A

B

C D

E

F

CON QU SABERES CUENTO? RESOLUCIN PASO POR PASO.

I.-PUNTOGRAMA MATEMTICO.

1.- LA SIGUIENTE TABLA TE SERVIR PARA TRAZAR UNA FIGURA GEOMTRICA. LA INFORMACIN DEL DE LA

COLUMNA DEL EJE x TE SERVIR PARA DETERMINAR LA COORDENADA DE DICHO EJE, LA COLUMNA DEL EJE y TE DAR

LA COORDENADA y. ANOTA AMBOS RESULTADOS EN DONDE SE TE PIDE DENTRO DE LA COLUMNA COORDENADAS.

FINALMENTE, LOCALIZA DICHAS COORDENADAS EN EL PLANO CARTESIANO Y AL FINAL UNE CON LNEAS LOS PUNTOS EN

EL SIGUIENTE ORDEN: A, B, C, D, E, QU FIGURA OBTIENES?

EJE x EJE y COORDENADAS (x,y)

( ) [

]

1. TODO NUMERO ELEVADO A LA 0 (POTENCIA ES IGUAL A 1).

2. TODA MULTIPLICACIN POR 0 ES IGUAL A 0.

POR LO TANTO:

( ) [

]

( ) [

]

SI CON DOS DOLARES COMPRAS 10/13 DE LIBRAS DE PION. CUNTO PION COMPRAS CON 13 DOLARES?

1. LA FORMA MS PRCTICA ES UTILIZAR LA REGLA DE 3.

POR LO TANTO:

RECUERDAN QUE LA REGLA DE 3 ES MULTIPLICAR 13 POR 10/13, Y EL RESULTADO DIVIDIRLO ENTRE 2,

A (-6,5)

CUL ES EL 30% DE 10 EUROS? 1. REDCUERDEN QUE COMO VIMOS EN

LA MATERIA VARIACIN EN LOS PROCESOS SOCIALES, 30% INDICA UN NDICE EN PORCENTAJE EL CUAL SE OBTIENE DE MULTIPLICAR UN NMERO EN DECIMALES Y MULTIPLICARLO POR 100, PARA REGRESAR AL NDICE SE DIVIDE EL PORCENTAJE ENTRE 100 Y SE MULTIPLICA STE INDICE POR 10, AS SABEMOS CUANTO REFLEJA UN 30% DE 10.

POR LO TANTO:

SI LOS TRINGULOS SON SEMEJANTES, CUL ES EL VALOR DE x (CONSIDERA EL SIGNO CONTRARIO EN TUS RESSULTADOS).

1. ESTE PROBLEMA SE RESUELVE POR MEDIO DE UN TEOREMA QUE SE LLAMA PROPORCIONALIDAD DE TALES O SEMAJANZA. EL CUAL DICE QUE LOS SEGMENTOS DE DOS TRIANGULOS SEMEJANTES SON PROPORCIONALES ENTRE SI, S CONSERVAN LOS MISMOS ANGULOS INTERIORES.

EL SEGMENTO ES PROPORCIONAL AL SEGMENTO , AS COMO EL SEGMENTO CON Y EL SEGMENTO CON EL .

B (3,-4)

POR LO TANTO

AS QUE SI TENMOS:

MEDIANTE UNA REGLA DE 3.

COMO DICE EL PROBLEMA QUE CONSIDERES SIGNO CONTRARIO (-).

10 JVENES COMEN CIERTO NMERO DE PIZZAS EN 27 MINUTOS. SI AHORA SE RENEN 30 JVENES CON LA MISMA NECESIDAD DE SACIAR SU APETITO, EN CUNTO TIEMPO SE DEVORAN EL MISMO NMERO DE PIZZAS?

1. ORDENAMOS LA ECUACIN SUPONIENDO ENTONCES QUE x = 27 (CUANDO x=10 JVENES). POR LO TANTO CUANDO HABLAMOS DE 30 JVENES SERA ENTONCES 3x (3 POR 10 Y 30 JVENES). LA ECUACIN QUEDARA:

DESPEJAMOS PARA x, Y EL TIEMPO SERA:

EN APOYA AL NO A LA VIOLENCIA INTRAFAMILIAR SE REPARTIERON

EQUITATIVAMENTE

METROS DE LISTN A

30 PERSONAS, CUNTOS METROS DE LISTN LE TOC A CADA PERSONA? (MULTIPLICA POR 10 EL RESULTADO)

1. ORDENAMOS UNA ECUACIN: POR LO TANTO:

RESOLVEMOS LA FRACCIN MIXTA:

C (9,2)

7

X

DESPEJAMOS PARA x.

EL PROBLEMA PIDE QUE MULTIPLIQUES POR 10 EL RESULTADO, POR LO TANTO:

[

] (

)

1. HACEMOS OPERACIONES DE

FRACCIONES DE SUMA, RESTA, DIVISIN Y MULTIPLICACIN.

POR LO TANTO:

( )

DIECISIS VECES LA PROBABILIDAD DE OBTENER UN GUILA EN UN VOLADO.

1. LA PROBABILIDAD ES UN NMERO ENTRE 0 Y 1, QUE INDICA LAS POSIBILIDADES QUE TIENE DE VERIFICARSE QUE UN SUCESO SE REPITA. POR EJEMPLO AL LANZAR UNA MONEDA EL CUAL SLO TIENE DOS OPCIONES DE RESULTADO VARIABLE (GUILA O SELLO) LA PROBABILIDAD PARA UNO U PARA OPTRO ES :

POR LO TANTO:

D (3,8)

ARTURO TIENE 3/2 LA EDAD DE SU HIJO, QUE TIENE 32 AOS. (DIVIDE EL RESULTADO ENTRE -8)

1. ORDENAMOS UNA RELACIN EN FUNCIN DE LA EDAD DEL NIO:

( )

CUANDO X=32, ENTONCES:

EL PROBLEMA PIDE QUE DIVIDAS EL RESULTADO ENTRE -8. ENTONCES:

CUL ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER UN SEIS AL TIRAR UN DADO? (RESTA 7/6 AL RESULTADO).

1. OBTENEMOS LA PROBABILIDAD. POR LO TANTO:

EL PROBLEMA PIDE QUE RESTES 7/6 AL RESULTADO. ENTONCES:

E (-6,-1)

PUNTOS EJE x EJE y

A -6 5

B 3 -4

C 9 2

D 3 8

E -6 -1

COORDENADAS

a c

YA TENEMOS LAS COORDENADAS:

LA GRFICA DE STOS DATOS QUEDA COMO SIGUE:

SE OBTIENE UNA FIGURA APARENTEMENTE DE UN PESCADITO.

2. DE LA FIGURA OBTENIDA EN EL PUNTOGRAMA ANTERIOR, EL SEGMENTO SE INTERSECTA EN UN PUNTO P

CON EL SEGMENTO . CON ESTA INFORMACIN REALIZA LO QUE SE TE PIDE.

CUANTO MIDE EL SEGMENTO . (SUGERENCIA: USA EL TEOREMA DE PITGORAS)

EL TEOREMA DE PITGORAS, QUE SE APLICA PARA TRINGULOS RECTNGULOS DICE LO SIGUIENTE:

EL CUADRADO DE LA HIPOTENUSA (c) ES IGUAL A LA SUMA DE LOS CUADRADOS

DE LOS CATETOS (a) Y (b).

POR LO TANTO:

LA COORDENADA APARENTE DEL PUNTO P ES (-3,2) Y LA DEL PUNTO E ES (-6,-1).

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

POR LO TANTO c = =

b

P

CALCULA EL REA DEL CUADRADO PBCD. (SUGERENCIA: USA EL TEOREMA DE PITAGORAS Y LA

FRMULA DEL REA = LADO*LADO).

LA COORDENADA APARENTE DEL PUNTO P ES (-3,2) Y LA DEL PUNTO B ES (3,-4)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

POR LO TANTO c = =

RECORDANDO LA PROPIEDAD DE LA RAZ Y DE LOS EXPONENTES QUE UNA RAZ TAMBIN PUEDE SER EXPRESADA

COMO UNA POTENCIA EN FRACCIN. POR LO TANTO:

APLICANDO LA FRMULA DEL REA DE UN CUADRADO L*L. RECORDEMOS ENTONCES DE IGUAL FORMA QUE CUANDO

TENEMOS UNA MISMA BASE EXPONENCIAL EN UNA MULTIPLICACIN LOS EXPONENTES SE SUMAN.

( ) ( )

TODO NMERO ELEVADO A LA PRIMERA POTENCIAL ES EL MISMO. POR CONSIGUIENTE:

MUESTRA QUE EL TRINGULO AEP ES SEMEJANTE AL TRINGULO PBD. (SUGERENCIA: UTILIZA LAS

PROPIEDADES DE LOS NGULOS CONGRUENTES).

COMO VIMOS EN UN EJERCICIO ANTERIOR DE TRINGULOS SEMEJANTES, UTILIZAMOS EL TEOREMA DE TALES:

EL SEGMENTO ES PROPORCIONAL AL SEGMENTO ; DE IGUAL FORMA EL SEGMENTO ES PROPORCIONAL AL

SEGMENTO , ESTO ES AS YA QUE LOS SEGMENTOS SON LINEALES Y ESTN UNIDOS POR UN MISMO VRTICE (EL

PUNTO P), CONSERVANDO DE STA FORMA EL PARALELISMO ENTRE LOS SEGMENTOS Y . PUDIENDO

ENTONCES DEMOSTRAR DICHA SEMEJANZA MATEMTICAMENTE COMO SIGUE:

( )

PRODUCTOS

x y=S1 y=S2

0 12.5 9.2

1 13.25 10.5

2 14 11.8

3 14.75 13.1

4 15.5 14.4

5 16.25 15.7

6 17 17

7 17.75 18.3

8 18.5 19.6

9 19.25 20.9

10 20 22.2

SALARIOS

II.- ECUACIONES LINEALES.

1. SI SE SABE QUE EL AGUA SE CONGELA A 0 CELSIUS, (32 FAHRENHEIT) Y HIERVE A 100C (212F), CAL DE LAS

SIGUIENTES ECUACIONES LINEALES EXPRESA LA RELACIN ENTRE LA TEMPERATURA EN GRADOS CELSIUS Y

GRADOS FAHRENHEIT?.

SI 0C = 32F, Y 100C = 212F, ENTONCES TENEMOS:

2. UN MIGRANTE MEXICANO TIENE DOS PUESTOS PARA ELEGIR EN UNA CORPORACIN GRANDE EN LOS ESTADOS

UNIDOS DE AMRICA. EN UNO DE ELLOS SE PAGA 12.50 DLARES POR HORA MS UNA COMPENSACIN

UNITARIA ADICIONAL DE 0.75 DLAR POR UNIDAD PRODUCIDA. EN EL OTRO SE LE PAGA 9.20 DOLARES POR

HORA MS UNA COMPENSACIN UNITARIA DE 1.30 DLARES.

a. DETERMINA LAS ECUACIONES LINEALES PARA LOS SALARIOS POR HORA, s, EN TPERMINOS DE x, EL

NMERO DE UNIDADES PRODUCIDAS POR HORA, PARA CADA PUESTO.

b. USA UN INSTRUMENTO (SOFTWARE, FRMULAS TABLAS, ETC.) PARA CONSTRUIR LAS GRFICAS DE LAS

ECUACIONES LINEALES EN UN MISMO PLANO CARTESIANO Y ENCUENTRA EN PUNTO DE INTERSECCIN.

c. INTERPRETA EL SIGNIIFCADO DEL PUNTO DE INTERSECCIN DE LAS GRFICAS DEL INCISO (b). CMO

PODRAS USAR STA INFORMACIN PARA SELECCIONAR EL PUESTO CORRECTO SI EL OBJETIVO FUERA

OBTENER EL SALARIO MEJOR PAGADO POR HORA DE TRABAJO?

LA ECUACIN EN EL PRIMER CASO ES:

LA ECUACIN EN EL SEGUNDO CASO ES:

SI SE SUPONEN VALORES DE x PARA AMBAS ECUACIONES Y LAS GRAFICAMOS, OBTENEMOS

LO SIGUIENTE:

LO QUE NOS INDICA EL PUNTO DE INTERSECCIN ES EL PUNTO EN EL QUE AMBAS EMPRESAS

PAGARAN LOS MISMO POR UNA MISMA CANTIDAD DE PRODUCTOS ELABORADOS; AS

DEPENDE QUE S LO QUE LO QUE BUSCAMOS; SI QUEREMOS MAYOR RENDIMIENTO DE DINERO

POR HORA TRABAJADA, TENDRAMOS QUE PRODUCIR MS DE 6 PRODUCTOS Y SERA LA

SEGUNDA OPCIN DE EMPLEO; SIN EMBARGO, SI LAS EXPECTATIVAS SON BAJAS ACERCA DE LA

PRODUCCIN POR OTRAS VARIABLES (MAQUINARIA, CAPACITACIN, COMPLEJIDAD, ETC) LA

OPCIN PRIMERA OFRECE MAYOR RENDIMIENTO YA QUE SE OBTIENE MAYOR PAGO QUE LA

OPCIN 2 CON MENOS DE 6 PRODUCTOS PRODUCIDOS.

3. DOS SOLUCIONES DE UN CIDO, UNA CON 97% Y OTRA CON 90%, SE MEZCLAN PARA OBTENER 21 LT DE UNA

SOLUCIN CON 95%. CUNTOS LITROS DE CADA SOLUCIN SE EMPLEAN?

PRIMERA ECUACIN:

SEGUNDA ECUACIN: (95% DE 21=19.95)

MTODO ALGEBRAICO POR SUMA Y RESTA (EXISTEN OTROS MTODOS COMO EL DE

SUSTITUCIN E IGUALACIN, AS COMO EL GRFICO) PERO STE MTODO ES EL MS SIMPLE.

PARA PODER ELIMINAR UNA VARIABLE TENEMOS QUE BUSCAR HACER UNA SUMA Y RESTA ENTRE AMBAS ECUACIONES,

DE TAL MANERA QUE UNA DE MIS VARIABLES SE ELIMINEN, EN STE CASO SE VA ELIMINAR LA y Y PARA DODER

HACERLO, VAMOS A MULTIPLICAR TODA LA PRIMERA ECCUACIN POR -0.90, QUEDANDO DE LA SIGUIENTE MANERA:

AHORA SI PODEMOS HACER LA SUMA Y RESTA:

__________ ____________

DESPEJAMOS PARA x.

SUSTITUMOS ESE VALOR DE x EN CUALQUIERA DE LAS PRIMERAS DOS ECUACIONES.

DESPEJAMOS PARA y

COMPROBAMOS EN LA SEGUNDA ECUACIN AMBOS RESULTADOS

( ) ( )

RECUERDA QUE 19.95 ERA EL 95%DE LA SOLUCIN.

MTODO GRFICO:

SE HACEN LOS TABULADORES PARA AMBAS ECUACIONES:

x y1 y2

0 21 22.2

1 20 21.1

2 19 20.0

3 18 18.9

4 17 17.9

5 16 16.8

6 15 15.7

7 14 14.6

8 13 13.5

9 12 12.5

10 11 11.4

11 10 10.3

12 9 9.2

13 8 8.2

14 7 7.1

15 6 6.0

16 5 4.9

17 4 3.8

18 3 2.8

19 2 1.7

20 1 0.6 LA INTERSECCIN ES EL PUNTO EN DONDE SE SATISFACEN AMBAS ECUACIONES, POR LO TANTO EL RESULTADO

DESEADO (15,6).

4. UNA TRIPULACIN SE DESPLAZA 28 KILMETROS POR HORA A FAVOR DE LA CORRIENTE Y 24 KILMETROS EN

TRES HORAS CONTRA LA CORRIENTE. HALLAR LA VELOCIDAD DEL BOTE EN AGUA TRANQUILA Y LA VELOCIDAD

DEL AGUA EN EL RIO.

PRIMERA ECUACIN:

SEGUNDA ECUACIN: (24km/3hr = 8km/hr)

MTODO ALGEBRICO POR SUMA Y RESTA.

HACEMOS LA SUMA Y RESTA.

________ ________

DESPEJANDO PARA x

( )

SUSTITUYENDO EL RESULTADO EN LA PRIMERA ECUACIN:

DESPEJAMOS PARA y.

x y1 y2

0 28 -8

1 27 -7

2 26 -6

3 25 -5

4 24 -4

5 23 -3

6 22 -2

7 21 -1

8 20 0

9 19 1

10 18 2

11 17 3

12 16 4

13 15 5

14 14 6

15 13 7

16 12 8

17 11 9

18 10 10

19 9 11

20 8 12

( )

COMPROBAMOS EN LA SEGUNDA ECUACIN.

MTODO GRFICO.

SE HACEN LOS TABULADORES PARA AMBAS ECUACIONES.

LA INTERSECCIN ES EL PUNTO QUE SATISFACE AMBAS ECUACIONES, POR LO TANTO ES LA SOLUCIN AL PROBLEMA:

(18,10).

III. RELACIONES Y FUNCIONES:

1. UN ESTUDIANTE QUE RECORRE DIARIAMENTE 7 KILMETROS PARA ASISITIR A LA UNIVERSIDAD RECUERDA,

QUE DESPUS DE MANEJAR SU AUTOMVIL ALGUNOS MINUTOS, QUE SE LE HA OLVIDADO EL TRABAJO FINAL

QUE DEBE ENTREGAR. MANEJANDO MS RPIDO QUE DE COSTUMBRE, EL ESTUDIANTE REGRESA A SU CASA,

RECOGE EL TRABAJO Y DE NUEVO SE DIRIGE HACIA LA ESCUELA. DIBUJA UNA GRFICA POSIBLE DE LA DISTANCIA

RECORRIDA POR EL ESTUDIANTE DESDE SU CASA, COMO FUNCON DEL TIEMPO.

COMO NO MENCIONA TIEMPOS NI DISTANCIAS ENTRE LOS CAMBIOS DE DIRECCIN, TOMAREMOS

SLO COMO DATO EL DE 7 KM DE QUE SE RECORRE DESDE SU CASA A LA ESCUELA Y MOSTRAREMOS

ESOS CAMBIOS COMO VARIABLES.

x y1

0 0

T1 D1

T2 0

T3 7

TABULAR:

2. EN UNA CONFERENCIA INTERNACIONAL HABIA 112 DELEGADOS; 68 HABLABAN ALEMAN, 80 HABLABAN

FRANCES Y 64 ITALIANO, ADEMS 28 DELEGADOS HABLABAN EXCLUSIVAMENTE FRANCES, MIENTRAS QUE 45

HABLABAN ALEMAN Y FRANCES; 51 HABLABAN FRANCES E ITALIANO Y 48 HABLABAN ITALIANO Y ALEMAN. SI

TODOS HABLABAN AL MENOS UN IDIOMA: CUNTOS HABLAN LOS TRES IDIOMAS?, CUNTOS HABLAN SLO

ITALIANO? QUEDA PENDIENTE LO DEMS.

T1 T2 T3