CÁLCULO INTEGRALUnidad I. Teorema Fundamental del Cálculo (Diferenciales). 1.1 Definición de...

Instituto Tecnológico de Saltillo

CÁLCULO INTEGRAL

M.C. Ignacio Dávila Ríos

Enero-Junio 2012

Programa de Unidades

I. Teorema Fundamental del Cálculo (Diferenciales).

II. La integral Indefinida.

III.Técnicas de Integración Indefinida.

IV. La Integral Definida.

V. Integrales Impropias.

VI. Aplicaciones de la Integral.

M.C. Ignacio Dávila Ríos Cálculo Integral

Unidad I. Teorema Fundamental del Cálculo (Diferenciales).

1.1 Definición de Integral

1.2 Definición e interpretación geométrica de incrementos y

diferenciales.

1.3 Diferenciación de funciones elementales.

1.4 Diferenciación de funciones algebraicas que contienen xn.

1.5 Diferenciación de funciones que contienen u.

1.6 Diferenciación de productos y cocientes de funciones.

1.7 Incrementos, diferenciales y aproximaciones.


Unidad I. Teorema Fundamental del Cálculo (Diferenciales).

1.1 Definición de Integral.

¿Qué es una integral?

Si me pongo los zapatos, puedo quitármelos otra vez. Es decir, la

segunda operación anula a la primera, regresando los zapatos a la

posición original.

Decimos que las dos son operaciones inversas.


¿Qué es una integral?

Las matemáticas contienen muchos pares de operaciones inversas:

Por ejemplo.

1) Suma y Resta.

2) Multiplicación y División.

3) Elevación a potencias y extracción de raíces.

4) Los logaritmos y los antilogaritmos o exponenciales.

Hemos estado estudiando la derivación; su proceso inverso es la

antiderivación.


En la materia de Cálculo Diferencial, se hizo referencia únicamente

al siguiente proceso:

Dada una función encontrar su derivada

En esta clase se verá que un problema igualmente importante es:

Dada una función , encontrar una función cuya

derivada sea la dada.

( )f x (́ )f x

( )f x ( )F x( )f x


Definición 1.

Se dice que una función es una antiderivada de una función

si en algún intervalo.

Ejemplo:

Una antiderivada de es: puesto que

Siempre hay más de una antiderivada de una función , en el ejemplo

anterior, y son también

antiderivadas de , puesto que

En efecto, si es una antiderivada de una función ,

entonces ; esto es, dos o más antiderivadas de la

misma función pueden diferir cuando mucho en una constante.

( )f x

(́ ) 2F x x( ) 2f x x

( )F x

2( )F x x

(́ ) ( )F x f x

2

1( ) 1F x x 2

2( ) 10F x x ( ) 2f x x

1 2(́ ) (́ ) ( )F x F x f x

( )F x ( )f x

( ) ( )G x F x C


x ( )x x

( )f x

( )f x x

x

secL

tanL

dy

0x Si Entonces

Q

P

;Q PsecL gira hacia

tanL y sec tanL Lm m

tan0

( ) ( )lim ( )Lx

y f x x f xm f x

x x

1.2 Definición e interpretación geométrica de incrementos y diferenciales

( ) ( )y f x x f x

R

S


x ( )x x

( )f x

( )f x x

x

secL

tanL

dy

Q

P

¿Cómo entender la siguiente gráfica paso a paso?

( ) ( )y f x x f x

R

S

tan0

( ) ( )lim ( )Lx

y f x x f xm f x

x x



Supongamos que tenemos una función cualquiera

( )f x

( )f x



Sabemos que la derivada de f(x) esta dada por la pendiente de la recta

Tangente en cierto punto P.

x

( )f xP

( )f x

tanL



Como la recta tangente toca un solo punto en f(x) y sabemos que calcular

la pendiente “m” requiere dos puntos, tal como lo muestra su fórmula,

entonces,

x

( )f xP

( )f x

tanL

2 1

2 1

y ym

x x



Nos auxiliamos de otra recta que si toca dos puntos a f(x), esta recta es

una recta Secante, que corta a P y Q en f(x).

x ( )x x

( )f x

( )f x xQ

P

( )f xsecL



Como lo que nos interesa calcular en realidad es la pendiente “m” de la

recta tangente, entonces, lo que hacemos es buscar aproximar la recta

secante hacía la recta tangente,

x ( )x x

( )f x

( )f x xQ

P

( )f xsecL

tanL



Empezaremos por calcular primero la pendiente de la recta secante,

dados los puntos y tenemos que, ( , ( ))P x f x (( ), ( ))Q x x f x x

2 1sec

2 1

L

y yym

x x x

x ( )x x

( )f x

( )f x xQ

P

( )f xsecL

x

( ) ( )y f x x f x





x ( )x x

( )f x

( )f x xQ

P

( )f xsecL

x

( ) ( )y f x x f x sec

( ) ( )

( )L

y f x x f xm

x x x x

( )x x x





x ( )x x

( )f x

( )f x xQ

P

( )f xsecL

x

( ) ( )y f x x f x sec

( ) ( )L

f x x f xm

x



Ahora, ¿como hacer para que la recta secante se aproxime a la recta

tangente?



x ( )x x

( )f x

( )f x x

x

secL

tanL

Q

P

( ) ( )y f x x f x

0x Si Entonces ;Q PsecL gira hacia

tanL y sec tanL Lm m


x ( )x x

( )f x

( )f x x

x

secL

tanL

Q

P

tan0

( ) ( )lim ( )Lx

y f x x f xm f x

x x

( ) ( )y f x x f x


Y la forma de lograr esto es mediante el uso de límites.


Hasta ahora hemos aprendido la definición de derivada por

incrementos, mejor conocido como “Teorema fundamental del

cálculo”, tal como se estudió en la materia de Cálculo Diferencial.

Pero para el Cálculo Integral que ya sabemos que es el proceso

inverso de la derivada, se requiere de una herramienta que proviene

precisamente de este teorema. Llamada “DIFERENCIALES”.


tan ( )L

dym f x

dx

( )dy f x dx

Diferenciales

Si , donde es una función diferenciable, entonces la

diferencial es una variable independiente; esto es, podemos dar

a cualquier número real y como,

( )y f x ( )f xdx

dx

Entonces la diferencial se define en términos de por medio

de la siguiente ecuación:

dy dx


Interpretación Geométrica de Diferenciales

x ( )x x

( )f x

( )f x x

x dx

secL

tanL

dy

Q

P

y

R

S

Vemos que se incluyeron dos nuevos puntos en la gráfica, R y S, donde

R tiene coordenadas y S el punto donde se interseca

con la recta tangente, por tanto es la distancia de R a S. ( ), ( )R x x f x

( )x x dy

dy representa la cantidad que se eleva o cae la tangente (cambio en la

linealización).

Interpretación Geométrica de Diferenciales

x ( )x x

( )f x

( )f x x

x dx

secL

tanL

dy

Q

P

y

R

S

yMientras que representa la cantidad que se eleva o cae la gráfica

, cuando cambia en una cantidad . ( )y f x x dx


Clasificación de funciones

Antes de iniciar el proceso de obtención de diferenciales daremos una

mirada a las dos clasificaciones de funciones sujetas a nuestro interés,

lo anterior para facilitar el aprendizaje.

La primera clasificación obedece al grado de complejidad de las

funciones y las hemos observado de la siguiente manera:

1) Funciones elementales.

2) Funciones básicas.

3) Funciones metabásicas.


1) Funciones elementales.

Las funciones elementales las hemos concebido como las funciones

que contienen en su estructura una constante o bien una variable, y para

nuestro caso nos referiremos a la variable “x”.

Ejemplos:

4;y 1

;yx

;y sen x lny x


2) Funciones básicas.

Las funciones básicas las definiremos como las funciones que

contienen en su estructura un binomio de la forma:

Ejemplos:

ny ax b

23 2y x ln(2 1)y x cos(1 2 )y x


3) Funciones metabásicas.

Y por último las funciones metabásicas las podemos inferir como

aquellas que tienen la estructura:

1

1 2 1...n n

m my a x a x a x a


La segunda clasificación de interés presenta el universo de funciones

en que opera el cálculo integral y por lo mismo en cada etapa de

aprendizaje se trata de globalizar el conocimiento atendiendo al

siguiente orden:

1) Funciones algebraicas .

2) Funciones exponenciales.

3) Funciones logarítmicas.

4) Funciones trigonométricas.

5) Funciones trigonométricas inversas.

6) Funciones hiperbólicas.

7) Funciones hiperbólicas inversas.


Introducción a las diferenciales por fórmulas.

Las fórmulas de diferenciales se fundamentan en teoremas previamente

demostrados en cálculo diferencial; al revisar su análisis se observa que

son las mismas fórmulas que se utilizan para las derivadas, excepto que

se multiplican ambos lados por (se dice “de equis o diferencial de

equis”).

" "dx


1.3 Diferenciación de funciones elementales.

Diferenciación de funciones elementales algebraicas.

Funciones elementales

algebraicas:

1)y k

2)y x

3)y x

4)y x

15)y

x

Fórmulas de diferenciales de funciones

elementales algebraicas :

1) ( ) 0d k

2) ( )d x dx

3) ( )x

d x dxx

14) ( )

2d x dx

x

2

1 15)d dx

x x


Realizado por:

M.C. Ignacio Dávila Ríos

Enero de 2012

[email protected]

www.itsbasicas.com/davila

mailto:[email protected]

CÁLCULO INTEGRALUnidad I. Teorema Fundamental del Cálculo (Diferenciales). 1.1 Definición de...

Documents

Transcript of CÁLCULO INTEGRALUnidad I. Teorema Fundamental del Cálculo (Diferenciales). 1.1 Definición de...