Combinando los 3 ingredientes fundamentales, el oscilador (con masa) amortiguado Oscilar en un mundo...
98
Combinando los 3 ingredientes fundamentales, el oscilador (con masa) amortiguado Oscilar en un mundo viscoso es difícil y requiere energía. Las oscilaciones se vuelven mas difíciles a medida que la masa decrece y se pierde inercia. En el mundo de las moléculas biológicas las oscilaciones son raras y en general requiere de un mecanismo activo (una fuerza que provee energía) que las sostenga. Los cambios conformacionales de proteínas suelen no tener rebote.
-
Upload
placido-calle -
Category
Documents
-
view
220 -
download
1
Transcript of Combinando los 3 ingredientes fundamentales, el oscilador (con masa) amortiguado Oscilar en un mundo...
Combinando los 3 ingredientes fundamentales, el
oscilador (con masa) amortiguado
Oscilar en un mundo viscoso es difícil y requiere energía. Las oscilaciones se vuelven mas difíciles a medida que la masa decrece y se pierde inercia. En el mundo de las moléculas biológicas las oscilaciones son raras y en general requiere de un mecanismo activo (una fuerza que provee energía) que las sostenga. Los cambios conformacionales de proteínas suelen no tener rebote.
La dificultad de oscilar en un mundo viscoss.
¿Cómo modelar con los ingredientes mecánicos del aparato mecanico transductor de presion a corriente?
Las células ciliares en la cochlea:
(P. Gillespie, U. of Oregon)
5 m
Oscilaciones en un medio viscoso: Primer punto de partida, acercamiento empírico.
F
Oscilaciones en un medio viscoso: Punto de partida teorico como siempre, las ecuaciones de Newton.
F
dt
dvmvkxF La ecuación diferencial de Newton
Oscilaciones en un medio viscoso: Punto de partida, como siempre, las ecuaciones de Newton.
F
dt
dvmvkxF La ecuación diferencial de Newton
xmxkxF Expresado en terminos de una funcion incognita (x) y sus
derivadas ( v y a)
Resolvamos primero el caso en el que F=0. Un oscilador “solo” en un medio viscoso.
De ecuaciones diferenciales a un polinomio…
F
0 xmxkx Y como siempre, proponemos y
usamos, para pasar de la ecuación diferencial a una
ecuación polinomica:
xedt
xde
dt
dxex ttt 22
2
2
De ecuaciones diferenciales a un polinomio una vez más función conocida
F
0 xmxkx
Yemplazando cada derivada se obtiene
xedt
xde
dt
dxex ttt 22
2
2
Resolviendo el oscilador amortiguado
F
0)(0)( 22 mkemk t
Problema conocido
Una solución conocida
F
0)(0)( 22 mkemk t
Problema conocido
m
mk
2
42
Que nos dice esta ecuacion (antes de resolverla)
Que puede concluirse de esta solucion
F
m
mk
2
42
tex
Distintos escenarios posibles: 1) Viscosidad domina
F
m
mk
2
42
tex
1) Raiz es > 0 mk42
Raíz positiva. Un mundo viscoso (el de las proteínas) La masa y la elasticidad no llegan a generar ni una
oscilación.
F
m
mk
2
42
tex
1) Raiz es > 0 mk42
1) La solución no tiene componente compleja y luego no hay oscilaciones.
2) Lambda es positivo (ver porque) y por lo tanto la solución es una exponencial decreciente.
3) El resultado es por lo tanto como el de un amortiguador con la constante de tiempo modificada por la presencia
de la masa y de la constante elástica.
Distintos escenarios posibles: 2) La masa y la elasticidad llegan a oscilar superando la viscosidad.
F
m
mk
2
42
tex 2) Raiz es < 0 mk42
< 0tmk
mt
m eex
4
2
1
22
Raíz negativa, como resolverla...
F
m
mk
2
42
tex 2) Raiz es < 0 mk42
> 0
Entonces la raiz es positiva por -1.
tmkm
tm eex
4
2
1
22
tmkm
tm eex
)4(1
2
1
22
Raíz (negativa) imaginaria luego oscilaciones
F
m
mk
2
42
tex 2) Raiz es < 0 mk42
tmkm
tm eex
4
2
1
22
tmkm
tm eex
)4(1
2
1
22
)4(22
2
mk
m
itt
m eexi factoriza como
la raiz de -1
El reino de las oscilaciones.
F
m
mk
2
42
tex 2) Raiz es < 0 mk42
)2(2
2
mm
kitt
m eex
Decaimiento exponencial con
constante: m2 Oscilaciones con
periodo
2
2
2
mmk
El reino de las oscilaciones.
F
m
mk
2
42
mk42 osc
ti
t
eex
exp
Decaimiento exponencial con
constante: m2
exp Oscilaciones con periodo
2
2
2
mmk
osc
El reino de las oscilaciones.
m
mk
2
42
2) Raiz es < 0 mk42
1) La solución tiene componente compleja y luego resulta de una mezcla de oscilaciones y un decrecimiento exponencial.
2) Las constantes de tiempo se factorizan: oscilador con masa por un lado y amortiguador con masa por el otro.
3) La constante de tiempo del decaimiento aumenta con la masa y decrece con la viscosidad.
4) La constante de tiempo de la oscilación aumenta con la masa y decrece con k
osc
ti
t
eex
exp
m2
exp 2
2
2
mmk
osc
El compromiso entre dos términos.
m
mk
2
42
2) ¿Por qué? mk42
La física de este problema queda establecida por un compromiso entre la disipación (dada por la viscosidad) y la tendencia a oscilar que aumenta con la elasticidad y la masa. Todo el problema se reduce esencialmente a
comparar los dos tiempos críticos (el decaimiento exponencial y el periodo de la oscilación) y a entender
que contribuye a cada tiempo critico.
osc
ti
t
eex
exp
EL TIEMPO DE DISIPACION Y EL TIEMPO DE RELAJACION
F
Ft
fof evvvv
)(
mv F
f :
t
fof exxxx
)(
kx kF
f :
EL TIEMPO DE DISIPACION Y EL TIEMPO DE RELAJACION
F
F
mDISIPACION
kRELAJACION
RELAJACIONDISIPACION
km
2mk
Tiempo de experimentos (simulaciones) Segunda parte, validación de un modelo teorico.
F
Energía en un oscilador viscoso
)(2
1 22 mvkxE
Conocido x(t) podemos calcular también v(t) y por lo tanto la energía, según la fórmula:
Reemplazando la educación del movimiento se obtiene la siguiente formula para la energía:
t
eEE
0 m
Energía en un oscilador viscoso
t
eEE
0 m
Dos conclusiones importantes dos:1) La energía no se conserva, o, dicho de otra manera, oscilar
(y en general moverse) en un mundo viscoso cuesta.2) La perdida de energía no depende de la constante elástica.
Energía en un oscilador viscoso
t
eEE
0 m
2) La perdida de energía no depende de la constante elástica.
Vimos que el movimiento puede factorizarse en el producto de un decaimiento exponencial y de una oscilación. El decaimiento exponencial es el único de estos
factores que altera la energía. La oscilación establece un proceso conservativo de flujo de energía cinética a potencial (y la velocidad de este flujo SI depende de k)
conservando el total de energía. De hecho en el caso extremo en el que la viscosidad es cero, el problema es conservativo, cada ciclo de la oscilación tiene la misma energía y,
por lo tanto, la misma amplitud.
Inyectar energía en un oscilador viscoso, el oscilador amortiguado y forzado alcanza un estado estacionario.
F
t
eEE
0 m
Si un agente externo es capaz de entregar en cada ciclo la misma cantidad de energia que disipa el sistema, entonces se alcanza un estado oscilatorio estacionario de
amplitud constante.
Inyectar energía en un oscilador viscoso, el oscilador amortiguado y forzado alcanza un estado estacionario.
Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?
F
Inyectar energía en un oscilador viscoso, el oscilador amortiguado y forzado alcanza un estado estacionario.
Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?
F
Respuesta: NO. Ya vimos anteriormente que el trabajo de una fuerza constante a lo largo de un ciclo es necesariamente cero (esencialmente porque en la mitad del ciclo empuja (fuerza en mismo sentido que el desplazamiento, trabajo positivo) inyectando
energía y en la otra mitad del ciclo frena (fuerza en el sentido inverso al desplazamiento, trabajo negativo) quitando por lo tanto energía.
Inyectar energía en un oscilador viscoso, el oscilador amortiguado y forzado alcanza un estado estacionario.
Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?
F
Respuesta: NO. Versión grafica del mismo argumento.
F
Velocidad
EE E E
El oscilador amortiguado disipa energía porque la fuerza viscosa es SIEMPRE opuesta a la velocidad.
La fuerza viscosa esta “contra fase” con la velocidad, resultando en una perdida de energia (disipacion) en cada ciclo. Debido a esta perdida de energia la velocidad
disminuye con lo que la perdida de energia en el proximo ciclo es menor y asi siguiendo resultando, como ya vimos, en una exponencial.
F
F
Velocidad
1EE 2E 3E
Inyectar energía en un oscilador viscoso, el oscilador amortiguado y forzado alcanza un estado estacionario.
Una fuerza “sincronizada” con el desplazamiento inyecta energia en el sistema. Un oscilador forzado tiene una energia incial; si la energia disipada (porque la velocidad inicial no es suficientemente grande) es menor que la inyectada el sistema aumenta la energia en cada ciclo con lo que la velocidad aumenta, la energia disipada es
mayor... El estado estacionario se alcanza cuando se llega a una velocidad promedio (sin signo) tal que la energia disipada (por la viscosidad) es igual a la absorvida (entregada por la fuerza externa).
F
F ViscosaVelocidad
FEE E
F(t)
FEE
Forzado Ext
ALGUNOS OSCILADORES:
cuerdassimpateticas
Viola d'amore (Siglo XVII)
ALGUNOS OSCILADORES:
El Sitar (Siglo XII)
entre 11 y 19 cuerdassimpateticas
ALGUNOS OSCILADORES:
El Puente de Tacoma (1940)
Mas vale tarde que nunca…
El oscilador amortiguado y forzado: Newton aun...
Como siempre, la ecuación diferencial (de Newton) es el punto de partida para entender el movimiento. Una vez más, y dado que esta es una ecuación diferencial lineal, proponer una función exponencial (con exponente real e imaginario) convierte esta ecuación diferencial en una ecuación algebraica en el exponente. Reemplazando la exponencial genérica en la ecuación diferencial, planteando la ecuación algebraica y resolviéndola se obtiene:
FF(t)
xmxkxAeiwt
El oscilador amortiguado y forzado: Solución estacionaria.
La solución a esta ecuación diferencial depende, como las otras que hemos visto, de las condiciones iniciales. Siendo una ecuación de segundo orden quedan dos parámetros a ajustar (físicamente, la velocidad y posición
inicial). La solución estacionaria de esta ecuación es independiente de las condiciones iniciales tal como sucede con las otras posiciones de equilibrio que hemos visto. Así como en las soluciones exponenciales el estado de
equilibrio corresponde a un punto fijo, aquí la solución estacionaria “de equilibrio” corresponde a una oscilacion.
FF(t)
),,,(),,,,,()( wmkxwmkxivixtx iaestacionaratransitori
El oscilador amortiguado y forzado: Solución estacionaria.
La solución a esta ecuación diferencial depende, como las otras que hemos visto, de las condiciones iniciales. Siendo una ecuación de segundo orden quedan dos parámetros a ajustar (físicamente, la velocidad y posición
inicial). La solución estacionaria de esta ecuación es independiente de las condiciones iniciales tal como sucede con las otras posiciones de equilibrio que hemos visto. Así como en las soluciones exponenciales el estado de
equilibrio corresponde a un punto fijo, aquí la solución estacionaria “de equilibrio” corresponde a una oscilacion.
FF(t)
),,,(),,,,,()( wmkxwmkxivixtx iaestacionaratransitori
Independiente de las condiciones iniciales
Una aproximación empírica a la solución estacionaria.SIMULACIONES 1
Estudiar computacionalmente el comportamiento “asintotico” de este problema fisico.
FF(t)
),,,(),,,,,()( wmkxwmkxivixtx iaestacionaratransitori
Independiente de las condiciones iniciales
PosiciónVelocidad
(Punto de equilibrio)x=0
Crónica de una oscilación
Posición en el punto de equilibrio y velocidad positiva y de modulo
máximo
0
PosiciónVelocidad
(Punto de equilibrio)x=0
Crónica de una oscilación
Durante este cuarto de ciclo la posición es positiva así como la velocidad. A medida
que aumenta la posición, la velocidad
disminuye.
20
PosiciónVelocidad
(Punto de equilibrio)x=0
Crónica de una oscilación
Posición en el punto máximo (positivo), la
velocidad es 0 y cambia de signo.
2
PosiciónVelocidad
(Punto de equilibrio)x=0
Crónica de una oscilación
Durante este cuarto de ciclo de la oscilación, x
es positiva pero la velocidad es negativa.
2
PosiciónVelocidad
(Punto de equilibrio)x=0
Crónica de una oscilación
Medio ciclo completado, la posición vuelve a ser
la misma pero la velocidad se ha
invertido. Nótese que entre pi/2 y 3pi/2 se da la situación inversa...
PosiciónVelocidad
(Punto de equilibrio)x=0
Crónica de una oscilación
Durante este cuarto de ciclo de la oscilación
tanto x como la velocidad son
negativas.
2
3
PosiciónVelocidad
(Punto de equilibrio)x=0
Crónica de una oscilación
Durante este cuarto de ciclo de la oscilación, x
es NEGATIVA y la velocidad es POSITIVA.
22
3
PosiciónVelocidad
(Punto de equilibrio)x=0
Crónica de una oscilación
Luego de estos cuatro cuartos (cada uno de
pi/2) el ciclo se ha completado. Fase de 0
o de 2pi es estrictamente lo mismo.
2
Velocidad PositivaVelocidad Negativa
Crónica de una oscilación y de como (y cuando) inyectarle energía.
x
t
Velocidad PositivaVelocidad Negativa
Crónica de una oscilación y de como (y cuando) inyectarle energía.
x
t
Fuerza
Velocidad PositivaVelocidad Negativa
Crónica de una oscilación y de como (y cuando) inyectarle energía.
x
t
v>0F>0+E
v<0F>0-E
v<0F<0+E
v>0F<0-E
Si el movimiento y la fuerza están en fase, la transferencia de energía es 0
Fuerza
Velocidad PositivaVelocidad Negativa
Crónica de una oscilación y de como (y cuando) inyectarle energía.
x
t
v>0F>0+E
v<0F<0+E
v<0F<0+E
v>0F>0+E
La transferencia de energía es optima cuando la diferencia de fase es un cuarto de ciclo, es decir cuando la fuerza es proporcional a la velocidad.
Fuerza
Una aproximación empírica a la solución estacionaria.
Estudiar computacionalmente el comportamiento “asintotico” de este problema fisico.
FF(t)
),,,(),,,,,()( wmkxwmkxivixtx iaestacionaratransitori
Independiente de las condiciones iniciales
iwteFF 0
Una aproximación empírica a la solución estacionaria.
FF(t)
),,,(),,,,,()( wmkxwmkxivixtx iaestacionaratransitori
)cos()( twAtxE
iwteFF 0
Solución analitica a la solución estacionaria.
FF(t)
)cos()( twAtxE
222220
2
0
wwwm
FA
)(arctan
220 wwm
w
iwteFF 0
mkw 0
Solución analitica a la solución estacionaria.
FF(t)
)cos()( twAtxE
222220
2
0
wwwm
FA
)(arctan
220 wwm
w
iwteFF 0
mkw 0
Conclusión 1: La solucion estacionaria oscila con la amplitud del forzado.
Solución analitica a la solución estacionaria.
FF(t)
)cos()( twAtxE
222220
2
0
wwwm
FA
)(arctan
220 wwm
w
iwteFF 0
mkw 0
Conclusión 1.1: Tanto la amplitud como la relacion de fase quedan determinadas por m,w,k,gama,F. Es decir
estas no son constantes libres de la ecuación diferencial. La solución estacionaria es insensible a las condiciones iniciales y depende solamente de la relación entre el oscilador y el forzado.
Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso)
F(t)
)cos()( twAtxE
)cos()( 0 twAtx )sin()0(:)cos()0( AvAx
))0(
)0(arctan(
)cos(
)sin(
)0(
)0(
x
v
x
v
22222222 )0()0()(sin)(cos)0()0( yxAAAyx
222220
2
0
wwwm
FA
)(arctan
220 wwm
w
mkw 0
iwteFF 0
Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso)
)cos()( twAtx
)cos()( 0 twAtx ))0(
)0(arctan(
x
v22 )0()0( yxA
ENCONTRAR LAS TRES DIFERENCIAS
222220
2
0
wwwm
FA
)(arctan
220 wwm
w
iwteFF 0
Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso)
F(t)
)cos()( twAtx 22 )(wk
mww
FA
Conclusión 2: La energía del oscilador en el estado estacionario es constante, se ha llegado a un balance entre la energía disipada y absorbida por ciclo. La energía del oscilador es igual al cuadrado de la amplitud y por lo tanto depende de los parámetros físicos del oscilador y de cierta relación de “coherencia” entre estos y el forzado.
)(arctan
2wmk
m
w
Amplitud del forzado en funcion de los parametros fisicos.
F(t)
Dos términos positivos. La función será máxima cuando cada uno se minimice.
0wm
kw
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
2
2.5
γ=0.4
γ =0.2
k=5,m=1
1)La amplitud (y por ende la transferencia de energía) es máxima cuando la frecuencia del forzado es igual a la frecuencia natural del oscilador.2) La amplitud máxima es inversamente proporcional a la viscosidad. Nótese que para viscosidad cero es infinita. ¿Porque?
222220
2
0
wwwm
FA
Amplitud del forzado en funcion de los parametros fisicos.
F(t)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
2
2.5
g=0.2
g=0.2
k=5,m=1
0)( A
k
mFFAwA
0max0 )(
222220
2
0
wwwm
FA
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Amplitud del forzado en funcion de los parametros fisicos.
F(t)
g=2
g=0.5
k=30,m=1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
g=2
Cambio de escala 222220
2
0
wwwm
FA
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Amplitud del forzado en funcion de los parametros fisicos.
F(t)
22 )(wk
mww
FA
g=2
g=0.5
k=30,m=1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
g=2
mk
El ancho de la curva de amplitud escalea con la viscosidad y
disminuye con la raíz de la masa y la constante elástica. Nótese que esta comparación es equivalente al cociente para determinar si un
oscilador no forzado llega a oscilar o no.
Amplitud del forzado en función de la masa.
F(t)
22 )(wk
mww
FA
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
m=1
m=3
Aumentar la masa resulta en frecuencias mas bajas y un mundo “en aparencia” mas
viscoso.
Espectro, una función de transferencia.
F(t)
22 )(wk
mww
FA
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
Conclusión 3: Un objeto físico compuesto por una masa, un resorte y un medio viscoso (oscilador forzado amortiguado) puede pensarse como un objeto con una función de respuesta a una entrada. Es un filtro, un procesador. Dada una función de entrada cos(wt) responde con la misma frecuencia multiplicado por un factor. Este factor esta dado por el ESPECTRO o CURVA DE RESONANCIA, que es característico y que establece una huella digital del objeto. En realidad el objeto “es” su espectro. La funcion de transferencia, o espectro, tiene un maximo en la frecuencia natural del oscilador y un ancho proporcional a la viscosidad e inersamente proporcional a su “oscilaridad”.
¿Y este quien es?
El secreto de la vida
Oscillating oil drops, resonant frequencies, and low-frequency passive seismology
Geophysics 75, O1 (2010); Published 20 January 2010
Michael K. Broadhead11Saudi Aramco, Dhahran, Saudi Arabia. E-mail: [email protected].
A recent passive seismic technology in the oil industry, sometimes referred to as hydrocarbon microtremor analysis (also low-frequency spectroscopy), claims high correlation in some instances between the presence of hydrocarbons and low-frequency spectral anomalies (elevated spectral energy levels) computed from passively recorded seismic data. These observations have been reported for a number of different geographic locations. One of the difficulties in assessing this
method is the lack of a physical basis for explaining the empirically observed effects. A potential explanation that has appeared in the literature can be referred to as the resonant amplification
model. The main idea of the model is that, because of capillary effects, an oil drop in a rockpore will oscillate at a resonant frequency when driven by the ambient noise field of the earth. This
resonance phenomenon is interpreted as a possible source of the spectral anomaly. I examined this model by numerical simulation but was unable to reproduce the amplification effect. I then
considered one of the main input parameters, the resonant frequency itself. By computing resonant frequencies using theoretical models from the literature, I found that the resulting values are too
high to be consistent with the frequency range of hydrocarbon microtremor analysis. Furthermore, I found that such resonances only exist for little or no viscous damping. When realistic damping is considered, there is no oil-drop resonance effect. The model, at least in its current form, does not
appear to provide a promising direction for establishing a physical basis for hydrocarbon microtremor analysis.
Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso)
)cos()( twAtx
Conclusión 4: La función de transferencia, además de definir una relación de amplitud, define una relación de fase. Esta función, veremos, es tal que progresa desde la sincronia hasta la anti-sincronia (diferencia de pi) a medida que crece la frecuencia del forzado. En el medio, al pasar por la frecuencia del oscilador, la fuerza es proporcional a la velocidad, lo que hace que la transferencia de energía sea maxima.
222220
2
0
wwwm
FA
)(arctan
220 wwm
wm
kw 0
iwteFF 0
Fase del forzado en función de los parámetros físicos.
0 5 10 15 20 25 30 35-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
k=5,m=1,g=0.5
0
0 1 2 3 4 5 6 7-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
12
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
)(arctan
220 wwm
w
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3 4 5 6 7-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0 5 10 15 20 25 30 35-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Fase del forzado en función de los parámetros físicos.
F(t)
rwk
wmarctan
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
k=5,m=1,g=0.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Espectro, una función de transferencia. Fase y amplitud
F(t)
k=30;gama=2;m=1;
222220
2
0
wwwm
FA
)(arctan
220 wwm
w
Espectro, una función de transferencia. Fase y amplitud
F(t)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
k=30;gama=0.5;m=1;
222220
2
0
wwwm
FA
)(arctan
220 wwm
w
Espectro, una función de transferencia. Fase y amplitud
F(t)
k=30;gama=0.5;m=5;
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
222220
2
0
wwwm
FA
)(arctan
220 wwm
w
Espectro, una función de transferencia. Fase y amplitud
F(t)
k=60;gama=0.5;m=5;
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
222220
2
0
wwwm
FA
)(arctan
220 wwm
w
Espectro, una función de transferencia: Fase y amplitud
F(t)
k=60;gama=0.5;m=5;
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
DILATACION
ROTACION
ieAT
222220
2
0
wwwm
FA
)(arctan
220 wwm
w
Espectro, una función de transferencia. Un producto complejo.
STIMiwtSTIM eA
ieAT
STIMiwtSTIM eAT
STIMiwtSTIM eAA
DILATACION
ROTACION
222220
2
0
wwwm
FA
)(arctan
220 wwm
w
Espectro, una función de transferencia compleja.
STIMiwtSTIM eA
ieAT
STIMiwtSTIM eAT
STIMiwtSTIM eAA
Conclusión 3 Revisitada: Un objeto físico compuesto por una
masa, un resorte y un medio viscoso (oscilador forzado
amortiguado) puede pensarse como un objeto con una función de
respuesta a una entrada, la multiplicacion por un numero
complejo. Esto resulta en: multiplicar la amplitud por un
factor, determinado por A(w) y cambiar la fase por un fa factor
determinado por fi(w).
Un anticipo de Termo: « Base molecular de la pression »
Un muy pequeño resumen del paso de variables microscópicas (el cambio de momento de cada partícula) a variables macroscópicas.
(P. Gillespie, U. of Oregon)
5 m
Base del sonido: frecuencia (otra vez las oscilaciones)
3 kHz
300 Hz
Fre
cuen
cia
Rango auditivo (humano): 20 Hz – 20,000 HzBallenas y muercielagos: hasta 100,000 Hz !!!
(source: Hudspeth)
2 m
El verdadero protagonista, visto de cerca y en soledad.
Manipulando al “verdadero protagonista”. Experimentos clasicos de resortes estirados en la escala molecular.
Transduccion mecano-eléctrica.La mecánica se vuelve corriente. El
movimiento se vuelve calcio.
2 m
(source: Hudspeth)
La touffe ciliaire:
2 m
(source: Hudspeth)
200 nm
Su conexion vista al fin(No admite, o no encuentro, traducción decente al español…)
LA COCHLEA: Detector de aceleraciones (equilibrio) y de cambios de presion en una banda de frecuencias (el piano invertido)
La voz: sonido complejo y las frecuencia puras una base del sonido. (Idea del
Piano)
El espectro visto en el tiempo, cada columna corresponde a la distribución en frecuencias del sonido en ese determinado instante
(¿que es un instante?). Una especie de partitura continua.
El piano extendido: Un órgano tonotópico, organizado linealmente en una escala
logarítmica de frecuencias.
El piano extendido: Un órgano tonotópico, organizado linealmente en una escala
logarítmica de frecuencias.
La luz extendida: Otra descomposicion en el
espacio de frecuencias.
« Prisma Acustico »Georg von Békésy (1899-1972)
Hermann von Helmholtz (1821-1894)
Una visión funcional de un aparato mecánico. Un resorte amortiguado es un objeto capaz de indicar la
presencia de una dada frecuencia en el mundo externo.
STIMiwtSTIM eA
ieAT
STIMiwtSTIM eAT
STIMiwtSTIM eAA
Conclusión 3 Revisitada: Un objeto físico compuesto por una masa, un resorte y un medio viscoso (oscilador forzado amortiguado) puede pensarse como un objeto con una función de respuesta a una entrada, la multiplicacion por un numero complejo. Esto resulta en: multiplicar la amplitud por un factor, determinado por A(w) y cambiar la fase por un fa factor determinado por fi(w).
Una cadena de resonadores afinados a frecuencias distintas. Espectros poco anchos requiere de un gran
sampleo.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Si suena esta frecuencia, este órgano detector de sonidos es incapaz de detectarla
Una cadena de resonadores afinados a frecuencias distintas. Espectros demasiado anchos resultan
ambiguos y redundantes.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Estas dos frecuencias son difíciles de distinguir (si estas curvas además tienen ruido, tal vez imposible…)
Una cadena de resonadores afinados a frecuencias distintas. Espectros que maximizan la información
transmitida.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Optimizando la información que transmite un órgano detector, tratar de cubrir la integridad del espacio con el mínimo posible de redundancia.
Breve nota: La resolución espectral no tiene porque ser (y de hecho no es) uniforme.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Un órgano mas sensible a las altas que a las bajas frecuencias. Nótese que en cada frecuencia, el ancho y la separación entre dos detectores cavarían cerca de la situación optima.
