Cuadernillo 6 - MT - 2014 (IV Medio)

7/23/2019 Cuadernillo 6 - MT - 2014 (IV Medio)

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PREUNIVERSITARIO UC

MATEMTICA CUADERNILLO 6 1

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CIRCUN(ERENCIA) N*ULOS +PROPORCIONALIDAD

INECUACIONES(UNCIONES

Al'mno,a-) C#di.o C'rso)Proesor,a-) Sede)


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MATEMTICA CUADERNILLO 6 /


*U0A N/2

N*ULOS EN LA CIRCUN(ERENCIA

CIRCUNFERENCIA

Una circunferencia corresponde al conjunto de puntos del plano que estn ala misma distancia de un punto fijo. Tal distancia es conocida como radioyel punto fijo es el centro de la circunferencia. Veamos a continuacin unadescripcin ms detallada de los elementos que la componen.

Elementos de una circunferenciaEn la figura adjunta:a) Radio(r): es la distancia desde el

centro de la circunferencia a un puntocualquiera de ella.

or ejemplo: !" # !$ y !% sonradios. !" & !$ & !% & r

b) 'uerda: es el segmento que une dospuntos cualesquiera de unacircunferencia. or ejemplo E .

c) "imetro (d): es la cuerda que pasa por el centro. ide dos radios# esdecir d & *r. or ejemplo $% .

d) $rco: es una porcin de la circunferencia comprendida entre dos puntosde ella. or ejemplo el arco "%# que se denota as+: "%. ,e lee en sentidoanti -orario.

e) ,ecante: es la recta que intersecta a la circunferencia en dos puntos. orejemplo# en la figura# / es una recta secante.

f) Tangente: es la recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto.or ejemplo# */ . El punto de interseccin se llama punto de tangencia ode contacto. En la figura# T es el punto de tangencia.

$

T

%

!/

E

"

r

/*


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NGULOS Y ROIE!A!ES ANGULARES EN LA CIRCUNFERENCIA

"# n$ulo del centro%,u 01rtice est en el centro de la circunferencia ysus lados son los radios de la misma.

n$ulo inscrito% ,u 01rtice est en la circunferencia y sus lados soncuerdas (o secantes).

'# n$ulo semi(inscrito% ,u 01rtice est en la circunferencia y sus ladosson una tangente y una cuerda.

# n$ulo interior%Est formado por la interseccin de dos cuerdas.

2

!

medida del arco 2 !2= !: centro de la circunferencia

R2

2R medida del arco R

*=

R

2

2R medida del arco 2R

*=

2R

,

medida del arco 2 medida del arco R,E2 ,ER*+

= = E

E: interseccin de las cuerdas R y ,2


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*# n$ulo e+terior% Est formado por dos rectas que se intersectan en ele3terior de la circunferencia y que son dos secantes# o una secante y una

tangente o dos tangentes a la circunferencia.

Otras ,ro,iedades:En una circunferencia# o en circunferencias congruentes se 0erifica que:

a) $ ngulos del centro congruentes corresponden arcos congruentes y0ice0ersa.

4) $ ngulos inscritos congruentes corresponden arcos congruentes y0ice0ersa.

c) Todos los ngulos inscritos en un mismo arco son congruentes.d) Todo ngulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

e) /os ngulos opuestos de un cuadriltero inscrito en una circunferenciason suplementarios (suman 567).

567 + = + =

#

2

R

,T

R

,

T

R

,

T

medida del arco 2 medida del arco R,,TR

*

=

medida del arco R medida del arco R,,TR

*

=

medida del arco ,R medida del arco R,,TR

*

=


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ROIE!A!ES -./RICAS

Todo dimetro perpendicular a unacuerda# di0ide el arco y la cuerda en

dos partes congruentes.

/a tangente a una circunferencia es

perpendicular al radio en el punto de

contacto.

"os rectas paralelas intersectan enuna circunferencia arcos congruentes.

/as tangentes tra8adas a una

circunferencia desde un mismo punto

e3terior# son congruentes.

"os arcos congruentes determinan

cuerdas congruentes y 0ice0ersa.

"os cuerdas son congruentes si y solo

si equidistan del centro.

/a simetral de toda cuerda pasa por el

centro de la circunferencia.


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E5EMPLOS DE PROLEMAS PULICADOS POR EL DEMRETiempo m78imo) /9 min'tos

E0em,lo N1 "% roceso de Admisi2n &3"#ublicaci2n del 4 de 0unio de &3"'#

En la figura# ! es el centro de la circunferencia# ' pertenece aella y $% es un dimetro. /a medida de # en funcin de # essiem,re

$) *

%) ') 96 ") 56 E) *

E0em,lo N1 &% roceso de Admisi2n &3""#ublicaci2n del & de 0unio de &3"3#

En la figura# %' y '$ son rectas secantes a la circunferencia# 'pertenece a ella y / es una recta que contiene al dimetro $% #cul de las siguientes relaciones es siem,re0erdadera;

$) < &%) &') ( < ) = 967") & &


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MATEMTICA CUADERNILLO 6 :


E0em,lo N1 '% roceso de Admisi2n &3"*#ublicaci2n del &4 de 0unio de &3"#

En la figura# # ># 2 y R estn en la circunferencia de centro!. El 0alor del ngulo 3 es

$) ?*#@A%) B6A') C@A") C#*@AE) *@A

E0em,lo N1 % roceso de Admisi2n &3"ublicaci2n del 5 de 0ulio de &3""#

En la figura# el tringulo $%' est inscrito en la circunferenciade radio r# $D es altura y $" es un dimetro de la

circunferencia. 'ul(es) de las siguientes afirmaciones es (son)0erdadera(s);

) $%' $"'

) $D% F $'"

)c -*r 4

=

$) ,olo %) ,olo y ') ,olo y ") ,olo y E) # y

4

$

% '

"

D

c-

2

>

R

!

@

@@3


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MATEMTICA CUADERNILLO 6 ;


E0em,lo N1 *% roceso de Admisi2n &3"ublicaci2n del 5 de 0ulio de &3""#

En la figura# la secante % intersecta a la circunferencia decentro ! en los puntos $ y %# y la secante " la intersecta enlos puntos ' y ". /os segmentos $" y '% se intersectan en E#

$E' ?@7= y $' ?67= . 'ul(es) de las siguientesafirmaciones es (son) 0erdadera(s);

) %!" 5@7=

) $%' *#@7=

) %'" ?*#@7=

$) ,olo %) ,olo ') ,olo y ") ,olo y E) # y

E0em,lo N1 4% roceso de Admisi2n &3"#ublicaci2n del 4 de 0unio de &3"'#

,i en la circunferencia de centro ! de la figura# %' %!= # con$' y %" dimetros# entonces la medida del ngulo $'" es

$) ?@A%) 96A') @A") G6AE) C6A

"

'

$

%E

!

$

%

'

"

!


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MATEMTICA CUADERNILLO 6

/


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E5ERCICIOS PROPUESTOSTiempo m78imo) 49 min'tos

) ,i en la figura adjunta# ! es el centro de la circunferencia# $%! C@= y$' es un dimetro# entonces la medida del ngulo %!' es

$) B#@A%) C@A') B6A") 96A

E) 6A

*) En la figura adjunta# la circunferencia tiene centro en !. %$ es unacuerda paralela al dimetro '" . ,i la medida del arco %' es ?67#entonces la medida del ngulo '%$ es

$) 967%) 67

') C67") @67E) **67

C) En la figura# el tringulo $%'# issceles de 4ase $'# est inscrito en lacircunferencia. 'ul es la medida del arco '$ en funcin de ;

$) * 56

%) 96 ') 56 * ") CG6 ? E) 96

#!

$%

' "

$

%

'

!

$

'

%


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MATEMTICA CUADERNILLO 6 1/


?) En la circunferencia de centro ! de la figura adjunta# %!' G6= yE'" @6= . 'unto mide el %E' ;

$) C6A

%) @6A

') G6A

") 56A

E) *6A

@) En la circunferencia de centro ! de la figura adjunta# el arco '$ mide9?A y el arco %'# 65A. 'ul es la medida del ngulo $'%;

$) B9A

%) @5A

') *6*A

") 6A

E) 9GA

G) En la circunferencia de la figura adjunta# T

y 2

son tangentes a lacircunferencia en T y 2# respecti0amente. ,i 2T GC= # entonces3 y+ =

$) BA%) *GA

') C@A

") BA

E) 56AT

2

y 3

$

%

'

!

!

$

'%

"

E


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B) En la circunferencia de centro ! de la figura adjunta# "!' G6= y$% ?@= # cunto mide el arco %$;

$) C6A

%) ?@A

') G6A

") 96A

E) 6@A

5) En la circunferencia de centro ! de la figura# se tiene que 'E $% ylos arcos ='$ :%' *:. /a medida del ngulo 3 es

$) C6A

%) ?@A

') G6A

") 96AE) *6A

9) En la circunferencia de la figura adjunta# $% "% # $% ?6= y%' *G= . /a medida del $" es

$) *BA

%) @CA

') 56A

") 5CA

E) ?A

"

'

$

!#

%

" '

%

$

"

!E %$

'3


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6) "e acuerdo a la circunferencia de la figura. 'ul es la relacin correctaentre y ;

$) = 6

%) =

') = *

") = *

E) + = 56

) En la circunferencia de centro ! de la figura se cumple que $" esdimetro y los arcos %$# '%# "' y E" son congruentes. 'ul es la

medida del ngulo %$E;

$) C6A

%) G6A

') *6A

") 56AE) 96A

*) /a recta ' de la figura adjunta es tangente a la circunferencia decentro ! en el punto '. El ngulo $!% mide *GA y los segmentos $' y%' son congruentes. 'ul es la medida del ngulo $';

$) *#@A%) 56A

') ?5#@A

") G6#B@A

E) *?CA

?6

@6

$

%

'

"E

$

%

I'"

E

!

*G

$ %

'

!


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C) /a cuerda '" es dimetro de la circunferencia. El arco $% mide GA yel arco %"# *A# entonces# la medida del ngulo e3terior %" es

$) @BA

%) @6#@A

') ?6A

") C6A

E) *6A

?) ,i en la figura adjunta# $%' es un tringulo inscrito en la circunferencia#y # 2 y R son los puntos de interseccin de las 4isectrices de losngulos interiores con la circunferencia# entonces la medida del ngulo2R es

$) +

%)*

+

') ( )* +

")?

+

E) ( )*C

+

@) El tringulo $%" de la figura# issceles de 4ase %" # est inscrito en unacircunferencia. 'on las medidas angulares indicadas en ella# cul es lamedida del arco "';

$) G#@A

%) **A

') ?B#@A

") ??A

E) @*A

R

2

'

%

$

$%

"' !

@?

?

$

%

"

'


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G) En la figura# 2 y R son tangentes a la circunferencia en 2 y en R#respecti0amente. El arco ,2 mide @6A y el ngulo 2R mide B6A.

'unto mide el ngulo 2R;

$) @A

%) C@A

') ?6A

") B6A

E) ?@A

B) ,i se tiene un cuadriltero $%'" cuya diagonal %"es al mismo tiempo

dimetro de la circunferencia circunscrita a 1l# con %' & 9 cm# '" & *

cm# entonces cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

0erdadera(s) con respecto a este cuadriltero;

) ,i los arcos $% y "$ son congruentes# entonces su rea es6#*@ cm.

) ,i arco $% = arco "$# entonces su rea ser+a mayor que si los

arcos $% y "$ fueran congruentes.

) ,i $% 9= cm y "$ *= cm# entonces adems se le podr+a

inscri4ir una circunferencia.

$) ,olo %) ,olo

') ,olo

") ,olo y

E) ,olo y

R

,

2


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MATEMTICA CUADERNILLO 6 1:


5) En la circunferencia de centro ! de la figura adjunta# %' & !". ,i

!%'&*6A # cunto mide el ngulo $!";

$) G6A

%) @6A

') ?6A

") C6A

E) alta informacin para determinarlo.

9) ,i en la circunferencia de la figura adjunta# ,$

y R$

son tangentes en ,y R# respecti0amente# entonces se puede determinar la medida delngulo inscrito R, si:

() ,$R C6= .

(*) R,$ e3cede en ?@A al ,$R .

$) () por s+ sola

%) (*) por s+ sola') $m4as juntas# () y (*)") 'ada una por s+ sola# () o (*)E) ,e requiere informacin adicional

*6) En la figura# las cuerdas $%# '" y E se intersectan en !. ,e puede

conocer la medida del ngulo !% si se sa4e que:

() + = E!' "!$ C5 (*) ! es el centro de la circunferencia.

$) () por s+ sola%) (*) por s+ sola') $m4as juntas# () y (*)") 'ada una por s+ sola# () o (*)E) ,e requiere informacin adicional $

%

'"

E

!

"

'

%$ !

3

R

,

$


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MATEMTICA CUADERNILLO 6 1;


*U0A N= /6

INECUACIONES + SISTEMAS DE INECUACIONES DE PRIMER*RADO> CON UNA + CON DOS INC?*NITAS

RELACI8N !E OR!EN EN LOS REALES

,i a y 4 son nJmeros reales# definimos la relacin 4inaria Kma9or :ueL#representada por el s+m4olo > de la siguiente manera:

a >4 a M 4 + (a M 4 es un 0alor real positi0o).

Ejemplos:) 6 >B porque 6 M B & C + .

*) M >MG porque (M) M (MG) & @ + .

C) ? >6 porque ? M 6 & ? + .

En la recta num1rica# un nJmero es mayor que otro si el primero est a laderec-a del segundo.

$s+# entre dos nJmeros reales# las otras relaciones que se definen a partir dela relacin Kmayor queL# son

menor :ue: a N 4 4 = a

ma9or o i$ual :ue: a 4 (a = 4) (a & 4)

menor o i$ual :ue: a 4 (a N 4) (a & 4)

Ejemplos:) MG MG

*)C C* *

porqueC C* *

=

C) * C porque * C<


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MATEMTICA CUADERNILLO 6 16 O a3 < 4 O G3

,olucin:

3 * 9 P ( *)3 B P ( )3 B

+ > +

>

<

Nota% al multiplicar por un nJmero negati0o la desigualdad cam4ia susentido./uego# el conjunto solucin de la inecuacin anterior es

, & {3 P 3 N MB}Qrficamente:

M

'omo un inter0alo: ]M# MB [

Este es un inter0alo a4ierto# porque contiene a todos los nJmeros realesmenores que MB sin incluirlo.

Nota%en el e3tremo que contiene al infinito#


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MATEMTICA CUADERNILLO 6 /1


SIS/E-AS !E INECUACIONES !E RI-ER GRA!OCON UNA INC8GNI/A

!efinici2nEs un conjunto formado por# a lo menos# dos inecuaciones de primer gradocon una incgnita y que de4en satisfacer para los mismos 0alores de laincgnita.

Resoluci2n de un sistema,i el sistema contiene tres inecuaciones con una incgnita# entonces elconjunto solucin del sistema es , & , ,* ,C. Es decir# el conjuntosolucin del sistema es la interseccin de los conjuntos solucin de cada unade las inecuaciones que lo forman# resueltas independientemente.

Ejemplo:

a) C3 M B @4) 9 M *3 G M 3c) M3 3

+ < +

,olucin:Resol0amos cada inecuacin por separado:

a) C3 B @C3 *

3 ?

4) 9 *3 G 3

C 3

3 C

c) 3 3 3 3

6 *33 6

+ < +

6}

%uscamos# grficamente# la interseccin de estos tres conjuntos:

, & ,a,4,c& {3 P 6


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MATEMTICA CUADERNILLO 6 //


INECUACIONES RE!UC/I>LES A RO!UC/OS !E !OS FAC/ORES !ERI-ER GRA!O

,on inecuaciones de las formas:

i) (3 < a) (3 < 4) >6 iii) (3 < a) (3 < 4) 6ii) (3 < a) (3 < 4) RAICAS

ara resol0erlas con0iene transformarlas en otra inecuacin equi0alente quetenga alguna de las siguientes formas:

a6

4 < O

a6

4 O

a6

4 > O

a6

4

/as cuales se pueden resol0er -aciendo anlisis de los signos del numeradory denominador.


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Ejemplo: Resol0erC3

*3

,olucin:Tener en cuenta que# como desconocemos el signo de la e3presin ( )3 #

no podemos multiplicar por ella la desigualdad.

or lo tanto# procedemos de la siguiente forma:

C3* P ( *)

3 C3

* 63

C3 *(3 )6

3 3 *

63

+

+

ara resol0er esta inecuacin consideraremos los signos del numerador ydenominador:

3 *6

3 +

3 * 63 6

+

> o

3 * 63 6

+

o 3 *3

SOLU/O

,i a 6# entonces tenemos que:

i) 3 a Ma 3 a 3 a3 a

ii) 3 a 3 a o 3 Ma


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Ejemplos:

) *3 C <

*3 C

*3 C

3 *

3

, & SM# *

*) @ C3 * @ C3 * o @ C3 *

C3 C o C3 B

3 o

B

3 C

B, & 3 P 3 o 3

C

B

, # #C

= +


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E0em,lo N1 "% roceso de Admisi2n &3"#ublicaci2n del 4 de 0unio de &3"'#

'ul de los siguientes conjuntos contiene elemento(s) quesatisfacen la inecuacin *3 B * 3+ + ;

) El conjunto de los nJmeros reales menores que @.

) El conjunto de los nJmeros reales mayores que @.) El conjunto formado solo por el nJmero @.

$) ,olo %) ,olo ') ,olo ") ,olo y E) ,olo y

E0em,lo N1 &% roceso de Admisi2n &336#ublicaci2n del "& de 0ulio de &335#

'ul es el conjunto solucin para el sistema de inecuaciones3 *3 *

;

$) # C

%) # C C # +

') # C # +

") # C

E) C #


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E0em,lo N1 '% roceso de Admisi2n &336#ublicaci2n del "5 de ma9o de &335#

'ul es el dominio de la funcin ( ) *f 3 3 ?= en los nJmeros

reales;

$) * # +

%) * # +

') 6 # +

") # * * # + E) ? # +

E0em,lo N1 % roceso de Admisi2n &3"#ublicaci2n del 4 de 0unio de &3"'#

KEl triple del sucesor de un nJmero entero 3 no es menor ni

igual que el do4le del cuadrado del do4le de 3L es equi0alente a

$) ( ) ( )*

C 3 * *3+ >

%) ( )*

C3 * *3+ >

') ( ) *C 3 ?3+ >

") ( ) *C 3 ?3+ <

E) ( ) ( )*

C 3 * *3+ <


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MATEMTICA CUADERNILLO 6 /:


E0em,lo N1 *% roceso de Admisi2n &3"3#ublicaci2n del 5 de ma9o de &337#

El grfico que representa al conjunto solucin del sistema de

inecuacionesC3 G C? *3 G

+

;

$) 3 y 3 *<

%) * 3 < <

')*

3 y 3 *C

")*

* 3C

<

E)*

3C

<

C

C

C


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MATEMTICA CUADERNILLO 6 /;


E0em,lo N1 5% roceso de Admisi2n &3""#ublicaci2n del & de 0unio &3"3#

,i C a 6 y C 4 6 # qu1 0alor(es) puede tomar (a < 4);

$) /os 0alores entre MC y C# am4os incluidos.

%) ,olo los 0alores entre MC y 6# am4os incluidos.

') ,olo los 0alores entre 6 y C# am4os incluidos.

") ,olo el 6.

E) >inguno de los anteriores.

E0em,lo N1 6% roceso de Admisi2n &3"*#ublicaci2n del &4 de 0unio de &3"#

/eonardo tiene una cierta cantidad de dinero en monedas de @66 . ,i le regalaran otras @ de estas monedas tendr+a menosde @6.666# pero si gastara 6.666 le quedar+an ms de *6

monedas de @66 . 'ul de las siguientes afirmaciones es0erdadera# con respecto al dinero que tiene /eonardo;

$) Tiene *6.666.

%) Tiene ?B.@66.

') Tiene ms de ?B.@66.

") Tiene menos de *6.666.

E) Tiene ms de *6.666 y menos de ?B.@66.


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MATEMTICA CUADERNILLO 6 /

%) { }3 P 3 C

') { }3 P 3 * >

") { }3 P 3 * E) { }3 P C 3 * <

M* M

M

M

M*

M*


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G) /a solucin del siguiente sistema est dada por el inter0alo

( )@ 3 C * 3 C3 *3 ? 3 C

+

> +

o e3isten nJmeros enteros que cumplan las condiciones dadas.


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C) ,i la octa0a parte de la diferencia entre @ y el triple de un nJmeroentero no es menor ni igual que el e3ceso de * so4re los oc-o tercios del

mismo nJmero y# adems# el e3ceso de cinco medios so4re el nJmeroes mayor que el mismo nJmero# entonces tal nJmero es

$) 6%) ') *") CE) ?

?) ,i ? 3 * y C y 5 # entonces cul de las siguientesdesigualdades es la correcta;

$) 3 y 6 +

%) 3 y G

') B 3 y G

") * 3 y

E) ? 3 y @ +

@) ara un juego entre nios y nias se necesita que los dos tercios de lasnias no superen a la mitad de los nios y que entre nias y nios nosean ms de 6 ni menos de G. ,i en un grupo que 0a a jugar tal juego#los nios son ?# cuntas nias se necesitar+an;

$) nia.

%) enos de G nias.

') "e * a G nias.

") s de * nias.

E) * o C nias.


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G) "ada la inecuacin m ? @3 < para la incgnita 3 en el conjunto delos nJmeros reales# cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

0erdadera(s);) ,i m & G# entonces 3 N *.

) ,i m & @3# entonces la solucin son todos los nJmeros reales.

) ,i m & M?# entonces no -ay solucin en los nJmeros reales.

$) ,olo %) ,olo ') ,olo y

") ,olo y E) # y

B) $l resol0er la inecuacin3 C ? 3

C 3 * C+

>+

se o4tiene la solucin

$) # * * #

%) * # *

') # *

") * #

E) # * * #

5) ara los nJmeros reales a# 4 y c# se cumple que a 4 c < . 'ul(es) delas siguientes afirmaciones es (son) siempre 0erdadera(s);

) ,ia 4

c 6# c

< .

) * *4 c<

) ,i c & 6# entonces aes un nJmero negati0o.

$) ,olo %) ,olo ') ,olo ") ,olo y E) >inguna de ellas es 0erdadera.


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9) ,e puede determinar que 3 es un nJmero mayor que cero si se sa4e

que:

() *3 3<

(*) 3 6>

$) () por s+ sola

%) (*) por s+ sola') $m4as juntas# () y (*)

") 'ada una por s+ sola# () o (*)

E) ,e requiere informacin adicional

*6) ,e puede afirmar quem

n

< si se sa4e que:

() m y n > < .

(*) m y 6 n .< < <

$) () por s+ sola

%) (*) por s+ sola

') $m4as juntas# () y (*)

") 'ada una por s+ sola# () o (*)



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*U0A N/:

PROPORCIONALIDAD EN LA CIRCUN(ERENCIA

SEG-EN/OS ROORCIONALES EN LA CIRCUNFERENCIA

/eorema de las Cuerdas,i dos cuerdas se cortan en el interior de una circunferencia# el producto delos segmentos determinados en cada una de ellas# por el punto deinterseccin# es constante.

En la figura adjunta se cumple:

$ W % & ' W "

/eorema de las Secantes,i desde un punto e3terior a una circunferencia se tra8an dos secantes a ella#el producto de cada secante entera por su segmento e3terior es constante.


$ W % & ' W "

"

'

%$

"

'

%$


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/eorema de la /an$ente 9 de la Secante,i desde un punto e3terior a una circunferencia se tra8an una tangente y una

secante# la tangente es media proporcional geom1trica entre la secanteentera y su segmento e3terior.


T 2 & $ %

Obser@aci2n: /a demostracin de estos teoremas se reali8a considerandosemejan8a de tringulos.

O/ENCIA !E UN UN/O RESEC/O A UNA CIRCUNFERENCIA

!efinici2nEs el producto de las dos distancias del punto a la circunferencia.

>otacin: ,e acostum4ra denotar por ot() a la potencia del punto .

/as distintas situaciones que se pueden presentar son:

a) ,i el punto est en el interior de la circunferencia:

ot () & $1

%1& $

2%

2& %

3%

3&

T

%$

%*

$*

%$

%C

$C


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) !> $>

) $>*

& $! !$) ,olo %) ,olo y ') ,olo y ") ,olo y E) # y

E0em,lo N1 4% roceso de Admisi2n &3""#ublicaci2n del & de 0unio de &3"3#

En la figura# el segmento %' mide @ cm y es tangente en ' a lacircunferencia de centro !. ,i ! est en el segmento $% quemide *@ cm y $ pertenece a la circunferencia# cuntoscent+metros mide el dimetro;

$) 5

%) G

') 9

") G#G

E) *?#G

$

>

!

$ %

'

H

!


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E0em,lo N1 5% roceso de Admisi2n &3"3#ublicaci2n del 5 de ma9o de &337#

En la circunferencia de centro ! de la figura# $% es un dimetro#'" $% # "% & C cm y '" & ? cm. El radio de la circunferenciaes

$) ? cm

%) @ cm

')*@G

cm

")9G

cm

E) indetermina4le con los datos dados.

E0em,lo N1 6% roceso de Admisi2n &335#ublicaci2n del " de 0unio de &334#

En la circunferencia de radio G y centro ! de la figura# ! .'ul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) 0erdadera(s);

) 2 & G

) CC2=

) CG2>=

$) ,olo

%) ,olo

') ,olo y

") ,olo y

E) # y

%$! "

'

>H!

2


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E0em,lo N1 7% roceso de Admisi2n &3"*#ublicaci2n del &4 de 0unio de &3"#

En la circunferencia de centro ! y radio * cm de la figura#'" @ cm= . 'unto mide el segmento $';

$) 9@ cm

%) G6 cm

') B cm

") C@ cm

E) ndetermina4le con los datos dados.

E0em,lo N1 "3% roceso de Admisi2n &336#ublicaci2n del "5 de ma9o de &335#

En la figura adjunta# T es tangente en T a la circunferencia decentro !. 2 pasa por el centro de la circunferencia y laintersecta en R y en 2# respecti0amente. ,e puede calcular el

0alor del radio si:

() ,e conoce la medida de T .

(*) ,e conoce la medida de R .

$) () por s+ sola%) (*) por s+ sola') $m4as juntas# () y (*)") 'ada una por s+ sola# () o (*)E) ,e requiere informacin adicional

RESUES/AS CORREC/AS

. E C. $ @. % B. ' 9. $*. $ ?. ' G. % 5. E 6. '

$

%"

'!

2

!

# T

R


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E5ERCICIOS PROPUESTOSTiempo m78imo) 49 min'tos

) En la circunferencia de la figura adjunta# las cuerdas $% y '" se cortanen . ,a4iendo que $ 5 cm= # % G cm= y ' * cm= # entonces" =

$) ? cm%) C cm') * cm") #@ cm

E) cm

*) En la circunferencia de la figura adjunta# T es tangente a lacircunferencia en T# % G cm= y T 5 cm= . 'unto mide elsegmento e3terno de la secante;

$) * cm%) ? cm') G cm

") 5 cmE) ?5 cm

C) En la figura adjunta# $% y '" son dos cuerdas cualesquiera de lacircunferencia de centro !# no siendo ninguna de ellas un dimetro. "elas igualdades siguientes# cul(es) es (son) correcta(s);

) $E E% 'E E" = ) $% "' 'E E" =

) ( )*'E E" $% =

$) ,olo %) ,olo ') ,olo ") ,olo y E) ,olo y

'

"

%

$

% $

T

"

'%

$!#

E


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?) En la circunferencia de la figura adjunta se cumple que $ : " * : C= #entonces la ra8n entre % y ' es

$) * : %) : @ ') @ : ") * : C E) C : *

@) En la figura se muestran dos circunferencias tangentes. "esde un punto$ parten dos rectas secantes a las circunferencias y una tangente a

am4as. "e las proposiciones siguientes:

) $% $' $" $E = ) $" $%= ) "$ %$

Es (son) siempre 0erdadera(s):

$) ,olo %) ,olo

') ,olo ") ,olo y E) ,olo y

G) En la figura adjunta# " ?6= # '" 6= y % G6= # entonces la cuerda$% mide

$)*6C

%) @') *6") ?6E) ?@

$

"

E

'

%

%$

"'

$

%'

"


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B) En la figura adjunta# >2 es tangente a la circunferencia de centro ! y

desde > se -a tra8ado la secante > que pasa por el centro. ,i> ? cm= y >2 & * cm# entonces el radio de la circunferencia mide

$) 5 cm%) 6 cm') G cm") 5 cmE) C* cm

5) $"

es tangente a am4as circunferencias# en los puntos $ y "# mientrasque la secante '

determina dos cuerdas# %'so4re una circunferencia#

y E so4re la otra# como se indica en la figura adjunta. 'on respecto atal figura# cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siem,re0erdadera(s);

) *"Q EQ Q= ) *$Q %Q 'Q= ) "Q Q$ %' E =


9) En la figura adjunta# la potencia del punto respecto de lacircunferencia de centro ! y radio r es * cm*. ,i $ & * cm# entoncesel radio de la circunferencia mide

$) * cm%) ? cm') G cm") 6 cmE) alta informacin para determinarlo.

#!

2

>

#!

%

$

$

%'"

E

Q


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6) /a circunferencia de centro ! de la figura adjunta 0erifica que lascuerdas $% y '" son perpendiculares. ,i ellas se intersectan en tal

que '" es dimetro# $ a= # " 4= y ' C4= # entonces el dimetro dela circunferencia# en funcin de a# es

$)C

a*

%)a*

') *a

")* C

aC

E)? C

aC

) ,i en la circunferencia de centro ! de la figura adjunta# !$ %' . ,i! 5 cm= y !$ B cm= # cunto mide la cuerda %';

$) C6 cm%) @ cm

') * * cm") ?@ cm

E) * B cm

*) Una circunferencia de centro !# tiene radio @ cm. ,i un punto # enalgJn lugar del plano# tiene potencia igual a *CG cm con respecto a lacircunferencia# mientras que otro punto# 2# tiene potencia igual a

*G cm con respecto a la circunferencia# entonces es FALSO afirmar

que$) 2 est fuera de la circunferencia.%) est fuera de la circunferencia.') y 2 no necesariamente son colineales con el centro !.") 2 puede estar so4re una recta secante que contenga al dimetro.E) puede estar so4re una recta secante que contenga al dimetro.

!

'

%

$

$ %

'

"

!


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MATEMTICA CUADERNILLO 6 4 & 9 cm. ,e puede

determinar la medida de R,si:

() > * =

(*) > R,

$) () por s+ sola

%) (*) por s+ sola

') $m4as juntas# () y (*)

") 'ada una por s+ sola# () (*)


R

>

,

T

!'%$

#


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*U0A N/;

(UNCIONES @ CONCEPTOS (UNDAMENTALES

FUNCI8N

!efinici2n%Una funcin f# de $ en %# corresponde a una relacin entre dosconjuntos# $ y %# de tal manera que a todos los elementos del conjunto $(llamado dominio) les corresponde un elemento (solo uno) del conjunto %.El conjunto de todos los 0alores o4tenidos# que est contenido en %

(conjunto de llegada o codominio)# es lo que llamamos recorrido. Esto loanotaremos matemticamente como f : $ % .

Entonces# si un elemento 3 $ lo asociamos mediante f a un elementoy % # como lo indica el siguiente diagrama

sagital# diremos que ( )f 3 y= # -aciendo

referencia a que y es la ima$ende 3 4ajof# o 4ien# que 3 es la ,reima$en de y.

Obser@aci2n% /os 0alores del conjuntodominio son aquellos que toma la 0aria4le inde,endiente (que en unagrfica corresponden al eje de las a4scisas)# mientras que los 0aloresresultantes# o4tenidos por aplicar f a cada elemento de $# corresponden a los0alores del conjunto recorrido# es decir# la 0aria4le de,endiente (que enuna grfica corresponden al eje de las ordenadas).

Un aspecto importante de anlisis de una funcin es cmo determinar sudominio# es decir# qu1 0alores de 3 no pro0ocan resultados que est1n fueradel conjunto de llegada. %sicamente 4uscaremos# con el siguiente ejemplo#aquellos 0alores que pro0ocan KerroresL matemticos. /os ms tradicionalesson los siguientes.

3 y

f

$ %


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Ejemplo:

,upongamos las funciones reales( )

f 3

C3 9=

y

( )g 3 3 ?= + . En el caso de

la funcin f# sa4emos que no es posi4le di0idir por cero# es por ello que

( ){ } { }C3 9 6 3 C "om f 3 C . =

or su parte# sa4emos tam4i1n que en los nJmeros reales no podemoscalcular ra+8 cuadrada de nJmeros negati0os# entonces:

( ){ } { }3 ? 6 3 ? "om g 3 3 P 3 ? .+ =

ero -ay muc-as 0eces en las que el clculo del recorrido no es tan sencillo#so4re todo en funciones en donde no es posi4le despejar la 0aria4ledependiente en t1rminos de la 0aria4le independiente. En tales casos#simplemente 0emos los 0alores que 0a tomando la funcin de acuerdo al ejede las ordenadas.

ro,osici2n%"iremos que los interceptos de una funcin corresponden a lascoordenadas en que ella intersecta (en el caso que aplique) a los ejescoordenados. Veamos el siguiente esquema:

ara calcular las coordenadas delpunto $ -acemos ( )f 3 6= y

despejamos el 0alor de K3L en laecuacin o4tenida. ientras quepara calcular las coordenadas delpunto % estudiamos la imagen de 6so4re f# o sea# calculamos f(6).

$

%

3

y

( )y f 3=


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Ejemplo:,upongamos que tenemos la funcin ( )f 3 *3 = + # y se pide o4tener los

puntos de interseccin con los ejes coordenados. Entonces# -aciendo

( )f 3 6= # es decir# *3 6+ = # o4tenemos que

3*

= # y por lo tanto

$ #6

*

# o mejor dic-o

f 6*

=

. Y calculando el punto % se tiene que

( )f 6 * 6 = + = # esto es ( )% 6# o ms 4ien ( )f 6 = .

Obser@aci2n% si un punto cualquiera del plano# ( ) a#4 # pertenece a una

funcin f# entonces ( )f a 4= .

Ejemplo:,i $ y % son su4conjuntos de los nJmeros reales y f : $ % es tal que

( )*

f 33 C

=+

# entonces determine:

i) la imagen de # es decir# ( )f .

ii) la preimagen de C.

iii) el conjunto $ ("om f).

i0) el recorrido de f.

0) las intersecciones del grfico de f con los ejes coordenados.

,olucin:

i) ( )* *

f C *

= = = +

ii) ,e pide el 0alor correspondiente de 3 cuando y & C. ,e resuel0e laecuacin ( )C f 3= :

*C

3 C=

+

( )C 3 C *+ =


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C3 9 *+ = C3 B=

B3C

= la preimagen de C es BC

.

iii) ,i f es funcin# el conjunto $ de4e ser igual al dominio de f:

$ & "om f &*

3 P y : y3 C

=

+

& { }3 P 3 C 6 +

& { }3 P3 C

& { }C

i0) Rec f & *y P 3 $ : y3 C

=

+

&* Cy

y P 3 $ : 3y

=

(despejando 3 en t1rminos de y)

& { }y P 3 $ : y 6

& { }6

0) /a interseccin con el eje y se o4tiene -aciendo 3 & 6:*

y6 C

=+

*

yC

= . or lo tanto la cur0a corta al eje y en el punto

*6#

C

.

/a interseccin con el eje 3 se o4tiene -aciendo y& 6:*

63 C

=+

6 *= # lo que es falso# entonces podemos afirmar que la

cur0a no corta al eje 3.


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/RASLACI8N Y SI-E/RA !E FUNCIONES

"ada una funcin y & f(3)# 1sta se asocia a otras funciones que grficamenteson traslaciones o simetr+as de la misma en forma paralela al eje 3 o al eje yde la siguiente manera:

y & f(3 M -) representa el traslado de f(3) en - unidades en sentido-ori8ontal (paralelo al eje 3).

y & f(3) < Z representa el traslado de f(3) en Z unidades en sentido0ertical (paralelo al eje y).

y & f(3 M -) < Z es el traslado simultneo en - unidades en sentido-ori8ontal y Z unidades en sentido 0ertical.

y & Mf(3) representa una simetr+a de f(3) con respecto al eje 3.

y & f(M3) representa una simetr+a de f(3) con respecto al eje y.

CO-OSICI8N !E FUNCIONES

,ean las funciones reales f : $ % y g:% ' # en que el recorrido de f estcontenido en el dominio de g. ,e define la composicin de f y g aplicado a 3#

( )og f : $ ' como ( ) ( ) ( )( )og f 3 g f 3= O esto es# la funcin g e0aluada enf(3).

>ota: En general la composicin de funciones no es conmutati0a:

( )( ) ( )( )f g 3 g f 3


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E0em,lo N1 "% roceso de Admisi2n &3""#ublicaci2n del & de 0unio de &3"3#

,i f(3) & 3* M C3 M ? y g(3) & 3 M ?# cul(es) de lassiguientes afirmaciones es (son) 0erdadera(s);

) f(6) W g(6) & 6

) f(3) & g(3) W (3 < )

) g(C) < f() & MB

$) ,olo

%) ,olo

') ,olo y

") ,olo y

E) # y

E0em,lo N1 &% roceso de Admisi2n &33#Ensa9o Nacional

'ul (es) de las siguientes ase0eraciones es (son) 0erdadera(s)respecto del grfico de la funcin f(3)# en la figura adjunta;

) f(M*) = f(?)) f(M) < f(C) & f(MC)

) f(MG) M f(5) & *

$) ,olo

%) ,olo

') ,olo

") ,olo y

E) # y


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E0em,lo N1 '% roceso de Admisi2n &3"*#ublicaci2n del &4 de 0unio de &3"#

,ea p un nJmero real distinto de cero y f la funcin definida por

( )f 3 p3= # con dominio los nJmeros reales. 'ul de las

siguientes afirmaciones es $/,$# con respecto a f# para algJn

0alor de p;

$) /a imagen de la suma de dos nJmeros reales es la suma

de sus imgenes.

%) /a preimagen de un nJmero entero es un nJmero entero.

') /a preimagen del cero es el cero.

") /a preimagen del do4le de un nJmero es el do4le de la

imagen del nJmero.

E) /a imagen de p es un nJmero real no negati0o.

E0em,lo N1 % roceso de Admisi2n &3"*#ublicaci2n del &4 de 0unio de &3"#

,i ( ) * *f 3 3 @ 3= + + # entonces ( )f * es igual a

$) @

%) ') M

") C

E) ninguno de los 0alores anteriores.


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MATEMTICA CUADERNILLO 6 2 entonces ( )f 3 + =

$) *3

%) *3 @ +

') *3 @ * +

") *3 C

E) *3 ?

9) ,ea la funcin real f : definida por f(3) & @3CM *# entonces de

ella se puede asegurar que

) intersecta al eje y en M*.

) el punto de coordenadas (M# MB) pertenece a ella.

) intersecta al eje 3 en C*@

.



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6) ,ea la funcin real f(3)# graficada en la siguiente figura. 'ul(es) de lassiguientes afirmaciones es (son) 0erdadera(s);

) /a grfica de Mf(3) es

) /a grfica de (f(3) < *) es

) /a grfica de (f(3 < *) < C) pasa por el origen.


y

3M? B

@

MC

y

3M? BM@

C

y

3MG @

@

MC

*


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) ,i el grfico de la figura adjunta representa a la funcin ( )y f 3= #

entonces# cul de las siguientes alternati0as podr+a corresponder algrfico de la funcin ( ) ( )= +g 3 f 3 ;

$) %)

') ")

E)

3

3

y

3

y

3

y

3

y

3

y


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$) () por s+ sola%) (*) por s+ sola') $m4as juntas# () y (*)

") 'ada una por s+ sola# () o (*)E) ,e requiere informacin adicional

*6) ,a4iendo que ( )Cp# si 3

f 3p3# si 3


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%pre'ni"ersitario%'!%!l

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Cuadernillo 6 - MT - 2014 (IV Medio)

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