CPR. JORGE JUAN NÚMEROS REALES, ℝ Xuvia-Narón · 2015-10-27 · números reales Departamento...

números reales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia Leopoldo E. Álvarez

70

NÚMEROS REALES, ℝ CPR. JORGE JUAN

Xuvia-Narón

Es el conjunto de números que se obtiene al unir el conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales. ℝ= ℚI Los números reales poseen las siguientes propiedades: Existencia del elemento neutro para las operaciones de sumar y multiplicar Sumar eℝ / aℝ a+e= e+a= a e= 0 Multiplicar eℝ / aℝ a.e= e.a= a e= 1 Existencia del elemento opuesto para la suma y del inverso para la multiplicación Sumar aℝ, -aℝ opuesto de, a, a+(-a)= (-a)+a= 0 El, 0, es el elemento neutro de la suma Multiplicar

aℝ, 1aℝ inverso de, a, a.

1a

= 1a

.a= 1

El, 1, es el elemento neutro de la multiplicación Conmutativa para las operaciones de sumar y multiplicar Sumar a,bℝ a+b= b+a Multiplicar a,bℝ a.b= b.a Distributiva de la operación de multiplicar con respecto a la operación de sumar a,b,cℝ a.(bc)= a.b a.c Asociativa para las operaciones de sumar y multiplicar Sumar a,b,cℝ a+(b+c)= (a+b)+c


71

Multiplicar a,b,cℝ a.(b.c)= (a.b).c Existe una correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de una recta, en el sentido de que a cada número real, a, le corresponde un único punto, A, de la recta y viceversa. El número real, a, asociado al punto, A, de la recta se llama coordenada del punto, A. El punto, O, de la recta que se corresponde con el número real, 0, es el origen. Asignar coordenadas a los puntos de la recta equivale a establecer un sistema coordenado para dicha recta. 0 La recta que tiene asignado un sistema coordenado se denomina, eje coordenado. A un eje coordenado, a partir del origen, O, se le asigna un sentido positivo y un sentido negativo. El sentido positivo se indica trazando una flecha en el extremo del eje coordenado. Los puntos situados hacia el sentido positivo se les denomina, números reales positivos, mientras que a los situados hacia el sentido negativo se les llama, números reales negativos. Establecido el eje coordenado, entre los puntos que lo conforman se establece: Expresar en notación científica los siguientes números 491876000000 491876.106 0’00000008791 8’791.10-8

56000000

56

.10-6

0’00000000000000000001 1.10-20

9000000000000 9.1012 123 1’23.10-2

Escribir los siguientes números con todas sus cifras 7’95.107 79500000 4’98.1010 49800000000 1’15.10-9 0,00000000115 Expresar las siguientes cantidades en notación científica 135 gigalitros 1’35.109 0’05 micrómetros 0’05.10-6 98 nanometros 98.10-9 300 megametros 300.106 789’13 terametros 798’13.1012 0’035 picolitros 0’035.10-12


72

Relación de orden

a,bℝ/ b-a 0 ab ó ba La relación de orden tiene las propiedades:

Reflexiva aℝ, aa Transitiva a,b,cℝ, si ab, bc ac Antisimétrica a,bℝ, si ab, y, ba a= b Orden total a,bℝ, si a<b, ó, b<a a= b

Si a los dos miembros de una desigualdad se le suma ó resta un mísmo número real, ó una misma expresión algebraica, la desigualdad que se obtiene tiene el mismo sentido.

a,b,cℝ, si a>b a+c>b+c a,b,cℝ, si a>b a-c>b-c

Si los dos miembros de una desigualdad se multipican ó dividen por un mismo número real:

Se obtiene una desigualdad en el mismo sentido si el número real es positivo a,bℝ, cℝ >0, si a>bℝ a.c>b.c

Se obtiene una desigualdad en sentido contrario si el número real es positivo a,bℝ, cℝ <0, si a>bℝ a.c<b.c

Valor absoluto, a

El valor absoluto de un número real, aℝ, viene definido por la expresión

aℝ, a= 00

a si aa si a

El valor absoluto de un número real tiene las siguientes propiedades:

aℝ, a 0

si 0:| |

si 0

aa a

aR

a

a


73

, :| | n na a R a a

2, :| |a a R a a

2, :| |a a R a a

hay dos posibles casos.

a 0 a= a a 0

a< 0 a= -a a 0 pues si, a< 0 -a> 0

aℝ, a= 0 x= 0

aℝ, a= -a a,bℝ, a.b= a.b

Para demostrarla es conveniente recordar que: , si n es par en particular teniendo en cuenta este resultado

a,bℝ, b 0, | || || |

a ab b

aℝ, a2= a2

Si, a, es una variable real y, k, es un número real positivo, entonces, a= k a= k, ó, a= -k

Interpretación geométrica de esta propiedad.

como se verifica a= k = k elevando ambos miembros de esta última igualdad al cuadrado

2 2 2 2 2| . | . . . | | . | |a b a b a b a b a b

2 2 2

2 2

| || || |

a a a a ab b b bb

2| |a a

22 2 2| |a a a

2a


74

2, :| |a a R a a

22a = k2

de donde se escribe a2= k2 pasando todos los términos al primer miembro de esta ecuación a2-k2= 0

el primer miembro no es más que el desarrollo de la suma por diferencia. Por lo que se escribe

(a+k).(a-k)= 0

si el producto de estos dos factores es nulo, entonces alguno de ellos lo ha de ser a+k= 0, a= -k ó a-k= 0, a= k

Si, a, es una variable real y, k, es un número real positivo, entonces, a< k -k<a< k

Como

se verifica a< k < k elevando ambos miembros de esta última igualdad al cuadrado < k2 de donde se escribe a2< k2 pasando todos los términos al primer miembro de esta inecuación a2-k2< 0

el primer miembro de esta inecuación no es más que el desarrollo del producto notable de suma por diferencia. Por lo que se escribe

(a+k).(a-k)< 0

para resolver esta inecuación, se resuelve la ecuación que define su expresión (a+k).(a-k)= 0 para que el producto de esos dos factores sea nulo ha de serlo alguno de ellos - +

2a

22a


75

2, :| |a a R a a

a+k= 0, a= -k -k a-k=0, a= k - + k la solución gráfica de la inecuación es + - + -k k es decir los valores de, a, que satisfacen la inecuación son: a(-k,k), es decir, –k<a<k

Si, a, es una variable real y, k, es un número real positivo, entonces, a> k a> k, ó, a< -k

Como

se verifica a> k > k elevando ambos miembros de esta última igualdad al cuadrado > k2 de donde se escribe a2> k2 pasando todos los términos al primer miembro de esta inecuación a2-k2> 0


(a+k).(a-k)> 0


a+k= 0, a= -k -k a-k=0, a= k - + k

2a

22a


76

2, :| |a a R a a

la solución gráfica de la inecuación es + - + -k k es decir los valores de, a, que satisfacen la inecuación son: a<-k a> k

Si, a, es una variable real y, k, es un número real positivo, entonces, a k -k a k

Como

se verifica a k k elevando ambos miembros de esta última igualdad al cuadrado k2 de donde se escribe a2 k2 pasando todos los términos al primer miembro de esta inecuación a2-k2 0


(a+k).(a-k) 0


a+k= 0, a= -k -k a-k=0, a= k - + k la solución gráfica de la inecuación es + - + -k k

2a

22a


77

2, :| |a a R a a

es decir los valores de, a, que satisfacen la inecuación son: a[-k,k], es decir, –kak

Si, a, es una variable real y, k, es un número real positivo, entonces, a k a k, ó, a -k

Como

se verifica a k k elevando ambos miembros de esta última igualdad al cuadrado k2 de donde se escribe a2 k2 pasando todos los términos al primer miembro de esta inecuación a2-k2 0


(a+k).(a-k) 0


a+k= 0, a= -k -k a-k=0, a< k - + k la solución gráfica de la inecuación es + - + -k k es decir los valores de, a, que satisfacen la inecuación son: a-k a k

2a

22a


78

si 0:| |

si 0

a aa R a

a a

aℝ, -a a a a 0 a |a|

como, |a| 0 -|a| 0, y como, a 0 -|a| a de estos dos últimos resultados se deduce -|a| a a a a a |a| a< 0 |a|= -a -|a|= -(-a)= a -|a| a además como a< 0, |a| 0 a |a| se tiene entonces -|a| a a a a a |a|

por lo que se concluye que aℝ, -a a a ab -b a b

ab a b ó a -b a= b a= b ó a= -b

a+b a+b desigualdad triangular

Lema Sea, a,b,c,dℝ, con, a b, y, c d. Entonces, a+c b+d a+c b+c= b+c b+d a+c b+d

Otra forma de obtener este resultado es sumando los primeros miembros


79

Con el resultado obtenido en el lema anterior se tiene:

-a a a -b b b . -(a+b) a+b (a+b) a+b< a+b

Distancia entre dos puntos, A, y, B, del la recta real La distancia entre dos puntos, A, y, B, de la recta real de coordenadas los números reales, a, y, b, respectivamente, viene dada por el número real dado por la expresión

d(A,B)= b-a y su valor representa la longitud del segmento, AB a d(A,B) b

A B Se deduce a partir de la definición:

La distancia desde el punto, A, de coordenada el número real, a, hasta el punto, B, de coordenada el número real, b, es la misma que la distancia desde el punto, B, hasta el punto, A. d(A,B)= b-a= -(a-b)= a-b= d(B,A) La distancia de un punto, A, de coordenada el número real, a, al origen, O, de coordenada el número real, 0, viene dada por d(O,A)= a-0|= |a|

Intervalos

La relación de orden permite definir algunos subconjuntos del conjunto de los números reales, ℝ, que tienen una interpretación geométrica sencilla sobre la recta real y que se utilizan de forma generalizada en las inecuaciones y en las funciones. Estos subconjuntos hacen referencia a zonas concretas del eje coordenado, para lo cual se indican sus extremos, a, y, b. Los tipos de intervalos existentes son:

Abierto, (a,b) (a,b)= {xℝ/ a<x<b}

a b Cerrado, [a,b] [a,b]= {xℝ/ axb}

a b Semiabierto, [a,b) [a,b)= {xℝ/ ax<b}

(a,b] (a,b]= {xℝ/ a<xb} a b

Infinito (a,∞) (a,∞)= {xℝ/ x>a} [a,∞) [a,∞)= {xℝ/ x>a} (-∞,a) (-∞,a)= {xℝ/ x<a} a (-∞,a] (-∞,a]= {xℝ/ xa}

a (-∞,∞) (-∞,∞)=ℝ


80

Del mismo modo que se asignan coordenadas a los puntos de una recta, se puede introducir un sistema coordenado rectangular o sistema cartesiano considerando en dicho plano dos ejes coordenados perpendiculares entre sí que se corten en el origen, O, de ambos ejes. A menos que se especifique lo contrario, en cada recta se elige la misma unidad de longitud. Se acostumbra a colocar uno de los ejes, el eje X, o eje de abscisas en dirección horizontal con el sentido positivo hacia la derecha, y el otro eje, el eje Y, o eje de ordenadas en dirección vertical con el sentido positivo hacia arriba. El plano en el que se dibujan los ejes coordenados se le denomina plano coordenado, XY. Los ejes coordenados, X,Y, dividen al plano en cuatro cuadrantes: I C II C III C IV C Ángulo [0º,90º) [90º,180º) [180º,270º) [270º,360) De esta forma se asigna a cada punto, P, del plano un par ordenado de números único, (a,b), siendo, a, su abscisa o coordenada, x, del punto y, b, su ordenada o coordenada, y, del punto que indican su posición. Recíprocamente todo par ordenado, (a,b), determina un punto, P, en el plano, XY, de coordenadas, a, y, b. Se puede entonces hablar del punto, (a,b), o, P(a,b), para indicar el punto, P, con abscisa, a, y ordenada, b. Para representar un punto, P(a,b), se localiza en el plano coordenado, XY, y se le representa por un pequeño círculo. Establecido el sistema coordenado rectangular, la distancia entre dos puntos, A, y, B, de un plano, cuyas coordenadas rectangulares son los pares de números reales, (x1,y1), y, (x2,y2), respectivamente, al número real dado por la expresión

____________ d(A,B)= (x2-x1)2+(y2-y1)2= d(B,A) y2 B

y2 – y1 y1 A x2-x1 O

Potencias de exponente racional

Sea, a, un número real, aℝ. Si este número se multiplica consigo mismo n-veces, siendo, n, un número racional, nℚ

a.a.a.a....n.....a

dicho producto se puede escribir en forma abreviada en la forma

an y se dice que se ha realizado una potencia de exponente racional del número real, a.

El valor y el signo final de esta potencia depende tanto del signo que tenga la base como de la paridad del denominador del número racional que hay en el exponente, verificándose:


81

Base, aℝ, positiva

Cualquiera que sea el exponente racional existe siempre la potencia, pero su signo depende del denominador del exponente racional:

Denominador par Existen dos potencias opuestas.

124 2

Denominador impar Existe una única potencia de signo positivo.

138 2

Base, aℝ, negativa Numerador del exponente racional par

Existe la potencia de exponente racional y su signo es positivo.

2 23 34 4

Numerador del exponente racional impar Denominador del exponente racional par

No existe la potencia de exponente racional.

124 No existe esta potencia

Denominador del exponente racional impar

Existe la potencia de exponente racional y tiene signo negativo.

138 2

Las potencias del número real, aℝ, de exponente racional tienen las siguientes propiedades:

El producto de potencias de exponente racional que tengan la misma base es otra potencia de exponente racional que tiene la misma base que las primeras y cuyo exponente es la suma de los exponentes racionales de dichas potencias.

.mq npm n m n

p q p q pqa a a a

El cociente de potencias de exponente racional que tengan la misma base es otra potencia de exponente racional que tiene la misma base que las primeras y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes racionales de la potencia del numerador o dividiendo y de la potencia del denominador o divisor.


82

:

mmq npm n m np

p q p q pqnq

aa a a aa

El producto de potencias con el mismo exponente racional es otra potencia que tiene por base el producto de las bases de dichas potencias y por exponente el mismo exponente racional que tienen las potencias que se multiplican.

. .m m mp p pa b a b

El cociente de potencias con el mismo exponente racional es otra potencia que tiene por base el cociente de las bases de dichas potencias y por exponente el mismo exponente racional que tienen las potencias que se dividen.

:

m mm m p pp pmp

a aa bb

b

La potencia de una potencia es otra potencia que tiene la misma base y por exponente racional el producto de los exponentes racionales.

..

.

nm m n m nqp p q p qa a a

Las potencias de números reales con exponente racional definen a los radicales, puesto que se pueden escribir en forma de raíz según:

bc bca a

c índice del radicando o raíz ab radicando Expresar como potencia única: 35.33.3= 35+3+1= 39 (-5)7:(-5)2= (-5)7-2= (-5)5= -55

(-7)-2.(-7)3.(-7)0= (-7)-2+3+0= (-7)1= -71 (-3)-2:(-3)3= (-3)-2-3= (-3)-5= 5 5 5

1 1 1( 3) 3 3

[(-4)2]3= (-4)2.3= (-4)6= 46 34.54= (3.5)4= 154

83.(-2)3= [8.(-2)]3= (-16)3= -163 (-28)3:43= [(-28):4]3= (-7)3= -73

(-3)2.(-3)3.(-3)= (-3)2+3+1= (-3)6= 36 (-33)2= 33.2= 36

(((-32)3)5)3= (-32)3.5.3= (-32)45= -390 55 3 23: xx x xx


83

Radicales

Sean, a, y, b, números reales, a,bℝ. Se dice que el número real, b, es una raíz, n-ésima, del número real, a, y se escribe n a b

si se verifica la potencia

bn= a

En todo radical se denomina a:

n índice del radical a radicando

El valor y el signo del radical dependen tanto del signo del radicando como de la paridad del índice:

Índice par

Radicando positivo

El radical toma dos valores opuestos. Se dice que tiene dos raíces opuestas. 4 2

Radicando negativo

El radical no toma ningún valor. Se dice que no tiene raíz alguna. 4

Índice impar

Radicando positivo El radical toma un valor positivo. Se dice que tiene una raíz positiva.

3 8 2

Radicando negativo El radical toma un valor negativo. Se dice que tiene una raíz negativa.

3 8 2 Los radicales de los números reales tienen las siguientes propiedades:

El producto de radicales de igual índice es otro radical del mismo índice y cuyo radicando es el producto de los radicandos.

. .n n na b a b


84

El cociente de radicales de igual índice es otro radical del mismo índice y cuyo radicando es el cociente de los radicandos.

nn

n

a abb

La raíz de una raíz es otro radical cuyo índice es el producto de los índices de los radicales dados.

.m n m na a

La potencia de un radical es otro radical del mismo índice y cuyo radicando es el del radical dado elevado a dicha potencia.

m n mn a a

La raíz de una potencia no varía si se multiplican o dividen por el mismo número el exponente del radicando y el índice del radical.

. .n n rm m ra a

De esta propiedad se deduce:

Un radical se simplifica dividiendo el índice y todos los exponentes del radicando por un divisor común, que es el máximo.común.divisor. de todos ellos.

Si el máximo común divisor del índice del radical y del exponente del radicando es la unidad, dichos números son primos entre sí, en cuyo caso el radical se dice irreducible.

Dados varios radicales se pueden elegir radicales iguales a los dados tomando como índice común un múltiplo de todos los índices, generalmente el múltiplo elegido es el mínimo.común.múltiplo. de todos ellos

No se pueden multiplicar o dividir radicales que tengan diferentes índices.

Forma típica de un radical.

Un radical, n a , está en su forma típica cuando se puede escribir en la forma, .nb c , siendo el índice, n, y el radicando, c, los números menores posibles.

2 33 .2 6 272 3.2 2

Dos radicales se dicen semejantes si sus respectivas formas típicas tienen el mismo índice y el mismo radicando.

Dados dos radicales semejantes, la suma de ellos es otro radical semejante cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes de los sumandos.


85

Simplificar y extraer factores _______ __________

3 6 9 36 9 36 2 36 3 (1 ) 3 (1 ) 3 (27 ( 11 )) a b a a b a ab ba b a a

7 31 8 22 2 2

23. 71 7 74 3

22.3. .1 0 55 5 2 3

5 2 22 .3 22 8 3 28 .

22.1200 0 10 2 3 22 .3 372 2. 2

3 72 37 22 2. .8 2x yx x y yy

3 52 25 23 .125 5 3. . 3.5a x aa x ax

2 2 6 4 12 6 10 4 0 4 2 3 5 25 . .3 5.325 . . . .81 m n a x m n an xm a x Introducir coeficientes en el radical

2 3

2

.ac aa accc

ac

22 2( ).( ) ( ).( )

((

)) m nm n

m nm n m n m n m n m n

m n

Aplicar las propiedades de los radicales ____________

6 9 7 29 7 23 3 26 2 (1 ) 2.64 )1 . (1( ) bb a a b a b a aa a

323

6 37 749 7

2 1 62

3 3 39 85 2 21 2 2

2 82

4 4 44 21 2 26 2

33 5 15 3

5 53

5 55 15 3

32 2 2 210000 1

0'0 10 1

000320

¿Por cuánto se tiene que multiplicar un número para que su raíz quede multiplicada por 2?. Por 4 a a

4.a 24 2 2a a a


86

Decir si son verdaderas o falsas las siguientes expresiones 2 2.a b ab 2 2a b a b 2 2 2a b ab a b 4 2

Si No 2a b a b No existe la raíz

Simplificar los radicales:

242 2 53 153 3

2812 37 7 9 39 33 327

Extraer factores de los radicales:

225 5 5 3 33 ( 327 ) 3

444 38 31

6 66 26 24 Realizar las siguientes operaciones

3 33 33 (3 10 5) 7 83 7 0 7 71 5 7 2 3 6 32 2 2 22 2 2 2 2 24 3 24 18 6 0

2 3 24 2 .3 3 3 5 .3 4.2 3 3.3 3 5 3 8 34 12 3 27 7 5 45 9 3 3 3

6 106 83 2 48 510 5 2 3. 2 2 8 2 5 2 3.5 8 3. 4 32 8 1 2 2 6 6 26 8 2

2 3 2 2 22 2 3 32 23 27 12 .3 2 3 3 3 2 3 3a a aa a a a aa a

2 3 3 2 3 5 5 4 2 2 2 25 4 22 .3 5 2.3 2.3 2 2.3 5 2.3 3 2.3 (2 5 9 )24 25 6 4 .6 38 xy x x y y x x x x y x yxy x x y x x y x Reducir a índice común los radicales

64 6, 4 m.c.m.(4,6)= 22.3= 12 123 212 6 , 4 5 153 23 5, 7 , 3 m.c.m.(3,5,15)= 3.5= 15 15 15 153 9 25 , 7 , 3

Indicar cual es el radical mayor

34 128, 5, 600 m.c.m.(4,3,12)= 22.3= 12 3 412 12 128 , 5 , 600

12 12 12512, 625, 600

3 12 45 600 8


87

Se ha de procurar que el resultado de toda operación matemática no contenga raíces en su denominador. De haberlos, el proceso que se sigue para eliminarlos recibe el nombre de racionalización. Racionalizar

Racionalizar una fracción con raíces en el denominador consiste en convertirla en otra fracción equivalente sin raíces en el denominador.

El procedimiento a seguir para conseguir esto va a depender de la forma que tenga el radical del denominador de la fracción. Se distinguen los siguientes casos:

Hay únicamente una raíz cuadrada en el denominador escrita o no en su forma típica

Se multiplica dicha fracción por la unidad, tomando ésta como una fracción que tenga iguales el numerador y el denominador, y siendo éste la raíz del denominador de la fracción original.

2

5 5 7 5 7 5 7 5 7.2.7 142 7 2 7 7 2 7

1

Hay raíz cuadrada en el denominador sumando o restando a otros sumandos

Se multiplica dicha fracción por la unidad, tomando ésta como una fracción que tenga iguales el numerador y el denominador, y siendo éste el conjugado del denominador de la fracción original.

1

Hay sólo una raíz de índice, n, en el denominador escrita o no en su forma típica

Se multiplica dicha fracción por la unidad, tomando ésta como una fracción que tenga iguales el numerador y el denominador, y siendo éste una raíz de índice, n, y radicando el del denominador de la fracción original elevado a un exponente igual a la diferencia entre el índice de la raíz original y el exponentes del radicando de dicha raíz original.

__

3 3 3 32 2 2 2

3 3 3 32 3

5 5 7 5 7 5 7 5 7.2.7 142 7 2 7 7 2 7

1

22

5 5 2 7 10 5 7 10 5 7 10 5 7.4 7 32 7 2 7 2 7 2 7


88

Racionalizar

25 3 15 15.

33 3 3

53

27 7 7 7 7 7. 7

77 7 7

77

2 2

22

1 11 1.11

11 11

x xx xxx x x

xx

2 2

24 6 6 5 144 120 36 30 6 120 30 6 120 30.6 5 16 5 6 5 6

24 66 5 5

2

22

22 2.422 2 2

a aa a a aaa aa aa

2

22

9 3 6 3 6 63 6 3 6 15 6 6 15 6 6. 5 2 69 6 33 6 3 6 3 6

3 63 6

2 2 2

2 2

1 1 1 1 1 11 1 1 1.1 1 21 1 1 1 1

11 1

11

x x x x x xx x x xx xx x x x x

xx x x

x

Racionalizar

23 6 3 63

63 6 6.

6 26 6 6

22 6 2 2 12 6 2 2 12. 12

22 2 22

2 2

2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2.2 1 12 1 2 1 2 1

22 1

2 2

1 2 3 2 31 2 3 2 3.2 3 12 3 2 3 22 3 3

CPR. JORGE JUAN NÚMEROS REALES, ℝ Xuvia-Narón · 2015-10-27 · números reales Departamento...

Documents

Transcript of CPR. JORGE JUAN NÚMEROS REALES, ℝ Xuvia-Narón · 2015-10-27 · números reales Departamento...