Complemento 3
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Universidad Tcnica Federico Santa MaraDepartamento de Matemticas
Coordinacin de Matemticas II (MAT022)2o Semestre de 2013
Lunes 7 al 11 de OctubreGua Semana 3, Complemento
1. Calcular las inversas de las siguientes matrices:
a)
0@ 2 0 00 3 00 0 4
1ARespuesta:
0@ 12 0 00 13 00 0 14
1Ab)
0@ 1 2 30 1 40 0 1
1ARespuesta:
0@ 1 2 50 1 40 0 1
1Ac)
0@ b 0 00 b 0a 0 b
1A1
Respuesta:
0@ 1b 0 00 1b 0 ab2 0 1b1A
d)
0@ 1 3 12 4 121 0 3
1A1
Respuesta:
0@ 24 18 1111 8 58 6 4
1A2. Calcular una matriz X tal que verique la igualdad AX = B, sabiendo que
A =
0@ 5 4 22 1 14 4 1
1A ; B =0@ 2 1 34 5 03 2 1
1AEsa matriz X, satisface XA = B?
3. Encuentre la solucin del sistema de ecuaciones utilizando solo matrices:
x+ y = 1
x z = 3t+ y + 2z = 1
x y z t = 3
Respueta: t = 32 ; x =52 ; y = 32 ; z = 12
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4. Resuelva el sistema utilizando solo matrices:
x+ y = 5
y + z = 8
z + u = 9
u+ v = 11
x+ v = 9
Respuesta: u = 4; v = 7; x = 2; y = 3; z = 5
5. Dado el sistema de ecuaciones:
(1 )x+ z = 1(1 ) y + z = ax+ (1 ) y = b
Determine los valores de ; a y b de modo que el sistema tenga solucin nica.
Respuesta: El sistema tiene solucin nica si 6= f0; 1g:
6. A travs de operaciones elementales, hallar A1; si A =
0@ 1 0 12 3 41 1 1
1ARespuesta:
0@ 72 12 321 0 1 52 12 32
1A7.
1 23 4
Respuesta: 10
8. Calcular el determinante de la matriz A =
0@ 1 0 22 3 14 3 1
1ARespuesta: 6
9. Calcular el determinante de la matriz:
A =
0@ 2 4 76 0 31 5 3
1ARespuesta: 120
10. det
0BB@5 1 2 41 0 2 31 1 6 11 0 0 4
1CCARespuesta: 34
11. Si
A =
0@ 1 1 23 1 40 2 5
1A y B =0@ 1 2 30 1 42 0 2
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Calcular:
a) det (AB) b) det (BA) c) det (A) b) det (B)
Respuesta: a) 128, b) 128, c) 8, d) 1612. Encuentre el valor de en la ecuacin: 3 102 5
= 0Respuesta: 7;5:
13. Compruebe que: 0BB@1 2 1 26 1 3 00 3 2 12 3 1 1
1CCA0BB@ 15 45 135 30 1 3 325
85 215 5
45
15 25 1
1CCA =0BB@1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
1CCA14. Resolver el sistema de ecuaciones:
2x+ 4y + 6z = 18
4x+ 5y + 6z = 24
3x+ y 2z = 4
Respuesta: x = 246 = 4; y =126 = 2; z = 186 = 3
15. Resolver usando el mtodo e Cramer el sistema de ecuaciones:
7x+ 5y z = 83x 2y 2z = 84x+ 7y + 3z = 10
Respuesta: x = 4; y = 3; z = 5:16. Si:
A =
1 10 12
; B =
4 31 2
Calcular:
(AB)1
Respuesta:
25 25 15 65
17. Pruebe que:
1 a b+ c1 b c+ a1 c a+ b
= 018. Determinar el o los valores de m 2 R, de modo que las matrices
M =
0@ 1 2 12 4 mm 2 1
1A ; A =0@ 1 m 1m 1 m
0 m 1
1Ano tengan inversas.
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19. Pruebe que: 1 1 1a b ca2 b2 c2
= (b a) (c a) (c b)20. Considere las matrices:
A =
0@ 2 1 13 1 10 2 2
1A ; B =0@ 2 1 54 3 80 1 0
1AVerique que: det (AB) = det (a) det (B)
21. Dada la matriz:
C =
0@ 1 a1 b10 1 00 0 1
1A 2 IM3 (R)determine una matriz X 2 IM3 (R) ; tal que:
C2X1
= I3
Respuesta: X =
0@ 1 2a1 2b10 1 00 0 1
1A22. Sea:
A =
0@ 1 + a b ca 1 + b ca b 1 + c
1ACalcular jAjRespuesta: a+ b+ c+ 1:
23. Demuestre que para todo nmero real , la matriz:0@ sin () cos () 0cos () sin () 00 0 1
1A1 =0@ sin () cos () 0cos () sin () 0
0 0 1
1A24. Determine la matriz X 2M22 (R) que sea solucin de la ecuacin matricial:
XC2 + 2BTA = (det (B)) I2
donde
A =
1 10 1
; B =
1 11 1
y C =
2 00 2
Respuesta:
0 1 12 12
25. Dado el sistema de ecuaciones lineales:
x+ y + bz = 0
x+ by + z = 0
bx+ y + z = 1
para encontrar todos los valores a; b 2 R de modo que el sistema tenga solucin nica.Respuesta: b 6= f2; 1g :
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