Preliminares: nociones de cálculo diferencial, integral y ... · cálculo integral y álgebra. ......

OCW Universidad de Cantabria Cálculo Simbólico y Numérico en Ecuaciones Diferenciales Mª Eugenia Pérez

Preliminares: sobre cálculo diferencial, cálculo integral y álgebra.

Hoja de problemas 1 + Resumen de comandos

Resumen de contenidos:

- Variables, funciones y formatos- Derivación e integración: una y varias variables- Entornos gráficos: curvas y superficies- Cálculos con matrices y vectores

% Este cuaderno tiene un carácter introductorio a comandos Matlab que nos serán de utilidad a lo largo del curso para la computación simbólica y numérica en problemas de ecuaciones diferenciales. Seguimos el esquema de la hoja de problemas 1.

% Estas prácticas se hacen fundamentalmente con la versión de Matlab 2011 (e.g., R2011b): los resultados, en el contexto que nos movemos, pueden cambiar con respecto a los obtenidos con las versiones 2007-2008, y anteriores. No obstante, si no hay diferencia importante en el resultado, se puede utilizar cualquier versión a partir de Matlab 5.3, y a lo largo de los cuadernos de clase se irá comentando. Se ha procurado que el software proporcionado funcione (o funcione con mínimas modificaciones) con todas estas versiones de Matlab: ver funciones del curso en http://personales.unican.es/meperez/OCW_CSyNenED/

% Por ejemplo, ecuaciones diferenciales que se resolvían con versiones anteriores, Matlab 2011 no las resuelve, o las deja en términos integrales, o las resuelve en el campo complejo (sin explicación aparente). Por el contrario, hay otras ecuaciones diferenciales que versiones anteriores de Matlab no resolvían (o dejaban el resultado en una expresión larga y compleja de interpretar) y Matlab 2011 lo hace.

% Un resumen de comandos útiles se encuentra en el enlace de la cabecera. Empezamos desde un nivel cero, con comandos útiles para nuestro curso de ED, que sigue el libro de apuntes [Ecuaciones Diferenciales. Una introducción, ISBN 84-89627-28-2] o, para temas nuevos no tratados en el libro, las notas complementarias que seproporcionan (ver enlaces a capítulos o resúmenes en las cabeceras de loscuadernos). Observamos que, de manera general, distintos comandos Matlab nospueden llevar a un mismo resultado.

Preliminares

https://ocw.unican.es/pluginfile.php/618/course/section/601/OCW_hoja_1.pdf

https://ocw.unican.es/pluginfile.php/618/course/section/602/trans_1_OCW.pdf

http://personales.unican.es/meperez/OCW_CSyNenED/

http://ocw.unican.es/ensenanzas-tecnicas/calculo-simbolico-y-numerico-en-ecuaciones/materiales/Libro-curso.pdf

OCW Universidad de Cantabria Cálculo Simbólico y Numérico en Ecuaciones Diferenciales

Mª Eugenia Pérez

% Al iniciar Matlab, el llamado “prompt” >> indica que el programa está esperando

instrucciones. De manera general, comenzamos guardando la sesión de trabajo con diary

>> diary nombre % Matlab nos guarda en un fichero “nombre” todo lo que va pasando en pantalla:

instrucciones y respuestas de Matlab (salvo gráficas). Dicho fichero se puede editar. Para ejecutar los comandos de nuevo, e.g., se pueden copiar en pantalla. También puede resultar útil para esto el llamado “Command History” (en el desplegable “Desktop”, en la cabecera). Por defecto nos guarda el fichero “nombre” en el directorio de trabajo (directorio “Work” en diversas versiones de Matlab); si queremos que nos lo guarde en otro sitio, o utilizar funciones que tengamos en un directorio, al empezar debemos indicarle el camino de dicho directorio: por ejemplo, pinchar en los puntos “…” de la barra de herramientas, y luego indicar la carpeta en la que queremos trabajar

% Nos guarda todo en este fichero hasta la instrucción >> diary off % En principio Matlab se puede utilizar como una calculadora para hacer las

operaciones básicas de sumas, restas, etc., pero es “una calculadora potente”, que tiene un lenguaje de programación propio, intuitivo desde el punto de vista matemático, y que nos permite crear nuestras funciones, guardarlas y utilizarlas en otra sesión. Asimismo, permite modificar algunas de sus funciones y adaptarlas a nuestras necesidades.

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

>> diary preliminares % nos guarda todo lo que hagamos desde este momento hasta que ejecutemos “diary

off” o nos salgamos de Matlab. En este caso el fichero se llama “preliminares” y está en el directorio en que estemos trabajando en la sesión en curso.

% Comenzamos distinguiendo entre variables simbólicas y numéricas % Variables numéricas: asignado valores numéricos a variables >> a=2 a = 2 >> b=3 b = 3 >> c=a+b c = 5 >> a+b % a b c son variables numéricas para Matlab (números para nosotros). Si no almacenamos a+b en c, se almacena en otra variable numérica interna >> a+b ans = 5 % “ans” variable respuesta por defecto: “ans” es la variable respuesta que guarda el

resultado de la última operación % Para definir funciones del tipo de las que se utilizan en Cálculo o en Ecuaciones

Diferenciales hay que introducir las llamadas variables simbólicas, por ejemplo, la variable simbólica t

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

>> syms t % nos permite crear funciones ("variables simbólicas") utilizando otras funciones

internas que tiene Matlab como senos, cosenos, exponenciales, … >> f=2*sin(t) f = 2*sin(t) >> g=t^2+exp(-t) g = 1/exp(t) + t^2 >> h=f+g h = 1/exp(t) + 2*sin(t) + t^2 >> f+g ans = 1/exp(t) + 2*sin(t) + t^2 % f, g, h, ans son ahora funciones de la variable t: variables simbólicas para Matlab;

como antes “ans” es la variable respuesta por defecto % “ans” es la variable respuesta que pasa de número a función dependiendo del

resultado de la operación anterior (que no hemos guardado en una variable con un nombre). Operaciones con números dan “ans” variable numérica; operaciones con funciones o variables simbólicas dan “ans” variable simbólica.

% El distinto tratamiento que Matlab da a las variables simbólicas y numéricas, se

puede ver en el área de trabajo, “Workspace” (en los desplegables de la cabecera), donde nos indica cada variable de la sesión con el tipo de variable, el tamaño, el espacio que ocupa, etc…

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

% En el desplegable Desktop,

% y pinchando en Workspace vemos que el almacenamiento de las variables numéricas

y simbólicas es muy distinto, y para las simbólicas varía con la versión de Matlab. Esto se ve en las fotos de “workspaces” abajo. El tratamiento que Matlab da a estas variables es también muy distinto

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

% Las variables simbólicas en Matlab son de la clase “sym”, dependiendo de la versión,

ocupan distinto espacio. Las variables numéricas son de la clase “double” y ocupan 8 bytes.

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

% Listas de funciones internas de Matlab nos las dan los comandos “help elfun”, “help

elmat” y “help matfun” entre otros >> help elfun

Elementary math functions. Trigonometric. sin - Sine. sind - Sine of argument in degrees. sinh - Hyperbolic sine. asin - Inverse sine. asind - Inverse sine, result in degrees. asinh - Inverse hyperbolic sine. cos - Cosine. cosd - Cosine of argument in degrees. cosh - Hyperbolic cosine. acos - Inverse cosine. acosd - Inverse cosine, result in degrees. acosh - Inverse hyperbolic cosine. tan - Tangent. tand - Tangent of argument in degrees. tanh - Hyperbolic tangent. atan - Inverse tangent. atand - Inverse tangent, result in degrees. atan2 - Four quadrant inverse tangent. atanh - Inverse hyperbolic tangent. sec - Secant. secd - Secant of argument in degrees. sech - Hyperbolic secant. asec - Inverse secant. asecd - Inverse secant, result in degrees.

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

asech - Inverse hyperbolic secant. csc - Cosecant. cscd - Cosecant of argument in degrees. csch - Hyperbolic cosecant. acsc - Inverse cosecant. acscd - Inverse cosecant, result in degrees. acsch - Inverse hyperbolic cosecant. cot - Cotangent. cotd - Cotangent of argument in degrees. coth - Hyperbolic cotangent. acot - Inverse cotangent. acotd - Inverse cotangent, result in degrees. acoth - Inverse hyperbolic cotangent. hypot - Square root of sum of squares. Exponential. exp - Exponential. expm1 - Compute exp(x)-1 accurately. log - Natural logarithm. log1p - Compute log(1+x) accurately. log10 - Common (base 10) logarithm. log2 - Base 2 logarithm and dissect floating point number. pow2 - Base 2 power and scale floating point number. realpow - Power that will error out on complex result. reallog - Natural logarithm of real number. realsqrt - Square root of number greater than or equal to zero. sqrt - Square root. nthroot - Real n-th root of real numbers. nextpow2 - Next higher power of 2. Complex. abs - Absolute value. angle - Phase angle. complex - Construct complex data from real and imaginary parts. conj - Complex conjugate. imag - Complex imaginary part. real - Complex real part. unwrap - Unwrap phase angle. isreal - True for real array. cplxpair - Sort numbers into complex conjugate pairs. Rounding and remainder. fix - Round towards zero. floor - Round towards minus infinity. ceil - Round towards plus infinity. round - Round towards nearest integer. mod - Modulus (signed remainder after division). rem - Remainder after division. sign - Signum.

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

% “help” nos da ayuda sobre algo. Para saber qué es o como se utiliza la función “sin”: >> help sin

>> help elmat

SIN Sine of argument in radians. SIN(X) is the sine of the elements of X. See also asin, sind. Overloaded methods: distributed/sin sym/sin Reference page in Help browser doc sin

Elementary matrices and matrix manipulation. Elementary matrices. zeros - Zeros array. ones - Ones array. eye - Identity matrix. repmat - Replicate and tile array. rand - Uniformly distributed random numbers. randn - Normally distributed random numbers. linspace - Linearly spaced vector. logspace - Logarithmically spaced vector. freqspace - Frequency spacing for frequency response. meshgrid - X and Y arrays for 3-D plots. accumarray - Construct an array with accumulation. : - Regularly spaced vector and index into matrix. Basic array information. size - Size of array. length - Length of vector. ndims - Number of dimensions. numel - Number of elements. disp - Display matrix or text. isempty - True for empty array. isequal - True if arrays are numerically equal. isequalwithequalnans - True if arrays are numerically equal. Matrix manipulation. cat - Concatenate arrays. reshape - Change size. diag - Diagonal matrices and diagonals of matrix. blkdiag - Block diagonal concatenation. tril - Extract lower triangular part. triu - Extract upper triangular part. fliplr - Flip matrix in left/right direction. flipud - Flip matrix in up/down direction. flipdim - Flip matrix along specified dimension. rot90 - Rotate matrix 90 degrees. : - Regularly spaced vector and index into matrix. find - Find indices of nonzero elements. end - Last index. sub2ind - Linear index from multiple subscripts. ind2sub - Multiple subscripts from linear index.

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

% Utilizando la variable t y las funciones internas podemos definir otras funciones o

variables simbólicas que se pueden derivar, integrar, dibujar,… Así lo hemos hecho para definir h=h(t):

>> h h = 1/exp(t) + 2*sin(t) + t^2 % derivando: si solo hay una variable simbólica (“variable independiente” en ED) lo

hace con respecto a ella, si no hay que decirle con respecto a qué tiene que derivar

bsxfun - Binary singleton expansion function. Multi-dimensional array functions. ndgrid - Generate arrays for N-D functions and interpolation. permute - Permute array dimensions. ipermute - Inverse permute array dimensions. shiftdim - Shift dimensions. circshift - Shift array circularly. squeeze - Remove singleton dimensions. Array utility functions. isscalar - True for scalar. isvector - True for vector. Special variables and constants. ans - Most recent answer. eps - Floating point relative accuracy. realmax - Largest positive floating point number. realmin - Smallest positive floating point number. pi - 3.1415926535897.... i - Imaginary unit. inf - Infinity. nan - Not-a-Number. isnan - True for Not-a-Number. isinf - True for infinite elements. isfinite - True for finite elements. j - Imaginary unit. why - Succinct answer. Specialized matrices. compan - Companion matrix. gallery - Higham test matrices. hadamard - Hadamard matrix. hankel - Hankel matrix. hilb - Hilbert matrix. invhilb - Inverse Hilbert matrix. magic - Magic square. pascal - Pascal matrix. rosser - Classic symmetric eigenvalue test problem. toeplitz - Toeplitz matrix. vander - Vandermonde matrix. wilkinson - Wilkinson's eigenvalue test matrix.

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

>> diff(h) ans = 2*t - 1/exp(t) + 2*cos(t) >> diff(diff(h)) % derivada segunda ans = 1/exp(t) - 2*sin(t) + 2 >> diff(h,2) % nos da la derivada segunda también ans = 1/exp(t) - 2*sin(t) + 2 >> diff(h,2)-diff(diff(h)) % comparando los dos últimos comandos ans = 0 % integrando: si solo hay una variable simbólica, lo hace con respecto a ella, si no hay

que decirle con respecto a qué tiene que integrar >> h h = 1/exp(t) + 2*sin(t) + t^2 >> int(h) ans = t^3/3 - 2*cos(t) - 1/exp(t) % de manera general siempre falta la constante de integración

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

>> diff(int(h))-h % comprobando integración ans = 0 % atención, integra lo que puede: de la función exp(-t^2) no nos devuelve una primitiva

sino que nos la deja como una integral definida >> int(exp(-t^2)) ans = (pi^(1/2)*erf(t))/2 >> help erf

% Además de “ans”, y de estas funciones como “erf” que se muestran con “help”, otras

variables internas de Matlab que pueden resultar útiles son: “pi”, “realmax”, “realmin”, “eps”, “NaN”, “Inf”, etc.

>> realmax ans = 1.7977e+308 >> realmin ans = 2.2251e-308 >> NaN ans = NaN

erf Error function. Y = erf(X) is the error function for each element of X. X must be real. The error function is defined as: erf(x) = 2/sqrt(pi) * integral from 0 to x of exp(-t^2) dt.

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

>> help NaN

>> 0/0

ans = NaN >> 1/0 ans = Inf >> help eps

EPS Spacing of floating point numbers. D = EPS(X), is the positive distance from ABS(X) to the next larger in magnitude floating point number of the same precision as X. X may be either double precision or single precision. For all X, EPS(X) is equal to EPS(ABS(X)). EPS, with no arguments, is the distance from 1.0 to the next larger double precision number, that is EPS with no arguments returns 2^(-52). EPS('double') is the same as EPS, or EPS(1.0). EPS('single') is the same as EPS(single(1.0)), or single(2^-23).

NaN Not-a-Number. NaN is the IEEE arithmetic representation for Not-a-Number. A NaN is obtained as a result of mathematically undefined operations like 0.0/0.0 and inf-inf. NaN('double') is the same as NaN with no inputs. NaN('single') is the single precision representation of NaN. NaN(N) is an N-by-N matrix of NaNs. NaN(M,N) or NaN([M,N]) is an M-by-N matrix of NaNs. NaN(M,N,P,...) or NaN([M,N,P,...]) is an M-by-N-by-P-by-... array of NaNs. NaN(...,CLASSNAME) is an array of NaNs of class specified by CLASSNAME. CLASSNAME must be either 'single' or 'double'. Note: The size inputs M, N, and P... should be nonnegative integers. Negative integers are treated as 0. See also inf, isnan, isfinite, isfloat. Overloaded methods: distributed/nan codistributor2dbc/nan codistributor1d/nan codistributed/nan Reference page in Help browser doc nan

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

>> pi ans = 3.1416 % parece que cualquier calculadora nos da más cifras decimales de precisión de las que

vemos para el número “pi”, por ejemplo, o para cualquier operación. Ocurre que Matlab por defecto trabaja en doble precisión y esto significa más cifras decimales de precisión. (ver, e.g., http://www.mathworks.es/es/help/symbolic/double.html). Se pueden visualizar cambiando el formato con “format”

Except for numbers whose absolute value is smaller than REALMIN, if 2^E <= ABS(X) < 2^(E+1), then EPS(X) returns 2^(E-23) if ISA(X,'single') EPS(X) returns 2^(E-52) if ISA(X,'double') For all X of class double such that ABS(X) <= REALMIN, EPS(X) returns 2^(-1074). Similarly, for all X of class single such that ABS(X) <= REALMIN('single'), EPS(X) returns 2^(-149). Replace expressions of the form if Y < EPS * ABS(X) with if Y < EPS(X) Example return values from calling EPS with various inputs are presented in the table below: Expression Return Value =========================================== eps(1/2) 2^(-53) eps(1) 2^(-52) eps(2) 2^(-51) eps(realmax) 2^971 eps(0) 2^(-1074) eps(realmin/2) 2^(-1074) eps(realmin/16) 2^(-1074) eps(Inf) NaN eps(NaN) NaN ------------------------------------------- eps(single(1/2)) 2^(-24) eps(single(1)) 2^(-23) eps(single(2)) 2^(-22) eps(realmax('single')) 2^104 eps(single(0)) 2^(-149) eps(realmin('single')/2) 2^(-149) eps(realmin('single')/16) 2^(-149) eps(single(Inf)) single(NaN) eps(single(NaN)) single(NaN) See also realmax, realmin. Overloaded methods: codistributed/eps qfft/eps Reference page in Help browser doc eps

Preliminares

http://www.mathworks.es/es/help/symbolic/double.html


Mª Eugenia Pérez

>> help format

FORMAT Set output format. FORMAT with no inputs sets the output format to the default appropriate for the class of the variable. For float variables, the default is FORMAT SHORT. FORMAT does not affect how MATLAB computations are done. Computations on float variables, namely single or double, are done in appropriate floating point precision, no matter how those variables are displayed. Computations on integer variables are done natively in integer. Integer variables are always displayed to the appropriate number of digits for the class, for example, 3 digits to display the INT8 range -128:127. FORMAT SHORT and LONG do not affect the display of integer variables. FORMAT may be used to switch between different output display formats of all float variables as follows: FORMAT SHORT Scaled fixed point format with 5 digits. FORMAT LONG Scaled fixed point format with 15 digits for double and 7 digits for single. FORMAT SHORT E Floating point format with 5 digits. FORMAT LONG E Floating point format with 15 digits for double and 7 digits for single. FORMAT SHORT G Best of fixed or floating point format with 5 digits. FORMAT LONG G Best of fixed or floating point format with 15 digits for double and 7 digits for single. FORMAT SHORT ENG Engineering format that has at least 5 digits and a power that is a multiple of three FORMAT LONG ENG Engineering format that has exactly 16 significant digits and a power that is a multiple of three. FORMAT may be used to switch between different output display formats of all numeric variables as follows: FORMAT HEX Hexadecimal format. FORMAT + The symbols +, - and blank are printed for positive, negative and zero elements. Imaginary parts are ignored. FORMAT BANK Fixed format for dollars and cents. FORMAT RAT Approximation by ratio of small integers. Numbers with a large numerator or large denominator are replaced by *. FORMAT may be used to affect the spacing in the display of all variables as follows: FORMAT COMPACT Suppresses extra line-feeds. FORMAT LOOSE Puts the extra line-feeds back in. Example: format short, pi, single(pi) displays both double and single pi with 5 digits as 3.1416 while format long, pi, single(pi) displays pi as 3.141592653589793 and single(pi) as 3.1415927. format, intmax('uint64'), realmax shows these values as 18446744073709551615 and 1.7977e+308 while format hex, intmax('uint64'), realmax shows them as ffffffffffffffff and 7fefffffffffffff respectively. The HEX display corresponds to the internal representation of the value and is not the same as the hexadecimal notation in the C programming language. See also disp, display, isnumeric, isfloat, isinteger. Overloaded methods: quantizer/format

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

% Cualquier manera de expresar el formato puede resultar útil en un momento dado,

especialmente los formatos ‘g’ que muestran resultados de forma agradable para leer >> pi ans = 3.1416 >> format long >> pi ans = 3.141592653589793 % “vpa” puede darnos el número dígitos que queramos si la variable tiene sentido

como número (en este caso, pi es una variable interna). Abajo 1000 cifras del número pi o más….

>> vpa(pi,1000)

ans = 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532171226806613001927876611195909216420199 % ans es una variable simbólica

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

>> vpa(pi,10000) ans = 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019……………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...677646575237428802109276457931065792295524988727584610126483699989225695968815920560010165525637568 % a veces Matlab nos devuelve resultados de cálculos simbólicos usando un formato

racional, para ver los valores numéricos de lo que se pueda, se puede utilizar también “vpa”

>> 28/500*cos(5) ans = 0.015885082385941 >> 28/500*cos(t) ans = (7*cos(t))/125 >> vpa(ans,3) ans = 0.056*cos(t) % así vpa “convierte a número” lo que tiene sentido numérico en la expresión, y nos

muestra el número de cifras dependiente del entero que le indiquemos después de “,” (usar “help vpa” o ver http://es.mathworks.com/help/symbolic/vpa.html para más detalles)

>> cos(2)*exp(t)-7*exp(2)*sin(t^2) ans = - (909927547095103*sin(t^2))/17592186044416 -

(7496634952020485*exp(t))/18014398509481984

Preliminares

http://es.mathworks.com/help/symbolic/vpa.html


Mª Eugenia Pérez

>> vpa(cos(2)*exp(t)-7*exp(2)*sin(t^2),2) ans = - 52.0*sin(t^2) - 0.42*exp(t) >> format short % cambiamos formato % Integrales definidas: integral definida de h entre 0 y 2 >> int(h,0,2) ans = 17/3 - 1/exp(2) - 2*cos(2) >> r=int(h,0,2) r = 17/3 - 1/exp(2) - 2*cos(2) % “r” es una variable simbólica que tiene significado de número. Se convierte a número

con “double” >> double(r) ans = 6.3636 >> format long >> double(r) ans = 6.363625056524339 >> vpa(r,50) % “vpa” nos da los dígitos que queramos ans = 6.3636250565243387487678036306957066427910366629082

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

>> format short % Evaluando una función >>sin(2) % se trata de la evaluación en t=2 de una función interna ans = 0.9093 >> h(2) % vemos que no se puede evaluar de la misma forma Error using mupadmex Error in MuPAD command: Index exceeds matrix dimensions. Error in sym/subsref (line 1410) B = mupadmex('symobj::subsref',A.s,inds{:}); % se puede pedir a Matlab que lo evalúe con “subs” (substituir): >> subs(h,t,2) ans = 5.9539 % Otra forma de evaluar funciones que creemos, como si fueran funciones internas, y

sin necesidad de definir variables simbólicas, es utilizando ficheros Matlab o utilizando @:

>> hh=@(x)[1/exp(x) + 2*sin(x) + x^2] hh = @(x)[1/exp(x)+2*sin(x)+x^2] >> hh(2) ans = 5.9539 % Dibujando una función de variable simbólica en distintos intervalos

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

>> ezplot(h,[0,2])

>> ezplot(h,[-3,3])

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

% dibujando punto a punto una función con el comando “plot”: hay que definir los

puntos con abscisa y ordenada. Abajo una forma de hacerlo: % vector de abscisas (con elementos entre 0 y 2) >> dt=0:0.2:2 % empezando en 0, terminando en 2, con incrementos de 0.2 dt = Columns 1 through 8 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 1.2000 1.4000 Columns 9 through 11 1.6000 1.8000 2.0000 % vector de ordenadas >> dh=subs(h,t,dt) dh = Columns 1 through 8 1.0000 1.2561 1.6092 2.0381 2.5240 3.0508 3.6053 4.1775 Columns 9 through 11 4.7610 5.3530 5.9539 % hacer pero no mostrar con “;” >> dt=0:0.2:2; >> dh=subs(h,t,dt); % para mostrar los pares abscisa y ordenada:

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

>> [dt;dh] ans = Columns 1 through 8 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 1.2000 1.4000 1.0000 1.2561 1.6092 2.0381 2.5240 3.0508 3.6053 4.1775 Columns 9 through 11 1.6000 1.8000 2.0000 4.7610 5.3530 5.9539 >> plot(dt,dh)

% “plot” admite opciones de dibujo: un círculo, en rojo, en verde, etc. >> help plot

plot Linear plot. plot(X,Y) plots vector Y versus vector X. If X or Y is a matrix, then the vector is plotted versus the rows or columns of the matrix, whichever line up. If X is a scalar and Y is a vector, disconnected line objects are created and plotted as discrete points vertically at X.

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

plot(Y) plots the columns of Y versus their index. If Y is complex, plot(Y) is equivalent to plot(real(Y),imag(Y)). In all other uses of plot, the imaginary part is ignored. Various line types, plot symbols and colors may be obtained with plot(X,Y,S) where S is a character string made from one element from any or all the following 3 columns: b blue . point - solid g green o circle : dotted r red x x-mark -. dashdot c cyan + plus -- dashed m magenta * star (none) no line y yellow s square k black d diamond w white v triangle (down) ^ triangle (up) < triangle (left) > triangle (right) p pentagram h hexagram For example, plot(X,Y,'c+:') plots a cyan dotted line with a plus at each data point; plot(X,Y,'bd') plots blue diamond at each data point but does not draw any line. plot(X1,Y1,S1,X2,Y2,S2,X3,Y3,S3,...) combines the plots defined by the (X,Y,S) triples, where the X's and Y's are vectors or matrices and the S's are strings. For example, plot(X,Y,'y-',X,Y,'go') plots the data twice, with a solid yellow line interpolating green circles at the data points. The plot command, if no color is specified, makes automatic use of the colors specified by the axes ColorOrder property. By default, plot cycles through the colors in the ColorOrder property. For monochrome systems, plot cycles over the axes LineStyleOrder property. Note that RGB colors in the ColorOrder property may differ from similarly-named colors in the (X,Y,S) triples. For example, the second axes ColorOrder property is medium green with RGB [0 .5 0], while plot(X,Y,'g') plots a green line with RGB [0 1 0]. If you do not specify a marker type, plot uses no marker. If you do not specify a line style, plot uses a solid line. plot(AX,...) plots into the axes with handle AX. plot returns a column vector of handles to lineseries objects, one handle per plotted line. The X,Y pairs, or X,Y,S triples, can be followed by parameter/value pairs to specify additional properties of the lines. For example, plot(X,Y,'LineWidth',2,'Color',[.6 0 0]) will create a plot with a dark red line width of 2 points. Example x = -pi:pi/10:pi; y = tan(sin(x)) - sin(tan(x)); plot(x,y,'--rs','LineWidth',2,... 'MarkerEdgeColor','k',... 'MarkerFaceColor','g',... 'MarkerSize',10) See also plottools, semilogx, semilogy, loglog, plotyy, plot3, grid, title, xlabel, ylabel, axis, axes, hold, legend, subplot, scatter. Overloaded methods: ……….. ……….

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

>> plot(dt,dh,'o')

% comparando con “ezplot”: utilizamos el comando “hold on” que almacena gráficas

hasta que ejecutemos “hold off”. Esto es, todas las gráficas se hacen en la misma figura (superponiéndose en este caso), lo que nos permite comparar

>> hold on >> ezplot(h,[0,2])

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

>> plot(dt,dh,'r')

>> hold off % deja de almacenar gráficas >> plot(dt,dh)

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

% una manera de cambiar el color con el comando ezplot es el siguiente >> GR=ezplot(h,[0,2]); >> set(GR,'Color','g')

>> clear all % borra todas las variables definidas en la sesión >> clc % borra la pantalla % funciones de dos variables simbólicas >> syms t x >> u=sin(x)*cos(t)+t^2 u = cos(t)*sin(x) + t^2 % derivadas parciales: hay que indicar con respecto a que variable se deriva

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

>> diff(u,t) % con respecto a t ans = 2*t - sin(t)*sin(x) >> diff(u,x) % con respecto a x ans = cos(t)*cos(x) >> diff(diff(u,t),x) % derivadas parciales segundas cruzadas ans = -cos(x)*sin(t) >> diff(u,t,2) % derivada parcial segunda con respecto a t ans = 2 - cos(t)*sin(x) >> u u = cos(t)*sin(x) + t^2 % integrando con respecto a t o x >> int(u,t) ans = sin(t)*sin(x) + t^3/3 % integral definida >> int(u,t,0,2) % función de x ans = sin(2)*sin(x) + 8/3

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

>> int(int(u,t),x) % integral doble ans = (t^3*x)/3 - cos(x)*sin(t) % evaluando u en (2,3) >> subs(subs(u,t,2),x,3) ans = 3.9413 >> subs(u,t,x,2,3) % no funciona, nos da error {�Error using <a href="matlab:helpUtils.errorDocCallback('sym.subs')" style="font % lo que funciona es >> subs(u,{t,x},{2,3}) ans = 3.9413 % cortando por planos ; por ejemplo por t=2 >> w=subs(u,t,2) w = 4 - (7496634952020485*sin(x))/18014398509481984 % incomodo de leer. Parece que Matlab intenta aproximar un número por otro con

formato racional. Visualizamos mejor con: >> vpa(w,6) ans = 4.0 - 0.416147*sin(x)

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

>> ezplot(w,[0,3]) % dibujando la superficie z=u con “ezsurf” cuando u está definida como función de dos

variables simbólicas t y x variando en [0,3]x[0,1] (y luego en [0,3]x[0,5]) >> ezsurf(u,[0,3],[0,1])

>> ezsurf(u,[0,3],[0,5])

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

% cortando por planos y dibujando de manera que nos muestre/conserve varias

gráficas en distintas figuras sobre la pantalla. Se introducen los comandos “figure(1)”, “figure(2)”,”figure(3)”, …

>> w=subs(u,t,2) % cortando por el plano t=2 w = 4 - (7496634952020485*sin(x))/18014398509481984 >> figure(2) >> ezplot(w,[0,5])

% cortando por el plano x=1 y visualizando el perfil de la superficie con el corte >> figure(3) >> ezplot(subs(u,x,1),[0,3])

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

% Dibujando curvas de nivel con “ezplot” y “ezcontour” % “ezplot” dibuja también curvas definidas en forma implícita. Por ejemplo, la curva de

nivel u=1 >> ezplot(u-1,[0,3],[0,5])

% diversas curvas de nivel con “ezcontour” >> ezcontour(u,[0,3],[0,5])

>> clc

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

% A continuación, introducimos nociones y operaciones del cálculo vectorial y matricial

que son útiles en los programas para resolución numérica de ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales (por ejemplo, en las funciones “elementosfinitos.m”, “galerkin.m” y “ffinitge.m“, entre otras).

% Definimos una matriz 3x3 y un vector columna, y hacemos operaciones básicas de

multiplicación, inversión, cálculo de determinantes y resolución de sistemas, e introducimos algunas matrices especiales. Las variables en que se almacenan estas matrices nxm son de la clase “double”, ocupan 8 x n x m bytes, de tamaño nxm (ver “size” en el Workspace). Dependiendo de la operación “ans” puede ser ahora un vector, una matriz o un número, si no se introducen variables simbólicas.

% Para definir una matriz, se separan los elementos de una fila por ”,”, y al cambiar de

fila por “;”. >> A=[1,2,3;0,1,0;6,7,8] A = 1 2 3 0 1 0 6 7 8 >> b=[1;2;3] b = 1 2 3 % otras formas de definir el mismo vector columna >> bb=1:1:3 bb = 1 2 3 % transposición

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

>> bb' ans = 1 2 3 >> bb(:) ans = 1 2 3 % multiplicando elemento por elemento en un vector >> bb(:).^2 ans = 1 4 9 % multiplicación de matrices >> A*b ans = 14 2 44 % para elevar al cuadrado A^2 o A*A. Abajo la variable ans es una matriz

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

>> A^2-A*A ans = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >> det(A) % determinante de A ans = -10 >> inv(A) % inversa de A ans = -0.8000 -0.5000 0.3000 0 1.0000 0 0.6000 -0.5000 -0.1000 % verificación >> A*inv(A) ans = 1.0000 0 0 0.0000 1.0000 0 0.0000 0 1.0000 % resolver el sistema Ac=b >> A\b ans = -0.9000 2.0000 -0.7000 % comprobación : llamando ‘c’ al vector ‘ans’ de arriba

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

>> c=A\b c = -0.9000 2.0000 -0.7000 >> A*c ans = 1.0000 2.0000 3.0000 % definiendo matrices especiales: de ceros, de unos, diagonales, identidad, etc. >> eye(5) % matriz identidad 5x5 ans = 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 >> ones(5,5) % matriz 5x5 de unos ans = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 >> zeros(2,3) % matriz 2x3 de ceros ans = 0 0 0 0 0 0

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

>> diag(b) % matriz con b en la diagonal principal ans = 1 0 0 0 2 0 0 0 3 >> diag([11,12,13,14])) % matriz 4x4 con [11,12,13,14] en la diagonal ans = 11 0 0 0 0 12 0 0 0 0 13 0 0 0 0 14 >> diag(b,1) % matriz con b en la diagonal por encima de la principal ans = 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 >> diag(b,-1) % matriz con b en la diagonal por debajo de la principal ans = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 % matriz tridiagonal simétrica 4x4 >> diag([11,12,13,14])+diag(b,1)+diag(b,-1) ans = 11 1 0 0 1 12 2 0 0 2 13 3 0 0 3 14

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

% nos referimos a unos elementos de un vector como sigue >> dt=0:0.2:2; % definiendo el vector dt=0:0.2:2 dt = Columns 1 through 6 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 Columns 7 through 11 1.2000 1.4000 1.6000 1.8000 2.0000 >> dt(3:5) % nos da los elementos 3, 4 y 5 de dicho vector ans = 0.4000 0.6000 0.8000 >> dt(1:8) % nos da los elementos del primero al octavo de dt ans = 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 1.2000 1.4000 % Todas estas instrucciones, ordenadas convenientemente, se pueden introducir en un

fichero Matlab para resolver, por ejemplo, problemas de contorno numéricamente % En relación al cálculo de los valores propios y vectores propios, para una matriz

cuadrada y simétrica, por ejemplo, >> A=[1,2,3;2,1,4;3,4,8] A = 1 2 3 2 1 4 3 4 8

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

>> eig(A) % nos da un vector columna que contiene los valores propios ans = -1.1536 0.0783 11.0753 % para sacar los vectores propios, hay que introducirlos en una matriz >> [vp,l]=eig(A) vp = 0.4965 0.8013 0.3338 -0.8433 0.3541 0.4043 0.2058 -0.4822 0.8515 l = -1.1536 0 0 0 0.0783 0 0 0 11.0753 % arriba, l es una matriz que tiene en la diagonal principal los valores propios y vp es

una matriz cuyas columnas son los vectores propios. Por ejemplo, vp(1:3) nos da el vector propio asociado con el valor propio -1.1536. Como se comprueba a continuación, se trata de un cálculo numérico que involucra un error

>> (A+1.1536*eye(3))*vp(1:3)' ans = 1.0e-005 * -0.2229 0.3787 -0.0924 % se han tomado sólo cuatro cifras decimales para primer valor propio; si escribimos

más cifras decimales de precisión, vemos que el error disminuye: >> format long

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

>> [vp,l]=eig(A) vp = 0.496477270727066 0.801300714843487 0.333807555400894 -0.843302009616461 0.354066166486433 0.404325203674516 0.205796113248626 -0.482238855901221 0.851524307128599 l = -1.153604490133523 0 0 0 0.078268344144607 0 0 0 11.075336145988917 >> (A+1.153604490133523 *eye(3))*vp(1:3)' ans = 1.0e-015 * 0.555111512312578 0.777156117237609 0 % vp(1:3) nos da el vector transpuesto del vector propio asociado al primer valor propio >> vp(1:3) ans = 0.4965 -0.8433 0.2058 >> vp(1:3,1) ans = 0.4965 -0.8433 0.2058

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

>> vp(1:3)' ans = 0.4965 -0.8433 0.2058 >> vp(:,1) ans = 0.4965 -0.8433 0.2058 % Así, v(1:3,1)=vp(1:3)’= vp(:,1) es el vector propio asociado al primer valor propio. El

vector propio asociado al segundo valor propio >> vp(1:3,2) ans = 0.8013 0.3541 -0.4822 % El vector propio asociado al tercer valor propio >> vp(:,3) ans = 0.3338 0.4043 0.8515 % Cambiamos el formato y hacemos verificaciones para el segundo y tercer valor

propio y los vectores propios asociados. >> format short g

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

>> (A-l(2,2)*eye(3))*vp(1:3,2) ans = 2.2204e-016 -2.2204e-016 1.3323e-015 >> (A-l(3,3)*eye(3))*vp(1:3,3) ans = 8.8818e-016 0 -8.8818e-016 % Para evitar errores numéricos, en ocasiones puede ser conveniente utilizar “sym(A)”

como nos muestran las siguientes verificaciones (por brevedad evitamos mostrar resultados intermedios; usar “help sym/eig” para más detalles)

>> [VP,L]=eig(sym(A)); >> simplify((A-L(1,1)*eye(3))*VP(:,1)) ans = 0 0 0 >> simplify((A-L(2,2)*eye(3))*VP(:,2)) ans = 0 0 0 >> simplify((A-L(3,3)*eye(3))*VP(:,3)) ans = 0 0 0

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

% Estas operaciones de cálculo vectorial pueden ser de utilidad en el cálculo numérico

de los valores propios de una ecuación diferencial, también en la resolución de sistemas cuando quedan expresiones complicadas para un cálculo exacto.

% La aplicación de fórmulas integrales para resolución de ecuaciones diferenciales de

orden superior a uno, o de sistemas diferenciales, involucra (e.g, el método de variación de parámetros) definir funciones vectoriales o matriciales de una variable simbólica t y hacer las operaciones elementales de multiplicación, inversión e integración. Ejemplo (ejercicio 14 de la hoja de problemas):

>> syms t >> A=[t,t^2;1,2*t] A =

[ t, t^2] [ 1, 2*t]

>> b=[t;t^3] b = t t^3 >> det(A) ans = t^2 >> inv(A) ans =

[ 2/t, -1] [ -1/t^2, 1/t]

>> inv(A)*b ans = 2-t^3 -1/t+t^2

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

>> int(ans) ans = 2*t-1/4*t^4 -log(t)+1/3*t^3 % ahora A*ans nos da lo mismo que >> A*int(inv(A)*b) ans = t*(2*t-1/4*t^4)+t^2*(-log(t)+1/3*t^3) 2*t-1/4*t^4+2*t*(-log(t)+1/3*t^3) >> pretty(ans)

% “pretty” en general permite visualizar mejor un resultado o una expresión

matemática, pero depende de la versión de Matlab: arriba lo que se tiene con la versión 2008 y abajo con la 2011

>> pretty (ans)

Preliminares


Mª Eugenia Pérez

Diseño y Maquetación: Antonio J. González Pérez

% Para terminar la sesión de trabajo, y que Matlab nos guarde lo que hemos hecho desde el comienzo (fichero “preliminares”), usamos

>> diary off _______________________________________________________________________

Preliminares

Preliminares: nociones de cálculo diferencial, integral y ... · cálculo integral y álgebra. ......

Documents

Transcript of Preliminares: nociones de cálculo diferencial, integral y ... · cálculo integral y álgebra. ......