x) = (1 - x)-112; grado 4

En los ejercicios 11 a 18. determine el polinomio de Taylor del grado indicado en el nmero a para la funcin! con el residuo en la forma de Lagrange. Trace las grficas de f y del polinomio en el mismo rectngulo de inspeccin y observe cmo la grfica del polinomio aproxima la grfica de f cerca del punto donde x = a.

15. f(x) In x; a = 1; grado S 16. f(x) ln(x + 2); a = -1; grado 3 17. f(x) In cos x; a = j 1r; grado 3 18. f(x) = x sen x; a = i 1r; grado 5 19. Calcule el valor de e con una exactitud de cinco cifras

decimales, y demuestre que la respuesta tiene la exactitud requerida. Apoye grficamente la respuesta.

20. Realice el ejercicio 19 para el valor de e-112 21. Calcule sen 31 o CO!l una exactitud de tres cifras decimales

empleando un polinomio de Taylor y demuestre que la respuesta tiene la exactitud requerida. Apoye grficamen-te la respuesta.

LeandroResaltado

22. C.alcule cos 59 con una exactitud de tres cifras decima-les empleando un polinomio de Taylor y demuestre que la respuesta tiene la exactitud requerida. Apoye grficamen-te la respuesta.

23. Estime el error que resulta cuando cos x se sustituye por l Jx2 sijxj

8. FORMULA DE TAYLOR Los polino r: A0 + A,x + A2 x2 + A3 x3 + . ..... + Anx"-

Si e es un nmero real cualquiera, siempre es posible expresar el polinomio p segn las potencias del binomio (x - e), para lo cual basta efectuar las divisiones su-cesivas por dicho binomio.

Se ob1iene as una expresin del tipo siguiente:

p: X-> a0 + a,(x - e) + a2 (x - c) 2 + a3 (x - c) 3 + ... + an(x - c)n_ O sea, Vx E R : p(x) = a0 + a 1 (x - e) + a2 (x - c) 2 + a3 (x - c) 3 + . .. +

+ an(X - C)n (1) . Brooks Taylor (1685-1731). Su obra ms importante, Introduccin al clculo de diferencias fi-

nitas, queda resumida en la famosa frmula que lleva su nombre. Cultiv adems fsica. msica, pintura y filosofa.

304

Calcularemos sus n derivadas sucesivas: ,,

Vx: p'(x) = al+ 2a2(x- e)+ 3a3(x- c)2 + ...... + n an(x - e)" - 1 . p"(x) 2a2 + 3! a3(x - e) + .... + n(n - 1) an(x - c)n-:t P"'(x) 31 a3 + .... ... + n(n - 1) (n - 2) a,(x - c)n-3

p

p' (x) = 4x 3 - 21x 2 + 2x - 2 p" (x) = 12x2 - 42x .._ 2

~

=

p' (-1) = -29 p" ( - 1) 56

p" ' (x) = 24x - 42 = p"' ( - 1) - 66 p1v(x) = 24 ~ p'V( - 1) 24

Adems, p( - 1) 12. Luego,

p(x) 56 . 66 24 12 - 29(x ~ 1) .,. --(x .... 1)2 - --(x ~ 1)3 + -(x + W 2! 3! 4!

p(x) 12 - 29(x + 1) + 28(x + 1)2 - 11(x + 1) 3 + (x .._ W

EJERCICIOS

1) Escribir p(x) = x4 + x3 - x2 - 6x - 6 segn potencias de (x + 1) a) por divisiones sucesivas; b) por frmula de Taylor.

2) Escribir p(x) = 3x3 - 13x 2 + 14x + 7 segn potencias de (x - 2) aplicando la frmula de T aylor.

11. Frmula de Taylor Sea f una funcin con n derivadas sucesivas finitas en cualquier punto de un in-

tervalo l. Si e E 1, dichas derivadas finitas en e son: f' (e) , f" (e), .... . , rnl (e).

El polinomio f"( ) f1"'(c) p(x) = f(c) + f'(c) (x - e) + __ e_ (x - c) 2 + ... + --(x-e)"

2! n! es el polinomio de Taylor correspondiente a la funcin f en el punto c. Sus n deri-vadas sucesivas coinciden, en el punto e, con las derivadas de la funcin f:

p' (e) = f' (e), p" (e) = f" (e) . .. p'"l (c) = fl"l (c) y, adems , p(c) = f(c).

Consideremos, por ejemplo, la funcin f: x-. e. Sus derivadas sucesivas son Vx: f ' (x) = e' = f'' (x) = . . . = f1" i (x) . El polinomio de Taylor correspondiente a f en el punto e = 1. es:

p(x) = f(1) + 1' (1) (x - 1) + J:..1!l. (x - 1) 2 + ... + 11"1(1) (x - 1)" (1), 2! n!

y en este caso, f(1) = f' (1) = .. . . = f1"1(1) = e 1 = e. Luego, reemplazando en ( 1 ), es:

p(x) = e + e(x - 1) + _e_(x - 1) 2 + ... + ~(x - 1)" 2! n!

306

n

O p(x) = :L __.!___ (x- 1)h. h =O h!

Interesa conocer el valor de r(x) f(x) - p(x),

o sea, de . n

r(x) = e - :L __.!_(x - 1 )h h =o h!

n un punto x perteneciente a un entorno del punto e = 1. El valor r(x) se llama resto de Taylor o trmino complementario, y su valor depen-

de, para cada x, de h. Si h = 1, es r(x) e - [e + e(x - 1)] = e - ex.

[ e(x -2 1 )2 ] = Si h = 2, es r(x) = e - e + e(x - 1) +

e - e x - ~ (x2 - 2x + 1) 2

e e x2 e-2-2

Por lo tanto, para x prximo a 1, el resto considerado se hace menor al aumentar el grado del polinomio que aproxima la funcin.

Si h = 1, es decir, si se considera el polinomio de Taylor de primer grado, la aproximacin obtenida se llama aproximacin lineal de la funcin en el punto elegido. Si h = 2, es decir, si el polinomio es de segundo grado, la aproximacin es cuadr-tica, etctera.

Hallaremos, en general, la expresin del resto de Taylor mediante el siguiente teorema.

Teorema

Sea f una funcin con derivada finita de orden (n + 1) en todos los puntos de un entorno del punto c. Si x es un punto cualquiera de dicho entorno, entonces existe un punto z entre x y e tal que:

f(n+1l (z) f(x) = p (x) + (x _ c)n+1

n (n + 1)! donde Pn es el polinomio de Taylor, de grado n,' correspondiente a f en el punto c.

O sea,

f(x) = f(c) + f' (e) (x - e) + .. . + f(n) (e) (x - e)" + t

Demostracin

Sea x un punto del entorno cons:aerado 1 x > c. El punto x es un punto fijo p toda la demostracin.

,/1//IHI!IH/Ah'/h'!/11 c-8 e z x e+ o

Definiremos en el intervalq (c;-x] dos funciones auxiliares F y G de la siguiente manera:

Vt E [e; x) : F(t) f(x) - f(t) - f' (t) (X - t) - f" (t) (x - t) 2 - . .. - f(nl(t) (x - t)" 2! n!

Y G(t) = (x - t)" + 1 Las funciones F y G satisfacen la hiptesis del teorema generalizado del valor

medio (pg..~), y por lo tanto, 3z E (e; x) 1 F(c) = F(x) _ F' (z) G(c) - G{x) - G' (z) ( 1 ).

Ahora bien. F(x) = O y G(x) = O, como puede observarse haciendo el reem-plazo de t por x en las expresiones que definen a las funciones F y G.

Al calcular F' debemos tener en cuenta que f' (x) = O, pues f(x) es una cons-tante.

Resulta: F' (t) = -f' (t) - f" (t) (x - t) + f' (t) - f" ' (t) (x ;, t)2

+ f" (t) (x- t) -

- . . . . . - f (n + 1) (!) (X -,t)" n .

(x - t)" Cancelando trminos es: F'(t) = -f

La expresin anterior es la frmula de Taylor. l trmino complementario tiene misma expresin formal que los trminos del polinomio de Taylor, pero el valor de d rivada de orden (n + 1) no se calcula en el punto e sino en un punto z que est lcado entre e y x.

Si e = O se obtiene la frmula de Maclaurin: x2 x" x" + 1 f(x) = (O) + f' (O)x + f"(O)- + .. . + f!"l(O)- + f(n + 1l(z)--'-'---2! n! (n + 1)!

para z entre O y x, que puede indicarse z = hx si O < h < 1. Nota: Utilizando el sfmbolo de sumatoria, pueden precisarse algunas expresio n s del teorema anterior.

n (i) i (t) = f(x) - L _f (t) (x - t) ' =o i!

Derivando, es

, - _" f(i+1l(t)(x-t) i ~n f(il(t)(x -t)i - 1i(-1) ' F (t) - - -

i:O l. 1: () l. .. "-

Para poner en evidencia que las dos sumatorias. de. la ltima expresin coinci-den, salvo en un trmino, puede hacerse un cambio de notacin en la primera s-uma-toria haciendo j = i + 1 y considerar en la segunda sumatoria que el trmino corres-pondiente a i = O es nulo.

Queda:

F'(t) n+1n - 1 n .

_ L f 1 (t) _(x - tt + L f(il(t) (x _ t); - 1 -.'-, J= 1 (J - 1}. 1=1 l.

F' (t) = _ "1 fOl(t) (x - t)i - 1 f(il(t) (x _ t); - 1 1 = 1 (j - 1) ! + t = l (i - 1) !

Desdoblando la primera sumatoria resulta:

n fl (t) (x- t)i - 1 f(n + 1l(t) (x - t)" n fl(t) (x- t)i - 1 F'(t) = - ~ (j- 1)! - n! + ~ (j- 1)!

Cancelando, queda: F' (t)

EJERCICIOS

f(n + 1l(t) (X - t)" n!

1) Frmula de Maclaurin para la funcin f: x- e. 2) Aproximar la funcin sno mediante un polinomio de quinto grado en el punto

1T e= 2

3) Aproximar la funcin coseno mediante un polinomio d~ sexto grado en e = O.

309

4) Frmula de Taylor en los siguientes casos: f: x -.ln x n 5 e

g: x -- are tg x n 4 e

h: x--. cosec x n 3 e 7T -4

5) Frmula de Maclaurin en los siguientes casos: f: x--sen x n h: X-+ sec x n 3

g: x--. cos x n 7

5 n = 4

111. Aproximacin de funciones El c lculo del valor de un polinomio en un punto cualquiera x, ubicado en un

entorno de un punto e, donde se conoce el valor del mismo y de sus derivadas suce-sivas, es un problema sencillo. La frmula ,de Taylor permite utilizar este clculo sim-ple para aproximar funciones que no son polinomios, mediante el polinomio de Taylor correspondiente. La aproximacin es m,s precisa cuanto mayor sea el grado del po-linomio.

El trmino complementario, o r~slo de T?ylor, permite estimar la aproximacin obtenida, ya que es la diferencia entre eJ lliiOr de la funcin._ en el punto considerado y el polinomio correspondiente.

O sea, r(x) = f(x) - p(x) y tambin 1 r(x) 1 = lf(x) - p(x) 1. Si se halla un nmero positivo E tal que 1 r(x) 1 < E, entonces lf(x) - p(x) 1 < E. Es deCir, si se considera como valor de la funcin f en el punto x el valor num-

rico. en dicho punto x, del polinomio p, el error cometido es, en valor absoluto, menor que el nmero E.

Ejemplo 1

Aproximar f(x) = e 2' mediante un polinomio de grado 3 y acotar el error que se comete para x = O, 1.

Utilizamos la frmula de Maclaurin. Para ello :

f(x) e 2x ::::) f(O) 1 f '(x) - 2e 2x :::) f' (O) - 2

f" (x) 4e 2x = f" (O) 4 f' " (x) Be 2x :::) f" ' (O) - 8 f 1V(x) 16e 2" => f 1v(z) 16e 2z con z entre O y x.

x2 x3 Luego, e 2' = 1 - 2x .._ 4-- - 8-- ~ 16e

2! 3'

2 2 4 3 e ""1 -- 2x .._ 2x - 3 x .

310

2z~ 4! .

El error de la aproximacin elegida est dado por el trmino complementario

r4(x) = ~ e - 21 x4. Parax = 0,1 es = ~e - 21 (0,1 )4 con O< z < 0,1.

3

O bien E = ~ ~ 1\ O < z < 1 O- 1 3 e 21

Para acotar el error deb~mos elegir una cota inferior para e 21 , ya que se encuen-tra en el denominador y el valor aumenta al disminuir ste. Para z > O es e 2' > 1.

Luego, al reemplazar e21 por 1, resulta:

E < ~ 10 - 4 . Como el error suele estimarse segn potencias de 10, para encontrar cifras

exactas afirmamos que . 2

E < 3 10 - 4 ~ E < 10 - 4 Si calculamos e - 2(01l = 1 - 0.2...::1- 0.;02- ~ 0,001 ,

,

el valor e - -s- = 0,818667 admite un error menor que 10 - 4 y tiene, por lo tanto, cua-tro cifras decimales exactas.

,

Es decir, e - -s- = 0,8186.

Ejemplo 2

f(x)

Aproximar la funcin logaritmo natural mediante un polinomio de cuarto grado. Consideremos la frmula de Taylor con un polinomio de cuarto grado:

f"(c) f"'lc) f1Y(c) f(c) + f ' (c) (x - e)+-- (x- c) 2 + ~ (x- c) 3 + -- (x - c) 4 + 2! 3! 4!

fV(z) (z entre e y x) . +-- (x - c) 5 5! Luego, f(x) = In X Sic= 1, es f(1) = O.

f ' (x) f' ( 1) X

f"(x~ f" ( 1) - 1 x2

f' "(xJ 2 f'"(1) 2 x3 fiV(x) 3! f1V(1) -3!

x4

311

fv(x) = ~ x5

41 fv(z) = -~ (z entre 1 y x). z

Por lo tanto ,

___ (x-1) 2 2(x-1) 3 3!(x-1) 4 p(x) - (x 1) 2 + 3! 4!

O sea, p(x) = (x- 1) - (x- 1)2 + (x- 1)3 - (x- W. 2 3 4

4!(x- 1)5 (x 1)5 ( 1 ) 5 r 5(x). = z5. 5! => r s(x) = 5 . z ( 1)

para z entre 1 y x. 1 Si se elige x en el intervalo (1; 1,1), es 1 < z < 1,1 y z < 1.

Considerando los valores anteriores, de (1) se obtiene:

. lr5(x)l < (0,~) 5 => jr5(x)1 < 1o-s. Luego, In x = (x _ 1) _ (x-1)

2 + (x - 1)3 _ (x-1)4 2 3 4

con E < 10-5 si 1 < x < 1 , 1. Por ejemplo, si elegimos x = 1,01, resulta:

In 1,01 = 0,0099503 con 5 cifras decimales exactas,

es decir,

In 1,01 0,00995.

EJERCICIOS

1) Aproximar las siguientes funciones mediante polinomios de grado n, acotando el error que se comete al despreciar el trmino complementario:

f: X---+ COS X n g : x---+ sen x n

4

5 0 :S X :S 0,1

0 :S X :S 0,2

h: x---+ e n 4 O :S x :S 0,5

2) Hallar Ve con 5 cifras decimales exactas.

3) Hallar cos ~ con 4 cifras decimales exactas.

4) Hallar sen 0,5 con 5 cifras decimales exactas. 5) Siendo In 3 = 1,0986, hallar In 4 con 4 cifras decimales exactas.

312

IV. Generalizacin del criterio para determinar extremos En el captulo anterior se dio un criterio para ubicar mximos y mnimos locales

n puntos interiores al dominio donde se anula la derivada primera (puntos crticos del tipo 1 ). que depende del signo de la derivada segunda en dicho punto.

Ese criterio puede volver a demostrarse utilizando la frmula de Taylor. Por la condicin necesaria para existencia de extremos locales investigamos el

punto e, donde f ' (e) = O. La frmula, en ese caso, es:

f( x) = f(c) + f" (e) (x - c) 2 + f'" (e) (x - c) 3 + . .. + r n(x). 2! 3!

Si f" (e) 4 O, consideramos como resto al trmino de segundo grado y escri-bimos:

f(x ) - 1(c) = f" (z) (x ~ c) 2 (1) . Ahora bien, el signo del segundo miembro depende del signo de 1" (z), pues lv - c\2 V x :~~ > O si x *c.

2

Si f" (e) > O, como f" es continua por existir f"'. en un entorno conveniente tam-bin es f'' (x) > O. En efecto, por una propiedad de las funciones continuas (pg. 17 4), si f" (e) > O, entonces existe un entorno de e donde f" tiene el mismo signo que su lmite. Eligiendo x en dicho entorno. como z est entre e y x, resulta 1"(z) > O.

Luego, en (1) es f(x) - f(c) > O. Es decir, para cualquier x perteneciente al entorno elegido de e, el valor f{x) es

mayor que f(c) , lo que asegura que 1(c) es el menor valor de f en el entorno, o sea, f(c) es mnimo local.

y

1(x) f(c)

X C X

Anlogamente, se prueba que si f" (e) < O, entonces 1(c) es mximo local. O sea, llegamos nuevamente al criterio ya demostrado en la pgina 258. Pero dicho criterio no ofrece conclusiones para el caso en que la derivada se-

gunda se anule en el punto considerado. En ese caso podemos extender el desarrollo de Taylor con n = 3. Como

f ' (e) = 1" (e) = O, obtenemos: f(x) - f(c) = f'" (z) (x - c) 3 .

3!

313

Veremos qu sucede si f' (e) :tO. Sup6niendo que f ' (e) > O, por la propiedad mencionada de las funciones contl

nuas, es f' " (z) > O en un entorno de c. Pero (x - c) 3 cambia de signo segn x se encuentre a izquierda o a derecha de c.

Por lo tanto, (x c) 3 f(x) - f(c) = f'" (z) -

3!

eS pOSitiVO Si X > C y negatiVO Si X < C. 0 sea, f(C) nO eS extremo local.

y

e X

Algo similar sucede si f" (e) < O. Por otra parte, como f'' (e) = O es condicin necesaria para existencia de punto

de inflexin, y la recta tangente atraviesa a la curva en (e: f(cl). este punto es de in-flexin (con tangente horizontal).

Si f' "(c) = O, extendemos el desarrollo de Taylor con n = 4. Con el mismo razonamiento hecho en la primera parte, si f1v (e) > O, entonces f(c) es mnimo local, y si f1v (e) < O, entonces f(c) es mximo local.

Generalizando las demostraciones anteriores. vemos que si f' (e) = f" (e) = f " (e) = ..... f'n - 1l (e) = O 1\ flnl (e) * O, entonces habr extremo local si n es par y habr inflexin. en un punto donde la recta tangente es horizontal, si n es impar.

O sea, si e es un punto interior l dominio de f y la funcin f tienen deriva-das finitas conti nuas en e, que son nulas hasta la orden (n- 1) inclusive, y flnl(c) *0, resulta :

sin es par y f1n1(c) > O, entonces f(c) es mnimo local ; sin es par y f1n1(c) < O, entonces f(c) es mximo local.

Finalmente. si n es impar, entonces (e; f(c)) es punto de infle xin. y

Ejemplo 1

Sea f: x-+ x4 .._ 2.

o

314

X

Vx : f ' (X) 4x 3 f '(O) = o f ' ' (x) 12x2 f"(O) = o f' " (x) 24x f'" (O) o f iV (x) 24 fiV (0) = 24 Como el orden de la primera derivada que no se anula en el origen es cuatro.

nmero par, y dicha derivada es positiva, la funcin tiene un mnimo local en x = O. Es decir, f(O) = 2 es un mnimo local.

Ejemplo 2 y Sea f: x~ (x - 3) 5 -'- 1.

(x - 3) 5 -'- 1

X

01

Vx: f'(x) 5(x - 3) 4 f ' (3) o .f" (X) 20(x - 3) 3 f " (3) o f"' (x) 60(x - 3) 2 f ' " (3) o fiV (x) 120(x - 3) f iV (.3} o l v(x ) 120 v (3) 120 La primera derivada no nula en el punto 3 es la derivada quinta. Luego, hay in-

flexin en el punto (3 : ).

Ejemplo 3

Sea 1: x-+ .. (x - 3)~ ~ 6. (x - 3) 4 + 6

o 3 X

f'(X) - 4(x - 3) 3 1' (3) = o f"(X) - 12(x - 3) 2 1" (3) = o

f'" (x) - 24(x - 3) f'"(3) o fiV(x)

- 24 f1V(3) = - 24

n = 4. nmero par .. . tnl (3) < 0 = f(3) mximo local.

315

EJERCICIOS

1) Hallar extremos locales, si existen, de las siguientes funciones : f: x-+ x4 - 1 t: x-+ (x - 2) 4 -'- 5

g: x-+ - x6 + 3 s: x-+ tg x - sen x h: x-+ (x + 5) 3 - 3 m: x-+ 7x 5 - 5

2) Estudiar el comportamiento de f en el origen si f: x ...... x5 cos 2x + (1 - cos x) x2

x3 xs 3) ldem para f: x -+ tg x - x - -

3 5

V. Generalizacin del criterio para determinar la concavidad Consideremos nuevamente la frmula de Taylor con trmino complementario de

segundo grado: (x c) 2 f(x) = f(c) + f' (e) (x - e) + f"(z) -'-------''---2

O sea, r 2 (x) = f"(z) (x ~ c) 2 . Segn se ha visto en la pgina 217),1a ecuacin de la recta tangente al grfico

de f en el punto (e; f(c)) es: t(x) = f(c) + f ' (e) (x - e).

Por lo tanto,

f(x) - [f(c) + f '(c) (x - e)) = f"(z) (x - c) 2 = f(x) - t(x) = f" (z) (x - c)2

.

2 2 Por consideraciones ya hechas en la seccin anterior, en un entorno del punto e:

f" (c) > O = f" (z) > O = f" (z) (x ~ c) 2 > O = f(x) - t(x) > O. Esto significa que la curva est por encima de la recta tangente en el entorno

elegido.

o e z x X

316

Se llega as a la misma conclusin obtenida anteriormente (pg. 272): si f11 (c) > O, entonces existe un entorno de e donde la curva est ubicada encima de la recta tangente, o sea, es cncava hacia arriba.

Anlogamente, si f"(c) < O. el grfico es cncavo hacia abajo.

y

f(c) ----

e z x X

La frmula de Taylor permite generalizar la conclusin anterior ya conocida para el caso en que se anule la segunda derivada en el punto c.

En efecto. basta extender el desarrollo hasta la primera derivada que no se anule en dicho punto.

Si f" (c) = . . .... = fin 1l(c) = O A flnl (c) -f:. O, entonces la diferencia entre la ordenada de la curva y la de la recta tangente est dada por el trmino comple-mentario:

Si la derivada ensima es continua, el signo de flnl(z) ser el mismo de flnl(c), para x en un entorno conveniente.

Si n es impar, el signo de r n (x) depende de la ubicacin del punto x, a derecha o a izquierda del punto c.

En efecto, (x - c)n es positivo para x a derecha de e y negativo para x a izquierda de e, y, cualquiera que sea el signo de f1nl (c), el trmino rn(x) cambia de signo para x ubicado a derecha o a izquierda de c. Por lo tanto, de un lado la curva est por encima de la recta tangente y del otro por debajo de ella, es decir, en el punto (e; f(c)) la curva cambia el sentido de su concavidad. Se trata, entonces, de un punto de in-flexin. En este caso, si f '(c) -f:. O, entonces en el punto de inflexin la recta tangente es oblicua.

Si n es par, en cambio, el signo de r n (x) depende del signo de flnJ (e), pues ( X - c)n Vx: > O si x t- c.

n!

Es decir. f1n' (c) > O indica que la curva es cncava hacia arriba en (e; f(c)), y flnl (c) < O indica que es cncava hacia abajo en dicho punto.

317

EJERCICIOS

1) Sentido de la concavidad de los grficos siguientes en los puntos indicados: h: x --+ (x + 2) 4 - 3x + 4 en x - 2 f: x--+ x6 + 2x - 1

g: x--+ (x - 3) 2 (x + 1) + x en x

en x

o 3

m: x--+ - x4 - 4x3 - 6x2 - x - en x - 1 2) Puntos de inflexin en los g'rficos de las siguientes funciones :

f: X-+ 2x3 - 1 g: X-+ (X - 1) 3 (X - 2) h: x--+ 2x4 - 3x + 5 n: x--+ x 7 - 4x3

m: x --+ . 5 - 4x -'- 5 s: x--+ sen x - x

VI. Contacto de curvas planas Consideraciones similares a las anteriores se pueden hacer respecto de los

grficos de dos funciones f y g que tienen en comn el punto (e; f{c)) , es decir, f(c) = g(c).

y

'l ~ ~\"1-l

g(c) y == t(x) 1 1 1 1 1 1

o e X

Puede suceder que, adems, f'(c) = g'(c), en cuyo caso los dos grficos tienen la misma tangente en (e; f(c)). Se dice, en esta situacin, que las curvas estn en contacto en dicho punto.

Si tambin es f"(c) = g"(c), el contacto es, por lo menos, de segundo orden. Ser de segundo orden si , adems, f" '(c) t- g" '(c).

Definicin

Dos curvas asociadas a funciones escalares tienen , en un punto comn, un con-tacto de segundo orden si y slo si las derivadas primera y segunda de las funcio-nes respect ivas son iguales en dicho punto, y distintas y fin itas, en el mismo punto, las derivadas terceras.

Consideremos dos funciones f y g que tienen derivada tercera continua en el punto c. Si se cumple: f(c) = g(c) 1\ f'(c) = g'(c) 1\ f"(c) = g"(c) y adems f' "(c) t- g'"(c), entonces las curvas correspondientes tienen un contacto de segundo orden en el punto (e; f(c)).

318

Si aplicamos la frmula de Taylor para un punto x en un entorno del punto e y para n = 3, resulta:

f"(c) f'"(z) f(x) = f(c) + f'(c) (x - e) + -- (x- c) 2 + -- (x - c) 3 2! 3!

1\ "(e) g'"(z) g(x) = g(c) + g'(c) (x - e) + _g __ (x - c) 2 + -- (x - c) 3 2! 3!

[ f'"(z)- g'"(z) J Restando ambas expresiones queda: f(x) - g(x) = (x - c) 3 3! . Si es f'"(c) * g"'(c) en un entorno conveniente tambin es f"'(z) =1= g"'(z), y el

signo de la resta f(x)- g(x) depende del signo de (x- c)l. En este caso, entonces, las curvas se atraviesan en el punto (e; f(c)), l'f.les

f(x) - g(x) cambia de signo segn el punto x est en el semientorno a derecha o a iz-quierda del punto c.

Las consideraciones y las definiciones anteriores pueden generalizarse.para un contacto de orden n.

Definicin

Dos curvas correspondientes a funciones que tienen derivada de orden (n + 1) en el punto e tienen un contacto de orden n en el punto (e; f(c)) si y slo si coinciden los valores de las n primeras derivadas en el punto e y existen y son diferentes las de-rivadas de orden (n + 1) en dicho punto.

En este caso, si f{n+ 1l y g!n+ 1l son continuas, por la frmula de Taylor es:

f(x)- g(x) = (x- c)!n + 1) [ f{" + 1) (Z) - g!n -1l(z) ] . (n + 1)!

Luego, si n es un nmero par, como (n + 1) resulta impar, la diferencia (f(x) - g(x)) cambia de signo a derecha e izquierda del punto e y las curvas se atraviesan en el punto (e; f(c)) .

Si en cambio n es impar, como (n + 1) resulta par, la diferencia (f(x) - g(x)) no cambia de signo en un entorno del punto e y las curvas no se atraviesan en el punto (e; f(c)) .

Ejemplo

Consideremos las funciones

2x + 1 f: X-> X + 1 + ---,.-x2

3 y g:x->4- 4x + -+2x 2 . . X

o X

319

Parac = 1, es f(c) = g(c) = 5. Calculemos la derivada primera de cada funcin. Resulta "/ x :t- 0:

"

1\

f'(x) 2x2

- 2x(2x + 1 + 4

1) 1 --- 2x 2 -'- 2x = X

g ' (x) = 3 - 4 - - 2- + 4x. X Por lo tanto. f' ( 1) = g ' ( 1) - 3.

Si derivamos nuevamente es: ( - 4x - 2) x 4 - 4x 3 ( --2x 2 -- 2x)

f" (x) =

6 g"(x) = -3 + 4. X Resulta 1"(1) = g"(1) = 10.

x4

4x _._ 6

Al ca lcular la tercera derivada de ambas funciones se obtiene :

g'" (x)

Resulta f'" ( 1) g"'(1)

- 36 - 18 }

-- 12x - 24 xs

f'"(1) i g"'(1).

Por lo tanto, las curvas tienen un contacto de segundo orden y se atra vie san en el punto (1 ; 5).

EJERCICIOS

1) Orden de contacto de los grficos de las siguientes funciones para e 1. 2x + 1 f: X-------> X + 1 + 2 X

6 g: x -------> - x2 + 5(x - 1) + -X

2) Orden de contacto en e = 2 para: f: x-------> x2 -- 4x -- 7

+ VIl. Curva osculatriz Si se considera el grfico de una funcin f y un punto (e : f(c)) del mismo. otra

curva, de una familia determinada. es la curva oscu!atriz al grlico en ese punto si es la que tiene el contacto de orden ms elevado con el grfico.

Por ejemplo, si la funcin f tiene derivadas t' y f" , el po linomio

320

p(x) = f(c) + f'(c) (x - e) + f"(c) 2! (x- cf, ouyo grfico es una parbola de eje vertical, tiene, al menos, contacto de segundo orden con la curva asociada a f. Es, por lo tanto, la parbola osculatriz. (Cualquier otra parbola cuadrtica que pase por el punto (e; f(c)) tiene, a lo sumo, un contac to de primer orden con el grfico de f.)

Si se consideran las circunferencias que pasan por el punto (e; f(c)), interesa, en especial, aquella que tiene contacto de segundo orden con el grfico de f.

Esa circunferencia es la circunferencia osculatriz y su radio recibe el nombre de radio de curvatura en el punto considerado.

La circunferencia osculatriz puede determinarse considerando que la expresin que la define tiene dos derivadas coincidentes con f' y f' en el punto c.

Sea (x - x0 ) 2 +(y- y0 )2 = r2 (1) la ecuacin de la circunferencia osculatriz buscada, donde (x 0 ; y0 ) es el centro y r el radio.

y

o e X

Consideremos slo un arco de circunferencia correspondiente a un entorno de e, con el objeto de que sea efectivamente la curva de una funcin (ya que la circun-ferencia completa no lo es).

En un entorno tal como el que acabamos de mencionar es:

(y - y 0 ) 2 = r 2 - (x- x0 ) 2 por (1). Derivando:

2(y- Yo)Y' (y - Yo)Y'

- 2(x - x0 ) - (x - x0 ) (2).

Derivando nuevamente:

(y- Yo)Y" + y' 2 = - 1. 1 + y2

Luego, y - Yo = - y" (3) = Yo

Reemplazando (3) en (2):

1 + y2 Y + si y"* O. y"

. 1 + y' 2 1 + y' 2

X - Xo = y y" (4) ~ Xo = X y' y"

Para encontrar el radio se reemplazan los valores (3) y (4) en (1):

321

y2 {1 + t2)2 + (1 +y'2)2 = r2 :::::::> (1 + y2j2 (y2 + 1) r2 = y"2 y"2 y"2

= (1 + y2)3

r2 = r (1 + t2)312

y" 2 IY" 1 Luego, si existe la circunferencia osculatriz al grfico de f en el punto (e; f(c)

y tiene centro (x0; y0) y radio r, es: y'(1 + y2) 1 + y2 (1 + y2)3/2

Xo = X- y" ' Yo =y+ y" ' r = IY"I

donde x = e, y = f(c), y' = f'(c), y" = f"(c). res el radio de curvatura en el punto y su recproco, si existe, es la curvatura de

la curva en el punto considerado (en valor absoluto). El punto (x 0 ; y0 ) es el centro d curvatura.

Nota: Si se considera que la inclinacin a de la recta tangente a una curva en u punto depende de la longitud s del arco correspondiente, puede definirse la curvatur en un punto como la derivada da en el punto considerado. Se llega, por este ca

ds mino, a la misma frmula anterior.

y

p o X

Ejemplo

Circunferencia osculatriz al grfico de f: x-- x2 en (1 : 1).

322

(xo;Yo) "- ---, ......... 1 .................. 1 1 1 1 1

- 4

y

X

1' (x) 2x f' ( 1) 2 1" (x) 2 f" (1) 2

Mo = 1 - 2(1 + 4) - 4 } 2 (xo ; Yo) ( - 4 ;+) 1 -'- 22 7 Yo '-= 1 -t- 2 2 (1 + 4)3/2 5v s

2 2

En este caso, \K\ 2 v s 25

Adems. K 2 '5 -"-. pues f"(1) > O. 25 .

EJERCICIOS

1) Circunferencia osculatriz al grfico de: f: x--> x 2 _._ 1 en ( 1; 2) , g : x-> x 4 - 3x en (1; - 2).

2) Curvatura del grfico de f: x--> x 3 - 3x + 5 en (2; 7) ,

g : x -> x3 en ( ~ ; ~} . 3) Curvatura de f: x-> sen x para x = !!.. .

2

4) Radio de curvatura de f: x - 4 sen x - sen 2x para x

5) Centro y radio de curvatura r'9 f : x-> e' en (O; 1) .

RESPUESTAS A EJERCICIOS

CAPITULO 8

Seccin 1

1) p(x) 2) p(x)

(x + 1) 4 - 3(x -"- 1) 3 + 2x ... 1) 2 - 5(x + 1) - 1 3(x - 2) 3 + 5(x - 2) 2 - 2(x - 2) -'- 7

Seccin 11

n xi x n- 1 1) e = :L-i!- ... e 2 (n ... 1)! zentreOyx

1 =-o

. 1T

2

32~

2) sen x 1 ( 1T ) 2 1 ( r. ) 4

e os z ( r. ) 5 1T 1 - 2 x - 2 + T4 x - 2 - 12() x - 2 z entre x y 2 x2 x4 cos z 3) cos x = 1 - -- + -- - -- x6 z entre x y O 2! 4! 6!

4) In x = (x - 1) - (x - 1)2 + (x - 1)3 - (x - 1)4 - (x - ~) 5 z entre x y 1 2 3 4 5z

are tg x .!!_ + _!_(X- 1) ""'_!_(X:__ 1)2 -'- - 1-(x- 1)3 -4 2 4 12

(x - 1) 4 z(z 2 - 1) (z2 + 1)4

cosec x - ,::; - ,::;( 1T) 3v'2 ( 1T)" 2 v.c:-v2 x- 4 + - 2- x-- -_ 5sen 2 zcosz + 6cos3z {x _ .2:.) 3

6 sen 4 z 4

5) sen x x3 xs x 7 x - -- + -- - cosz--3! 5! 7! x2 x4 xs

cos x = 1 - -- + -- - sen z --2! 4! 5!

x2 5senzcos2z + 6sen3z -~ sec x = 1 + 2! + cos4 z 6

x2 x3 e-x = 1 - X + - - - -- + e

2! 31

Seccin 111

1) COS X x2 x4 1 - -- + --2 4! x3 x5

sen x = x - -- + --3' 5' x 2 x3 x4

e = 1 ~ x +- -- + -- + --2! 3! 4! I

r 1 < 1 < 10 3 5 - 120 . 16

2) Consideramos la frmula de Maclaurin para e con x = ~ y n = 6 1 __ _!_ __ _!_ (_!_) 2 + _!_ (_!_)3 + _1 (_!_) 4 + _1 (_2_)5 +

2 2 2 6 2 24 2 . 120 2

3) cos ~ = 0.8660 4) sen 0.5 = 0.47942

5) In 4 1 1 1 1 1 1 10986 - - -- -- -'- - - - -'- -- - --. 3 18 81 324 1215 4374 1,3862

324.

Seccin IV

1) f(O) mnimo local g(O) mximo local h: no hay s: no hay t(2) = 5 mnimo local m: no hay

2) f ' (O) = f ''(O) = f'" (O) = O A f'v(O) = 12 > O = f(O) mnimo local 3) f '(O) = f " (O) = O A f ' "(O) o#O = (O; O) punto de inflexin

Seccin V 1) f: hacia arriba

m: hacia abajo g: hacia arriba h: hacia arriba

2) f: (O ; - 1) g: (1 ; O) y ( ~ ;- 1~) h: no hay m: (O; 5) n: (O ; O)

Seccin VI

1) tercer orden 2) no hay contacto

Seccin VIl

1) f : ( - 4 ; ; )

g : (~ : - *) 2) f: K

3) K = - 1

3 \ /'82 1681

- '5 4) r = ~

4

s: puntos de abscisa 2n rr con n E Z

r =

5v'5 2

\./ 2 6

. K = 192 g. 125

5) (x 0 ; Yo) = ( - 2 ; 3) 2\12

325

9. SUCESIONES NUMRICAS La palabra sucesin se utiliza con frecuencia en el lenguaje cotidiano y tiene el

mismo significado que en matemtica, o sea, el de un conjunto ordenado de elemen-tos. As, se habla de la sucesin de los das o de la sucesin de los nmeros naturales con la misma interpretacin intuitiva.

Al considerar una sucesin de elementos se conoce cul es el lugar que ocupa cada uno mediante una regla o reglas que permiten ubicarlo. Hay un primer trmino al cual generalmente se designa a 1, un segundo trmino a 2 , un trmino ensimo o ge-neral an, etctera.

La sucesin suele abreviarse : (an) = (a 1; a 2 ;a3 ; a 4 ; ...... ;an:an . 1 : . )

y los puntos sucesivos finales indican que consideramos sucesiones de infinitos tr-minos.

Ejemplos

(1;~:; : ... ). ( - ~:~ :- ~ ; . .. ). (2; 1; 4:3 : 6; 5; ... ),

(4 ; 2; O: - 2; - 4 : ... ),

donde 'v'n E N: an n

donde 'v'n E N: bn = (- ~ r {

Cn

donde 'v'n E N:

Cn

= n - 1 si n es par

n .... 1 si n es impar

{

d = 4

donde'v'nEN: n .

r dn = dn

sin= 1

, -2 sin > 1 En este ltimo ejemplo la sucesin se ha definido por recurrencia, es decir, me-

diante reglas que permiten obtener cada trmino a partir de los anteriores. La sucesin de Fibonacci : (xn) = (1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; . .. ) se define tambin por

recurrencia haciendo

326

r si n = 1 \fn E N: Xn si n=2 Xn Xn - 2+Xn - 1 si n>2 l. Sucesiones numricas

Se observa en los ejemplos anteriores que a cada nmero natural le corresponde un trmino de la sucesin y solamente uno, y que los trminos de la sucesin pueden ser elementos de cualquier conjunto.

Por lo tanto, una sucesin infinita es un caso particular de funcin cuyo dominio es el conjunto de los nmeros naturales (sucesin numerable).

Nos interesan especialmente las sucesiones de nmeros reales, es decir, aque-llas cuyo recorrido est formado por nmeros reales, o sea, las funciones del tipo s: N-" R donde 0 5 = N y Rec 5 e R.

Es decir, 2 3 4 5 n

! .

Definicin

Una sucesin numrica es una funcin cuyo dominio es el conjunto de los nme-ros naturaies y cuyo recorrido est incluido en el conjunto de los nmeros reales .

s: N__.. R 1 \fn e N: s(n) = an

Consideremos la sucesin s 1 \fn E N: s(n) = ~. cuya representacin gr-n fica es la siguiente:

y

2 --., 312 --+--t. t~ = = r-::l:--:::;_--=t.. -t.

----l-T--1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

o 2 3 4 5 6

Como ya se ha dicho, la sucesin suele indicarse (an) = (a,; a2; .. . ; an; ... ).

En el ejemplo considerado es:

1

7 X

327

y es usual, en lugar del grfico anterior, representar directamente sus trminos sobre la recta real de la siguiente manera:

.... a6 a 5 a4a 3 a2 a,

2 . ~ 4 l 2 6 S .4 3 2

Como ya se ha indicado, una sucesin tiene infinitos trminos, pero todos ellos pueden tener el mismo valor, como sucede en

(an) = (1 ; 1; 1; 1; .... . . ). En este caso el recorrido de la sucesin es el conjunto unitario { 1}. Dos sucesiones son iguales si sus trminos coinciden ordenadamente, es decir:

(an} = (bn} = Vn E N: an = bn. La igualdad de sucesiones no debe confundirse con la de sus recorridos. Por ejemplo. si (a") = (1; O; 1; O; ...... ) y (bn) = (O; 1; O; 1; . .. )

(an) * (bn) pero Rec. = Recb = {O, 1}.

Sucesiones acotadas

El nmero real k es una cota superior de la sucesin (an) si y slo si Vn E N: an ~ k . Anlogamente, k' es cota inferior si y slo si Vn E N: a" ?: k ' . Una sucesin numrica que admite cotas superiores est acotada superior-

mente, y si admite cotas inferiores est acotada interiormente. Si una sucesin admite cotas inferiores y cotas superiores se dice que est

acotada. La mayor de las cotas inferiores es el extremo inferior o nfimo de la sucesin, y

la menor de las cotas superiores es el extremo superior o supremo de la sucesin, segn las definiciones ya conocidas.

Ejemplos

(an) nfimo.

(b n)

(1 ; 2; 3; 4; ... ; n; ... ) es una sucesin acotada interiormente. 1 es el

( - 2 ; - 3; - 4; - 5; . .. ; - n; ... ) es una sucesin acotada superior-mente. - 2 es el supremo.

e _ 1. 1 . 1 . 1 . ( n) - ( '2'3 ' 4 ' O es el nfimo.

EJERCICIOS

n . . . ) es una sucesin acotada. 1 es el supremo y

1) Escribir cuatro trminos de cada una de las siguientes sucesiones:

328

(a.,) = ( nn2: 11 } (bn) = ( n2 -2~ + 3} (en) .= __ ( (~21!n3"} Escribir el trmino general de cada una de las siguientes sucesiones:

(9; -27; 81; -243; .. . )

(en) (-1; 1; -1; 1; ... . ) 3) Indicar cotas y extremos de las siguientes sucesiones:

(-jn) ( (-n1)n} (bn) = (dn) (2; 1; 2; 1; ... . ) (en) = ( -1; ~; - 1; ~; - 1; ~ ; -1 ; .. .. )

11. Punto de aglomeracin Consideremos las siguientes sucesiones numricas:

(an ) (1 ; 0;-1 ; 1; 0;-1; ... )

(bn) ( 3; 1; 3; ~ ; 3; ~ ; 3; ~ ; .. . .. } (en) (1 ; -1;2; -2;3; - 3; . . .. . )

En (an) hay infinitos subndices n para los cuales an = 1. En efecto, a 1 = = a4 = a7 = .... = 1. Anlogamente, hay infinitos subndices n para los cuales a n = O y tambin infinitos subndices n para los cuales an = - 1. Es decir, elegido un entorno cualquiera del punto 1, hay infinitos valores de n para los cuales an perte-nece a dicho entorno. Lo mismo sucede para todo entorno del punto O y para todo en-torno del punto - 1.

Esta propiedad se indica diciendo que 1, O y - 1 son puntos de aglomeracin de la sucesin (an)

En general, un punto es de aglomeracin si, prefijado cualquier entorno del mis-mo, hay infinitos valores de n para los cuales an pertenece a dicho entorno. Obsr-vese que, a diferencia de lo exigido al definir punto de acumulacin de un conjunto, el entorno que se elige no es un entorno reducido.

En el ejemplo elegido, ninguno de los puntos de aglomeracin es, al mismo tiem-po, punto de acumul~cin del recorrido de (an).

En (bn) hay dos puntos de aglomeracin: 3 y O. En este caso, O es, adems . pun-to de acumulacin del recorrido.

En (en) no hay ningn punto de aglomeracin.

Definicin

El punto a es un punto de aglomeracin de la sucesin (an) si y slo si, elegido cualquier nmero positivo t: , existen infinitos valores de n para los cuales se verifica

lan- al < .

329

Esto significa exigir que existan infinitos subndices n para los cuales, prefijado un entorno de a, se cumple que an pertenece a dicho entorno.

Interesan especialmente las sucesiones acotadas que tienen un nico punto de aglomeracin, el que se denomina lmite de la sucesin.

EJERCICIOS

1) Hallar los puntos de aglome_racin de cada una de las siguientes sucesiones: (~) ( 1; 1; 1; 1; . . . . ) (bn) (1 ; 2; 3; 4; .. .. )

(en) ((-1)n+ ~) (dn) (~) (en) ((-1)n) (fn) = c-~)n)

(gn) ( ( -n~)n} (h n) ( 3n2~ 1 } n) = ( 1; ~; 2; ~; ... . ; n:

n + 1 ; . . .. ) (kn) = ( n2 + 1 } 2n + 1 2) Considerar el recorrido de cada una de las sucesiones anteriores y hallar sus

puntos de acumulacin. 3) Dar ejemplos de:

a) sucesin acotada con dos puntos de aglomeracin y ningn punto de acumu-lacin en el recorrido ;

b) sucesin no acotada con punto de aglomeracin nico; e) sucesin acotada con dos puntos de acumulacin en el recorrido; d) sucesin no acotada con dos puntos de aglomeracin y un punto de acumu-

lacin en el recorrido. 4) Contestar Verdadero o Falso : Una sucesin puede tener infinitos puntos de aglo-

meracin. Justificar.

111. Lmite de sucesiones

Al definir sucesin como caso particular de funcin se pone de manifiesto que es posible considerar las definiciones ya dadas para lmite de funciones y adaptarlas a restricciones de dichas funciones, cuyo dominio es el conjunto de los nmeros natu-rales.

Por otra parte, en la idea intuitiva de lfmite, considerada en la pgina 122, ya aparece la idea de sucesin . Cuando x "se aproxima" al punto de acumula-cin a, se consideran nmeros x, , ~;os .. . . cada vez ms prx imos al nmero a. En ese caso, los valores correspondientes de la funcin : f(X,). f(~) . f(X:J) ... se aproximan al lfmite l.

Es decir, se han puesto en evidencia dos sucesiones de nmeros reales: (xn) = (x 1; x2;x3 ; .. . )

330

y {f(x n)) = (f(x,) : f(x 2); f(x 3 ): .. . . ) . primera con lmite finito a y la segunda con lmite finito f .

Por habernos detenido en consideraciones previas al estudiar lmite funcional. naloga con lmite de sucesiones nos lleva a dar directamente las definiciones

rrespondientes.

ucesin convergente

() finicin

Una sucesin numrica (an) tiene lmite finito 1 si y slo si, para cualquier nme-ro positivo E, existe un nmero positivo o que depende de E tal que 'Vn: (n E N 1\ {\ n >o = lan- fi < E).

Seindica: lman = .f ='VE > 03o(E)>O/'Vn: (nEN A n > o = = lan- 11 fi perte-necen a dicho entorno. (Encontrado un nmero o que satisface la condicin propues-ta, cualquier nmero positivo ll' > o tambin la satisface.)

[- E f f+ E V'' 'A"""'"~' 'ti"'"' 'l ''' JJJJh1~J rrn >nrnn>

an . .. . . .. an + '

Obsrvese que una sucesin tiene lmite finito t si y slo si , para cualquier E > O. en el intervalo ( 1 - E: f + E) estn todos los trminos de la sucesin con excepcin de un nmeO finito de ellos (

Nos preguntamos si 'V > O 3o > o 1 ( n > o = 1 ~ - O 1 < E). Como n > O 1 _!_ 1 < E = _!_ < E = n > _!_

n n E

. . 1 1 1 1 111 Luego, SI o ~ -. n > = n > - = E > - = - < E = -n < E = E E n n

= 1 ~ - O 1 < e = lm ~ = O. 1 En particular, si se elige e = --.resulta o~ 1000 y puede asegurarse que

1000 paran> 1000 es lan l < 10~0 , o sea, a partir del trmino an = 10~ 1 . inclusive, la diferencia entre cualquier trmino de la sucesin y el nmero O es menor que 0,001 .

Ejemplo 2

Probaremos que lm ( 3n + 1 ) n + 2 3.

O sea, debemos probar que

'V > o 3o > O 1 ( n e N " n > o = 1 3nn: 21 - 31 < E). Realizamos algunos clculos auxiliares que nos permitan proponer un o adecua-

do a las exigencias de la definicin.

C.A. : l3n + 1 - 31 < E= 1-----=__l ~ = n + 2 >2 n + 2 n + 2 e

Proponemos o ;::: 2 y verificamos que satisface la definicin: E

1---=2_1 - = n > - - 2, no podemos elegir o = ~ - 2, E e

pues 'Vf. > O debe ser o > O. En cambio, al elegir o

= n + 2 > 2 .

332

5 5 - , es o > O y n > - =

Ejemplo 3

Demostrar hm = . ( n+3) 5n - 2

1 5

C A 1 n _,_ 3 - __!_ 1< E = 17 < E (:::) 5n - 2 > _JI_ ~ 5n > _JI_ + 2. 5n - 2 5 5(5n - 2) 5E 5E

17 2 Proponemos :.::: -- -"- -. 25 E 5

17 2 17 17 n > o = n > -- _.._ - = 5n > -- + 2 = 5n - 2 > -- =

25 E 5 5 E 5 E

17 1 17 1 = E > -5-(5-n-- -2-) = 5(5n 2) < E = n + 3 1 1 -5-n--..:.2- - 5 < E

Sucesin divergente

Hay algunas sucesiones, como la de los nmeros naturales, que no tienen limite finito, pero sus trminos, a partir de uno de ellos, superan a cualquier nmero positivo que se elija. En otros casos los trminos de una sucesin, como la de los nmeros en-teros negativos, superan en valor absoluto, a partir de uno de ellos, a cualquier nme-ro positivo E que se elija. Estas sucesiones tienen limite infinito.

Definicin

Una sucesin (an) tiene lmite infinito si y slo si , para cualquier nmero positi-vo E, existe un nmero positivo S que depende de E tal que V n: ( n E N A n > o = = lanl > E).

Se indica lm an = X . Una sucesin es divergente si y slo si su lmite es infinito* . Este caso corres-

ponde al lmite funcional lm . . , f(x) = :.e . Para precisar conceptos. igual que se hizo para lmite infinito de funciones, es

pre ferible considerar separadamente el caso en que la sucesin numrica diverge a + :.e o - :.e

lm an = -"- -r.. = VE > 0 3 (, > 0 1 Vn: (n E N 1 n > o = an > E) .

)'llh'lllh'llh'IY-Il,'JH o E an an 1

lm an = - :.e = 'VE> 0 38 > 01 'Vn : (n E N A n > o => an < - E) .

J'llllllllllll/l/lli'lh'l/l/( . . . an . 1 . . .. . . an - E o

Algunos autores prefieren llamar sucesin divergente a cualquier sucesin que no es conver gente.

333

En ambos casos las sucesiones son divergentes.

Ejemplo 1

Sea la sucesin (n 2 ) = ( 1; 4; 9; ...... ). Nos preguntamos si 'v'E > O 38 > O 1 (n > 8 = n2 > e) . Para cualquier nmero e > O basta determinar 8 ~ VE, pues

n > V = n2 > = lm an = +x .

Ejemplo 2

Sea la sucesin ( - 2n) = (-2; - 4 ; - 6; - 8; . .. . . . ). Vt>O 38 > 01 {n > 8 = - 2n < - e)? Como 2n > E = n > ~ , para cada E > O basta determinar o :o: ; .

En efecto, n > 8 = n > .!. = 2n > E = - 2n < -:::) lm ( - 2n) = 2

Ejemplo 3

Sea la sucesin (( - 1)" n) = ( - 1; 2; - 3; 4; - S; .. . . . . ) . VE > 03o> O/ (n > 8 = l( - 1) "nl = In! = n > e)? Para cualquier E > O basta determinar o :o: e, pues

n > o = n > E:::) ( - 1) "nl > e= lm((- 1)" nJ :x: .

Ejemplo 4

-X

lm n2

-

1 = +"" ='v't:>038 > 0/'v'n: {n e N 11. n > 8 :::;) n2 - 1 > e). Sn + 2 Sn + 2

C.A. : n 2 - 1 > E (Sn + 2) = n2 - Sn e > 2E + 1 = n(n - SE) > 2e + 1. Proponemos 8 :o: 7 e + 1.

n > 8 ::::;) n > 7E + 1 ::::;) n - SE > 2E + 1 = n(n - SE ) > 2 E .,.. 1 ::::;)

~ n2 - Sne > 2E + 1 = n2 - 1 > e (Sn + 2) = n 2 - 1 5n + 2 > E.

Sucesin oscilante

Una sucesin es oscilante si y slo si no tiene lmite finito ni infi nito.

Por ejemplo, la sucesin { ( - 1) n n ~ 1 ) = { - 2; ~ ; - ~ ; ~ ; - ~ ; ... ) no tiene lmite finito ni infinito.

334

En efecto, prefijado cualquier entorno del nmero 1, en l hay infinitos trminos de la sucesin. Pero lo mismo sucede con el nmero - 1. Luego, no se verifica ni la definicin de lmite infinito ni la de lmite finito.

1 y - 1 son dos puntos de aglomeracin de la sucesin propuesta. Obsrvese que una sucesin oscilante tiene, por lo menos, un punto de aglo-

meracin. La sucesin oscilante (an) = (O; 1; 5; O; 1; 5; O; . .. . ) tiene tres puntos de aglo-

meracin O, 1 y 5. La oscilacin es finita. La sucesin oscilante (bn) = (O; 1; O; 2; O; 3; O; 4; ... . ) tiene un solo punto de

aglomeracin O. En este caso la oscilacin es infinita. Obsrvese tambin que no basta la unicidad del punto de aglomeracin, como

en el ejemplo anterior, para asegurar la convergencia de la sucesin. Como ya se h~ diho al comienzo, el lmite de una sucesin corresponde a un

caso especial de lfnit~ funcional y pueden demostrarse propiedades anlogas a las ya probadas para dicho lmite.

El mtodo de demostracin es totalmente similar al utilizado en el capitulo 3 y da validez a las ::.i;:uientes propiedades de sucesiones convergentes:

1. El lmite de una sucesin nmerica, si existe, es nico. 2. Si (an) y (bn) son sucesiones convergentes, entonces (an ::t bn) tambin es con-

vergente y su lmite es la suma (resta) de los lfmites. Es decir, lrn(an::!: bn) = lfm(an)::!: lm(bnl-

3. Si (an) y (bnl convergen, entonces el lmite del producto de ambas sucesiones es el producto de los lmites. Es decir, lm(an bn) = lfm(an)lfm(bn)-

4. Si (an) y (bn) convergen y lm bn ., O, entonces el lmite del cociente, cuando es-te cociente existe, es el cociente de los lmites.

. ( an ) lm(an) O sea, hm ~- ~ o. 7. Si (an) y (bn) convergen y 'v'n : an > bn, entonces lm(an) 2: lm(bnl

8. Si (a,.,) y (e,) convergen al mismo limite 1 y 'v'n: Bn :::; bn :::; Cn entonces (b,.) conver-ge y su lmite es e.

En todas las demostraciones anteriores a cargo del lector tngase en cuenta la siguiente consideracin: si o es el nmero que corresponde en la definicin de limite para (an) y o' el de (bn). las propiedades comunes a ambas sucesiones sern vlidas a partir del mayor de ellos. Por ejemplo, si o> o', sern vlidas a partir de n >o.

EJERCICIOS

1) Probar las propiedades de sucesiones convergentes enunciadas en esta pgina . 2) Probar que si lima n = O y (b nl es una sucesin acotada, entonces lim (an b n) = O. 3) Aplicando la definicin de limite finito o infinito de una sucesin, hallar o para cualquier

e > O en cada uno de los casos siguientes y probar as que:

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a) lm ( n + 1 ) o b) lm ( n + 1 ) n - 1

e) lm ( ) o d) lm ( ) o n2 + 1 n2 - 1 e) lm ( n-3 ) f) lm ( n ) = 1 n n + 2 g) lm ( n + 5 ) = 1 h) lm (3n + 1) = +oo n + 1 i) lm (n2 + 3) = + oo j) lm (5 - n3) = -oo

4) Si existe, calcular el lmite de cada una de las siguientes sucesiones:

( ....;+1- \.) (bn) = Vn (an) Vn+ 1

(e n) ( 1 + ~r (dn) = (y! n2 : ;n1+ 1) (en) (n

2:3)

( n3 - 1 ) (fn) = n3 + 1

(9n) (~ -~) n + 1 2n

(h n) = { n2

3: 1 )

(tn) { 4n2- 1) (sn) =(vi 9n 2 - n + 1 ) 2 + 3n n2 (r nl = ( v n(n + 4) - n) On) = (Jn + vn- Jn - V )

5) Indicar el carcter de cada una de las siguientes sucesiones : 1 si n es impar (an) = ( 3" + ( - 1)n ) (bn) = 3 3 n + 1 + ( - 1) n + 1 n + S SI n es par (e n) = ( n n )

"\ln-1 - Vn + l

6) Contestar Verdadero o Falso, justificando la respuesta: a) toda sucesin tiene un punto de aglomeracin; b) si una sucesin converge, entonces tiene punto de aglomeracin nico; e) si una sucesin tiene punto de aglomeracin nico, entonces converge.

IV. Sucesiones montonas Una sucesin numrica (an) es creciente si y slo si

Vn E N: (an :5 an + ,), y es estrictamente creciente si y slo si

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Vn E N: (an < an + 1 ) . Anlogamente, (an) sucesin decreciente an + 1).

Las sucesiones crecientes o decrecientes se denominan montonas.

Ejemplo 1

V t 1 . . ( ) ( 5n + 1 ) . d . en 1car que a suces1on a" = n es estnctamente ecrec1ente.

Escribimos primero algunos trminos de la sucesin:

(an) = ( 6 ; ~1 ; ~6 ; ~1 ; 256 ; . . . . .. ) .

5n + 1 n

5 .... i6/3 11/2 6

5(n + 1) + 1 n + 1

1 1 Resulta an = 5 + - 11 an + 1 = 5 + --. n n + 1

Obsrv_E~mos que:

n < n + 1 => ...!.. > --1- => 5 + ...!.. > 5 + - 1- => an > an + 1 n n+1 n n+1

y la sucesin dada decrece estrictamente. Vemos tambin que-la sucesin e