Conf Curvas Bezier

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDERDepartamento Diseño Mecánico Materiales y Procesos

Grupo de Investigación Diseño Mecánico y Mantenimiento

GIDIMA

DISEÑO DE LEVAS

Ley de Desplazamiento con curvas de Bézier

CARLOS HUMBERTO ACEVEDO PEÑALOZA, IM., MS.c., Ph.D.

Profesor Titular

– Introducción

CONTENIDO DE LA PRESENTACIÓN

– Objetivos de la investigación

– Estado actual en el diseño de mecanismo leva palpador

– Conclusiones

– Motivación de la investigación

– Leyes de desplazamiento

INTRODUCCIÓN

Línea de Investigación Teoría de Máquinas y

mecanismos

Síntesis de Mecanismos

Leva Palpador

APORTE AL ESTUDIO DE LA MATERIA MECANISMOS DE LAS INGENIERIAS MECANICA Y ELECTROMECANICA DE LA UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER - OCAÑA

MOTIVACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN

- Aportar al estudiante nuevas técnicas de diseño y análisis de los mecanismos leva palpador, con el fin de mejorar el estudio de la ley de desplazamiento

OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN

– Definir la ley de desplazamiento por tramos rectos unidos por empalmes definidos con curvas de Bézier

– Estudiar la idoneidad del grado de continuidad en los empalmes

Objetivos

Mecanismo Leva palpador

Mecanismo Leva palpador

ESTADO ACTUAL EN EL DISEÑO DE MECANISMO LEVA PALPADOR

Una leva es un elemento mecánico que sirve para impulsar a otro, por contacto puntual o lineal, llamado palpador o seguidor, para que este desarrolle una ley de movimiento especificada

Tipos de Mecanismos Leva Palpador

Disco o plano Cuña Cilíndrica


Clasificación de los mecanismos leva palpador

– Según la geometría de la leva

Esféricas Cilíndricas Globoides


3. Comprobación del perfil

obtenido

Diseño de un mecanismo leva palpador

2. Obtención del perfil

1. Especificación de la ley

de desplazamiento del

palpador


3. Comprobación del perfil

obtenido

2. Obtención del perfil

1. Especificación de la ley

de desplazamiento del

palpador


Diseño de un mecanismo leva palpador

1. Métodos tradicionales

2. Métodos propios para el CAGD

– Polinomios algebraicos con base de Berstein

– Polinomios definidos a trozos con base B-spline

– Polinomios trigonométricos con base análoga a la de Berstein

– Polinomios trigonométricos definidos a trozos con base análoga a la B-spline

– Polinomios algebraicos en base canónica

Especificación de la ley de desplazamiento

ESTADO ACTUAL EN EL DISEÑO DE MECANISMO LEVA-PALPADOR

– Polinomios trigonométricos en base de Fourier

20 1 2

1

....n

i ni n

i

s a a a a a


2. Métodos propios para el CAGD









01

sin cosm

i ii

s c s i c i


2. Métodos propios para el Diseño Geométrico Asistido por Ordenador CAGD









Métodos propios para el CAGD


Bézier no paramétrica



n

i

nii uBbub

0

10u

1 n in ii

nB u u u

i

Base Bernsteinbi puntos de control

(coeficientes)





1 n in ii

nB u u u

i

Constantes del Triángulo de Pascal

14641

1331

121

11

1

!!

!

ini

n

i

n





1 n in ii

nB u u u

i

Polinomios





n

i

nii uBbub

0

Puntos de control





Puntos de control

LIBRE MANIPULACION



Puntos de control

LIBRE MANIPULACION

El primer y el último punto de control es tangente a la curva descrita

La unión de los puntos de control describen un polígono de control

La curva siempre tiende a la forma del polígono de control



Ejemplo aplicación



Ejemplo aplicación

Punto tangente



Ejemplo aplicación



Ejemplo aplicación

n

i

nii uBbub

0

111000 10u



Ejemplo aplicación

n

i

nii uBbub

0

inii uui

nbub

1



Ejemplo aplicación

inii uui

nbub

1

10

3 4

2

5

555454353 15

511

4

511

3

51

uuuuuuub

252151050 12

501

1

501

0

50

uuuuuuub

1 5 10

10 5 1



Ejemplo aplicación

inii uui

nbub

1

10

3 4

2

5

543 61510 uuuub

3 4 5

' 2 3 4

'' 2 32

''' 23

10 15 6 ; 0 0 0 1 1 1

30 60 30

60 180 120

60 360 360

ib u L u u u b

Lb u u u u

Lb u u u u

Lb u u u



Ejemplo aplicación

DERIVADA DE LOS PUNTOS DE CONTROL

111000

00100

0110

LEYES DE DESPLAZAMIENTO

Movimiento de transición de altura de subida completa

3 4 5

' 2 3 4

'' 2 32

''' 23

10 15 6 ; 0 0 0 1 1 1

30 60 30

60 180 120

60 360 360

ib u L u u u b

Lb u u u u

Lb u u u u

Lb u u u

4 5 6 7

' 3 4 5 6

'' 2 3 4 52

''' 2 3 43

35 84 70 20 ; 0 0 0 0 1 1 1 1

140 420 420 140

420 1680 2100 840

840 5040 8400 4200

ib u L u u u u b

Lb u u u u u

Lb u u u u u

Lb u u u u u



5 6 7 8 9

' 4 5 6 7 8

'' 3 4 5 6 72

''' 2 3 4 5 63

126 420 540 315 70 ; 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1

630 2520 3780 2520 630

2520 12600 22680 17640 5040

7560 50400 113400 105840 35280

ib u L u u u u u b

Lb u u u u u u

Lb u u u u u u

Lb u u u u u u



Curva de desplazamiento Curva de (velocidad)ds dq

Curva de (aceleración)2 2d s dq Curva de (sobreaceleración)3 3d s dq


Movimiento de empalme de media subida inicio




Movimiento de empalme de media subida llegada



– Doble contacto del palpador sobre la leva

Comprobación del perfil


– Presencia de picos y degeneraciones en el perfil

– Doble contacto del palpador sobre la leva



Ocurre cuando el radio del rodillo es mayor que el radio de curvatura de la leva en los tramos concavos



– Presencia de picos y socavaciones en el perfil

Si la curva de paso presenta tramos donde el radio del rodillo es igual al valor de su radio de curvatura, en éste punto el valor del radio de curvatura del perfil de la leva será igual a cero y la leva se hará puntiaguda



– Presencia de picos y socavaciones en el perfil

Si existen tramos donde el radio del rodillo es mayor que el valor del radio de curvatura de la curva de paso, la leva presentará una socavación o rebaje



– Ángulo de presión

– Radio de Curvatura




Para el correcto funcionamiento de los mecanismos leva palpador es conveniente que el ángulo de presión no supere el valor de 30º

2 2

arctanO

s

s R




E.C. Varnum, [1956] • Mabie y Reinholtz, [2000] • Shigley y Uicker, [1988],

palpadores de traslación con ley de desplazamiento diseñadas por curvas armónicas y cicloidales

oR

L

Radio primario

Desplazamiento o salto

Ángulo de giro para realizar el salto




El radio de curvatura mínimo en el diseño de levas se conoce como el mínimo valor que debe tener el radio de curvatura en la curva de paso para evitar que se presenten picos o socavaciones en el perfil de las levas

3/ 222

o

cp 2 22

o o 22

dsR s

dr

ds d sR s R s

d d




Ganter y Uicker, [1979]• Chen, [1982]• Shigley y Uicker, [1988]• Mabie y Reinholtz, [2000]

palpadores de rodillo de traslación

ÁNGULO DE PRESIÓN Y RADIO DE CURVATURA

Ángulo de presiónMovimiento de transición de altura de subida completa C2


Ángulo de presiónMovimiento de empalme de media subida llegada, n=4, n=6 y n=8


Radio de curvaturaMovimiento de transición de altura de subida completa C2


Comparación del ángulo de giroPara un ángulo de presión de 30º

oR

Ln

n

n

Bézier =5

Ángulo giro

Bézier =7

Ángulo giro

Bézier =9

Ángulo giro

Curva Armónica

Ángulo giro

CurvaCíclica

Ángulo giro

1,5 95 111 117 80 100

2 75 88 95 60 80

3 53 62 69 45 56

4 41 48 54 35 43


Comparación del radio de curvaturaEn función del radio de curvatura y del radio del rodillo

oR

L

n

c rr R

n

c rr R

n

c rr Rc rr R c rr R

Bézier =5

Bézier =7

Bézier =9

Curva Armónica

CurvaCíclica

1,5 2,76 2,46 2,22 3,6 2,67

2 1,79 1,6 1,45 2,2 1,74

3 2,65 2,4 2,20 2,79 2,55

4 3,56 3,26 3,01 3,68 3,40

100º

CONCLUSIONES

Se concluye que las leyes de desplazamiento pueden ser diseñadas por tramos de unión o por trayectos completos de movimiento de la leva y que los dos métodos indistintamente tienen óptimos resultados de diseño.

Se concluye que a pesar del comportamiento óptimo que presentan los diferentes grados de las curvas de Bézier, la curva n=4 (movimiento de empalme de media subida inicio y media subida llegada) y la curva n=5 (movimiento de transción de altura de subida completa) no deben utilizarse para el diseño de levas de alta velocidad debido a la discontinuidad presente en la tercera derivada.

Conclusiones I

Se muestra nomogramas que ayudan a obtener los valores del ángulo de presión y del radio de curvatura en la etapa de la comprobación del perfil de la leva.

CONCLUSIONES

Conclusiones II

De la comparación de las curvas de Bézier para el tramo de transición de altura de subida completa se concluye que la curva que mejor bondad presentan respecto a los otros grados es la n=5 debido a que presenta menor valor de ángulo de presión para condiciones similares de trabajo y en lo referente al radio de curvatura porque es la que menor posibilidad presenta de obtener un valor negativo indeseado de radio de curvatura.

Del análisis de los ejemplos se concluye que la curva de Bézier de grado n=5 nuevamente es la que mejor se comporta debido a que presenta valores de esfuerzo menores, lo que conlleva a que tenga mejores condiciones para el diseño final de la leva.

CONCLUSIONES

Conclusiones III

De comparar las curvas de Bézier y las curvas tradicionales se concluye que las curvas armónicas presentan mejores bondades para el diseño de las levas debido a que presentan menor valor de ángulo de giro mínimo necesario para no exceder el valor de 30º recomendado de ángulo de presión.

Igualmente se concluye que son las que presentan mayor valor de la relación lo que con lleva a que disminuya la posibilidad de encontrar un valor de radio de curvatura negativo.

c rR R

Desventajas de los métodos tradicionales:

– Los coeficientes de las expresiones no tienen significado geométrico. Por lo tanto la modificación de un determinado coeficiente no produce un efecto intuitivo sobre la forma de la función.

– Los coeficientes de los polinomios se obtienen al solucionar un sistema de ecuaciones. Sería engorroso automatizar la definición de la ley porque cada caso requiere un tratamiento particular.

– La base canónica de polinomios algebraicos no garantiza estabilidad numérica, especialmente si el grado del polinomio es elevado.

– La imposición de las condiciones de continuidad en la unión entre los tramos de detención, subida y bajada de la ley de desplazamiento resulta laborioso.

Especificación de la ley de desplazamiento del palpador


Conclusiones

Se concluye que las leyes de desplazamiento pueden ser diseñadas por curvas de Bézier utilizando tramos de unión o trayectos completos de movimiento, obteniendo siempre óptimos resultados de diseño.

Conclusiones

Gracias

¿Quien invita? .

Conclusiones

Sistema Caño Sistema Caño Limón CoveñasLimón Coveñas

Zona Sarare

Zona Arauca

CAÑO LIMÓN

BANADÍA

SAMORE

TOLEDO

CUCUTA

ORU

AYACUCHOCOVEÑAS RIO ZULIA

Zona Catatumbo

Zona Cesar

Zona Coveñas

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