Resumen 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos yestructuras algebraicas

Símbolos∀para todo, ∃existe | ó :tal que p qp implica q (si se da p entonces

se da q)p qp si y sólo si q (p y q son equivalentes)

Notación:n

i1

∑ ai a1 a2 . . .an

Un conjunto es la reunión en un todo de determinados objetos diferenciables unos deotros. A los objetos que forman un conjunto se les llama elementos del conjunto.

Un conjunto puede describirse enumerando sus elementos 1,2,3 o definiéndolo porlas propiedades que verifican sus elementos (el conjunto de las personas de esta ciudad).

Si un conjunto consta de un número finito de elementos se dice que es un conjuntofinito y si no se dice que es infinito. Se llama conjunto vacío al que no tiene ningúnelemento, y se designará por .

B ⊆ A B está contenido en AA B x|x ∈ A o bien x ∈ B unión de A y BA ∩ B x|x ∈ A y x ∈ B intersección de A y BA − B x|x ∈ A y x ∉ B diferencia de A por BEjemplo:

A 1,2,3 B 6,2,4 A B 1,2,3,4,6 A ∩ B 2 A − B 1,3 B − A 6,4

Observemos que los elementos repetidos se consideran una sola vez en la unión.El producto cartesiano

A B a,b|a ∈ A y b ∈ B

An

n veces

A A . . .AConjuntos numéricos

i) Números naturales N 0,1,2,3, . . . . . .ii) Números enteros Z 0,1,−1,2,−2, . . . . . .iii) Números racionales Q n

m : m,n ∈ Z, m ≠ 0

Son los números decimales periódicos (incluyendo el caso de números sin decimales,y números con una expresión decimal finita).

iv) Números reales R números decimales periódicos o no.R − Q Números irracionales.

v) Números complejos C a bi|a,b ∈ R donde i −1Una aplicación (o función) f : A → B es una forma de asignar a cada elemento de A un

elemento de B. A dominio, B codominio, fa imagen de a por f.

Af→ B

a → fa

Ejemplo:a) Sea f : 1,2,6,4 → 2,4,6,8,9 definida por f1 4, f2 9, f6 8, f4 9b) Sea A un conjunto. Aplicación identidad I : A → A en el conjunto A 2,5,0:

I2 2, I5 5, I0 0Imagen de f : A → B Im f b ∈ B|∃a ∈ A cumpliendo fa b

Sea f : A → B. Diremos que f es:i) Inyectiva si cada par de elementos distintos del conjunto inicial tienen distintas

imagénes.ii) Suprayectiva o sobreyectiva si Im f B (es decir, todo elemento del conjunto final

es imagen de algún elemento del conjunto inicial).iii) Biyectiva si es tanto inyectiva como suprayectiva.

Dadas Af B

g

C se obtiene la composición de f y g (se lee ”g compuesto con f”)g ∘ f : A C g ∘ fa gfa

Incluso en los casos en los que puede hacerse la composición en ambos sentidos (cosaque no ocurre siempre) no tienen por qué coincidir g ∘ f y f ∘ g.

Inversa de una aplicación biyectiva f : A → B∀b ∈ B f−1b a, de modo que fa bEn esta situación se tiene que

f−1 ∘ f IX f ∘ f−1 IY

Grupo abeliano G,∗, donde G es un conjunto y ”∗” cumple que para cada x,y ∈ G setiene que x ∗ y ∈ G, siendo ”∗” además asociativa, conmutativa, con elemento neutro ycada elemento tiene simétrico.

Observación: Con la suma, todos los conjuntos numéricos, excepto N, constituyengrupos abelianos, siendo el neutro el 0, y el simétrico de a es el opuesto −a.

En un cuerpo se incluye además una multiplicación que, entre otras cosas, tiene neutroy en la que todo elemento tiene inverso.

Propiedad: Dado un cuerpo K se cumple que: Para a,b ∈ K se tiene a b 0 si y sólosi a 0 ó b 0.

Números complejos C a bi|a,b ∈ R, donde i −1 (es decir, i2 −1).Este conjunto tiene estructura de cuerpo:Dados z1 a1 b1i y z2 a2 b2iSuma: z1 z2 a1 a2 b1 b2i.Producto:z1 z2 a1a2 − b1b2 a1b2 b1a2iz a bi (forma binómica de z)a parte real de z, b parte imaginaria de z.Conjugado de z z a − bi.Inverso z−1 z

|z|2siempre que z ≠ 0

División uz u z−1 siempre que z ≠ 0

Módulo de z |z| a2 b2 0.Forma trigonométrica z |z|cos isen donde (− ≤ ) es el

argumento (principal) de z ≠ 0Forma polar de z |z|

Producto

|zu| |z||u|

argzu arg z argu

r·r′′ rr′

′

Cociente

| zu | |z|

|u|

arg zu arg z − argurr′′ r

r′−′

Potencia|zn | |z|n

argzn narg z

Función exponencial compleja: exy exey

ex−y ex

ey

e0 1 eit cos t isent ∀t ∈ R (i −1 ). Forma exponencial z |z|eiarg z ∀z ∈ C z·u |z|eiarg z·|u|eiargu |z||u|eiarg zargu

zu |z|eiarg z

|u|eiargu |z||u|

eiarg z−argu

∀z ∈ C, z ≠ 0,∀n ≥ 2, tiene n raíces n-ésimas distintas z1, z2, . . . , zn tales que zkn zpara k 1,2, . . . ,n.

|zk | n r y sus argumentos son

1 n

2 1 2n

3 2 2n

4 3 2n

. . . . . . .

n n−1 2n

Resumen 2: Espacios vectoriales

1 Definición y ejemplos

Un espacio vectorial V sobre K, un cuerpo, está formado por elementos denominados vectores, los

cuales pueden sumarse internamente y también multiplicarse por escalares del cuerpo K (obteniendo

de esta multiplicación de nuevo vectores). De hecho para que se denomine espacio vectorial tienen

que cumplirse todos los axiomas correspondientes: por un lado los de grupo abeliano para V con la

suma ”+”, y además las propiedades pseudodistributivas, pseudoasociativa y pseudoelemento neutro.

Así los v ∈ V son vectores; y los λ ∈ K son escalares.

Propiedad: λv = 0 si y sólo si λ = 0 ó v = 0.

Ejemplos:

1. Sea K = R el cuerpo de los números reales y consideremos el conjunto

V = R2 = (x, y) : x, y ∈ R

Se define la suma interna ”+” y la multiplicación externa ”·” en V coordenada a coordenada:

Dados u = (x, y), v = (z, t) ∈ V definimosu+ v = (x, y) + (z, t) = (x+ z, y + t)

Dados u = (x, y) ∈ V y λ ∈ R definimosλ · u = λ · (x, y) = (λ · x,λ · y).

R2, con estas operaciones anteriormente definidas, es un R-espacio vectorial. El vector cero es

(0, 0). Igual con (R3,+, ·), (R4,+, ·)........, (Rn,+, ·)

2. Consideremos V = P2[R], el conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual que doscon coeficientes reales, es decir,

V = ax2 + bx+ c : a, b, c ∈ R

Definimos una suma interna ”+” y una multiplicación por escalares ”·” del siguiente modo:

Dados ax2 + bx+ c, dx2 + ex+ f ∈ V definimos

(ax2 + bx+ c) + (dx2 + ex+ f) = (a+ d)x2 + (b+ e)x+ (c+ f)

y dados ax2 + bx+ c ∈ V y λ ∈ R definimos

1

λ · (ax2 + bx+ c) = λax2 + λbx+ λc

En definitiva se define la suma y la multiplicación en cada coeficiente. P2[R], con estas ope-raciones anteriormente definidas, es un R-espacio vectorial. En este espacio vectorial el vector

nulo es el polinomio

0 = 0 + 0x+ 0x2

De modo análogo se definen P3[R], P4[R]....., Pn[R].

2 Subespacios vectoriales

Definición: W ≤ V si:

1. Para todo par de vectores u, v ∈W se tiene que u+ v ∈W ; y

2. Para todo vector u ∈W y todo escalar λ ∈ K se tiene que λu ∈W .O equivalentemente si:

3. (Caracterización de subespacio) Dado un subconjunto W de V , se tiene que W es un

subespacio de V si y sólo si para cada par de vectores u, v ∈ W y cada par de escalares

λ,μ ∈ K, se tiene que λu+ μv ∈W .

Propiedades:

1. Si W ≤ V . Entonces 0 ∈W .

2. Si W ≤ V , entonces (W,+, ·) (con las operaciones suma y multiplicación externa heredadas deV ) es un espacio vectorial.

Asociados a un espacio vectorial V siempre aparecen al menos el subespacio total V y el subes-

pacio nulo 0.

3 Sistemas de vectores

Un sistema de vectores de un espacio vectorial V es una colección (finita) de vectores v1, v2, ..., vn

de V

2

3.1 Combinaciones lineales. Subespacio generado. Sistema generador

v es CL de los vectores v1, v2, ..., vn si v = λ1v1 + λ2v2 + ...+ λnvn para algunos λ1,λ2, ...λn ∈ K.El vector nulo es siempre CL de cualquier sistema de vectores.

< v1, v2, ..., vn >= λ1v1 + λ2v2 + ...+ λnvn : λ1,λ2, ...λn ∈ K es el subespacio generado porlos vectores v1, v2, ..., vn.

Se dice que el sistema v1, v2, ..., vn es un SG de V si V =< v1, v2, ..., vn > (si todo vector de V

es CL de los vectores v1, v2, ..., vn).

Si sobre un SG de V realizamos alguna de las siguientes manipulaciones el sistema resultante es

de nuevo SG de V :

1. Trasformaciones elementales de Gauss.

2. Eliminar vectores del sistema que sean CL de los demás.

3.2 Dependencia e independencia lineal

Los vectores v1, v2, ..., vn son LI, cuando la única CL de ellos que da como resultado el vector 0 es la

CL en la que todos los escalares son nulos. En caso contrario son LD.

Propiedades: En un espacio vectorial V se tiene que:

1. Un sistema escalonado es LI si y sólo si no tiene filas (vectores) nulas.

2. Las transformaciones de Gauss conservan la dependencia o independencia lineal de un sistema.

3. Todo sistema de vectores que contenga al vector nulo es LD.

4. Todo sistema de vectores que tenga algún vector repetido es LD.

5. Un sistema formado por un sólo vector es un sistema LD si y sólo si el vector es nulo.

6. Los vectores u, v son LD si y sólo si son proporcionales.

7. Los vectores u1, u2, ..., un son LD si y sólo si alguno de ellos es CL del resto.

8. Todo sistema de vectores que contenga a un sistema LD es LD.

9. Todo sistema de vectores contenido en un sistema LI es LI.

10. Si un sistema de vectores es LI entonces las CL lineales del sistema no se repiten, es decir, cada

vector que es CL del sistema puede ponerse sólo de una forma como CL del sistema.

Propiedad: En un sistema de vectores de Rn, si al escalonar nos aparece el vector nulo el sistema

será LD. Por contra si conseguimos escalonar hasta el final el sistema sin que aparezca el vector nulo,

será un sistema LI.

3

4 Bases y dimensión de un espacio vectorial

Definición: Base de V = SG de V y LI.

Base canónica. Por ejemplo la de R3 es (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Para cualquier vector se tieneque

(x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1)

Teorema de la base: Todo espacio vectorial (no nulo) tiene alguna base. Además, todas las

bases de un espacio vectorial tienen el mismo número de elementos.

dimV = no de vectores de las bases de V . dimRn = n. dim0 = 0

Propiedades: Sea V un espacio vectorial no nulo de dimensión n, y X = v1, v2, ..., vk unsistema de vectores de V .

1. De todo SG de V se puede extraer una base de V . El número de vectores de un SG de V es

siempre mayor o igual que la dimensión de V .

2. Todo sistema LI de V se puede extender a una base de V . El número de vectores LI de V es

siempre menor o igual que la dimensión de V .

3. Si el número de vectores de un sistema coincide con la dimensión de V , entonces es una base

de V ⇔ es un SG de V ⇔ es un sistema LI de vectores de V .

Propiedad: Si U ≤ V entonces dimU ≤ dimV y se da la igualdad si y sólo si U = V .

4.1 Rango de un sistema de vectores

Definición: Rango(v1, v2, ..., vk) = dim < v1, v2, ..., vk >. Si estamos en Rn esto es lo mismo que el

rango de la matriz cuyas filas (o columnas) son los vectores.

Propiedades

El rango se conserva al:

1. Quitar algún vector que sea CL de los restantes.

2. Aplicar las transformaciones de Gauss.

Además, dado un sistema formado por k vectores de un espacio vectorial V se tiene que:

1. El sistema es LI si y sólo si su rango es k.

2. Es un SG de V si y sólo si su rango es dimV .

4

4.2 Coordenadas respecto de una base

B = v1, ..., vn=base de V , u ∈ V ; las coordenadas del vector u en la base B son los escalares

(únicos) x1, ....., xn tales que u = x1v1 + .....+ xnvn. Las denotaremos por uB = (x1, ....., xn).

Ejemplos:

En cualquier base las coordenadas del vector nulo son todas cero.

Si estamos en los espacios vectoriales de la forma Rn y tomamos como base la canónica, las coor-

denadas de un vector (x1, ..., xn) ∈ Rn en esta base son x1, ..., xn:

(x1, ..., xn) = x1(1, 0, ..., 0) + x2(0, 1, ..., 0) + ...+ xn(0, 0, ..., 1)

4.3 Cambio de base

La matriz cambio de base de B a B0, MB→B0 , está formada, por columnas, por las coordenadas

respecto de B0 de los vectores de B. Además, para cualquier u ∈ V se cumple que uB0 =MB→B0 ·uB .

Esa fórmula puede verse de otro modo, igualando cada coordenada en lo constituyen las ecuaciones

cambio de base de B a B0.

Propiedades:

1. La matriz MB→B0 es invertible y su inversa es MB0→B

.

2. Si C es la base canónica entonces las columnas de MB→C

son los vectores de la base B.

3. MB1→B3

=MB2→B3

·MB1→B2

para bases cualesquiera B1, B2 y B3.

4. Tomando en la fórmula anterior B2 = C entonces MB1→B3

= (MB3→C

)−1 ·M

B1→Cpara bases

cualesquiera B1 y B2.

5 Ecuaciones de los subespacios

A partir de un SG (si puede ser, mejor que sea una base) de un subespacio U de Rn se pueden obtener

tanto ecuaciones ecuaciones paramétricas como implícitas de U . Las primeras se caracterizan

porque aparecen x1, ....., xn, las incógnitas del espacio Rn, como CL de parámetros. Las segundas

son de la forma CL de x1, ....., xn igual a 0.

Observaciones:

1. Unmismo subespacio puede estar representado por diferentes bases, y por lo tanto por diferentes

ecuaciones paramétricas o diferentes ecuaciones implícitas.

2. Dado U ≤ Kn, si llamamos A a la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones implícitas

de U debe cumplirse que U + r(A) = n.

5

6 Suma e intersección de subespacios

Suma: U +W = u+ w|u ∈ U,w ∈WIntersección U ∩W = v ∈ V |v ∈ U, v ∈WPropiedad: La suma y la intersección de subespacios nos da en cada caso de nuevo un subespacio.

Propiedad:Uniendo sendos SG de U y W obtenemos un SG de U +W .

Propiedad: Las ecuaciones implícitas de U junto con las de W constituyen unas ecuaciones

implícitas de U ∩W .Fórmula de las dimensiones:

dim(U +W ) + dim(U ∩W ) = dimU + dimW

Suma directa:

1. La suma es directa si y sólo si la dimensión de la suma es la suma de las dimensiones si y sólo

si la unión de bases de cada subespacio es una base de la unión.

2. Para 2 subespacios equivale a que la intersección dé 0.

6

Resumen 3: Matrices, determinantes y sistemas de ecua-ciones lineales

1 Matrices

Una matriz con coeficientes sobre un cuerpo K (normalmente K = R) consiste en una colección de

números (o escalares) del cuerpo K ordenados por filas y columnas. Si la matriz tiene m filas y n

columnas se dirá que es de orden m× n.

Ejemplo: A =

Ã0 −1 3

3 7 6

!de orden 2× 3

Los elementos de la matriz A = (aij) del ejemplo anterior son:

a11 = 0 a12 = −1 a13 = 3 a21 = 3 a22 = 7 a23 = 6

A de orden m× n : Fi ∈ Kn= fila i-ésima. Cj ∈ Km= columna j-ésima de la matriz.

Matriz cuadrada= si tiene el mismo número de filas que de columnas.

Diagonal principal de una matriz=los elementos de la forma aii; son los que tienen el mismo

índice fila que columna.

Triangular inferior (respectivamente triangular superior) cuando todo elemento que esté si-

tuado por encima (respectivamente por debajo) de la diagonal principal es nulo. Matriz diagonal=

triangular por ambos lados.

Matriz identidad=diagonal 1 y el resto 0.

Matriz nula= Todo 0.

1.1 Operaciones con matrices

1.1.1 Suma

Sólo tiene sentido si las dos matrices son del mismo orden. Por ejemploÃ0 1 3

−1 5 6

!+

Ã2 0 −32 0 4

!=

Ã2 1 0

1 5 10

!

• (Elemento neutro) La matriz nula 0 B + 0 = B para cualquier B

1.1.2 Producto de una matriz por un escalar

3

Ã0 1 3

−1 5 6

!=

Ã0 3 9

−3 15 18

!− 4

Ã2 −1 3

9 0 8

!=

Ã−8 4 −12−36 10 −32

!

1

1.1.3 Producto de matrices

Para poder multiplicar dos matrices el número de columnas de la primera debe coincidir con el

número de filas de la segunda.

Para obtener el elemento del producto AB que está situado en la fila i, columna j,

hay que hacer el producto escalar del vector-fila Fi de A por el vector-columna Cj de B.

El producto no tiene por qué ser conmutativo.

Potencia n-ésima de A

An =

n veces Az | A ·A · ... ·A

1. Elemento neutro (matriz identidad):

IA = A y AI = A

1.1.4 Trasposición de matrices

Las filas de A son las columnas de su traspuesta At

Matriz simétrica

⎛⎜⎝ 1 −3 0

−3 5 4

0 4 −2

⎞⎟⎠1.2 Sistemas escalonados. Método de Gauss

Una matriz escalonada es la que cumple que cada fila tiene más ceros iniciales que la anterior,

exceptuando las filas nulas que pudieran aparecer al final. Ejemplo:⎛⎜⎜⎜⎝1 −3 0 3 7

0 0 4 5 0

0 0 0 1 −40 0 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎠El método de triangulación o escalonación de Gauss se utiliza para la escalonación del

sistema inicial. Se hace uso de 3 tipos de transformaciones elementales:

1. Cambiar el orden de las filas, ecuaciones o vectores.

2. Sumarle a una fila, ecuación o vector múltiplos de otras/os.

3. Multiplicar una fila, ecuación o vector por algún escalar no nulo.

1.3 Rango

r(A) es el número de filas no nulas que resultan después de escalonar la matriz A.

2

1.4 Inversa

A es invertible cuando tiene inversa B = A−1 ; ésta cumple que

AB = BA = I

Propiedad: Una matriz cuadrada de orden n es invertible si y sólo si tiene rango n.

1.4.1 Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la inversa

En la forma (A|In) aplicamos a la matriz A el método de Gauss-Jordan (variante del método

de Gauss), consistente en hacer operaciones (sólo por fila) hasta obtener la matriz identidad. El

resultado de aplicarle a la matriz identidad que hay a la derecha de A esas mismas operaciones nos

proporciona precisamente A−1.

2 Determinantes

|A| es un número.

Orden 1 −→ |a| = a

Orden 2 −→¯¯ a b

c d

¯¯ = ad− bc

Orden 3 −→

¯¯ a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

¯¯ =

= a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 − a13a22a31 − a23a32a11 − a33a12a21

2.1 Propiedades de los determinantes

1. Para todo α ∈ K se tiene que

det(F1, ...,αFi, ..., Fn) = α det(F1, ..., Fi, ..., Fn)

2. Para todo i, j ∈ 1, 2, ..., n (i 6= j) se tiene que

det(F1, ..., Fj, ..., Fi, ..., Fn) = −det(F1, ..., Fi, ..., Fj, ..., Fn)

3. Para todo i, j ∈ 1, 2, ..., n (i 6= j) se tiene que

det(F1, ..., Fi + αFj, ..., Fn) = det(F1, ..., Fi, ..., Fn)

para todo i, j ∈ 1, 2, ..., n (i 6= j) y todo α ∈ K.

3

4. det(F1, ..., Fn) = 0 si y sólo si los vectores F1, F2, ..., Fn son LD. De esto se deduce que:

5. Si A es una matriz triangular superior o inferior (en particular si es una matriz diagonal)

entonces detA es el producto de los elementos de la diagonal.

2.2 Menor, menor complementario, adjunto

Menor de una matriz A =determinante de cualquier submatriz cuadrada suya.

En una matriz cuadrada A de orden n se llama adjunto del elemento aij al determinante de

orden n− 1 de la submatriz resultante de eliminar en A la fila i y la columna j, que son en las queestá situado el elemento, multiplicado por (−1)i+j.

2.2.1 Cálculo del determinante desarrollando por adjuntos

|A| = suma de los productos de los elementos de cualquier fila o columna por sus respectivos adjuntos.

2.2.2 Rango de una matriz utilizando menores

Propiedad: El rango de A es el mayor orden para el que existen menores no nulos de ese

orden dentro de A. En particular se tiene que si encontramos un menor de orden r no nulo, entonces

r(A) ≥ r.

2.3 Cálculo de la inversa de una matriz mediante adjuntos

A−1 =1

|A|(Adj(A))t

3 Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones de la forma

(∗)

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩a11x1 + a12x2 + ....+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ....+ a2nxn = b2

......

am1x1 + am2x2 + ....+ amnxn = bm

donde los aij y los bi son escalares del cuerpo K y los xj representan las incógnitas del sistema

(también escalares del cuerpo K, en este caso, indeterminados), se llamará sistema de ecuaciones

lineales o sistema lineal sobre el cuerpo K. Se dirá que el sistema tiene m ecuaciones y n

incógnitas. A los aij se les llama coeficientes del sistema, a los bi términos independientes.

4

Agrupando los elementos anteriores tenemos

A = (aij) −→ matriz de coeficientes, de orden m× n

B =

⎛⎜⎜⎜⎝b1

b2

...

bm

⎞⎟⎟⎟⎠ −→ vector de términos independientes, de orden m× 1

X =

⎛⎜⎜⎜⎝x1

x2

...

xn

⎞⎟⎟⎟⎠ −→ vector de las incógnitas, de orden n× 1

Definimos la matriz ampliada (A|B), de orden m × (n + 1), como la que se forma añadiendo lacolumna B a la matriz A.

Una solución del sistema de ecuaciones lineales (*) es un vector S = (s1, s2, ..., sn) ∈ Kn tal que

al sustituir cada incógnita xj por el correspondiente sj se verifican todas las ecuaciones.

Sistema compatible (SC), si tiene alguna solución, o incompatible (SI), si no tiene ninguna

solución.

SCD= solución única, SCI= más de una (infinitas).

En los SCI al conjunto de todas las soluciones se le llama solución general y ésta quedará en

función de una serie de parámetros. Al menor número de parámetros que se necesitan para expresar

la solución general lo llamaremos grado de indeterminación o grados de libertad del sistema.

Diremos que un sistema AX = B es homogéneo si todos los términos independientes son nulos.

Sus soluciones forman el llamado núcleo de la matriz A.

3.1 Sistemas equivalentes. Método de Gauss para resolver sistemas li-

neales

Utilizaremos el método de Gauss. Esto permite:

1. Cambiar de orden las ecuaciones.

2. Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo.

3. Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.

Además, aquí es posible también:

4. Cambiar de orden las incógnitas.

para transformar el sistema lineal inicial en otro equivalente, es decir, con las mismas soluciones.

Una vez escalonado:

5

• Si en algún momento nos sale un absurdo entonces estamos con un SI.

• En caso contrario podremos escalonar hasta el final y estaremos con un SC. Si:∗ Todas las incógnitas corresponden con pivotes: SCD.∗ Hay más incógnitas que pivotes; SCI. A la hora de resolver hay que tener en cuentaque las incógnitas que no correspondan a pivotes van a ser los parámetros del sistema.

Durante este proceso también pueden ir eliminándose ecuaciones ”triviales” de la forma 0 = 0 o

bien ecuaciones que sean CL de otras.

3.2 Teorema de Rouché-Fröbenius

Teorema: Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si y sólo si el rango de la matriz de

coeficientes coincide con el de la matriz ampliada. En este caso, el sistema es compatible determinado

si este rango coincide con el número de incógnitas del espacio. Cuando el sistema es compatible

indeterminado los grados de libertad se calculan como la diferencia entre el número de incógnitas y

el rango.

Un sistema homogéneo AX = 0 tiene solución no nula (kerA 6= 0) si y sólo si r(A) < n.

3.3 Método de Cramer

Teorema: Si A cuadrada de orden n y AX = B es SCD. Entonces la solución del sistema

(x1, x2, ..., xn) se halla así: xi =|Mi||A| para todo i, donde Mi es la matriz obtenida a partir de A

sustituyendo la columna i-ésima por la columna de términos independientes B.

6

Resumen 4: Aplicaciones lineales

1 Definición, primeras propiedades y ejemplos

V , W espacios vectoriales, f : V →W es una aplicación lineal si:

1. Para todo par de vectores u, v ∈ V f(u+ v) = f(u) + f(v)

2. Para todo vector u ∈ V y todo escalar α ∈ K f(αu) = αf(u)

f : V →W es lineal si y sólo si f(αu+βv) = αf(u)+βf(v) para todo par de vectores u, v ∈ V ytodo par de escalares α,β ∈ K (así las dos propiedades de la definición pueden resumirse sólo

en una).

Si f : V →W es una aplicación lineal, entonces f(0V) = 0

W.

Si f : Rn → Rm es lineal la expresión f(x1, x2, ..., xn) se denomina expresión analítica de f .

En la práctica f : Rn → Rmes lineal si en cada una de las componentes de la expresión analítica def aparecen CL de las incógnitas genéricas x1, x2, ..., xn de Rn.

2 Núcleo e imagen

Dada f : V →W el núcleo de f es ker f = v ∈ V |f(v) = 0 ≤ V

y la Imagen de f es Im f = f(v)|v ∈ V ≤W

Si B = v1, v2, ..., vn es una base (o SG) de V se tiene que f(B) = f(v1), f(v2), ..., f(vn) es unSG de Im f .

2.1 Tipos de aplicaciones

Propiedad: Sea f : V →W una aplicación lineal. Entonces

1) f es inyectiva si y sólo si ker f = 0.2) f es suprayectiva si y sólo si dimker Im f = dimW .Fórmula de las dimensiones: dimker f + dim Im f = dimV

3 Existencia y unicidad de aplicaciones lineales

Teorema: (Existencia y unicidad de aplicaciones lineales) Dada una base B = v1, v2, ..., vnde V y un sistema de vectores w1, w2, ..., wn deW existe una única aplicación lineal f : V →W tal que

f(v1) = w1, f(v2) = w2, ..., f(vn) = wn. Y está definida así: dado v ∈ V , si v = x1v1+x2v2+...+xnvnentonces f(v) = x1w1 + x2w2 + ...+ xnwn.

1

4 Matriz asociada a una aplicación lineal

Sea f : V →W una aplicación lineal y sean B = v1, v2, ..., vn y B0 = w1, w2, ..., wm bases de Vy W . La matriz asociada a f respecto de B y B0, M

B→B0 (f), es la matriz cuyas columnasson f(v1)B0 , f(v2)B0 , ..., f(vn)B0 .

Las matrices cambio de base pueden verse como matrices asociadas a la aplicación identidad: Si

B = v1, v2, ..., vn y B0 = w1, w2, ..., wn son bases de V entonces MB→B0 (I) =MB→B0 .

f(v)B0 =MB→B0 (f) · vB para cada vector v ∈ V .

La expresión analítica de f es f(v) =MCn→Cm

(f) · v

Propiedades:

1. La composición de aplicaciones lineales es lineal.

2. La aplicación identidad (que es el elemento neutro para la composición) es lineal.

3. La inversa de una aplicación biyectiva lineal es de nuevo lineal.

4.1 Propiedades de la matriz asociada

1. Dada una matriz A de orden m × n y bases B y B0 de Rn y Rm, respectivamente, siempreexiste una única aplicación lineal f : Rn → Rmde manera que A =M

B→B0 (f)

2. El rango de la matriz asociada coincide con la dimensión de la imagen.

3. Si tenemos aplicaciones lineales Vf−→W

g−→ U y sendas bases B,B0 y B00, entonces

(∗) MB→B00 (g f) =MB0→B00 (g) ·MB→B0 (f)

4. Si f : V →W es una aplicación lineal, con bases B1 y B01 de V , y B2 y B02 de W , entonces

MB01→B02

(f) =MB2→B02

·MB1→B2

(f) ·MB01→B1

5. Si f : Rn → Rm es lineal, B01 es base de Rn, y B02 de Rm entonces

MB01→B02

(f) = (MB02→Cm

)−1 ·M

Cn→Cm(f) ·M

B01→Cn

6. Si f : V → V es un endomorfismo y B y B0 son bases de V entonces

MB0→B0 (f) = (MB0→B

)−1 ·M

B→B(f) ·M

B0→B

7. Si f : Rn → Rn es lineal y B0 es base de Rn, entonces

MB0→B0 (f) = (MB0→C

)−1 ·M

C→C(f) ·M

B0→C

8. Las matrices asociadas del penúltimo (y también del último) apartado, MB→B

(f) yMB0→B0 (f),

son matrices semejantes. (Dos matrices cuadradas del mismo tamaño A y A0 son semejantessi existe una matriz invertible Q que cumple que A0 = Q−1AQ.)

2

5 Endomorfimos con significado geométrico

Homotecia de razón a −→ hα(u) = αu

Proyección de base W1 y de dirección W2 −→ deja los vectores de W1 fijos y lleva los de W2 al

0.

Simetría de base W1 y de dirección W2 −→ deja los vectores de W1 fijos y lleva los de W2 a los

opuestos respectivos.

Si W2 =W⊥1 se llaman proyección y simetría ortogonal de base W1

Rotación o giro (en el plano) de ángulo θ −→ θ es el ángulo que forman cada vector y su

imagen.

3

Resumen 5: Diagonalización de matrices

1 Valores propios y vectores propios

Si se cumple que Av = λv (respectivamente f(v) = v) entonces v es un vector propio, de la matriz

A (respectivamente del endomorfismo f), y λ un valor propio, de la matriz A (respectivamente del

endomorfismo f), asociado a v.

Los vectores propios son no nulos pero el escalar λ = 0 sí puede ser valor propio.

Observación: Sea f un endomorfismo de Rn y A la matriz asociada a f respecto de la

base canónica C de Rn. Entonces los valores propios (y los vectores propios) de f y de A

son los mismos. Esto se debe a que f(v) = Av para cualquier vector v.

El núcleo de una matriz A de orden n×n es kerA = v ∈ Rn : Av = 0. Es un subespacio de Rncuyas ecuaciones implícitas tienen por matriz de coeficientesA. Su dimensión es dimkerA = n−r(A).

2 Polinomio característico

El polinomio característico de una matriz cuadrada A (de tamaño n × n) es |A− λI|. Estepolinomio es de grado n y sus raíces son precisamente los valores propios de la matriz.

La suma de las multiplicidades de los valores propios de la matriz es como mucho el

tamaño de la matriz.

Los valores propios de una matriz triangular (superior o inferior) son los elementos

de la diagonal principal.

Propiedad: Dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico, y por tanto, los

mismos valores propios y las mismas multiplicidades.

Se llama polinomio característico de un endomorfismo al de cualquiera de sus matrices

asociadas.

3 Subespacios propios

El subespacio propio de la matriz A asociado al valor propio λ es

Nλ = ker(A− λI) = v ∈ Kn|(A− λI)v = 0 = v ∈ Kn|Av = λvEstá formado por todos los vectores propios de la matriz A asociados al valor propio λ,

además del vector 0.

Propiedades: Para cada valor propio λ de una matriz cuadrada A de orden n se tiene que:

1. ker(A− λI) 6= 0 (es decir, dim(ker(A− λI)) ≥ 1).

2. dim[ker(A− λI)] ≤ m(λ).

3. dim[ker(A− λI)] = n− r(A− λI).

Propiedad: Vectores propios asociados a distintos valores propios son LI; o dicho de otro modo,

la suma de los subespacios propios es directa. Esto se traduce en que la unión de bases de

cada subespacio propio resulta ser una base de la suma de los subespacios propios.

1

4 Matrices diagonalizables

Una matriz cuadrada se dice que es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal. Un

endomorfismo de Rn se dice diagonalizable si la matriz asociada respecto de alguna base del espacio

es una matriz diagonal. En ambos casos la matriz diagonal se llamará matriz diagonal asociada,

y su diagonal principal estará formada por los valores propios de la matriz A.

Condición 1: Una matriz es diagonalizable si y sólo si existe una base del espacio vectorial Rn

formada por vectores propios de la matriz.

Cuando tengamos una matriz A diagonalizable tendremos

A = PDP−1

donde D es una matriz diagonal y P es invertible. A D la llamaremosmatriz diagonal semejante

a A y a P y a su inversa matrices de paso o matrices cambio de base. Entonces si tomamos

el endomorfismo f de Rn tal que

MC→C

(f) = A

(con C la base canónica de Rn), para la descomposición A = PDP−1 pueden tomarse

D =MB→B

(f) y P =MB→C

con B una base de Rn formada por vectores propios de A.

Condición 2: Una matriz A es diagonalizable si y sólo Rn es la suma (directa) de todos los

subespacios propios de la matriz si y sólo si la suma de las dimensiones de dichos subespacios

propios es n.

La base de vectores propios se puede hallar uniendo bases de cada uno de los subes-

pacios propios de A.

Condición 3: A es diagonalizable sobre R si y sólo si se verifican las siguientes condiciones:

1. El polinomio característico φAtiene sólo raíces reales.

2. Para cada valor propio λ de la matriz A se tiene que dim[ker(A− λI)] = m(λ).

Para un valor propio λ con m(λ) = 1 se tiene que dim[ker(A− λI)] = 1.

Condición 4: Sea A una matriz cuadrada de orden n con coeficientes sobre el cuerpo R. Si A

posee n valores propios de multiplicidad 1 en R, entonces A es diagonalizable sobre R.

5 Aplicaciones de la diagonalización

5.1 Cálculo de potencias de matrices

Si A es una matriz diagonalizable cuya descomposición es

A = PDP−1

2

(donde D es la matriz diagonal asociada y P la matriz de paso) entonces se cumple para cada índice

natural k que

Ak = PDkP−1

Además si D es una matriz diagonal con elementos

λ1,λ2, ...,λn

en la diagonal principal, para cada k = 1, 2, 3, ... se tiene que Dk es también una matriz diagonal, y

los elementos de la diagonal principal son

λk1,λk2, ...,λkn

5.2 Diagonalización de matrices simétricas reales

A = At, de orden n, y consideramos en Rn el producto escalar euclídeo. Entonces:

1. A es siempre diagonalizable sobre R, en particular sus valores propios son todos reales (no hay

valores propios imaginarios).

2. Vectores propios de la matriz asociados a distintos valores propios son ortogonales.

3. Puede encontrarse una base ortogonal (e incluso ortonormal) de Rn formada por vectores

propios de la matriz.

P−1 = P t =⇒ P se llama matriz ortogonal (sus vectores-fila o sus vectores—columna forman una

base ortonormal de espacio Rn). La matriz cambio de base entre dos bases ortonormales es una

matriz ortogonal.

Diagonalización ortogonal de la matriz real simétrica A =⇒ A = PDP−1 donde P =MB→C

es

una matriz ortogonal, pues se puede elegir B una base ortogonal de Rn formada por vectores propios

de A (escogiendo en cada subespacio propio una base ortonormal y uniendo dichas bases).

Por tanto P−1 = P t.

3

Resumen 6: Espacio vectorial euclídeo

1 Definición de producto escalar

Un producto escalar en V verifica las siguientes propiedades:

1. Bilineal:

(i) (u+ u0) · v = u · v + u0 · v para todo u, u0, v ∈ V(i0) u · (v + v0) = u · v + u · v0 para todo u, v, v0 ∈ V(ii) αu · v = u · αv = α(u · v) para todo α ∈ R y todo u, v ∈ V

2. Simétrica:

Para todo u, v ∈ V se tiene que u · v = v · u.

3. Definida positiva:

Para todo vector u ∈ V no nulo se tiene que u · u > 0.La expresión u · v es un escalar al que se le denomina producto escalar de u y v.Al par (V, ·), formado por un R-espacio vectorial junto con un producto escalar se le denomina

espacio vectorial euclídeo.

Propiedad: Para todo v se tiene que v · 0 = 0 y si además v 6= 0 entonces v · v > 0.Ejemplo: El producto escalar usual (canónico o euclídeo) enRn. Dados (x1, x2, ..., xn), (y1, y2, ..., yn) ∈

Rn se define el producto escalar euclídeo en Rn del siguiente modo:

(x1, x2, ..., xn) · (y1, y2, ..., yn) = x1 · y1 + x2 · y2 + ...+ xn · yn

2 Norma asociada a un producto escalar

Norma (módulo o longitud) del vector v

kvk = +√v · vNorma euclídea: k(x1, x2, ..., xn)k =

px21 + x

22 + ...+ x

2n

Vector unitario : tiene norma 1.

Desigualdad de Cauchy-Schwarz: |u · v| ≤ kuk · kvk .α =ángulo que forman los vectores u y v ⇒ u · v = kuk · kvk · cosα

3 Ortogonalidad

u y v son ortogonales (o perpendiculares) cuando u · v = 0Sistema ortogonal = cuando los vectores son ortogonales dos a dos. Sistema ortonormal =

sistema ortogonal de vectores unitarios.

Base ortogonal (ortonormal) de V = sistema ortogonal (ortonormal) que es base de V .

Propiedades:

1

1. Un sistema formado por un solo vector es un sistema ortogonal.

2. La base canónica de Rn es una base ortonormal de este espacio vectorial, si estamos

considerando el producto escalar euclídeo en Rn.

3. Un sistema ortogonal de vectores no nulos es un sistema LI de vectores. Un sistema ortonormal

de vectores es un sistema LI de vectores.

4. Si en una base ortogonal de un espacio vectorial euclídeo de V dividimos cada vector por su

norma, entonces el sistema resultante de vectores es una base ortonormal de V .

3.1 Método de ortogonalización de Gram-Schmidt

A partir de una base u1, u2, ..., un de V se puede construir una base ortogonal de V tomando

w1 = u1

w2 = u2 + α21w1 con α21 = −u2 · w1w1 · w1

w3 = u3 + α31w1 + α32w2 con α31 = −u3 · w1w1 · w1 y α32 = −u3 · w2

w2 · w2.............................

3.2 Subespacio ortogonal

Propiedad: El subespacio ortogonal de W ≤ V es

W⊥ = v ∈ V |v · w = 0 ∀w ∈W

Se tiene que V =WLW⊥.

3.3 Proyección ortogonal

Dados v ∈ V y W ≤ V se define la proyección ortogonal de v sobre W como el único v1 ∈W tal

que v = v1 + v2 para cierto v2 ∈W⊥.

Si B = u1, u2, ..., uk es base de W entonces v1 = α1u1 + α2u2 + ... + αkuk, donde los escalares

de la CL son tales que verifican el sistema lineal

v · u1 = α1u1 · u1 + α2u2 · u1 + ...+ αkuk · u1v · u2 = α1u1 · u2 + α2u2 · u2 + ...+ αkuk · u2

.......................

v · un = α1u1 · un + α2u2 · un + ...+ αkuk · un

2

Tema 7: Programación lineal: ResumenEn este tema veremos solamente unas nociones básicas de programación lineal.

1. Concepto de problema de programación lineal

Un problema de programación lineal consiste en un problema en el que se busca el máximo o el

mínimo de una función, denominada función objetivo, en un cierto conjunto generalmente compacto,

denominado conjunto factible. Este conjunto debe tener ciertas características: está determinado

por restricciones lineales de igualdad o desigualdad. Es decir, los puntos de este conjunto satisfacen

una serie de ecuaciones y/o inecuaciones. Las restricciones de desigualdad (inecuaciones) no poseen

desigualdades en sentido estricto, solamente de los tipos "≤"ó "≥".Los conjuntos factibles pueden ser tanto rectas, semirectas, planos, semiplanos, puntos, polígonos,

poliedros, etc., incluso pueden llegar a ser el conjunto vacío. Exceptuando este último y atípico caso

estaremos con conjuntos convexos (los que cumplen que la recta que une cualesquier dos puntos del

conjunto está contenida en el conjunto).

Si el problema tiene solución (lo cual ocurre con seguridad si el conjunto es compacto) tiene que

alcanzarse en un vértice del conjunto, no en un punto interior.

Por diversas cuestiones, entre ellas la sencillez, vamos a analizar solamente problemas de progra-

mación lineal en el que no aparezcan igualdades, únicamente desigualdades.

El problema puede tener solución o no. En el primer caso puede que se alcance en un único punto

(vértice) del conjunto o se alcance en infinitos (si hay más de uno hay infinitos; si hay dos puntos

que son solución todos los puntos del segmento que los une también son soluciones). En el segundo

caso puede ocurrir que en ningún punto se alcance el mínimo o el máximo (por ejemplo, en el primer

caso, siempre que tomemos un punto hay otro en el que el valor de la función se inferior). Por tanto

no existe el mínimo) o que no haya puntos factibles, porque el conjunto factible sea vacío (situación

poco frecuente en nuestro estudio).

Nos centraremos en el caso especial de problemas de 2 variables. En este caso cada desigual-

dad viene dada por una recta. En concreto, cada desigualdad denota alguno de los dos semiplanos

determinados por dicha recta. Al final nuestro conjunto factible será la intersección de todos esos

semiplanos: un polígono convexo en el caso de estar acotado.

Veamos diferentes métodos para resolver este tipo de problemas.

2. Método analítico

Se hallan los vértices del conjunto, eligiéndolos de entre todos los puntos que se obtienen inter-

sectando dos a dos todas las rectas. Para elegir correctamente los vértices hay que tener en cuenta

que éstos deben satisfacer cada una de las desigualdades dadas. Si un punto calculado a partir de la

intersección de dos de las rectas no cumple alguna de las desigualdades, éste no es un vértice.

Después evaluamos la función objetivo en dichos vértices y observamos dónde se alcanza el máximo

y el mínimo.

1

3. Método gráfico

Sirve como complemento visual al método anterior. Suelen emplearse conjuntamente. Se trata

de representar cada una de las rectas anteriores y, en definitiva, tener una idea gráfica del conjunto

factible, observando con detenimiento sus vértices y aristas. Suele utilizarse también el siguiente

recurso. Luego se van trazando rectas "paralelas.a la función objetivo, ( ), en el sentido de que

son del tipo ( ) =constante. Según cómo es dicha función objetivo y cómo es el conjunto factible,

de entre estas rectas es posible que haya alguna (como mucho 2) que son tangentes al conjunto,

tocándolo en un punto o una arista completa. Ahí tendremos el máximo o el mínimo de la función

objetivo, en todos los puntos donde la recta toca al conjunto.

4. Simplex

Es un método que permite resolver los problemas de programación lineal, dando la solución (si

existe) y algún punto (aunque no sea único) en el que se alcance, o diciendo si no tiene solución, y

por qué motivo. Es demasiado complicado para explicarlo en el poco tiempo del que disponemos.

Decir que maxima utiliza este algoritmo para resolver los problemas.

2

Resumen 8: La recta real y el espacio métrico Rn. Funciones de unavariable: límites, continuidad y cálculo diferencial

1 La recta real R

R, el conjunto de los números reales, son los números decimales (sean periódicos o no). Lo veremos como una recta,la recta real.

• Densidad: Dados a < b existen α ∈ Q y β ∈ R−Q tales que a < α < b y a < β < b.

• Dado x, el valor absoluto de x es |x| = maxx,−x =

⎧⎪⎨⎪⎩x si x > 0−x si x < 00 si x = 0

• Desigualdad triangular: ∀x, y ∈ R se cumple que |x+ y| ≤ |x|+ |y|

• Infinito: ∞

• Intervalos abiertos:

]a, b[= x ∈ R : a < x < b ]-∞, b[= x ∈ R : x < b y ]a,+∞[= x ∈ R : a < x

• Intervalos cerrados:

[a, b] = x ∈ R : a ≤ x ≤ b ]-∞, b] = x ∈ R : x ≤ b y [a,+∞[= x ∈ R : a ≤ x

• Intervalos ni abiertos ni cerrados: ]a, b] = x ∈ R : a < x ≤ b y [a, b[= x ∈ R : a ≤ x < b.

2 El espacio métrico Rn

Distancia usual en R d(x, y) = |x− y|Distancia usual en R2 d[(x1, x2), (y1, y2)] =

p(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2

• Bola abierta B(a, r) = x ∈ Rn : d(x, a) < r.

• Bola cerrada B(a, r) = x ∈ Rn : d(x, a) ≤ r

• a es un punto interior de X si existe B(a, r) ⊆ X.

• a es un punto de acumulación de X si toda B(a, r) contiene infinitos puntos del conjunto X.

• X es abierto si todo punto de X es un punto interior de X

• X es cerrado en el espacio métrico si su complementario Rn −X es abierto.

Observación: La idea intuitiva es que un conjunto es abierto cuando no tiene puntos que estén en el borde,cuando están todos encerrados en el interior, y que un conjunto es cerrado si todo el borde del conjunto pertenece aél.

• X es acotado si está contenido en alguna bola.

• X es compacto si es cerrado y acotado.

1

3 Dominio. Funciones usuales. Operaciones con funciones

Función real de variable real f : D ⊆ R→ R, D = Domf es el dominio.Entenderemos el dominio como el conjunto más amplio posible de puntos en el que está definida la función.La gráfica de f es la representación en el plano de todos los puntos (x, f(x)) con x ∈ Domf .OPERACIONES CON FUNCIONES

• Suma y resta de funciones (f ± g)(x) = f(x)± g(x)

• Producto por números (α · f)(x) = α · f(x)

• Producto de funciones (f · g)(x) = f(x) · g(x)

• Cociente de funciones fg(x) =

f(x)

g(x)

• Exponenciación f(x)g(x)

• Composición (f g)(x) = f(g(x))

• Función constante f(x) = k

• Función identidad I(x) = x

• Una función biyectiva f tiene inversa f−1, que verifica que f f−1 = f−1 f = I

A veces se restringe el dominio o el codominio para que la función tenga inversa en algunos trozos.FUNCIONES USUALES

1. Los polinomios

expresión general recta horizontal recta oblícua parábola potencia n-ésima

a0 + a1x+ a2x2 + ...+ anx

n k ax+ b ax2 + bx+ c xn

2. Función exponencial y su inversa (logaritmo)

Dado a > 0, a 6= 1 se tiene que

exponencial de base a logaritmo de base a

ax loga x

Propiedades

exponencial a0 = 1 ax+y = axay ax−y = ax

ay aloga x = x ∀x > 0logaritmo loga 1 = 0 loga xy = loga x+ loga y loga

xy = loga x− loga y loga(a

x) = x ∀x

Logaritmo neperiano = si la base es el número e ' 2.72.

3. Funciones trigonométricas principales

Seno, coseno y tangente.

En un triángulo rectángulo de hipotenusa 1 y tal que uno de los ángulos distintos del ángulo recto es x el valorsinx representa el cateto opuesto al ángulo y cosx el cateto contiguo. tanx = sinx

cos x

4. Éstas funciones admiten inversas de modo local: arcsinx, arccosx, arctanx.

sin2 x+ cos2 x = 1 1 + tan2 x = 1cos2 x

sin(arcsinx) = x cos(arccosx) = x tan(arctanx) = x

arcsin(sinx) = x arccos(cosx) = x arctan(tanx) = x

Funciones sinusoidales: Son del siguiente tipo (o combinación de ellas)

f(x) = A sin(Bx+ C) +D

f(x) = A cos(Bx+ C) +D

2

5. Funciones hiperbólicas principales

Seno hiperbólico (sinhx = ex−e−x2 ), coseno hiperbólico (coshx = ex+e−x

2 ) y tangente hiperbólica(tanhx = sinhx

coshx). Inversas: argumento seno hiperbólico (arg sinhx), argumento coseno hiperbólico(arg coshx) y argumento tangente hiperbólica (arg tanhx).

Fórmula: sinh2 x+ 1 = cosh2 x

4 Límite de una función en un punto

Idea intuitiva de límite: limx→a

f(x) = L si para valores de la variable x cercanos a (pero diferentes de) a los valores de

f(x) son cercanos al límite L. También pueden definirse los límites por la izquierda y por la derecha, tomando puntossólo por el lado correspondiente.El límite es único si existe, y no depende del valor de la función en el punto, si es que dicho valor existe.Cuando no hay problemas de sustitución calcular el límite consiste en ”sustituir” en el punto.Hay límites que dan infinito lim

x→af(x) = ±∞ y también se pueden estudiar límites cuando x tiende a infinito

limx→+∞

f(x).

Límite de polinomios en el infinito: limx→∞

p(x) = ∞ (salvo que sea un polinomio constante, en cuyo caso el

límite es la propia constante).

4.1 Operaciones con límites. Indeterminaciones. Límites de funciones racionales

Las operaciones usuales con límites se conservan, siempre que la operación que se realiza tenga sentido:

limx→a

f(x)± g(x) = limx→a

f(x)± limx→a

g(x) limx→a

f(x) · g(x) = limx→a

f(x)· limx→a

g(x)

limx→a

f(x)g(x) =

limx→a

f(x)

limx→a

g(x) limx→a

f(x)g(x) =limx→a

f(x)limx→a

g(x)

Los límites también se conservan al componer con las funciones usuales tales como los polinomios, lastrigonométricas, las exponenciales, los logaritmos, etc (las funciones que después denominaremos continuas).Las operaciones anteriores son válidas también en algunos contextos más generales. De ahí que a veces podamos

extender estas operaciones a casos en los puedan aparecer algunos infinitos u otros casos no incluidos inicialmente

entre los posibles. Dentro de estos casos nos aparecen operaciones válidas y otras no válidas, denominadas indeter-minaciones. Todos estos casos están reflejados en la parte de operaciones simbólicas dada en el apéndice deltema. Las indeterminaciones son:

00

∞∞ 0 ·∞ ∞−∞ 00 ∞0 1∞

Para los últimos tres casos podemos aplicar la fórmula f(x)g(x) = eg(x)·log(f(x)) y transformar la indeterminacióninicial en una de los primeros tipos.Límite de funciones racionales (cocientes de polinomios) en el infinito:

limx→∞

p(x)

q(x)=

⎧⎪⎨⎪⎩0 si s > r∞ si r > sαλ si r = s

donde p(x) = αxr + ...+ βx+ γ q(x) = λxs + ...+ μx+ δ

5 Continuidad

Una función f es continua en un punto a si:

1. Existe (y es finito) limx→a

f(x).

2. f está definida en el punto a.

3

3. f(a) = limx→a

f(x).

Continuidad por la derecha (o izquierda) = cambiar el límite por el límite por la derecha (o izquierda).

• Una función es continua en un intervalo si lo es en todo punto del intervalo (si el intervalo contiene algúnextremo, se supone la continuidad lateral en dicho extremo).

• Las funciones usuales (como polinomios, trigonométricas, exponenciales, logaritmos etc.) son continuas entodo punto del dominio.

• Si realizamos operaciones usuales (suma, resta, producto, cociente, exponenciación, composición, etc.) confunciones continuas, el resultado es una función continua, siempre en puntos del dominio.

Teorema de Bolzano: Sea f : [a, b] → R una función continua tal que los signos de f(a) y f(b) son distintos.Entonces existe algún punto a < c < b tal que f(c) = 0.Teorema de Weierstrass: Sea f : [a, b] → R una función continua. Entonces f está acotada en [a, b] y además

existen dos puntos del intervalo en los que se alcanza el máximo y el mínimo de la función en el intervalo.

6 Derivabilidad

El límite f 0(a) = limx→a

f(x)− f(a)x− a es la derivada de f en el punto a. Cuando existe y es finito decimos que la

función es derivable en a.

• Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en dicho punto.

• Una función es derivable en un intervalo ]a, b[ si lo es en todo punto del intervalo.

• Las funciones usuales (como polinomios, trigonométricas, exponenciales, logaritmos etc.) son derivables entodo punto del dominio y si realizamos operaciones usuales (suma, resta, producto, cociente, exponenciación,composición, etc.) con funciones derivables en algún punto, el resultado es una función derivable en dichopunto.

6.1 Reglas de derivación

Suma [f(x) + g(x)]0 = f 0(x) + g0(x) f y g funciones

Resta [f(x)− g(x)]0 = f 0(x)− g0(x) f y g funciones

Producto por un número [k · f(x)]0 = k · f 0(x) f y g funciones, k ∈ RCociente entre un número [ f(x)k ]0 = f 0(x)

k f y g funciones, k ∈ RProducto [f(x) · g(x)]0 = f 0(x) · g(x) + f(x) · g0(x) f y g funciones

Cociente∙f(x)

g(x)

¸0=f 0(x) · g(x)− f(x) · g0(x)

g(x)2f y g funciones

Composición (regla de la cadena) (g f)0(x) = (g[f(x)])0 = g0[f(x)] · f 0(x) f y g funciones

4

6.2 Derivadas de funciones usuales

Constante (k)0 = 0

Potencia (n ∈ R) (xn)0 = nxn−1 [f(x)n]0 = nf(x)n−1f 0(x)

Exponencial (a ∈ R) (ax)0 = ax · log a [af(x)]0 = af(x) · f 0(x) · log aExponencial de base e (ex)0 = ex (ef(x))0 = ef(x) · f 0(x)

Logaritmo (a ∈ R) (loga x)0 = 1

x ·1

log a(loga[f(x)])

0 =f 0(x)

f(x)· 1

log a

Logaritmo de base e (log x)0 = 1x (log[f(x)])0 =

f 0(x)

f(x)

Seno (sinx)0 = cosx (sin[f(x)])0 = cos[f(x)] · f 0(x)Coseno (cosx)0 = − sinx (cos[f(x)])0 = − sin[f(x)] · f 0(x)

Tangente (tanx)0 =1

cos2 x(tan[f(x)])0 =

f 0(x)

cos2[f(x)]

Cotangente (cotx)0 = − 1

sin2 x(cot[f(x)])0 = − f 0(x)

sin2[f(x)]

Arcoseno (arcsinx)0 =1√1− x2

(arcsin[f(x)])0 =f 0(x)p1− f(x)2

Arcocoseno (arccosx)0 = − 1√1− x2

(arccos[f(x)])0 = − f 0(x)p1− f(x)2

Arcotangente (arctanx)0 =1

1 + x2(arctan[f(x)])0 =

f 0(x)

1 + f(x)2

Seno hiperbólico (sinhx)0 = coshx (sinh[f(x)])0 = cosh[f(x)] · f 0(x)Coseno hiperbólico (coshx)0 = sinhx (cosh[f(x)]0 = sinh[f(x)] · f 0(x)

Argumento seno hiperbólico (arg sinhx)0 =1√1 + x2

(arg sinh[f(x)])0 =f 0(x)p1 + f(x)2

Argumento coseno hiperbólico (arg coshx)0 =1√x2 − 1

(arg cos[f(x)])0 =f 0(x)pf(x)2 − 1

Derivada de una función potencial-exponencial:

[g(x)h(x)]0 = g(x)h(x)[h0(x) log[g(x)] +h(x)g0(x)

g(x)]

6.3 Interpretaciones de la derivada

• La derivada de una función puede interpretarse como una medición del incremento (o variación) de la funciónpor cada unidad de la variable.

• En física una de las interpretaciones más conocidas de la derivada es la que permite obtener la velocidad de unobjeto a partir de su posición, derivando con respecto al tiempo.

• Geométricamente la derivada representa la pendiente de la recta tangente:

Sea y = f(x) una curva, donde f es una función derivable. La recta tangente a la curva en el punto (a, f(a))

es la que tiene por ecuación y = f(a) + f 0(a)(x− a) y la recta normal es y = f(a)− 1

f 0(a)(x− a)

6.4 Derivadas de orden superior

(f 0)0 = f 00, (f 00)0 = f 000, (f 000)0 = fIV , (fIV )0 = fV , ....., derivada n-ésima f (n)

Función de clase Cn = existe la derivada n-ésima y ésta es continuaFunción de clase C∞ = existen todas las derivadas.

6.5 Cambios de variable

dy

dx=dy

dt· dtdx

5

7 Propiedades gráficas de las funciones derivables

7.1 Crecimiento y decrecimiento

La primera función es creciente y la segunda es decreciente. Si f 0(x) tiene signo positivo la función f serácreciente, y si f 0(x) tiene signo negativo la función f será decreciente.

7.2 Máximos y mínimos

7.2.1 Máximos y mínimos relativos

Se tiene un máximo relativo en a si f(a) es el valor mayor de ”todos los alrededores”. Simétricamente ocurre conun mínimo relativo. Ambos son se llaman extremos relativos. Si hay extremo relativo en a entonces f 0(a) = 0(se dice que a es un punto crítico de f).

La primera gráfica muestra un máximo relativo y la segunda un mínimo.Propiedad: Si a es un punto crítico de f , entonces:

1. Si f 00(a) > 0 la función tiene en a un mínimo relativo y si f 00(a) < 0 la función tiene en a un máximo relativo.

2. Si existe B(a, r) que cumple que la función f es creciente en los puntos de la bola que están a la izquierda dea y decreciente en los puntos de la bola que están a la derecha, entonces f presenta en a un máximo relativo.Simétricamente, si a la izquierda decrece y a la derecha crece, se alcanza un mínimo relativo.

7.2.2 Máximos y mínimos absolutos

Máximo absoluto de f = valor máximo de la función (simétricamente mínimo). En la gráfica

6

x 420-2-40

-50

-100

-150

-200

-250

vemos que el mínimo absoluto de la función en el intervalo representado se alcanza en el extremo izquierdo delintervalo, mientras que el máximo absoluto se alcanza en el interior (en el punto 0, donde la función presenta unmáximo relativo).Si evaluamos la función en los puntos críticos y en los 2 extremos del intervalo, los valores máximo y mínimo serán

los correspondientes máximo y mínimo absolutos de la función en dicho intervalo.Teorema de Rolle: Sea f : [a, b] → R una función continua, que además es derivable en ]a, b[. Si f(a) = f(b)

entonces existe algún punto interior c tal que f 0(c) = 0.

Teorema de los Incrementos Finitos de Lagrange: Sea f : [a, b] → R una función continua, que además esderivable en ]a, b[. Entonces existe algún punto c ∈]a, b[ tal que

f(b)− f(a)b− a = f 0(c)

8 Regla de l’Hôpital

limx→a

f(x)

g(x)= limx→a

f 0(x)

g0(x)si el primer límite da

0

0ó∞∞ (esta regla funcionará en la mayoría de casos que veamos).

Observación: Cuando tienden a infinito las funciones exponencial, polinómica y logarítmica, la exponencial es laque tiene más potencia, seguida de la polinómica y finalmente de la logarítmica.

9 Desarrollos de Taylor

fórmula de Taylor o desarrollo de Taylor (de orden n de f en a):

f(x) = pn(x) +Rn(x)

donde el polinomio de Taylor es

pn(x) = f(a) +f 0(a)

1!(x− a) + f

00(a)

2!(x− a)2 + f

000(a)

3!(x− a)3 + ......+ f

(n)(a)

n!(x− a)n

(el resto de Taylor es Rn(x) = f(x)− pn(x))Observación: Para cada n el número n! se llama factorial de n y vale

n! = n · (n− 1) · (n− 2·) · · · 3 · 2 · 1

Forma de Lagrange del resto: Rn(x) =f (n+1)(c)

(n+ 1)!(x− a)n+1 donde c depende de x y está entre él y a.

9.1 Acotación del resto

Sea f una función derivable en un intervalo ]a− r, a+ r[ para la que se cumple que¯f (i)(c)

¯≤ K, para todo i y para

todo c ∈]a − r, a + r[. Entonces si aproximamos el valor de f(x) por el de su polinomio de Taylor de orden n en elpunto a, para puntos x ∈]a− r, a+ r[, el error que se comete en esta aproximación es

|Rn(x)| =¯f (n+1)(c)

(n+ 1)!(x− a)n+1

¯≤ K

(n+ 1)!rn+1

7

y esta expresión tiende a cero cuando n tiende a infinito o cuando r tiende a 0.Con lo cual la aproximación que hacemos del valor de la función por el valor del polinomio, será muy buena cuando

n es muy grande o cuando r es muy pequeño, pues el error cometido, que es el resto, tiende a cero.

8

Resumen 9: Cálculo de primitivas

1. Primeras definiciones y propiedades

es una primitiva de en si 0() = () ∀ ∈

Es la integral de en ,R = +

Propiedades:

1. Linealidad: R( + ) =

R +

RR =

R

2. Toda función continua posee primitiva.

2. Primitivas de tipo inmediato

Potencia (n 6= −1) R = +1

+1+

R[()] 0() = [()]+1

+1+

LogaritmoR1 = log ||+

R 0()()

= log |()|+

ExponencialR = +

R() 0() = () +

Trigonométricas Rcos = +

Rcos[()] 0() = [()] +R

= − cos+R[()] 0() = − cos[()] +R

1cos2

= tan+R

0()cos2[()]

= tan[()] +R1

2 = − cot+

R 0()

2[()] = − cot[()] +

Hiperbólicas Rcosh = +

Rcosh[()] 0() = [()] +R

= cosh+R[()] 0() = cosh[()] +

Arco-argumento R1√1−2 = +

R 0()√1−[()]2

= [()] +R1

1+2 = arctan+

R 0()

1+[()]2 = arctan[()] +R

1√1+2

= arg +R

0()√1+[()]2

= arg [()] +R1√2−1 = arg cosh+

R 0()√[()]2−1

= arg cosh[()] +

Integral de un polinomio:Z(0 + 1+ 2

2 + + ) = 0+ 1

2

2+ 2

3

3+ +

+1

+ 1+

2.1. Ajuste de cuadrados

En general se reducen al tipo arcoseno y arcotangente y conviene ajustar la expresión cuadráti-

ca adecuadamente:

1

1. Poner el polinomio como suma o diferencia de cuadrados.

2. Dividir numerador y denominador entre el coeficiente adecuado para que el término indepen-

diente sea ±1.

3. Ajustar la expresión para que el integrando sea la derivada del arco o del argumento correspon-

diente.

Integrales de tipo logaritmo+arcotangente: Se reducen al tipo arcotangente. Con un factor

en el numerador.

3. Método de integración por partes

Z = −

Z

Esta fórmula puede ser de utilidad cuando en el integrando nos aparece un producto

de dos funciones ( = y 0 = ), de modo que la integral que resulta de multiplicar

una primitiva de una de ellas (de ) por la derivada de la otra (de ) es más sencilla de

calcular que la integral original. En particular algunos casos en los que puede resultar

útil son cuando es un polinomio y es cos o ; o cuando es un logaritmo,

un arco o un argumento, y es un polinomio.

4. Integrales racionales

R ()

() polinomios

Caso 1: El grado de es menor que el de .

Caso 1.1: tiene únicamente raíces de multiplicidad 1.

La integralR

()

() se transforma en una suma de integrales de la forma

R

− (para todas

las raíces reales de ) y|o R +2++

(para todos los factores irreducibles 2 + + de , es

decir, factores con raíces complejas). Integrales del primer tipo:Z

− = log |− |+

Del segundo tipo: del tipo logaritmo+arcotangente.

Caso 1.2: tiene raíces reales de multiplicidad mayor que 1. En la descomposición

de la fracción ()

()como suma de fracciones simples aparecen también, para cada raíz real de

multiplicidad 1, una suma de fracciones de la forma

1

− +

2

(− )2+ +

(− )

Las integrales nuevas que salen son del tipoZ

(− ) =

Z(− )− =

(− )−+1

−+ 1 + =

1−

(− )−1+

2

Caso 1.3: tiene alguna raíz compleja de multiplicidad mayor que 1.

Método de Hermite: La integral inicial se puede transformar del siguiente modo:Z ()

() =

1()

1()+

donde 1 es el polinomio obtenido de rebajando en 1 la multiplicidad de cada raíz, 1 es un

polinomio de grado una unidad menos que 1 e es el tipo de integral que se plantearía si todas las

raíces de fuesen simples.

Caso 2: El grado de es mayor o igual que el de .

División de entre :

() = ()() +() ()

()= () +

()

()

y entonces Z ()

() =

Z()+

Z()

()

y se reduce al caso anterior.

5. Cambios de variable

Si se hace el cambio

= () con = 0()

la integralR() queda Z

() =

Z [()] · 0()

5.1. Integrales trigonométricas

Para integrales en las que aparecen funciones del tipo y/o cos, podemos probar con los

siguientes cambios:

= cos

= = tan = tan

2

5.2. Otros cambios de variable

Ejemplo: En la integral Z √1− 2

realizamos el cambio de variable

= = cos con lo que =

3

Resumen 10: Integral de Riemann

Integrales definidasIntegral y propiedades

Una función integrable (en el sentido de Riemann) en un intervalo a,b es aquella parala que las sumas inferiores y las sumas superiores de la función en el intervalo se acercancada vez más en tanto en cuanto la partición aumenta en número de puntos y la longitud delos subintervalos decrece, tanto que ambas sumas tienen el mismo límite, cuando el númerode puntos de la partición tiende a infinito y la longitud de los subintervalos tiende a 0. Estelímite (que a la postre representará geométricamente el área que encierra la curva y fx yel eje OX en el intervalo a,b) se llama integral definida de f en dicho intervalo, y lodenotaremos por

a

b

f o pora

b

fxdx, (o en vez de x otra variable),

Toda función continua en un intervalo es integrable en dicho intervalo.

1.a

a

f 0

2.b

a

f −a

b

f

3.a

b

f a

c

f c

b

f

4. Si f es positiva su integral representa gráficamente el área que la curva y fx y el ejeOX encierran en el intervalo a,b. En caso de que f tome distintos signos la integraltiene el mismo significado, sólo que en los trozos en los que f tenga valores positivos elárea se cuenta con signo positivo y en los trozos en los que f tenga valores negativos elárea se cuenta con signo negativo.

5.a

b

f g a

b

f a

b

g

6.a

b

f a

b

f

Teorema fundamental del cálculo integral: Una primitiva de una función continua

f : a,b → R es Fx a

x

f.

Regla de Barrow:a

b

f Fxb

a Fx xa

xb Fb − Fa tomando F primitiva de

f.

Integración por partes

a

b

udv uvb

a−

a

b

vdu

Cambios de variableSi hacemos el cambio

x t en la integrala

b

fxdx obtenemos

a

b

fxdx c

d

ft ′tdt

Derivación de funciones dadas medianteintegrales

Para Gx h1x

h2x

ftdt se tiene que

G′x fh2x h2′ x − fh1x h1

′ x

Integrales impropiasLa integral impropia

a

f se calcula tomando una primitiva G de f y haciendo

a

f Gx

a

x→lim Gx − Ga

Se dice que es convergente si dicho límite es finito. Análogamente con−

b

f. De modo

similar se procede con las integrales impropias definidas en intervalos acotados abiertos.Por ejemplo si f está definida en a,b se podría calcular

a

b

f Gxb

a

x→b−lim Gx − Ga

siendo convergente si el resultado es finito.

Aplicación geométrica de la integral:cálculo de áreas de recintos planosÁrea encerrada por una función

El área que encierran la curva y fx y el eje OX en a,b esa

b

|f|.

El área que encierran la curva y fx y el eje OX es la suma de las áreas de cadauno de los recintos con área finita que delimita la curva y fx con el eje OX.

Área encerrada por dos funciones

El área que encierran dos funciones f y g en un intervalo a,b esa

b

|f − g|

El área que encierran dos funciones f y g es la suma de las áreas de cada uno de losrecintos (con área finita) que delimitan las curvas y fx e y gx.

Nota: Los recintos cuya área estamos calculando se llaman recintos básicos si cumplenlo siguiente: que una de las curvas está por encima de la otra en todo el recinto. Si, porejemplo, y gx es la que está por encima y la que está por debajo es y fx, el recintobásico se podría expresar así:

x,y : a ≤ x ≤ b,≤ fx ≤ y ≤ gx

Área de recintos limitados por varias curvasPara calcular el área de recintos que estén limitados por varias curvas resulta muy

conveniente conocer la representación gráfica de dicho recinto. Entonces dividimos elrecinto en subrecintos básicos (por lo que cada uno de éstos estará limitado sólo cada unode ellos por dos curvas).

Área de recintos no acotadosSe hace de modo similar pero con integrales impropias.

Tema 11: Funciones de varias variables. Funciones vecto-riales. Límites y continuidad: Resumen

1 Funciones de varias variables

f : Rn → R Función real de varias variables (o campo escalar)

f = (f1, f2, ..., fm) : Rn → Rm Función vectorial de varias variables (o campo vecto-

rial). f1, f2, ..., fm son las funciones coordenadas de f

El dominio de una función es el conjunto de puntos de Rn en el cual tienen sentido todas las

expresiones que definen a la función.

La gráfica de una función f : Rn → Rm es el siguiente conjunto de puntos de Rn+m

(x1, x2, ..., xn, f(x1, x2, ..., xn)) ∈ Rn+m : (x1, x2, ..., xn) ∈ Domf

2 Límite de funciones de varias variables

La idea idea inicial que tenemos de límite consiste, como ocurría para las funciones reales de una

variable, es sustituir en el punto.

Consideremos una función real de varias variables f : Ω ⊆ Rn → Rm y x0 = (a1, a2, ..., an) un

punto de acumulación de Ω. Diremos que L ∈ Rm es el límite de f cuando x = (x1, x2, ..., xn)

tiende hacia x0 a través de Ω cuando (de modo intuitivo) al aproximarnos al punto x0 por puntos

x ∈ Ω el valor de la función f(x) se aproxima a x0. Esto lo denotaremos así limx→x0,x∈Ω

f(x) = L

En el caso vectorial el límite existe si lo hacen todas sus coordenadas, calculándolo coordenada a

coordenada.

2.1 Operaciones con límites

Y al igual que ocurría para el caso de funciones reales de una variable real se tratan las operaciones

usuales para las funciones de varias variables, siempre que tengan sentido: límite para sumas, rectas,

productos, etc.

Para que el límite exista deben coincidir todos los límites planteados a través de

todos los conjuntos posibles.

2.2 Límites direccionales

Límites direccionales=límites a través de rectas que contienen al punto.

Consecuencia: Si no existe algún límite direccional o al menos dos de ellos son dis-

tintos entonces no existe el límite (a través del dominio).

1

Nota: Si el límite a través de al menos dos conjuntos da un valor distinto (pueden ser dos

direccionales, dos no direccionales o uno direccional y otro no direccional) entonces el límite no

existe.

2.3 Cambio a coordenadas polares en R2

Supongamos que tenemos una función f : R2 → R para la que planteamos el límite en un punto

x0 = (a, b). Para hacer el límite lim(x,y)→(a,b)

f(x, y) podemos probar haciendo el cambio a coordenadas

polares

x = a+ ρ cos θ

y = b+ ρ sin θ

Propiedad: Si no existe el límite

limρ→0

f(a+ ρ cos θ, b+ ρ sin θ) = L

o este valor, L, depende de θ ∈ [0, 2π[, entonces no existe el límite

lim(x,y)→(a,b)

f(x, y) = L

3 Continuidad de funciones de varias variables

f es continua en un punto x0 cuando

1) x0 ∈ Domf (∃ f(x0)).2) Existe el límite de f en x0 (y es finito).

3) limx→x0

f(x) = f(x0).

Propiedad: Una función vectorial es continua si y sólo si son continuas sus funciones

coordenadas.

Además, las funciones usuales (constantes, polinomios, exponenciales, trigonométricas, loga-

ritmos, etc.) son funciones continuas en todo punto de su dominio. Las operaciones usuales

que se hacen con funciones continuas dan como resultado una función continua: sumas, restas,

multiplicación por escalares, composición de funciones, productos, cocientes con denominador no

nulo, y otras operaciones usuales.

Teorema (Weierstrass): Si la función f : Rn → R es continua en el conjunto compacto

Ω ⊆ Domf , entonces existen x0, y0 ∈ Ω tales que

f(x0) = maxf(x) : x ∈ Ω

f(y0) = minf(x) : x ∈ Ω

2

Tema 12: Cálculo diferencial de funciones de varias variables I: Resu-men

1 Derivadas direccionales, derivadas parciales

una función f : Rn → R un punto x0 = (a1, ..., an) ∈ Domf v = (v1, ..., vn) un vector no nulo de Rn

Llamaremos derivada direccional de f en x0 en la dirección del vector v (denominada también derivada con respectoa v) a

Dvf(x0) =limt→0

f(x0 + tv)− f(x0)t

=limt→0

f(a1 + tv1, ..., an + tvn)− f(a1, ..., an)t

Normalmente se podrá hacer también a partir de la función

g : R→ R definida por g(t) = f(x0 + tv) calculando g0(0)

Sea C = e1, e2, ..., en la base canónica de Rn. Entonces para cada i = 1, 2, ..., n la derivada direccional respectodel vector ei es

Deif(x0) = limt→0

f(x0 + tei)− f(x0)t

=limt→0

f [(a1, ...., an) + t(0, 0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)]− f(a1,..., an)t

=

= limt→0

f(a1, ..., ai + t, ..., an)− f(a1,..., an)t

y la llamaremos derivada parcial i-ésima de f ó (suponiendo que designamos por xi a la variable i-ésima del espacio)derivada parcial de f con respecto a xi en el punto x0. Para designar a esta derivada parcial suelen utilizarse lassiguientes notaciones:

∂f∂xi(x0) Dif(x0) fxi(x0) f 0xi(x0)

Por ejemplo, para una función f de dos variables (x, y) las derivadas parciales en el punto x0 podrían denotarse así

∂f∂x (x0),∂f∂y (x0) D1f(x0),D2f(x0) fx(x0), fy(x0) f 0x(x0), f 0y(x0)

Y para una función f de tres variables (x, y, z) las derivadas parciales en el punto x0 podrían denotarse así:

∂f∂x (x0),∂f∂y (x0),

∂f∂z (x0) D1f(x0),D2f(x0),D3f(x0) fx(x0), fy(x0), fz(x0) f 0x(x0), f 0y(x0), f 0z(x0)

También pueden calcularse las derivadas parciales cogiendo

g(t) = f(a1, a2, ..., ai−1, ai + t, ai+1, ..., an−1, an) obteniendo ∂f∂xi(a1, a2, ..., an) = g

0(0)

Nosotros calculamos las derivadas parciales habitualmente de un modo que ya conocemos (y es más sencillo): Laderivada parcial de f con respecto a la variable xi en el punto x0 = (a1, ..., an) puede hallarse calculandola derivada de la función de una variable Fi(xi) = f(x1, ..., xn), en la que dejamos fijas las variables distintas dexi, en el punto x0 (o, de modo equivalente, tomando la función de una variable Gi(xi) = f(a1, ..., ai−1, xi, ai+1, ..., an),en la que hemos sustituido las variables xj , para j 6= i, por los correspondientes aj , y derivando en el punto ai).Nota: No hay una relación directa entre las derivadas parciales y la continuidad de una función en un punto. Hay

casos en los que no existe alguna de las derivadas parciales y la función es continua y hay casos en los que la funciónno es continua pero sí tiene derivadas parciales. Por supuesto también hay casos en los que ambas cosas ocurren, esdecir, casos en los que la función es continua y existen las derivadas parciales, y también casos en los que ninguna deestas cosas ocurre.Para una función vectorial f = (f1, f2, ..., fn) : Rn → Rm pueden definirse de modo similar sus derivadas direccio-

nales y parciales, siendo éstas vectores de Rm y pudiendo hallarse coordenada a coordenada a partir de las funcionescoordenadas f1, f2, ..., fn.

1

2 Plano tangente a una superficie

Si tenemos una función real de dos variables f y que tomamos la superficie determinada por la ecuación z = f(x, y),haciendo uso de las derivadas parciales de f es posible obtener el plano tangente a la superficie en un punto (a, b),también se dice a veces en el punto (a, b, f(a, b)), cuya ecuación es

z = f(a, b) +∂f

∂x(a, b) · (x− a) + ∂f

∂y(a, b) · (y − b)

3 Derivadas parciales de orden superior

Por ejemplo, para una función de dos variables las derivadas parciales segundas serían

∂2f

∂x2∂2f

∂x∂y=

∂2f

∂y∂x

∂2f

∂y2

y las terceras∂3f

∂x3∂3f

∂x2∂y=

∂3f

∂x∂y∂x=

∂3f

∂y∂x2∂3f

∂x∂y2=

∂3f

∂y∂x∂y=

∂3f

∂y2∂x

∂3f

∂y3

Si f es una función para la que existen todas las derivadas parciales de orden k y son continuas en un abiertoΩ diremos que es de clase Ck en Ω (C∞ si existen las derivadas parciales de todo orden y sean continuas). Lasfunciones usuales y las operaciones que habitualmente realizamos con ellas son funciones de clase C∞ en todo puntodel interior del dominio.

Nota: Algunas de las derivadas parciales anteriores coinciden (por ejemplo∂2f

∂x∂y=

∂2f

∂y∂x). Eso sucede por que

f es de clase C2 (porque son derivadas segundas).

4 Diferenciabilidad

Diremos que una función f : Rn → Rm es diferenciable en x0 cuando existe una aplicación lineal T : Rn → Rm demodo que

limx→0

f(x0 + x)− f(x0)− T (x)kxk = 0

Cuando esto ocurre la aplicación lineal T que cumple esa propiedad se denomina la diferencial de f en el puntox0 y usaremos la notación T = df(x0).Una función f = (f1, ..., fm) : Rn → Rm es diferenciable en un punto x0 si y sólo si f1, ..., fm (las funciones

coordenadas de f) son diferenciables en x0. En esta situación se tiene además que la diferencial se calculacoordenada a coordenada.

Propiedades:

1. La diferencial de una función diferenciable en un punto es única.

2. Toda función diferenciable en un punto es continua en ese punto (por lo que toda función que no sea continuano es diferenciable).

3. (Teorema de la función compuesta o Regla de la cadena) Si

f : Rn → Rm es una función diferenciable en x0 y

g : Rm → Rp es diferenciable en f(x0)

entonces la función compuesta g f es diferenciable en x0. Además

d(g f)(x0) = dg[f(x0)] df(x0)

2

4. Las funciones usuales (constantes, polinomios, exponenciales, logaritmos, trigonométricas, etc.), así como lasque son combinación de ellas mediante las operaciones básicas (suma, resta, producto, cociente, composición,etc.) resultan diferenciables en todos los puntos posibles (en los puntos del interior del dominio).

Propiedad: Si una función f : Rn → Rm es diferenciable en un punto x0 entonces existe la derivadadireccional Dvf(x0) con valor finito para cualquier vector no nulo v = (v1, v2, ..., vn) de Rn. En particularexisten las derivadas parciales de f en x0 con valor finito. Además, en esta situación se tiene que

Dvf(x0) = df(x0)(v) =nXi=1

∂f

∂xi(x0) · vi

Para el caso de 2 variables:

D(v1,v2)f(a, b) = df(a, b)(v1, v2) =∂f

∂x(a, b) · v1 +

∂f

∂y(a, b) · v2

Para estudiar la diferenciabilidad lo que debemos hacer por regla general es:1) Si a simple vista se ve que f es de un tipo concreto (polinómica, exponencial, trigonométrica, etc. o

combinación de éstas), eso significará que la función es de clase C1 (es decir tiene derivadas parciales de primer ordencontinuas) luego será diferenciable.2) Si ya hemos analizado o si se puede ver puede determinar fácilmente que la función no es continua, en

ese caso no será diferenciable (si no hemos determinado aún la no continuidad de la función, este criterio no esaconsejable con carácter general, pues a veces es más costosa esta labor que realizar el análisis de los criterios quevienen a continuación).3) Si no existe (con valor finito) alguna de las derivadas parciales (de primer orden) de f en x0 sabemos

ya que f no es diferenciable en x0.

5 Matriz jacobiana

La matriz jacobiana de una función f = (f1, ..., fm) : Rn → Rm diferenciable en un punto x0 es la matriz asociada ala aplicación lineal df(x0) : Rn → Rm respecto de las bases canónicas de Rn y Rm. Ésta vale

Jf(x0) =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

∂f1∂x1(x0)

∂f1∂x2(x0) · · · ∂f1

∂xn(x0)

∂f2∂x1(x0)

∂f2∂x2(x0) · · · ∂f2

∂xn(x0)

· ·· ·· ·

∂fm∂x1

(x0)∂fm∂x2

(x0) · · · ∂fm∂xn

(x0)

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠Además se cumple que df(x0)(v) = Jf(x0) · v (donde estamos poniendo el vector v en columna).Si f es una funición real suele ponerse en forma de vector (fila o columna) y se le denomina también vector

gradiente de f en x0 5f(x0) = ( ∂f∂x1 (x0), · · ·,∂f∂xn

(x0))

6 El Teorema de la función compuesta (la Regla de la cadena)

Si Rn f→ Rm g→ Rk son funciones diferenciables (f en x0 y g en f(x0)) entonces J(g f)(x0) = Jg[f(x0)] · Jf(x0). Encuanto a las derivadas parciales se tiene que

∂(g f)∂xi

=∂g

∂u1· ∂u1∂xi

+∂g

∂u2· ∂u2∂xi

+ ...+∂g

∂um· ∂um∂xi

3

(Se supone que x = (x1, ..., xn) son las variables de Rn, u1, ..., um las variables de Rm y f1, ..., fm las funcionescoordenadas de f . Además en la fórmula hemos puesto ui en vez de fi).

Ejemplo: Supongamos que tenemos funciones R2 f→ R3 g→ R2 y que queremos derivar la composición en los puntosdel dominio. Denominemos a estos puntos de forma genérica por (x, y) y a los del dominio de f por (u1, u2, u3). Ademásusaremos la notación f = (f1, f2, f3) para las funciones coordenadas de f . Entonces

∂(g f)∂x

(x, y) =∂g

∂u1(f(x, y)) · ∂f1

∂x(x, y) +

∂g

∂u2(f(x, y)) · ∂f2

∂x(x, y) +

∂g

∂u3(f(x, y)) · ∂f3

∂x(x, y)

∂(g f)∂y

(x, y) =∂g

∂u1(f(x, y)) · ∂f1

∂y(x, y) +

∂g

∂u2(f(x, y)) · ∂f2

∂y(x, y) +

∂g

∂u3(f(x, y)) · ∂f3

∂y(x, y)

7 Cambios de coordenadas

Partiremos originalmente de unas variables (x1, ..., xn) ∈ Rn para expresarlas en función de otras (u1, ..., un) mediantealguna relación. Entonces nos interesaremos por la matriz jacobiana del cambio. Si denominamos Φ : Rn → Rn ala aplicación que define dicho cambio, en el sentido (x1, ..., xn) = Φ(u1, ..., un). Esto es así porque si tenemos ahorauna función g : Rn → Rm que depende de las variables o coordenadas (x1, ..., xn), una expresión que dependa de gy de algunas de sus derivadas parciales respecto de las variables (x1, ..., xn) podemos representarla en función de lacomposición de g Φ = G y algunas de sus derivadas parciales respecto de las variables (u1, ..., un) sin más que realizarel cambio de coordenadas. Aplicaremos para ello la fórmula

∂g

∂xi=

nXj=1

∂G

∂uj· ∂uj∂xi

(Donde se supone que g es una función que depende de las variables (x1, ..., xn) ∈ R, las cuales se expresan en funciónde otras variables (u1, ..., un), y G es la función transformada de g que depende de las últimas variables). De modomatricial

³∂g∂x1

∂g∂x2

· · · ∂g∂xn

´=³

∂g∂u1

∂g∂u2

· · · ∂g∂un

´·

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

∂u1∂x1

∂u1∂x2

· · · ∂u1∂xn

∂u2∂x1

∂u2∂x2

· · · ∂u2∂xn

· ·· ·· ·∂uu∂x1

∂un∂x2

· · · ∂un∂xn

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠Ejemplos de cambios:a) Coordenadas polares en R2 :

x = ρ cos θ

y = ρ sin θ

b) Coordenadas cilíndricas en R3:

x = ρ cos θ

y = ρ sin θ

z = z

c) Coordenadas esféricas en R3:

x = ρ cos θ sinφ

y = ρ sin θ sinφ

z = ρ cosφ

4

Resumen 14: Integrales dobles en R2

1. La integral es lineal.

2. La integral a lo largo de una unión de conjuntos se pone como la suma de las integrales a lo

largo de cada uno de los conjuntos.

La integral doble de la función de dos variables f sobre el rectángulo

R = [a, b]× [c, d] = (x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d

es Z ZR

f(x, y)dxdy

y podrá calcularse de cualquiera de las siguientes formas (Teorema de Fubini)

bZa

⎛⎝ dZc

f(x, y)dy

⎞⎠ dx dZc

⎛⎝ bZa

f(x, y)dx

⎞⎠ dyIntegrales sobre recintos básicos:

R = (x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ h(x) R0 = (x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d, G(y) ≤ x ≤ H(y)

Z ZR

f(x, y)dxdy =

bZa

⎛⎜⎝h(x)Zg(x)

f(x, y)dy

⎞⎟⎠ dx Z ZR0f(x, y)dxdy =

dZc

⎛⎜⎝h(y)Zg(y)

f(x, y)dx

⎞⎟⎠ dyEn otras situaciones el recinto será posible ponerlo como unión de recintos básicos, con lo cual la

integral se transformará en una suma de integrales, una para cada uno de los susodichos subrecintos.

Propiedad: El área de un recinto R se puede obtener mediante la integral:Z ZR

1dxdy

Cambios de variable en la integral doble

Si en la integral

Z ZR

f(x, y)dxdy hacemos el cambio a coordenadas polares

x = ρ cos θ

y = ρ sin θ

obtenemos que Z ZR

f(x, y)dxdy =

Z ZR0

ρf(ρ cos θ, ρ sin θ)dρdθ

donde

R0 = (ρ, θ) ∈ R2 : (ρ cos θ, ρ sin θ) ∈ R

1

Tema 15: Ecuaciones diferenciales I: Concepto y resolución de ecuacio-nes diferenciales de primer orden: Resumen

1 Concepto de ecuación diferencial. Existencia y unicidad

Euación diferencial de orden n y(n) = f(x, y, y0, y00, ..., y(n−1))

(la incógnita es una función que aparece en la ecuación, derivada al menos n veces)x se llama variable independiente e y variable dependiente.Una función y : R → R es una solución de la ecuación diferencial en el intervalo ]a, b[ si y(n)(x) =

f(x, y(x), y0(x), y00(x), ..., y(n−1)(x)) para todo x ∈]a, b[En general, las soluciones de una ecuación diferencial de orden n (la solución general) no son únicas

(suelen quedar expresadas en función de n parámetros).Problema de condiciones iniciales (consta de una ecuación diferencial y una o varias condiciones iniciales):(

y(n) = f(x, y, y0, y00, ..., y(n−1))

y(x0) = a0, y0(x0) = a1, y

00(x0) = a2, ..., y(n−1)(x0) = an−1,

donde a0, a1, ..., an−1 son números. Estos problemas suelen tener solución única.Orden 1 (

y0 = f(x, y)

y(x0) = a0

Orden 2 (y00 = f(x, y, y0)

y(x0) = a0, y0(x0) = a1

Problemas de contorno:

(y00 = f(x, y, y0)

y(a) = α, y(b) = β

2 Resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden

Son las ecuaciones diferenciales en las que la incógnita es una función real de variable real y puede aparecer tanto ellacomo su derivada primera, así como la variable independiente.

2.1 Ecuaciones que se integran directamente

Son de la forma y0 = g(x). Al integrar se tiene que la solución general es y =Rg(x)dx+K

2.2 Ecuaciones en variables separadas (o variables separables)

Pueden ponerse en la forma y0 = g(x)h(y) para ciertas funciones g y h.

Si h(y) 6= 0 podemos poner y0

h(y) = g(x) Entonces integrando con respecto a x (en el primer miembro imaginandoque y es una variable, se integra respecto de ésta poniendo y0 = dy. Una vez halladas primitivas, H de 1

h y G de g,obtendremos una ecuación de la forma H(y) = G(x)+K, ecuación implícita que verifican las soluicones de la ecuacióndiferencial.¿Qué es lo que ocurre si en algún valor a0 se tiene que h(a0) = 0? Basta observar que la función constante

y = a0 es, en esta situación, la solución de la ecuación.Entonces tendremos como soluciones:a) Las funciones constantes y = a0, de manera que h(a0) = 0 (éstas son las soluciones singulares), yb) el resto, que se obtienen por el método anterior, y verifican la ecuación implícita, son de la forma

H(y) = G(x) +K

1

2.3 Cambios de variable

El recurso de los cambios de variable se utiliza a veces en determinadas ecuaciones diferenciales, pero no es fácil sabersi en una ecuación interesa realizar un cambio, y si procede de qué tipo. Lo que interesa es que se sepa hacer uncambio que pueda proponerse (y resolver la ecuación trasformada resultante).

2.4 Ecuaciones lineales

Se llama ecuación lineal de primer orden a toda ecuación diferencial de la forma

y0 + p(x)y = q(x)

Cuando la función q sea constantemente cero diremos que la ecuación lineal es homogénea.La solución general de la ecuación lineal de primer orden es

y =³K +

ReRp(x)dx

q(x)dx´e−Rp(x)dx

con K ∈ R

2.5 Ecuación de Bernoulli

Es de la forma y0 + p(x)y = q(x)yrcon r ∈ R (r 6= 0, 1). Conviene realizar el cambio z = y1−r para transformar laecuación en una ecuación lineal.

2.6 Ecuaciones exactas

Dada una ecuación diferencial de primer orden M(x, y) + N(x, y)y0 = 0, se dice que es exacta si existe una funciónf : R2 → R de modo que ∂f

∂x =M ,∂f∂y = N

Esto equivale a que ∂M∂y =

∂N∂x

El cálculo de f se hace integrando M con respecto de x y N con respecto a y, y se igualan ambascosas

f(x, y) =

ZM(x, y)dx+ g(y) =

ZN(x, y)dy + h(x)

Ahora se calcula o bien g, o bien h y consecuentemente f .Observación: En algunos textos la ecuación

M(x, y) +N(x, y)y0 = 0

aparece con la notaciónM(x, y)dx+N(x, y)dy = 0

2.6.1 Factores integrantes

Algunas de las ecuaciones diferenciales de primer orden de la forma M(x, y)+N(x, y)y0 = 0 no exactas pueden trans-formarse en exactas multiplicando por funciones μ(x, y). Cuando esto ocurre llamaremos a μ un factor integrantede la ecuación. Esto significa que la ecuación

μ(x, y)M(x, y) + μ(x, y)N(x, y)y0 = 0

es exacta.

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