THOMAS

CLCULOVARIAS VARIABLESUNDCIMA EDICIN

CLCULOVA R I A S VA R I A B L E SU N D C I M A E D I C I N

George B. Thomas, Jr.Massachusetts Institute of Technology

Revisado por:Maurice D. Weir Naval Postgraduate School Joel Hass University of California, Davis Frank R. Giordano Naval Postgraduate School

TRADUCCIN scar Alfredo Palmas Velasco Vctor Hugo Ibarra Mercado Facultad de Ciencias, Escuela Superior de Fsica y Matemticas Universidad Nacional Autnoma de Mxico Instituto Politcnico Nacional Enrique Garibay Ruiz Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Len Dr. Carlos Bosh Giral Departamento de Matemticas Instituto Tecnolgico Autnomo de Mxico (ITAM) Csar Luis Garca Garca Departamento de Matemticas Instituto Tecnolgico Autnomo de Mxico (ITAM) Claudia Gmez Wulschner Departamento de Matemticas Instituto Tecnolgico Autnomo de Mxico (ITAM) Enrique Rodrguez Rodrguez Instituto Tecnolgico de Estudios Superiores de Occidente (ITESO) Abelardo Ernesto Damy Sols Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Guadalajara REVISIN TCNICA Carlos Zea Coordinacin de Ciencias Fsico Matemticas Universidad Iberoamericana campus Torren Jos Botto Universidad Nacional de Rosario, Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniera y Agrimensura Argentina Emilio Sastre Universidad Nacional de Rosario, Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniera y Agrimensura Argentina Eduardo Estrada Kassir Maestro de Ingeniera de Sistemas Universidad Nacional de Colombia Vladimir Moreno G. Profesor de tiempo completo Universidad Nacional de Colombia Bernarda Aldana Escuela Colombiana de Ingeniera Julio Garavito Nstor Ral Pachn Rubiano Escuela Colombiana de Ingeniera Julio Garavito Ren Piedra Director del Departamento de Matemticas Pontificia Universidad Catlica Madre y Maestra Repblica Dominicana Lida Nio Coordinadora de Ctedra Matemtica para Ingeniera Universidad Metropolitana Venezuela

Datos de catalogacin bibliogrfica

Dedicado aTHOMAS, JR., GEORGE B. Clculo. Varias variables. Undcima edicin PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2005 ISBN: 970-26-0644-6 rea: Universitarios Formato: 21 27 cm Pginas: 656

Ross Lee Finney III (1933-2000) profesor, mentor, autor, gran persona, y amigo de todos

Authorized translation from the English language edition, entitled Thomas calculus 11th ed., George B. Thomas, Jr., published by Pearson Education, Inc., publishing as Addison Wesley, Copyright 2005. All rights reserved. ISBN 0-321-185587 Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls, titulada Thomas calculus 11a ed., de George B. Thomas, Jr., publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Addison Wesley, Copyright 2005. Todos los derechos reservados. Esta edicin en espaol es la nica autorizada. Edicin en espaol Editor: Enrique Quintanar Duarte e-mail: enrique.quintanar@pearsoned.com Editor de desarrollo: Miguel B. Gutirrez Hernndez Supervisor de produccin: Jos D. Hernndez Garduo

Edicin en ingls: Publisher: Greg Tobin Acquisitions Editor: Willliam Hoffman Managing Editor: Karen Wernholm Senior Project Editor: Rachel S. Reeve Editorial Assistants: Mary Reynolds, Emily Portwood Production Supervisor: Julie LaChance James Marketing Manager: Phyllis Hubard Marketing Assistant: Heather Peck Senior Manufacturing Buyer: Evelyn Beaton

Senior Prepress Supervisor: Caroline Beaton Associate Media Producer: Sara Anderson Software Editors: David Malone, Bob Carroll Senior Author Suppor/Technology Specialist: Joe Vetere Supplements Production Supervisor: Sheila Spinney Composition and Production Services: Nesbitt Graphics, Inc. Illustrations: Techsetters, Inc. Senior Designer: Geri Davis/The Davis Group, Inc. Cover Design: Barbara T. Atkinson Cover Photograph: Benjamin Mendlowitz

UNDCIMA EDICIN, 2005 D.R. 2005 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V . Atlacomulco nm. 500, 5 piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Jurez, Edo. de Mxico E-mail: editorial.universidades@pearsoned.com Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Nm. 1031 Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes. ISBN 970-26-0644-6 Impreso en Mxico. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 08 07 06 05

CONTENIDOPrefacio ix

Volumen I1Preliminares1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Los nmeros reales y la recta real 1 Rectas, crculos y parbolas 9 Funciones y sus grficas 19 Identificacin de funciones: modelos matemticos 28 Combinacin de funciones; traslaciones y cambio de escala en grficas Funciones trigonomtricas 48 Graficacin con calculadoras y computadoras 59 PREGUNTAS DE REPASO 68 EJERCICIOS DE PRCTICA 69 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 71

1

38

2

Lmites y continuidad2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 Razn de cambio y lmites 73 Clculo de lmites mediante las leyes de los lmites La definicin formal de lmite 91 Lmites laterales y lmites al infinito 102 Lmites infinitos y asntotas verticales 115 Continuidad 124 Tangentes y derivadas 134 PREGUNTAS DE REPASO 141 EJERCICIOS DE PRCTICA 142 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 144 84

73

3

Derivadas3.1 3.2 La derivada como una funcin 147 Reglas de diferenciacin 159

147

iii

iv

Contenido

3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

La derivada como razn de cambio 171 Derivadas de funciones trigonomtricas 183 Regla de la cadena y ecuaciones paramtricas 190 Diferenciacin implcita 205 Razones de cambio o tasas relacionadas 213 Linealizacin y diferenciales 221 PREGUNTAS DE REPASO 235 EJERCICIOS DE PRCTICA 235 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 240

4

Aplicaciones de las derivadas4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 Valores extremos de una ecuacin 244 El teorema del valor medio 255 Funciones montonas y el criterio de la primera derivada Concavidad y trazado de curvas 267 Problemas de optimizacin aplicados 278 Formas indeterminadas y la regla de L Hpital 292 El mtodo de Newton 299 Antiderivadas 307 PREGUNTAS DE REPASO 318 EJERCICIOS DE PRCTICA 318 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 322

244

262

5

Integracin5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 Estimacin con sumas finitas 325 Notacin sigma y lmites de sumas finitas 335 La integral definida 343 El teorema fundamental del clculo 356 Las integrales indefinidas y la regla de sustitucin Sustitucin y reas entre curvas 376 PREGUNTAS DE REPASO 387 EJERCICIOS DE PRCTICA 388 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 391

325

368

6

Aplicaciones de las integrales definidas6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 Clculo de volmenes por secciones transversales y por rotacin alrededor de un eje 396 Clculo de volmenes por medio de casquillos cilndricos 409 Longitudes de curvas planas 416 Momentos y centro de masa 424 reas de superficies de revolucin y el teorema de Pappus 436 Trabajo 447 Presiones y fuerzas en fluidos 456

396

Contenido

v

461 PREGUNTAS DE REPASO EJERCICIOS DE PRCTICA 461 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS

464

7

Funciones trascendentes7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 Funciones inversas y sus derivadas 466 Logaritmos naturales 476 La funcin exponencial 486 495 a x y loga x Crecimiento y decaimiento exponenciales 502 Razones de crecimiento relativas 511 Funciones trigonomtricas inversas 517 Funciones hiperblicas 535 PREGUNTAS DE REPASO 546 EJERCICIOS DE PRCTICA 547 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 550

466

8

Tcnicas de integracin8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 Frmulas bsicas de integracin 553 Integracin por partes 561 Integracin de funciones racionales por medio de fracciones parciales 570 Integrales trigonomtricas 581 Sustituciones trigonomtricas 586 Tablas de integrales y sistemas de lgebra por computadora (SAC) 593 Integracin numrica 603 Integrales impropias 619 PREGUNTAS DE REPASO 633 EJERCICIOS DE PRCTICA 634 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 638

553

9

Aplicaciones adicionales de integracin9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 Campos de pendientes y ecuaciones diferenciables separables 642 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 650 Mtodo de Euler 659 Soluciones grficas de ecuaciones diferenciales autnomas 665 Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden 673 PREGUNTAS DE REPASO 682 EJERCICIOS DE PRCTICA 682 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 683

642

vi

Contenido

Volumen II10Secciones cnicas y coordenadas polares10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 Secciones cnicas y ecuaciones cuadrticas 685 Clasificacin de secciones cnicas por su excentricidad Ecuaciones cuadrticas y rotaciones 702 Cnicas y ecuaciones paramtricas; la cicloide 709 Coordenadas polares 714 Grficas en coordenadas polares 719 reas y longitudes en coordenadas polares 725 Secciones cnicas en coordenadas polares 732 739 PREGUNTAS DE REPASO 739 EJERCICIOS DE PRCTICA 742 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 697

685

11

Sucesiones y series infinitas11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 11.10 11.11 Sucesiones 747 Series infinitas 761 Criterio de la integral 772 Pruebas de comparacin 777 Pruebas de la raz y de la razn 781 Series alternantes, convergencia absoluta y convergencia condicional Series de potencias 794 Series de Taylor y de Maclaurin 805 Convergencia de series de Taylor; estimacin de errores 811 Aplicaciones de las series de potencias 822 Series de Fourier 833 839 PREGUNTAS DE REPASO 840 EJERCICIOS DE PRCTICA 843 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS

746

787

12

Los vectores y la geometra del espacio12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 Sistemas de coordenadas tridimensionales 848 Vectores 853 El producto punto 862 El producto cruz 873 Rectas y planos en el espacio 880 Cilindros y superficies cudricas 889 899 PREGUNTAS DE REPASO 900 EJERCICIOS DE PRCTICA 902 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS

848

Contenido

vii

13

Funciones con valores vectoriales y movimiento en el espacio13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 Funciones vectoriales 906 Cmo modelar el movimiento de un proyectil 920 Longitud de arco y el vector tangente unitario T 931 Curvatura y el vector unitario normal N 936 Torsin y el vector unitario binormal B 943 Movimiento de planetas y satlites 950 PREGUNTAS DE REPASO 959 EJERCICIOS DE PRCTICA 960 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 962

906

14

Derivadas parciales14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 14.10 Funciones de varias variables 965 Lmites y continuidad en dimensiones superiores 976 Derivadas parciales 984 Regla de la cadena 996 Derivadas direccionales y vectores gradiente 1005 Planos tangentes y diferenciales 1015 Valores extremos y puntos de silla 1027 Multiplicadores de Lagrange 1038 Derivadas parciales con variables restringidas 1049 Frmula de Taylor para dos variables 1054 PREGUNTAS DE REPASO 1059 EJERCICIOS DE PRCTICA 1060 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 1063

965

15

Integrales Mltiples15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 Integrales dobles 1067 rea, momentos y centros de masa 1081 Integrales dobles en forma polar 1092 Integrales triples en coordenadas rectangulares 1098 Masas y momentos en tres dimensiones 1109 Integrales triples en coordenadas cilndricas y esfricas Sustitucin en integrales mltiples 1128 PREGUNTAS DE REPASO 1137 EJERCICIOS DE PRCTICA 1138 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 1140

1067

1114

viii

Contenido

16

Integracin en Campos Vectoriales16.1 Integrales de lnea 1143 16.2 Campos vectoriales, trabajo, circulacin y flujo 1149 16.3 Independencia de la trayectoria, funciones potenciales y campos conservativos 1160 16.4 Teorema de Green en el plano 1169 16.5 rea de superficies e integrales de superficie 1182 16.6 Superficies parametrizadas 1192 16.7 Teorema de Stokes 1201 16.8 El teorema de la divergencia y una teora unificada 1211 PREGUNTAS DE REPASO 1222 EJERCICIOS DE PRCTICA 1223 1226 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS

1143

ApndicesA.1 A.2 A.3 A.4 A.5 A.6 A.7 A.8 A.9 Induccin matemtica AP-1 Demostracin de los teoremas de lmites AP-4 Lmites que aparecen comnmente AP-7 Teora de los nmeros reales AP-9 Nmeros complejos AP-12 La ley distributiva para el producto cruzado de vectores AP-22 El teorema de la derivada mixta y el teorema del incremento AP-23 El rea de la proyeccin de un paralelogramo en un plano AP-28 Frmulas bsicas de lgebra, geometra y trigonometra AP-29

AP-1

Respuestas

R-1

ndice

I-1

Breve tabla de integrales

T-1

Crditos

C-1

PREFACIO

INTRODUCCIN Al preparar la undcima edicin de Clculo de Thomas, hemos querido mantener el estilo de las versiones anteriores y conservar las fortalezas detectadas en ellas. Nuestra meta ha sido, por lo tanto, identificar las mejores caractersticas de las ediciones clsicas de la obra y, al mismo tiempo, atender cuidadosamente las sugerencias de nuestros muchos usuarios y revisores. Con estos altos estndares en mente, hemos reconstruido los ejercicios y aclarado algunos temas de difcil comprensin. De acuerdo con el autor, George Thomas, hemos intentado escribir el libro con tanta claridad y precisin como ha sido posible. Adems, hemos restablecido los contenidos para que sean ms lgicos y congruentes con los programas de estudio de mayor difusin. Al revisar esta labor en retrospectiva, nos percatamos de que los muchos conocimientos adquiridos nos han ayudado a crear un texto de clculo til y atractivo para la siguiente generacin de ingenieros y cientficos. En su undcima edicin, el texto no slo presenta a los estudiantes los mtodos y las aplicaciones del clculo, sino que plantea tambin una manera de pensar totalmente matemtica. A partir de los ejercicios, los ejemplos y el desarrollo de los conceptos que revela la teora en un lenguaje legible, este libro se centra en el pensamiento y la comunicacin de ideas matemticas. El clculo tiene gran relacin con muchos de los paradigmas clave de las matemticas, y establece los fundamentos reales para la reflexin precisa y lgica en torno de temas fsicos y matemticos. Nuestro propsito se centra en ayudar a los estudiantes a alcanzar la madurez matemtica necesaria para dominar el material y aplicar sus conocimientos de manera ntegra. El razonamiento que se deriva de la comprensin de lo analizado en las pginas de esta obra hacen que el esfuerzo que ha implicado su creacin valga la pena. Una vez analizado el contenido de este libro, los estudiantes estarn bien instruidos en el lenguaje matemtico que se necesita para aplicar los conceptos de clculo a numerosas situaciones de ciencias e ingeniera. Tambin estarn preparados para tomar cursos de ecuaciones diferenciales, lgebra lineal o clculo avanzado.

Cambios en la undcima edicinEJERCICIOS Los ejercicios y ejemplos juegan un papel crucial en el aprendizaje del clculo. En esta edicin hemos incluido muchos ejercicios que ya aparecan en versiones anteriores de la obra por considerarlos una de las grandes fortalezas de la misma. Los ejercicios se han reorganizado por tema en cada una de las secciones, planteando primero los problemas computacionales para luego abordar los relativos a la teora y las aplicaciones. Esta disposicin permite que los estudiantes desarrollen habilidades en el uso de los mtodos del clculo y adquieran una comprensin ms profunda de sus aplicaciones en el marco de una estructura matemtica coherente.

ix

x

Prefacio

RIGOR En comparacin con las ediciones anteriores, en esta versin el contenido del texto es ms riguroso y consistente. En l se brindan anlisis formales e informales, haciendo una clara distincin entre ambos; adems, se incluyen definiciones precisas y demostraciones accesibles para los estudiantes. Este texto est organizado de manera que el material pueda ser cubierto informalmente, dando cierta flexibilidad al instructor. Por ejemplo, a pesar de que no se prueba que una funcin continua en un intervalo cerrado y acotado tiene un mximo ah, el teorema correspondiente se expone con todo cuidado para comprobar varios resultados subsecuentes. Ms an, el captulo de lmites ha sido reorganizado de manera sustancial, haciendo hincapi tanto en su claridad como en su precisin. Como en las ediciones anteriores, el concepto de lmite se basa en la importante idea de obtener la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto de aquella. CONTENIDO En la preparacin de esta edicin hemos puesto especial atencin a las sugerencias y comentarios de los usuarios y revisores de las versiones anteriores de Clculo de Thomas. Esto ha dado como resultado extensas modificaciones en varios de los captulos.

TOMO I

Preliminares Hemos reescrito el captulo 1, de manera que proporcione una breve revisin de las funciones elementales. Aunque muchos profesores podran optar por obviar este captulo, su estudio permite a alumnos un fcil repaso de conocimientos para que unifiquen notaciones. Tambin contiene material til que muchos estudiantes podran desconocer, como los errores que se producen al confiar totalmente en las calculadoras o computadoras para construir la grfica de una funcin. Lmites En el captulo 2 se incluyen las definiciones epsiln-delta, las demostraciones de muchos teoremas, as como lmites en el infinito y lmites infinitos (y sus relaciones con las asntotas de una grfica). Antiderivadas En los captulos 3 y 4 presentamos la derivada y sus aplicaciones ms importantes, concluyendo con el concepto de antiderivada, con lo cual se establecen las bases para la integracin. Integracin Despus de discutir varios ejemplos de sumas finitas, en el captulo 5 introducimos la integral definida en la forma tradicional del rea debajo de la curva. Continuamos con el anlisis del teorema fundamental del clculo, relacionando derivadas y antiderivadas, y con la presentacin de la integral indefinida, junto con la regla de sustitucin para integracin. Luego proseguimos con el captulo tradicional de aplicaciones de las integrales definidas. Tcnicas de integracin En el captulo 8 se presentan las principales tcnicas de integracin, incluyendo integracin numrica. Despus se ofrece una introduccin a las funciones trascendentes, definiendo el logaritmo natural como la integral y la funcin exponencial como su inversa. Ecuaciones diferenciales La mayor parte del material para resolver ecuaciones diferenciales bsicas ahora est organizado solamente en el captulo 9. Esta disposicin permite que los profesores encuentren la flexibilidad idnea para cubrir los temas correspondientes.

TOMO II

Cnicas Atendiendo a la demanda de muchos usuarios, el captulo 10 ha sido totalmente reescrito. Por otro lado, este captulo completa el material de ecuaciones paramtricas, dando las parametrizaciones para las parbolas, las hiprbolas y las cicloides. Series En comparacin con ediciones anteriores, en el captulo 11 hemos desarrollado de manera ms completa los criterios de convergencia para series. Tambin incluimos, al final del captulo, una breve seccin para presentar las series de Fourier (cuyo estudio puede omitirse, segn convenga).

Prefacio

xi

Vectores Para evitar la repeticin de los conceptos algebraicos y geomtricos fundamentales, hemos combinado el tratamiento de vectores en dos y tres dimensiones en un solo captulo, el 12. A esta presentacin le sigue el captulo de funciones de valores vectoriales en el plano y en el espacio. Los nmeros reales Hemos escrito un nuevo apndice para analizar brevemente la teora de los nmeros reales y su aplicacin en el clculo.

ARTE Sabemos que las figuras y las ilustraciones representan un componente de gran importancia en el aprendizaje del clculo, por lo que hemos mejorado todas las figuras de este libro, buscando mayor claridad en la relacin entre stas y los conceptos a que hacen referencia. Esto resulta especialmente evidente en las grficas tridimensionales, en las que podemos indicar mejor la profundidad, las capas y la rotacin (vea las figuras siguientes).FIGURA 6.11, pgina 402 Determinacin del volumen del slido generado al hacer girar la regin (a) alrededor del eje y.y

4 x 2 y y 1 0 (a) y

R( y) 2 y 2 x

4

x 2 y 2 , y y

y 1 0 2 (b) R( y) 2 y x

FIGURA 6.13, pgina 403 Las secciones transversales y del slido de rotacin generado aqu son arandelas, no discos.0 a x b y R(x) y r (x) x

y

y ( x, R(x)) ( x, r (x))

0 x x

0 x x

Arandela

xii

Prefacio

Otras caractersticasPROYECTOS Y RESUMEN DE FINAL DE CAPTULO Adems de los problemas que aparecen despus de cada seccin, los captulos terminan con preguntas de repaso, ejercicios prcticos que cubren todo el contenido analizado, y una serie de ejercicios adicionales y avanzados en donde se plantean problemas sintetizados o que plantean retos de mayor envergadura. Asimismo, casi todos los captulos incluyen la descripcin de varios proyectos para que los estudiantes trabajen en ellos, ya sea individualmente o en equipo, en periodos ms largos. Estos proyectos requieren el uso de una computadora y de material adicional, disponible en www.pearsoneducacion.net/thomas. EJERCICIOS DE DESARROLLO TERICO Los ejercicios de desarrollo terico que aparecen a lo largo de todo el libro, solicitan a los alumnos que exploren y expliquen una variedad de conceptos y aplicaciones del clculo. Adems, al final de cada captulo se halla una lista de preguntas para que los estudiantes repasen y resuman lo que han aprendido. Muchos de estos ejercicios pueden servir para que el profesor asigne tareas de contenido terico. RESPUESTAS Se proporcionan todas las respuestas de los ejercicios impares cuando es adecuado; la correccin de tales respuestas ha sido revisada cuidadosamente. EXACTITUD MATEMTICA Como en las ediciones anteriores, hemos tenido gran cuidado en afirmar solamente aquello que sea correcto desde el punto de vista matemtico. Cada definicin, teorema, corolario y demostracin han sido revisados para garantizar su claridad y exactitud matemtica. LEGILIBILIDAD Y APLICACIN EN PROBLEMAS REALES Como siempre, este texto busca ser fcil de leer, interactivo y matemticamente rico. Cada tema nuevo ha sido abordado con claridad, ilustrado con ejemplos de fcil comprensin y reforzado con aplicaciones a problemas reales que involucran el clculo en ciencias e ingeniera, y que resultan de inters para los estudiantes. Estos problemas de aplicacin se han actualizado, mejorado y ampliado a lo largo de las ltimas ediciones. TECNOLOGA Aunque seguimos proporcionando apoyo para las aplicaciones tecnolgicas del clculo, a partir de la dcima edicin esto resulta menos evidente dentro de los captulos. Sin embargo, el uso de este texto puede incorporar fcilmente la tecnologa segn los propsitos del profesor. Para ello, cada seccin contiene ejercicios que requieren el uso de la tecnologa, identificados de cualquiera de las siguientes maneras:

Con una T si se requiere una calculadora o computadora para su resolucin. Con el texto EXPLORACIN CON COMPUTADORA si se necesita un software matemtico (como Maple o Mathematica) para contestarlos.

Complementos multimedia y soporte en lnea (en ingls)MANUALES DE RECURSOS TECNOLGICOS Maple Manual, escrito por Donald Hartig, de la California Polytechnic State University Mathematica Manual, preparado por Marie Vanisko, de la California State University Stanislaus, y por Lyle Cochran, del Whitworth College TI-Graphing Calculator Manual, por Luz DeAlba, de la Drake University. Estos manuales cubren los programas Maple 9 y Mathematica 5, y las calculadoras TI-83 Plus, TI-84 Plus, TI-85/TI-86 y TI-89/TI-92 Plus, respectivamente. Cada uno de ellos ofrece gua detallada para la integracin de un paquete de software o una calculadora graficadora a lo largo del curso, incluyendo sintaxis y comandos.

Prefacio

xiii

COURSECOMPASS CourseCompass es una plataforma para cursos en lnea que Pearson Educacin ofrece de manera exclusiva como apoyo para sus libros de texto. Este libro cuenta con un curso precargado en CourseCompass, que incluye ejercicios y recursos en MyMathLab y en MathXL, el sistema de tutoriales, tareas y evaluacin en lnea de Addison Wesley. MyMathLab proporciona un amplio conjunto de materiales relacionados con el curso, as como ejercicios generados algortmicamente para repasar tanto como se desee un tema. Los alumnos pueden utilizar tambin herramientas en lnea, como clases en vdeo, animaciones, una versin electrnica del libro y proyectos de Maple/Mathematica para mejorar su comprensin y desempeo. Adems, los estudiantes pueden responder exmenes por captulo y obtener un plan de estudio personalizado de acuerdo con sus resultados. Por su parte, los profesores pueden emplear los administradores de tareas y exmenes que proporciona CourseCompass para seleccionar y asignar ejercicios en lnea relacionados directamente con el libro, as como importar exmenes de TestGen para obtener ms flexibilidad. El libro de notas de MyMathLab diseado especficamente para matemticas y estadstica lleva un registro automtico de las tareas y los resultados de los exmenes de los alumnos, y da control al profesor para calcular las notas de fin de curso. CourseCompass est disponible para quienes adopten el libro. Para obtener ms informacin, visite nuestro sitio Web en www.coursecompass.com, o pida una demostracin del producto al representante de ventas de Pearson Educacin que lo atiende. TESTGEN CON QUIZMASTER TestGen permite a los profesores crear, editar, imprimir y administrar exmenes mediante un banco de preguntas computarizado, desarrollado para cubrir todos los objetivos del texto. TestGen se basa en algoritmos, gracias a lo cual los profesores pueden crear mltiples versiones de la misma pregunta o del mismo examen con slo hacer clic en un botn. Los maestros pueden tambin modificar las preguntas del banco de exmenes o agregar nuevos reactivos utilizando adems el editor integrado para crear o importar grficas, insertar notacin matemtica, nmeros variables o texto. Los exmenes pueden imprimirse o distribuirse por Internet o en una red local, o pueden ser importados en CourseCompass o Blackboard. TestGen incluye QuizMaster, que permite a los estudiantes realizar las pruebas en una red de rea local. El software est disponible en un CD-ROM para las plataformas Windows y Macintosh. SITIO WEB www. pearsoneducacion.net/thomas El sitio Web del libro Clculo de Thomas proporciona al alumno biografas ms amplias de los personajes histricos referidos en el libro, as como artculos relacionados. Asimismo, pone a su disposicin un conjunto de mdulos de Maple y Mathematica que puede utilizar como proyectos individuales o en grupo. Este sitio tambin ofrece al profesor un vnculo hacia el sitio de descarga de materiales (en ingls) de este libro.

AgradecimientosDeseamos expresar nuestra gratitud a quienes hicieron muchas y muy valiosas contribuciones durante las distintas etapas de desarrollo de esta edicin. Editores de desarrollo Elka Block David Chelton Frank Purcell Correctores William Ardis Karl Kattchee Douglas B. Meade Robert Pierce Frank Purcell Marie Vanisko Thomas Wegleitner

xiv

Prefacio

Jefatura de revisin Harry Allen, Ohio State University Rebecca Goldin, George Mason University Christopher Heil, Georgia Institute of Technology Dominic Naughton, Purdue University Maria Terrell, Cornell University Clifford Weil, Michigan State University Revisin tcnica Robert Anderson, University of WisconsinMilwaukee Charles Ashley, Villanova University David Bachman, California Polytechnic State University Elizabeth Bator, University of North Texas William Bogley, Oregon State University Kaddour Boukaabar, California University of Pennsylvania Deborah Brandon, Carnegie Mellon University Mark Bridger, Northeastern University Sean Cleary, The City College of New York Edward Crotty, University of Pennsylvania Mark Davidson, Louisiana State University Richard Davitt, University of Louisville Elias Deeba, University of Houston, Downtown Campus Anne Dougherty, University of Colorado Rafael Espericueta, Bakersfield College Klaus Fischer, George Mason University William Fitzgibbon, University of Houston Carol Flakus, Lower Columbia College Tim Flood, Pittsburg State University Robert Gardner, East Tennessee State University John Gilbert, The University of Texas at Austin Mark Hanish, Calvin College Zahid Hasan, California State University, San Bernardino Jo W. Heath, Auburn University Ken Holladay, University of New Orleans Hugh Howards, Wake Forest University Dwanye Jennings, Union University Matthias Kawaski, Arizona State University Bill Kincaid, Wilmington College Mark M. Maxwell, Robert Morris University Jack Mealy, Austin College Richard Mercer, Wright State University Victor Nestor, Pennsylvania State University Michael OLeary, Towson University Bogdan Oporowski, Louisiana State University

Troy Riggs, Union University Ferinand Rivera, San Jose State University Mohammed Saleem, San Jose State University Tatiana Shubin, San Jose State University Alex Smith, University of Wisconsin-Eau Claire Donald Solomon, University of Wisconsin-Milwaukee Chia Chi Tung, Minnesota State University William L. VanAlstine, Aiken Technology College Bobby Winters, Pittsburg State University Dennis Wortman, University of Massachusetts at Boston Participantes en encuestas Omar Adawi, Parkland College Siham Alfred, Raritan Valley Community College Donna J. Bailey, Truman State University Rajesh K. Barnwal, Middle Tennessee State University Robert C. Brigham, University of Central Florida (retired) Thomas A. Carnevale, Valdosta State University Lenny Chastkofsky, The University of Georgia Richard Dalrymple, Minnesota West Community & Technical College Lloyd Davis, College of San Mateo Will-Matthis Dunn III, Montgomery College George F. Feissner, SUNY College at Cortland Bruno Harris, Brown University Celeste Hernandez, Richland College Wei-Min Huang, Lehigh University Herbert E. Kasube, Bradley University Frederick W. Keene, Pasadena City College Michael Kent, Borough of Manhattan Community College Robert Levine, Community College of Allegheny County, Boyce Campus John Martin, Santa Rosa Junior College Michael Scott McClendon, University of Central Oklahoma Ching-Tsuan Pan, Northern Illinois University Emma Previato, Boston University S.S. Ravindran, University of Alabama Dan Rothe, Alpena Community College John T. Saccoman, Seton Hall University Mansour Samimi, Winston-Salem State University Ned W. Schillow, Lehigh Carbon Community College W.R. Schrank, Angelina College Mark R. Woodard, Furman University

Agradecimientos a los profesoresAgradecemos a todos los profesores que han sido leales usuarios y han impartido la materia de Clculo en los pases de habla hispana con el apoyo del reconocido libro de Thomas. Sus valiosos comentarios han servido para enriquecer el desarrollo de la actual edicin. Esperamos que con el uso de este texto cumplan satisfactoriamente los objetivos del programa del curso y preparen a sus alumnos para enfrentar los retos actuales dentro del mbito de las Matemticas. En especial deseamos agradecer el apoyo y retroalimentacin que nos han dado los siguientes profesores: COLOMBIA Escuela Colombiana de Ingeniera Julio Garavito Ana Alicia Guzmn Benjamn Rafael Sarmiento Bernarda Aldana Boris Mauricio Pulido Campo Elas Velosa Carlos Abel lvarez Carlos Enrique Frasser Carmenza Moreno Clara Teresa Trivio Claudia Castro Diego Parada Edgar Obonaga Edith Zoraida Pinzn Eduardo Brieva Ernesto Acosta Gloria Ins Bernal Guiomar Lleras Guiomar Mora Gustavo Erazo Herbert Alonso Dueas Isabel Carlota Lpez Jaime Alonso Castillo Jaime Arango Jairo Scarpeta Jorge Augusto Prez Jorge Bateman Jos Francisco Amador Juan Manuel Bedoya Juan Manuel Cordero Juan Manuel Ospina Juan Manuel Sarmiento Luis Alejandro Fonseca Luis Miguel Acosta Manuel Casabianca Manuel Daz Margarita Mnica Rey Mara Consuelo Corts Mara Viviana Bernal Nstor Ral Pachn Olga Maritza Camacho scar Antonio Pulido scar Daro Zrate Rafael Guzmn Ricardo Mancipe Ricardo Quintana Sandra Isabel Gutirrez Vctor Ardila William Estrada Fundacin del rea Andina Mario Duarte Rosario Granados INPAHU Edgar Borras Pontificia Universidad Javeriana Abrahan Jimnez Antonio Merchan Diego Guerrero Eddy Herrera Eduardo Estrada Fabio Molina Fernando Surez Francisco Soler Gerardo Tole Guillermo Arias Gustavo Nieto Harold Noriega Hctor Orlando Linares Irina Reyes Ismael Garca Ivn Castro Jess Fernando Novoa Jos Humberto Serrano Jos Severino Nio Juan Carlos Quintero Julio Csar Melo Lennin Reyes Liliana ngel Liliana Barreto Luis Alejandro Bello Luis Alfonso Meja Luz Marina Moya Luz Mary Ariza Mara C. Rodrguez Martha Alvarado Martha Moreno Matilde Pez Nelson Urrego Nicols Civetta Rafael Castro Vladimir Moreno Universidad Antonio Nario Orlando Vanegas Universidad Autnoma Gladys Villamarn Marco Tulio Milln Universidad Catlica de Colombia Ana Mercedes Mrquez Carlos Daza Carlos Hernando Pinzn Felipe Lara Gerardo Ardila Germn Beltrn Javier Manotas Libardo Ortegn Lorenzo Zubieta Miguel ngel Martnez Rgulo Miguel Hernndez Rubn Daro Castaeda Universidad de Amrica Edgar Rodrguez Hctor Lozano Jaime Bolaos Margarita Ruiz Universidad de la Sabana Hctor Lpez Mara Lilia Perilla Universidad de San Buenaventura Elmer Villegas Hernn Pineda Patricia Mateus Wilson Soto Universidad de San Martn Jaime Preciado Universidad del Bosque Libardo Munevar Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas Abrahan Jimnez Adrin Ricardo Gmez Carmen Leonor Pulido Claudia Vela Clemencia Garavito Gloria Neira Ignacio Rodrguez Janeth Galeano Jos Mara Pino Jos Villada Luis Martn Mara Astrid Cuida Mara del Pilar Bohrquez Nayive Nieves Pablo Acosta Rodrigo Javier Herrera Zulima Ortiz Universidad INCCA de Colombia Jorge Elicer Rodrguez

xvi

Agradecimientos a los profesores Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Toluca Jos Arturo Tar Ortiz Peralta Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Sinaloa Jos Benigno Valdez Torres Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Guadalajara Abel Vzquez Prez Abelardo Ernesto Damy Sols Guillermo Rodrguez Lpez Humberto Hiplito Garca Daz Jess Cuauhtmoc Ruvalcaba lvarez Luis Eduardo Falcn Morales Luz Mara Gonzlez Urea Mara Elisa Barrn Garca Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Len Enrique Garibay Ruiz Instituto Tecnolgico de Estudios Superiores de Occidente (ITESO), Guadalajara Csar Espinosa Abundis Enrique Rodrguez Ruiz Hctor Vidaurri Aguirre Roberto Nez Malherbe Centro de Enseanza Tcnica Industrial, Guadalajara Michael Vollger Zaepfel Universidad de Guadalajara Francisco Javier Gonzlez Pia Guadalupe Isabel Rodrguez Medina Jorge Mario Arellano Hernndez Jos de Jess Uribe Madrigal Luca Gonzlez Rendn Mara de Lourdes Martnez Silva Mara Esther Meja Marn Toms Ignacio Villaseor Saavedra Universidad Autnoma de Nuevo Len Alejandro Garca Garca Anglica Tovar Gmez Bertha Arellano Silva Gloria Pedroza Cant Mara Magdalena de la Rosa Resndiz Santiago Neyra Rosales Sergio Elizondo Arroyave Yenny Valenzuela Murillo Universidad Regiomontana Luis Alberto Rodrguez Escamilla Ma. Teresa Narvez Flores Neyda Eliza Lpez Leal Universidad Autnoma de San Luis Potos Jos Csar Hernndez Garca Mara Guadalupe Silva Esparza Universidad Autnoma de Tamaulipas Ramiro Garza Molina Instituto Tecnolgico de Veracruz Mario Martnez Cano Universidad Veracruzana Dolores Vera Dector Uriel Garca Ortiz PER Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas

Universidad Militar Nueva Granada Arturo Ramrez Felipe A. Riao Jos Farid Patio Luis Antonio Meza Universidad Nacional Hctor Useche Herbert Dueas Universidad Piloto Carlos Garzn William Arley Rincn Universidad Santo Toms Eunice Chara Gloria Torres Marlene Garzn GUATEMALA Universidad de San Carlos Arturo Samayoa MXICO Instituto Tecnolgico Autnomo de Mxico (ITAM) Beatriz Rumbos Pellicer Claudia Gmez Wulschner Lorena Zogaib Mara del Carmen Lpez Laiseca Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniera y Tecnologas Avanzadas Carlos Cruz Prisciliano Aguilar Viveros Universidad Anhuac del Sur Vicente Rivera Universidad Iberoamericana Humberto Mondragn Surez Universidad La Salle Gustavo Velzquez Garduo Instituto Tecnolgico de Estudios Superiores de Ecatepec Francisco Javier Vargas Mancilla Gabriel Ramrez Dmaso Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Estado de Mxico Faustino Yescas Martnez Rubn Daro Santiago Acosta

Agustn CuroREPBLICA DOMINICANA Instituto Tecnolgico de Santo Domingo

Coride Prez Mximo A. CampuzanoPontificia Universidad Catlica Madre y Maestra

Masako SaitoUniversidad Autnoma de Santo Domingo Carlos Feliz Snchez Carlos Mayobanet Cabral David Torrez Universidad Apec Justo Bez Universidad Catlica Tecnolgica del Cibao Cristian Mercedes Cruz Universidad Iberoamericana Mximo Santana VENEZUELA Universidad Central de Venezuela Mara de Armas Martha Zerpa Universidad Metropolitana Antonio Syers Lida Nio Universidad Simn Bolvar Mara Rosa Brito Universidad del Zulia Daniel Duque

Captulo

10

SECCIONES CNICAS YCOORDENADAS POLARESINTRODUCCIN En este captulo daremos la definicin geomtrica de las parbolas, las elipses y las hiprbolas y deduciremos la forma cannica de sus ecuaciones. Estas curvas se llaman secciones cnicas, o simplemente cnicas, y modelan, por ejemplo, las trayectorias recorridas por los planetas, satlites y otros cuerpos cuyos movimientos estn regidos por fuerzas del tipo cuadrado inverso. En el captulo 13 veremos que, una vez que sabemos que la trayectoria de un cuerpo en movimiento es una curva cnica, tenemos de inmediato la informacin sobre la velocidad del cuerpo y las fuerzas que lo impulsan. El movimiento planetario se describe mejor con la ayuda de coordenadas polares, por lo que tambin analizaremos curvas, derivadas e integrales en este nuevo sistema de coordenadas.

10.1

Secciones cnicas y ecuaciones cuadrticasEn el captulo 1 definimos un crculo (o circunferencia) como el conjunto de puntos en un plano cuya distancia (el radio)a un punto fijo, llamado centro, es constante. Si el centro es (h, k) y el radio es a, la forma cannica para la ecuacin de la circunferencia es s x - h d2 + s y - k d2 = a 2 . ste es un ejemplo de una seccin cnica, es decir, de una curva que se forman al cortar un cono doble con un plano (figura 10.1); de aqu el nombre de seccin cnica. A continuacin describimos parbolas, elipses e hiprbolas como las grficas de ecuaciones cuadrticas en el plano coordenado.

ParbolasDEFINICIONES Parbola, foco, directriz Un conjunto formado por todos los puntos en un plano que equidistan de un punto fijo dado y de una recta fija dada en el plano es una parbola. El punto fijo es el foco de la parbola. La recta fija es la directriz.Si el foco F est en la directriz L, la parbola es la recta que pasa por F y es perpendicular a L. Esto se considera un caso degenerado, por lo que de aqu en adelante supondremos que F no est en L. La ecuacin ms sencilla para una parbola se obtiene cuando su foco se encuentra en uno de los ejes y su directriz es perpendicular a ste. Suponga que el foco est en el punto F(0, p) en la parte positiva del eje y y que la directriz es la recta y = - p (figura 10.2). En

685

686

Captulo 10: Secciones cnicas y coordenadas polares

Circunferencia: plano perpendicular al eje del cono

Elipse: plano oblicuo al eje del cono (a)

Parbola: plano paralelo al lado del cono

Hiprbola: el plano corta las dos mitades del cono

Punto: el plano pasa slo por el vrtice del cono

Una recta: el plano es tangente al cono (b)

Par de rectas que se intersecan

FIGURA 10.1 Las secciones cnicas estndar (a) son las curvas en las que un plano corta un cono doble. Las hiprbolas constan de dos partes, llamadas ramas. El punto y las rectas que se obtienen al hacer pasar el plano por el vrtice del cono (b) son secciones cnicas degeneradas.

un punto P(x, y) est en la parbola si y slo si PF = PQ. De la frmula de la distancia,y

PF = 2s x - 0 d2 + s y - p d2 = 2x 2 + s y - p d2 PQ = 2s x - x d2 + ( y - s - p dd2 = 2s y + p d2 .

x 2 4 py Foco p F(0, p) P(x, y) x Q(x, p) L

Cuando igualamos estas expresiones, elevamos al cuadrado y simplificamos, obtenemos y = x2 4p o x2 = 4py .Forma cannica

El vrtice se encuentra a la mitad de la distancia p entre la directriz y el foco. Directriz: y p

(1)

FIGURA 10.2 Forma cannica de la parbola x 2 = 4py, p 7 0 .

Estas ecuaciones revelan la simetra de la parbola con respecto al eje y. Al eje y lo llamamos eje de la parbola (una forma abreviada de eje de simetra). El punto en donde la parbola cruza su eje es el vrtice. El vrtice de la parbola x 2 = 4py est en el origen (figura 10.2). El nmero positivo p es la distancia focal de la parbola.

10.1 Secciones cnicas y ecuaciones cuadrticasy

687

Si la parbola abre hacia abajo, con foco en s 0, - p d y con directriz la recta y = p , entonces las ecuaciones correspondientes a (1) son y = x

Directriz: y p Vrtice en el origen

x2 4p

y

x2 = - 4py

(figura 10.3). Obtenemos ecuaciones similares para parbolas que abren hacia la derecha o hacia la izquierda (figura 10.4 y tabla 10.1).

x 2 4 py

Foco (0, p)

FIGURA 10.3 La parbola x 2 = - 4py, p 7 0 .

TABLA 10.1 Ecuaciones en forma cannica para parbolas con vrtice en el origen sp 7 0d

Ecuacin x2 x2 y2 y2 = = = = 4py - 4py 4px - 4px

Foco (0, p) s 0, - p d ( p, 0) s - p, 0 d

Directriz y y x x = = = = -p p -p p

Eje eje y eje y eje x eje x

Abre hacia arriba abajo derecha izquierda

y Directriz x p y2 4 px y2 4 px

y Directriz xp

Vrtice Foco 0 F( p, 0) x Foco F( p, 0) 0

Vrtice x

(a)

(b)

FIGURA 10.4

La parbola y 2 = 4px . (b) La parbola y 2 = - 4px .

EJEMPLO 1Solucin

Determinar el foco y la directriz de la parbola y 2 = 10x .Determinamos el valor de p en la ecuacin estndar y 2 = 4px : 4p = 10, de modo que p = 5 10 = . 4 2

Luego determinamos el foco y la directriz para este valor de p: Foco: Directriz: 5 s p, 0 d = a , 0 b 2 x = -p o x = 5 . 2

688

Captulo 10: Secciones cnicas y coordenadas polares

Las frmulas para el desplazamiento horizontal y vertical que se comentaron en la seccin 1.5 pueden aplicarse a las ecuaciones de la tabla 10.1 para obtener las ecuaciones de diversas parbolas que estn en otras posiciones (vea los ejercicios 39, 40 y 45 a 48).P(x, y)

Ellipses

F1

F2

FIGURA 10.5 Una manera de dibujar una elipse consiste en guiar un lpiz utilizando dos tachuelas y una cuerda atada por sus extremos.

DEFINICIONES Elipse, Focos Una elipse es el conjunto de puntos en un plano cuyas distancias a dos puntos fijos en el plano tienen una suma constante. Los dos puntos fijos son los focos de la elipse.

La manera ms rpida de construir una elipse se basa en esta definicin. Ponga una cuerda, unida por sus extremos, alrededor de dos tachuelas F1 y F2 , tense la cuerda con un lpiz en el punto P y mueva el lpiz para trazar una curva cerrada (figura 10.5). La curva es una elipse, ya que la suma PF1 + PF2 , siendo la longitud de la cuerda menos la distancia entre las tachuelas, permanece constante. Los focos de la elipse estn en F1 y F2 .

Vrtice

Foco

Centro Eje focal

Foco

Vrtice

DEFINICIONES Eje focal, centro, vrtices La recta que pasa por los focos de una elipse es su eje focal. El punto que est sobre el eje a la mitad de la distancia entre los focos es el centro. Los puntos en donde el eje focal y la elipse se cruzan son los vrtices de la elipse (figura 10.6).

FIGURA 10.6 Puntos en el eje focal de una elipse.

Si los focos estn en F1s - c, 0 d y F2s c, 0 d (figura 10.7) y PF1 + PF2 se denota por 2a, las coordenadas de un punto P en la elipse satisfacen la 2s x + c d2 + y 2 + 2s x - c d2 + y 2 = 2a . Para simplificar esta ecuacin, movemos el segundo radical al lado derecho, elevamos al cuadrado, despejamos el radical que queda y elevamos nuevamente al cuadrado para obtener, y2 x2 (2) + = 1. a2 a2 - c2

y b P(x, y) Foco F1( c, 0) Foco 0 Centro F2(c, 0) x

a

Como PF1 + PF2 es mayor que la longitud F1 F2 (la desigualdad del tringulo para el tringulo PF1 F2), el nmero 2a es mayor que 2c. En consecuencia, a 7 c, y el nmero a 2 - c 2 en la ecuacin (2) es positivo. Los pasos algebraicos que conducen a la ecuacin (2) pueden revertirse para demostrar que cada punto P cuyas coordenadas satisfacen una ecuacin de esta forma, con 0 6 c 6 a tambin satisface la ecuacin PF1 + PF2 = 2a . Por lo tanto, un punto est en la elipse si y slo si sus coordenadas satisfacen la ecuacin (2). S b = 2a 2 - c 2 , entonces a - c = b y la ecuacin (2) se puede escribir as: y2 x2 + 2 = 1. 2 a b2 2 2

FIGURA 10.7 La elipse definida por la ecuacin PF1 + PF2 = 2a es la grfica de la ecuacin s x 2> a 2 d + s y 2> b 2 d = 1, en donde b 2 = a 2 - c 2.

(3)

(4)

10.1 Secciones cnicas y ecuaciones cuadrticas

689

La ecuacin (4) muestra que esta elipse es simtrica con respecto al origen y con respecto a ambos ejes coordenados. Est dentro del rectngulo acotado por las rectas x = ; a y y = ; b . La elipse cruza los ejes en los puntos s ; a, 0 d y s 0, ; b d . Las tangentes en estos puntos son perpendiculares a los ejes, ya que dy b 2x = - 2 dx a yObtenida de la ecuacin (4) por medio de la derivacin implcita

es cero si x = 0 e infinita si y = 0. El eje mayor de la elipse en la ecuacin (4) es el segmento de recta de longitud 2a que une los puntos s ; a, 0 d . El eje menor es el segmento de recta de longitud 2b que une los puntos s 0, ; b d . El propio nmero a es el semieje mayor y el nmero b es el semieje menor. El nmero c, obtenido a partir de la ecuacin (3) como c = 2a 2 - b 2 , es la distancia entre el centro y el foco de la elipse.x2 16 Vrtice (4, 0) y2 9 y 1 (0, 3) Vrtice (4, 0) Foco 0 (7, 0) Centro (0, 3) x

EJEMPLO 2La elipse

Eje mayor horizontaly2 x2 + = 1 16 9

Foco (7, 0)

(5)

(figura 10.8) tiene Semieje mayor: a = 216 = 4, Semieje menor: b = 29 = 3

FIGURA 10.8 Una elipse con su eje mayor horizontal (ejemplo 2).

Distancia entre el centro y el foco: Focos: Vrtices: Centro: s ; c, 0 d =

c = 216 - 9 = 27

A ; 27, 0 B

s ; a, 0 d = s ; 4, 0 d s 0, 0 d .

EJEMPLO 3y x2 9 y2 16 1 Foco (0, 4) Vrtice

Eje mayor verticaly2 x2 + = 1, 9 16

La elipse(6)

(0, 7 ) (3, 0) x

que se obtiene al intercambiar x y y en la ecuacin (5), tiene su eje mayor vertical en lugar de horizontal (figura 10.9). Con a 2 tambin igual a 16 y b 2 igual a 9, tenemos Semieje mayor: a = 216 = 4, Semieje menor: b = 29 = 3

(3, 0) Centro 0 (0, 7) Foco

Distancia entre el centro y el foco: Focos: s 0, ; c d = A 0, ; 27 B s 0, ; a d = s 0, ; 4 d s 0, 0 d .

c = 216 - 9 = 27

Vrtice (0, 4)

Vrtices: Centro:

FIGURA 10.9 Una elipse con su eje mayor vertical.

No hay razn para confundirse al analizar las ecuaciones (5) y (6). Basta con que determinemos las intersecciones con los ejes coordenados; de esa manera sabemos cul es la direccin del eje mayor, ya que es el de mayor longitud de los dos ejes. El centro siempre est en el origen y los focos y vrtices estn en el eje mayor.

690

Captulo 10: Secciones cnicas y coordenadas polares

Ecuaciones en forma cannica para elipses con centro en el origen y2 x2 + = 1 sa 7 bd a2 b2 Distancia entre el centro y el foco: Focos: s ; c, 0 d Vrtices: s ; a, 0 d y2 x2 Focos en el eje x: + 2 = 1 sa 7 bd 2 b a Distancia entre el centro y el foco: Focos: s 0, ; c d Vrtices: s 0, ; a d Focos en el eje x:

c = 2a2 - b2

c = 2a2 - b2

En cada caso, a es el semieje mayor y b es el semieje menor.

Hiprbolas

DEFINICIONES Hiprbola, focos Una hiprbola es el conjunto de puntos en un plano cuyas distancias a dos puntos fijos del plano tienen diferencia constante. Los dos puntos fijos son los focos de la hiprbola.

y x a xa P( x, y) x F2(c, 0)

Si los focos estn en F1s - c, 0 d y F2s c, 0 d (figura 10.10) y la diferencia constante es 2a, un punto (x, y) est en la hiprbola si y slo si 2s x + c d2 + y 2 - 2s x - c d2 + y 2 = ; 2a .(7)

Para simplificar esta ecuacin, movemos el segundo radical al lado derecho, elevamos al cuadrado, despejamos el radical que queda y elevamos otra vez al cuadrado para obtener y x2 + 2 = 1. 2 a a - c22

F1( c, 0)

0

(8)

FIGURA 10.10 Las hiprbolas tienen dos ramas. Para puntos en la rama de la derecha de la hiprbola que se muestra, PF1 - PF2 = 2a . Para puntos en la rama de la izquierda, PF2 - PF1 = 2a . Entonces hacemos b = 2c 2 - a 2.

Hasta aqu, esta ecuacin se parece a la de la elipse. Pero ahora a 2 - c 2 es negativo, ya que 2a, siendo la diferencia de dos lados del tringulo PF1 F2 , es menor que 2c, el tercer lado. Los pasos algebraicos que conducen a la ecuacin (8) se pueden revertir para demostrar que todo punto P cuyas coordenadas satisfacen una ecuacin de esta forma, con 0 6 a 6 c tambin satisfacen la ecuacin (7). Por lo tanto, un punto est en la hiprbola si y slo si sus coordenadas satisfacen la ecuacin (8). Si denotamos por b a la raz cuadrada positiva de c 2 - a 2 , b = 2c 2 - a 2 , entonces a 2 - c 2 = - b 2 y la ecuacin (8) se escribira en forma compacta as: y2 x2 = 1. a2 b2(10) (9)

10.1 Secciones cnicas y ecuaciones cuadrticas

691

Las diferencias entre la ecuacin (10) y la ecuacin para una elipse (ecuacin 4) son el signo menos y la nueva relacin c2 = a2 + b2.De la ecuacin (9)

Al igual que la elipse, la hiprbola es simtrica con respecto al origen y con respecto de los ejes coordenados. Cruza el eje x en los puntos s ; a, 0 d . Las tangentes en estos puntos son verticales, ya que dy b 2x = 2 dx a yObtenida de la ecuacin (10) por medio de la derivacin implcita

es infinita cuando y = 0. La hiprbola no tiene intercepciones con el eje y; de hecho, ninguna parte de la curva se encuentra entre las rectas x = - a y x = a .

Vrtices Foco Centro Eje focal Foco

DEFINICIONES Eje focal, centro, vrtices La recta que pasa por los focos de una hiprbola es el eje focal. El punto que est en el eje focal a la mitad de la distancia entre los focos es el centro de la hiprbola. Los puntos en donde el eje focal y la hiprbola se cruzan son los vrtices (figura 10.11).

FIGURA 10.11 una hiprbola.

Puntos en el eje focal de

Asntotas y grficas de hiprbolasSi despejamos y en la ecuacin (10), obtenemos y2 = b2 a = o, tomando races cuadradas, b y = ;a x2 2

x2 - 1b a2

b2 2 a2 x a 1 b a2 x2

B

1 -

a2 . x2

Cuando x : ; q , el factor 21 - a > x se aproxima a 1, y el factor ; s b> a dx es dominante. As, las rectas b y = ;a x son las dos asntotas de la hiprbola definida por la ecuacin (10). Las asntotas proporcionan la gua que necesitamos para graficar las hiprbolas. La manera ms rpida para determinar las ecuaciones de las asntotas consiste en reemplazar el 1 en la ecuacin (10) por 0 y despejar y en la nueva ecuacin: y2 y2 x2 x2 b = 1 : = 0 : y = ; a x. 2 2 2 2 a b a b ('')''* ('')''* (')'*hiprbola 0 por 1 asntotas

692

Captulo 10: Secciones cnicas y coordenadas polares

Ecuaciones en forma cannica para hiprbolas con centro en el origen x2 = 1 a b2 Distancia entre el centro y el foco: c = 2a2 + b2 Distancia entre el centro y el foco: c = 2a2 + b2 Focos: s 0, ; c d Focos: s ; c, 0 d Vrtices: s 0, ; a d Vrtices: s ; a, 0 d 2 2 y2 y x2 a x b Asntotas: = 0 o y = ; x Asntotas: = 0 o y = ; x 2 2 a 2 2 b a b a b Observe la diferencia en las ecuaciones de las asntotas (en la primera b> a, en la segunda a> b). Focos en el eje x: Focos en el eje y:2

y2 x2 = 1 a2 b2

y2

-

EJEMPLO 4La ecuaciny y 5 x 2 y 5 x 2 y2 x2 1 4 5 F(3, 0) 2 F(3, 0) 2 x

Focos en el eje xy2 x2 = 1 5 4

(11)

es la ecuacin (10) con a 2 = 4 y b 2 = 5 (figura 10.12). Tenemos Distancia entre el centro y el foco: Focos: Centro: Asntotas: s ; c, 0 d = s ; 3, 0 d, s 0, 0 d y2 x2 = 0 5 4 o y = ; 25 x. 2 c = 2a2 + b2 = 24 + 5 = 3 s ; a, 0 d = s ; 2, 0 d

Vrtices:

FIGURA 10.12 La hiprbola del ejemplo 4 y sus asntotas.

EJEMPLO 5La hiprbola

Focos en el eje yy2 x2 = 1, 5 4

y y2 x2 1 4 5 F(0, 3) y 2 x 5 2 2 F(0, 3) y 2 x 5

que se obtiene al intercambiar x y y en la ecuacin (11), tiene sus vrtices en el eje y en lugar de tenerlos en el eje x (figura 10.13). Con a 2 tambin igual a 4 y b 2 igual a 5, tenemos Distancia entre el centro y el foco:x

c = 2a2 + b2 = 24 + 5 = 3 s 0, ; a d = s 0, ; 2 d

Focos:

s 0, ; c d = s 0, ; 3 d, y2 x2 = 0 5 4

Vrtices:

Centro: (0, 0) Asntotas: o y = ; 2 x. 25

FIGURA 10.13 La hiprbola del ejemplo 5 y sus asntotas.

Propiedades reflectorasLas aplicaciones principales de las parbolas incluyen su uso como reflectores de luz y ondas de radio. Los rayos originados en el foco de la parbola se reflejan hacia afuera de la parbola, en lneas paralelas al eje de la parbola (figura 10.14 y ejercicio 90). An ms, el tiempo que tarda en llegar cualquier rayo del foco a una recta paralela a la directriz de la

10.1 Secciones cnicas y ecuaciones cuadrticas

693

Reflector parablico de ondas de radionte cide o in i d a e r l foco e les d sea tran en s a n L e c on se c

s

F1

F2 Reflector parablico de luz

Luz reflejada paralela al eje

FIGURA 10.15 Un espejo elptico (mostrado de perfil) refleja la luz de un foco hacia el otro.

Filamento (punto fuente) en el foco

FANAL RADIOTELESCOPIO

FH FP

Hiprbola

FIGURA 10.14 Reflectores parablicos pueden generar un rayo de luz paralelo al eje de la parbola desde una fuente situada en el foco, o recibir los rayos paralelos al eje y concentrarlos en el foco.

FE FH

FE

Elipse

Parbola Espejo primario

FIGURA 10.16 Dibujo esquemtico de un telescopio reflector.

parbola (y por lo tanto perpendicular a su eje) es el mismo para cada uno de los rayos. Estas propiedades se utilizan en linternas, faros de automviles, reflectores de proyectores y en antenas de transmisin de microondas. Si una elipse se hace girar alrededor de su eje mayor para generar una superficie (denominada elipsoide) y el interior es cromado para producir un espejo, la luz de un foco ser reflejada hacia el otro foco (figura 10.15). Los elipsoides reflejan el sonido de la misma manera y esta propiedad se utiliza para construir galeras de susurros, habitaciones en las que una persona parada en un foco puede escuchar un susurro emitido desde el otro foco. (El Saln de los Estatutos del Capitolio sede del Congreso de Estados Unidos, en Washington es una galera de susurros). La luz que se dirige hacia uno de los focos de un espejo hiperblico se refleja hacia el otro foco. Esta propiedad de las hiprbolas se combina con las propiedades reflectoras de las parbolas y las elipses en el diseo de algunos telescopios modernos. En la figura 10.16 la luz estelar se refleja en un espejo parablico primario hacia el foco del espejo FP . Luego se refleja, por medio de un pequeo espejo hiperblico cuyo foco es FH = FP , hacia el segundo foco de la hiprbola FE = FH . Como este foco es compartido por una elipse, la luz se refleja por el espejo elptico hacia el segundo foco de la elipse, donde un observador pueda verla.

EJERCICIOS 10.1Identificacin de grficasHaga corresponder las parbolas de los ejercicios 1 a 4 con las ecuaciones siguientes: x = 2y,2

3.

y

4.

y

x

x = - 6y,

2

y = 8x,

2

y = - 4x .x y

2

Luego determine el foco y la directriz de cada parbola. 1.y

2.

Haga corresponder cada seccin cnica de los ejercicios 5 a 8 con una de estas ecuaciones:x

x

y2 x2 + = 1, 4 9 y2 - x2 = 1, 4

x2 + y2 = 1, 2 y2 x2 = 1. 4 9

694

Captulo 10: Secciones cnicas y coordenadas polares 29. y 2 - x 2 = 8 31. 8x 2 - 2y 2 = 16 33. 8y 2 - 2x 2 = 16 30. y 2 - x 2 = 4 32. y 2 - 3x 2 = 3 34. 64x 2 - 36y 2 = 2304

Despus determine los focos y vrtices de cada seccin cnica. Si la seccin cnica es una hiprbola, determine tambin sus asntotas. 5.y

6.

y

x

x

En los ejercicios 35 a 38 se proporciona informacin respecto de los focos, vrtices y asntotas de hiprbolas con centro en el origen del plano xy. En cada caso, y con base en la informacin dada, determine la ecuacin en forma cannica de la hiprbola. 35. Focos:

A 0, ; 22 Bs ; 3, 0 d

36. Focos: s ; 2, 0 d Asntotas: y = ; 1 23 x

Asntotas: 37. Vrtices: 7.y

y = ;x

38. Vrtices: s 0, ; 2 d Asntotas: 1 y = ; x 2

8.y

Asntotas:

4 y = ; x 3

Desplazamiento de secciones cnicasx x

39. La parbola y 2 = 8x se desplaza 2 unidades hacia abajo y 1 unidad a la derecha para generar la parbola s y + 2 d2 8s x - 1 d . a. Determine el vrtice, el foco y la directriz de la nueva parbola.

ParbolasEn los ejercicios 9 a 16 se dan ecuaciones de parbolas. Determine el foco y la directriz de cada parbola. Luego haga un bosquejo de la parbola, incluyendo su foco y directriz. 9. y 2 = 12x 12. y 2 = - 2x 15. x = - 3y2

b. Trace los nuevos vrtice, foco y directriz y bosqueje la parbola. 40. La parbola x 2 = - 4y se desplaza 1 unidad hacia la izquierda y 3 unidades hacia arriba para generar la parbola s x + 1 d2 = - 4s y - 3 d . a. Determine el vrtice, foco y directriz de la nueva parbola. b. Trace los nuevos vrtice, foco y directriz y bosqueje la parbola.

10. x 2 = 6y 13. y = 4x 2 16. x = 2y2

11. x 2 = - 8y 14. y = - 8x 2

ElipsesEn los ejercicios 17 a 24 se dan ecuaciones de elipses. Ponga cada ecuacin en la forma cannica. Luego haga un bosquejo de la elipse, incluyendo sus focos. 17. 16x 2 + 25y 2 = 400 19. 2x 2 + y 2 = 2 21. 3x + 2y = 6 23. 6x 2 + 9y 2 = 542 2

41. La elipse s x 2> 16 d + s y 2> 9 d = 1 se desplaza 4 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba para generar la elipse s y - 3 d2 s x - 4 d2 + = 1. 16 9 a. Determine los focos, los vrtices y el centro de la nueva elipse. 42. La elipse s x 2> 9 d + s y 2> 25 d = 1 se desplaza 3 unidades hacia la izquierda y 2 unidades hacia abajo para generar la elipse s y + 2 d2 s x + 3 d2 + = 1. 9 25 a. Determine los focos, los vrtices y el centro de la nueva elipse. 43. La hiprbola s x 2> 16 d - s y 2> 9 d = 1 se desplaza 2 unidades hacia la derecha para generar la hiprbola y2 s x - 2 d2 = 1. 16 9 a. Determine el centro, los focos, los vrtices y las asntotas de la nueva hiprbola. b. Trace los nuevos focos, vrtices y centro y bosqueje la elipse. b. Trace los nuevos focos, vrtices y bosqueje la elipse.

18. 7x 2 + 16y 2 = 112 20. 2x 2 + y 2 = 4 22. 9x 2 + 10y 2 = 90 24. 169x 2 + 25y 2 = 4225

Los ejercicios 25 y 26 proporcionan informacin acerca de los focos y vrtices de elipses con centro en el origen del plano xy. En cada caso determine la ecuacin en la forma cannica a partir de la informacin dada. 25. Focos: Vrtices:

A ; 22, 0 Bs ; 2, 0 d

26. Focos:

s 0, ; 4 d

Vrtices: s 0, ; 5 d

HiprbolasEn los ejercicios 27 a 34 se dan ecuaciones de hiprbolas. Ponga cada ecuacin en la forma cannica y determine las asntotas de las hiprbolas. Luego haga un bosquejo de la hiprbola, incluyendo sus asntotas y focos. 27. x 2 - y 2 = 1 28. 9x 2 - 16y 2 = 144

10.1 Secciones cnicas y ecuaciones cuadrticas b. Trace los nuevos centro, focos, vrtices y asntotas y bosqueje la hiprbola. 64. 4x 2 + y 2 + 8x - 2y = - 1 65. x 2 - y 2 - 2x + 4y = 4 67. 2x 2 - y 2 + 6y = 3 66. x 2 - y 2 + 4x - 6y = 6 68. y 2 - 4x 2 + 16x = 24

695

44. La hiprbola s y 2> 4 d - s x 2> 5 d = 1 se desplaza 2 unidades hacia abajo para generar la hiprbola s y + 2 d2 x2 = 1. 5 4 a. Determine el centro, los focos, los vrtices y las asntotas de la nueva hiprbola. b. Trace los nuevos centro, focos, vrtices y asntotas y bosqueje la hiprbola. Los ejercicios 45 a 48 proporcionan ecuaciones para parbolas, e indican cuntas unidades hacia arriba o hacia abajo y hacia la derecha o hacia la izquierda se desplaza cada parbola. Determine una ecuacin para la nueva parbola y determine los nuevos vrtice, foco y directriz. 45. y2 = 4x, izquierda 2, abajo 3 46. y2 = - 12x, derecha 4, arriba 3 47. x2 = 8y, derecha 1 , abajo 7 48. x2 = 6y, izquierda 3 , abajo 2

DesigualdadesEn los ejercicios 69 a 74, bosqueje las regiones en el plano xy cuyas coordenadas satisfacen las desigualdades o pares de desigualdades dadas. 69. 9x 2 + 16y 2 144 70. x2 + y2 1 71. x2 + 4y2 42 2

y y2

4x2 + y2 4 4x2 + 9y2 36 74. x 2 - y 2 1

72. s x + y - 4 ds x + 9y 2 - 9 d 0 73. 4y 2 - x 2 4

Teora y ejemplos75. Frmula de Arqumedes para calcular el volumen de un slido parablico La regin acotada por la parbola y = s 4h> b 2 dx 2 y la recta y = h se hace girar alrededor del eje y para generar el slido que se muestra a continuacin. Demuestre que el volumen del slido es 3> 2 del volumen del cono correspondiente.y h b , h 2

Los ejercicios 49 a 52 proporcionan ecuaciones para elipses, e indican cuntas unidades hacia arriba o hacia abajo y hacia la derecha o hacia la izquierda se desplaza cada elipse. Determine una ecuacin para la nueva elipse y determine los nuevos focos, vrtices y centro. 49. y2 x2 + = 1, 6 9 izquierda 2, abajo 1 derecha 3, arriba 4 derecha 2, abajo 3

x2 50. + y 2 = 1, 2 51. 52. y x2 + = 1, 3 22

y2 x2 + = 1, izquierda 4, abajo 5 16 25

y 4h x2 b2

Los ejercicios 53 a 56 proporcionan ecuaciones para hiprbolas, e indican cuntas unidades hacia arriba o hacia abajo y hacia la derecha o hacia la izquierda se desplaza cada hiprbola. Determine una ecuacin para la nueva hiprbola y determine los nuevos centro, focos, vrtices y asntotas. 53. 54. y2 x2 = 1, 5 4 derecha 2, arriba 2

0 b 2 x

y2 x2 = 1, izquierda 2, abajo 1 16 9 izquierda1, abajo 1

55. y 2 - x 2 = 1,

76. Cables de puentes colgantes describen parbolas El cable del puente colgante que se muestra a continuacin soporta una carga uniforme de w libras por pie horizontal. Puede demostrarse que si H es la tensin horizontal del cable en el origen, la curva del cable satisface la ecuacin dy w = x. H dx Para demostrar que el cable cuelga describiendo una parbola, resuelva esta ecuacin diferencial sujeta a la condicin inicial y = 0 cuando x = 0 .y Puente colgante x 0

y2 - x 2 = 1, derecha 1, arriba 3 56. 3 Determine el centro, los focos, los vrtices, las asntotas y el radio, cuando corresponda, de las secciones cnicas de los ejercicios 57 a 68. 57. x 2 + 4x + y 2 = 12 58. 2x 2 + 2y 2 - 28x + 12y + 114 = 0 59. x + 2x + 4y - 3 = 0 61. x + 5y + 4x = 1 63. x 2 + 2y 2 - 2x - 4y = - 12 2 2 2

60. y - 4y - 8x - 12 = 0 62. 9x 2 + 6y 2 + 36y = 0

696

Captulo 10: Secciones cnicas y coordenadas polares parecen describir una hiprbola. Realmente es as? Para determinarlo podemos modelar las ondas con circunferencias con centros en A y B.P (t) rA(t) rB (t) A B

77. Determine la ecuacin para la circunferencia que pasa por los puntos (1, 0), (0, 1) y (2, 2). 78. Determine la ecuacin para la circunferencia que pasa por los puntos (2, 3), (3, 2) y s - 4, 3 d . 79. Determine la ecuacin para la circunferencia que tiene centro en s - 2, 1 d y que pasa por el punto (1, 3). El punto (1.1, 2.8) se encuentra dentro, fuera o sobre la circunferencia? 80. Determine ecuaciones para las tangentes a la circunferencia (x 2)2 + s y - 1 d2 = 5 en los puntos donde la circunferencia cruza los ejes coordenados. (Sugerencia: Utilice derivacin implcita). 81. Si se dibujan rectas paralelas a los ejes coordenados, de manera que pasen por un punto P en la parbola y 2 = kx, k 7 0 , la parbola divide la regin rectangular acotada por estas rectas y los ejes coordenados en dos regiones ms pequeas, A y B. a. Si las regiones A y B se hacen girar alrededor del eje y, demuestre que generan slidos cuyos volmenes tienen razn 4:1. b. Cul es la razn de los volmenes generados al hacer girar las regiones alrededor del eje x?

En el instante t, el punto P est a rA s t d unidades de A y a rBs t d unidades de B. Como los radios de las circunferencias aumentan a razn constante, la velocidad a la que estn viajando las ondas es drA drB = . dt dt Concluya de sta ecuacin que rA - rB tiene un valor constante, de modo que P debe estar en una hiprbola con focos en A y B.

y y2 A B 0 x kx P

82. Demuestre que las tangentes a la curva y 2 = 4px desde cualquier punto en la recta x = - p son perpendiculares. 83. Determine las dimensiones del rectngulo con mayor rea que puede inscribirse en la elipse x 2 + 4y 2 = 4 si sus lados son paralelos a los ejes coordenados. Cul es el rea del rectngulo? 84. Determine el volumen del slido generado al hacer girar la regin acotada por la elipse 9x 2 + 4y 2 = 36 alrededor (a) del eje x, (b) del eje y. 85. La regin triangular en el primer cuadrante, acotada por el eje x, la recta x = 4 , y la hiprbola 9x 2 - 4y 2 = 36 se hace girar alrededor del eje x para generar un slido. Determine el volumen del slido. 86. La regin acotada a la izquierda por el eje y, a la derecha por la hiprbola x 2 - y 2 = 1 , arriba y abajo por las rectas y = ; 3 se hace girar alrededor del eje y para generar un slido. Determine el volumen del slido. 87. Determine el centroide de la regin acotada por abajo por el eje x y por arriba por la elipse s x 2> 9 d + s y 2> 16 d = 1 .2

90. Propiedad reflectora de las parbolas La figura siguiente muestra un punto tpico Ps x0 , y0 d en la parbola y 2 = 4px . La recta L es tangente a la parbola en P. El foco de la parbola est en F(p, 0). El rayo y L , que se extiende a partir de P hacia la derecha, es paralelo al eje x. Para comprobar que la luz que va de F a P se reflejar a lo largo de y L , demostramos que b es igual a a . Establezca esta igualdad realizando los pasos siguientes. b. Demuestre que tan f = y0> s x0 - p d . c. Utilice la identidad tan a = tan f - tan b 1 + tan f tan b a. Demuestre que tan b = 2p> y0 .

88. La curva y = 2x + 1, 0 x 22 , que es parte de la rama superior de la hiprbola y 2 - x 2 = 1 , se hace girar alrededor del eje x para generar una superficie. Determine el rea de la superficie. 89. Las ondas circulares de la fotografa siguiente se produjeron al tocar la superficie del agua de un tanque, primero en A y luego en B. Conforme las ondas se expanden, sus puntos de interseccin

Como a y b son agudos, tan b = tan a implica que b = a .

para demostrar que tan a = 2p> y0 .

10.2 Clasificacin de secciones cnicas por su excentricidad

697

y L P(x 0 , y0) 0 F( p, 0) y0 x L'

92. Construccin de una hiprbola Los diagramas siguientes aparecieron (sin rtulos) en Ernest J. Eckert, Constructions Without Words, Mathematics Magazine, vol. 66, nmero 2, abril de 1993, pgina 113. Explique las construcciones determinando las coordenadas del punto P.y y

y 2 4 px

1 A P

1 C A P B

91. Cmo utiliz el astrnomo Kepler una cuerda para dibujar parbolas El mtodo de Kepler para dibujar una parbola (con herramientas ms modernas), requiere de una regla T, de una cuerda con la misma longitud de la regla T y una mesa cuyo borde pueda servir como la directriz de la parbola. Fije un extremo de la cuerda en el punto en donde quiere que est el foco y el otro extremo en la punta superior de la regla T. Despus, manteniendo tensa la cuerda contra la regla T con un lpiz, deslice la regla T a lo largo del borde de la mesa. El lpiz trazar una parbola a medida que la regla T se mueva. Por qu?ACu erd a

O

D (1, 0) (a)

x

O

D (1, 0) (b)

x

93. Ancho de una parbola en el foco Demuestre que el nmero 4p es el ancho de la parbola x 2 = 4py s p 7 0 d en el foco, comprobando que la recta y = p corta a la parbola en los puntos que estn separados 4p unidades. 94. Asntotas de s x 2> a2 d - s y 2> b2 d = 1 Demuestre que la diss x 2> a 2 d - s y 2> b 2 d = 1 tiende a 0, comprobando quex: q

tancia vertical entre la recta y = s b> a dx y la mitad superior de

P

la rama derecha y = s b> a d 2x 2 - a 2 de la hiprbola s x2> a2 d b b b lm a a x - a 2x2 - a2 b = a lm A x - 2x2 - a2 B = 0. x: q

Foco

F

B Directriz

Resultados anlogos se cumplen para las partes restantes de la hiprbola y las rectas y = ; s b> a dx .

10.2

Clasificacin de secciones cnicas por su excentricidadA continuacin demostramos cmo asociar a cada seccin cnica un nmero llamado la excentricidad de la cnica. La excentricidad revela el tipo de seccin cnica (circunferencia, elipse, parbola o hiprbola) y, en el caso de elipses e hiprbolas, describe las proporcines generales de la seccin cnica.

ExcentricidadAunque la distancia entre el centro y el foco, c, no aparece en la ecuacin y x2 + 2 = 1, sa 7 bd a2 b de una elipse, an podemos determinar c a partir de la ecuacin c = 2a 2 - b 2 . Si fijamos a y variamos c sobre el intervalo 0 c a , las elipses resultantes variarn en forma (figura 10.17). Si c = 0, son circunferencias (pues a = b) y se aplanan cuando c aumenta. Si c = a , los focos y los vrtices se traslapan y la elipse degenera en un segmento de recta. Utilizamos la razn de c a a para describir las diferentes formas que puede tomar la elipse. A esta razn se le llama excentricidad de la elipse.2

698

Captulo 10: Secciones cnicas y coordenadas polares

c0

e0 F1 F1 F2

c 4a 5

e 4 5 F2

F1

ca

e1

F2

FIGURA 10.17 La elipse cambia de una circunferencia a un segmento de recta cuando c aumenta de 0 a a.

DEFINICIN Excentricidad de una elipse La excentricidad de la elipse s x 2> a 2 d + s y 2> b 2 d = 1 s a 7 b d es2a 2 - b 2 c . e = a = aTABLA 10.2 Excentricidades de

las rbitas planetarias Mercurio Venus Tierra Marte Jpiter 0.21 0.01 0.02 0.09 0.05 Saturno Urano Neptuno Plutn 0.06 0.05 0.01 0.25

Los planetas del sistema solar giran alrededor del Sol en rbitas (aproximadamente) elpticas, con el Sol en uno de los focos. La mayora de las rbitas son casi circulares, como sealan las excentricidades listadas en la tabla 10.2. Plutn tiene la rbita ms excntrica, con e = 0.25, seguido de Mercurio, con e = 0.21. Otros miembros del sistema solar tienen rbitas todava ms excntricas. caro, un asteroide de aproximadamente 1 milla de ancho que da una vuelta alrededor del sol cada 409 das terrestres, tiene una rbita con excentricidad de 0.83 (figura 10.18).

EJEMPLO 1BIOGRAFA HISTRICAEdmund Halley (16561742)

Cometa Halley

La rbita del cometa Halley es una elipse de 36.18 unidades astronmicas (U.A.) de largo por 9.12 U.A. de ancho. (Una unidad astronmica equivale a 149,597,870 km, el semieje mayor de la rbita terrestre). Su excentricidad es e = 2s 36.18> 2 d2 - s 9.12> 2 d2 2s 18.09 d2 - s 4.56 d2 2a 2 - b 2 = L 0.97. = a 18.09 s 1> 2 ds 36.18 d

Marte Tierra Venus Mercurio

Mientras que una parbola tiene un foco y una directriz, cada elipse tiene dos focos y dos directrices. stas son las rectas perpendiculares al eje mayor a distancias es ; a> e del centro. La parbola tiene la propiedad de que PF = 1 # PD(1)

Sol

para cualquier punto P en ella, donde F es el foco y D es el punto ms cercano a P en la directriz. Para una elipse, puede demostrarse que las ecuaciones que reemplazan a la ecuacin (1) son PF1 = e # PD1, PF2 = e # PD2 .(2)

caro

FIGURA 10.18 La rbita del asteroide caro es muy excntrica. La rbita de la Tierra es casi circular, a tal grado que sus focos estn dentro del Sol.

Aqu, e es la excentricidad, P es cualquier punto en la elipse, F1 y F2 son los focos, y D1 y D2 son los puntos en las directrices ms cercanos a P (figura 10.19). En ambas ecuaciones (2) la directriz y el foco deben corresponder; esto es, si utilizamos la distancia de P a F1 , tambin debemos usar la distancia de P a la directriz en el mismo extremo de la elipse. La directriz x = - a> e corresponde a to F1s - c, 0 d , y la directriz x = a> e corresponde a F2s c, 0 d .

La excentricidad de una hiprbola tambin es e = c/a, slo que en este caso c es igual a 2a 2 + b 2 en lugar de 2a 2 - b 2 . En contraste con la excentricidad de una elipse, la excentricidad de una hiprbola siempre es mayor que 1.

10.2 Clasificacin de secciones cnicas por su excentricidady Directriz 1 x a e b Directriz 2 x a e

699

DEFINICIN Excentricidad de una hiprbola La excentricidad de la hiprbola s x 2> a 2 d - s y 2> b 2 d = 1 esx D2

F1( c, 0) 0 D1 P(x, y)

F2(c, 0)

2a 2 + b 2 c . e = a = a

b c ae a

a e

Tanto en la elipse como en la hiprbola, la excentricidad es la razn de la distancia entre los focos y la distancia entre los vrtices (ya que c> a = 2c> 2a).

FIGURA 10.19 Focos y directrices de la elipse s x 2> a 2 d + s y 2> b 2 d = 1 . La directriz 1 corresponde al foco F1 , y la directriz 2 al foco F2 .

Excentricidad =

distancia entre los focos distancia entre los vrtices

En una elipse, los focos estn ms cercanos entre s que los vrtices y la razn es menor que 1. En una hiprbola, los focos estn ms alejados entre s que los vrtices y la razn es mayor que 1.

EJEMPLO 2

Determinacin de los vrtices de una elipse

Localizar los vrtices de una elipse de excentricidad 0.8 cuyos focos estn en los puntos s 0, ; 7 d .Solucin

Como e = c> a , los vrtices son los puntos s 0, ; a d , donde 7 c = 8.75, a = e = 0.8

o s 0, ; 8.75 d .

EJEMPLO 3Directriz 1 x a e D1 y Directriz 2 x a e D2 P(x, y)

Excentricidad de una hiprbola

Determinar la excentricidad de la hiprbola 9x 2 - 16y 2 = 144.Solucin

Dividimos ambos lados de la ecuacin de la hiprbola entre 144 para ponerla en forma cannica, con lo que obtenemos 16y2 9x2 = 1 144 144 y y2 x2 = 1. 16 9

F1( c, 0)

0 a e a c ae

x F2(c, 0)

Con a 2 = 16 y b 2 = 9, determinamos que c = 2a 2 + b 2 = 216 + 9 = 5, as 5 c e = a = . 4 Al igual que con la elipse, podemos demostrar que las rectas x = ; a> e actan como directrices para la hiprbola, y que PF1 = e # PD1 y PF2 = e # PD2 .(3)

FIGURA 10.20 Focos y directrices de la hiprbola s x 2> a 2 d - s y 2> b 2 d = 1 . No importa en donde est P en la hiprbola, PF1 = e # PD1 y PF2 = e # PD2 .

Aqu P es cualquier punto en la hiprbola, F1 y F2 son los focos y D1 y D2 son los puntos ms cercanos a P en las directrices (figura 10.20). Para completar el cuadro, definimos la excentricidad de la parbola como e = 1. Entonces, las ecuaciones (1) a (3) tienen la forma comn PF = e # PD .

700

Captulo 10: Secciones cnicas y coordenadas polares

DEFINICIN Excentricidad de una parbola La excentricidad de una parbola es e = 1.

La ecuacin foco-directriz PF = e # PD unifica la parbola, la elipse y la hiprbola en el siguiente sentido: suponga que la distancia PF entre un punto P y un punto fijo F (el foco) es un mltiplo constante de su distancia a una recta fija (la directriz). Es decir, suponga que

PF = e # PD ,

(4)

donde e es la constante de proporcionalidad. Entonces, la trayectoria descrita por P es (a) una parbola si e = 1, (b) una elipse de excentricidad e si e 6 1, y (c) una hiprbola de excentricidad e si e 7 1. No hay coordenadas en la ecuacin (4), y cuando tratamos de expresarla con coordenadas el resultado vara dependiendo del tamao de e. Al menos esto es lo que sucede en coordenadas cartesianas. Sin embargo, como veremos en la seccin 10.8, en coordenadas polares la ecuacin PF = e # PD se traduce en una sola ecuacin sin importar el valor de e, una ecuacin tan sencilla, que es la que han elegido utilizar los astrnomos y cientficos espaciales durante casi 300 aos. Dado el foco y la directriz correspondiente de una hiprbola con centro en el origen y con foco en el eje x, podemos utilizar las dimensiones que se muestran en la figura 10.20 para determinar e. Al conocer e, podemos deducir la ecuacin cartesiana de la hiprbola a partir de la ecuacin PF = e # PD , como en el ejemplo siguiente. Podemos determinar las ecuaciones de elipses con centro en el origen y con focos en el eje x de una manera similar, por medio de las dimensiones que se muestran en la figura 10.19.

EJEMPLO 4

Ecuacin cartesiana para una hiprbola

Determinar una ecuacin cartesiana para la hiprbola con centro en el origen, que tiene un foco en (3, 0) y a la recta x = 1 como la directriz correspondiente.Solucin

Primero utilizamos las dimensiones que se muestran en la figura 10.20 para determinar la excentricidad de la hiprbola. El foco es s c, 0 d = s 3, 0 d La directriz es la recta a x = e = 1, as que a = e. por lo que c = 3.

Cuando los combinamos con la ecuacin e = c> a , que define la excentricidad, estos resultados dan 3 c e = a = e, de modo que e2 = 3 y e = 23.

10.2 Clasificacin de secciones cnicas por su excentricidady x1 D(1, y) y2 x2 1 3 6

701

Conocida e, ahora podemos deducir la ecuacin que necesitamos con base en la ecuacin PF = e # PD . En la notacin de la figura 10.21, tenemos PF = e # PD 2s x - 3 d2 + s y - 0 d2 = 23 x - 1 x 2 - 6x + 9 + y 2 = 3s x 2 - 2x + 1 d 2x 2 - y 2 = 6 y2 x2 = 1. 3 6Ecuacin (4) e = 23

P (x, y)

0 1

x F(3, 0)

FIGURA 10.21 ejemplo 4.

Hiprbola y directriz del

EJERCICIOS 10.2ElipsesEn los ejercicios 1 a 8, determine la excentricidad de la elipse. Luego determine y grafique sus focos y directrices. 1. 16x 2 + 25y 2 = 400 3. 2x 2 + y 2 = 2 5. 3x 2 + 2y 2 = 6 7. 6x 2 + 9y 2 = 54 2. 7x 2 + 16y 2 = 112 4. 2x 2 + y 2 = 4 6. 9x 2 + 10y 2 = 90 8. 169x 2 + 25y 2 = 4225 20. Determine una ecuacin para la elipse de excentricidad 2> 3 que tiene la recta x = 9 como una directriz y el punto (4, 0) como el foco correspondiente. 21. Qu valores de las constantes a, b y c hacen que la elipse 4x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 sea tangente al eje x en el origen y pase por el punto s - 1, 2 d ? Cul es la excentricidad de la elipse? 22. Propiedades reflectoras de las elipses Una elipse se hace girar alrededor de su eje mayor para generar un elipsoide. La superficie interna del elipsoide se croma para fabricar un espejo. Demuestre que un rayo de luz que sale de un foco se reflejar hacia el otro foco. Las ondas de sonido tambin siguen estas trayectorias y esta propiedad se utiliza en la construccin de galeras de susurros. (Sugerencia: Coloque la elipse en posicin estndar en el plano xy y demuestre que las lneas que van del punto P en la elipse a los dos focos, forman ngulos congruentes con la tangente a la elipse en P).

En los ejercicios 9 a 12 se dan los focos y las excentricidades de elipses con centro en el origen del plano xy. En cada caso, determine la ecuacin cannica de la elipse. 9. Focos: s 0, ; 3 d Excentricidad: 0.5 11. Vrtices: s 0, ; 70 d Excentricidad: 0.1 10. Focos: s ; 8, 0 d Excentricidad: 0.2 12. Vrtices: s ; 10, 0 d Excentricidad: 0.24

Los ejercicios 13 a 16 dan los focos y las directrices correspondientes de elipses con centro en el origen del plano xy. En cada caso, utilice las dimensiones en la figura 10.19 para determinar la excentricidad de la elipse. Luego determine la ecuacin en forma cannica de la elipse. 13. Foco:

HiprbolasEn los ejercicios 23 a 30, determine la excentricidad de la hiprbola. Luego determine y grafique los focos y directrices de la hiprbola. 23. x 2 - y 2 = 1 25. y 2 - x 2 = 8 27. 8x 2 - 2y 2 = 16 29. 8y - 2x = 162 2

A 25, 0 Bx =

14. Foco: (4, 0) 9 25 Directriz: x = 16. Foco: A - 22, 0 B Directriz: x = - 2 22 16 3

Directriz:

24. 9x 2 - 16y 2 = 144 26. y 2 - x 2 = 4 28. y 2 - 3x 2 = 3 30. 64x 2 - 36y 2 = 2304

15. Foco: s - 4, 0 d Directriz: x = - 16

17. Dibuje una elipse de excentricidad 4> 5. Explique el procedimiento que utiliz. 18. Dibuje a escala la rbita de Plutn (excentricidad 0.25). Explique el procedimiento que utiliz. 19. Los puntos extremos de los ejes mayor y menor de una elipse son (1, 1), (3, 4), (1, 7) y s - 1, 4 d . Haga un bosquejo de la elipse, proporcione su ecuacin en forma cannica, y determine sus focos, excentricidad y directrices.

En los ejercicios 31 a 34 se dan las excentricidades y los vrtices o los focos de hiprbolas con centro en el origen del plano xy. En cada caso, determine la ecuacin en forma cannica de la hiprbola. 31. Excentricidad: 3 Vrtices: s 0, ; 1 d 33. Excentricidad: 3 Focos: s ; 3, 0 d 32. Excentricidad: 2 Vrtices: s ; 2, 0 d 34. Excentricidad: 1.25 Focos: s 0, ; 5 d

702

Captulo 10: Secciones cnicas y coordenadas polaresy P(x, y)

En los ejercicios 35 a 38 se dan los focos y las directrices correspondientes de hiprbolas con centro en el origen del plano xy. En cada caso, determine la excentricidad de la elipse. Luego determine la ecuacin en forma cannica de la hiprbola. 35. Foco: (4, 0) Directriz: 37. Foco: x = 2 1 x = 2 s - 2, 0 d 36. Foco: Directriz:

A 210, 0 B

x = 22

F1( c, 0)

0

x F2(c, 0)

38. Foco: s - 6, 0 d Directriz: x = -2 42. Una elipse y una hiprbola cofocales Demuestre que una elipse y una hiprbola que tienen los mismos focos A y B, como se muestra en la figura siguiente, se cortan en ngulo recto en sus puntos de interseccin. [Sugerencia: Un rayo de luz que parte del foco A y toca la hiprbola en P, se reflejara en la hiprbola como si viniese directamente desde B (ejercicio 41). El mismo rayo se reflejara desde la elipse para pasar por B (ejercicio 22)].C

Directriz:

39. Una hiprbola de excentricidad 3> 2 tiene un foco en s 1, - 3 d . La directriz correspondiente es la recta y = 2 . Determine una ecuacin para la hiprbola. T 40. El efecto de la excentricidad en la forma de una hiprbola Qu le sucede a la grfica de una hiprbola cuando su excentricidad crece? Para decidirlo, reescriba la ecuacin s x2> a2 d s y2> b2 d = 1 en trminos de a y e en lugar de a y b. Haga la grfica de la hiprbola para varios valores de e y describa sus observaciones. 41. Propiedad reflectora de las hiprbolas Demuestre que, como se ve en la figura siguiente, un rayo de luz dirigido hacia uno de los focos de un espejo hiperblico se refleja hacia el otro foco. (Sugerencia: Compruebe que la tangente a la hiprbola en P bisecta el ngulo que forman los segmentos PF1 y PF2).

P

A

B

10.3

Ecuaciones cuadrticas y rotacionesEn esta seccin examinaremos la grfica en el plano cartesiano de cualquier ecuacin Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0,(1)

y 2 xy 9 P(x, y)

en la que A, B y C no son todas cero, y demostraremos que casi siempre es una seccin cnica. Las excepciones son, entre otras, los casos en los que no existe la grfica o sta consiste de dos rectas paralelas. Por convencin todas las grficas de la ecuacin (1), curvadas o no, se denominan curvas cuadrticas.e Ej cal fo

El trmino con producto cruzadoHabr notado que el trmino Bxy no aparece en las ecuaciones de las secciones cnicas de la seccin 10.1. Esto sucede porque los ejes de las secciones cnicas eran paralelos a (de hecho, coinciden con) los ejes coordenados. Para ver qu sucede cuando no hay paralelismo, escribamos una ecuacin para una hiprbola con a = 3 y focos en F1s - 3, - 3 d y F2s 3, 3 d (figura 10.22). La ecuacin PF1 - PF2 = 2a se convierte en PF1 - PF2 = 2s 3 d = 6 y 2s x + 3 d2 + s y + 3 d2 - 2s x - 3 d2 + s y - 3 d2 = ; 6. Cuando despejamos un radical, elevamos al cuadrado, despejamos el radical que an aparece y volvemos a elevar al cuadrado, la ecuacin se reduce a

F2(3, 3) 4 0 F1(3, 3) x

FIGURA 10.22 El eje focal de la hiprbola 2xy = 9 forma un ngulo de p> 4 radianes con la parte positiva del eje x.

2xy = 9,

(2)

un caso de la ecuacin (1) en el que el trmino con producto cruzado est presente. Las asntotas de la hiprbola de la ecuacin (2) son los ejes x y y y el eje focal forma un ngu-

10.3 Ecuaciones cuadrticas y rotacionesy

703

y'

P(x, y) (x', y' )

x'M' M x

O

lo de p> 4 radianes con la parte positiva del eje x. Como en este ejemplo, el trmino con producto cruzado est presente en la ecuacin (1) slo cuando los ejes de la cnica estn inclinados. Para quitar el trmino xy de la ecuacin de una cnica, rotamos los ejes coordenados para eliminar la inclinacin en los ejes de la cnica. Las ecuaciones que utilizamos para las rotaciones se deducen de la siguiente manera. En la notacin de la figura 10.23, que muestra una rotacin por un ngulo a , en sentido contrario al de las manecillas del reloj alrededor del origen, x = OM = OP cos s u + a d = OP cos u cos a - OP sen u sen a y = MP = OP sen s u + a d = OP cos u sen a + OP sen u cos a . Como OP cos u = OM = x y OP sen u = M P = y , las ecuaciones (3) se reducen a lo siguiente.(3)

FIGURA 10.23 Un rotacin por un ngulo a en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del origen.

Ecuaciones para rotar ejes coordenados x = x cos a - y sen a y = x sen a + y cos a(4)

EJEMPLO 1

Los ejes x y y se rotan alrededor del origen un ngulo de p> 4 radianes. Determine una ecuacin para la hiprbola 2xy = 9 en las nuevas coordenadas.Solucin

Determinacin de una ecuacin para una hiprbola

Como cos p> 4 = sen p> 4 = 1> 22, sustituimos x = x - y 22 , y = x + y 22

y

x'

y'

y' 9 2 x' 92

1

de las ecuaciones (4) en la ecuacin 2xy = 9 y obtenemos 2a2x y 9 x

x - y 22

ba

x + y 22

b = 9

3

43

x2 - y2 = 9 y2 x2 = 1. 9 9 Vea la figura 10.24.

FIGURA 10.24 Hiprbola del ejemplo 1 ( x y y son las coordenadas).

Si aplicamos las ecuaciones (4) a la ecuacin cuadrtica (1), obtenemos una nueva ecuacin cuadrtica A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0.(5)

704

Captulo 10: Secciones cnicas y coordenadas polares

Los nuevos coeficientes estn relacionados con los antiguos por medio de las ecuaciones A = A cos2 a + B cos a sen a + C sen2 a B = B cos 2a + s C - A d sen 2a C = A sen2 a - B sen a cos a + C cos2 a D = D cos a + E sen a E = - D sen a + E cos a F = F . Estas ecuaciones muestran, entre otras cosas, que si iniciamos con una ecuacin para una curva en la que aparece el trmino con producto cruzado s B Z 0 d , podemos encontrar una rotacin por un ngulo a que produce una ecuacin en la que no aparezca el trmino con producto cruzado s B = 0 d . Para determinar a , hacemos B = 0 en la segunda ecuacin de (6) y resolvemos el sistema resultante, B cos 2a + s C - A d sen 2a = 0, para a . En la prctica, esto significa determinar a a partir de una de las dos ecuaciones.(6)

ngulo de rotacin cot 2a = A - C B o tan 2a = B . A - C(7)

2

3

EJEMPLO 2

Determinacin del ngulo de rotacin2x 2 + 23 xy + y 2 - 10 = 0

2 1

Los ejes coordenados se rotarn un ngulo a para producir una ecuacin para la curva

FIGURA 10.25 Este tringulo identifica 2a = cot-1(1> 13) como p> 3 (ejemplo 2).

que no tenga el trmino con producto cruzado. Determinar a y la nueva ecuacin. Identificar la curva. La ecuacin 2x 2 + 23 xy + y 2 - 10 = 0 tiene A = 2, B = 23, y C = 1. Sustituimos estos valores en la ecuacin (7) para determinar a :Solucin

y'y' 202

y1

2

5

x'

2

2 x 2 3 x y y 2 10 0 x' 10

cot 2a =

A - C 2 - 1 1 = = . B 23 23

4

25 5

6

x

Con base en el tringulo rectngulo de la figura 10.25, vemos que una eleccin apropiada del ngulo es 2a = p> 3, por lo que tomamos a = p> 6. Al sustituir a = p> 6, A = 2, B = 23, C = 1, D = E = 0 y F = - 10 en las ecuaciones (6) se obtiene A = 5 , 2 B = 0, C = 1 , 2 D = E = 0, F = - 10.

210

2

5

Entonces, la ecuacin (5) da 5 2 1 x + y 2 - 10 = 0, 2 2 o y2 x2 + = 1. 4 20

FIGURA 10.26 ejemplo 2.

Seccin cnica del

La curva es una elipse con focos en el nuevo eje y (figura 10.26).

10.3 Ecuaciones cuadrticas y rotaciones

705

Posibles grficas de ecuaciones cuadrticasRegresamos ahora a la grfica de la ecuacin cuadrtica general. Como los ejes siempre pueden rotarse para eliminar el trmino con producto cruzado, no hay prdida de generalidad en suponer que ya se ha hecho y que nuestra ecuacin tiene la forma Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0. La ecuacin (8) representa (a) una circunferencia, si A = C Z 0 (casos especiales: la grfica es un punto o no existe grfica); (b) una parbola, si la ecuacin (8) es cuadrtica en una variable y lineal en la otra; (c) una elipse, si tanto A como C son positivos o negativos (casos especiales: circunferencias, un slo punto o ninguna grfica); (d) una hiprbola, si A y C tienen signos opuestos (caso especial: un par de rectas que se intersecan); (e) una recta, si A y C son cero y al menos uno de D o E es diferente de cero; (f) una o dos rectas, si el lado izquierdo de la ecuacin (8) puede factorizarse como el producto de dos factores lineales. Vea los ejemplos de la tabla 10.3.TABLA 10.3 Ejemplos de curvas cuadrticas Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F =