RESPUESTAS DE LOS SISTEMAS DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN A DIFERENTES TIPOS

DE FUNCIONES DE FORZAMIENTO

JOSE DAVID TORRES GONZALEZCONTROL DE PROCESOS

INGENIERIA DE ALIMENTOSINGENIERIA DE ALIMENTOSUNIVERSIDAD DE CARTAGENA

2012

INTRODUCCION Los sistemas de control se diseñan para conseguir un

determinado comportamiento, tanto en régimen permanente como en transitorio. Estos de orden superior pueden ser interactivos o no, y básicamente los procesos se describen mediante ecuaciones diferenciales de orden superior. La respuesta de un sistema de control o de un elemento del sistema, está formada por dos partes:• La Respuesta en estado estable (permanentes o de tiempo constante)•La Respuesta transitoria (variabilidad en el tiempo)

Un sistema dinámico puede definirse conceptualmente como un ente que recibe unas acciones externas o variables de entrada, y cuya respuesta a estas acciones externas son las denominadas variables de salida. Las acciones externas al sistema se dividen en dos grupos, variables de control, que se pueden manipular, y perturbaciones sobre las que no es posible ningún tipo de control.

Esquema general de un sistema

La finalidad de un sistema de control es conseguir, mediante la manipulación de las variables de control, un dominio sobre las variables de salida, de modo que estas alcancen unos valores prefijados .

RESPUESTAS DE UN SISTEMA DE CONTROL

Para describir por completo el comportamiento de un sistema, el modelo debe considerar la relación de entradas y las salidas, los cuales son función del tiempo y, por lo tanto son capaces de describir los comportamientos tanto transitorio como en estado estable.

SISTEMA

RESPUESTAS DE UN SISTEMA DE CONTROL

El tipo de modelo que con frecuencia se emplea para describir el comportamiento de un sistema de control o elemento del sistema de control, es una ecuación diferencial.Las ecuaciones diferenciales son las que involucran derivadas. Estas se pueden clasificar en: Primer Orden , dx/dt Segundo Orden, d(dx/dt)/dt = d²x/dt² Tercer Orden, d³x/dt³ De orden n d(n) x/dt(n)Los métodos de solución de estas ecuaciones son en general: Transformaciones, es decir a tal punto que se puedan manejar mediante álgebra convencional.

En general todos los sistemas de primer orden tienen la característica que la razón de cambio de alguna variable es proporcional a la diferencia entre esta variable, y algún valor de ajuste de la variable

EJEMPLO DE UN SISTEMA DE PRIMER ORDENUn tanque de agua controlado por un flotador, fig. 1.dh = k(H-h) donde dh/dt es la razón de cambiodt de la altura y k, una constante

Mientras sube el nivel del agua con el tiempo el valor de la diferencia (H-h) es menor y esta es proporcional a (dh/dt). Una gráfica de la altura de agua contra el tiempo se muestra en la fig. 2 La ecuación que describe esta gráfica es: h= H (1-e-kt)

En este sistema se puede considerar como entrada la altura requerida H y como salida h, ver fig. 3

SISTEMA

EJEMPLO DE UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN

Un capacitor en serie con un resistordVc = 1 (V-Vc) donde dVc/dt es la razón de cambiodt RC de Vc y es proporcional a (V-Vc). Donde R es

la resistencia y C la capacitancia. La Fig. 2, muestra como varía Vc con el tiempo. La gráfica tiene la ecuación.

Vc= V (1-e-t/RC) Se puede considerar que este sistema, tiene la entrada el voltaje V y como salida la diferencia de potencial Vc (fig. 3)

SISTEMA

DEFINICIÓN DE UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN

Un sistema de primer orden es aquel cuya salida y(t) es modelada mediante una ecuación diferencial de primer orden. Así en el caso de un sistema lineal o linealizado, se tiene:

  tbfyadt

dya 1

Donde f(t) es la entrada (función forzada, que puede ser escalon, rampa, senoidal). Si a0 es diferente de cero se escribirá:

tfa

by

dt

dy

a

a

oo

1

Donde a1, ao, b son constantes, dy/dt es la razón de cambio a la cual la salida cambia con el tiempo.

Definiendo:

 

Entonces la ecuación toma la forma:

 

t es conocida como constante de tiempo y Kp es conocida como

ganancia de estado estable o ganancia del proceso.

 

A partir de estas ecuaciones, se encuentra rápidamente que la función de transferencia de un proceso de primer orden esta dado por:

pp Ka

by

a

a

oo

1

tfKydt

dypp

0000 fyy

1

s

K

sf

sysY

p

p

Un proceso de primer orden con una función de transferencia dada por la ecuación anterior es también conocido como Sistema de primer orden, retardo de primer orden ó retardo lineal. Al aplicar la transformada inversa se tiene

ssR

1)(

1

1 1( ) ( ) ( )

( )

( ) 1 ( )at

aC s R s G s

s s a s s a

c t e u t

Ecuación de sistema de primer orden con entrada escalón unitario

DEFINICIÓN DE UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN

Un sistema de segundo orden es aquel cuya salida Ψ(t) es descrita por la solución de una ecuación diferencial de segundo orden.

tftt

12

2

Donde f(t) es la entrada (función forzada que puede ser escalón, rampa, o senoidal)

Si a0 es diferente de cero, donde:

Entonces la ecuación se transforma:

tftt

tt

22

2

2

)(2)(

ωω22

1 β,αξω,2α

La transformada de Laplace es un método que transforma una ecuación diferencial en una ecuación algebraica. Convirtiendo la ecuación diferencial al dominio de s, se puede deducir la función de transferencia.

ω recibe el nombre de frecuencia propia no amortiguada y se expresa en radianes por segundo.

SEÑALES DE ENTRADA

Las señales de entrada al sistema pueden adoptar diferentes formas, la más común es la de escalón; ésta se presenta cuando la entrada cambia de valor de manera abrupta. Un ejemplo de este caso es cuando el voltaje se conecta a un circuito. Un impulso (delta de dirac) es una entrada de corta duración, una rampa es una señal que se incrementa en forma estable y una entrada senoidal es aquella que se describe por senwt.

Tiempo0

EntradaEntrada

0Tiempo

Entrada

0Tiempo

Entrada

0 Tiempo

TRANSFORMADAS DE LAPLACE PARA UNA FUNCION ESCALON

La figura muestra la forma que tomaría una entrada escalón cuando tiene lugar un cambio abrupto en la entrada en el tiempo t=0 y la magnitud del escalón es 1. La ecuación para esta función es f(t)=1, para todos los valores t mayores que 0. Para los valores de t menores que 0 la ecuación es f(t)=0. La transformada de Laplace de esta función escalón, es : F(s) = 1/s o A/s para valores mayores de cero.

f(t)

1

0

Tiempo t

La respuesta escalón de amplitud A será

Para la solución general se plantea la denominada Ecuación característica polinómica del mismo grado de la parte homogénea de la ecuación diferencial, siendo "r" las raíces de la ecuación característica:

El parámetro recibe el nombre de factor de amortiguamiento, y es un numero sin dimensiones.

Observe que la ecuación auxiliar es una ecuación cuadrática cuyas raíces se las puede determinar empleando la formula general

Al solucionarse tiene que r depende del factor de amortiguamiento

Se distinguen 3 casos: Sistema Sub-amortiguado: Si ζ < 1, las raíces son complejas y la respuesta del sistema es una expresión exponencial sinusoidal decreciente. se puede ver, la respuesta es oscilatoria

Sistema Critico-amortiguado: Si ζ = 1, las raíces son reales iguales y negativas y la respuesta del sistema es una expresión exponencial con signo negativo.

Sistema Sobre amortiguado: Si ζ > 1, las raíces son reales diferentes y negativas La respuesta jamás sobrepasa al valor final y su aproximación es más lenta que en los sistemas críticamente amortiguados.

Fig. Respuesta de un sistema de segundo orden a un cambio escalón unitario en la función de

forzamiento.

la ecuación diferencial de segundo orden es en general de la forma

Donde w es la frecuencia angular con la cual el sistema oscilará libre en ausencia de cualquier tipo de amortiguamiento y ζ es el factor de amortiguamiento relativo. Cuando ζ=0 se tiene oscilaciones libres constantes y mantenidas (fig.1) si ζ<1, la situación de la fig. 2, si ζ> 1, ver fig. 3.

Salida

0

Tiempo

Salida

Tiempo

0

Tiempo

0

Salida

τφψψ(τ)δτ

δ2ξψ(τ)

δτ

δωωω

22

2

2

Figura : Respuestas escalón para casos de amortiguamiento en sistemas de segundo orden

RESPUESTA RAMPA DE UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN

Al considerar que en la ecuación diferencial heterogénea, la variable de entrada es perturbada con un cambio rampa de pendiente “r”, es decir que f(t) = rt , entonces se puede escribir que

tftt ωωω22

2

2

ψ)ψ(δτ

δξ2)ψ(

δτ

δ

para cada uno de las respuestas se encuentran las siguientes soluciones

Figura: Respuesta Rampa de un Sistema de Segundo Orden (a) Rampa (b) Amortiguada Crítica (c) Sub-amortiguada (d) Sobre-amortiguada

MODELAMIENTO DE UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN

Un ejemplo interesante de un sistema cuyo modelo es lineal de segundo orden es el de un bloque atado a una pared vertical mediante un resorte y un amortiguador viscoso, que al aplicarle una fuerza provoca un movimiento del sistema considerado inicialmente en reposo.

Masa – Resorte – Amortiguador ViscosoUn bloque de masa “m” descansa sobre una superficie horizontal sin fricción y se encuentra conectado a una pared vertical mediante un resorte horizontal y un amortiguador viscoso. Al aplicar sobre el bloque una fuerza horizontal, “F(t)”, cuya magnitud puede variar con el tiempo, se considera que el sistema oscila libre y horizontalmente. El resorte tiene una constante de elasticidad, “K” y el amortiguador un coeficiente viscoso, “C”. El origen del sistema de coordenadas es el borde derecho del bloque cuando el resorte se encuentra completamente distendido. Inicialmente, el bloque se encuentra en reposo en el origen del sistema de coordenadas. La dirección positiva para la fuerza y el desplazamiento del bloque se indican en la Figura.