cls13

Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas

Juan Carlos Damián Sandoval

Universidad San Martin de Porres

Mayo del 2015

J.C.Damián . S (USMP) Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas Mayo del 2015 1 / 11

Ecuaciones Exponenciales

Ecuaciones Exponencialesson igualdades que tienen la incogníta como exponente, en unoscasos y en otros como base y exponentes.

Diferentes formas de Ecuaciones1.- Ley de bases iguales.ax = ay → x = y ;∀a > 0 ∧ a 6= 1

Ejemplo81x = 27→ 34x = 33 → 4x = 3→ x = 3/4


Ecuaciones Exponenciales

Formas de Ecuaciones2.-Ley de Exponentes Iguales:ax = bx → a = b;∀x 6= 0

Ejemplo(x − 4)3 = 512→ (x − 4)3 = 83 → x − 4 = 8→ x = 12

Formas de Ecuaciones3.-Ley de Simetría:aa = bb → a = b;∀a 6= 0

Ejemplo(x − 2)(x−2) = 256→ (x − 2)(x−2) = 44 → x − 2 = 4→ x = 6


Ecuaciones exponenciales

Formas de Ecuaciones4.-ax = by → x = y = 0;∀a, b ∈ R − {0}

Formas de Ecuaciones5.-Indeterminadas:√

n(n + 1) +√

n(n + 1) +√

n(n + 1) + . . .∞ = n + 1√n(n + 1)−

√n(n + 1)−

√n(n + 1)− . . .∞ = n

n√

nn√n

n√n...

= n

x xx...n

= n→ x = n√

n


Ejercicios

Ejemplo1. 8e2x = 202. 3x+2 = 73. Si xn+3 = (2x)n = (4x)n−1, Calcular el valor de x + n.4. Sea la ecuación exponencial: 22n+2 − 2 · 32n+2 = 6n

calcular: M = −n−n.5. 4+ 35x = 86. 50

1+e−x = 47. 5x = 4x+1

8. e2x − ex − 6 = 09. 3xex + x2ex = 010. e3−2x = 4


Ecuaciones Logarítmicas

Ecuaciones LogarítmicasUna ecuación logarítmica es aquella en la que ocurre un logaritmo dela variable. por ejemplo.

EjemploHallar x .1. log2(x + 1) = 4.2. log2(25− x) = 4.3. 4+ 3log(2x) = 16.4. log(x + 2) + log(x − 1) = 1.5. log5(x + 1)− log5(x − 1) = log520.6. log2(3) + log2x = log25+ log2(x − 2).7. logx − log(x − 1) = log(4x).8. log9(x − 5) + log9(x + 3) = 1.


Aplicaciones

Ejemplo1. Cuando se administró cierto fármaco a un paciente, el número de

miligramos que permanecen en el torrente sanguíneo del pacientedespués de t horas se modela mediante: D(t) = 50e−0·2t .Cuántos miligramos del fármaco permanecen en el torrentesanguíneo después de tres horas?.

2. Una sustancia radiactiva se desintegra de tal manera que lacantidad de masa que permanece después de t días se expresamediante la función m(t) = 13e−0·015t , donde m(t) se mide enkilogramos.a) Encuentre la masa en el tiempo t = 0b) Cuánta masa permanece después de 45 días?.


Aplicaciones

Ejemplo1. Una enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en una

ciudad pequeña con 10000 habitantes. Después de t días, elnúmero de personas ha sucumbido al virus se modela mediantela función: v(t) = 10000

5+1245e−0·97t

a) Cuántas personas infectadas hay inicialmente (en el tiempot = 0)?.b) Calcule el número de personas infectadas después de un día,dos días y cinco días.


Aplicaciones

Ejemplo1. Una bacteria en el oido medio se incrementa a razón del 2%

cada hora. Suponga que al inicio de una infección bacterianaestaban presentes 120 bacterias. Determine el número debacterias N(t) presentes después de t horas. ¿Cuántas bacteriasestán presentes en el organismo después de 2 horas?

2. Una bacteria estomacal debe ser tratada con un determinadotratamiento antibiótico antes que estén presentes 10000 de ellasen el organismo, de lo contrario el tratamiento sugerido es otro.Si se sabe que su número se incrementa a razón del 5% cadahora y que al inicio estaban presentes 400 bacterias, determine elnúmero de bacterias N(t) presentes después de t horas. ¿ Decuánto tiempo se dispone antes de cambiar el tratamiento?


Aplicaciones

Ejemplo1. Cierta cepa de bacterias se divide cada tres horas. Si una colonia

comienza con 50 bacterias, entonces el tiempo t(en horas)requerido para que la colonia crezca a N bacterias se expresacomo: t = 3 log(N/50)

log2Calcule el tiempo requerido para que la colonia crezca a unmillon de bacterias.

2. Si una población de bacterias crece según la leyN(t) = et2+ln 2 + c , donde t es dado en minutos y N(t) es miles.Además se sabe que inicialmente había una población de 4 milbacterias. Calcule la cantidad de bacterias a los

√ln 2 minutos


Bibliografía“LAZARO CARRION, MOISES; Lógica y teoría de conjuntos.Editorial Moshera Lima 2009”“ FIGUEROA ROBERTO, Matemática Básica. Editorial San Marcos.Lima 2004”“ ESPINOZA RAMOS,E.(2002). Matemática Básica. EditorialServicios Gráficos JJ. Perú.”“ JAMES STEWART, PRECÁLCULO. Editorial THOMSON”.“ VERA G. CARLOS, Matemática Básica. Editorial Moshera Lima2009”.


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