Compendio FARO 10 ° Matemática 2020Índice general 1 Geometría.....5 1.1Conocimientos previos:...

Compendio FARO 10° Matemática2020

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Licda. Jessica Abarca Sanabria.Lic. Samuel Díaz Ramírez.

Compendio Décimo de Matemática

SmartBook FARO v1

Composición y diseño:Samuel Díaz Ramírez

Elaborado con el editor LATEX

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Índice general

1 Geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1 Conocimientos previos: áreas de figuras planas 5

1.2 Punto medio y distancia entre puntos 6

1.3 Ecuación de la Circunferencia 7

1.4 Punto en la circunferencia 7

1.5 Rectas respecto a una circunferencia 8

1.6 Traslación de una circunferencia 9

1.7 Conocimientos previos: trigonometría 10

1.8 Polígono regular 111.8.1 Elementos de un polígono regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.8.2 Fórmulas de polígonos regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.9 Polígono irregular 13

1.10 Visualización espacial 141.10.1 Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.10.2 Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Relación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1 Teoría de números 152.1.1 Conjuntos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.2 Relaciones de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Clasificación de los intervalos 162.2.1 Intervalos cerrados, abiertos y semiabiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.2 Intervalos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Operaciones de conjuntos 172.3.1 Unión (∪) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.2 Intersección (∩) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.3 Complemento (A,AC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1 Concepto de función 19

3.2 Lectura de las gráficas 20

3.3 Función Lineal 21

3.4 Función cuadrática 23

3.5 Composición de funciones 24

3.6 Problema Sistema de ecuaciones 25

4 Estadística y probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.1 Estadística 264.1.1 Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.1.2 Simetría y asimetría en una distribución de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.1.3 Diagrama de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.1.4 Eventos mutuamente excluyentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2 Probabilidad 304.2.1 Probabilidad de un evento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2.2 Reglas de la probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

TriunfoDirección web: www.tuprofemath.com

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12 1

Conocimientos previos: áreas de figu-ras planasPunto medio y distancia entre puntosEcuación de la CircunferenciaPunto en la circunferenciaRectas respecto a una circunferenciaTraslación de una circunferenciaConocimientos previos: trigonometríaPolígono regular

Elementos de un polígono regularFórmulas de polígonos regulares

Polígono irregularVisualización espacial

EsferaCilindro

1 — Geometría

1.1 Conocimientos previos: áreas de figuras planasÁrea y perímetro de figuras planas básicas.

Cuadrado

A = l2

P = 4l

l : lado del cuadrado

Rectángulo

A = b ·h

P = 2(b+h)

b : base del rectánguloh : altura del rectángulo

Rombo

A =D ·d

2

P = 4l

D : diagonal mayord : diagonal menor

Triángulo

A =b ·h

2

P = a+b+ c

a,b,c : lados del triánguloh : altura del triángulo

Romboide

A = b ·h

P = suma de lados

b : base del romboideh : altura del romboide

Trapecio

A =(B+b) ·h

2

P = suma de lados

B,b : base mayor y menorh : altura del trapecio

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6 Geometría

1.2 Punto medio y distancia entre puntos

Para encontrar el centro de un segmento o el cen-tro del diámetro, cuyas coordenadas de los puntosextremos son A(x1,y1) y B(x2,y2), se emplea:

PM =

(x1 + x2

2,y1 + y2

2

)Para encontrar la medida de la longitud del radioo del diámetro a partir de dos puntos extremos, seusa la fórmula de la distancia.

d (A,B) =√

(x1− x2)2 +(y1− y2)

2

x

y

x1 x2y1

y2

A

BPM

Ejemplo: Determine la distancia entre lo puntosA(−1,4) y B(4,−2) y el punto medio entre dichospuntos.

PM =

(−1+4

2,4+−2

2

)=

(32,1)

d (A,B) =√

(−1−4)2 +(4−−2)2

d (A,B) =√

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-2 -1 0 1 2 3 4

-2

-1

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x

y


https://www.geogebra.org/m/xngxszxk


1.3 Ecuación de la Circunferencia 7

1.3 Ecuación de la Circunferencia

La ecuación de la circunferencia está dado por(x−h)2 +(y− k)2 = r2 con centro (h,k) y radio r.

Ejemplo 1: Determine la ecuación de la circunfe-rencia cuyo centro es (−1,4) y radio 3.

(x−−1)2 +(y−4)2 = 32

(x+1)2 +(y−4)2 = 9

x

y

r

O

P(x,y)

Centro O

h

k

Para obtener la ecuación, los valores del centro h y k se cambian de signo y el radio seeleva al cuadrado.

Ejemplo 2: Determine el centro y el radio de la ecuación (x−5)2 +(y+7)2 = 64.

centro: c(5,−7); radio: r =√

64 = 8.

El centro se obtiene cambiando de signo a h y k, el radio se obtiene sacando raíz cuadradaal último número después de la igualdad.

1.4 Punto en la circunferencia

Dado un par ordenado o punto (a,b) se sustituye en “x” e“y” de la ecuación por los valores “a” y “b” respectivamente.

a) Si (x−h)2 +(y− k)2 > r2 el punto es exterior.b) Si (x−h)2 +(y− k)2 < r2 el punto es interior.c) Si (x−h)2 +(y− k)2 = r2 el punto es frontera. x

y

C

B

A

Ejemplo: Determine algebraicamente si el punto R(1,−3) es exterior, frontera o interior a lacircunferencia dada por la ecuación (x+1)2 +(y−2)2 = 9.

Se sustituye las coordenadas del punto R en la ecuación, donde x = 1 e y =−3:

(x+1)2 +(y−2)2 = 4 =⇒ (1+1)2 +(−3−2)2 > 9.=⇒ (2)2 +(−5)2 > 9.=⇒ 29 > 9

Por lo tanto, el punto R es un punto exterior a la circunferencia.


https://www.geogebra.org/m/esdqk6rr

https://www.geogebra.org/m/fysmm4jd

https://www.geogebra.org/m/fysmm4jd


8 Geometría

1.5 Rectas respecto a una circunferencia

Dada una ecuación de la recta de la forma y = mx+b y laecuación de la circunferencia (x−h)2 +(y− k)2 = r2, paraconocer que tipo de recta es respecto a la circunferencia,se sustituye la ecuación de la recta en la ecuación dela circunferencia, se obtiene una ecuación cuadrática,obteniendo el valor del discriminante4= b2−4ac se tienetres casos:

a) Si4 > 0, la recta es secante a la circunferencia.b) Si4 = 0, la recta es tangente a la circunferencia.c) Si4 < 0, la recta es exterior a la circunferencia.

x

y

l1l2

l3

Ejemplo: Determine si la recta y = 2x+ 1 es secante, tangente o exterior con respecto a laecuación de la circunferencia (x−2)2 +(y+3)2 = 16.

Primero se sustituye la recta y = 2x+1 en la en la ecuación de la circunferencia:(x−2)2 +(y+3)2 = 16.(x−2)2 +(2x+1︸︷︷︸

y

+3)2 = 16.

(x−2)2 +(2x+4)2 = 16.

Se desarrolla las fórmulas notables (multiplicación de binomios)x2−4x+4+4x2 +16x+16−16 = 0.5x2 +12x+4 = 0.

4= 122−4 ·5 ·44= 64 > 0

Como el valor del discriminante es mayor a 0, la recta es secante.123

Mét

odo

Para obtener los símbolos de “x” y el “ = ” en la calculadora se sigue:

x : Alfa )

= : Alfa Calc

a) Se toma la ecuación de la recta y se sustituye y en la ecuación de la circunferencia.b) luego se escribe la nueva ecuación en la calculadora, tal como está.c) Para encontrar la solución se usan las teclas:

Calculadora fx-570 ES PLUS

d) Shift Calc -23 =

d) Shift Calc 23 =

Calculadora fx-570 LAX ClassWiz

d) Shift Calc -23 = =

d) Shift Calc 23 = =


https://www.geogebra.org/m/cgqyqtwx

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1.6 Traslación de una circunferencia 9

Propiedad de la recta tangente a la circunferencia.

Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular alradio de ésta en el punto de tangencia.

El radio r, el segmento tangente d y el segmento h opuestoal angulo de 90◦, forman siempre un triángulo rectángulo, loideal es utilizar el teorema de Pitágoras para encontrar lasmedidas de lados.

h =√

d2 + r2 r =√

h2−d2 x

y

r

l1

dh

1.6 Traslación de una circunferenciaAl trasladar una circunferencia, se desplaza únicamente su centro, manteniendo el mismo radio ytamaño, es decir, hay un desplazamiento horizontal a y/o vértical b que se suma o resta con elcentro c(h,k), quedando c′ (h±a,k±b)

(+) Der

(-) Abajo

(+) Arriba

Izq (-)

-1 0 1 2 3 4 5-1

0

1

2

3

x

y

O

O′

Ejemplo 1:Si una circunferencia C, dada por (x−5)2 +(y+2)2 = 8, se traslada dos unidadeshacia la derecha (horizontalmente) y cuatro unidades hacia la abajo (verticalmente), determine laotra ecuación de la circunferencia C′.

El centro de la circunferencia C es (5,−2), la expresión dos unidades hacia la derecha es unvalor positivo, cuatro unidades hacia la abajo es un valor negativo,por lo tanto, el nuevo centro es(5+2,−2−4) = (7,−6),

La ecuación de la circunferencia C′ es (x−7)2 +(y+6)2 = 8

Ejemplo 2: Si a una circunferencia C dada por (x+4)2+(y−1)2 = 10 se le aplica una traslaciónde 5 unidades, de modo que se obtiene otra circunferencia C′ dada por (x−1)2 +(y−1)2 = 10,entonces la dirección de la traslación aplicada fue

( ) hacia arriba verticalmente. ( ) hacia abajo verticalmente.( ) hacia la derecha horizontalmente. ( ) hacia la izquierda horizontalmente.


https://www.geogebra.org/m/mhhxtj5t

https://www.geogebra.org/m/mhhxtj5t

https://www.geogebra.org/m/bhmdapbm


10 Geometría

1.7 Conocimientos previos: trigonometríaLey de senosPara determinar la medida de un lado,radio o apotema de un polígono se empleala ley de senos.

α

β θ

a

bc

asen(α)

=b

sen(β )=

csen(θ)

Razones trigonométricas:Hay tres razones trigonométricas básicas:seno, coseno y tangente.

sen(α) =OH

cos(α) =AH

tan(α) =OA

α

θ β

a

bc

sen(α) =ac

cos(α) =bc

tan(α) =ab

Ejemplo: Determine la medida de la base del triángulo rectángulo adjunto conociendo las medi-das, usando la ley de senos y las razones trigonométricas.

30◦10 cm

x

Ley de senosx

sen(30◦)=

10sen(90◦)

x =10 · sen(30◦)

sen(90◦)x = 5 cm

Razón trigonométricasen(30◦) =

x10

x = 10 · sen(30◦)

x = 5 cm



1.8 Polígono regular 11

1.8 Polígono regularEs una figura plana cuyos lados y ángulos son congruentes (tienen la misma medida).

1.8.1 Elementos de un polígono regular

| |

||||

Vl

ar

D

O

θ

α

β

O : Centro del polígono.l : Lado.r : Radio.a : Apotema.D : Diagonal.θ : Ángulo central.α : Ángulo externo.β : Ángulo interno.

Clasificación por lados de polígonos regulares:

Triángulo Equilátero y Hexágono regular:

| |

|||| h

l

l lh =

l√

32

AT =l2√

34

||

a =l√

32

AH =3l2√

32

l

r = la

| |ap r

l

l lap =

h3

r =2h3

Donde:l: es el lado del triángulo y del hexágono.a: es el apotema del hexágono.ap: es el apotema del triángulo equilátero.h: es la altura del triángulo.AT ,AH : es el área del triángulo y hexágono res-

pectivamente.

Ejemplo: Determine el área, la altura, el apotema y radio de un triángulo equilátero de lado 4cm.

A =42 ·√

34

h =4 ·√

32

ap =2 ·√

33

r =2 ·2√

33

A =16 ·√

34

h = 2√

3 ap =2√

33

r =4√

33

A = 4√

3


https://www.geogebra.org/m/seyfajna


12 Geometría

1.8.2 Fórmulas de polígonos regularesEl perímetro P del polígono regular está dado por P = n · l, donde n representa la cantidad delados del polígono y l el valor del lado.

Ángulo y diagonales

Ángulo central Ángulo externo Diagonal de un vértice

]c =360◦

n]e =

360◦

nDV = n−3

Ángulo interno Suma ángulo interno Diagonales totales

]i =180◦ (n−2)

n]Si = 180◦ (n−2) DT =

n(n−3)n

Ejemplo: Determine las medidas de los ángulos y diagonales del siguiente polígono regular.

Área de un polígono regular:

Se presentan cuatro fórmulas para encontrar el área de un polígono regular.

Conociendo P y ap Conociendo ap Conociendo r Conociendo l

A =P ·ap

2A = a2

p ·n · tan(

180◦n

)A =

r2 ·n · sen(

360◦n

)2

A =l2 ·n

4 · tan(180◦

n

)Ejemplo: Determine el área del siguiente polígono regular utilizando las cuatro fórmulas anterio-res.



1.9 Polígono irregular 13

1.9 Polígono irregularEs una figura plana cuyos lados y ángulos no son congruentes (tienen medidas diferentes), se dasiempre en un plano cartesiano.

Área de un polígono irregular:

Fórmula de Pick Suma de áreas Resta de áreas

A = I +B2−1 AT = ∑Ai AT = área rectangulo - áreas de triángulos

Donde:I: puntos en el interior del polígono.B: puntos en el borde del polígono.

Observación: Los puntos interiores y en el borde poseen coordenadas de números enteros.

Ejemplo: Determine el área del siguiente polígono irregular.

Perímetro: Suma de todos los lados, si son lados horizontales o verticales se cuentan cada cuadrode la cuadrícula (tiene valor una unidad), en el caso que sean lados diagonales se usa Pitágoras ose emplea la calculadora.

Teorema de Pitágoras: h2 = a2 +b2 donde a,b son catetos y h es la hipotenusa.

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Mét

odo

P = ∑Pol(c1,c2) se usa cuando los lados son diagonales, donde c1 y c2 son catetos.

El método es funcional en la calculadora fx-570 ES PLUS como en la fx-570 LAXClassWiz.

Shift + c1 Shift ) c2 ) =



14 Geometría

1.10 Visualización espacial1.10.1 Esfera

Cualquier corte de un plano con la esfera genera una sección transversal llamada circunferencia.

Fórmulas:AE = 4πR2

AO = πr2

C = 2πrR2 = d2 + r2

R

r

d

Donde:π: número pi.r: radio de la círculo del corte.R: radio de la esfera.d: distancia entre el centro de la esfera y el centro del círculo del corte.AE : área de la esfera.AO: área de la círculo del corte.C: circunferencia del corte.

Observación: La longitud de la circunferencia es igual al perímetro.

1.10.2 CilindroCaracterísticas de acuerdo a la intersección del plano con el cilindro.

Círculo: Corte paralelo a la base.

Elipse: Corte oblicuo, sin cortar la base.

Rectángulo: Corte perpendicular a la base.

Fórmulas:AB = 2πr2

AL = 2πhrAT = 2πr(h+ r)

Donde:AB: área basal.AL: área lateral.AT : área total.


https://www.geogebra.org/m/s5puwscv


Teoría de númerosConjuntos numéricosRelaciones de conjuntos

Clasificación de los intervalosIntervalos cerrados, abiertos y semi-abiertosIntervalos infinitos

Operaciones de conjuntosUnión (∪)Intersección (∩)Complemento (A,AC)

2 — Relación

2.1 Teoría de números2.1.1 Conjuntos numéricos

Los cinco conjuntos numéricos más importantes estudiados son:

a) Conjunto números naturales: Se denota conel símbolo N.N= {0,1,2,3, ...}

b) Conjunto números enteros: Se denota con elsímbolo Z.Z= {...,−3,−2,−1,0,1,2,3, ...}

c) Conjunto números racionales: Se denota conel símbolo Q.Q = {a

b ,donde a,b ∈ Z, b 6= 0} Además, sontodos los números con expansión decimal finitao infinita periódica.

NZ

Q

R=Q∪ I

I

01 2

−1

−2

−3

12−53

3,1678

4,37

π

e

−√

5

-6,16493...

d) Conjunto números irracionales: Se denota con el símbolo I.I= {x 6= a

b}. Son todos los números que se denota con expansión infinita no periódica.

d) Conjunto números reales: Se denota con el símbolo R.Está compuestos por todos los números racionales e irracionales. R=Q∪ I.


https://www.geogebra.org/m/g47q8bky


16 Relación

2.1.2 Relaciones de conjuntosRelación de pertenencia: La relación de pertenencia se establece entre un número y un conjunto.El símbolo de pertenencia se utiliza entre un numeral y el símbolo de un conjunto. El símbolo depertenece es (∈) y no pertenece es (/∈).

Ejemplos: 2 ∈ Z√7 /∈Q

Relación de inclusión: La relación de inclusión se establece entre un conjunto y otro conjunto.El símbolo de inclusión se utiliza entre el símbolo de un conjunto y el símbolo de otro conjunto.El símbolo de contenido es (⊂) y no contenido es (6⊂).

Ejemplos: Z⊂ RN 6⊂ I

2.2 Clasificación de los intervalos2.2.1 Intervalos cerrados, abiertos y semiabiertos

2.2.2 Intervalos infinitos



2.3 Operaciones de conjuntos 17

2.3 Operaciones de conjuntosLas siguientes definiciones se aplicarán únicamente a intervalos reales1.

2.3.1 Unión (∪)Caso 1: Cuando los conjuntos tienen elementos en común, la unión se puede expresar como elintervalo con el elemento menor en un extremo y el mayor en el otro extremo.

Ejemplo: Determine la unión de los conjuntos A = {x/x ∈ R;−2 < x≤ 6} y B = ]0,10]

A∪B = ]−2,10]

Caso 2: Cuando dos conjuntos no tienen elementos en común, su unión se puede expresar colo-cando el símbolo Uen medio de la representación de los conjuntos.

Ejemplo: Determine la unión de los conjuntos A = {x/x ∈ R;1≤ x≤ 6} y B = [10,15[

A∪B = [1,6]∪ [10,15[

2.3.2 Intersección (∩)Caso 1: Cuando los conjuntos tienen elementos en común, la intersección se puede expresarcomo el intervalo con los elementos comunes.

Ejemplo: Determine la intersección de los conjuntos A = {x/x ∈ R;−2 < x≤ 6} y B = ]0,10]

A∩B = ]0,6]

Caso 2 (conjuntos disjuntos): Cuando dos conjuntos no tienen elementos en común, la intersec-ción es conjunto vacío. Se denota {} o ∅.

Ejemplo: Determine la intersección de los conjuntos A = {x/x ∈ R;1≤ x≤ 6} y B = [10,15[

A∩B =∅

1Para conjuntos con Diagrama de Venn, ver página 28



18 Relación

2.3.3 Complemento (A,AC)Sea un conjunto A y el conjunto universo U definido como el conjunto de los números reales R.El complemento del conjunto A son todos los elementos que no están en A pero qe estén en R.

Ejemplo: Determine el complemento del conjunto A = {x/x ∈ R;1≤ x≤ 6}.

A = ]−∞,1[∪ ]6,+∞[

Ejemplos generales: Determine la unión, intersección y complemento de los conjuntos.

1 A =]−2,+∞[ B = {x/x ∈ R;3 < x≤ 15}1 A =]−2,+∞[ B = {x/x ∈ R;3 < x≤ 15}

−2 3 15

A∪B = ]−2,+∞[

A∩B = ]3,15]

−2

3 15

AC = ]−∞,−2]

BC = ]−∞,3]∪ ]15,+∞[

2 A = [1,6[ B = {x/x ∈ R;−4≤ x≤ 3}2 A = [1,6[ B = {x/x ∈ R;−4≤ x≤ 3}

1 6−4 3

A∪B = [−4,6[

A∩B = [1,3]

1 6

−4 3

AC = ]−∞,1[∪ [6,+∞[

BC = ]−∞,−4[∪ ]3,+∞[

3 A =]−∞,2] B = {x/x ∈ R;3 < x≤ 15}3 A =]−∞,2] B = {x/x ∈ R;3 < x≤ 15}

2 3 15

A∪B = ]−∞,2] ∪ ]3,15]

A∩B = ∅

2

3 15

AC = ]2,+∞[

BC = ]−∞,3]∪ ]15,+∞[



Concepto de funciónLectura de las gráficasFunción LinealFunción cuadráticaComposición de funcionesProblema Sistema de ecuaciones

3 — Función

3.1 Concepto de funciónEs la correspondencia entre dos conjuntos A y B no vacíos, en la que cada elemento de A seasocia a un único elemento en B.

La función se denota con cualquier letra minúscula del alfabeto, la más frecuente es f .

f : A︸︷︷︸dominio

−→ B︸︷︷︸codominio

se define que f (x) = y

Gráfico de la función: Corresponde a todos los pares ordenadas que pertenece a la gráfica.

G f = {(x1,y1),(x2,y2), ...,(xn,yn)}

Para que una relación sea una función, los valores del dominio (las x) no se debe asociarcon dos o más valores distintos.

Ejemplos: El siguiente diagrama de Venn y representación gráfica NO corresponden a ejemplosde función.

f

x y2

y1

BA

Corta en más de un punto.



20 Función

Existe tres representaciones para denotar una función, la notación algebraica, notación tabular yla notación gráfica.

Ejemplo: En la región de Talamanca hubo un brote de un virus estomacal, en el primer día huboun enfermo, en el segundo día 3, en el tercer día 5, en el cuarto día 7 y en el quinto día 9, sedeterminó el origen y se procedió a vacunar la población para detener el brote.

En este ejemplo se puede determinar las tres representaciones mencionadas anteriormente.

Notación tabular

Día Enfermos1 12 33 54 75 9

Notación algebraica

El criterio y = 2x−1 satisfacelos resultados de la tabla.

si x = 1, y = 2 ·1−1 = 1si x = 2, y = 2 ·2−1 = 3si x = 3, y = 2 ·3−1 = 5si x = 4, y = 2 ·4−1 = 7si x = 5, y = 2 ·5−1 = 9

Notación gráfica

-0 1 2 3-1

0

1

2

3

x

y

Conceptos básicos

Dominio: Es el conjunto de todos los valores para los cuales la función está definida. En lalectura gráfica, se encuentra de izquierda a derecha respecto al eje x.Ámbito o rango: Es el conjunto de todos los valores que la función f toma. En la lectura gráfica,se encuentra de abajo hacia arriba respecto al eje y.

Preimagen: Son los elementos (valores) del dominio.Imagen: Son los elementos (valores) del ámbito.

3.2 Lectura de las gráficas

x y

Preimágenes Imágenes

Dominio (→) Codominio

Ámbito (↑)Monotonía

Creciente

Decreciente

}]a,b[

Constante}[a,b]

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

-2-101234567

x

y


https://ggbm.at/u7sdqwqm

https://ggbm.at/u7sdqwqm


3.3 Función Lineal 21

3.3 Función LinealCriterio de la recta: y = mx+b, con m,b ∈ R, donde m es la pendiente o inclinación de la rectay b es la ordenada o intersección con el eje y.

Características:

Si m > 0 : la función es creciente.Si m < 0 : la función es decreciente.Si m = 0 : la función es constante.

Intersección eje x :(−b

m ,0)

Intersección eje y : (0,b)

Cálculo de la Pendiente:

m =y2− y1

x2− x1

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

x

y

123

Mét

odo

Si dan una tabla o una gráfica, es para obtener dos pares ordenados (x1,y1) y (x2,y2),ingresar a:


Mode 51


Menú A 12

para encontrar m y b en la solución, se obtiene x = m, y = b.

a b c

1 x1 1 y1

2 x2 1 y2

Ejemplo: Determine la ecuación de la recta que contiene los puntos A(1,−4) y B(−3,2).

Primeramente, se define las coordenada de las abscisas; x1 = 1,x2 = −3 y de las ordenadas;y=− 4,y2 = 2, luego ingresamos dicho valores en la calculadora, quedando de la siguientemanera:

a b c

1 1 1 −4

2 −3 1 2

Obteniendo: x =−32

e y =−52

, por lo tanto, y =−3x

2+−52


https://www.geogebra.org/m/ymenjpts


22 Función

Tipos de rectas:

Rectas paralelas: Dos rectas l1 y l2 sonparalelas cuando no tienen ningún puntoen común, o cuando son coincidentes.

En las rectas paralelas las pendientestienen que ser iguales m1 = m2.

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

x

y

Rectas perpendiculares: Dos rectas l1 yl2 son perpendiculares cuando al cortarseforman cuatro ángulos iguales.

En las rectas perpendiculares el productosde sus pendientes tiene que dar −1, esdecir, m1 ·m2 =−1.

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

x

y

Ejemplo: Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto (−1,2) y es perpendicular a larecta 2y−3x+6 = 0.

Primero se despeja la variable y, y=3x−6

2, luego, se obtiene las pendientes: m1 =

32

y m2 =−23

Se obtiene el valor de b con la fórmula b = y−mx, para ello se sustituye los valores del par

ordenado (−1,2) y m2 =−23

en la fórmula descrita anteriormente.

b = 2− −23·−1 −→ b =

43

por lo tanto, y =−23

x+43

En la recta perpendicular, para encontrar la pendiente m2, se invierte el valor de m1 y secambia de signo.


https://www.geogebra.org/m/jg9tz9x9

https://www.geogebra.org/m/jg9tz9x9


3.4 Función cuadrática 23

3.4 Función cuadráticaCriterio de la función: f (x) = ax2 +bx+ c con a,b,c ∈ R,a 6= 0.

Característica:

Concavidad:Si a > 0 : cóncava hacia arriba ∪.Si a < 0 : cóncava hacia abajo ∩.

Intersección eje x : (x1,0)(x2,0)

123

Mét

odo

Para hallar las soluciones en la calculadora se usa:

Calculadora fx-570 ES PLUS: Mode 53 .


Menú A 22 .

Intersección eje y : (0,c)

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

x

y

V

Discriminante:

4= b2−4ac

Si4> 0 interseca al eje x en dos puntos diferentes.Si4= 0 interseca al eje x en un punto.Si4< 0 no interseca al eje x.

Eje de simetría: x =−b2a

Vértice: V(−b2a

,−44a

)Monotonía y ámbito.

a Creciente Decreciente Ámbito

a > 0]−b2a

,+∞

[ ]−∞,−b2a

[ ]−44a

,+∞

[a < 0

]−∞,−b2a

[ ]−b2a

,+∞

[ ]−∞,−44a

,

[


https://www.geogebra.org/m/ubrrhbx6


24 Función

Generalmente en los problemas de aplicación se hace uso del par ordenado que representael vértice.

Ejemplo: El ingreso mensual “l(x)” de cierta compañía está dado por l(x) = 770x−7x2, donde“x” es el precio, en dólares, del producto que fabrica la compañía. ¿Cuál debe ser el precio, endólares, del producto para que la compañía reciba el máximo de ingreso mensual?

Se obtiene a =−7, b = 770, c = 0.Discriminante:4= (770)2−4 ·−7 ·0

4= 21175

La intersección con el eje x y eje y son:x1 = 0; x2 = 110; y = 0.

Luego el vértice tiene valor:

V =

(−7702 ·−7

,−592900

4 ·−7

)= (55,21175)

R/- El precio debe ser de $55 para quela compañia obtenga el máximo ingresomensual.

La representación gráfica es:

Precio

Ingreso mensual

11055

21175

3.5 Composición de funcionesSean f y g dos funciones tales que cada valor de x se evalúa en f y cada resultado ob-tenido se evalúa en g. A esta función se le denomina composición f ◦g, simbólicamente:( f ◦g)(x) = f (g(x)) .

Ejemplo: Sea f (x) = 5x+7 y g(x) = 3x. Determine ( f ◦g)(x) y (g◦ f )(x).

( f ◦g)(x) = f (g(x)) por definición= f (3x) sustituir g(x)= 5(3x)+7 sustituir f (x)= 15x+7 simplificar

(g◦ f )(x) = g( f (x)) por definición= g(5x+7) sustituir f (x)= 3(5x+7) sustituir g(x)= 15x+21 simplificar

Por lo tanto, ( f ◦g)(x) = 15x+7 Por lo tanto, (g◦ f )(x) = 15x+21

123

Mét

odo

Para encontrar el criterio ( f ◦g)(x) se utiliza la calculadora:

a) Se escribe la función 2 en la calculadora y se reemplaza el valor de x por 7. Si ya nosdan un ] se trabaja con ese ].

b) Con el resultado obtenido anteriormente, se reemplaza la x de la función 1. Estesegundo resultado se anota.

c) Se prueban las opciones, reemplazando la x por un 7. La que da el segundo resultadoes la correcta.



3.6 Problema Sistema de ecuaciones 25

3.6 Problema Sistema de ecuacionesUn sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables se denota en forma estándar por{

a1x+b1y = c1a2x+b2y = c2

Donde a1,b1,c1,a2,b2,c2 ∈ R; “x” e “y” son variables. Una solución del sistema es un par or-denado (x,y) que es solución simultáneamente de ambas ecuaciones. Si un sistema no tienesoluciones se dice que es inconsistente.

Resolución de problemas: Se lee el problema varias veces, se define las variables “x” e “y”, seescribe la ecuación.

123

Mét

odo

Según el tipo de modelo de la calculadora se usará:


Mode 51


Menú A 12

De esta forma se hallarán los valores de “x” e “y”.

a b c

1 a1 b1 c1

2 a2 b2 c2

Ejemplo: Yeray fue a la bisutería a comprar zipper y brocher, entre un metro de zipper y unabolsa de brocher le cuesta 950 colones. Si al comprar cinco metros de zipper y tres bolsas debrocher pagó 3950 colones. ¿Cuánto cuesta cada metro zipper y cada bolsa de brocher?

x:metro zipper{

x+ y = 9505x+3y = 3950

y: bolsa brocher

El resultado con la calculadora es x = 550 e y = 400

R/ Cada metro de zipper y brocher valen 550 y 400 colones respectivamente.



EstadísticaConceptos básicosSimetría y asimetría en una distribu-ción de datosDiagrama de VennEventos mutuamente excluyentes

ProbabilidadProbabilidad de un eventoReglas de la probabilidad

4 — Estadística y probabilidad

4.1 Estadística4.1.1 Conceptos básicos

a) Mínimo: Es el menor valor de los datos, se denota Min.b) Máximo: Es el mayor valor de los datos, se denota Max.c) Moda: Es el valor más frecuente de los datos, se denota Mo.d) Media aritmética (promedio): Suma de todos los valores, dividido entre la cantidad total

de datos, se denota x.e) Mediana: Es el valor central de los datos, se denota Me (50% de los datos).f) Recorrido, rango, ámbito: max - min.g) Cuartiles: Los cuartiles son tres valores que dividen una muestra de datos en cuatro partes

porcentuales iguales. El segundo cuartil es la mediana.1) 1er cuartil (Q1): el 25% de los datos es menor que o igual a este valor.2) 2do cuartil (Q2): La mediana. El 50% de los datos es menor que o igual a este valor.3) 3er cuartil (Q3): El 75% de los datos es menor que o igual a este valor.

Ejemplo: Las temperaturas registradas de la primera semana del mes de marzo en SanJosé centro del 2017 fueron: 33◦, 34◦, 31◦, 35◦, 32◦, 33◦ y 34◦.

Determine el mínimo, máximo, rango, moda, mediana, promedio y cuartiles de las tempe-raturas.

Los datos se ordenan de menor a mayor: 31◦,32◦,33◦,33◦,34◦,34◦ y 35◦

Mín:31◦ Máx:35◦ Rango:35◦−31◦ = 4◦

Mo:33◦ y 33◦ Me: 33◦ x:33,14◦



4.1 Estadística 27

h) Media aritmética ponderada:

Para determinar la media aritméticase multiplica los valores de cadafila, estos se suman y se divide entreel total.

Variable Frecuencia Abs x =Σu1 · x1

Σxi

u1 x1 u1 · x1

u2 x2 u2 · x2

......

...

un xn un · xn

Total: Σxi Σu1 · x1

Ejemplo: Se realiza una encuestapara determinar la cantidad de hijosque posee cuatro familia.

Familias Hijos x =Σu1 · x1

Σxi

3 6 3 ·6 = 18

4 4 4 ·4 = 16

5 8 5 ·8 = 40

6 3 6 ·3 = 18

Total: 21 92

x =9221

= 4,38

4.1.2 Simetría y asimetría en una distribución de datos

a) Simétrica: Ocurre cuando en una distribu-ción los datos se ubican aproximadamenteen la misma cantidad a ambos lados del ejede simetría, por lo cual no se produce sesgoo cola a ningún lado, se le conoce como unadistribución normal.

b) Asimetría negativa (o sesgada hacia laizquierda): Ocurre cuando en una distri-bución la minoría de datos se ubican a laizquierda del eje de simetría, lo cual produceun estrechamiento, sesgo o cola al ladoizquierdo, siendo estos datos más distintosentre sí y alejados de la media.

c) Asimetría positiva (o sesgada hacia la de-recha): Ocurre cuando en una distribución laminoría de datos se ubican a la derecha deleje de simetría, lo cual produce un estrecha-miento, sesgo o cola al lado derecho, siendoestos datos más distintos entre sí y alejadosde la media.



28 Estadística y probabilidad

4.1.3 Diagrama de VennEspacio Muestral: En una situación aleatoria es el conjunto de todos los resultados que sepodrían obtener, se denota con E.

Evento: Es un subconjunto de un espacio muestral. Los resultados favorables a un evento sonaquellos que hacen que dicho evento se cumpla. Los eventos de denotan con letras mayúsculasdel abecedario.

A B

A∪B

A B

A∩B

A

AC

A∪B = { Son todos los elementos de los conjuntos }A∩B = { Son los elementos en común de ambos conjuntos }AC = { Son los elementos que no están en A }

Ejemplo: Se lanza un dado dos veces. Determine la unión, la intersección y el complemento deA de los siguientes eventos.

Evento A: Que salga un número par.Evento B: Que salga un número mayor a 3.

E = {1,2,3,4,5,6}, A = {2,4,6} y B = {4,5,6}

A B

A∪B

4

6

3

52

A B

A∩B

4

6

A

AC

1

3

5

A∪B = {2,3,4,5,6}A∩B = {4,6}AC = {1,3,5}



4.1 Estadística 29

4.1.4 Eventos mutuamente excluyentesLos eventos mutuamente excluyentes, también llamados eventos disjuntos o eventos incompati-bles, son aquellos en los que si un evento sucede significa que el otro no puede ocurrir, es decir,no pueden ocurrir simultáneamente (al mismo tiempo) por lo que no tienen elementos comunes.Esto implica que su intersección es el conjunto vacio. Por ejemplo, al lanzar una moneda, salecorona o sale escudo, no puede salir las dos opciones al mismo tiempo.

La representaión por diagrama de Venn sería:

A B

A∩B =∅

Ejemplo: Lanzamos un dado de seis caras y consideramos los eventos.

A : Obtener un número par.B : Obtener un número impar.C : Obtener un número primo.

¿Cuáles de esos eventos son sucesos mutuamente excluyentes? ¿Por qué?

A∩B =∅, los eventos A y B son excluyentes porque no hay elementos en común.

A∩C = {2} y B∩C = {3,6} son conjuntos no excluyentes porque tienen al menos un elementoen común.



30 Estadística y probabilidad

4.2 ProbabilidadSean A, B, E eventos.

4.2.1 Probabilidad de un evento

P(A) =posibles casostotal de casos

Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad que salga seis al lanzar un dado al aire?

El espacio muestral es E = {1,2,3,4,5,6}, por lo tanto, la probabilidad que salga seis es P(6) =16 = 0,166...

4.2.2 Reglas de la probabilidadProbabilidad de la unión para eventos A y B mutuamente excluyentes:P(A∪B) = P(A)+P(B)

Probabilidad de la unión para eventos A y B mutuamente NO excluyentes:P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)

Probabilidad de un complemento: P(AC)= 1−P(A)

Ejemplo: Se lanza un dado al aire. Determine la probabilidad de la unión, la intersección y elcomplemento de los siguientes eventos.

A: Que salga un número par.B: Que salga un número menor a 3.C: Que salga un número primo impar.

Espacio muestral E = {1,2,3,4,5,6}

A B C4

612

6

3

Se obtiene que:A = {2,4,6} B = {1,2} C = {3,5}P(A) = 3

6 P(B) = 26 P(C) = 2

6

A∩B = {2} A y B No excluyente B∩C = { } B y C excluyenteP(A∩B) = 1

6 P(B∩C) = 0

AC = {1,3,5} BC = {3,4,5,6}

Probabilidad de la unión:

P(A∪B) = 36 +

26 −

16 P(B∪C) = 2

6 +26 AC = 1− 3

6

P(A∪B) = 46 P(B∪C) = 4

6 AC = 36



4.2 Probabilidad 31

Ley Fundamental de la Probabilidad: 0≤ P≤ 1

Evento seguro: P(E) = 1 Evento imposible: P(E) = 0

La suma de todas las probabilidades de un evento aleatorio es 1.

En el caso que haya tabla se realiza de la siguiente manera.

A B C D E Total

F

G s n

H

Total m t

Probabilidad de la Union:P(D∪G) =

m+n− st

Probabilidad de la intersección:P(D∩G) =

st

Probabilidad del complemento:P(DC)= t−m

t

Ejemplo: El administrador de un almacén sabe que, por lo general, los ingresos de las ventas porcelulares de las tres marcas más vendidas, Huawei, Samsung y Nokia, ocurre de acuerdo a losdatos del siguiente cuadro.

Huawei Samsung Nokia TotalMañana 13 10 5 28

Tarde 16 12 7 35

Total 29 22 12 63

Se definen los siguientes eventos.

Evento A: que el celular escogido sea Huawei.Evento B: que los celulares hayan sido vendidos en la mañana.Evento C: que el celular escogido sea Nokia.

Determine el número de celulares que incluye cada uno de los siguientes eventos.

P(A∪B) =29+28−13

63P(B∩C) =

563

P(AC)= 63−29

63

P(A∪B) =4463

P(B∩C) =5

63P(AC)= 34

63


Compendio FARO 10 ° Matemática 2020Índice general 1 Geometría.....5 1.1Conocimientos previos:...

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