COMPOSICIÓN DE FUNCIONESDadas dos funciones g :A⊂R⟶ B⊂R y f :B⊂R⟶C⊂R, donde Rg∩D f ≠∅ ; se define la función f ∘ g: A⊂R⟶C⊂R como sigue:

( f ∘ g ) (x )=f (g ( x ) )∀ x∈Df ∘g

O bien( f ∘ g ) (x )={(x , f (g ( x ) ) ) : x∈D f ∘g}

Donde, el dominio de f ∘ g es igual a:Df ∘g={x : x∈Dg∧g(x)∈D f }

A f ∘ g se le llama composición de f y g.Nota.

1. Se le nombra no siguiendo el orden escritura sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.

2. f ∘ g es la aplicación resultante de la aplicación sucesiva de g y f .OBSERVACIONES:

1. Df ∘g⊆Dg

2. R f ∘g⊂R f

3. ∃ f ∘g ⇔ Rg∩D f ≠ϕ4. Si Rg⊂D f⇰ f ∘g está definida en el D g, esto es:

Rg⊆D f⇰ Df ∘g=Dg

5. Cuando Rg⊄D f⇰ Df ∘g={x : x∈Dg∧g (x)∈Df }6. La aplicación se hace de derecha a izquierda, esto es, la función de partida g es la que está

a la derecha de la notación ∘, así:a) En f ∘ g , g es la función de partida y f es la función de llegada. b) En g∘ f , f es la función de partida y g es la función de llegada.

PROPIEDADES: Para funciones f , g , h , I (función identidad) se cumplen:1. Asociativa

h∘ (g∘ f )=(h∘g )∘ f2. No es conmutativa

g∘ f ≠ f ∘ g3. C

( f +g )∘h=f ∘h+g∘h4. ∃! I tal que:

f ∘ I=I ∘ f=I ∀ f5.

(g∘ f )−1=f−1∘g−1

Ejemplo o1. Dadas las funciones: f ( x )=x2 y g ( x )=2 x+3, hallar, si fuera posible, f ∘ g Solución

El siguiente diagrama, nos ilustra como funciona la composición de estas funciones:

1º Comprobación de la existencia de f ∘ g

{Rg=RDf=R

⇰Rg∩Df ≠ϕ ;luegoexiste f ∘g

2º Determinación de la regla de correspondencia de f ∘ g

( f ∘ g ) (x )=f [ g(x )]=[g (x) ]2= (2x+3 )2

3º Determinación del dominio de f ∘ g Df ∘g={x : x∈Dg∧g(x)∈D f }

Así:x∈Dg∧g ( x )∈Df ⇔x∈R∧ g ( x )∈ R⇔ x∈ R∧(2 x+3)∈R

Al resolver estas inecuaciones se tiene que x∈ R, luego:Df ∘g=R

FUNCIONES INYECTIVAS, SURYECTIVAS Y BIYECTIVAS

Dada una función real f : A⊂R⟶B⊂R, se dice que f es:1. Función inyectiva (o uno a uno) si no existen dos elementos de A con una misma imagen; es decir:

f (x1 )≠ f (x2 ) siempre que x1≠ x2 Equivalentemente:

f es inyectiva si, f (x1 )=f (x2 )⇰ x1=x2NOTA. La última definición significa que f es inyectiva si toda recta

horizontal corta a la gráfica de la función en a lo más un punto.

2. Función Suryectiva o sobreyectiva, si y solo sí ∀ y∈B, existe por lo menos un x∈ A tal que f ( x )= y

Equivalentemente: f es Suryectiva si, f ( A )=R f⊆R

“Todo elemento del conjunto de llegada es imagen del algún elemento de su dominio. 3. Función Biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.

FUNCIÓN INVERSASea f una función con dominio Df y contradominio R f . Si existe una función f−1 con dominio Df −1 y contradominio R f−1 tal que:a) f ( f −1 ( x ) )=x, ∀ x∈D f−1 b) f−1 ( f ( x ) )=x, ∀ x∈D f

Si esto ocurre, decimos que las funciones f y f−1 son inversas una de la otraNota.

1. No todas las funciones tienen inversa.

2. f−1≠ 1f (x )

3. Df−1=R f y R f−1=D f

4. Si f (a )=b ⇰ a= f−1(b)5. Las gráficas de  f y f−1 son simétricas respecto de la bisectriz del

primer y tercer cuadrante.

Ejercicio 01 . Hallar la inversa de la función f ( x )=x2+4 x−1 para x∈ ⟨−4 ,−3 ⟩ Solución

Ejercicio 02 . Hallar la inversa de la función:

f ( x )={x2+2x+2 , si x≥1x3+4 , Si x<1

Solución

Ejercicio 03 . Dada la función:

f ( x )={−x2−6 x−8 si x ≤−3x+3 si−3<x<0

√ x−1 si x>1a) Determinar si f es 1-1. En caso afirmativo hallar f−1.b) Si f no es 1-1, restringir adecuadamente el dominio para que la nueva

función tenga inversa. Solución

Ejercicio 04 . En una población de 5 mil personas se está transmitiendo una infección estomacal por bacterias, donde el número de personas infectadas t días después del comienzo de la epidemia está dada por:

P (t )=5000 tt+100

¿Después de cuántas semanas el número de infectados es aproximadamente 400 personas?

Solución

De acuerdo al contexto del problema, Consideramos que Df=[0 , +∞ ⟩

Ejercicio 02 . Dadas las funciones:

f ( x )={x2−1 , si x←1x+1, Si x ≥−1

g ( x )={2 x−1 , si x<0√x , Si x≥0

Hallar, si existe, f ∘ g−1

Solución