Codificacion Canal

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T EMA 5 T ´ ECNICAS DE PROTECCI ´ ON FRENTE A ERRORES (C ODIFICACI ´ ON DE C ANAL ) MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificaci ´ on de Canal 1 / 99

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Técnicas de protección frente a errores.

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  • TEMA 5

    TECNICAS DE PROTECCION FRENTE A ERRORES(CODIFICACION DE CANAL)

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 1 / 99

  • Indice

    Introduccion y definicionesCodigos bloque linealesCodigos convolucionalesCodigos de rejillaCodigos BCH y codigos RSProteccion frente a ruido impulsivo: intercalado yconcatenacion de codigosEsquemas avanzados de codificacion

    Turbo codificacionCodigos LDPC

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 2 / 99

  • Introduccion

    Los sistemas de comunicaciones comenten erroresObjetivo de un sistema de comunicaciones

    BER < CalidadAlternativas para reduccion de los errores

    Aumentar la energa de la senalLimitaciones: Econonicas, fsicas, legales, interferencias, ...

    Teorema de codificacion de canales con ruido (Shannon)Introduccion de bits de redundanciaTasa de codificacion: R (bits de datos/bits transmitidos)Capacidad del canal: C (bits/uso)Posibilidad de reduccion de la BER de forma arbitraria

    R < C

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 3 / 99

  • Capacidad de canal - Canales digitales

    Modelo de canal discreto sin memoria (DMC)Entrada y salida: variables aleatorias X e YProbabilidades de transicion pY|X(yj|xi)

    Capacidad de canal

    C = maxpX(xi)

    I(X,Y) bits/uso

    Ejemplo: Canal binario simetrico (BER=)

    -

    -

    *

    HHHHHHHHHHHH

    HHHHHHHHHj

    s

    s

    s

    sx0

    x1

    y0

    y11

    1

    C = 1 Hb() bits/usoMMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 4 / 99

  • Entropa binaria Hb(p)

    Entropa de una v.a. binaria con pX(x0) = p y pX(x1) = 1 p

    Hb(p) = p log2(p) (1 p) log2(1 p)

    0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

    0.10.20.30.40.50.60.70.80.91

    .

    ...................................................................................................

    .

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    .

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    Probabilidad p

    Ent

    ropi

    abi

    naria

    Hb(p)

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 5 / 99

  • Capacidad de canal - Canal gausiano

    Capacidad sobre canal gausiano en las siguientescondiciones:

    Potencia transmitida: P watt.Potencia de ruido: PN watt.Ancho de banda: B Hz

    C =1n

    logM =12

    log(

    1 +PPN

    )PN =

    BB

    No2df = NoB

    C =12 log

    (1 +

    PNoB

    )bits/uso

    C = B log (1 + SNR) bits/s

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 6 / 99

  • Cotas

    Capacidad en funcion de B

    lmB

    C =PNo

    log2(e) = 1,44 PNo

    Sistema de comunicaciones practico

    Rb < B log (1 + SNR) bits/sTasa binaria (eficiencia) espectral: = RbB bits/s/Hz

    Energa media por bit - Eb = PRb

    Relacion Eb/N0 = SNR

    < log (1 + SNR) , < log(

    1 + EbNo

    )SNR > 2 1, Eb

    No>

    2 1

    Cuando 0 EbNo = ln2 = 0,693 1,6 dBMMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 7 / 99

  • Tasa binaria (eficiencia) espectral frente a Eb/N0

    -

    6

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    .......... ............................

    ........ .................... ............. ........

    .......... ........... ........................ .............. ............... ............

    .............. ................ ............. .............. ............................. ............... ................ .............. ............... ................

    ............................................101

    101

    1

    0 5 10 15 20 EbNo dB

    = RbB

    1,592

    ..........

    ..........

    ..........

    ..........

    ..........

    ..........

    ..........

    ..........

    ..........

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    ..........

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    ..........

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    ..........

    ..........

    ..........

    ..........

    .....

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 8 / 99

  • Relacion senal a ruido normalizada

    Cota inferior para SNR

    SNR > 2 1

    Definicion de SNR normalizada

    SNRnorm =SNR

    2 1Cota inferior sobre SNRnorm

    SNRnorm > 1 (0 dB)

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 9 / 99

  • Tipos de codigos

    Capacidad del codigoCodigos de deteccion de erroresCodigos de correccion de errores

    Mecanismo de introduccion de la redundanciaCodigos bloque

    Bloques de k bits se codifican de forma independienteConcepto clave: distancia entre palabras codigo

    Codigos convolucionalesCodificacion continua mediante filtrado digital

    Estadstico para la decisionSalida dura: decodificacion a partir de los bits decididos B[`]Salida blanda: decodificacion a partir de la salida deldemodulador q[n]

    Mejores prestaciones pero mayor complejidad

    Borrado de bits: se marcan los bits/smbolos dudosos

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 10 / 99

  • Ganancia de codificacion

    Definicion: diferencia en decibelios entre las relacionesEb/N0 necesarias para alcanzar una determinada BER sincodificar y utilizando la codificacionPermite comparar las prestaciones de distintos codigosDepende de la BER (o de Eb/N0)Puede ser positiva a partir de un cierto valor de Eb/N0

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 11 / 99

  • Codigos bloque - Definiciones

    Codificacion independiente de bloques de k bitsConversion en bloques de n bits Tasa R = k/n

    Definiciones para los bloques de bitsInformacion: bi = [bi[0], bi[1], , bi[k 1]], i = 0, 1, , 2k 1Codificados: ci = [ci[0], ci[1], , ci[n 1]], i = 0, 1, , 2k 1Codificacion: bi ciDiccionario del codigo: mensaje palabra codigo

    Peso de una palabra codigo w(ci)Numero de unos de la palabra

    Distancia de Hamming entre dos palabras codigo dH(ci, cj)Numero de bits diferentes entre ambas palabras

    Distancia mnima del codigo: dminMnima distancia de Hamming entre dos palabras codigodistintas

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 12 / 99

  • Estimador optimo - Salida dura

    Observacion condicionada a la transmision de ci

    r = ci + e, e = [e[0], e[1], , e[n 1]]Modelo probabilstico del patron de error (BER = )

    pE(e[j]) = e[j] (1 )1e[j] ={, e[j] = 11 , e[j] = 0

    Verosimilitud

    pr|c(r|ci) =n1j=0

    r[j]ci[j] (1 )1(r[j]ci[j])

    Estimador de maxima verosimilitud (ML)

    ci = arg mnci

    dH(r, ci)

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 13 / 99

  • Capacidades de deteccion y correccion con salida dura

    Distancia mnima del codigo: dminCapacidad de deteccion: d = dmin 1 erroresCapacidad de correccion:

    t =dmin 1

    2

    errores

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 14 / 99

  • Estimador optimo - Salida blanda

    Constelacion: M smbolos (m = log2(M) bits/smboloSecuencia de smbolos para una palabra codigo

    ci Ai = [Ai[0],Ai[1], ,Ai[n 1]], n = nmModelo de la observacion condicionada a ci

    q = Ai + e, e = [e[0], e[1], , e[n 1]]

    Modelo probabilstico del error: fE(e[j]) = N(0, 2z )Verosimilitud: fq|A(q|Ai) = N(Ai, 2z )Estimador de maxima verosimilitud

    c = arg mnide(q,Ai)

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 15 / 99

  • Codigos bloque lineales

    Codigo C(k, n)Base del codigo: k palabras codigo linealmenteindependientes

    {g0, g1, , gk1}gi = [gi[0], gi[1], , gi[n 1]]

    Palabra codigo: combinacion lineal de las k bases

    ci = bi[0] g0 + bi[1] g1 + + bi[k 1] gk1Propiedades

    c0 = 0 = [0, 0, , 0] pertenece al codigoTodos los elementos de la base pertenencen al codigoToda combinacion lineal de palabras codigo C(k, n)Todas las palabra tienen a otra palabra a distancia dmindmin = mn

    ci 6=c0w(ci)

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 16 / 99

  • Matriz generadora del codigo

    Agrupacion de la base en una matriz k n

    G =

    g0g1...

    gk1

    =

    g0[0] g0[1] g0[n 1]g1[0] g1[1] g1[n 1]

    ...... . . .

    ...gk1[0] gk1[1] gk1[n 1]

    Obtencion de las palabras codigo

    ci = bi GCodigos sistematicos: el mensaje bi forma parte de ci

    ci = [bi|pi] G = [Ik|P]ci = [pi|bi] G = [P|Ik]

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 17 / 99

  • Matriz generadora del codigo - Ejemplo

    Codigo C(2, 5)

    G =[

    0 1 1 1 01 0 1 0 1

    ]Palabras codigo

    bi ci0 0 0 0 0 0 00 1 1 0 1 0 11 0 0 1 1 1 01 1 1 1 0 1 1

    Codigo sistematicoDistancia mnima del codigo: dmin = 3

    Detecta 2 erroresCorrige 1 error

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 18 / 99

  • Matriz de chequeo de paridad

    Matriz (n k) n: complemento ortogonal de GG HT = 0 matriz de k (n k) ceros

    Codigos sistematicos

    G = [Ik|P] H = [PT |Ink]G = [P|Ik] H = [Ink|PT ]

    Identificacion de palabras codigo

    ci HT = bi G HT = 0 vector de n k cerosDecodificacion mediante sndrome

    Modelo de transmision: r = ci + e (e: patron de error)Sndrome

    s = r HT = (ci + e) HT = e HT

    Decodificacion: Tabla de sndromesMMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 19 / 99

  • Matriz de chequeo de paridad - Ejemplo

    G =[

    0 1 11 0 1

    1 00 1] H =

    1 0 00 1 00 0 1

    0 11 01 1

    Tabla de sndromes

    e s0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 1 00 0 1 0 0 0 0 10 0 0 1 0 0 1 10 0 0 0 1 1 0 1

    ? 1 1 0? 1 1 1

    110 e1 = 11000, e2 = 00011, e3 = 10110, e4 = 01101Posibilidad: elegir uno de los dos patrones de dos errores

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 20 / 99

  • Ventaja de trabajar con G y H

    Numero de palabras del codigo: 2k

    k = 2, n = 5: 4 palabrask = 247, n = 255: 2247 2,26 1074 palabras

    Numero de sndromes posiblesk = 2, n = 5 (t = 1): 8 sndromesk = 247, n = 255 (t = 1): 256 sndromes

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 21 / 99

  • Metodo de eliminacion - Ejemplo

    Sustitucion de filas por combinaciones lineales de otras1a fila: 1a+2a filas2a fila: 1a fila

    Codigo C(2, 5)

    G =[

    1 1 0 1 10 1 1 1 0

    ]Palabras codigo

    bi ci0 0 0 0 0 0 00 1 0 1 1 1 01 0 1 1 0 1 11 1 1 0 1 0 1

    Mismas palabras codigos / distintas asignacionesLa misma matriz H es valida para generar la tabla desndromes

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 22 / 99

  • Lmite de Hamming

    Numero de sndromes con redundancia r = n k:2nk = 2r

    Lmite de Hamming para corregir t errores

    r log2 V(n, t), V(n, t) =t

    j=0

    (nj

    )

    V(n, t): Esfera de Hamming de radio tInterpretacion con numero de sndromes disponibles(

    00

    )+

    (n1

    )+ +

    (nt

    ) 2r

    Igualdad: Codigos perfectos

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 23 / 99

  • Codigos perfectos

    Codigos de repeticion (decision por mayora)n impar, k = 1, t = (n 1)/2

    Codigos de Hammingn = 2m 1, k = 2m m 1, t = 1Matriz de chequeo: en las columnas aparecen todas lasposibles combinaciones binarias de (n k) bits, excepto latodo ceros

    Ejemplo: Codigo Hamming (4,7)

    H =

    1 0 0 0 1 1 10 1 0 1 0 1 10 0 1 1 1 0 1

    Codigo de Golay

    n = 23, k = 11, t = 3

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 24 / 99

  • Prestaciones - Decodificacion dura

    Probabilidad de error de bit (BER): Se comenten errores cuando se excede la capacidad decorreccion del codigoCodigo de correccion de t errores

    Pe =n

    j=t+1

    (nj

    ) j (1 )nj

    Codigos que corrigen todos los patrones de t errores y apatrones de t + 1 errores

    Pe =[(

    nt + 1

    ) a]t+1 (1)nt1 +

    nj=t+2

    (nj

    )j (1)nj

    Codificacion tipo Gray o pseudo-Gray

    BER 1kPe

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 25 / 99

  • Prestaciones - Decodificacion blanda

    Probabilidad de error

    Pe c Q(

    demin2N0/2

    )demin: mnima distancia eucldea entre las secuencias desmbolos correspondientes a dos palabras codigodiferentesc: maximo numero de palabras de distancia mnima de unadada

    Modulaciones binarias

    de(ci, cj) = d(a0, a1)dH(ci, cj)

    Pe c Q(d(a0, a1)2N0/2

    dmin

    )MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 26 / 99

  • Codigos cclicos

    Codigos bloque linealesDefinicion: si ci = [ci[0], ci[1], , ci[n 1]] C(k, n),entonces ci = [ci[1], , ci[n 1], ci[0]] C(k, n)Caracterizacion mediante un polinomio generador g(x)

    Codificacion: multiplicacion por el polinomioDecodificacion: division por el polinomioImplementacion mediante registros de desplazamiento

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 27 / 99

  • Codificacion/Decodificacion

    Representaciones polinonicasPolinomio generador: g(x), grado n kPolinomio de chequeo: h(x), tal que g(x) h(x) = xn 1Palabras mensaje: b(x), grado k 1Palabras codigo y recibida: c(x), r(x), grado n 1Sndrome: s(x), grado n k 1

    Codificacion

    c(x) = b(x) g(x) mod xn 1Decodificacion

    s(x) = r(x) h(x) mod xn 1r(x) = a(x) g(x) + s(x)

    Division por g(x) y quedarse con el resto

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 28 / 99

  • Ejemplo: codigo C(4, 7)

    Polinomio generador: g(x) = x3 + x + 1Mensaje: b = [0 1 0 1] b(x) = x2 + 1Palabra codigo

    c(x) = (x2 + 1) (x3 + x + 1) = x5 + x2 + x + 1

    c = [0 1 0 0 1 1 1]

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 29 / 99

  • Codificacion mediante registros de desplazamiento

    n registrosRamas con sumadores: indicadas por el polinomioSe introduce el mensaje bit a bitLa palabra codificada corresponde a los bits en losregistros al final del proceso

    - - n?- - - n?- - - -

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 30 / 99

  • Ejemplo b = [0101]

    [0 1 0 1]

    - 0 - k?- 0 - 0 - k?- 0 - 0 - 0 - 0[0 1 0 1]

    - 1 - k?- 1 - 0 - k?- 1 - 0 - 0 - 0[0 1 0 1]

    - 0 - k?- 1 - 1 - k?- 0 - 1 - 0 - 0[0 1 0 1]

    - 1 - k?- 1 - 1 - k?- 0 - 0 - 1 - 0MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 31 / 99

  • Codigos de Hamming

    Existen implementaciones cclicasAlgunos ejemplos:

    m = 3 (n = 7, k = 4): g(x) = x3 + x + 1m = 4 (n = 15, k = 11): g(x) = x4 + x + 1m = 5 (n = 31, k = 26): g(x) = x5 + x2 + 1m = 6 (n = 63, k = 57): g(x) = x6 + x + 1m = 7 (n = 127, k = 120): g(x) = x7 + x3 + 1m = 8 (n = 255, k = 247): g(x) = x8 + x4 + x3 + x2 + 1m = 9 (n = 511, k = 502): g(x) = x9 + x4 + 1m = 10 (n = 1023, k = 1013): g(x) = x10 + x3 + 1

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 32 / 99

  • Codigos Golay

    k = 12, n = 23, t = 3 (dmin = 7)Codigo cclico

    g1(x) = x11 + x10 + x6 + x5 + x4 + x2 + 1g2(x) = x11 + x9 + x7 + x4 + x3 + x2 + x + 1

    Polinomios de chequeo de paridadh1(x) = x12 + x11 + x10 + x9 + x8 + x5 + x2 + 1h2(x) = x12 + x10 + x7 + x4 + x3 + x2 + x + 1

    Codigo de Golay extendidoAnade un bit de paridadTasa 1/2 (facilidad de implementacion)Capacidad de corregir el 19 % de patrones de 4 errores

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 33 / 99

  • Codigos cclicos sistematicos

    Definicion de la palabra codigo

    c(x) = b(x) xnk + d(x)

    d(x) = resto de(b(x) xnk

    g(x)

    )Ejemplo: b(x) x3 = x5 + x3

    x5 + x3 = x2 (x3 + x + 1) + x2 d(x) = x2

    c(x) = x5 + x3 + x2 c = [0 1 0 1 1 0 0]

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 34 / 99

  • Division con registros de desplazamiento

    n k registrosRamas con sumadores: indicadas por g(x)Se introduce bit a bit b(x) xnkEl resto es el contenido final de los registros

    -?- -?- - -

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 35 / 99

  • Ejemplo b = [0101]

    [0 1 0 1 0 0 0]

    -?0 - 0 -?- 0 - 0 -0

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 36 / 99

  • Ejemplo b = [0101]

    [0 1 0 1 0 0 0]

    -?1 - 1 -?- 0 - 0 -0

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 36 / 99

  • Ejemplo b = [0101]

    [0 1 0 1 0 0 0]

    -?0 - 0 -?- 1 - 0 -0

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 36 / 99

  • Ejemplo b = [0101]

    [0 1 0 1 0 0 0]

    -?1 - 1 -?- 0 - 1 -0

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 36 / 99

  • Ejemplo b = [0101]

    [0 1 0 1 0 0 0]

    -?0 - 1 -?- 0 - 0 -1

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 36 / 99

  • Ejemplo b = [0101]

    [0 1 0 1 0 0 0]

    -?0 - 0 -?- 1 - 0 -0

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 36 / 99

  • Ejemplo b = [0101]

    [0 1 0 1 0 0 0]

    -?0 - 0 -?- 0 - 1 -0Resto: d(x) = x2 (igual que antes)Reduccion de iteraciones: colocar en los registros los datoscorrespondientes a las k primeras iteraciones

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 36 / 99

  • Decodificador codigos sistematicos

    Tomar la parte sistematica y volverla a codificar: d(x)Definicion del sndrome

    s(x) = d(x) d(x)

    Generacion de tabla de sndromes para decodificacion

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 37 / 99

  • Limitaciones de los codigos bloque

    Tamano de la tabla de sndromes - Crecimientoexponencial

    Ejemplo: n = 23, t = 1: 23 entradasEjemplo: n = 23, t = 2: 276 entradasEjemplo: n = 23, t = 3: 2047 entradas

    Prestaciones relacionadas con la distancia mnimaSu calculo requiere conocer las palabras del codigoNo hay aproximaciones constructivas para obtener una dmin

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 38 / 99

  • TEMA 5

    TECNICAS DE PROTECCION FRENTE A ERRORES(CODIGOS CONVOLUCIONALES)

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 39 / 99

  • Codigos convolucionales

    Introduccion de la redundancia mediante filtradoIntroduccion de memoria

    Tasa R = k/n: Banco de filtros conk entradasn salidas

    -B(0)[`]

    D - D - D

    -C

    (0)[`]

    -C(1)[`]

    .

    .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

    .

    ........................................................................................................................................................................................................................................

    ................................................................................................

    ........................................................................................

    ........................................................................................

    ...............................

    .

    ...................................................................................................

    ......................

    ......................

    ......................

    ......................

    ..........

    Notacion:Entradas: B(i)[`], con i = 0, 1, , k 1Salidas: C(j)[`], con j = 0, 1, , n 1

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 40 / 99

  • Representaciones

    Esquematica

    -B(0)[`] D - D - D

    ii-C(0)[`]

    -C(1)[`]

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    ...............

    Relacion entrada salidas

    C(0)[`] = B(0)[`] + B(0)[` 1] + B(0)[` 3]C(1)[`] = B(0)[`] + B(0)[` 1] + B(0)[` 2] + B(0)[` 3]

    Notacion mediante polinomios en D

    B(i)(D) =`

    B(i)[`] D`

    PropiedadB(i)[` d] B(i)(D) Dd

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 41 / 99

  • Representaciones (II)

    Notacion mediante polinomios en D

    C(0)(D) = B(0)(D){

    1 + D + D3}

    C(1)(D) = B(0)(D){

    1 + D + D2 + D3}

    Notacion matricial (polinomios):

    C(D)1n = B(D)1k G(D)knMatriz generadora de tamano k n

    Elemento fila i columna j: contribucion a la salida j-esima dela entrada i-esimaEjemplos

    Ejemplo anterior (A): k = 1, n = 2

    G(D) =[1 + D + D3, 1 + D + D2 + D3

    ]12

    Otro ejemplo (B): k = 2,

    G(D) =[

    1 + D D DD 1 D

    ]23

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 42 / 99

  • Paso a representacion esqumatica - Ejemplo B

    G(D) =[

    1 + D D DD 1 D

    ]23

    Numero de entradas: k = 2Numero de salidas: n = 3

    -B(0)[`]

    D

    -B(1)[`]

    D

    -C(0)[`]

    -C(1)[`]

    -C(2)[`]

    .

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    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 43 / 99

  • Parametros de interes

    Memoria total del codigo: MtNumero total de unidades de retardo (memorias)

    Mt =k1i=0

    M(i)

    Memoria de la entrada i-esima: M(i) = maxj

    grado(gi,j(D))

    Longitud de restriccion: KMaxima longitud de la respuesta al impulso del codificador(maximo numero de instantes de tiempo en los que un bitafecta a la salida del codificador)

    K = 1 + maxi,j

    grado(gi,j(D))

    En general las prestaciones aumentan con K

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 44 / 99

  • Codigos sistematicos

    Matriz de generacion

    G(D) = [Ik P(D)]

    Las entradas se copian en algunas de las salidasEjemplo (C)

    G(D) =[1, 1 + D + D2

    ]

    -B(0)[`]

    D - D

    -C

    (0)[`]

    -C(1)[`].

    ..........................................................................................................................................................

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    .

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    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 45 / 99

  • Diagrama de rejilla

    Definicion del estadoContenido de las memorias del codificador

    [`] = [B(0)[`1], ,B(0)[`M(0)], ,B(k1)[`1], ,B(k1)[lM(k1)]]Etiquetado de la rejilla

    Bits a la entrada del codificadorBits a la salida del codificador

    B(0)[`],B(1)[`], B(k1)[`] C(0)[`],C(1)[`], C(n1)[`]

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 46 / 99

  • Ejemplo - Convolucional D

    Estado: [`] =[B(0)[` 1],B(0)[` 2]]

    Estados: 0 = [0, 0], 1 = [1, 0], 2 = [0, 1], 3 = [1, 1]

    - D - D

    - k- k

    -

    ?

    -

    B(0)[`]

    C(0)[`]

    C(1)[`]

    rrrr

    rrrr

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    0|00

    1|110|01

    1|100|11

    1|000|10

    1|01

    [n] [n + 1]0

    1

    2

    3

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 47 / 99

  • Ejemplo - Convolucional E

    Estado: [`] =[B(0)[` 1],B(0)[` 2]]

    Estados: 0 = [0, 0], 1 = [1, 0], 2 = [0, 1], 3 = [1, 1]

    -B(0)[`]

    D - D

    - k-

    -C(0)[`]

    C(1)[`]

    rrrr

    rrrr

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    0|00

    1|010|10

    1|110|01

    1|000|11

    1|10

    [n] [n + 1]0

    1

    2

    3

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 48 / 99

  • Secuencia de bits - Camino a traves de la rejilla

    Secuencia de datos: B(0)[`] = [11010]Estado inicial: 0 (Se fija con el envo de una cabecera debits)

    ssss

    ssss

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    0|00

    1|110|01

    1|100|11

    1|000|10

    1|01

    ssss

    ssss

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    0|00

    1|110|01

    1|100|11

    1|000|10

    1|01

    ssss

    ssss

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    .

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    0|00

    1|110|01

    1|100|11

    1|000|10

    1|01

    ssss

    ssss

    . .........................................................................................................................................................................

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    .

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    0|00

    1|110|01

    1|100|11

    1|000|10

    1|01

    ssss

    ssss

    . .........................................................................................................................................................................

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    .

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    0|00

    1|110|01

    1|100|11

    1|000|10

    1|01

    [0] [1] [2] [3] [4] [5]

    0

    1

    2

    3

    qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

    qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

    qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

    qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

    qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

    Secuencia codificada: C[k] = [11 10 10 00 01]

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 49 / 99

  • Decodificacion - Algoritmo de Viterbi

    Recuperacion de la secuencia mas verosmilEstados inicial/final

    Cabecera de referencia (habitualmente ceros bit flushing)Salida dura: observacion de bits decididos

    Secuencia con el menor numero de bits codificados distintosa la observacionMetrica de rama: distancia de Hamming con la observacion

    Salida dura: observacion de q[n]Secuencia cuyos smbolos asociados estan a la menordistancia eucldea de la observacionMetrica de rama: |q[n] A[n]|2

    Hay que tener en cuenta la constelacion que se utiliza parahacer la conversion de las etiquetas de la rejilla basica asmbolos de la constelacion (A[n])

    Mejores prestaciones que con salida blanda

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 50 / 99

  • Metricas de rama - Salida dura

    Secuencia recibida: R[k] = [11 10 10 00 01]

    [n] [n + 1]

    0

    1

    2

    3

    ssss

    ssss

    . .........................................................................................................................................................................

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    .

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    ...............

    .

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    0|00

    1|110|01

    1|100|11

    1|000|10

    1|01

    [0] [1] [2] [3] [4] [5]

    0

    1

    2

    3

    ssss

    ssss

    . .........................................................................................................................................................................

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    .

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    2

    01

    10

    21

    1

    ssss

    ssss

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    1

    12

    01

    10

    2

    ssss

    ssss

    . .........................................................................................................................................................................

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    1

    12

    01

    10

    2

    ssss

    ssss

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    0

    21

    12

    01

    1

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    ssss

    . .........................................................................................................................................................................

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    1

    10

    21

    12

    0

    qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

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    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 51 / 99

  • Metricas acumuladas en cada estado (Viterbi)

    [1] [2] [3] [4] [5]3 0 2/3 3/4 3/22 2 0/5 3/4 0/01 0 3 3/4 0/5 4/30 2 3 3/4 2/3 4/3

    Si no hay errores: camino con metrica acumulada nula

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 52 / 99

  • Metricas de rama - Salida blanda

    Secuencia recibida: q[n] =[

    1,10,9

    ] [1,10,8

    ] [0,750,6

    ] [1,21,1

    ] [0,71,2

    ]

    [n] [n + 1]

    0

    1

    2

    3

    ssss

    ssss

    . .........................................................................................................................................................................

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    .

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    .

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    .

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    ..........................................................

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    0|00

    1|110|01

    1|100|11

    1|000|10

    1|01

    s

    s

    s

    s+11

    +1

    100

    01

    10

    11

    [0] [1] [2] [3] [4] [5]

    0

    1

    2

    3

    ssss

    ssss

    . .........................................................................................................................................................................

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    .

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    8,02

    0,024,42

    3,620,02

    8,023,62

    4,42

    ssss

    ssss

    . .........................................................................................................................................................................

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    .

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    4,45

    3,257,65

    0,053,25

    4,450,05

    7,65

    ssss

    ssss

    . .........................................................................................................................................................................

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    .

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    .

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    3,22

    2,625,62

    0,222,62

    3,220,22

    5,62

    ssss

    ssss

    . .........................................................................................................................................................................

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    .

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    ........

    .

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    ............................. ........................................................................................................................................................................

    0,05

    9,254,45

    4,859,25

    0,054,85

    4,45

    ssss

    ssss

    . .........................................................................................................................................................................

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    .

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    ........

    .

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    ..........................................

    ............................. ........................................................................................................................................................................

    4,93

    2,930,13

    7,732,93

    4,937,73

    0,13

    qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

    qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

    qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

    qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

    qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 53 / 99

  • Metricas acumuladas en cada estado (Viterbi)

    [1] [2] [3] [4] [5]3 0,07 5,69/11,49 10,14/15,74 10,27/8,072 7,67 0,29/16,89 10,54/15,34 17,87/0,471 0,02 11,27 10,89/15,09 0,34/19,54 15,47/12,470 8,02 12,47 10,29/15,69 9,54/10,34 13,47/14,47

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 54 / 99

  • Prestaciones

    Salida dura

    Pe c nzi=t

    (n zi

    ) i (1 )nzi

    DHmin: mnima distancia de Hamming entre salidas parasecuencias distintasz: longitud del evento erroneo de distancia mnimat =

    DHmin1

    2

    (capacidad de correccion sobre n z bits)

    : probabilidad de error de bit del sistema (BER)Salida blanda

    Pe c Q(

    Demin2N0/2

    )Demin: mnima distancia eucldea entre salidas parasecuencias distintas

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 55 / 99

  • Calculo de DHmin

    Comparacion con la secuencia de todo ceros

    [n] [n + 1]

    0

    1

    2

    3

    ssss

    ssss

    . .........................................................................................................................................................................

    ...........................................................................................................................................................................................

    .

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    .

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    ..............

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    ...............

    .

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    ..........................................................

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    .............. ........................................................................................................................................................................

    0|00

    1|110|01

    1|100|11

    1|000|10

    1|01

    0

    1

    2

    3

    rrrr

    rrrr

    .

    ..........................................................................................................................................................

    2

    2

    rrrr

    .

    ...........................................................................................................................................................

    ..................................................................................................................................................................................................................

    1

    1

    3

    3

    rrrr. ................................................................................................................................................

    ..................................

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    .

    .

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    ........................

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    ..................

    1

    1

    0

    2

    4

    4

    3

    5

    DHmin = 5

    z = 3

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 56 / 99

  • TEMA 5

    TECNICAS DE PROTECCION FRENTE A ERRORES(CODIGOS DE REJILLA (TCM))

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 57 / 99

  • Codigos de rejilla

    Conocidos tambien como codigos TCMTrellis Coded Modulation

    Diseno conjunto de codigos convolucionales y delcodificador del transmisorUso eficiente del ancho de banda de un canal

    La redundancia se introduce aumentando el orden de laconstelacion

    Orden de la constelacion acorde al tamano de la salidacodificada

    Posibilidad de tasas relativamente altas mediante lastransiciones paralelo

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 58 / 99

  • Codigos de rejilla - Definiciones

    Convolucionalknp, nnp

    ...knp ... nnp

    ...kp npConstelacionn = np + nnpbits/smbolo

    k entradaskp transiciones paralelo (sin proteger)knp transiciones no paralelo (protegidas)

    n salidasnp = kp transiciones paralelo (sin proteger)nnp transiciones no paralelo (protegidas)

    Constelacion: 2n smbolos (n = np + nnp bits/smbolo)MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 59 / 99

  • Codigos de rejilla - Asignacion de bits

    Reglas de diseno: reglas de UngerboeckAsignacion para minimizar la probabilidad de errorDivision de la constelacion + asignacion de bits

    Division de la constelacion en subconstelacionesDivision sucesiva aumentando la distancia mnimaSmbolos por subconstelacion: 2npNumero de subconstelaciones: 2nnp

    Asignacion de bitsTransiciones paralelo: seleccion de un smbolo dentro de lasubconstelacion

    Proteccion fsica sobre la constelacion (Gray)Transiciones no paralelo: seleccion de una subconstelacion

    Proteccion mediante codigo convolucionalMaxima distancia: ramas que salen de o llegan a un mismoestadoEquiprobabilidad en la asignacion de smbolos

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 60 / 99

  • Ejemplo: kp = 1, knp = 1, nnp = 2, 8-PSK

    Codigo de tasa 2/3Una transicion en paraleloConvolucional de tasa 1/2 (Convolucional Ejemplo D)

    Convolucional1/2

    Constelacion3 bits/smbolo

    [n] [n + 1]

    0

    1

    2

    3

    ssss

    ssss

    . .........................................................................................................................................................................

    ...........................................................................................................................................................................................

    .

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    .

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    ..............

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    ...............

    .

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    ..........................................................

    ..........................................................

    .............. ........................................................................................................................................................................

    0|00

    1|110|01

    1|100|11

    1|000|10

    1|01

    Constelacion con 3 bits por smbolo: 8 smbolos8-PSK

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 61 / 99

  • Ejemplo: Division de la constelacion

    s s sssss s

    s c scscs cB0 c s cscs

    c sB1

    s c ccscc c

    C0 c c scccs c

    C1 c s cccsc c

    C2 c c csccc s

    C3

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 62 / 99

  • Ejemplo: Asignacion de las transiciones no paralelo

    [n] [n + 1]

    0

    1

    2

    3

    xxxx

    xxxx

    . ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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    .

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    ................................

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    ................................

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    .

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    ..........................................................

    ..........................................................

    ..........................................................

    ........................... ...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

    C0

    C1C2

    C3C1

    C0C3

    C2

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 63 / 99

  • Asignacion (convolucional D)

    [n] [n + 1]

    0

    1

    2

    3

    ssss

    ssss

    . .........................................................................................................................................................................

    ...........................................................................................................................................................................................

    .

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    .

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    ..............

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    ...............

    .

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    ..........................................................

    .............. ........................................................................................................................................................................

    0|00

    1|110|01

    1|100|11

    1|000|10

    1|01

    [n] [n + 1]

    0

    1

    2

    3

    ssss

    ssss

    . .........................................................................................................................................................................

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    .

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    ..............

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    ...............

    .

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    ..........................................................

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    .............. ........................................................................................................................................................................

    C0

    C1C2

    C3C1

    C0C3

    C2

    s sssss

    ss 0|00 1|01

    0|10

    0|111|10

    0|11

    1|000|01

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 64 / 99

  • Prestaciones

    Distancia mnima del codigo - La mnima de:Distancia mnima paraleloEjemplo anterior (constelacion normalizada): dp = 2

    Mnima distancia entre puntos de las subconstelacionesDistancia mnima no paralelo

    Distancia del convolucional medida sobre lassubconstelacionesEjemplo anterior

    dnp =d2(C0,C1) + d2(C0,C2) + d2(C0,C1) = 2,14

    Ganancia de codificacionComparacion con la constelacion equivalente sin codificar(misma velocidad de transmision efectiva)Ejemplo anterior: 4-PSK

    G =ESCbETCMb

    (dTCMmin

    )2(dSCmin

    )2 = 2 (3 dB)MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 65 / 99

  • TEMA 5

    TECNICAS DE PROTECCION FRENTE A ERRORES(CODIGOS BCH)

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 66 / 99

  • Campos finitos (Campos de Galois)

    Definicion de campoConjunto de elementos sobre el que es posible definir dosoperaciones, suma (resta) y producto (division, excepto porel elemento nulo), y dos elementos distinguidos, elementonulo (0), elemento unidad (1), que cumplen las siguientespropiedades:

    AsociativaConmutativaDistributiva

    Campo finitoNumero finito, q, de elementos del campo: Orden q, GF(q)Orden primo: pn con p primo y n enteroConstruccion:

    Polinomio irreducible de grado n y coeficientes en GF(p)

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 67 / 99

  • Campos finitos GF(2m)

    Modelo para grupos de m bits (m-tuplas)Representaciones de los miembros del campo

    Polinomios en de grado m 1Tupla Polinomio000 0001 1010 011 + 1

    Tupla Polinomio100 2

    101 2 + 1110 2 + 111 2 + + 1

    Potencia de (j, para j = , 0, 1, ,m 2)Restriccion sobre m para el producto (consistencia)

    Polinomio generadorCoeficientes binarios (p = 2)Ejemplo: p(x) = x3 + x + 1Restriccion: 3 = + 1

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 68 / 99

  • Definiciones

    Polinomio irreduciblePolinomio que no se puede factorizar

    Polinomio primitivop(x) de grado m es primitivo si el menor entero n para el quep(x) divide a xn 1 es n = 2m 1

    Polinomio minimal de i

    Polinomio de menor grado con i como raz (polinomio concoeficientes binarios)

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 69 / 99

  • Polinomio generador

    Polinomio irreduciblePolinomio primitivoPolinomio de grado m es una raz del polinomio restriccion sobre m

    p() = 3 + + 1 = 0 3 = + 1Polinomio primitivo restriccion de periodicidad

    p(x) divide a xn 1 (con n = 2m 1)n = 1 = 0

    Periodicidad exponencial de perodo nElementos del campo

    Resto del cociente con p() (polinomio)Ejemplo: 3 + 2 + + 1 = (+ 1) + 2 + + 1 = 2

    3 + 2 + + 1 = (3 + + 1) 1 + 2MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 70 / 99

  • Adjudicacion de j a una tupla

    Utilizacion de la restriccion del polinomio generador

    j Polinomio Tupla = 0 0 0000 = 1 1 0011 0102 2 1003 + 1 0114 (3) = 2 + 1105 3 + 2 = 2 + + 1 1116 3 + 2 + = + 1 + 2 + = 2 + 1 1017 3 + = + 1 + = 1

    Periodicidad de perodo n = 2m 1:n = 0 (k = k%n)

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 71 / 99

  • Polinomios minimales - Cosets ciclotomicos

    Coset ciclotomicoConjunto que agrupa a las raices que comparten lospolinomios minimalesExponentes de las raices agrupadas en el coset Ci

    {i, 2i, 22i, , 2zi1i}zi: mnimo valor que cumple 2

    zi i = i

    Races Polinomio minimal0 x

    C0 = 1 x + 1C1 = {, 2, 4} x3 + x + 1C3 = {3, 6, 5} x3 + x2 + 1

    Races de xn 1: 0 (1),, 2, , n1x7 1 = (x 1) (x ) (x 6)

    Producto de los polinomios minimales de los cosetsx7 1 = (x + 1) (x3 + x + 1) (x3 + x2 + 1)

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 72 / 99

  • Formacion de los cosets (ejemplo)

    Coset C0C0 = {1}, 12 = 1

    Coset C1C1 =

    {, 2, 4

    }, 8 =

    Coset C2: 2 ya esta incluido en C1Coset C3

    C3 ={3, 6, 12 = 5

    }, 24 = 3

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 73 / 99

  • Formacion de los polinomios binarios

    Agrupamiento de races distintas a todas las de un coset

    p(x) = (x ) (x 2) = x2 ( + 2) x + 3

    Polinomio con coeficientes no binariosPolinomio minimal de C1

    p1(x) =(x ) (x 2) (x 4)=(x2 ( + 2) x + 3) (x 4)=x3 ( + 2 + 4) x2 + (3 + 5 + 6) x 7=x3 + ( + 2 + 2 + ) x2

    + ( + 1 + 2 + + 1 + 2 + 1) x 1=x3 + x + 1

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 74 / 99

  • Codigos BCH

    Acronimo de Bose, Chaudhuri y HocquenghemCodigos versatiles y constructivos

    Cualquier distancia mnimaCualquier longitud de codigo impar (n impar)Permite el diseno de codigos no binariosCasos particulares interesantes

    HammingGolayReed Solomon (no binario)

    Algoritmo eficiente de decodificacionPrincipio basico para su diseno

    Teorema BCH

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 75 / 99

  • Teorema BCH (simplificado) - Diseno de codigos BCH

    Un codigo cclico C(k, n) con un polinimio generador g(x)que tiene 1 races consecutivas en un campo GF(2m),con el menor m tal que 2m 1 sea multiplo de n, es uncodigo cclico que garantiza un distancia mnima

    dmin Codigo con capacidad de correccion de t errores

    Distancia mnima dmin 2 t + 1Buscar un entero m tal que n = 2m 1 (o n divisor de 2m 1)Agrupar dmin 1 races consecutivas en GF(2m)

    Obtencion del polinomio generador g(x)Utilizacion de los polinomios minimales coeficientes binariosTamano del codigo: grado(g(x))=n k

    MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 76 / 99

  • Ejemplo: n = 63

    m = 6Polinomio generador p(x) = x6 + x + 1Cosets y polinomios minimales

    Elementos del coset Polinomio minimal

    C0 ={0 = 1

    }p0(x) = x + 1

    C1 ={1, 2, 4, 8, 16, 32

    }p1(x) = x

    6 + x + 1

    C3 ={3, 6, 12, 24, 33, 48

    }p3(x) = x

    6 + x4 + x2 + x + 1

    C5 ={5, 10, 17, 20, 34, 40

    }p5(x) = x

    6 + x5 + x2 + x + 1

    C7 ={7, 14, 28, 35, 49, 56

    }p7(x) = x

    6 + x3 + 1

    C9 ={9, 18, 36

    }p9(x) = x

    3 + x21

    C11 ={11, 22, 25, 37, 44, 50

    }p11(x) = x

    6 + x5 + x3 + x2 + 1

    C13 ={13, 19, 26, 38, 41, 52

    }p13(x) = x

    6 + x4 + x3 + x + 1

    C15 ={15, 30, 39, 51, 57, 60

    }p15(x) = x

    6 + x5 + x4 +