Cap2 Modelos Conf.

MODELOS DE MODELOS DE CONFIABILIDADCONFIABILIDAD

Capítulo 2•Exponencial

•Weibull•Lognormal

2

OBJETIVO

Presentar los modelos Exponencial, Weibull y Lognormal para la confiabilidad, sus características principales y guías para su empleo

Puntos:– Modelos Paramétricos de Confiabilidad– Distribuciones de Probabilidad– Parámetros– Propiedades– Situaciones para modelar– Guía para elección del modelo

ExponencialWeibull

Lognormal

3

Modelos Paramétricos de Confiabilidad

Distribuciones Paramétricas• Algunas Distribuciones de Probabilidad se pueden

expresar como una función matemática de la variable aleatoria.

• La función tiene además de la variable aleatoria, constantes que le dan comportamientos específicos a las distribuciones

Los parámetros definen:

•FORMA

•ESCALA

•LOCALIZACION

4

•Los Parámetros definen lo que esta detrás de cada distribución.

•Conociendo los parámetros de una distribución podemos inferir el comportamiento de la confiabilidad

•La Forma de la distribución

•La Escala de la distribución

•La Localización de la distribución

¿Qué hay atrás de una distribución?

5

Distribución Normal

• La Normal o Distribución Gaussiana es la distribución más conocida

• Tiene Media = Mediana = Moda• La Media , es también su parámetro de localización• La PDF normal tiene forma de una campana con

simetría sobre su media• La normal no tiene parámetro de forma. Esto significa

que la PDF normal sólo tiene una forma, “la campana” y esta forma no cambia

• La desviación estándar , es el parámetro de escala de la PDF normal

6

f tt

( ) exp

1

2

1

2

2

Función de Densidad de Probabilidad Normal


= 500 = 30 = 50 = 70

0.0000

0.0020

0.0040

0.0060

0.0080

0.0100

0.0120

0.0140

200 400 600 800 1000Tiempo

f(t)

7

R t f t dt z dzt z t

( ) ( ) ( )( )

donde z(t) = (t-/ y (z) = normal estandarizada pdfFunción de Confiabilidad Normal

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

200 400 600 800 1000Tiempo

R(t

)

= 500 = 30 = 50 = 70


8

Si X se distribuye como Normal con media y varianza , esto es, X~N(,) luego ¿Cuál es la probabilidad que X sea menor que x0, P(X< x0)?

Para determinar P(X< x0), realice una transformación a Normal Estándar

Z = (X-)/

P(X< x0) = P[(X-)/<(x0-)/] = P[Z< (x0-)/

Esta expresión está en la forma de la cdf (Función de distribución Acumulada), entonces podemos buscar en las tablas de la Normal Estándar el área correspondiente bajo la curva.


9

– Ejemplo: Dada X~N(100,400), encuentre P(70<X<110)

• Re-escriba en una forma que pueda ser buscada en las tablas

– P(X<110) - P(X<70)

• Realice la transformación a Normal Estándar– P[(X-100)/20<(110-100)/20] - P[(X-100)/20<(70 -100)/20]– P(Z<0.50) - P(Z< -1.50)

» Ambas se buscan en una tabla de Normal Estándar

• P(70<X<110) = 0.6915 - 0.0668 = 0.6247


10

donde (z) =normal estandarizada pdfFunción Normal de Tasa de Falla

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

200 400 600 800 1000Tiempo

h(t

)

= 500 = 30 = 50 = 70


h( t ) = tRz

11

EJERCICIO

El tiempo de falla para un componente está normalmente distribuido con un valor esperado de 20 horas y una desviación estándar de 3 horas. Deseamos responder las siguientes preguntas:

1.¿Cuál es la confiabilidad del componente a las 25 horas de tiempo de tiempo de operación?

2.¿Cuál es la probabilidad de que el componente fallará entre 25 y 28 horas?

3.¿Cuál es la tasa de falla del componente a las 25 horas de operación?

12

• Distribución Normal– ciclos para fallar de datos de componentes mecánicos

sometidos a niveles altos de estrés en los alrededores de los límites proporcionales pueden seguir una distribución normal

– útil si el coeficiente de variación es pequeño (<10%)– propiedades de varios materiales tienden a seguir una

distribución Normal– fallas a la tensión de muchos materiales estructurales siguen

una distribución Normal – puede representar el tiempo para fallar cuando un efecto

aditivo es involucrado, i.e., el Teorema del Límite Central (CLT)


13

• El modelo exponencial, con un solo parámetro, es el más simple de todos los modelos de distribución del tiempo de vida. Las ecuaciones clave para la exponencial se muestran:

Distribución Exponencial

h

)(:FALLA DETASA

1:VARIANZA

693.02ln:MEDIANA

1:MTBF

)(:PDF

)(:DADCONFIABILI

1)(:CDF

2

t

m

etf

etR

etF

t

t

t

Función de Densidad de Probabilidad Exponencial

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020

0.0025

0.0030

0.0035

0 500 1,000 1,500 2,000Tiempo

f(t)

= 0.003, MTBF = 333

= 0.002, MTBF = 500

= 0.001, MTBF = 1,000

14

R(t) = e(-t) (Confiabilidad)

Función de Confiabilidad Exponencial

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

1.200

0 500 1,000 1,500 2,000Tiempo

R(t

)

= 0.003, MTBF = 333

= 0.002, MTBF = 500

= 0.001, MTBF = 1,000


15

h(t) = MEDIA(Velocidad de Falla)

Función de la Tasa de Falla Exponencial

0.000

0.001

0.002

0.003

0.004

0 500 1,000 1,500 2,000Tiempo

h(t

)

= 0.001, MTBF = 1,000

= 0.002, MTBF = 500

= 0.003, MTBF = 333


Note que la velocidad de falla se reduce a la constante para cualquier tiempo. La distribución exponencial es la única que tiene una velocidad de falla constante

16

EJERCICIO

Se sabe que el tiempo de falla de un cierto tipo de sello de motor se distribuye como una exponencial con una tasa de falla igual a 0.03x10-4 fallas por hora. Nos interesa responder las preguntas siguientes:

1.¿Cuál es la probabilidad de que un sello durará más de 10,000 horas?

2.¿Cuál es el tiempo medio de falla del sello?

3.¿Cuál es la Confiabilidad asociada al tiempo medio de falla?

4.Si la confiabilidad de la vida de diseño tiene que ser al menos 90%, ¿Cuál debería ser la vida de diseño recomendada?

17

• Distribución Exponencial – usada como el modelo, para la porción de la vida útil de la

curva de la tina de baño, i.e., porción de la tasa de falla constante

– sistemas complejos con muchos componentes y múltiples modos de falla tendrán tiempos para fallar que tiendan a la distribución exponencial

– desde una perspectiva de confiabilidad, es la distribución más conservadora para predicción.


La forma de la exponencial siempre es la misma

18


• ´La Distribución exponencial de 2 parámetros tiene las siguientes ecuaciones:

h

)(:FALLA DETASA

1:VARIANZA

693.02ln:MEDIANA

1MTBF

)(:PDF

)(:DADCONFIABILI

1)(:CDF

2

)(

)(

)(

t

etf

etR

etF

t

t

t es el parámetro de localización, si es positivo, cambia el comienzo de la distribución por una distancia a la derecha del origen, significando que las posibilidades de falla empiezan a ocurrir sólo después de horas de operación, y no pueden ocurrir antes.

Note que la varianza y la tasa de falla son iguales a las de la exponencial de un parámetro

19

Distribución Weibull• La Weibull es un modelo de

distribución de vida muy flexible, este es el caso con 2 parámetros:

1

2

2

1

1

:FALLA DETASA

11

21:VARIANZA

2ln:MEDIANA

11MTBF

)(:PDF

)(:DADCONFIABILI

1)(:CDF

t

et

tf

etR

etF

t

t

t

Donde es un parámetro de escala (la vida característica) y se conoce como el parámetro de forma (pendiente) y es la función Gamma con (N)=(N-1)! para N entero

20

Distribución Weibull

1

2

2

1

1

:FALLA DETASA

11

21:VARIANZA

2ln:MEDIANA

11MTBF

)(:PDF

)(:DADCONFIABILI

1)(:CDF

t

et

tf

etR

etF

t

t

t

Una forma más general de 3 parámetros de la Weibull incluye un parámetro de tiempo de espera (localización ó desplazamiento). Las fórmulas se obtienen sencillamente de estas por reemplazar t por (t-) en donde aparezca t. No puede ocurrir una falla antes de horas, el tiempo comienza en no en 0.

21

EJERCICIO

Un componente tiene una distribución Weibull para el tiempo de falla con los siguientes parámetros: =1000, = 4.5 y = 2000.

Cien componentes son puestos a prueba en el tiempo cero y deseamos responder a las preguntas siguientes:1.¿Cuál es el número esperado de componentes que estarán funcionando a las 2000 horas?

2.¿Cuál es el número esperado de fallas en el intervalo de 2000 a 2100 horas?

3.¿Cuál es la tasa de falla a las 2000 horas?

22

f tt t

( ) exp

1

Función de Densidad de Probabilidad Weibull

0.0000

0.0010

0.0020

0.0030

0 500 1000 1500 2000 2500 3000Tiempo

f(t)

= 0.5 = 1000

= 1.0 = 1000

= 3.4 = 1000


23

R tt

( ) exp

Función de Confiabilidad Weibull

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000Tiempo

R(t

)

= 0.5 = 1000

= 1.0 = 1000

= 3.4 = 1000


24

h

( )tt

1

Función Tasa de Falla Weibull

0.0000

0.0020

0.0040

0.0060

0 500 1000 1500 2000 2500 3000Tiempo

h(t

)

= 3.4 = 1000

= 1.0 = 1000

= 0.5 = 1000


25

• Distribución Weibull– mientras la función pdf de la distribución exponencial

modela la característica de vida de los sistemas, la Weibull modela la característica de vida de los componentes y partes

– modela fatiga y ciclos de falla de los sólidos– es el traje correcto para datos de vida

• La función de distribución Weibull pdf es una distribución de la debilidad de los elementos de una muestra

• muy flexible y puede tomar diferentes formas


26


• Tiene usted una Distribución Weibull con =2 y =2, ¿Cuál es la media y la varianza?

2

2 11

21varianza

11

m

1111

22223333

Archivo Weibull.xls

27

tiempo

Índ

ice

de

falla

Tiempo de vida útilFallastempranas

Desgaste

decreciente

< 1

constante

= 1

creciente

> 1

< 1 disminuye la tasa de riesgo, implica mortalidad infantil = 1 tasa de riesgo constante, fallas aleatorias1< < 4 aumenta la tasa de riesgo, fallas por corrosión, erosión > 4 aumenta rápidamente la tasa de riesgo, implica fallas por desgaste y envejecimiento

Las tres porciones de la curva de tina de baño tienen diferentes índices de falla. Las fallas tempranas se caracterizan por un índice de falla decreciente, la vida útil por un índice de falla constante y el desgaste se caracteriza por un índice de falla creciente. La distribución de Weibull puede modelar matemáticamente estas tres situaciones.


28

< 1 (Tasa de riesgo decreciente)

•Implica mortalidad infantil

•Si esto ocurre, puede existir: Carga, inspección o prueba inadecuada Problemas de Manufactura Problemas de reparación

•Si un componente sobrevive la mortalidad infantil , la resistencia a fallar mejora con la edad.

= 1 (Tasa de riesgo constante)

•Implica fallas aleatorias(Distribución Exponencial)

•Una parte vieja es tan buena como una nueva

•Si esto ocurre: Mezcla de modos de falla Las fallas pueden deberse a eventos externos, como:luminosidad o errores humanos Fundido y removido antes de su desgaste1 <4 (Tasa de Riesgo creciente)

•Si esto ocurre La mayoría de los baleros y engranes fallan Corrosión o Erosión El reemplazo programado puede ser efectivo en costo=3.44aprox. Normal, =2Rayleigh

4 (La tasa de riesgo crece rápidamente)

•Implica edad avanzada y rápido desgaste

•Si esto ocurre, sospeche de: Propiedades del material Materiales frágiles como la cerámica Variabilidad pequeña en manufactura o material

La Distribución Weibull - Interpretación

29

•Cuando = 2.5 la Weibull se aproxima a la distribución Lognormal(estas distribuciones son tan cercanas que se requieren tamaños de muestra mayores a 50 para distinguirlas).

•Cuando se modela el tiempo que se necesita para que ocurran reacciones químicas, se ha mostrado que la distribución Lognormal usualmente proporciona un mejor ajuste que la Weibull.

•Cuando = 5 la Weibull se aproxima a una Normal puntiaguda.


30

Debido a su flexibilidad,hay pocas tasas de falla observadas que no pueden modelarse adecuadamente mediante la Weibull. Algunos usos específicos han sido:

1.La resistencia a la ruptura de componentes o el esfuerzo requerido para la fatiga de metales.

2.El tiempo de falla de componentes electrónicos.

3.El tiempo de falla para artículos que se desgastan, tales como las llantas de un automóvil.

4.Sistemas que fallan cuando falla el componente más débil del sistema(la distribución Weibull representa una distribución de valor extremo).


31

•¿Qué pasa en una distribución Weibull si el tiempo tiene el valor de la vida característica, t = ?


6321.0)(1)(

3678.0exp)(

t si

exp)(

1

tRtF

etR

ttR

Al llegar al tiempo de vida igual a la vida característica el 63.2% de los elementos habrá fallado. Este hecho se usa en las gráficas para identificar el valor de (eta)

Este mismo resultado se obtiene para el caso exponencial, recordando que la Weibull se puede reducir a una exponencial cuando = 1.

32

• Un tiempo de falla se distribuye según una Lognormal si el logaritmo del tiempo de falla está normalmente distribuido.

• La Distribución Lognormal es una distribución sesgada hacia la derecha.

• La PDF comienza en cero, aumenta hasta su moda y diminuye después.

• El programa Weibull6.0++ de Reliasoft estima la media (y) y la desviación estándar (y) de los logaritmos de los tiempos(y=ln(t)).

Distribución Lognormal

33

• Si un tiempo t está distribuido Lognormal, t~LN(t, t) y si Y = ln(t) entonces Y~N(y, y)


2)ln(

2

1

2

1)(

y

yt

y

et

tf

2

2

1

2

1)(

y

yy

y

eyf

yy

y TtttF

)ln()ln(

)( 50

y

yyyF

)(

25.0 yyet )ln( 50Ty

yeT 502

250

1t

t

tT

PDF

CDF

MEDIA

MEDIANA

t y = ln(t)

2

22 1ln

t

ty

)1(22 )2(2 yyy eet

VARIANZA

(z) es la CDF de la Normal estándar

34

• La Distribución de vida Lognormal, como la Weibull, es un modelo muy flexible que puede empíricamente ajustar a muchos tipos de datos de falla. En su forma de dos parámetros tiene los parámetros ln(t) = y parámetro de escala, y ln(t) = y es un parámetro de localización.

• Si el tiempo para la falla t, tiene una distribución Lognormal, entonces el logaritmo natural del tiempo de falla (y =ln(t)) tiene una distribución normal con media y = ln T50 (T50 es el valor de la mediana)y desviación estándar y.

• Esto hace a los datos lognormales convenientes para trabajarlos así: determine los logaritmos naturales de todos los tiempos de falla y de los tiempos censurados (y = ln(t)) y analice los datos normales resultantes. Posteriormente, haga la conversión a tiempo real y a los parámetros lognormales usando y como la escala lognormal y y = ln T50 como el parámetro de localización.


35

2)ln(

21

exp2

1)(

y

y

y

t

ttf

donde y y y son funciones de ln’s

Función de Densidad de Probabilidad Lognormal

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0 1 2 3 4 5 6 7Tiempo

f(t)

= 0 = 0.5

= 0 = 1

= 1 = 0.5

= 1 = 1


36

ztt

dzztdtfdttftR )()][ln()][ln()()()ln(

donde z = [ln(t)-y)/y] (z) = normal estandarizada pdf

Función de Confiabilidad Lognormal

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

0 1 2 3 4 5 6 7Tiempo

R(t

)

= 0 = 0.5

= 0 = 1

= 1 = 0.5

= 1 = 1


37

Función Tasa de Falla Lognormal

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0.6000

0.7000

0 1 2 3 4 5 6 7Tiempo

h(t

)

= 0 = 0.5

= 0 = 1

= 1 = 0.5

= 1 = 1

Distribución Lognormal h( t ) =

)()(tRtz

donde z = [ln(t)-y)/y] (z) = normal estandarizada pdf

38


– Ejemplo: Dado t~LN(25,4), encuentre P(t<18)• Calculemos los valores que nos permiten usar la tabla normal estándar

• Para poder usar las Tablas de la Normal Estándar:

686.24254

12512

2

2

50

t

ttT

02527.0

25

41ln1ln

2

2

22

t

ty

15898.002527.0 yy = ln (24.686) = 3.20623

P(t<18) = P{Z<[ln(t/ T50)]/ y] = P{Z<[ln(18/24.686)]/0.15898} = P(Z<-1.986) = 0.023

De otra forma:

F(18) = [{ln(18)-3.20623}/0.15898] = [-1.986] = 0.023

39

EJERCICIO

La vida (en miles de millas) de una población de controles electrónicos para locomotoras fue aproximada por una distribución Lognormal donde y = 5.149 y y = 0.737.

Nos interesa responder las siguientes preguntas:

1.¿Cuál es la fracción de la población que cae por debajo del límite de garantía de 80 mil millas?

2.¿Cuál es la Confiabilidad asociada al límite de garantía de 80 mil millas?

3.¿Cuál es el tiempo medio de falla?

4.¿Cuál es la tasa de falla en el límite de garantía de 80 mil millas?

40

• Distribución Lognormal– ciclos de falla en la fatiga de los metales y partes metálicas, a niveles de

tensión significativamente menores que los límites de proporcionalidad son distribuidos como una Lognormal

– representa bien el tiempo de falla de los aparatos mecánicos, especialmente en el caso de desgaste

– las resistencias de materiales frecuentemente siguen una distribución Lognormal

– Variables de peso son frecuentemente bien representadas con una distribución Lognormal

– una buena distribución a priori para cualquier variable– la medición de cualquier resultado el cual es el producto de un efecto

proporcional o multiplicativo es Lognormal


41


• Ventajas– Usados cuando la distribución subyacente de los tiempos

para fallar se conoce o puede ser supuesta• Datos de prueba previos• Parámetros de industria aceptados (v.g., MIL-HDBK-217)• Conocimiento Ingenieril del mecanismo de falla

– Tiene más poder para hacer una decisión correcta que en las pruebas no-paramétricas

– Rinde información más precisa que los métodos no-paramétricos

• Los intervalos de confianza son más amplios usando no-paramétricas

– Permite extrapolar fuera del rango de los datos

42


• Desventajas– El uso no apropiado del

modelo puede llevar a conclusiones incorrectas

– Implica un conocimiento previo del comportamiento de los mecanismos de falla y su efecto en la observación estadística

– Si no se conoce nada sobre la falla debe tenerse cuidado en un procedimiento para seleccionar un modelo adecuado.

43

f tt

( ) exp

1

2

1

2

2

Rt zdzz t

( ) ( )( )

h

( )( )( )

tz

R t

f tt t

( ) exp

1

Modelos Comunes de Confiabilidad

2)ln(

21

exp2

1)(

y

y

y

t

ttf

z

dzztR )()( R tt

( ) exp

h

( )tt

1

f(t) = exp(-t)

R(t) = exp(-t)

h(t) =

Exponencial Weibull Normal Lognormal

Función de Densidad de Probabilidad (pdf), f(t)

Función de Confiabilidad, R(t)

Función de Tasa de Falla, h(t)

Tiempo Medio Entre Fallas (MTBF)

1MTBF

1

1

MTBF mediaMTBF

2

2y

y

eMTBF

Parámetros 1/= escalasin forma

= escala = forma, o pendiente Weibull

media = localización= escala

media de ln’s = localizaciónde ln’s= escala

Aplicaciones Sistema complejovida útilelectrónica

< 1, fallas infantiles = 1, exponencial > 1, desgaste app 3.4, app. normalmuy flexiblebien para fatiga encomponentes mecánicos

z(t) = (t - )/(z) = pdf normal std. desgaste altoefectos aditivos (CLT)

z = {ln(t) - y}/ydonde y = media de ln’s y = desv. std. de ln’s(z) = pdf normal std. fatiga en metalesdesgaste de partes mecánicasefectos multiplicativos

Cuadro de Distribuciones

h(t) = )(

)(tRtz

44

Identificación de Modelos

• Debemos de elegir cuidadosamente el modelo apropiado de distribución de vida– Cualquiera que sea el método usado

para escoger el modelo, debemos verificar:

• que tenga “sentido” - por ejemplo no usar un modelo exponencial que tiene una tasa de falla constante para modelar una falla de desgaste.

• Pasar las pruebas estadísticas y visuales para ajuste de datos

45

Modo individual de falla


Modelos de Distribución de vida y Modelos físicos de aceleración sólo aplican al nivel de MODO INDIVIDUAL DE FALLA

Componente

Sistema

•El lugar natural para aplicar los modelos de distribución de vida y los modelos de aceleración física es en el nivel de modo individual de falla.

•Cada modo de falla por el que un componente puede fallar típicamente tiene su modelo propio de distribución de vida.

46


para MODO INDIVIDUAL DE FALLA

Modelos de Distribución de vida y Modelos físicos de aceleración sólo aplican al nivel de MODO INDIVIDUAL DE FALLA

Si la falla ocurre cuando el primero de muchos procesos de

falla competidores alcanza un punto crítico entonces la Teoría del Valor

Extremo predice que la Weibull será un

buen Modelo

El modelo Lognormal puede ser derivado

cuando la degradación es causada por

shocks aleatorios que incrementan la

degradación a una tasa proporcional a la

cantidad total ya presente

Un modelo derivado del crecimiento

aleatorio de fisuras tomando lugar durante

muchos ciclos de esfuerzo

independientes se esperará que siga la

distribución Birnbaum-Saunders

F(t)=(z)

Ztt

t

tf

2

>0 escala

>0 forma

(Z) normal

estandarizada

tt

Z

1

47

Identificación de Modelos• Gráficas, Abrir: identificación.mtw

0 100 200 300 400 500

95% Conf idence Interv al f or Mu

48 58 68 78 88 98 108 118 128 138

95% Conf idence Interv al f or Median

Variable: T

A-Squared:P-Value:

MeanStDevVarianceSkewnessKurtosisN

Minimum1st QuartileMedian3rd QuartileMaximum

72.713

84.475

53.078

2.3390.000

101.453101.12710226.72.008375.38151

50

0.124 30.898 82.077124.588520.432

130.193

126.018

102.444

Anderson-Darling Normality Test


95% Conf idence Interv al f or Sigma


Descriptive Statistics

Seguir la secuencia STAT>Basic Statistics>Display Descriptive Statistics

•No pasa el criterio de normalidad

• =0.9966, el coeficiente de variación es prácticamente 1

•Media y desviación estándar son iguales

•Sesgo >0 distribución sesgada a la derecha

•Curtosis >3, tiene más agudeza que una normal

48


• Gráficas

Abrir: identificación.mtw

49


1

5

10

20304050607080

90

95

99

-100 0 100 200 300 400 500

Normal

Pe

rce

nt

1

5

10

20304050607080

90

95

99

0.1 1.0 10.0 100.0 1000.0

Lognormal

Pe

rce

nt

1

2 3

5

10

20

3040

6075

909599

0.1 1.0 10.0 100.0 1000.0

Weibull

Pe

rce

nt

1030

506070

80

90

95

97

98

99

0 100 200 300 400 500

Exponential

Pe

rce

nt

Four-way Probability Plot for TNo censoring

¿Cuál ajusta mejor...?

50


El modelo exponencial

51


0 100 200 300 400 500

1 510203040506070

80

90

95

99

Exponential Probability

Per

cent

0 100 200 300 400 500

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Survival Function

Pro

babi

lity

0 100 200 300 400 500

0.00980

0.00985

0.00990

Hazard Function

Rat

e

0 100 200 300 400 500 600 700

0.000

0.005

0.010

Probability Density Function

Overview Plot for TNo censoring

Exponential

ML Estimates

Mean: 101.453

Fail. Rate: 9.86E-03

MTBF: 101.453

52

La prueba de bondad de ajuste 2

Una prueba versátil comúnmente usada es la prueba de bondad de ajuste 2, puesto que es igualmente aplicable a cualquier distribución supuesta, siempre que esté disponible un número razonablemente grande de datos. Por precisión, es deseable tener al menos tres clases de datos, o celdas, con al menos cinco datos en cada celda.

Crystal Ball necesita n>20 datos para ejecutar una prueba confiable y no generar el mensaje de insuficiencia de datos.

53


La justificación para la prueba de bondad de ajuste 2 es la suposición de que, si una muestra es dividida en n celdas (es decir, tenemos grados de libertad donde =n-1), entonces los valores dentro de cada celda estarían normalmente distribuidos alrededor del valor esperado, si la distribución supuesta es correcta, es decir, si Xi y Ei son los valores observados y esperados para la celda i:

n

i i

ii

E

EX

1

22

(Con n-1 grados de libertad)

54


Grandes valores de 2 asumen poner en duda la hipótesis nula. La hipótesis nula es usualmente rechazada cuando el valor de 2 cae más allá del percentil 90. Si 2 está bajo este valor, la información es insuficiente para rechazar la hipótesis de que los datos provienen de la distribución supuesta. Si obtenemos un valor muy bajo de 2(digamos, menor que el percentil 10), esto sugiere que los datos corresponden de forma más cercana a la distribución supuesta que a la variabilidad natural que permitiría el muestreo(es decir, quizá los datos han sido alterados de alguna forma).

La aplicación puede describirse mediante un ejemplo.

55


EJEMPLO

Datos de falla de transistores están dados en la TABLA 1. ¿Cuál es la verosimilitud de que las fallas ocurren a una tasa promedio constante de 12 fallas/1000 horas (distribución exponencial)?

TABLA 1 Datos de una prueba de vida estresada de transistoresCelda(h) Número en la celda Celda(h) Número en la celda

0-999 18 3000-3999 121000-1999 14 4000-4999 62000-2999 10

56


67.6

12126

121212

121210

121214

121218 22222

2

En relación a una tabla de valores de 2 con (n-1)=4 grados de libertad, 6.67 cae entre los percentiles 80 y 90 de la distribución 2 (5.99 y 7.78). Por tanto la hipótesis nula de que los datos se derivan de una proceso con tasa promedio constante no puede rechazarse al nivel del 90%.

57


Si una distribución supuesta da los valores esperados de 20, 15, 12, 10, 9 (es decir, una tasa decreciente), entonces

11.1

996

101012

121210

151514

202018 22222

2

2=1.11 cae cerca del percentil 10 (1.06). Por tanto no podemos rechazar la hipótesis nula de la distribución con tasa decreciente al nivel del 90%.

58


Observe que los valores Ei siempre deben ser al menos 5.

Las celdas deben ser fusionadas si es necesario para lograrlo, con la reducción correspondiente de grados de libertad.

También, si hemos estimado los parámetros de la distribución que estamos ajustando, los grados de libertad deben reducirse por el número de parámetros estimados.

59


•Abrir Identificacion1.xls

•Abrir Crystall Ball (aparece la barra de herramientas de CB)

•Señale una celda con datos

•Marque “Define Assumption”

60


Aparece la caja de dialogo “Distribution Gallery”, marque Fit...

ESCRIBA el rango como se indica, son los datos cuya distribución se quiere analizar

Después de señalar “Next”, Marque la Prueba de Anderson Darling y marque “OK”

61


Usando la prueba Anderson Darling, se propone una Distribución Weibull de tres parámetros con = -2.16, =104.66 y =1.0247

Marque “Cancel”, para salir sin cambiar la celda señalada, si marca “OK” la celda quedará con la distribución Weibull como supuesto

Si volvemos a correr toda la secuencia con la opción de Kolmogorov Smirnov, el resultado es igual al de la Anderson Darling

Corriendo la prueba Ji-Cuadrada resulta una exponencial con =0.01

62

LA PRUEBA KOLMOGOROV-SMIRNOV

Otra prueba de bondad de ajuste comúnmente usada en Confiabilidad es la prueba Kolmogorov-Smirnov (K-S).

Es más simple de usar que la prueba 2 y puede dar mejores resultados con muestras pequeñas (10<n<30).

Está basada en la determinación de la MAYOR diferencia absoluta entre la Función de Distribución Acumulada de la muestra y aquella de la Distribución supuesta.

63


El procedimiento es:

1.Determine el rango de cada uno de los datos

(en MINITAB, Manip>Rank).

2.Determine el valor del estadístico D (D= max( D+, D- )

a)Determine el valor de D+. Calcule los valores absolutos de Fn(Xi)-F(Xi), Fn(Xi) es el i-ésimo valor de la Función de distribución empírica[Fn(Xi) = i/n] y

F(Xi) es el i-ésimo valor de la Función de distribución supuesta.

b)Determine el valor de D-. Calcule los valores absolutos de Fn(Xi)-F(Xi), Fn(Xi) es el i-ésimo valor de la Función de distribución empírica

[Fn(Xi) =(i-1)/n] y

F(Xi) es el i-ésimo valor de la Función de distribución supuesta.

3.Compare el valor de D con el valor apropiado K-S(Ver Apéndice).

64

LA PRUEBA KOLMOGOROV-SMIRNOVEJEMPLO La tabla muestra los datos de 12 tiempos de falla y todos los cálculos asociados a la determinación del estadístico D. Deseamos probar la hipótesis nula de que los datos provienen de una distribución Normal cuyos parámetros son calculados a partir de la muestra y así calcular los valores de la Función de Distribución supuesta.

Rango Tiempo de Fn(Xi) Fn(Xi) F(Xi) Diferencia C-E Diferencia D-Ei falla(h) c.d.f =i/12 c.d.f=(i-1)/12 c.d.f. Supuesta valor absoluto valor absoluto1 12.2 0.08333333 0 0.026595449 0.056737884 0.0265954492 13.1 0.16666667 0.08333333 0.104660884 0.062005783 0.0213275513 14 0.25 0.16666667 0.281801111 0.031801111 0.1151344444 14.1 0.33333333 0.25 0.307772847 0.025560486 0.0577728475 14.6 0.41666667 0.33333333 0.450046686 0.03338002 0.116713353

6.5 14.7 0.54166667 0.45833333 0.479974538 0.061692129 0.0216412056.5 14.7 0.54166667 0.45833333 0.479974538 0.061692129 0.0216412058 15.1 0.66666667 0.58333333 0.599126365 0.067540301 0.0157930329 15.7 0.75 0.66666667 0.758985426 0.008985426 0.092318759

10 15.8 0.83333333 0.75 0.781824145 0.051509188 0.03182414511 16.3 0.91666667 0.83333333 0.875954386 0.040712281 0.04262105312 16.9 1 0.91666667 0.945967793 0.054032207 0.029301126

Media 14.766667 0.067540301 0.116713353Desv.Est. 1.3275633 Estadístico D= 0.116713353

65


El valor de D es 0.1167. De la Tabla de valores críticos Kolmogorov-Smirnov para n = 12, el valor crítico para un nivel de significancia de 0.1 es 0.33815.

Ya que 0.1167 es menor que 0.33815 no puede rechazarse la hipótesis nula a este nivel y aceptamos que los datos provienen de la distribución normal supuesta (con parámetros: media = 14.766 y desviación estándar = 1.327).

Si el nivel de significancia es más estricto, 0.01, para n = 12 el valor crítico es 0.44905. De cualquier forma, no puede rechazarse la hipótesis nula.

66

Identificación de ModelosAhora en Weibull6.0 de Reliasoft: abrir el folio IDENTIFICACION.rw6

67

Identificación de ModelosSiguiendo la Secuencia:

Data>Distribution Wizard Llegamos a la caja de diálogo para seleccionar el modelo de distribución

Empleando la opción Next Step >>

La exponencial de dos parámetros tiene la mejor calificación de bondad de ajuste, la Weibull de 3 el mejor ajuste de datos, la exponencial de un parámetro la mejor verosimilitud

Continuar

68

Identificación de ModelosAhora aparecen los lugares que ocupan las distribuciones de acuerdo a los criterios de bondad de ajuste, gráfica y verosimilitud. En la última columna aparece una ponderación de criterios, la exponencial 2 es la mejor calificada

Finalmente se presenta el lugar de cada modelo de distribución: queda en primero la exponencial de 2 parámetros y en segundo la exponencial de 1 parámetro.

¿Concuerda con la situación física la propuesta?

Marcando Implement Suggestion ...

69

Identificación de Modelos¡Advertencia!, el parámetro de localización (gamma) es negativo.

Aparece = 0.0093 y = -3.3903, marcando graficar...

70


Obtenemos la gráfica de tiempo contra Confiabilidad en escala logarítmica, también se reportan los valores de los parámetros obtenidos.

Veamos el modelo exponencial con un solo parámetro...

Regresamos a los Datos

1.00

5.00

10.00

50.00

100.00

0 600.00120.00 240.00 360.00 480.00

ReliaSoft's Weibull++ 6.0 - www.Weibull.com

Probability - Exponential

Time, (t)

Rel

iabi

lity,

R(t

)

2/15/02 13:37Mabe 6SigmaD, Balderas

ExponentialData 1

E2 RRX - SRM MEDF=50 / S=0CB[FM]@90.00%1-Sided-L [T2]

71


Se marca exponencial de un 1 parámetro, y el botón de calcular parámetros.

Aparece el valor de (lambda) calculado.

Veamos la gráfica (Plot of Data1)...

72


Obtuvimos la gráfica de tiempo contra confiabilidad en escalas logarítmicas, también se reporta el valor de = 0.00951

1.00

5.00

10.00

50.00

100.00

0 600.00120.00 240.00 360.00 480.00


Probability - Exponential

Time, (t)

Rel

iabi

lity,

R(t

)


ExponentialData 1

E1 RRX - SRM MEDF=50 / S=0CB[FM]@90.00%1-Sided-L [T2]

73

• Ahora Usted...• Abra los datos en distribución.mtw (los

del capítulo 1) y proponga qué modelo de distribución los representa mejor.– Analice los datos en la columna C5– Obtenga las gráficas– Calcule los estadísticos descriptivos– Utilice algún procedimiento automatizado para

identificación de distribución– proponga una distribución

EjercicioEjercicio

74

0 50 100 150 200 250 300


60 70 80 90 100 110 120


Variable: tiempo

A-Squared:P-Value:

MeanStDevVarianceSkewnessKurtosisN

Minimum1st QuartileMedian3rd QuartileMaximum

81.968

55.662

61.055

2.3460.000

98.932065.66714312.171.303991.49195

60

9.520 49.549 76.642136.566302.010

115.896

80.092

98.620

Anderson-Darling Normality Test


95% Conf idence Interv al f or Sigma


Descriptive Statistics

EjercicioEjercicio

75

EjercicioEjercicio

1

5

10

20304050607080

90

95

99

0 100 200 300

Normal

Pe

rce

nt

1

5

10

20304050607080

90

95

99

10 100

Lognormal

Pe

rce

nt

1

2 3

5

10

20

3040

6075

909599

10 100

Weibull

Pe

rce

nt

1030

506070

80

90

95

97

98

99

0 100 200 300 400

Exponential

Pe

rce

nt

Four-way Probability Plot for tiempoNo censoring

76

EjercicioEjercicio

10 100

1

5

10

20304050607080

90

95

99

Lognormal Probability

Per

cent

0 100 200 300 400

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Survival Function

Pro

babi

lity

0 100 200 300 400

0.005

0.010

0.015

Hazard Function

Rat

e

0 100 200 300 400 500 600

0.000

0.005

0.010

Probability Density Function

Overview Plot for tiempoNo censoring

Lognormal

ML Estimates

Location: 4.38759

Scale: 0.66066

MTBF: 100.066

MTB reporta la media y la desviación estándar de los logaritmos de los tiempos

77

EjercicioEjercicio

Weibull6.0 usando el método de máxima verosimilitud para estimar (MLE), propone la lognormal

1.00 1000.0010.00 100.00

1.00

5.00

10.00

50.00

99.00


Probability - Lognormal

Time, (t)

Unr

elia

bilit

y, F

(t)


LognormalData 1

L2 MLE - SRM MEDF=60 / S=0CB[FM]@90.00%1-Sided-L [T2]

78

EjercicioEjercicio

En Crystall Ball el procedimiento estándar aconseja Lognormal

¿Qué valores son los que calcula?

79

EjercicioEjercicioData Series: 1Anderson-Darling: 0.327935956Distribution: 100.0659366Best fit: Lognormal

Normal 2.345776456Triangular 4.896937116Lognormal 0.327935956Uniform 14.35127689Exponential 4.090623375Weibull 0.787325636Beta 0.852116659Gamma 0.541458952Logistic 1.816998808Pareto 13.38647687Extreme Value 1.019715553

Procedimiento en Crystal Ball 2000

80

Puntos Clave• Los modelos paramétricos tienen muchas ventajas

para modelar situaciones de confiabilidad.• Es necesario asegurar cuál es el modelo más

apropiado para modelar• La decisión depende del conocimiento del

mecanismo de falla y la forma en que se observa.• Las distribuciones tienen parámetros que le dan

ciertas características: forma, escala, localización.• Recuerde siempre confirmar el modelo de

distribución a usar y ver que las propiedades correspondan a lo conocido sobre la falla

81

REFERENCIAS• Statistical Methods for Reliability Data, William Meeker and Luis A. Escobar,

WILEY 1998.• Handbook of Reliability Engineering and Management by W. Grant Ireson,

Clyde F. Coombs, Jr. and Richard Y. Moss, Second Edition McGraw Hill 1996.

• Reliability Modeling, Linda C. Wolstenholme, Chapman & Hall/CRC 1999.• Practical Reliability Engineering, Patrick D. T. O’Connor, Third Edition Revised

WILEY 1999.

• Engineering Statistics Handbook, capitulo 8, en http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/main.htm

• Reliability and Life Testing Handbook, Vols.1 y 2, Dimitri Kececioglu, Prentice Hall, 1991.

• Electronic Component Reliability, Finn Jensen, Wiley, 1998• Reliability Methods for Engineers, K. S. Krishnamoorthi, ASQ Quality Press

1992.• Reliability Statistics, Robert A. Dovich, ASQ Quality Press 1990. • Reliability Engineering Handbook, Bryan Dodson and Dennis Nolan, Marcel

Dekker, Inc/Quality Publishing 1999.• Software - Minitab version 12.2 (Minitab Inc) y WEIBULL 5.0 (Reliasoft)

82

APENDICE

83

Distribución del valor extremo más pequeño (SEV)

ZeZetf 1

)( donde: tZ

Aquí -<< es el parámetro de localización y >0 es el parámetro de escala.

La Función de Densidad de Probabilidad es

La Función de Distribución Acumulada es ZeetF 1)(

La Función de Confiabilidad esZeetR )(

La Función de la Tasa de Falla es

Zeth1

)(

Su media y varianza son:

E(t) = -

VAR(t) = (22)/6

donde: 0.5772 es la constante de Euler

84

FUNCION DE DENSIDAD

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62

TIEMPO

f(t)

t

et

etf1

)(

= 50

= 5

= 6

= 7

85

FUNCION DE CONFIABILIDAD

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62

TIEMPO

R(t)

t

eetR )(

= 50

= 5

= 6

= 7

86

FUNCION DE TASA DE FALLA

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62

TIEMPO

h(t)

t

eth1

)(

= 50

= 5

= 6

= 7

87

De las figuras anteriores se observa que la distribución de valor extremo más pequeño está sesgada a la izquierda. Aunque la mayoría de las distribuciones de tiempo de falla están sesgadas a la derecha, las distribuciones de la resistencia algunas veces estarán sesgadas a la izquierda (porque unas pocas unidades débiles se encuentran en la cola inferior de la distribución, pero un límite superior más rígido para la mayoría de las unidades estará en la cola superior de la distribución de la resistencia).

Si es relativamente pequeña respecto a la Distribución del valor extremo más pequeño (SEV) puede usarse como una distribución de vida.

La exponencialmente creciente h(t) sugiere que la SEV sería adecuada para modelar la vida de un producto que experimenta un desgaste muy rápido después de cierta edad.

88

Distribución del valor extremo más grande (LEV)

ZeZetf

1

)( donde: tZ

Aquí -<< es el parámetro de localización y >0 es el parámetro de escala.

La Función de Densidad de Probabilidad es

La Función de Distribución Acumulada es ZeetF

)(

La Función de Confiabilidad esZeetR

1)(

La Función de la Tasa de Falla es

1

1)( Ze

Z

e

eth

Su media y varianza son:

E(t) = +

VAR(t) = (22)/6

donde: 0.5772 es la constante de Euler

89

FUNCION DE DENSIDAD

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

TIEMPO

f(t)

t

et

e t f1

) (

= 10

= 5

= 6

= 7

90


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

TIEMPO

R(t

)

= 10

= 5

= 6

= 7

t

eetR 1)(

91


0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

TIEMPO

h(t

)

= 10

= 5

= 6

= 7

1

1)(

t

e

t

e

eth

92

De las figuras anteriores se observa que la Distribución de valor extremo más grande está sesgada a la derecha.

La Función de Riesgo siempre es creciente pero está limitada en el sentido de que el Límite de h(t) cuando t tiende a infinito es igual a 1/.

Aunque la mayoría de las distribuciones de tiempo de falla están sesgadas a la derecha, la distribución LEV no es comúnmente usada como modelo para tiempos de falla. Esto se debe a que la distribución LEV (al igual que la SEV y la Normal) tiene probabilidades positivas de observaciones negativas y hay un número de otras distribuciones sesgadas a la derecha que no tienen esta propiedad.

Sin embargo, la distribución LEV puede usarse como modelo de vida si es relativamente pequeña respecto a >0.

93

DISTRIBUCION GAMMALa Función de Densidad de Probabilidad es

t

ettf

11

)( > 0 es un parámetro de escala y

> 0 es un parámetro de forma

() es la función gamma definida como

0

1 dxex xLa Función de Distribución Acumulada es

t

t

t

ettF0

11)(

La Función de Confiabilidad es

R(t) = 1 - F(t)

La Función de Tasa de Falla es

)()(

)(tRtf

th

La Función de tasa de falla es:

decreciente cuando < 1

constante cuando = 1

creciente cuando > 1

94

FUNCION DE DENSIDAD

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

TIEMPO

f(t)

t

ettf

11

)(

= 1

= 0.8

= 1

= 2

95


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

TIEMPO

R(t)

t

t

t

ettR0

111)(

= 1

= 2

= 1

= 0.8

96


0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

TIEMPO

h(t)

)()(

)(tRtf

th

= 1 = 0.8 = 1 = 2

97

DISTRIBUCION GAMMA

Si = 1 se tiene la distribución Gamma estándar

tettf

1

)(

La media y la varianza de la distribución Gamma son:

E(T) = y VAR(T) = 2

La distribución Gamma puede ser útil para modelar ciertas distribuciones de vida. Si = 1 produce la distribución Exponencial con = 1/.

Para generar los valores de la Función de Densidad y la Función Acumulada en Excel se debe utilizar la siguiente sintaxis, DISTR.GAMMA(x,alfa,beta,acum), donde acum es un valor lógico:

DISTR.GAMMA(x,alfa,beta,FALSO) determina el valor de la función de densidad.

DISTR.GAMMA(x,alfa,beta,VERDADERO) determina el valor de la Función de Distribución Acumulada.

98

Tamaño dela muestra 0.1 0.05 0.02 0.01

1 0.95 0.975 0.99 0.9952 0.77639 0.84189 0.9 0.929293 0.63604 0.7076 0.78456 0.8294 0.56522 0.62394 0.68887 0.734245 0.50945 0.56328 0.62718 0.668536 0.46799 0.51926 0.57741 0.616617 0.43607 0.48342 0.53844 0.575818 0.40962 0.45427 0.50654 0.541799 0.38746 0.43001 0.4796 0.5133210 0.36866 0.40925 0.45662 0.4889311 0.35242 0.39122 0.4367 0.467712 0.33815 0.37543 0.41918 0.4490513 0.32549 0.36143 0.40362 0.4324714 0.31417 0.3489 0.3897 0.4176215 0.30397 0.3376 0.37713 0.404216 0.29472 0.32733 0.36571 0.3920117 0.28627 0.31796 0.35528 0.3808618 0.27851 0.30936 0.34569 0.3706219 0.27136 0.30143 0.33685 0.3611720 0.26473 0.29408 0.32866 0.35241

TABLA DE VALORES CRITICOS KOLMOGOROV-SMIRNOVNivel de significancia

99

Tamaño dela muestra 0.1 0.05 0.02 0.01

21 0.25858 0.28724 0.32104 0.3342722 0.25283 0.28087 0.31394 0.3366623 0.24746 0.2749 0.30728 0.3295424 0.24242 0.26931 0.30104 0.3228625 0.23768 0.26404 0.29516 0.3165726 0.2332 0.25907 0.28962 0.3106427 0.22898 0.25438 0.28438 0.3050228 0.22497 0.24993 0.27942 0.2997129 0.22117 0.24571 0.27471 0.2946630 0.21756 0.2417 0.27023 0.2898731 0.21412 0.23788 0.26596 0.285332 0.21085 0.23424 0.26189 0.2809433 0.20771 0.23076 0.25801 0.2767734 0.20472 0.22743 0.25429 0.2727935 0.20185 0.22425 0.26073 0.26897

TABLA DE VALORES CRITICOS KOLMOGOROV-SMIRNOVNivel de significancia

100

SOLUCION AL EJERCICIO DE LA PAGINA 11

1. Se determina la confiabilidad en términos de la Función acumulada

R(25) = 1 - F(25) = 1- F(1.666) = 1- 0.95221 = 0.04779

Z = (25-20)/3 = 1.666

2. A partir de la Función acumulada

F(28) - F(25) = F(2.666) - F(1.666) = 0.99617 - 0.95221 = 0.04396

Z = (28-20)/3 = 2.6663.Se determina el valor de la función de densidad de probabilidad Normal estandarizada 2666.1

2

1

2

1666.1 ef

= 0.09947

h(25) = 0.09947/(3*0.04779) = 0.6938 fallas/hora

101

SOLUCION AL EJERCICIO DE LA PAGINA 161. h(t) = = 0.03x10-4 por hora

R(10,000) = e-0.000003x10,000 = 0.97

es decir, el 97% de los sellos durará más de 10,000 horas.

2. MTTF = 1/ = 1/0.03x10-4 = 333,333 horas

3. R(333,333) = e-0.000003x333,333 = 0.368

es decir, sólo el 36.8% de los sellos durará más allá de la vida promedio.

4. Se desea que R(t) = 0.9, es decir, e-0.000003t = 0.9

-0.000003t = ln(0.9) = -0.1054

t = (-0.1054)/(-0.000003) = 35,133 horas

102

SOLUCION AL EJERCICIO DE LA PAGINA 21

1. Determinamos la Confiabilidad a las 2000 horas

R(2000) = 95676.0

5.4

2000

10002000

e

E[NS(2000)] = Número de componentes por R(2000)

= 100 * 0.95676 = 95.676

2. Calculamos la Confiabilidad a las 2100 horas

R(2100) = 0.93438 E[NS(2100)] = 100 * 0.93438 = 93.438

Número esperado de fallas = E[NS(2000)] - E[NS(2100)]

= 95.676 - 93.438 = 2.238

3. La tasa de falla a las 2000 horas es

h(2000) = [4.5/2000][(2000 -1000)/2000]4.5-1 = 0.00019887 fallas/hora

103

SOLUCION AL EJERCICIO DE LA PAGINA 391.Determinamos la Función Acumulada para t = 80

Z = {ln(80) - 5.149}/0.737 = -1.0406, entonces F(80) = F(-1.0406) = 0.1492

es decir, sólo el 14.92% estará por debajo del límite de garantía

2.Determinamos la Confiabilidad a partir de su relación con la Función Acumulada

R(80) = 1 - F(80) = 1 - 0.1492 = 0.8508

es decir, el 85.08% sobrevivirán al límite de garantía

3.Determinamos el MTBF

2

737.0149.5

2

eMTBF = 226.011miles de millas

4.Determinamos h(80)

h(80) = [(-1.0406)/(80x0.737x0.8508)] =[ {1/(2)1/2}{e(-1/2)(-1.0406) }]/50.1631

= 0.0046279 fallas por miles de millas

2

Cap2 Modelos Conf.

Documents

Transcript of Cap2 Modelos Conf.