TEMA 11. FENÓMENOS TRANSITORIOS. 11 Fenómenos ...

20
Equipo Docente de Fundamentos Físicos de la Informática. Dpto.I.I.E.C.-U.N.E.D. Curso 2001/2002. Pag.11.1 TEMA 11. FENÓMENOS TRANSITORIOS. 11 Fenómenos transitorios. Introducción. 11.1. Evolución temporal del estado de un circuito. 11.2. Circuitos de primer y segundo orden. 11.3. Circuitos RL y RC en régimen transitorio. Aplicaciones y ejemplos. 11.3.1. Circuitos sin fuentes de excitación y condiciones iniciales no nulas.. 11.3.2. Circuitos con fuentes de excitación y condiciones iniciales nulas. 11.3.3. Circuitos con fuentes de excitación y condiciones iniciales no nulas. 11. Fenómenos transitorios. Introducción. En este tema se va abordar el estudio de la evolución de una magnitud eléctrica a lo largo del tiempo. Anteriormente se había estudiado el comportamiento de las magnitudes eléctricas en circuitos de corriente continua pero sin tener en cuenta el momento de la conexión de la fuente, o fuentes, al resto del circuito, es decir, partiendo del supuesto de que el circuito, que por ejemplo en su momento analizamos por mallas, está conectado a sus fuentes desde un tiempo suficiente como para que no se produzcan cambios en el tiempo de los valores de las magnitudes del circuito. 11.1. Evolución temporal del estado de un circuito. Un circuito eléctrico o electrónico debe conectarse en un momento dado a las fuentes para que le suministren la energía necesaria para su funcionamiento. Si el circuito posee elementos almacenadores de energía (condensadores e inductancias) es probable que durante un cierto espacio de tiempo la magnitudes eléctricas de dicho circuito varíen de una forma muy acusada hasta estabilizarse en unos valores que luego se mantendrán durante el resto del tiempo. Ese intervalo de tiempo antes de alcanzar la estabilización se denomina régimen transitorio. El tiempo restante caracterizado por una cierta estabilidad se denomina régimen permanente o estacionario. Ejemplo 11.1. Aunque se estudiará con mayor detalle posteriormente, considérese el circuito de la figura 11.1 formado por una fuente ideal de tensión de 12V, un interruptor INT, dos resistencias iguales (R1, R2) de 1kcada una y un condensador de 1μF, y donde todos los elementos se encuentran en serie a excepción del condensador que está en paralelo con R2. En el instante t=0s se cierra el interruptor y suponiendo que el condensador está inicialmente descargado, la tensión entre los extremos del mismo es nula. Al cabo de cierto tiempo la tensión entre los terminales de R2 es la misma que habría si no existiese el condensador y permanecerá así mientras Figura 11.1

Transcript of TEMA 11. FENÓMENOS TRANSITORIOS. 11 Fenómenos ...

Page 1: TEMA 11. FENÓMENOS TRANSITORIOS. 11 Fenómenos ...

Equipo Docente de Fundamentos Físicos de la Informática. Dpto.I.I.E.C.-U.N.E.D. Curso 2001/2002.

Pag.11.1

TEMA 11. FENÓMENOS TRANSITORIOS.

11 Fenómenos transitorios. Introducción.11.1. Evolución temporal del estado de un circuito.11.2. Circuitos de primer y segundo orden.11.3. Circuitos RL y RC en régimen transitorio. Aplicaciones y ejemplos.

11.3.1. Circuitos sin fuentes de excitación y condiciones iniciales no nulas..11.3.2. Circuitos con fuentes de excitación y condiciones iniciales nulas.11.3.3. Circuitos con fuentes de excitación y condiciones iniciales no nulas.

11. Fenómenos transitorios. Introducción.En este tema se va abordar el estudio de la evolución de una magnitud eléctrica a lo largo del

tiempo. Anteriormente se había estudiado el comportamiento de las magnitudes eléctricas encircuitos de corriente continua pero sin tener en cuenta el momento de la conexión de la fuente, ofuentes, al resto del circuito, es decir, partiendo del supuesto de que el circuito, que por ejemplo ensu momento analizamos por mallas, está conectado a sus fuentes desde un tiempo suficiente comopara que no se produzcan cambios en el tiempo de los valores de las magnitudes del circuito.

11.1. Evolución temporal del estado de un circuito.Un circuito eléctrico o electrónico debe conectarse en un momento dado a las fuentes para

que le suministren la energía necesaria para su funcionamiento. Si el circuito posee elementosalmacenadores de energía (condensadores e inductancias) es probable que durante un cierto espaciode tiempo la magnitudes eléctricas de dicho circuito varíen de una forma muy acusada hastaestabilizarse en unos valores que luego se mantendrán durante el resto del tiempo. Ese intervalo detiempo antes de alcanzar la estabilización se denomina régimen transitorio. El tiempo restantecaracterizado por una cierta estabilidad se denomina régimen permanente o estacionario.

Ejemplo 11.1. Aunque se estudiará con mayor detalle posteriormente, considérese elcircuito de la figura 11.1 formado por una fuente ideal de tensión de 12V, un interruptor INT, dosresistencias iguales (R1, R2) de 1kΩ cada una y un condensador de 1µF, y donde todos loselementos se encuentran en serie a excepción del condensador que está en paralelo con R2. En elinstante t=0s se cierra el interruptor y suponiendo que el condensador está inicialmente descargado,la tensión entre los extremos del mismo es nula. Al cabo de cierto tiempo la tensión entre los

terminales de R2 es la misma que habría si no existiese el condensador y permanecerá así mientras

Figura 11.1

Page 2: TEMA 11. FENÓMENOS TRANSITORIOS. 11 Fenómenos ...

Equipo Docente de Fundamentos Físicos de la Informática. Dpto.I.I.E.C.-U.N.E.D. Curso 2001/2002.

Pag.11.2

Figura 11.2

no se abra el interruptor. En el instante t en el que las tensiones en los diferentes puntos del circuitose puede considerar que dejan de variar se dice que se ha alcanzado el régimen estacionario opermanente, hasta ese instante se dice que el circuito se encuentra en régimen transitorio.

Ejemplo 11.2. Supóngase el circuito del ejemplo anterior pero sin condensador. En este casoel régimen permanente se alcanzará en el mismo instante de cerrar el interruptor, es decir, en estecircuito no existe régimen transitorio pues carece de elementos almacenadores de energía.

Algunos circuitos trabajan fundamentalmente como una sucesión de transiciones entre dossituaciones o régimenes permanentes. Ese es el caso, por ejemplo, de muchos circuitos digitales quefuncionan conmutando la tensión de su salida entre 0V y 5V, y en lo cuales interesa que dichasconmutaciones sean lo más rápidas posibles. Para lograrlo parece lógico diseñarlos sin elementosalmacenadores de energía, sin embargo ocurre que esto es totalmente imposible y lo más que sepuede hacer es intentar minimizar su tamaño al máximo. Así un circuito realizado físicamente sobreun circuito impreso (soporte físico sobre el que se disponen los componentes eléctricos yelectrónicos así como las conexiones de cobre o “pistas”) siempre presenta capacidades einductancias originadas por la propia disposición espacial de los conductores o pistas. A estascapacidades e inductancias se les añade el calificativo de parásitas pues no son deseadas en eldiseño y que, a lo sumo, se pueden reducir mediante un elaboradísimo diseño del trazado de laspistas. Estos elementos almacenadores de energía producirán retrasos en las conmutaciones que,junto a otros problemas, limitan la velocidad de funcionamiento de dicho circuito.

El análisis cuantitativo de los fenómenos transitorios es complejo y comienza por laobtención de una representación matemática de dicho fenómeno. Dicha representación conduce aecuaciones o sistemas de ecuaciones que contienen, además de variables de corriente y tensión,integrales y derivadas con respecto al tiempo de estas mismas variables. Por lo tanto, para estudiarcuantitativamente cualquiera de estos circuitos sería preciso que el alumno conociera la teoríamatemática de las ecuaciones diferenciales. Por esta razón, en este curso, solamente se abordaráncierto tipo de circuitos que pueden ser estudiados sin un conocimiento profundo de dicha teoría.

La resolución de la representación matemática de la evolución del circuito conduce a laobtención de funciones temporales que representan a las corrientes y tensiones en los diferentespuntos del mismo.

11.2. Circuitos de primer y segundo orden.

Como se ha comentado anteriormente, el estudio de los fenómenos transitorios se iniciaobteniendo una representación matemática de dicho circuito. Si el circuito contiene elementosalmacenadores de energía entonces el valor de cada magnitud eléctrica en un instante cualquiera, t,dependerá de lo que ocurre en los otros puntos de ese circuito en ese instante t así como de lo que hasucedido anteriormente en los elementos almacenadores de energía.

Ese comportamiento que dota de cierta “memoria” al circuito se debe a las siguientesrelaciones existentes entre tensión y corriente en cada elemento almacenador.

En un condensador de capacidad C se sabe que su carga y latensión entre sus extremos se relacionan por

QC = C uC, (11.1.)

pero si se tiene en cuenta que estas magnitudes pueden variar con el tiempoes más apropiado escribir

Page 3: TEMA 11. FENÓMENOS TRANSITORIOS. 11 Fenómenos ...

Equipo Docente de Fundamentos Físicos de la Informática. Dpto.I.I.E.C.-U.N.E.D. Curso 2001/2002.

Pag.11.3

QC (t) = C uC(t), (11.2.)

y teniendo en cuenta la conocida ecuación

dt(t))d(Q

(t)iC

C = (11.3.)

se llega a

∫= dttiC

tu CC )(1

)( (11.4.)

siendo la carga almacenada en el condensador igual al término integral de la ecuación y laresponsable de que la tensión instantánea dependa de lo que haya sucedido anteriormente con lacorriente que recorre dicho condensador.

En una inductancia con coeficiente de autoinducción no variable y devalor L, la relación existente entre tensión y corriente se deduce de tener encuenta la definición de inductancia

,(t)i(t)F NL

L

m= (11.5.)

donde Φm(t) es el flujo magnético a través de cada espira de la bobina oinductancia, y de la aplicación de la ley de Faraday,

d(t)tdF

N (t) uL)(

= (11.6.)

obteniéndose

d(t)(t)Ldi

d(t)(t)dLi

(t) uLL

L == (11.7.)

Si se construye ahora un circuito con cualquiera de estos componentes y una resistencia, sedice que el circuito es un circuito lineal de primer orden. En las figuras 11.4 se representan doscircuitos que responden a estas características. El primero es un circuito RC paralelo peroalimentado por una fuente de intensidad o corriente en paralelo lo que es equivalente a (equivalenteThevenin de la fuente de intensidad o corriente en paralelo con la resistencia) a un circuito RC serie.El segundo circuito es un circuito RL serie alimentado por una fuente de tensión en serie.

Considérese, por ejemplo, el circuito de la figura 11.4.a.

Figura 11.3

Figura 11.4

Page 4: TEMA 11. FENÓMENOS TRANSITORIOS. 11 Fenómenos ...

Equipo Docente de Fundamentos Físicos de la Informática. Dpto.I.I.E.C.-U.N.E.D. Curso 2001/2002.

Pag.11.4

Aplicando la primera ley de Kirchhoff al nudo A se tiene:

iC (t) + iR (t) = i(t) (11.8.)

y sustituyendo en función de uC y dividiendo por C:

)(11

tiC

uRCdt

duC

C=+ (11.9.)

Si en lugar de tomar como variable la tensión en el condensador se hubiese elegido laintensidad en el mismo o en la resistencia, también se llegaría a una ecuación diferencial similar a laecuación 11.9. Por ejemplo, expresando que la tensión en C y en R es la misma y siendo uC(0) latensión en el condensador para t=0s, resulta la ec. 11.10 y derivando con respecto a t y ordenando seobtiene finalmente la ec. 11.11.

[ ])()()(1

)0(0

titiRdzziC

u Ct

CC −=+ ∫ (11.10.)

dtdi

iRCdt

diC

C=+

1(11.11.)

Estas representaciones matemáticas de un circuito se denominan ecuaciones diferencialespues contienen en la misma ecuación una variable, uC por ejemplo, y su derivada. Como la derivadacontenida es de primer orden la ecuación se denomina de primer orden. Cuando el circuito es deltipo RC o RL la ecuación diferencial resultante es de primer orden. Si el circuito fuese del tipo RLCo sea, con esos elementos en serie, entonces la representación matemática resultante contendría unavariable, su derivada primera y su derivada segunda. A este último tipo de ecuaciones y a loscircuitos que las originan se les denomina de segundo orden. Nuestro estudio se va a restringir alestudio de los circuitos de primer orden.

Análogamente al desarrollo obtenido para un circuito RC se puede proceder para el circuitoRL de la fig. 11.4.b se puede escribir:

uL (t) + uR (t) = e (t) (11.12.)

y sustituyendo en función de iL y dividiendo por L:

)(1

teL

iLR

dtdi

LL

=+ . (11.13.)

En general, puede afirmarse que todo circuito compuesto por un número cualquiera deresistencias y fuentes independientes, pero que contenga un solo elemento almacenador de energía,bobina o condensador, es un circuito de primer orden.

Para estudiar el comportamiento de un circuito a partir de un instante t=0s deberánconsiderarse, además de su configuración, las condiciones iniciales del mismo, es decir, la cargainicial del elemento almacenador de energía que interviene en el circuito.

Si el elemento almacenador de energía es un condensador, recuérdese que la tensión enbornes de un condensador no puede variar bruscamente.

Page 5: TEMA 11. FENÓMENOS TRANSITORIOS. 11 Fenómenos ...

Equipo Docente de Fundamentos Físicos de la Informática. Dpto.I.I.E.C.-U.N.E.D. Curso 2001/2002.

Pag.11.5

En efecto, en un sistema físico ninguna variable puede ser infinita, y esto es lo que sucederíacon la intensidad de un condensador si su tensión variase bruscamente, al ser

dtdu(t)

C (t)iC = (11.14.)

Para el caso de que el elemento almacenador de energía sea una bobina debe tenerse encuenta que la intensidad por una bobina no puede variar bruscamente.

En efecto, si la intensidad en la bobina variase bruscamente, la tensión debería hacerseinfinita, al ser

dtdi(t)

L (t)uL = (11.15.)

11.3. Circuitos sin fuentes de excitación y condiciones iniciales no nulas.

En circuitos sin fuentes de excitación pueden existir corrientes y tensiones debido a laenergía almacenada en las inductancias o en los condensadores.

Se llamará “respuesta a entrada cero” a la obtenida en un circuito sobre el que no actúa ningunafuente independiente, estando únicamente sometido a la excitación debida a la carga inicial de suselementos almacenadores de energía.

Considérese el circuito de la figura 11.5.a. El interruptor S2 está abierto y mientras que S1está cerrado, existiendo una tensión E en bornes del condensador. Si en el instante t = 0 se abre S1 yse cierra S2, el condensador se descargará a través de la resistencia R, de acuerdo con el circuito dela figura 11.5.b.

A partir de t=0s el comportamiento del circuito de la figura 11.5.b viene definido por:

u(t) = R i(t) para t≥0 y u(0)=E (11.16.)

Como para el condensador se cumple:

dtdu(t)

C (t)iC −= (11.17.)

las expresiones anteriores pueden escribirse

Figura 11.5

Page 6: TEMA 11. FENÓMENOS TRANSITORIOS. 11 Fenómenos ...

Equipo Docente de Fundamentos Físicos de la Informática. Dpto.I.I.E.C.-U.N.E.D. Curso 2001/2002.

Pag.11.6

EuytparauRCdt

du=≥=+ )0(00

1(11.18.)

Si se hubiese tomado como variable la intensidad, al ser:

∫−=t

dzziC

utu0

)(1

)0()(

las dos expresiones de (11.16) quedarían en la forma:

∫ ≥=+t

tparaudzziC

tRi0

0)0()(1

)(

u(0) = E

donde se pone de manifiesto, con claridad, la importancia de considerar el valor inicial de la tensión,u(0). Si se deriva con respecto al tiempo queda:

001

≥=+ tparaiRCdt

di

Para describir completamente el circuito es preciso especificar el valor inicial de i(t). A partirde (11.16) se obtiene:

RE

Ru

i ==)0(

)0(

Nótese que las ecuaciones diferenciales en función de la tensión o de la intensidad sonidénticas, variando únicamente el valor inicial de la variable considerada. Ambas ecuaciones sondiferenciales, lineales, de primer orden y homogéneas. La solución general de la ecuacióndiferencial (11.18) es:

RCt

eKtu−

= 1)( (11.19.)

El valor de la constante K1 se determina a partir de la condición inicial u(0) = E. Haciendot=0s en (11.19) resulta:

E = K1

con lo que la expresión de u(t) en el circuito estudiado es:

0)( ≥=−

tparaeEtu RCt

(11.20.)

análogamente se obtiene para la intensidad:

0)( ≥=−

tparaeRE

ti RCt

(11.21.)

En la figura 11.6 se representan las gráficas de ambas variables.

Page 7: TEMA 11. FENÓMENOS TRANSITORIOS. 11 Fenómenos ...

Equipo Docente de Fundamentos Físicos de la Informática. Dpto.I.I.E.C.-U.N.E.D. Curso 2001/2002.

Pag.11.7

El producto RC que caracteriza la respuesta exponencial de ambas variables tiene dimensiónde tiempo y recibe el nombre de “constante de tiempo del circuito”.

τ = RC

Si R viene dada en ohmios y C en faradios, τ viene expresado en segundos. La inversa dedicho término tiene la dimensión de una frecuencia y se denomina “frecuencia natural delcircuito”.

El hecho de que se le llame “frecuencia” no debe inducir a confusión pensando que da lugara oscilaciones de tipo senoidal en la respuesta. Este nombre proviene de la dimensión del término.En cuanto al calificativo de “natural” se debe al hecho de que caracteriza la respuesta del sistemacuando no existen fuentes de excitación externas. Es decir, caracteriza la que podemos llamarrespuesta propia, libre o natural del circuito.

En este caso particular, la no existencia de fuentes de excitación implica el que, transcurridoun tiempo infinito, todas las tensiones e intensidades son nulas. Esto es lógico, ya que la energíaalmacenada inicialmente en el condensador acaba por disiparse totalmente en la resistencia.

El tiempo necesario para cualquier variable pase de su valor inicial a cero es infinito. Sinembargo, transcurrido un tiempo τ se ha producido un 63,2 por 100 de esta variación, pasado untiempo 2τ el 86,5 por 100 y pasado un tiempo 3τ el 95 por 100. Es decir, cuanto menor es laconstante de tiempo, mayor es la rapidez con que el circuito tiende a su estado final, pudiendoconsiderarse que se ha alcanzado dicho estado final al cabo de un tiempo igual a tres o cuatro vecesel valor de τ. Muchos autores prefieren valores más conservadores y consideran que el estado finalse alcanza después de un tiempo igual o superior a cinco veces la constante de tiempo, pero loverdaderamente importante es que esta constante es un buen referente de la rapidez de respuesta deun circuito.

Para fijar ideas, considérese de nuevo el circuito de la figura 11.5, pero asignando lossiguientes valores a los diferentes componentes:

E = 100 V; R = 10 Ω; C = 20µF

De acuerdo con (11.20), la tensión en el condensador es:

0100)( 0002,0 ≥=−

tparaetut

Figura 11.6

Page 8: TEMA 11. FENÓMENOS TRANSITORIOS. 11 Fenómenos ...

Equipo Docente de Fundamentos Físicos de la Informática. Dpto.I.I.E.C.-U.N.E.D. Curso 2001/2002.

Pag.11.8

la constante de tiempo del circuito es:

τ = RC = 10⋅20⋅10-6 s = 2⋅10-4 s = 0,2 ms

mientras que la frecuencia natural del circuito resulta:

so = 1/RC = 5000 s-1

La tensión en el condensador al cabo de un tiempo τ es:

u(τ) = 100 e-5000⋅0,0002 = 36,788V

es decir, ha sufrido una variación del 63,2 %. Del mismo modo, al cabo de un tiempo 3τ la tensiónen el condensador es: u(3τ) = 100 e-3 = 4,98V y al cabo de un tiempo 4τ: u(4τ) = 100 / e4 = 1,83 V.Es decir, al cabo de 4 ⋅ 0,2ms = 0,8 ms ya se ha producido un 98,17 por 100 de la variación total dela tensión en el condensador.

Derivando la expresión (11.20) con respecto a t, y haciendo t = 0, se tiene la pendiente en elorigen de la tensión:

τE

RCE

dttdu

t−=−=

=0

)(

es decir, la pendiente en el origen corta al eje de tiempos en el punto t = τ. Esto confirma la idea deque cuanto menor es τ (mayor pendiente en el origen) mayor es la rapidez con la que el circuitotiende a su estado final.

Por último, se hará notar que la respuesta del circuito a entrada cero es proporcional a lacarga inicial del elemento almacenador de energía. A partir de las expresiones (11.20) y (11.21) seaprecia fácilmente que la tensión u y la intensidad i son proporcionales a la tensión inicial en elcondensador, E.

Los resultados obtenidos para el circuito RC de la figura 11.5 son aplicables a cualquiercircuito que contenga cualquier número de resistencias y un solo elemento almacenador de energía,inicialmente cargado.

Nótese que, si existe un solo elemento almacenador de energía, la ecuación diferencial quecaracteriza el circuito es de primer orden, ya que ese elemento define una sola condición, su cargainicial.

Page 9: TEMA 11. FENÓMENOS TRANSITORIOS. 11 Fenómenos ...

Equipo Docente de Fundamentos Físicos de la Informática. Dpto.I.I.E.C.-U.N.E.D. Curso 2001/2002.

Pag.11.9

Se resumen a continuación las propiedades más importantes de estos circuitos de primerorden sin fuentes de excitación.

1) La respuesta a entrada cero viene definida por una ecuación diferencial lineal yhomogénea del tipo:

01

=+ fdtdf

τ(11.22.)

en donde f representa la tensión o intensidad en cualquier elemento del circuito, carga en elcondensador o flujo en la bobina, es decir, cualquier de las variables del circuitoconsiderado.

2) La solución de la ecuación (11.22) es:

f(t) = f(0) e- t/τ para t > 0 (11.23.)

en donde f(0) es el valor de la variable f para t = 0, que se determina a partir de lascondiciones iniciales.

3) De acuerdo con lo anterior, todas las variables del circuito vienen caracterizadaspor la misma variación de tipo exponencial, difiriendo unas de otras en su valor inicial.

4) El coeficiente 1/τ en la expresión exponencial es la llamada frecuencia naturaldel circuito, que se expresa en s-1.

5) τ es la constante de tiempo del circuito que se expresa en segundos. Para uncircuito formado por una resistencia y un condensador se ha visto que dicha constante es: τ= RC. Del mismo modo para un circuito formado por una resistencia y una bobina se veráque dicha constante es L/R, siendo L la inductancia de la bobina.

6) Cuanto menor es la constante de tiempo del circuito, mayor es la velocidad con laque las variables se aproximan a su estado final.

7) La respuesta del circuito es proporcional a la carga inicial del elementoalmacenador de energía.

Ejemplo 11.3. En el circuito de la figura 11.7 el interruptor S1 pasa a la posición b para t=0s,y simultáneamente se cierra el interruptor S2. Calcular las expresiones de la tensión en la bobina y laintensidad en la resistencia para t ≥ 0, así como la energía disipada en R desde t = 0 hasta t = ∞.

Figura 11.7

Page 10: TEMA 11. FENÓMENOS TRANSITORIOS. 11 Fenómenos ...

Equipo Docente de Fundamentos Físicos de la Informática. Dpto.I.I.E.C.-U.N.E.D. Curso 2001/2002.

Pag.11.10

La intensidad por la bobina, justo antes de efectuarse el cambio de posición de losinterruptores, es:

iL (t<0) = IDicha intensidad no variará bruscamente al cambiar los interruptores; luego:

iL (t<0) = iL (0) = I.

El circuito a estudiar se representa en la figura 11.8.

Las ecuaciones que definen este circuito son:

IietparaRidtdi

L −=≥=− )0(0

o bien

IietparaiLR

dtdi

−=≥=+ )0(00

Comparando con la expresión (11.22) se tiene que la constante de tiempo para este circuitoes τ=L/R, pudiéndose escribir inmediatamente, para t≥0:

LRt

LRt

eIRtuyeIti−−

−=−= )()(

La energía disipada en la resistencia desde t = 0 hasta t = ∞ es:

22

0 0

2

21

LIdteIRdtiuW LRt

===−

∞ ∞

∫ ∫que coincide, como es lógico, con la energía almacenada en la bobina en el instante inicial.

La expresión (11.23) indica que, para calcular la respuesta de un circuito que contiene unsolo elemento almacenador de energía, y en el que no existen fuentes de excitación, basta conocer elestado inicial de ese elemento y la constante de tiempo del circuito.

Figura 11.8

Page 11: TEMA 11. FENÓMENOS TRANSITORIOS. 11 Fenómenos ...

Equipo Docente de Fundamentos Físicos de la Informática. Dpto.I.I.E.C.-U.N.E.D. Curso 2001/2002.

Pag.11.11

La sustitución de dos o más elementos por su equivalente no variará la respuesta del circuitoy, por consiguiente, no influirá sobre su constante de tiempo. Por tanto, para calcular la constante detiempo de un circuito que contenga varias resistencias procederemos de la siguiente manera:

1) Se calcula la resistencia equivalente, Req, respecto de los bornes del elementoalmacenador de energía.

2) Si dicho elemento es un condensador de C faradios, la constante de tiempo del circuito es:

τ = Req C

3) Si dicho elemento es una bobina de L henrios, la constante de tiempo del circuito es:

τ = L/Req

Ejemplo 11.4. El condensador de la figura 11.9 tiene una carga inicial de 3 culombios. Elinterruptor S se cierra para t = 0. Calcular la expresión de la intensidad por la resistencia de 3Ω parat ≥ 0.

La tensión inicial en el condensador es:

u(t<0) = u(0) = q(0)/C = 3/0,005 = 600V

de donde:

Vu 200

6363

4

6363

600)0(1 =

+⋅+

+⋅

=

La resistencia equivalente, vista desde el condensador, es:

Ω=+⋅

= 66363

4Req

luego la constante de tiempo del circuito es:

Figura 11.9

Page 12: TEMA 11. FENÓMENOS TRANSITORIOS. 11 Fenómenos ...

Equipo Docente de Fundamentos Físicos de la Informática. Dpto.I.I.E.C.-U.N.E.D. Curso 2001/2002.

Pag.11.12

τ = Req C = 6 ⋅ 5 ⋅ l0-3 = 3 ⋅ 10-2 s

y de acuerdo con (11.23) se tiene:

st

eti 03,01

3200

)(−

=

Nótese que la tensión en el condensador no cambia al cerrar el interruptor, por lo que elcálculo de las condiciones iniciales en la resistencia de 3Ω se ha hecho partiendo de que la tensióninicial entre A y B es de 600 V, es decir, considerando al condensador como una fuente de tensiónideal de valor igual a su tensión inicial.

Si se hubiese tratado de una bobina, ésta se comportaría inicialmente, con respecto al restodel circuito, como una fuente de intensidad ideal de valor igual a la intensidad que recorre la bobinaen el instante inicial. Es decir:

1) Para el cálculo de valores iniciales en un circuito, un condensador cargado se sustituye poruna fuente ideal de tensión, de valor igual a su tensión inicial. Si el condensador está descargado,U=0V, se comporta inicialmente como un cortocircuito.

2) Para el cálculo de valores iniciales en un circuito, una bobina cargada se sustituye por unafuente ideal de intensidad, de valor igual a la intensidad que inicialmente la recorre. Si la bobinaestá descargada, I=0A, se comporta inicialmente como un circuito abierto.

11.4. Circuitos con fuentes de excitación y condiciones iniciales nulas.

Considérese a continuación el caso de un circuito en el que no hay ningún elemento cargadoy en el que actúan fuentes de excitación independientes a partir de un instante inicial t = 0. Antes dedicho instante, todas las variables del circuito son nulas, por lo que llamaremos a la respuestaobtenida “respuesta a estado inicial cero”.

Sea el circuito representado en la figura 11.10. El condensador C está descargado y elinterruptor S, que está cerrado inicialmente, se abre en el instante t = 0.

Tomada como incógnita la tensión u en el condensador, se cumple que

Figura 11.10

Page 13: TEMA 11. FENÓMENOS TRANSITORIOS. 11 Fenómenos ...

Equipo Docente de Fundamentos Físicos de la Informática. Dpto.I.I.E.C.-U.N.E.D. Curso 2001/2002.

Pag.11.13

0)0(0)( =≥=+ uytparatidtdu

CRu

es decir:

0)0(0)(11

=≥=+ uytparatiC

uCRdt

du(11.24.)

Para resolver la ecuación diferencial 11.24 se calculará primero la solución general de laparte homogénea y le añadiremos una solución particular.

La parte homogénea coincide con la ecuación diferencial de (11.18) y su solución estáexpresada en (11.19), en donde interviene una constante K1 a determinar.

La solución particular dependerá del tipo de excitación i(t).

Es importante notar que la solución de (11.24) consta de dos partes:

Una es la solución de la ecuación homogénea, “independiente, por tanto, de la fuente deexcitación”, que constituye la respuesta natural del circuito y que es de igual forma que la debida acargas iniciales. Esta respuesta, en el caso de circuitos formados por elementos pasivos, vienedefinida por una exponencial decreciente y es despreciable al cabo de cierto tiempo, por lo queconstituye la parte transitoria de la solución.

Otra es la solución particular de la ecuación completa, “dependiente, por tanto, de la fuentede excitación”, que constituye la respuesta forzada y que permanece en tanto subsista la fuente, porlo que se denomina respuesta permanente.

Ahora se llevará a cabo el estudio de la solución de (11.24) para una fuente de excitación i(t)continua.

Si se supone que para t ≥ 0 es: i(t) = I, para obtener una solución particular de (11.24) sectoma u(t)=K. Sustituyendo en (11.24) se tiene:

IC

KCR

11=

de donde: K = RIy la solución de (11.24) es:

RIeKtu RCt

+=−

1)(resp. natural resp. permanente

con u(0)=0, de donde 0 = K1 + R I; K1 = - RI, luego:

0)1()( ≥−=−

tparaeRItu RCt

o bien:

0)1()( ≥−=−

tparaeRItut

τ

en función de la constante de tiempo del circuito.

En el caso de fuentes de excitación continua es muy fácil escribir directamente la respuestade los circuitos de primer orden. En efecto, la ecuación diferencial a la que responden estos circuitoses:

Page 14: TEMA 11. FENÓMENOS TRANSITORIOS. 11 Fenómenos ...

Equipo Docente de Fundamentos Físicos de la Informática. Dpto.I.I.E.C.-U.N.E.D. Curso 2001/2002.

Pag.11.14

)(1

tgfdtdf

=+τ

(11.25.)

Al ser g(t) = K (fuentes de excitación continua), la solución general de (11.25) es:

KeKtft

ττ +=−

1)(

Haciendo t = ∞ y t = 0, se obtiene:

f(∞) = τK y f(0) = K1 + τK, es decir, K1 = f(0) –f(∞)

con lo que se puede escribir

τt

effftf−

−∞−∞= ))0()(()()( (11.26.)permanente natural o transitoria

La expresión (11.26) indica que para escribir la respuesta basta conocer:- La constante de tiempo del circuito,τ.- El valor inicial de la variable, f(0).- El valor final de la variable, f(∞).

En lo que se refiere a la constante de tiempo y al valor inicial, en el apartado anterior seindicó como calcularlos.

Respecto al valor final, al ser las fuentes de excitación constantes, también lo serán lasrespuestas. Para el cálculo de la respuesta permanente de un circuito alimentado con fuentes decorriente continua recuérdese que:

1) En régimen permanente, en corriente continua, un condensador se comporta como uncircuito abierto ya que uC = cte.

0)( == tidt

duC C

C

2) En régimen permanente, en corriente continua, una bobina se comporta como uncortocircuito al ser iL = cte.

0== LL

udtdi

L

Volviendo sobre el circuito de la figura 11.10, se va a calcular la expresión de la tensión en elcondensador, u(t), a partir de las consideraciones anteriores, supuesto que i(t) = I.

Tensión inicial en el condensador: u(0) = 0.

Tensión final en el condensador: Para t = ∞ el condensador se comporta como un circuitoabierto y la intensidad I de la fuente pasará totalmente por la resistencia. Por estar, el condensadoren paralelo con R, la tensión en bornes del mismo es la tensión en la resistencia, es decir: u(∞) = RI

Constante de tiempo del circuito: La respuesta natural y, por tanto, la constante de tiempo, esindependiente de las fuentes de excitación. Para el cálculo de τ se eliminan las fuentes de excitación(circuito abierto para fuentes de intensidad y cortocircuito para fuentes de tensión) y se procedesegún se indicó anteriormente. Para el circuito que nos ocupa τ = RC.

Page 15: TEMA 11. FENÓMENOS TRANSITORIOS. 11 Fenómenos ...

Equipo Docente de Fundamentos Físicos de la Informática. Dpto.I.I.E.C.-U.N.E.D. Curso 2001/2002.

Pag.11.15

Sustituyendo los valores de u(0), u(∞) y τ en la expresión (11.26) resulta:

0)1()0()( ≥−=−−=−−

teRIeRIRItutt

ττ .

Ejemplo 11.5. En el circuito de la figura 11.11 el interruptor S se cierra para t = 0. Calcularla expresión de la intensidad y la tensión en la bobina para t ≥ 0.

Valores iniciales: antes de cerrar S era i (t<0) = 0, luego i(0)=0, de donde: u(0) = E.

Valores finales: la bobina es un cortocircuito para t = ∞, luego: i(∞) = E/R, u(∞)=0.

Constante de tiempo: al sustituir la fuente de tensión E por un cortocircuito, la resistenciaequivalente respecto a bornes de la bobina es R; luego: τ = L/R.

Se puede, pues, escribir directamente, teniendo en cuenta la expresión

0,)()( ≥=−=−−

tparaambaseEtuyeRE

RE

ti LRt

LRt

En la figura 11.12 se representan las gráficas correspondientes.

Figura 11.11

Figura 11.12

Page 16: TEMA 11. FENÓMENOS TRANSITORIOS. 11 Fenómenos ...

Equipo Docente de Fundamentos Físicos de la Informática. Dpto.I.I.E.C.-U.N.E.D. Curso 2001/2002.

Pag.11.16

Ejemplo 11.6. En el circuito de la figura 11.13 el interruptor S pasa de la posición a a la bpara t = 0. Calcular la expresión de la intensidad por la resistencia de 3Ω para t≥0 y dibujar lagráfica correspondiente.

Antes de cambiar el interruptor de posición por la resistencia de 3Ω circulan:

Ati 946

615)0( =

+=<

pero al pasar el interruptor a la posición b, dicha resistencia queda en serie con la bobina, y, portanto, ha de ser: i(0) = 0 A

En régimen permanente, la bobina se comporta como un cortocircuito y, por tanto,

Ai 1036

615)( =

+=∞

Al sustituir la fuente de intensidad por un circuito abierto la resistencia vista desde la bobinaes: Req =3 + 6 =9Ω, luego:

sq

L301

93,0

Re===τ

de donde:teti 301010)( −−=

cuya representación gráfica se da en la figura 11.14.

Figura 11.13

Figura 11.14

Page 17: TEMA 11. FENÓMENOS TRANSITORIOS. 11 Fenómenos ...

Equipo Docente de Fundamentos Físicos de la Informática. Dpto.I.I.E.C.-U.N.E.D. Curso 2001/2002.

Pag.11.17

11.5. Circuitos con fuentes de excitación y condiciones iniciales no nulas.

En el caso de un condensador su ecuación de definición, considerando condiciones inicialesno nulas, es:

∫+=t

dzziC

utu0

)(1

)0()(

mientras que en el caso de una bobina resulta ser:

∫+=t

dzzuL

iti0

)(1

)0()(

Ejemplo 11.7. El interruptor S del circuito de la figura 11.15 lleva en la posición a untiempo que puede considerarse infinito. Para t = 0 se pasa a la posición b. Calcularemos lasexpresiones de la tensión en el condensador y la intensidad en cada resistencia a partir de dichoinstante.

Como el interruptor lleva colocado en la posición a un tiempo infinito, se habrá establecidoel régimen permanente en el circuito. Al ser la fuente de 12V de tensión continua, el condensador secomporta en régimen permanente como un circuito abierto y para calcular la tensión a que estácargado se utiliza el circuito de la figura 11.16. Resultando U = 6V.

Figura 11.15

Figura 11.16

Page 18: TEMA 11. FENÓMENOS TRANSITORIOS. 11 Fenómenos ...

Equipo Docente de Fundamentos Físicos de la Informática. Dpto.I.I.E.C.-U.N.E.D. Curso 2001/2002.

Pag.11.18

Al cambiar el interruptor a la posición b, el condensador mantendrá la tensión de 6 V. En lafigura 11.17 se ha representado el circuito después del cambio del interruptor.

La tensión inicial en el condensador del circuito de la figura 11.17 es de 6V. La tensióninicial entre A y B es, por tanto, 6 V.

Inicialmente, se puede escribir el sistema de ecuaciones:

(2 + 3) i1(0) - 3 i3(0) = 16 – 6 y - 3 i1(0) + (2 + 3) i3(0) = 6,resultando:

i1(0) = 17/4 A, i3(0) = 15/4 A, e i2(0) = i1(0) – i3(0) = 0,5A.

En cuanto al cálculo de los valores finales, al ser continuas las fuentes de excitación, elcondensador se comporta como un circuito abierto para t = ∞, pudiendo escribir:

i1(∞) = i3(∞) = 16/(2+2) = 4A, i2(∞) = 0 y uAB = 2i3(∞) = 8V

resultando:i1(0) = 17/4 A, i3(0) = 15/4 A, e

i2(0) = i1(0) – i3(0) = 0,5A.

La resistencia vista desde bornes del condensador es:

Ω=+⋅

+= 42222

3Req

luego: τ = Req C = 4 10-2 s, y teniendo en cuenta la expresión (11.16), se escribirá:

teti 251

41

4)( −+=

teti 252

21

)( −=

teti 253

41

4)( −−=

tC etu 2528)( −−=

Figura 11.17

Page 19: TEMA 11. FENÓMENOS TRANSITORIOS. 11 Fenómenos ...

Equipo Docente de Fundamentos Físicos de la Informática. Dpto.I.I.E.C.-U.N.E.D. Curso 2001/2002.

Pag.11.19

La representación gráfica se da en la figura 11.18.

Ejemplo 11.8. En el circuito de la figura 11.19 el interruptor S1 lleva cerrado sobre la posición a untiempo que puede considerarse infinito. Para t = 0 se pasa S1 a la posición b y simultáneamente secierra S2. Calcular las expresiones de il, i2 e iL para t > 0. 1

Antes de cerrar S2, como S1 lleva cerrado tiempo suficiente para que se halle establecido elrégimen permanente, la bobina se está comportando como un cortocircuito, luego:

AiL 412

26)0( =

+=

Figura 11.19

Page 20: TEMA 11. FENÓMENOS TRANSITORIOS. 11 Fenómenos ...

Equipo Docente de Fundamentos Físicos de la Informática. Dpto.I.I.E.C.-U.N.E.D. Curso 2001/2002.

Pag.11.20

Al cambiar de posición S1 y cerrar S2, la intensidad por la bobina ha de seguir teniendo estevalor. El circuito a estudiar se representa en la figura 11.20.

Valores iniciales: Inicialmente la bobina mantiene su corriente, luego:AiL 4)0( =Ai 4)0(1 −=

Ai 101

10)0(2 ==

Valores finales: En régimen permanente, la bobina se comporta como un cortocircuito, luego:

AiL 52

10)( −=−=∞

Ai 5)(1 =∞Ai 10)(2 =∞

Constante de tiempoLa resistencia equivalente vista desde los terminales de la bobina es: Req = 2Ω, de donde:

sq

L1,0

22,0

Re===τ

A partir de estos valores se puede escribir:095)( 10 ≥+−= − teti t

L

095)( 101 >−= − teti t

010)(2 >= tAtiObsérvese que al estar en paralelo la resistencia de 1Ω con la fuente de tensión su valor no

influye en el resto del circuito, no interviniendo en la constante de tiempo del mismo. La intensidaden esta resistencia se mantiene constante.

Figura 11.20