TEMA 3-Complemento de Dualidadd

TEMA 3: Dualidad y Análisis de Sensibilidad

MODELO DUAL CUANDO EL PRIMAL ESTÁ EN FORMA CANÓNICA.-

En este punto se presentará un modelo "Dual" basado en el hecho de que el modelo “Primal” se encuentra en forma canónica. Así se tiene que el Modelo Primal es el siguiente:

El “Dual” asociado al modelo anterior es:

1

nMaximizar: Xo = Cj .Xj

j=1

nSujeto a: aij .Xj bi i= 1, 2, ..., m m-restricciones

j=1Xj 0 j= 1, 2, ..., n n-variables

mMinimizar: Yo = bi .Yi

i=1

mSujeto a: aij .Yi Cj j= 1, 2, ..., n n-restricciones

i=1Yi 0 i= 1, 2, ..., m m-variables


El modelo “Dual” se obtiene del modelo “Primal” en forma canónica de la siguiente manera (y viceversa):

1. Cada restricción en un modelo corresponde a una variable en el otro modelo.

2. Los elementos del lado derecho de las restricciones de un modelo son iguales a los coeficientes respectivos de la función objetivo en el otro modelo.

3. Si un modelo es de “maximizar”, el otro será de “minimizar”.

4. El modelo de “maximización” tiene todas las restricciones del tipo “” y el modelo de “minimización” tiene todas las restricciones del tipo “”.

5. Las variables de decisión de ambos modelos son no negativas.

2

Variables duales asociadas con cada

restricción


EJEMPLO:

Se tiene el siguiente modelo de Programación Lineal con todas las restricciones del tipo “”:

“MODELO PRIMAL”Maximizar: Xo = 5X 1 + 6X 2

Sujeto a: X 1 + 9X 2 60 Y1

2X 1 + 3X 2 45 Y2

5X 1 - 2X 2 20 Y3

X 2 30 Y4

X 1, X 2 0

“MODELO DUAL”Minimizar: Yo = 60Y1 + 45Y2 + 20Y3 + 30Y4

Sujeto a: Y1 + 2Y2 + 5Y3 59Y1 + 3Y2 - 2Y3 + Y4 6

Y1, Y2, Y3, Y4 0

3


EJEMPLO:

Se tiene el siguiente modelo de Programación Lineal con una restricción del tipo “=”:

“MODELO PRIMAL”Maximizar: Xo = 5X 1 + 12X 2 + 4X3

Sujeto a: X 1 + 2X 2 + X3 5 Y1 H2X 1 - X 2 + 3X3 = 2 Y2 R

X 1, X 2, X3 0

Cuando una variable dual está asociada a una restricción del tipo “=” será irrestricta en signo en el modelo opuesto (Y2).

“MODELO PRIMAL EN FORMA CANONICA”Maximizar: Xo = 5X 1 + 12X 2 + 4X3

Sujeto a: X 1 + 2X 2 + X3 5 Y1

2X 1 - X 2 + 3X3 2 Y21

-2X 1 + X 2 - 3X3 -2 Y22

X 1, X 2, X3 0

4


“MODELO DUAL”Minimizar: Yo = 5Y1 + 2Y2

1 - 2Y22

Sujeto a: Y1 + 2Y21 - 2Y2

2 52Y1 - Y2

1 + Y22 12

Y1 + 3Y21 - 3Y2

2 4 Y1 ,Y2

1,Y22 0

Si Y2 = Y21 - Y2

2, se tiene que el nuevo modelo dual es:

“NUEVO MODELO DUAL”Minimizar: Yo = 5Y1 + 2Y2

Sujeto a: Y1 + 2Y2 52Y1 - Y2 12Y1 + 3Y2 4

Y1 0 Y2 : Irrestricta en signo

5


3.3. RELACIÓN DEL MODELO PRIMAL Y DEL MODELO DUAL EN LA TABLA DEL METODO SIMPLEX.-

Las propiedades o relaciones que se establecen tanto para el modelo Primal como para

el modelo Dual y que pueden verificarse con la tabla Simplex son:

1. Cuando la función objetivo del modelo primal (Xo) sea de maximizar, lo cual

implica que en la forma dual (Yo) será de minimizar, se cumple para cualquier par de

soluciones factibles primal y dual la siguiente relación:

Xo Yo

2. En las soluciones óptimas de ambos modelos Xo = Yo, es decir, que el mayor valor

para Xo es igual al mínimo valor de Yo.

3. Si la variable dual corresponde a una restricción con una variable básica de inicio

de holgura en el modelo primal, su valor óptimo está dado directamente por el “Ci” de esta

variable de holgura.

4. Si la variable dual corresponde a una restricción con una variable básica de inicio

artificial en el modelo primal, su valor óptimo está dado directamente por el “Ci” de esta

variable artificial.

Las relaciones (2) y (3) son válidas cuando la tabla óptima del Método Simplex ha sido

obtenida de modelos con las siguientes características:

El modelo es de “Maximización” con todas las restricciones del tipo “” o “=”.

El modelo es de “Minimización” con todas las restricciones del tipo “” o “=”.

6


Si el modelo es de Minimización y tiene una restricción del tipo “”, entonces la

variable dual correspondiente se determina de igual forma pero con el signo contrario. Lo

mismo ocurre si el problema es de Maximización y se resuelve con una restricción del tipo

“”.

Estas relaciones serán demostradas con el siguiente ejemplo.

EJEMPLO:

“MODELO PRIMAL”

Maximizar: Xo = 5X 1 + 12X 2 + 4X3

Sujeto a: X 1 + 2X 2 + X3 5 Y1 +S2X 1 - X 2 + 3X3 = 2 Y2 +R

X 1, X 2, X3 0

FASE I: Min: r = R = 2 - 2X 1 + X 2 - 3X3 r = 2 - 2X 1 + X 2 - 3X3

Tab

la I

nic

ial

FA

SE

I

Cj -2 1 -3 0 0CB V.B X1 X2 X3 S R Solución0 S 1 2 1 1 0 5

0 R 2 -1 3 0 1 2

Ci 2 -1 3 0 0 2 Xo Yo

Tab

la O

ptim

a F

AS

E I

I

Cj 7/3 40/3 0 0 -4/3CB V.B X1 X2 X3 S R Solución

40/3 X2 0 1 -1/5 2/5 -1/5 8/5

7/3 X1 1 0 7/5 1/5 2/5 9/5

Ci 0 0 3/5 29/5 -2/5 141/5 Xo = YoY1 Y2 YO

La solución óptima primal es:

X1 X2 X3 Xo9/5 8/5 0 141/5

Simultáneamente se obtiene la solución óptima dual (sin resolverlo):

Y1 Y2 Yo

7


29/5 -2/5 141/5

“MODELO DUAL”

Minimizar: Yo = 5Y1 + 2Y21 - 2Y2

2

Sujeto a: Y1 + 2Y21 - 2Y2

2 5 X1 -S1 + R1

2Y1 - Y21 + Y2

2 12 X2 -S2 + R2

Y1 + 3Y21 - 3Y2

2 4 X3 -S3 + R3

Y1 ,Y21,Y2

2 0

FASE I: Min: r = R1 + R2 + R3 = (-Y1 - 2Y21 + 2Y2

2 +5 + S1) +(12-2Y1 +Y21 -Y2

2 +

S2)+(4 -Y1 - 3Y21 + 3Y2

2 + S3) r =21- 4Y1- 4Y21+ 4Y2

2+ S1+ S2+ S3

Tab

la I

nic

ial

FA

SE

I

Cj -4 -4 4 1 1 1 0 0 0CB V.B Y1 Y2

1 Y22 S1 S2 S3 R1 R2 R3 Solución

0 R1 1 2 -2 -1 0 0 1 0 0 5

0 R2 2 -1 1 0 -1 0 0 1 0 12

0 R3 1 3 -3 0 0 -1 0 0 1 4

Ci 4 4 -4 -1 -1 -1 0 0 0 21 Xo Yo

Tab

la O

ptim

a F

AS

E I

I

CB V.B Y1 Y21 Y2

2 S1 S2 S3 R1 R2 R3 Solución0 S3 0 0 0 -7/5 1/5 1 7/5 -1/5 -1 3/5

0 Y22 0 -1 1 2/5 -1/5 0 -2/5 1/5 0 2/5

0 Y1 1 0 0 -1/5 -2/5 0 1/5 2/5 0 29/5

Ci 0 0 0 -9/5 -8/5 0 9/5 8/5 0 141/5 Xo = YoX1 X2 X3 Xo

Y2 = Y21 – Y2

2 = 0 – (2/5) Y2 = -2/5

La solución óptima dual es:

Y1 Y2 Yo29/5 -2/5 141/5

Simultáneamente se obtiene la solución óptima primal (sin resolverlo):

X1 X2 X3 Xo9/5 8/5 0 141/5

8


Como puede observarse en la tabla inicial de ambos modelos se cumple la propiedad 1

la cual plantea que Xo Yo. Igualmente, en las tablas Simplex de los modelos Primal

y Dual, al conocer la solución óptima de uno de ellos, automáticamente se tiene la

solución óptima del otro modelo y viceversa.

3.4. PROPIEDADES IMPORTANTES PRIMAL-DUAL.-

Conociendo el modelo de Programación Lineal y la matriz bajo las variables básicas de

inicio de cualquier iteración del método Simplex, entonces mediante cuatro propiedades

primal-dual se puede generar el resto de la tabla.1

Estas se ilustrarán con el siguiente modelo:

Maximizar: Xo = 5X1 + 12X2 + 4X3

Sujeto a: X1 + 2X2 + X3 5 (+S)2X1 - X2 + 3X3 = 2 (+R)

X1 , X2 , X3 0

Su tabla óptima es:

Cj

CB V.B X1 X2 X3 S R SoluciónX2 IV IV IV 2/5 -1/5 IIIX1 IV IV IV 1/5 2/5 III

Ci II II II I I

1. PROPIEDAD I: en cualquier iteración del método Simplex la matriz bajo las

variables básicas de inicio (matriz inversa), sin incluir la fila de los Ci, puede ser utilizada para

generar los coeficientes de las variables básicas de inicio en la fila de los Ci; esto se logra de la

siguiente manera:

1 Adaptado del texto: Taha Hamdy A., Investigación de Operaciones, una introducción", 2da. Edición, Alfaomega, 1989

9


1.1. Identificar los coeficientes originales de la función objetivo correspondientes a

las variables básicas de la tabla Simplex actual. Construir un vector fila con estos

coeficientes en el mismo orden que aparecen en la tabla.

(X2 , X1 ) = ( 12, 5 )

1.2. Multiplicar el vector resultante por la matriz definida anteriormente.

( 12, 5 ) . 2/5 -1/5 = (29/5 , -2/5) Multiplicadores Simplex

1/5 2/5

Sustituyendo en la tabla se tiene:

Cj


Ci II II II 29/5 -2/5

2. PROPIEDAD II: en cualquier iteración del método Simplex, si se sustituyen los

valores de las variables duales (leídos con los Multiplicadores Simplex) por las variables

respectivas en las restricciones del dual, entonces, los coeficientes en la fila de los Ci del resto

de las variables están dados por la diferencia entre los lados izquierdo y derecho de las

restricciones duales correspondientes.

S R( 29/5 , -2/5 ) Y1 Y2

RESTRICCION DUAL ASOCIADA A X1: Y1 + 2Y2 5

29/5 + 2 (-2/5) - 5 = 0 Coeficiente de X1 en la fila de los Ci

RESTRICCION DUAL ASOCIADA A X2: 2Y1 - Y2 12

10


2 (29/5) - (-2/5) - 12 = 0 Coeficiente de X2 en la fila de los Ci

RESTRICCION DUAL ASOCIADA A X3: Y1 + 3Y2 4

29/5 + 3 (-2/5) - 4 = 3/5 Coeficiente de X3 en la fila de los Ci


Cj


Ci 0 0 3/5 I I

3. PROPIEDAD III: en cualquier iteración del método Simplex, los valores de las

variables básicas pueden obtenerse multiplicando la matriz bajo las variables básicas de inicio

por el vector columna formado por los elementos originales del lado derecho de las

restricciones.

X2 = 2/5 -1/5 . 5= 8/5

X1 1/5 2/5 2 9/5


Cj

CB V.B X1 X2 X3 S R SoluciónX2 IV IV IV 2/5 -1/5 8/5X1 IV IV IV 1/5 2/5 9/5

Ci II II II I I 141/5

Al conocerse la columna solución es posible calcular el valor de X0 sustituyendo los

valores de las variables básicas en la función objetivo:

Xo = 5 (9/5) + 12 (8/5) + 4 . 0 = 141/5

11


4. PROPIEDAD IV: en cualquier iteración del método Simplex, los coeficientes en

las restricciones bajo cualquier variable, se obtienen multiplicando la matriz bajo las variables

básicas de inicio por el vector columna formado por los elementos originales de los

coeficientes de las restricciones bajo la variable correspondiente.

Bajo X1 :2/5 -1/5

.1

=0

1/5 2/5 2 1

Bajo X2:2/5 -1/5

.2

=1

1/5 2/5 -1 0

Bajo X3:2/5 -1/5

.1

=-1/5

1/5 2/5 3 7/5


Cj

CB V.B X1 X2 X3 S R SoluciónX2 0 1 -1/5 2/5 -1/5 IIIX1 1 0 7/5 1/5 2/5 III

Ci II II II I I

3.5. METODO DUAL SIMPLEX.-

Es un método de resolución de modelos de Programación Lineal basado en la teoría de

la dualidad, el cual no es aplicable a todo modelo. Se utiliza en ciertos problemas de

programación lineal los cuales usualmente se resolverían a través del método de las dos fases,

sin embargo, no utiliza variables artificiales para encontrar la solución básica de inicio sino

12


variables de holgura. Para poder aplicarlo, deben cumplirse las siguientes condiciones:

1. Todas las restricciones deben ser del tipo “”.

2. Para obtener la tabla de inicio, se le agregan a las restricciones las variables de

holgura correspondientes, las cuales serán las variables básicas de inicio.

3. En la tabla inicial la condición de optimidad debe estar satisfecha, es decir, en la

fila de los Ci los coeficientes correspondientes a las variables no básicas deben ser

negativos si el problema es de minimizar y positivos si el problema es de

maximizar.

4. Si en la tabla de inicio todos los elementos del lado derecho son positivos, entonces

estamos en la tabla óptima. Si existe uno o más negativos, entonces el método

Dual-Simplex es aplicable.

5. El método Dual-Simplex requiere de una solución inicial no factible. La iteración

donde la solución básica llega a ser factible será la tabla óptima.

3.5.1. DETERMINACIÓN DE LA VARIABLE “SALIENTE” (CONDICIÓN DE FACTIBILIDAD).-

La variable que sale es la variable básica con valor más negativo en la

columna solución (independientemente de que la Función Objetivo sea de maximizar o

minimizar). Si existe un empate, el mismo se rompe arbitrariamente. 2

3.5.2. DETERMINACIÓN DE LA VARIABLE “ENTRANTE” (CONDICIÓN DE OPTIMIDAD).-


13


La variable que entra se elige entre las variables no básicas dividiendo los

coeficientes de las variables no básicas de la fila de los Ci entre los coeficientes

negativos correspondientes a la ecuación asociada a la variable saliente (se ignoran los

denominadores positivos o ceros). La variable que entra es aquella con el valor

absoluto del cociente más pequeño. Si todos los denominadores son cero o positivos,

entonces el modelo no tiene solución factible. 3

Una vez que se elige la variable entrante y la variable saliente, el procedimiento para

encontrar la nueva tabla es similar al empleado en el método Simplex.

EJEMPLO:

Maximizar: Xo = -2X1 - X2

Sujeto a: 3X1 + X2 3 (-1)4X1 + 3X2 6 (-1) X1 + 2X2 3

X1 , X2 0

Como todas las restricciones deben ser del tipo "" deben mutiplicarse la 1ª. Y 2ª.

restricción por (-1). Luego, el modelo queda de la siguiente forma:

Maximizar: Xo = -2X1 - X2

Sujeto a: -3X1 - X2 -3 -3X1 - X2 + S1 = -3-4X1 - 3X2 -6 -4X1 - 3X2 + S2 = -6 X1 + 2X2 3 X1 + 2X2 + S3 = 3

X1 , X2 0 X1 , X2 , S1 , S2 , S3 0

Cj -2 -1 0 0 0CB V.B X1 X2 S1 S2 S3 Solución

0 S1 -3 -1 1 0 0 -3 TABLA INICIAL


14


0 S2 -4 -3 0 1 0 -6 Sale S2

0 S3 1 2 0 0 1 3 Entra X2

Ci 2 1 0 0 0 0

Cociente 2 = -4

1 = -3

0,5 0,33 Menor Cociente: X2 (Entra a la base)

Cj -2 -1 0 0 0CB V.B X1 X2 S1 S2 S3 Solución

0 S1 -5/3 0 1 -1/3 0 -1 Sale S1 (empate con S3 )

-1 X2 4/3 1 0 -1/3 0 2 Entra X1

0 S3 -5/3 0 0 2/3 1 -1

Ci 2/3 0 0 1/3 0 -2

Cociente 2/3 = -5/3

1/3 = -1/3

0,4 1 Menor Cociente: X1 (Entra a la base)

Cj -2 -1 0 0 0CB V.B X1 X2 S1 S2 S3 Solución-2 X1 1 0 -3/5 1/5 0 3/5-1 X2 0 1 4/5 -3/5 0 6/5 TABLA OPTIMA0 S3 0 0 -1 1 1 0

Ci 0 0 2/5 1/5 0 -12/5

La solución básica es factible => TABLA OPTIMA. La solución óptima es:

Xo = -12/5 X1 = 3/5 X2 = 6/5

EJEMPLO:

Minimizar: Xo = X1 + X2

Sujeto a: X1 + X2 6X2 2 (-1)

-X1 + X2 1

15


X1 , X2 0

Como todas las restricciones deben ser del tipo "" se mutiplica la 2ª. restricción por

(-1). Luego, el modelo llevado a la forma estándar es:

Minimizar: Xo = X1 + X2

Sujeto a: X1 + X2 + S1 = 6- X2 + S2 = -2

-X1 + X2 + S3 = 1

X1 , X2 , S1 , S2 , S3 0

Cj 1 1 0 0 0CB V.B X1 X2 S1 S2 S3 Solución

0 S1 1 1 1 0 0 6 TABLA INICIAL

0 S2 0 -1 0 1 0 -2 Sale S2 - Entra X2

0 S3 -1 1 0 0 1 1

Ci -1 -1 0 0 0 0

Cociente -oo- -1 = -1

-oo- 1 Menor Cociente: X2 (Entra a la base)


0 S1 1 0 1 1 0 41 X2 0 1 0 -1 0 20 S3 -1 0 0 1 1 -1 Sale S3

Ci -1 0 0 -1 0 2 Entra X1 (empate con S2)

Cociente -1 = -1

-1 = -1 En este caso ambos cocientes son iguales, por

lo tanto se elige arbitrariamente cualquiera de las dos variables: X11 1


0 S1 0 0 1 2 1 31 X2 0 1 0 -1 0 2 TABLA OPTIMA1 X1 1 0 0 -1 -1 1

Ci 0 0 0 -2 -1 3

16


La solución básica es factible => TABLA OPTIMA. La solución óptima es:

Xo = 3 X1 = 1 X2 = 2

Al resolver los dos problemas anteriores puede observarse que el criterio para

seleccionar la variable saliente se mantiene en ambos casos, es decir, independientemente de

que el problema sea de maximizar o minimizar, siempre se seleccionará aquella variable

básica que posea el valor más negativo en la tabla. Igual ocurre en el momento de seleccionar

a la variable entrante.

3.6. ANALISIS DE SENSIBILIDAD.-

Es el estudio de la forma como se ve afectada la solución óptima si se introducen

cambios discretos en los coeficientes del modelo original4. Nos conduce a la determinación de

los intervalos de cambio de cada una de las partes que conforman un modelo de Programación

Lineal que mantendrán su solución óptima y factible. Si se hace uso de las propiedades de la

solución Simplex es posible reducir los cálculos adicionales sin tener que resolver de nuevo

todo el problema. Este será el objetivo del Análisis de Post-optimidad o Sensibilidad. Los

cambios que se estudiarán pueden clasificarse como:

Cambios que afectan la optimidad:

Cambio en los coeficientes de la función objetivo.

Cambio en los coeficientes del lado izquierdo de las restricciones (de las

variables no básicas).

Adición de una nueva variable.

4 Anderson D., Sweeney D., Williams T., Introducción a los Modelos Cuantitativos para Administración, 6ta. Ed., Grupo Editorial Iberoamericana, 1991

17


Cambios que afectan la factibilidad:

Cambio en el lado derecho de las restricciones.

Adición de una nueva restricción.

Todos los cambios serán estudiados con el siguiente problema:

Maximizar: Xo = 5X1 +12X2 + 4X3

Sujeto a: X1 +2X2 +X3 5 2X1 - X2 + 3X3 = 2

X1 , X2 , X3 0

TABLA OPTIMACj

CB V.B. X1 X2 X3 S R SoluciónX2 0 1 -1/5 2/5 -1/5 8/5X1 1 0 7/5 1/5 2/5 9/5

Ci 0 0 3/5 29/5 -2/5 141/5

3.6.1. CAMBIO EN LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO:

Estos cambios afectan únicamente a los coeficientes de la fila de los Ci de la

tabla y por lo tanto pueden afectar la optimidad de la misma.

EJEMPLO:

Si en el modelo anterior la nueva Función Objetivo es:

Maximizar: Xo = 4X1 +10X2 + 8X3

Según la propiedad 1 se tiene: (X2 , X1) = (10, 4)

(10 , 4) . 2/5 -1/5 = (24/5, -2/5) Nuevos Multiplicadores Simplex

1/5 2/5

18


Por la propiedad II las restricciones duales asociadas a cada variable de

decisión son:

X1 : Y1 + 2Y2 4 24/5 +2 (-2/5) – 4 = 0

X2 : 2Y1 - Y2 10 2.(24/5) -(-2/5) – 10 = 0

X3 : Y1 + 3Y2 8 24/5 +3.(-2/5) – 8 = -22/5

Xo = 4.(9/5) + 10.(8/5) + 8.0 = 116/5

La nueva tabla es:

Cj

CB V.B X1 X2 X3 S R SoluciónX2 0 1 -1/5 2/5 -1/5 8/5X1 1 0 7/5 1/5 2/5 9/5

Ci 0 0 -22/5 24/5 -2/5 116/5

En la tabla obtenida la variable no básica X3 tiene coeficiente negativo (-22/5)

en la fila de los Ci. Por lo tanto, la tabla anterior no es la óptima por lo cual debemos

aplicar el Método Simplex.

3.6.2. CAMBIO EN LOS COEFICIENTES DEL LADO IZQUIERDO DE LAS RESTRICCIONES (DE LAS VARIABLES NO BÁSICAS):

Estos cambios afectan a todos los coeficientes bajo la variable no básica

correspondiente por lo que puede afectar la optimidad de la tabla.

EJEMPLO:

Si en el modelo anterior los coeficientes de X3 en las restricciones se cambian

de (1, 3) a (-5, 2), se tiene:

Por la propiedad IV, los nuevos coeficientes en las restricciones para X3 son:

2/5 -1/5 . -5 = -12/5

1/5 2/5 2 -1/5

19


Y el nuevo coeficiente de X3 en la fila de los Ci se halla por la propiedad II:

Dual asociado a X3: -5Y1 + 2Y2 4 -5.(29/5) +2.(-2/5) – 4 = -169/5

La nueva tabla es:

Cj

CB V.B X1 X2 X3 S R SoluciónX2 0 1 -12/5 2/5 -1/5 8/5X1 1 0 -1/5 1/5 2/5 9/5

Ci 0 0 -169/5 24/5 -2/5 141/5

El coeficiente de X3 en la fila de los Ci es negativo (-169/5). Por lo tanto, la

nueva tabla no es óptima y debe aplicarse el Método Simplex. Es de hacer notar que el

problema tiene solución no acotada (solución en el infinito).

3.6.3. ADICIÓN DE UNA NUEVA VARIABLE:

Este cambio puede afectar únicamente la optimidad de la tabla.

EJEMPLO:

En el modelo anterior se adiciona la variable X4. Su coeficiente en la función

objetivo es 30 y en las restricciones son 5 y 7 respectivamente.

Por la propiedad IV se hallan los coeficientes de la nueva variable en la tabla:

2/5 -1/5 . 5 = 3/5

1/5 2/5 7 19/5

Por la propiedad II se tiene:

Dual asociado a X4: 5Y1 + 7Y2 30 5.(29/5) +7.(-2/5) – 30 = -19/5

Cj

CB V.B. X1 X2 X3 X4 S R SoluciónX2 0 1 -1/5 3/5 2/5 -1/5 8/5

20


X1 1 0 7/5 19/5 1/5 2/5 9/5

Ci 0 0 3/5 -19/5 29/5 -2/5 141/5

El resto de la tabla no varía y la tabla no es óptima. Debe aplicarse el Método

Simplex para optimizarla.

3.6.4. CAMBIO EN EL LADO DERECHO DE LAS RESTRICCIONES:

Estos cambios afectan únicamente los valores de la columna solución y por lo

tanto la factibilidad de la solución básica que queda.

EJEMPLO:

Si en el modelo anterior el lado derecho cambia de:

5 a 3 Entonces:2 10

Según la propiedad III los nuevos valores de las variables básicas son:

X2 =2/5 -1/5 . 3

=-4/5

X1 1/5 2/5 10 23/5

Xo = 5 (23/5) + 12(-4/5) = 67/5

Entonces la tabla queda:

Cj

CB V.B X1 X2 X3 S R SoluciónX2 0 1 -1/5 2/5 -1/5 -4/5X1 1 0 7/5 1/5 2/5 23/5

Ci 0 0 3/5 29/5 -2/5 67/5

En la tabla anterior la condición de optimidad se cumple (coeficientes Ci

positivos para problema de maximización) y la solución básica es no factible ya que X2

21


tiene valor negativo (-4/5). Por lo tanto, para encontrar la nueva solución óptima debe

aplicarse el Método Dual Simplex.

3.6.5. ADICIÓN DE UNA NUEVA RESTRICCIÓN:

Una nueva restricción puede afectar la factibilidad de la solución básica que se

tiene. Por lo tanto, el primer paso es verificar si la nueva restricción se encuentra

satisfecha con la solución básica que se tiene:

- Si la nueva restricción es: 5X1 + 5X2 + 3X3 20

Sustituyendo la solución básica se tiene:

5(9/5) + 5(8/5) + 3.0 = 17 20 La solución básica permanece sin

cambio por lo cual no es necesario introducir la restricción en la tabla y la

solución actual se mantiene invariante.

- Si la nueva restricción es: 5X1 + 10X2 + 3X3 10

Sustituyendo la solución básica se tiene:

5(9/5) + 10(8/5) + 3.0 = 25 10 La restricción no se satisface con la

solución básica actual. Por lo cual el siguiente paso es introducir esta

restricción en la tabla.

S2 es la variable asociada a esta restricción:

5X1 + 10X2 + 3X3 + S2 = 10

La nueva restricción debe estar en función de las variables no básicas

por lo que los coeficientes de X1 y X2 deben ser cero en la nueva fila de la tabla

22


ya que son básicas. Esto se consigue multiplicando la segunda ecuación de la

tabla por (-10), la primera ecuación por (-5) y sumarlas a la nueva restricción.

De esta forma se tiene:

(2ª. Ec.) x (-10): - 10X2 +2X3 - 4S +2R = -16(1ª. Ec.) x (-5): -5X1 -7X3 - S -2R = -9

5X1 + 10X2 +3X3 + S2 = 10 ____________________________________

-2X3 - 5S + S2 = -15 NUEVA F.O.

Cj

CB V.B. X1 X2 X3 S S2 R SoluciónX2 0 1 -1/5 2/5 0 -1/5 8/5X1 1 0 7/5 1/5 0 2/5 9/5

S2 0 0 -2 -5 1 0 -15

Ci 0 0 3/5 29/5 0 -2/5 141/5

En la tabla anterior la condición de optimidad está satisfecha pero la solución

básica es no factible. Para determinar la solución óptima del nuevo problema debe

aplicarse el Método Dual Simplex.

3.7. EJEMPLOS DE APLICACIÓN.-

1. La tabla Simplex óptima para un problema de maximización con todas las restricciones

del tipo es:

Cj

CB V.B. X1 X2 S1 S2 S3 SoluciónX2 0 1 1/2 -1/2 0 2X1 1 0 -1/8 3/8 0 3/2S3 0 0 1 -2 1 4

Ci 0 0 1/4 1/4 0 5

Donde X1 y X2 son las variables de decisión y S1, S2 y S3 son las variables de holgura.

Suponga que se decide aumentar el lado derecho de una de las restricciones; ¿Cuál

23


recomendaría para expansión y por qué? ¿Cuál es la cantidad máxima de aumento

en este caso? Encuentre el nuevo valor correspondiente a la función objetivo. 5

SOLUCIÓN.-

En el problema se necesita aumentar el lado derecho de una de las restricciones que

proporcione el mayor valor para la función objetivo, pero se desconoce el modelo de

programación lineal que origina la tabla óptima mostrada y por consiguiente el lado

derecho de las restricciones. Sin embargo, se conoce la estructura del mismo: la

función objetivo es de maximizar y todas las restricciones son del tipo ; por lo tanto

la estructura del modelo de programación lineal es:

Maximizar: Xo = C1X1 +C2X2

Sujeto a: a11X1 + a12X2 + S1 = b1

a21X1 + a22X2 + S2 = b2

a31X1 + a32X2 + S3 = b3

X1 , X2 , X3 0

Una vez conocido el modelo se procede a calcular el lado derecho del mismo haciendo

uso de la propiedad III:

1/2 -1/2 0 b1 2

-1/8 3/8 0 . b2 = 3/2

1 -2 1 b3 4

1/2b1 - 1/2 b2 = 2 -1/8 b1 + 3/8 b2 = 3/2

1 b1 - 2 b2 + 1b3 = 4

Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales anterior se tiene que:

b1 = 12b2 = 8b3 = 8

5 Taha Hamdy A., Investigación de Operaciones, una introducción", 2da. Edición, Alfaomega, 1989

24


Al conocer los valores del lado derecho de las restricciones se comienza a calcular

con cada uno por separado, cuál de ellos debería ser aumentado y en cuánto. Para

esto se utiliza de nuevo la Propiedad III, pero para garantizar que la tabla obtenida

permanezca factible (esto es, que cada nuevo valor del lado derecho no sea negativo)

cada una de las restricciones debe ser mayor o igual a cero:

Se comienza expandiendo el lado derecho de la 1ª. restricción en una cantidad 1:

1/2 -1/2 0 12 + 1 0

-1/8 3/8 0 . 8 0

1 -2 1 8 0

1/2.(12 + 1) - 4 0 1 -4 -1/8.(12 + 1) + 3 0 1 12

12 + 1 - 16 + 8 0 1 -4

Llevando estos intervalos a la recta real se tiene:

-4 1 12; como se desea expandir el lado derecho, se toma entonces: 1 = 12

Se toma ahora el lado derecho de la 2ª. restricción y se aumenta en una cantidad

2:

1/2 -1/2 0 12 0

-1/8 3/8 0 . 8 + 2 0

1 -2 1 8 0

6 - 1/2.(8 + 2) 0 2 4 -3/2 + 3/8.(8 + 2) 0 2 -4

12 - 2.(8 + 2) + 8 0 2 2


25[ ] ]

4-4

2

2

[ ]

12-4

1


-4 2 2; como se desea expandir el lado derecho, se toma entonces: 2 = 2

Se aumenta ahora el lado derecho de la 3ª. restricción en una cantidad 3:

1/2 -1/2 0 12 0

-1/8 3/8 0 . 8 0

1 -2 1 8 + 3 0

6 - 4 0.(8 + 3) 0 -3/2 + 3 0.(8 + 3) 0

12 -16 + (8 + 3) 0 3 -4


3 -4; el máximo valor para 3 se encuentra en el infinito, por lo tanto no es

posible evaluar la expansión en la 3ª. restricción.

Se seleccionan 1 = 12 y 2 = 2.

La función objetivo dual asociada al modelo es: Yo = 12Y1 + 8Y2 + 8Y3.

Se prueba con 1 = 12: Yo = (12 + 1)Y1 + 8Y2 + 8Y3

Yo = (12+12).(1/4) + 8.(1/4) + 8.0 Yo= 8

Se prueba con 2 = 2: Yo = 12Y1 + (8+2) Y2 + 8Y3

Yo = 12.(1/4) +(8+2).(1/4) + 8.0 Yo= 5,5

Se recomienda aumentar la 1ª. Restricción en una cantidad 1 = 12, ya que

proporciona el mejor valor para la función objetivo: Xo = Yo = 8

26

[ -4

3


2. En el problema #1 suponga que C1 y C2 son los coeficientes de X1 y X2 en la función

objetivo. Halle el intervalo de variación o rango de la relación C1/C2 que siempre

mantendrán óptima la solución del problema #1. 6

SOLUCIÓN.-

La función objetivo es: Xo = C1X1 + C2X2

Para que se mantenga óptima la solución debe cumplirse que todos los coeficientes de la fila “Ci” sean

mayores o iguales a cero ya que es un problema de “Maximización”. Por lo tanto, aplicando la Propiedad

I, que es la que relaciona los coeficientes de la función objetivo con la fila de los Ci se tiene:

1/2 -1/2 0( C2, C1, 0 ) . -1/8 3/8 0 ( 0, 0, 0 )

1 -2 1

½ C2 - 1/8C1 0 1/2C2 1/8C1 (1)-½ C2 + 3/8C1 0 3/8C1 ½ C2 (2)

De (1): C1 1/2 C1 4C2 1/8 C2

De (2): C1 1/2 C1 4C2 3/8 C2 3

4 C1 43 C2

3. Se tiene el siguiente modelo:

Minimizar: XO = 4X1 + X2

Sujeto a: 3X1 + X2 = 3 R1

4X1 + 3X2 6 S1 , R2 X1 + 2X2 3 S2

X1 , X2 0

6 Taha Hamdy A., Investigación de Operaciones, una introducción", 2da. Edición, Alfaomega, 1989

27


Si R1, R2 y S2 son las variables básicas de inicio de la 1ª , 2ª y 3ª restricción, respectivamente, y si los

coeficientes bajo estas variables en la tabla óptima del método Simplex son:

R1 R2 S2

2/5 0 -1/5-1/5 0 3/5

1 -1 1

Construir la tabla Simplex completa.

SOLUCIÓN.-

El objetivo del problema es hacer uso de las propiedades primal-dual a fin de obtener la tabla Simplex

correspondiente al modelo dado:

CjCB V.B. X1 X2 S1 S2 R1 R2 Solución

-1/5 2/5 0IV 3/5 -1/5 0 III

1 1 -1Ci II I

Es importante destacar que las columnas de la matriz bajo las variables básicas de

inicio que se utilizará para el problema, deben ir colocadas en el mismo orden de

aparición en las restricciones, es decir, en la primera columna deben aparecer los

coeficientes de la variable básica de inicio asociada a la primera restricción, en la

segunda aparecerá la variable básica de inicio de la segunda restricción y así

sucesivamente.

Comenzando con la resolución del problema, se observa que se desconocen las

variables básicas actuales, por lo que no es posible comenzar con la propiedad I ni

proseguir con la II ya que depende de los valores obtenidos con la propiedad I. Se

parte entonces de la propiedad III o de la IV.

PROPIEDAD IV: se hallan los coeficientes bajo las variables de decisión y de holgura

del modelo:

Bajo X1:

R1 R2 S2 X1

2/5 0 -1/5 3 1

28


-1/5 0 3/5 . 4 = 01 -1 1 1 0

Bajo X2:

X2

2/5 0 -1/5 1 0-1/5 0 3/5 . 3 = 1

1 -1 1 2 0

Bajo S1:

S1

2/5 0 -1/5 0 0-1/5 0 3/5 . -1 = 0

1 -1 1 0 1

Al colocar estos valores debajo de la variable respectiva, puede observarse la

formación de la matriz identidad, por lo que pueden determinarse las variables básicas

de la tabla:

X1

X2 S1

PROPIEDAD III: se halla la columna “Solución” de la tabla:

R1 R2 S2 L.D.

2/5 0 -1/5 3 3/5-1/5 0 3/5 . 6 = 6/5

1 -1 1 3 0

PROPIEDAD I: como ya se conocen las variables básicas de la tabla es posible

calcular los Ci para las variables básicas de inicio:

(X1, X2, S1) = (4, 1, 0)

2/5 0 -1/5 R1 R2 S2

( 4, 1, 0 ) . -1/5 0 3/5 = ( 7/5, 0, -1/5 ) Multiplicadores Simplex

1 -1 1

29


PROPIEDAD II: se hallan las restricciones duales asociadas con cada de las

variables para calcular los Ci restantes; los valores de las variables duales se extraen

de la tabla, en la posición donde se ubican los multiplicadores Simplex. Se tiene

entonces que:

Y1 = CR1 = 7/5

Y2 = CR2 = 0

Y3 = -CS2 = -(-1/5) = 1/5 (la 3ª. Restricción es del tipo“” y la F.O. es de minimizar)

Restricción dual asociada a X1:

3Y1 + 4Y2 - Y34

3.(7/5) + 4 . 0 -(1/5) - 4 = 0 CX1

Restricción dual asociada a X2:

Y1 + 3Y2 - 2Y31

7/5 + 3 . 0 -2.(1/5) - 1 = 0 CX2

Restricción dual asociada a S1:

-Y2 0

0 - 0 = 0 CS1

Finalmente, se halla Xo:

Xo = 4.(3/5) + 6/5 = 18/5

La tabla completa es:

CjCB V.B. X1 X2 S1 S2 R1 R2 Solución

X1 1 0 0 -1/5 2/5 0 3/5X2 0 1 0 3/5 -1/5 0 6/5S1 0 0 1 1 1 -1 0Ci 0 0 0 -1/5 7/5 0 18/5

30

TEMA 3-Complemento de Dualidadd

Documents

Transcript of TEMA 3-Complemento de Dualidadd