COMPUTACIÓN REVERSIBLE Y TERMODINÁMICA DE LA ...

COMPUTACIÓN REVERSIBLE Y TERMODINÁMICA DE LA COMPUTACIÓN

Vicente Moret BonilloSenior Member, IEEE

Basado en el texto “Feynman Lectures on Computation”

PUERTAS Y LÓGICA COMBINATORIA


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ALGUNAS OPERACIONES SENCILLASSumasTransferenciasControl de decisiones

SISTEMA DE CÓMPUTO BINARIODÍGITOS “0” Y “1”OPERACIÓN “Suma”



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4

REGLAS BÁSICAS DE LA SUMA BINARIA

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1 + 1 Acarre

o



5

TABLA BOOLEANA PARA LA SUMA BINARIA

A B S C

0 0 0 0

0 1 1 0

1 0 1 0

1 1 0 1



6

UN “MEDIO SUMADOR” COMO UNA CAJA NEGRA CON DOS ENTRADAS (A y B) Y DOS SALIDAS (S y C)

∑


Tabla de verdad de AND La puerta AND7


A B A and B

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

A

B

A and B



8

A and B es 1 si, y sólo si, A=1 y B=1

El BIT de acarreo y el operador AND son “lo mismo”

El BIT de acarreo (C) del semisumador se puede obtener directamente introduciendo las señales A y B como entradas de una puerta AND

Siguiendo el mismo razonamiento… ¿Cómo podemos obtener el BIT suma del sumador (S) utilizando otra operación lógica?



9

Tabla de verdad de XOR La puerta XOR

A B A xor B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

A

B

A xor B



10

A B A or B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

A

B

A or B

Tabla de verdad de OR

La puerta OR



11

A xor B es 1, si A=1, o B=1, pero no A=B=1

A xor B equivale al BIT suma del semisumador

AND-XOR-OR son ejemplos de “Funciones de Conmutación”

Las funciones de conmutación tienen como entrada algunas variables binarias y calculan alguna función binaria


La Identidad

A A0 0

1 1

12


A A



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La puerta NOT

A B0 1

1 0

A B



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La operación IDENTIDAD, en un sistema abstracto, puede considerarse como un simple “cable”En sistemas reales, la IDENTIDAD es un “retardo”A or B es lo mismo que ¬ {(¬ A) and (¬ B)}El conjunto {AND, OR, NOT} es un conjunto completo, por medio de cuyos elementos puede, en principio, construirse “todas las posibles” funciones lógicasExisten operadores que por sí solos forman un conjunto completo

PUERTAS REVERSIBLES


15

La operación FANOUT y la operación EXCHANGE

FANOUT EXCHANGE

PUERTAS REVERSIBLES


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FANOUT divide una entrada (cable) en dos o másEXCHANGE simplemente intercambia un par de conexionesEstas dos operaciones “obvias” van a ser necesarias para discutir sobre la REVERSIBILIDADSupondremos, además, que disponemos de suficientes CEROS y UNOS durante todo el tiempo que deseemos

Las operaciones AND, ¬ AND, OR, XOR son IRREVERSIBLES: A partir de la salida no se puede reconstruir la entradaCon operaciones irreversibles perdemos información de forma irreversibleUna operación REVERSIBLE es la que tiene la suficiente información en la salida para que podamos deducir la entradaLa reversibilidad es imprescindible para estudiar la Termodinámica de la Computación, ya que nos permite realizar cálculos de Energía Libre, y conocer la Eficiencia Física de la Computación

PUERTAS REVERSIBLES


17

PUERTAS REVERSIBLES


18

Bennet y Fredkin fueron los primeros que, independientemente, estudiaron la posibilidad de construir “ordenadores reversibles”

Para ello se requieren “puertas lógicas reversibles”:

NOT…………………………………….. (N)CONTROLLED NOT………………………

(CN)CONTROLLED CONTROLLED NOT………

(CCN)

PUERTAS REVERSIBLES


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N es un NOT convencional, que es claramente reversibleCN es un dispositivo con dos entradas y dos salidas

A*

B*

A

B

PUERTAS REVERSIBLES


20

En la puerta CN la estrella (en adelante X), es un NOT controlado por la entrada al cable OSi la entrada al cable O es “UNO”, la entrada al cable X se invierteSi la entrada O es “CERO” la puerta N no funciona y la señal X pasa sin modificarseLa entrada en la línea O activa una puerta N en la línea inferiorLa salida O es siempre la misma que la entrada O

PUERTAS REVERSIBLES


21

Tabla booleana de la puerta CN

A B A* B*

0 0 0 0

0 1 0 1

1 0 1 1

1 1 1 0

PUERTAS REVERSIBLES


22

Se puede interpretar B* como la salida de una puerta XOR con entradas A y B: B* = XOR (A,B)CN es reversible sin más que repetir la operaciónA

B

A

B

PUERTAS REVERSIBLES


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Reversibilidad de CNLa salida B* es la salida que tendríamos a partir de una puerta XOR alimentada con A y BEl dispositivo no es el mismo puesto que la puerta CN produce realmente dos salidasEsta puerta es perfectamente reversible ya que, una vez conocida la salida, siempre podemos reproducir la entrada

A B A* B* A** B**0 0 0 0 0 00 1 0 1 0 11 0 1 1 1 01 1 1 0 1 1

PUERTAS REVERSIBLES


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Las puertas N y CN no bastan para “hacerlo todo”Necesitamos algo más: la puerta CCN

A*A

B B*

C C*

En CCNHay 2 líneas de control, A y B / A* = A , B* = BLa línea C sólo es activada cuando A = 1 y B = 1En este último caso: C* = ¬ CSi mantenemos A = B = 1 : CCN = NSi sólo mantenemos A = 1 : CCN = CN, con A y B inputs

La puerta CCN forma por sí sola un conjunto completo de operadores

PUERTAS REVERSIBLES


25

PUERTAS REVERSIBLES


26

Tabla booleana de la puerta CCN

A B C A* B* C*

0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 1

0 1 0 0 1 0

1 0 0 1 0 0

0 1 1 0 1 1

1 0 1 1 0 1

1 1 0 1 1 1

1 1 1 1 1 0

PUERTAS REVERSIBLES


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Reversibilidad de CCNA B C A* B* C* A** B** C**

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1

0 1 0 0 1 0 0 1 0

1 0 0 1 0 0 1 0 0

0 1 1 0 1 1 0 1 1

1 0 1 1 0 1 1 0 1

1 1 0 1 1 1 1 1 0

1 1 1 1 1 0 1 1 1

PUERTAS REVERSIBLES


28

La puerta CCN es por sí misma un conjunto completo de operadoresAND se construye fijando C = 0 y alimentando la puerta con A y B según:

A B C A* B* C*

0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 1 0

1 0 0 1 0 0

1 1 0 1 1 1

PUERTAS REVERSIBLES


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Con CCN, NAND se construye fijando C = 1 y alimentando la puerta con A y B:

A B C A* B* C*

0 0 1 0 0 1

0 1 1 0 1 1

1 0 1 1 0 1

1 1 1 1 1 0

PUERTAS REVERSIBLES


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XOR se construye fijando A ó B = 1 :

A B C A* B* C*

1 0 0 1 0 0

1 1 0 1 1 1

1 0 1 1 0 1

1 1 1 1 1 0

PUERTAS REVERSIBLES


31

Un Sumador Completo de números de 1-bit

A

B

C

Suma

Acarreo

OBJETIVO : Sumar A , B y C para obtener la Suma y el Acarreo

PUERTAS REVERSIBLES


32

La operación anterior no es reversibleNo es posible reconstruir las tres entradas a partir de la Suma y el AcarreoQueremos un Sumador ReversibleNecesitamos más información en la salidaPara resolver el problema necesitamos…

2 líneas extra que salgan de la puerta1 línea extra en la entrada, con un valor fijo (e.g. 0)

PUERTAS REVERSIBLES


33

PROCEDIMIENTOUtilizar N, CN, CCN (o sólo CCN)Construir AND, OR, XOR, con los que se puede construir un sumadorUtilizar la redundancia de las salidas extraOrganizar el sistema de forma que las dos líneas extra, aparte de las salidas de Suma y Acarreo, sean precisamente A y B

PUERTAS REVERSIBLES


34

El Sumador Completo Reversible

A

B

C

0

X

Y

SUMA

ACARREO

PUERTAS REVERSIBLES


35

La puerta de FREDKINPuerta reversibleEl número de “1” y de “0” no cambia nuncaIntroduce un elemento que realiza un intercambio controlado

A

B

C

A* = A

B*

C*

PUERTAS REVERSIBLES


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Funcionamiento de la puerta de FredkinSi A = 0 → B y C no cambian : B* = B , C* = CSi A = 1 → B* = C : C* = BCon este dispositivo el número de CEROS y de UNOS no varía

CONSTRUIR LA TABLA BOOLEANA DE LA PUERTA DE FREDKIN

PUERTAS REVERSIBLES


37

EJERCICIOSDiseñar un semisumador, o sumador simple, utilizando puertas AND , OR y NOTDiseñar un sumador completo de números de 1-bitConstruir un OR reversible a partir de la puerta CCNDiseñar un sumador completo reversible de números de 1-bitDemostrar que la puerta de Fredkin se puede utilizar para realizar todas las operaciones lógicas en lugar de la puerta CCN

PUERTAS REVERSIBLES


38

Análisis:La puerta N acepta 1 entrada y devuelve 1 salidaLa puerta CN acepta 2 entradas y devuelve 2 salidasLa puerta CCN acepta 3 entradas y devuelve 3 salidasLa puerta de Fredkin acepta 3 entradas y devuelve 3 salidasLas cuatro puertas son reversibles¿Para construir una puerta reversible es imprescindible que el número de entradas coincida con el número de salidas?

¿Por qué podemos decir –y por qué esto es importante-que una computación reversible se efectúa con coste cero de energía?

LA FÍSICA DE LA INFORMACIÓN


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¿Cuál es la energía MÍNIMA necesaria para realizar una computación?Enfoque desde la definición física del contenido de información de un mensajeShannon pretendía resolver el problema de la transmisión de mensajes a través de cables reales

Interferencias con el mundo físicoPosibilidad de abordar el problema de la computación desde la física.



40

Un modelo sencillo de mensaje enviadoSupóngase un número no determinado de cajas pegadas entre siEn cada caja hay una partículaCada partícula puede estar

A la derecha de la cajaA la izquierda de la caja

Si una partícula está a la derecha es un bit 1Si una partícula está a la izquierda es un bit 0



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UN MENSAJE “ATÓMICO” BÁSICOCuando la fila de cajas pasa por delante de mi, mirando dónde está cada partícula puedo obtener el correspondiente bit

1 1 0 0 1 0



42

El modelo físico apropiado para estudiar este sistema es la Física de los Gases, o Teoría Cinética de los gasesSea un gas con N partículasEl gas ocupa un volumen V1Cada partícula del gas es “libre”No hay fuerzas de atracción o de repulsión entre las partículas del gasLa última restricción es cierta a presiones bajas



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Compresión isotérmica del gasBaño térmico a una temperatura fija TLa temperatura del sistema permanece constanteV1 → V2

V1 V2

Baño a Temperatura Constante



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VpWxAVqueyApFquedadoy

compresióndeodispositivdeláreaelesAygasdelpresiónlaespSi

xFW

∂=∂→∂=∂>×=<

><><∂=∂

_____

______________

¿Cuánto trabajo se necesita para comprimir el gas?



45

Aplicando ahora la Teoría de los Gases

1

2ln

:

______º

2

1VVNkTdV

VNkTW

IntegrandocteT

BoltzmanndectekgasdelpartículasdenN

NkTVp

V

V

==

===

=×

∫



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ANÁLISISW es negativo → Convención : El trabajo realizado para comprimir un gas es negativoGeneralmente, cuando un gas es comprimido, el gas se calientaEn nuestro la Energía Cinética no ha variadoEl baño térmico ha absorbido el incremento de energía de las partículas del gas → Compresión IsotérmicaProceso cuasi-estático → Realizado muy lentamente



47

Termodinámica del proceso : Cambio de EstadoV1 → V2

Energía total < U > :Los cambios de estado se definen a partir de :

F = Energía LibreS = Entropía

∑= iiUU

TSUF −=



48

F nos permite tratar diferencias entre estados cuando entre ellos no hay diferencias mecánicasA temperatura constante :

δF es la energía trasvasada al baño térmico

STFUSTUF

∂−=∂→=∂∂−∂=∂

0

1

2

2

1 lnlnVVNkS

VVNkTWF =∆→=−=∂



49

SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICAPara Procesos Reversibles

Para Procesos Irreversibles

TQ

TFS ∂≈

∂−=∂

TQ

TFS ∂≈

∂−≥∂



50

ABSTRACCIÓNEl gas sólo tiene una partículaN = 1T , p , V , F , S … aparentemente no están definidasTienen sentido si estudiamos el fenómeno durante un tiempo suficientemente amplio, y promediando )2ln(:)2ln(

212: kSkTFVVSi −=∆=∆→=



51

SITUACIÓN GRÁFICA

El estado físico parece no haber cambiadoLa energía cinética es la mismaSin embargo F y S han cambiado

V1 V2 = V1/2



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EXPLICACIÓNEl conocimiento sobre las posibles posiciones de la partícula de gas ha cambiadoEn nuestro ejemplo, después de la compresión, hay menos lugares en los que podemos buscar < y encontrar > a la partícula de gas

Naturaleza estadística de la termodinámicaT , p , … son magnitudes estadísticasS es una magnitud de naturaleza estadística, pero…



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Naturaleza estadística de la entropía < S >T , p , … son magnitudes estadísticas de carácter macroscópico , que se obtienen a partir del promedio de una suma de valores individuales , es decir , son el promedio de una suma de propiedades microscópicasS es una magnitud de naturaleza estadística , pero está directamente relacionada con la probabilidad de que el gas esté en la configuración en la que se encuentra< Configuración > es una ordenación concreta , o un conjunto de ordenamientos , posiciones y momentos , para cada una de las N partículas constituyentesConfiguración es un punto o región concreta del < Espacio de Fases >



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ENTROPÍA Y PROBABILIDADSi la probabilidad de una determinada configuración es ω → S ≈ k ln ωCuanto mayor es ω mayor es la entropía del sistemaComo todas las probabilidades, las ω se sumanPodemos calcular la probabilidad de encontrar al gas en un rango de configuracionesCuanto menos sepamos de la configuración de un gas, en más estados puede estar, mayor es ω, y mayor es S



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LA ENTROPÍA EN LA COMPRESIÓN ISOTERMA

El momento de las partículas del gas no ha cambiadoδU = 0

Cada partícula tiene acceso a menos posiciones espaciales

El gas tiene ahora una configuración con menor ω y, por lo tanto, su entropía ha disminuido

Pero, por la segunda Ley de la Termodinámica, la entropía total nunca disminuye

0≥∂

≈∂ωωkS



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EXPLICACIÓNEl sistema no está aisladoHemos evacuado el calor al baño térmicoEl flujo de calor que llega al baño térmico incrementa su entropía

CUANTA MENOS INFORMACIÓN TENEMOS SOBRE UN ESTADO MAYOR ES SU ENTROPÍA



57

ANÁLISIS DE CONSISTENCIALa naturaleza estadística de S nos permite definirla para un sistema de una única partículaSi comprimimos el volumen en un factor 2 →Dividimos por la mitad el número de posiciones espaciales de la partículaLo anterior equivale a decir que dividimos a la mitad el número de configuraciones que la partícula puede ocupar

2lnkS =∂

¿Dónde encaja esta física en el tema de la información?

Mensaje típicoSobre algunos de los bits no tenemos conocimiento previoSobre otros sí tenemos conocimiento previo

La información de un mensaje es proporcional a la energía libre necesaria para reiniciar toda la cinta a cero



58



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Reiniciar a cero es comprimir cada celda de la cinta para asegurarnos de que su partícula constituyente está en la posición < 0 >Problemas

Simetría no natural entre < 0 > y < 1 >Si una partícula está en la parte < 0 > , para reiniciar no hay que hacer nada → ∆F = 0Si una partícula está en la parte < 1 > , para reiniciar hay que hacer un trabajo → ∆F = 0



60

¿ No sería lo mismo reiniciar la cinta a < 1 > ?¿ No deberíamos obtener la misma respuesta sólo en el caso de tener el mismo número de < 0 > que de < 1 > ?Sutileza…

Sólo si no conocemos en qué parte de cada caja se encuentra la partícula gastamos energía libreÉsta es la única circunstancia en la que el espacio de fases se divide por la mitad y la entropía aumenta



61

Si sabemos de antemano la posición de la partícula no gastamos energía al reiniciarEsto ocurre independientemente de la posición inicial de la partícula

LA INFORMACIÓN DE UN MENSAJE ESTÁCONTENIDA EN LOS BITS SORPRESA



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∆ F< 1 > → < 0 > = ∆ F < 0 > → < 0 > = 0 : si conocemos de antemano la posición de la partículaEste argumento se utiliza frecuentemente en Computación ReversibleCONTEXTO

Naturaleza abstracta e ideal del sistema consideradoInterés exclusivo en la energía contenida en el mensajeLa energía del mensaje está definida por las posiciones de las partículas en las cajas de la



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COSTE CERO…

INCONVENIENTEEl proceso < giro > tiene que realizarse a velocidad prácticamente nula : infinitamente despacioProceso cuasi-estático



64

UNA REINICIACIÓN MÁS REALISTA…

También en el límite infinitesimal de velocidad∆ F = 0 porque cualquier trabajo que efectuemos sobre un extremo se recupera por el otroSólo cuando no sabemos dónde está la partícula hay que realizar una compresión



65

LA COMPRESIÓN REQUIERE ENERGÍA LIBRE

AL COMPRIMIR DISMINUIMOS NUESTRA IGNORANCIA SOBRE LA POSICIÓN DE LA PARTÍCULA



66

LA APROXIMACIÓN DE BENNETTPropone utilizar la información del mensaje de la cinta como combustibleRelacionó la información de la cinta con su poder calorífico; i.e. con la cantidad de energía que podemos obtener de ella

Temperatura T



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Motor en contacto con un baño térmicoPor un extremo entra la cintaPor el otro extremo sale la cintaAl principio la cinta está en blanco, i.e. todas sus partículas está en el estado < 0 >Este sistema puede usarse para proporcionar trabajo útil y mover el motorNecesitamos un pistón.Cuando llega cada celda el pistón se desplaza hasta la mitad de la celda



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El baño térmico calienta la celdaLa partícula choca contra el pistón empujándolo isotérmicamente hacia fuera

De esta forma se genera trabajo en el motor

Proceso inverso al de compresión del gasSobre el pistón se realiza trabajo que podemos usarPara una cinta de < n > bits…

La cinta que sale ha sido aleatorizadaDespués de que el pistón ha sido empujado, la partícula que lo empujó puede estar en cualquier lugar dela celdaPara saber dónde está hay que hacer una medida

térmicobañodelaTemperaturTnkTF

___2ln

==



69



70

GENERALIZACIÓN…Un pistón maniobrable nos permite extraer trabajo de cintas que tienen algún < 1 >Si < 1 > → cambiar pistón a la otra parte de la celda, llevándolo hasta el borde de la mitad < 1 >Trabajo útil = kT ln2La cinta sale de la máquina con un contenido aleatorioSabemos qué bit está entrando en la máquinaSólo así podemos tener al pistón preparado



71

Si el pistón está en la posición < 0 > y encuentra un < 1 > hay que hacer trabajo para llevar a la partícula a la posición < 0 >Luego, cuando la partícula se expande, nos devuelve el trabajo realizado previamente :∆ Fneto = 0

Una cinta aleatoria tiene poder calorífico nulo



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FeynmanParte de una cinta aleatoriaRealiza trabajo sobre la cintaTermina con una cinta totalmente reiniciada : < 0 >

BennettParte de una cinta reiniciada : < 0 >Obtiene trabajo de la cintaTermina con una cinta aleatoria

Definición de Bennett del concepto de Información

Sea una cinta con N bits : Se define Información < I > de acuerdo con la expresión…Poder calorífico de la cinta = (N – I) kT ln2

Si la cinta da una carga de combustible completa de (kT ln2)/bit → contiene información nulaEn este caso la cinta contiene un “mensaje”completamente predecibleLas aproximaciones de Feynman y Bennett son, desde el punto de vista físico, totalmente simétricas



73

EL DEMONIO DE MAXWELL Y LA TERMODINÁMICA DE LA MEDIDA


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El estudio del demonio de Maxwell llevó a físicos como Bennett y Landauer a establecer conclusiones sobre la computación reversibleEl Demonio de Maxwell



75

Descripción…Demonio sentado sobre una caja dividida en 2 partesCada parte contiene gas cuyas partículas tienen una distribución aleatoria de posiciones y de velocidadesEn el tabique de separación hay una puertaEl demonio observa cada parte de la caja y elige : derecha → rápidas , izquierda → lentasCuando ve una partícula rápida que se dirige hacia la puerta desde la dirección adecuada, la abre confinando a la partícula, y la cierra inmediatamenteCuando ve una partícula lenta que se dirige hacia la puerta desde la dirección adecuada, la abre confinando a la partícula, y la cierra inmediatamente



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RESULTADOTranscurrido un tiempo suficiente, el demonio de Maxwell habrá separado las partículas rápidas de las lentas : i.e. las partículas calientes de las partículas fríasHabrá creado una diferencia de temperatura entre las dos partes de la cajaLa entropía del sistema habrá disminuido¿ Se ha violado el segundo principio de la Termodinámica ?



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ANÁLISIS…En algún momento del proceso debe generarse entropíaEsta entropía puede surgir como resultado de la medida del demonio sobre la posición de las partículasUna forma de detectar partículas es iluminarlas, pero esto implica la dispersión de al menos un fotón, proceso que consume energíaAntes de mirar una partícula concreta, el demonio no puede saber si se mueve en un sentido o en el otroCuando la observa, su incertidumbre < entropía > se reduce a la mitad → Debe generarse entropía en el entorno



78

Argumentación de BennettEl demonio de Maxwell puede realizar sus medidas con coste energético nuloPara ello debe seguir ciertas reglas para grabar y para borrar cualquier información que obtengaAntes de medir :

El demonio está en un estado estándar S → Situación de Incertidumbre

Después de medir :L → Moviéndose a la izquierdaR→ Moviéndose a la derechaS se sobre-escribe con L o con R según proceda



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Bennett demuestra que…El proceso global de medida < incluyendo la sobre-escritura de S > se realiza sin coste energéticoEl coste energético se produce cuando se borran L o R para reiniciar al demonio al estado estándar S y prepararlo para la siguiente medida

Fue un gran avance en el estudio de la computación reversible el descubrimiento de que en un proceso computacional la entropía no se genera en la realización de la medida, sino al borrar la información

Definimos COMPUTADOR REVERSIBLE como aquél que da como salida el resultado real de una computación y además la entrada originalSe puede demostrar que esta computación se puede realizar con un coste nulo de energíaEl único coste en que se incurre aparece en la reiniciación de la máquina para volver a empezarEsta reiniciación no depende de la complejidad del cálculo. Sólo depende del número de bits de la respuesta

COMPUTADORES REVERSIBLES


80

Se pueden tener N componentes funcionando en una máquina, pero si la respuesta que se obtiene es de sólo 1 bit, la energía que se necesita para que todo funcione es : kT ln2

La computación reversible no necesita el establecimiento de requisitos mínimos de energía

COMPUTADORES REVERSIBLES


81

LA COMPUTACIÓN < COPIA >


82

Utilizamos la computación COPIA como forma de introducir los conceptos que subyacen en la disipación de energíaSean un conjunto de datos y su copiaConsideremos ambos como dos mensajes en cinta idénticosPodemos conocer el mensaje original o no conocerlo



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PRIMER CASOSi conocemos el mensaje original no gastamos energía libre en borrar la cintaTampoco necesitamos energía libre para copiarla

SEGUNDO CASOSi no conocemos el mensaje original gastamos energía libre al borrar la cintaNo gastamos energía libre en borrar la copia

No hay más información en el conjunto {datos , copia} que en el conjunto {datos}



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PROCESO GENERAL DE COPIAObjeto original o < modelo >El modelo puede contener un < 0 > o un < 1 >El modelo es un dispositivo físico biestable : i.e. un pozo de potencial

CopiadoraLa copiadora puede tener un < 0 > o un < 1 >



85

Estado inicial del modelo

Estado inicial de la copiadora



86

Copiar → Hacer que el punto pase de un valle al otroTenemos que poder manipular la curva de potencialTenemos que conseguir que el valle de la derecha sea energéticamente más favorable para el puntoParámetros ajustables y restricciones

Altura de BarreraProfundidades relativas entre vallesFuerza de interacción entre copiadora y modelo o fuerza de inclinaciónEn todo momento habrá un único mínimo accesible al

t



87

Proceso…



88

Análisis ( 1 )…Inicialmente el modelo está lejos de la copiadoraIncluso a distancia ejerce una ligera fuerza inclinadora sobre la copiadoraEsta fuerza aumenta la profundidad del valle de la copiadora que corresponde al valle ocupado en el modeloEl potencial de la copiadora se ve ligeramente modificado



89

Análisis ( 2 )…Acercamos suavemente el modelo a la copiadoraLa fuerza de inclinación aumentaEl punto se desliza suavemente por la curva de potencialOcupa el nuevo valle que es energéticamente más favorableRestauramos la barrera de potencialRetiramos suavemente el modelo



90

CONCLUSIÓN…El proceso podría hacerse rápidamenteEn este caso consumiría energíaSi el proceso es suficientemente lento el coste energético es nuloEn este caso la disipación de energía es despreciable

Para conseguir coste cero la computación copia debe realizarse de forma cuasi-estática

UNA IMPLEMENTACIÓN FÍSICA


91

Dispositivo físico bi-estable2 agujas de brújula2 dipolos magnéticos que pueden girar sobre sus ejes

Modelo físico y copiadora están hechas de este dispositivo bi-estableCada elemento del par de agujas está ligado al otroAmbos elementos apuntan a la misma direcciónPodemos analizar el sistema en términos de una sola variableEsta variable es el ángulo Φ que las agujas forman con la horizontal



92

Configuración angular permitida…

Configuración angular prohibida…

Φ Φ

Φ1 Φ2



93

Estados estables y estados inestables

Energía potencial de un estado con ángulo Φ :EΦ ≈ sen2Φ

S N S N

N N

S S



94

Energía potencial en función de Φ

0 Π/2 Π 3Π/2 1

Sen2 Φ

1



95

Los mínimos están en…Φ = 0Φ = Π

Los mínimos corresponden a los estados establesLos máximos corresponden a…Φ = Π/2Φ = 3Π/2

El sistema es bi-estableSi las agujas están en uno de los dos mínimos se necesitará energía para pasarlo al otro



96

Para modificar la barrera introducimos un campo magnético vertical B que añade a la energía potencial el término : -B sen ΦAl aumentar B la barrera de potencial entre los estados < 0 > y < Π > disminuye

B

Φ Φ

B B

Φ



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Como antes, la fuerza de inclinación surge como consecuencia de acercar el modelo a la copiadoraEsta fuerza en el modelo está causada por el campo magnético del bit datoLa fuerza es perpendicular a B, y en dirección de las agujas en el modeloSi < b > es la fuerza de inclinación, contribuye a la energía potencial en : -b cos ΦEsta situación rompe la simetría en : Π/2 y 3Π/2 y representa una inclinación



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EL PROCESO DE COPIACopiadora en estado estándarΦ = 0( → → )

SuavementeDesplazamos la copiadora de una región B débil a una de gran B hasta que se elimina la barrera, oEmpezamos a aumentar el campo B

En este momento el dipolo es vertical



99

Estado inicial inestable de la copiadora…

Acercamos el modelo a la copiadora < ya ligeramente perturbada, pero no lo bastante >Según se va acercando, el campo hace que las agujas de la copiadora giren

Lo anterior ocurre si el nuevo estado es apropiadoSi el estado estándar y el estado del modelo coinciden, las agujas volverán a su posición originalA continuación alejamos el modeloLa copia liberada del campo B recupera la barreraLa copia finalizaEste método de copia funciona si no sabemos en qué estado se encuentra el modeloSe puede comprobar que si el proceso se realiza cuasi-estáticamente no cuesta ni energía, ni corriente, ni nada



100

COSTE ENERGÉTICO DE LA COMPUTACIÓN FRENTE A VELOCIDAD


101

Sea un computador reversibleCuando un proceso se realiza de forma reversible e infinitamente despacio → La energía libre es ceroRestricción…

Estamos ejecutando un proceso a velocidad < r >En un instante dado es < r > veces más probable realizar un paso computacional hacia delante que hacia atrásEn cada paso computacional :

rkTFpaso ln=



102

Niveles de energía : La transición general

El computador puede hacer una computación o deshacerla < avance , retroceso >

E1

E2

A AVANCE



103

E1 ≠ E2

La energía disminuye en la dirección de la computaciónA = Energía de Activación = Energía que se le debe suministrar al sistema para que evolucioneFluctuaciones térmicas…

Siempre que su energía sea mayor que A harán que el computador se mueva aleatoriamente entre estados



104

La probabilidad < ω > de que un sistema pase a un estado Ei es la probabilidad de que adquiera suficiente energía para pasar A y caer en Ei

FE1→E2 = A – E1

FE2→E1 = A – E2

Mecánica Estadística…La probabilidad de una transición entre dos estados cuyas energías difieren en una cantidad positiva δE es :

)exp(kTEC ∂

−

21

21

2

1

ln

]/)exp[(____

])(exp[__]/)(exp[__

EErkTFpaso

kTEEretrocesodeTasaavancedeTasa

kTEACXretrocesodeTasakTEACXavancedeTasa

−==

−=

−−=−−=



105

< C > es un factor que depende de las fluctuaciones térmicasPara calcular las tasas de transición entre estados necesitamos otro factor < X > que depende de propiedades moleculares, pero que no depende de la energía

ACCESIBILIDAD DE ESTADOS


106

PROBLEMA :Investigar cómo se conduce un computador en una dirección determinada

RESTRICCIONES…Los estados computacionales no difieren en su energíaLos estados computacionales difieren en su disponibilidadEl computador va a elegir a qué estado se dirige basándose en el número de estados equivalentes que son accesibles



107

El computador así diseñado funciona por DIFUSIÓN

< ni > es el número de estados accesibles

1

2

____

nn

retrocesodeTasaavancedeTasar ==



108

Recordando…

La pérdida de energía por paso es igual a la entropía generada en ese paso multiplicada por la temperatura

STTSSnnkTrkTy

kS

∆=−=−=

≈

)()ln(lnln:

ln

1212

ω

MINIMIZANDO ENERGÍA


109

Problema…¿ Podemos, en una situación real, minimizar la energía consumida en cada paso de computación ?

Contexto…En un computador reversible las probabilidades de avance y de retroceso son igualesNo tenemos pérdida de energíaEl proceso tiene que efectuarse cuasi-estáticamenteSe requiere un tiempo infinito



110

Aproximación…Para mantener al sistema moviéndose hay que facilitar de alguna manera el proceso, por ejemplo:

Bajando algo las energías de pasos sucesivosHaciendo los pasos sucesivos más accesibles

Tasa de avance : fTasa de retroceso : bf = b + εε es muy pequeño



111

0/:

:1/:

)/1ln(/

/)/1ln(:___)/1ln(/

/1/:)/ln(ln/

→⇔−

=

−=−=

≈+=

≈++=

+===

ε

ε

εε

εεεε

ε

bbfkTpasoEnergíaEntonces

bbf

bfbPero

bkTbkTpasoEnergía

bbpequeñoesComobkTpasoEnergía

bbfPerobfkTrkTpasoEnergía



112

Una expresión aproximadamente igual a la anterior es:

Análisis…2/)(

/bfbfkTpasoEnergía

+−

=

bfbfbfbfbfbbfbfbfEntonces

bfbf

bbf

bfbf

bbfSea

=⇔−=−→+=

−=−=+×−

+−

=−

→+−

=−

)(2:0:22)()(:

222/)(

:

2222

222

εε

En la expresión :

La diferencia con la expresión original es del orden deEl numerador es la velocidad a la que se realiza la computaciónEl denominador es la tasa media de transición :

Una medida del grado en que el ordenador oscila entre avances y retrocesosLa expresión del denominador es , muy aproximadamente , el máximo desplazamiento posible



113

2/)(/

bfbfkTpasoEnergía

+−

=

2ε

En términos de Energía perdida en cada paso…

Si queremos resaltar aspectos temporales de esta computación…

max/_

υυ entodesplazamikTpasoperdidaEnergía =



114

pasoempleadorealmenteTiempopasoempleadomínimoTiempokTpasoperdidaEnergía/__

/__/_ =

Una computación reversible tiene que almacenar mucha información…

Parte de esta información es el resultado de la computaciónEl resto es la información extra que necesitamos para conseguir la reversibilidad

A AB XOR (A , B) = sumaC = 0 AND (A , B) = acarreo

EL COMPUTADOR GENERAL REVERSIBLE


115

Un sumador de 2 bits construido con puertas reversibles

EL COMPUTADOR GENERAL REVERSIBLE


116

Restricciones de la computación reversible…En un computador convencional, cuando se realiza un paso hacia delante, no puede haber ninguna ambigüedadCon una máquina reversible tampoco puede haber ninguna ambigüedad en los pasos < hacia atrás >Esta última característica es lo que hace que la computación reversible sea radical y esencialmente diferente de la computación irreversible convencional

BENNET Y LA COMPUTACIÓN REVERSIBLE GENERAL


117

Hipótesis de trabajo y diseño del computador:Sistema de unidades lógicas reversibles unidas entre síIntroducimos un dato de entradaIntroducimos un conjunto de ceros “estándar” (o de unos, que podemos negar con un NOT reversible)La unidad lógica hará su trabajo con el siguiente resultado:

Respuesta deseadaBITS sobrantes con la historia del proceso

El computador reversible general (unidades lógicas < M >)

0 11 11 1

DATOS 0 0 RESPUESTA1 00 1

UNIDADES LÓGICAS

0 00 0

CEROS 0 1 BASURAESTÁNDAR 0 0

0 10 1



118



119

Se empieza con una cinta en blanco o preestablecidaSe termina con mucho desordenVuelve a aparecer la entropía de la informaciónLa aleatorización de ceros es el “combustible” que mueve la máquina de Bennet¿ Por qué, y cómo, el mantenimiento de esta información puede hacer < desde un punto de vista práctico > que la computación sea reversible ?Solución: Añadir más cintas al sistema e introducir los resultados en otra máquina reversible < M-1 >



120

EL COMPUTADOR REVERSIBLE SIN PÉRDIDA DE ENTROPÍA



121

< M > es reversible< M-1 > también es reversible< M-1 > es la inversa de < M >FANOUT es en realidad un proceso de copiaRealmente siempre habrá algo de entropía al tener que “conducir” un poco el procesoLa computación reversible realmente ahorra trabajoHabrá pérdida de energía cuando reiniciemos el sistema para realizar otros cálculos

EL COMPUTADOR DE LA BOLA DE BILLAR


122

Fredkin , Toffoly y otros proponen el “uso de bolas de billar” para computar

Simulan el movimiento de los bits a través de puertas lógicasEl lanzamiento de las bolas es la entradaLa distribución resultante es la salidaLas bolas se mueven diagonalmente a través de una malla planaLas bolas obedecen las leyes ideales de la mecánica clásica…

Fricción ceroChoques perfectamente elásticos



123

La computación básica en la colisión de dos bolas

A

B

W

X

Y

Z



124

A = 0 → No hay bola en la posición AA = 1 → Hay bola en A y la lanzamosB = 0 → No hay bola en la posición BB = 1 → Hay bola en B y la lanzamosW = 1 → La bola sale por WW = 0 → La bola no sale por WX = 1 → La bola sale por XX = 0 → La bola no sale por XY = 1 → La bola sale por YY = 0 → La bola no sale por YZ = 1 → La bola sale por ZZ = 0 → La bola no sale por Z



125

Hay cuatro salidas posibles2 salidas si falta una bola2 salidas si hay choques

Ejemplo…No hay bola en A

Si hay bola en B → sale por XX = 1 ⇔ A = 0 y B = 1

No hay bola en BSi hay bola en A → sale por YY = 1 ⇔ A = 1 y B = 0



126

Si están las dos bolas A y B…W = 1Z = 1

En términos lógicos:X = B AND ¬ AY = A AND ¬ BW , Z = A AND B



127

Estructura lógica de la computación básica en la colisión

A

B

A Λ B

B Λ¬ A

¬ B ΛA

A Λ B



128

FANOUT con bolas de billarA = 1 → Señal de control en la entrada “on”Salidas

( W = 1) Λ ( Z = 1) → Ramificación en BB → BW Λ BZ

Si B = 0 → ( W = 0 ) Λ ( Z = 0 )

PROBLEMA :Configurar el dispositivo de las dos bolas de billar para obtener una puerta reversible CN



129

La puerta de colisión…

Proceso integrado “doble FANOUT”2 bolas incidentes colisionan con bolas en reposo



130

La puerta de redirección…

CUATRO PUERTAS DE REDIRECCIÓN



131

Un dispositivo de cruce…

En un dispositivo de cruce las bolas son indistinguibles



132

Un dispositivo interruptor...

Cruce desplazadoIndependientemente de B, la salida (↓→) es siempre AEs un bit “sobrante” de control de la puerta

A

B

B Λ¬ A B Λ A

A



133

La puerta de Fredkin…

Construir la puerta de Fredkin con puertas de bolas de billar (… si sois capaces)

A

B

C

A* = A

B*

C*

Con puertas de bola de billar…Podemos construir puertas CNPodemos construir puertas CCNPodemos construir puertas de intercambio controladoSi podemos construir puertas de intercambio controlado, como la de Fredkin, podemos construir cualquier tipo de computadora

Pero… ¿ qué va a pasar cuando podamos construir computadoras tan pequeñas que sólo incluyan unos pocos átomos ?



134

COMPUTACIÓN CUÁNTICA


135

¿ Qué podemos esperar de una computadora que funcione de acuerdo con las leyes de la mecánica cuántica ?¿ Cuál va a ser el papel del principio de incertidumbre de Heisenberg ?¿ Cuál debería ser el tamaño mínimo de una computadora ?No podemos construir una computadora más pequeña que un átomo : Necesitamos algo sobre lo que escribir



136

Comenzaremos con un solo átomo < un núcleo también valdría >

Ambos son sistemas de espín naturalesTienen atributos físicos medibles a los que podemos asignar númerosCada número diferente representa un estado

La mecánica cuántica no impone más restricciones sobre el tamaño que las que imponen…

La mecánica estadísticaLa mecánica clásica



137

Sea un sistema cuántico idealEl sistema puede estar en uno cualquiera de dos estados

Arriba ( ↑ ) : Estado excitadoAbajo ( ↓ ) : Estado no excitadoEspín ( ↑ ) ≡ Bit ( 1 )Espín ( ↓ ) ≡ Bit ( 0 )

Construimos nuestro dispositivo de computación a partir de estos átomos, uniéndolos unos a otros de una forma concreta



138

Sea una parte < o todo > el sistema…Un conjunto de átomos cada uno de los cuales estáen uno cualquiera de los dos estados posiblesEsto representa un número : La Entrada

Dejamos que el sistema evolucione durante un tiempo : tLa evolución se efectúa de acuerdo con las leyes de la mecánica cuántica…

El sistema interacciona consigo mismoLos átomos cambian de estadoLos < 1 > y los < 0 > se cambian



139

En un momento determinado tenemos un conjunto de átomos en ciertos estados : La SalidaLa computación cuántica es un paradigma de computación distinto al de la computación clásicaSe basa en el uso de qbits en lugar de bitsDa lugar a nuevas puertas lógicas que hacen posibles nuevos algoritmos



140

Una misma tarea puede tener diferente complejidad en computación clásica y en computación cuánticaAlgunos problemas intratables pasan a ser tratablesUn computador clásico equivale a una máquina de TuringUn computador cuántico equivale a una máquina de Turing indeterminista



141

Feynman profetiza que sobre 2050 o antes la computación cuántica será una realidadTendremos computadoras que ni siquiera podremos verEn el Max Plank Institute, un grupo de Óptica Cuántica < dirigido por un joven científico español > está realizando importantes esfuerzos, y obteniendo resultados espectaculares en este campo…



142

…Campo del que fue pionero Richard Phillips Feynman, nacido el 11 de mayo de 1918 y fallecido el 15 de febrero de 1988El día siguiente a su muerte, todo el Instituto Tecnológico de California < CALTECH > apareció literalmente empapelado con pancartas en las que se podía leer…

¡¡¡ WE LOVE YOU DICK !!!

COMPUTACIÓN REVERSIBLE Y TERMODINÁMICA DE LA ...

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