Conducción Lineal (Ejercicio E)

Andrés Chaquinga

October 26, 2014

Resumen

Se midió la distribución de temperaturas para conducción en esta-

do estable en una pared plana de area de sección transversal reducida

a diferentes tasas de �ujo de calor, para demostrar que el gradiente de

temperatura es inversamente proporcional al area de sección transversal

reducida para un �ujo de calor unidimensional.

1

1 Introducción

Siguiendo el procedimiento descrito en el manual de instrucciones del labora-torio[1] se tomaron datos tanto a 9V como a 12V, iniciando primero por losdatos en estado transitorio para después una vez que se haya estabilizado, to-mar los datos correspondientes en estado estable, mismos que se tratarán en losapartados siguientes.

2 Datos

Con un Voltaje a 9V los datos obtenidos son los siguientes:

Cuadro 1: Datos en estado transitorio a 9V

Cuadro 2: Datos en estado estable 9V

2

Con un Voltaje a 12V los datos obtenidos son los siguientes:

Cuadro 3: Datos en estado transitorio a 12V

Cuadro 4: Datos en estado estable 12V

Esquema:

3

Figure 1: Esquema ilustrativo Ejercicio E

Las constantes aplicables en este ejercicio son:

Figura 2: Constantes dadas en el Manual de Laboratorio

4

3 Resultados y cálculos

Ecuaciones apliacables para los dos sets de datos:Flujo de Calor:

Q=V I (1)

Diferencia de temperaturas en la sección caliente:

4Thot = T1 − T3 (2)

Gradiente de temperatura en la sección caliente:

Gradhot =4Thot4xhot

(3)

Temperatura en la cara caliente de sección reducida:

Thotface = T3 −(T2 − T3)

2(4)

Temperatura en la cara fria de sección reducida:

Tcoldface = T6 +(T6 − T7)

2(5)

Diferencia de temperaturas en la sección reducida:

4Tred = Thotface − Tcoldface (6)

Gradiente de temperatura en la sección reducida:

Gradred =4Tred4xred

(7)

Área de sección transversal (caliente):

Ahot =πD2

hot

4(8)

Relación de Gradientes de temperatura:

rgrad =GradredGradhot

(9)

Área de sección transversal (reducida):

Ared =πD2

red

4(10)

Relación de secciones transversales:

rsec =AredAhot

(11)

5

Empezando por los datos del apartado 2, a 9V se obtiene:El Flujo de Calor se obtiene aplicando la ecuación (1):

Q = (9V )(0,92A) = 8,28W

Para la diferencia de temperaturas en la sección caliente se aplica (2):

4Thot = (49,1− 45,7)°C = 3,4°C

El gradiente de temperatura en la sección caliente se calcula con (3) :

Gradhot =3,4°C

0,030 = 113,333 °C

m

La temperatura en la cara caliente de sección reducida se obtiene con (4) :

Thotface = 45,7− 47,7−45,72 = 44,7°C

La temperatura en la cara fria de sección reducida se obtiene con (5) :

Tcoldface = 22,8 + 22,8−21,12 = 23,65°C

Para la diferencia de temperaturas en la sección reducida con (6) :

4Tred = (44,7− 23,65)°C = 21,05°C

El Gradiente de temperatura en la sección reducida se calcula con (7) :

Gradred =21,05°C

0,030 = 701,667 °C

m

El Área de sección transversal se encuentra con (8) :

Ahot =π0,252

4 = 0,049087m2

La relación de Gradientes de temperatura con (9) :

rgrad =701,667113,333 = 6,1912

El Área de sección transversal se encuentra con (10) :

Ared =π0,132

4 = 0,013273m2

La relación de secciones transversales con (11) :

rsec =0,0132730,049087 = 0,270397

Ahora para el ejercicio a 12V se obtiene:El Flujo de Calor aplicando la ecuación (1):

6

Q = (12V )(1,22A) = 14,64W

Para la diferencia de temperaturas en la sección caliente se aplica (2):

4Thot = (75,1− 69,4)°C = 5,7°C

El gradiente de temperatura en la sección caliente se calcula con (3) :

Gradhot =5,7°C

0,030 = 190 °C

m

La temperatura en la cara caliente de sección reducida se obtiene con (4) :

Thotface = 69,4− 72,7−69,42 = 67,75°C

La temperatura en la cara fria de sección reducida se obtiene con (5) :

Tcoldface = 27,2 + 27,2−24,12 = 28,75°C

Para la diferencia de temperaturas en la sección reducida con (6) :

4Tred = (67,75− 28,75)°C = 39°C

El Gradiente de temperatura en la sección reducida se calcula con (7) :

Gradred =39°C

0,030 = 1300 °C

m

El Área de sección transversal se encuentra con (8) :

Ahot =π0,252

4 = 0,049087m2

La relación de Gradientes de temperatura con (9) :

rgrad =1300190 = 6,84211

El Área de sección transversal se encuentra con (10) :

Ared =π0,132

4 = 0,013273m2

La relación de secciones transversales con (11) :

rsec =0,0132730,049087 = 0,270397

Ahora aplicamos la ecuación de Fourier para calcular los valores teorica-mente, ya que los cálculos anteriores eran experimentales, entonces se usan lassiguientes ecuaciones:

De la ley de Fourier:

7

Q=kA4T4x

(12)

Para le sección caliente y la sección fría el 4T es el mismo ya que el áreade sección transversal y el 4xde ambas secciones es igual, además se considerak=cte en todas las secciones para este ejercicio, esto quiere decir que khot =kred = kcold, entonces:

4Tcold=4Thot =Q4xhotkhot4Thot

(13)

Y para la sección intermedia (reducida)

4Tred =Q4xredkred4Tred

(14)

Para el experimento a 9V, de (12), (13), (14) y aplicando los valores cons-tantes de la Figura 2;

Q=(121)(0,049087 + 0,013273 + 0,049087)

(49,1− 19,8

0,105

)= 3762,98W

4Tcold=4Thot =(3762,98)(0,030)

(121)(0,049087)= 19,0065°C

4Tred =(3762,98)(0,030)

(121)(0,013273)=70,2908◦C

Para el experimento a 12V, de (12),(13), (14) y aplicando los valores cons-tantes de la Figura 2;

Q=(121)(0,049087 + 0,013273 + 0,049087)

(75,1− 21,6

0,105

)= 6870,97W

4Tcold=4Thot =(6870,97)(0,030)

(121)(0,049087)= 34,7046°C

4Tred =(6870,97)(0,030)

(121)(0,013273)=128,347◦C

Para calcular los errores experimentales:

errorexperimental =valorteorico − valorexperimental

valorteorico× 100 (15)

entonces para 9V , el error de 4Tcold=4Thotde (15) es:

8

4Tcolderrorexperimental=4Thoterrorexperimental =19,0065− 3,4

19,0065×100=82,114%

4Trederrorexperimental =70,2908− 21,05

70,2908× 100=70,053%

y para 12V , el error de 4Tcold=4Thotde (15) es:

4Tcolderrorexperimental=4Thoterrorexperimental =34,7046− 5,7

34,7046×100=83,5757%

4Trederrorexperimental =128,347− 39

128,347× 100=69,6136%

4 Análisis y Discusión

Como las secciones fría y caliente se sujetan �rmemente con una sección dediámetro reducido en el medio, las caras de los extremos están en buen contactotérmico y crean un barra compuesta del mismo material que para el caso aquípresentado es brass.

Una vez tomados los datos para el estado transitorio se puede comprobarque efectivamente la temperatura se estabiliza mientras el tiempo es aumenta,realizando la grá�ca de Temperatura vs tiempo con los datos de las tablas 1 y3 para estado transitorio, obteniendo:

Figura 3: Temperatura Vs Tiempo (9V y12V)

De la Figura 3, se puede decir que para el experimento realizado a 9V latemperatura se estabilizó cerca de los 50 °C, para ser preciso fue a los 49.1 °Ctal como se ve en la tabla 2. Sin embargo se puede dar cuenta de una anomalía

9

en la curva, ya que para el periodo de tiempo comprendido entre los 570s ylos 580s se observan dos temperaturas que al contrario de lo que se esperaría,estas disminuyen mientras aumenta el tiempo, esto se puede dar por una maladigitación de los datos al momento de teclear en la computadora o por un cambiorepentino en el caudal que para nuestro caso está determinado en 1.5 litrosmin , estecambio repentino se pudo haber dado por por no controlar paulatinamente elcaudal o por una falla en el suministro de agua del laboratorio.

Ahora bien, haciendo referencia a la misma Figura 3, pero para el experi-mento a 12V se comprueba efectivamente que la temperatura se estabiliza cercade los 75 °C que revisando en la tabla 4 es exactamente 75.1°C, sin presentarninguna anomalía como para el caso anterior; lo que nos indica que para esteexperimento todo ocurrió segun lo previsto.

También con los datos de las tablas 2 , 4 y teniendo en cuenta la distanciaentre la termocupla 3 o 6 y la cara exterior (0,0075) se procede a realizar lagrá�ca de Temperatura vs posición para estado estable, obteniendo:

Figura 4: Temperatura vs Posición (9V y 12V)

Como se puede observar en la Figura 4, la temperatura disminuye conformeaumenta la longitud de la barra, tal y como se esperaba y también como seindica en la Figura 1, siendo T1 la temperatura más alta y T8 la más baja.

Se puede dar cuenta que la curva a 12V (roja) esta sobre la curva de 9V(azul), esto se da por la ecuación de Fourier debido a que el �ujo de calor Qes directamente proporcional a 4T , con�rmando así la mencionada ecuación,y por tanto demostrando que el gradiente de temperatura es inversamente pro-porcional al área de sección transversal . También se puede comprobar que laFigura 4 es correcta el compararla con la Figura presentada en la página E-6 del Manual de Laboratorio [1]. La pequeña variación entre las Figuras 4 yla del manual, se debe a los errores experimentales al momento de tomar losdatos, principalmente al inicio del estado transitorio, ya que las temperaturas se

10

tomaron cada 10s y variaban mucho al principio, entonces al momento de ver enel cronómetro, se pudo haber tomado a unos segundos más o unos menos, porejemplo se cogío la Temperatura a supuestamente 20s, pero en realidad pudohaberse tomado a 21s o a 19s, entonces esta incertidumbre se va acumulandopara cada una de las lecturas, lo que en general produce esa variación que sepercibe al comparar las Figuras mencionadas.

Un cálculo extra puede ser, agregar una linea de tendencia sobre la curvade Temperatura vs Posición, y presentar la ecuación de la mencionada curva,entonces se podría calcular la tempertura aproximada a 0,0375m donde es laThotface, y a 0,0675m donde es la Tcoldface, así se podría calcular el 4Tredpara después calcular el Gradred y así darnos cuenta de que los gradientes detemperaturas son inversamente proporcionales a las áreas de sección transversal.La grá�ca quedaría:

Figura 5: Temperatura vs Posición con linea de Tendencia

En cuanto a los errores se puede decir que para las áreas transversalesAhot, Aredy Acold no existe error debido a que las mismas se calculan con losdiámetros constantes preestablecidos la Figura 2, en lo que concierne a los4x′s,tampoco hay error por el mismo motivo explicado anteriormente para áreas.

Ahora en lo que corresponde a Thotfacey Tcoldface, al ser calculadas de datostomados experimentalmente, estas pueden variar debido a que al momento decolocar el voltaje de entrada se tiene un error de ±(0,1V − 0,3V ), ya que laperilla de control de voltaje del HT10X(Heat Transfer Service Unit) no es deprecisión, o también las temperaturas pueden variar por un cambio repentinoen el caudal que para nuestro caso está determinado en 1.5 litrosmin (las razones deeste cambio se explicaron anteriormente).

En relación a los 4T ′s se va a hablar solo para el error del4Treda 12V y

11

se va a explicar sus razones, ya que para los otros 4T ′s, las razones son lasmismas, entonces:

Es importante tomar en cuenta que la k en realidad no es constante como sela consideró, ya que esta varía con la tempertura, motivo por el cual los datos engeneral empiezan a variar y el error se empieza a acumular, este error es mínimopero al �n y al cabo es error y hay que considerarlo. Ahora bien como se observaen el apartado 3, 4Trederrorexperimental=69.6136%, este error es grande lo queindica que el experimento no estuvo del todo bien, pero la explicación puedeser que el procedimiento elegido y la tecnología disponible para realizar lasmediciones no es la apropiada, ya que como se explicó anteriormente una fallarepentina en el suministro de agua del laboratorio sucede frecuentemente en ellaboratorio, con lo que no se tiene la certeza para saber si los datos que se tomanson, o no los correctos, además de los errores humanos por falta de tecnologíaal momento del desarrollo del experimento, explicación por la cual tanto losGradhot,Gradred yrgrad también van a tener error ya que estos se calculan enrelacion a los datos obtenidos.

5 Conclusiones

Se pudo con�rmar la ecuación de Fourier al predecir que el gradiente de tempe-ratura es inversamente proporcional al área de sección transversal, por lo tantosi uno de los dos aumenta, el otro disminuye, o vice versa.

12

References

[Engineering Teaching and Research Equipment, Instruction Manual. "Linear Heat Conduction"]

13