Cálculo de la Incertidumbre Asociada al Recuento en ...

Informes Técnicos Ciemat 775Diciembre 1995

Cálculo de la incertidumbreasociada al recuento enmedidas de radiactividadambiental y funcionesbasadas en ella.Procedimiento práctico

C. Gaseó Leonarte,M. P. Antón Mateos

Instituto de Medio Ambiente

Toda correspondencia en relación con este trabajo debe dirigirse a la Unidad deGestión de Recursos de la Información, Centro de Investigaciones Energéticas,Medioambientales y Tecnológicas, Ciudad Universitaria, 28040-MADRID, ESPAÑA.

Las solicitudes de ejemplares deben dirigirse a este mismo Servicio.

Los descriptores se han seleccionado del Thesauro del DOE para describir las materiasque contiene este informe con vistas a su recuperación. La catalogación se ha hecho utilizandoel documento DOE/TIC-4602 (Rev. 1) Descriptive Cataloguing On-Line, y la clasificación deacuerdo con el documento DOE/TIC.4584-R7 Subject Categories and Scope publicados porel Office of Scientific and Technical Information del Departamento de Energía de los EstadosUnidos.

Se autoriza la reproducción de los resúmenes analíticos que aparecen en estapublicación.

Depósito Legal: M-14226-1995ÑIPO: 238-95-010-2ISSN: 0214-087X

Editorial CIEMAT

CLASIFICACIÓN DOE Y DESCRIPTORES

RAKOACTIVITY. RADIOCHEMICAL ANALYSIS, DATA

"Cálculo de la incertidumbre asociada al recuento en medidas de radiactividadambiental y funciones basadas en ella. Procedimiento práctico"

Gaseó Leonarte, C ; Antón Mateos, M. P.32 pp. 0 figs. 13 refs.

Resumen

Este artículo resume el procedimiento para realizar los cálculos de la incertidumbre asociada alrecuento en medidas de radiactividad ambiental, particularmente en aquellas que llevan implícita unaseparación radioquímica con trazadores. El cálculo de las incertidumbres asociadas a la determinaciónde la concentración de actividades, ralaciones isotópicas, inventarios, extracciones secuenciales,cronología utilizando el método de datación C. R. S. y análisis de duplicados realizados por métodosradioanalíticos diferentes, se describen detalladamente. Los ejemplos prácticos que se presentanfacilitan los cálculos y sirven como guía a personal no familiarizado con éstos. La introducción dedatos en una hoja Lotus 1, 2, 3 WIN y las expresiones en dicho lenguaje para el cálculo de lasdiversas incertidumbres se muestran para algunos parámetros de interés en las medidas de radiactividad.

"Calculation of uncertainties associated to environmental radioactivity measurementsand their funetions. Practica Procedure"

Gaseó Leonarte, C ; Antón Mateos, M. P.32 pp. 0 figs. 13 refs.

Abstract

This report summarizes the procedure used to calcúlate the uncertainties associated toenvironmental radioactivity measurements, focusing on those obtained by radiochemical separationin which tracers have been added. Uncertainties linked to activity concentration calculations, isotopicratiso, inventories, sequential leaching data, chronology dating by using C.R.S. model and duplicateanlaysis are described in detail.

The objective of this article is to serve as a guide to people not familiarized with this kind ofcalculations, showing clear practical examples. The input of the formulas and all the data needed toachieve these calculations into the Lotus 1, 2, 3 WTN is outlined as well.

índice1 Introducción 2

1.1 Descripción de un método general de separación radioanalítica en muestras ambientales 21.2 Breve descripción de estadística nuclear aplicada al cálculo de incertidumbre en el recuento 3

2 Cálculo de incertidumbres asociadas a medidas de radiactividad ambiental 42.1 Introducción de datos de un análisis de un radionucleido emisor a en la hoja de cálculo

Lotus 42.2 Incertidumbre asociada al cálculo de la actividad 62.3 Incertidumbre asociada a la corrección por desintegración 82.4 Incertidumbre asociada a la relación isotópica o entre radionucleidos 82.5 Incertidumbre asociada a un sumatorio de actividades. Inventarios 92.6 Incertidumbres asociadas a los porcentajes de extracción de un radionucleido en una

muestra 102.7 Incertidumbre asociada al tiempo cronológico determinado según el método de datación

CRS 112.7.1 Datación en un testigo de cinco secciones 122.7.2 Datación en un testigo de dieciocho secciones 13

2.8 Prueba estadística entre duplicados 14

3 Conclusiones 14

4 Bibliografía 15

5 Anexos 16

1 Introducción

En 1895, Becquerel descubrió que las sales de uranilo emitían radiaciones análogas a las X, eran pene-trantes, impresionaban placas fotográficas y provocaban ionización en los gases sobre los que actuaban.Posteriormente, los esposos Curie identificaron dos nuevos elementos químicos: el polonio y el radio,apreciando en ellos efectos radiactivos varios órdenes de magnitud más intensos que los observados enlas sales de uranilo. Estas investigaciones dieron lugar al conocimiento de la radiactividad natural.

Los seres vivos han estado expuestos desde sus orígenes a la radiactividad natural, debida a los rayoscósmicos, radionucleidos cosmogénicos y radionucleidos primordiales. La extracción y tratamiento deciertos minerales de interés energético o comercial, que contienen radionucleidos naturales, ha oca-sionado su translocación, dando lugar a focos de emisión de radiactividad natural entre los que cabedestacar: los vertidos de la minería de uranio y los de las fábricas de producción de fosfórico y deabonos fosfatados.

La radiactividad artificial fue descubierta en 1934 por los esposos Juliot-Curie, comprobando quemediante reacciones nucleares se podían obtener átomos radiactivos. Las aplicaciones tecnológicas deeste descubrimiento, han dado lugar a los diversos focos de emisión de radiactividad artificial entre losque se encuentran: explosiones atmosféricas de armamento nuclear, combustión de satélites con gener-adores nucleares por pérdida de velocidad en su órbita y reentrada accidental en la atmósfera (SNAP-8),accidentes severos en Centrales Nucleares (Chernobyl), vertidos controlados de la industria nuclear, ac-cidentes con armamento nuclear (Palomares y Thule), escapes accidentales de almacenamientos defini-tivos de residuos radiactivos(fosas del Atlántico y del Pacífico) y vertidos de laboratorios, centros deinvestigación y hospitales que utilizan radionucleidos.

La radiactividad existente en el Medio Ambiente consta de ambas contribuciones: natural y artificialUna vez fijado el objetivo que se pretende con la medida de la radiactividad (planes de vigilan-

cia en torno a CCNN, estudios radioecológicos, estudios de impacto ambiental, redes de vigilanciaambiental,...) el primer paso consiste en el establecimiento de una red de muestreo específica para laobtención de muestras representativas del sistema en estudio. Una vez obtenidas, la determinación delos radionucleidos existentes en ellas se realiza mediante diversas técnicas, dependiendo de las carac-terísticas de emisión de los radionucleidos y de los límites de detección que se deseen alcanzar.

Esta determinación se efectúa mediante:

a) medida directa de la muestra por espectrometría y utilizando geometrías calibradas

b) separación analítica del radionucleido objeto del estudio con trazadores o portadores y posteriormedida por espectrometrías a, /?, centelleo sólido o líquido, contadores proporcionales de flujocontinuo de gas, contadores Geiger-Müller . . .

La separación analítica requiere—dependiendo del radionucleido a determinar y técnica de medida—la eliminación de los interferentes químicos, fotoluminiscentes o radioquímicos, la obtención de elec-trodepósitos ultrafinos puros o la extracción en soportes físicos adecuados.

Este trabajo describe un método general de separación radioquímica de un emisor a en muestrasambientales y los conceptos básicos de estadística necesarios para expresar un resultado de concen-tración de actividad con su incertidumbre. Funciones basadas en la concentración de actividad de unradionucleido que tienen su aplicación en el campo de la radioecología acuática y sus incertidumbresson también mostradas.

1.1 Descripción de un método general de separación radioanalítica en mues-tras ambientales

El desarrollo de metodología analítica específica ha permitido aislar y cuantificar los radionucleidos quese encuentran a nivel de ultrazas dispersos en el medio ambiente.

El CIEMAT ha realizado una serie de normalizados donde se describen detalladamente los procesosanalíticos a realizar y las diversas etapas de separación de los radionucleidos en muestras ambientales.[1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8].

Estos métodos analíticos se componen resumidamente de las siguientes etapas:

a) Selección del tamaño de muestraSe sigue el criterio de concentración de actividad estimada para el radionucleido en el ambiente

b) Pretratamiento por vía seca o húmedaTiene por objeto la destrucción de la materia orgánica, sílice u otros compuestos macroconsti-tuyentes. Se extrae el radionucleido de su matriz original adicionándose o el trazador radiactivocon una concentración de actividad calibrada—con una concentración similar a la de la muestra—o el portador.

c) PreconcentraciónEliminación de grandes cantidades de elementos químicos por precipitación selectiva, extraccióncon disolventes orgánicos o cualquier otra técnica analítica.

d) Purificación del elementoEliminación de microconstituyentes utilizando resinas intercambiadoras de iones, extractantesorgánicos u otros agentes.

e) Electrodepósito, fijación a soporte de geometría calibrada o adición de centelleadores.Utilización de corriente eléctrica continua a intensidad prefijada para depositar cuantitativamenteel radionucleido sobre un disco. Extracción, precipitación o desecado de la disolución sin inter-ferentes sobre soporte de geometría específica. Adición de los líquidos centelleadores en volumeny proporción adecuada a la solución purificada.

f) Recuento por espectrometría alfa de las partículas emitidas por el radionucleido (otras técnicas demedida dependiendo del radionucleido)Obtención de un espectro donde se identifica al trazador y a los radionucleidos analizados. In-tegración de los picos de interés. (Recuento de la actividad a o /? del radionucleido aislado,rendimiento químico a través del portador).

g) Cálculo de la concentración de actividadUna vez obtenidas las cuentas resultado de la integración de los diversos picos se introducen enla hoja de cálculo para determinar la concentración de actividad, teniendo en cuenta el tamañode la muestra y la recuperación química.

h) Incertidumbre debida al recuentoCálculo descrito por este artículo.

i) Introducción de resultados en base de datosUna vez obtenidos los resultados de concentración de actividad del radionucleido son introducidosen la base de datos para su utilización general.

j) Implantación de garantía de calidad a resultados y medidasSe. establece el porcentaje de muestras y resultados que deben ser sometidos a revisión o dupli-cación [11] y [12]. Se revisan los procedimientos de análisis.

k) Cálculo de otros parámetros utilizados en radioecologíaDeterminación de inventarios o relaciones isotópicas que sirven para establecer la cantidad totalde un radionucleido en un ecosistema o determinar la procedencia de un vertido por la variaciónde las relaciones isotópicas.

1.2 Breve descripción de estadística nuclear aplicada al cálculo de incer-tidumbre en el recuento

El tratamiento de datos experimentales en medidas de radiactividad ha sido descrito ampliamente pornumerosos autores, recomendándose su lectura para una perfecta comprensión de los conceptos aquíextraídos procedentes de estas publicaciones [9] y [10].

Los procesos de desintegración radiactiva siguen una distribución binómica. Para establecer loscorrespondientes parámetros de la distribución: media y desviación típica, hay que conocer en primerlugar la probabilidad de desintegración de un átomo radiactivo en un determinado intervalo de tiempo.Las condiciones necesarias y suficientes en las que se basa este cálculo son:

a) La probabilidad de desintegración de un átomo radiactivo en un determinado intervalo de tiempoes la misma para todos los átomos de la muestra.

b) El hecho de que un átomo se desintegre en un determinado intervalo t, no afecta a la probabilidadde que los otros átomos se desintegren en el mismo intervalo.

c) La probabilidad de desintegración de un átomo en un determinado intervalo es igual para intervalosde tiempo idénticos e independientes del intervalo anterior.

Aplicando estos tres postulados se puede llegar a la expresión de la probabilidad buscada, calculán-dose posteriormente el valor medio del número de desintegraciones, la desviación típica y la relaciónentre ambas.

Siendo a — vN la desviación típica, donde N es el valor medio del número de desintegraciones.La inferencia estadística permite a partir de un número finito de observaciones, estimar el valor

medio que se obtendría de infinitas, llegando a la importante conclusión que con una sola medida sepuede estimar la media y la desviación típica. Si en la medida de un radionucleido se obtienen rcuentas, diremos que el resultado es r (valor más probable) y su desviación típica es a = y/r + 1 Si res un número de cuentas grande <x = y/r.

Teniendo en cuenta esta simplificación se ha llegado a la expresión más utilizada en el recuento deradionucleidos.

Los resultados de un conjunto de medidas que sigan una distribución normal tienen una incertidum-bre asociada a su recuento que se expresa con una determinada probabilidad dckcr de que el verdaderovalor se encuentre comprendido en el intervalo de confianza ls, 2s, etc.

Estos son los conceptos básicos que junto con la ley de propagación de incertidumbres se ha utilizadoen la descripción de las diversas incertidumbres.

2 Cálculo de incertidumbres asociadas a medidas de radiac=tividad ambiental

En los apartados siguientes se describe la manera de calcular cada una de las incertidumbres con susfórmulas matemáticas correspondientes, su escritura en el lenguaje Lotus y un ejemplo práctico basadoen medidas reales.

2.1 Introducción de datos de un análisis de un radionucleido emisor a enla hoja de cálculo Lotus

La descripción que se realiza en este apartado está referida específicamente a las capacidades de medidadel laboratorio de radioecología del medio acuático, pero, obviamente, puede ser adaptada de manerainmediata a cualquier laboratorio con distinto equipamiento, o a diferentes radionucleidos emisores a.

La introducción de los datos obtenidos en el espectro a para las diversas muestras, se realiza de lasiguiente manera.

En una hoja en blanco del Lotus como la que se presenta en los Anexos se introduce en las columnasA, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, 0, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z, AA, AB, AC, AD lassiguientes referencias.

Al = Siglas de referencia de la muestraBl = Cuentas totales obtenidas para el pico del Pu-242 en el espectro alfaCl = Cuentas totales de fondo obtenidas en el pico del Pu-242 en el espectro alfa de

fondoDI = Cuentas totales obtenidas para el pico del Pu-239 en el espectro alfaEl = Cuentas totales de fondo obtenidas en el pico del Pu-239 en el espectro alfa de

fondoFl = Cuentas totales obtenidas para el pico del Pu-238 en el espectro alfaGl = Cuentas totales de fondo obtenidas en el pico del Pu-238 en el espectro alfa de

fondoHl = Cuentas totales obtenidas para el pico del Am-243 en el espectro alfaII = Cuentas totales de fondo obtenidas en el pico del Am-243 en el espectro alfa de

fondoJl = Cuentas totales obtenidas para el pico del Am-241 en el espectro alfaKl = Cuentas totales de fondo obtenidas en el pico del Am-241 en el espectro alfa de

fondoLl = Kilogramos de sedimentos o kilogramos húmedos de muestra vegetal o animal

tratados en el análisisMI = Litros de agua tratados en el análisisN2 = Actividad del trazador de Pu-242 añadido expresada en BqN3 = Actividad del trazador de Am-243 añadido expresada en Bq01 = Actividad del Pu-239 calculada en Bq/kg o Bq/L según la fórmula descrita en los

apartados siguientesPl = Incertidumbre asociada al recuento ls de la actividad calculada del Pu-239Ql = Actividad del Pu-238 calculada en Bq/kg o Bq/L según la fórmula descrita en los

apartados siguientesRl = Incertidumbre asociada al recuento ls de la actividad calculada del Pu-238SI = Actividad del Am-241 calculada en Bq/kg o Bq/L según la fórmula descrita en los

apartados siguientesTI = Incertidumbre asociada al recuento ls de la actividad calculada del Am-241Ul = Densidad superficial del sedimento expresada en kg/m2. Calculada con la sección

y su pesoVI = Inventario del Pu-239 expresado en Bq/m2 (Se obtiene al multiplicar 01 por Ul)Wl = Inventario del Pu-238 expresado en Bq/m2 (Se obtiene al multiplicar Ql por Ul)XI = Inventario del Am-241 expresado en Bq/m2 (Se obtiene al multiplicar SI por Ul)Yl = Detector de medida del plutonio para el sistema alfa del laboratorio de radioeco-

logía del medio acuático con la siguientes siglas:1/4 (1) Para la cámara cuádruple primera en el detector 11/4 (2) Para la cámara cuádruple primera en el detector 2

Para la cámara cuádruple primera en el detector 3Para la cámara cuádruple primera en el detector 4Para la cámara cuádruple segunda en el detector 1Para la cámara cuádruple segunda en el detector 2Para la cámara cuádruple segunda en el detector 3Para la cámara cuádruple segunda en el detector 4Para la cámara simple 3Para la cámara simple 4

Zl = Detector de medida del americio para el sistema alfa del laboratorio de radioeco-

logía del medio acuático con las mismas siglas que las utilizadas en YlAA1 = Eficiencia de calibración para el detector correspondienteAB1 = Eficiencia de calibración para el detector correspondienteAC1 = Rendimiento químico calculado por el sistema para el plutonioAD1 = Rendimiento químico calculado por el sistema para eí americio

1/41/42/42/42/42/43/44/4

(3)(4)(1)(2)(3)(4)

La actividad calculada por el Lotus para el plutonio y americio utilizará las expresiones 1, 2 y 3sucesivamente, descrita en los procedimientos de determinación:

C339+340pa — CF339+340 pn 1B — — —

C343pu — Oi'343ptl Kg

C/343Pn — O-f343po Kg

(á)Kg

El resultado de la actividad de Pu-239, Pu-238 y Am-241 serán calculados (en la columna 02, Q2 y

S2 respectivamente) según la expresión Lotus siguiente:

e (((D2-E2/B2-C2)*$N$2)*(1/L2)) para muestras sólidas o(((D2-E2/B2-C2)*$N$2)*(Í/M2)) para muestras líquidas

• (((F2-G2/B2-C2)*$N$2)*(1/L2)) para muestras sólidas o(((F2-G2/B2-C2)*$N$2)*(1/M2)) para muestras líquidas

© (((J2-K2/H2-I2)*$N$3)*(1/L2)) para muestras sólidas o(((J2-K2/H2-I2)*$N$3)*(i/M2)) para muestras líquidas

Se dejará la columna P2, R2 y T2 en blanco para la introducción de la fórmula del incertidumbreasociado al recuento.

2.2 Incertidumbre asociada al cálculo de la actividad

Las incertidumbres relativas asociadas al recuento de cada uno de los isótopos según la fórmula re-comendada por la OIEA son:

339+340ptl —

Cs43pu + C Fi

C*343Am + CF343

donde C son cuentas totales; CF, cuentas de fondo y e, la incertidumbre relativa.Sientio la expresión final de concentratcion de actividad:

^339+340Pu ± -4,39+240^339+340^, ^338P<1 ± ^338 ^ 3 3 8 pu . 4 , 4 ! A m ± 4 ,41 Am£341 A m "

Estas fórmulas 4, 5 y 6 se deducen de la ley general de propagación de errores 7, siendo Q unafunción genérica dependiente de las variables A, B, C, D, E, . . .

Q = f(A,B,C,D,E,...) (7)

dQ\2_2,fdQ^2

dA

9Q\ (9Q\ _ 2 , n I ^ \ I Uí* \ _ 2 , r, / u*°i \ I v*°¿ \ _ 2

^ (

8C \8DCD

2 ,I • ' '

En donde se han anulado los términos de la covarianza <rAB, crAO, . . . , al ser variables independientes.La deducción de la incertidumbre de la concentración de actividad del Pu-239, Pu-238 y Am-241

(ecuaciones 4, 5 y 6) es sencilla basándose en las estadística. La expresión de la concentración deactividad tiene una ecuación general

A — B j4tr»,»dor ,QiQ=C-D kg ( 8 )

donde 4«r»^°j. = cte .

A, B, C, D son las cuentas encontradas en cada pico por lo tanto tendrán su incertidumbre absolutoasociado A ± <r¿, B ± &B, C ± (Te, D ±<T£>.

Siendo según [9] para un número de sucesos suficientes para seguir una estadística gaussiana. aA =VA, <TB = VS, ere = VC, <TD = VD-

Aplicando la ley de propagación de errores 7 a la ecuación 8 y simplificando los términos de lacovarianza por ser variables independientes

, {C-Df 2 , {A-Bf 2 (A-B)(C-D)4 A (C-D)4 B +(C-DY c

, {C-Df 2 , {A-Bf 2 (A-B)\ 2

(CD)4 B +(CDY c {CDY D K}

Teniendo en cuenta que a A — VA, etc.

V(C - D)\A + B) + (A- BY{C + D)<TQ~ (C- Df

Multiplicando y dividiendo la expresión anterior por (A — B) y (C — D) la fórmula se simplifica obte-niendo

= (A-B) I(A + B) {C + D)q (C-D)]¡ (A- Bf (C - Df

Equivalente a la 4 multiplicando por la actividad.El resultado para el incertidumbre absoluto coincide con la expresión que la IAEA recomienda

Las expresiones Lotus que calculan los incertidumbres correspondientes al Pu-239, Pu-238 y Am-241en la hoja de cálculo (figura 2) y los sitúa en P2, R2 y T2 son:

(@RCUAD((((fflRCUAD(D2+E2))/(D2-E2))~2 +(((SRCUAD(B2+C2))/(B2-C2))~2)))*02 Pu-239

(®RCUAD((((ORCUAD(F2+G2))/(F2-G2))'2 +(((SRCÚAD(B2+C2))/(B2-C2))"2)))*Q2 Pu-238

(®RCÜAD((((®RCUAD(H2+I2))/(H2-I2))'2 +(((fflRCUAD(J2+K2))/(J2-K2))"2)))*S2 Am-241

Ejemplo práctico 1:El análisis radioquímico de plutonio de una muestra de sedimento de 10 gramos a la que se ha añadidotrazador de Pu-242 con una actividad certificada de 12 mBq ha dado los siguientes resultados en elespectro alfa correspondiente:

Cuentas de Pu-239 = 25Cuentas de fondo Pu-239 = 2Cuentas de Pu-242 = 400Cuentas de fondo de Pu-242 = 3Calcular la concentración de actividad de Pu-239 y su incertidumbre asociada.

Solución:La concentración de actividad calculada según la ecuación 8 equivalente a la 1 es:

0 012 2^ —q / g ) ^ = 0.069

La incertidumbre según la expresión 9 es:

La concentración de actividad se expresará como:

A»^oPa = 0-069 (Bq/kg) ± 0.016 (ls)

2.3 Incertidumbre asociada a la corrección por desintegración

La concentración de actividad obtenida de un radionucleido debe ser corregida cuando existe desinte-gración de ese radionucleido desde la fecha del muestreo a la de recuento o se desea corregir su actividada una fecha determinada en la que se produjo un suceso.

La concentración de actividad A medida del radionucleido con su incertidumbre correspondiente es:A±crA Sin embargo lo que se quiere medir es la incertidumbre asociada a su concentración de actividadreal AQ. Según la expresión de la ley de desintegración radiactiva la actividad decrece con el tiemposegún la ecuación:

A = Aoe-Xi (10)

La actividad en el tiempo cero Ao es AQ = A ext con su correspondiente incertidumbre (XA0 1ne a^derivar 10 según la ley de propagación de incertidumbres

aAo=aAeXi (11)

Ejemplo práctico 2:Se ha medido Pu-238 en un disco cuya actividad a fecha de recuento era de 20Bq/kg±2 (ls). Queremosdeterminar cuál es su concentración de actividad e incertidumbre asociada si han transcurrido veinteaños desde su recogida a la medida. La actividad Ao sería

Ao = 20e2?^2 = 23.5

y el incertidumbre según la fórmula calculada 11, <TA0 — 2-3Solución:

Por lo tanto la actividad de la muestra a fecha de recogida será:

AQ = 23.5 (Bq/kg) ± 2.3 (ls)

2.4 Incertidumbre asociada a la relación isotópica o entre radionucleidos

Las relaciones isotópicas se utilizan en determinadas ocasiones para establecer el origen de un vertidoaccidental o una descarga controlada. Estas relaciones se determinan calculando el cociente entre lasactividades obtenidas de los dos isótopos. Esta relación lleva asociada su incertidumbre que deberá serestablecida. La relación Q que es el cociente de las actividades A y B, tiene un incertidumbre asociada

Esta expresión de la incertidumbre en Lotus es(®RCUAD((I2/H2)~2)+((G2/F2)~2))*S2donde en 12 se ha introducido la incertidumbre asociada a A, en H2 se ha introducido la actividad A,en G2 se ha introducido la incertidumbre asociada a B y en F2 la concentración de actividad de B y enS2 el cociente entre A y B.

Ejemplo práctico 3:Calcular la incertidumbre asociada a la determinación de la relación isotópica Pu-239 / Pu-238, siendola concentración de actividad de los plutonios la siguiente:¿ 3 M p s =230Bq/kg±20(ls)B33Spu = 20Bq/kg± 5(ls)Esta relación tiene un incertidumbre según 12 de

Solución:La relación isotópica será 11.5 ± 3

2.5 Incertidumbre asociada a un sumatorio de actividades. Inventarios

Una magnitud de uso general en el laboratorio de radioecología es el cálculo del inventario total de unradionucleido en un sedimento que consiste en determinar su inventario en un testigo de sedimento,sección por sección, y sumarlo. Los inventarios se obtienen multiplicando la actividad obtenida porla denominada densidad superficial de un sedimento (cociente entre los gramos de sedimento de unasección y su superficie.)

El inventario total Q tendrá una expresión Q = A + B + C+D + E+D + F + G + Hdonde A, B, C, D, E, F, G, y H, son los inventarios de cada sección.

El inventario de cada sección tendrá un incertidumbre asociada: <rA, crB, ac, ..., aH.La incertidumbre del inventario total se obtiene de la ecuación general 7 derivando Q

aQ = v V + <V+<7c2 + ... + (7fí2 (13)

La expresión Lotus de la incertidumbre del inventario es(<8RCUAD(QSUMA(V2..VN)))donde en V2 a VN se han introducido las incertidumbres al cuadrado de la medida del inventario decada sección.

Ejemplo práctico 4:El inventario por secciones de un testigo de sedimento es:A = 300(Bq/m2)±10(ls)B = 60(Bq/m2)± 1 (ls)C= 40(Bq/m2)± 3(ls)£>= 20(Bq/m2)± 1 (ls)E= 5(Bq/m2)± 2(ls)F= l (Bq /m 2 )± 1 (ls)G= 7(Bq/m2)± 8(ls)El inventario total seráQt = 300 + 60 + 40 + 20 + 5 + 1 + 7 = 433Su incertidumbre asociada según 13

<xQ = vlO2 + I2 + 32 + I2 + 22 + I2 + 82 = 13.4

Solución:El inventario total de este testigo seráInv = 433(Bq/m2)±13.4(ls). -

2.6 Incertidumbres asociadas a los porcentajes de extracción de un radionu-cleido en una muestra

El porcentaje de un radionucleido asociado a diversas fases de un sedimento es un parámetro que sedetermina en la nueva metodología de análisis de radionucleidos. Este porcentaje se calcula a partir dela actividad encontrada en cada fase. La actividad total de la muestra se halla sumando la actividadde cada radionucleido y el porcentaje es el cociente entre la actividad de cada fase y la actividad total.En el procedimiento desarrollado [3] en el laboratorio identifica cinco fases extracción. Estas cinco fasestienen un valor de actividad calculado para cada radionucleido, que denominaremos A, B, C, D, E.Estas actividades llevan sus incertidumbres crA, aB, crc, <rD, aB, asociadas al recuento.

La actividad total de la muestra es QT que será la suma de las actividades halladas en cada faseQT= A + B + C + D + E

El porcentaje de extracción en cada fase es<5i = A/(A + B + C + D + E),Q2 = B/(A + B + C + D + E),

y/(B + C+D +(A

y/(A + C + D +(A

y/(A + B + D +(A

y/(A + B+C +(A

y/{A + B+C +

E)2

+ B

E)2

+ B

E)2

+ B

E)2<+ B

D)2

+

+

+

+

+ A2(a2B

C + D +

+ B2(a2A

C+D +

+ C2(0-2

C + D +

+ D2(a\C + D +

+ E2(a\

+ <T%+0

E)2

+ <T2C+O

E)2

+ cr2B+a

E)2

+ al +a

E)2

+ *l+o

i + <rl)

i + al)

i + al)

l+al)

= E/(A + B + C + D + E).El Íncertidumbre asociada a cada fracción se obtiene derivando las expresiones Q\, Q2, Q3, Qi, Q5.

'Qí~ (A + B + C + D + E)2 ^

(17)

Q= ~ (A + 5 + (7 + ^ + ^)2 ^ l o ;

La introducción de los datos es la siguienteAl = Código de la faseBl = Actividad de plutonio obtenida en la fase 1Cl = íncertidumbre de la actividad del plutonioDI = íncertidumbre al cuadrado de la actividad del plutonioEl = Fórmula de obtención del porcentaje de extracciónFl = Fórmula de la Íncertidumbre asociada a cada fase

Las fases irán consecutivamente ordenadas en la columna A siendo los primeros datos introducidosen las columnas B2, C2, etc. El la hoja de cálculo Lotus se introducen las expresiones siguientes

(B2/<SSUMA($B$2. .$B$6))

Copiándose en las casillas siguientes y obteniéndose los valores para Q2, Q3, QA y Qs-Su incertidumbre asociada

(@RCUAD(((B2~2)*(SSUMA($D$2..$D$6)-D2))+(D2*((@SUMA($B$2..$B$6)-B2)*2))))/(@SUMA($B$2..$B$6))~2

Copiándose en las casillas siguientes y obteniéndose los valores para <xQ , crQ , <rQ , <rQ .

10

<7

Ejemplo práctico 5:Una extracción secuencial de Pu-239 en un sedimento ha dado los siguiente resultados para cada unade sus cinco fases:Fase 1 = 30 (Bq/kg) ± 1 (ls)Fase 2 = 10 (Bq/kg) ± 2 (ls)Fase 3 = 2 (Bq/kg) ± 0.5 (ls)Fase 4 = 0.5 (Bq/kg) ± 0.02 (ls)Fase 5 = 7 (Bq/kg) ± 1 (ls)El total de actividad en la muestra es 49.5 (Bq/kg), siendo el porcentaje de extracción en cada faseQx = 0.60, Q2 = 0.20, Q3 = 0.04, Q4 = 0.01, Q5 = 0.14.Según las expresiones 14, 15, 16, 17, 18, los porcentajes calculados tendrían los siguientes incertidum-bres:

. \/(10 + 2 + 0.5 + 7)212 + 302(22 + 0.52 + 0.022 + I2)9 1 ~ (30+10 + 2 +0.5 +7)2

_ ^(30 + 2 + 0.5 + 7)222 + 102(l2 + 0.52 + 0.022 + I2)<T<}3~ (30 + 1 0 + 2 +0 .5+ 7)2

- \/(30 + 10 + 0-5 + 7)20.52 + 22(12 + 22 + 0.022 + I2)<TQÍ~ (30+10 + 2 + 0.5+ 7)2

_ y/(30 + 10 + 2 + 7)20.022 + 0.52(l2 + 22 + 0.52 + I2)<TQ* ~ (30 +10 + 2 + 0.5+ 7)2

- \/(30 + 10 + 2 + 0.5)2!2 + 72(12 + 22 + 0.52 + 0.02"2)<TQ' ~ (30 + 10 + 2 + 0.5 + 7)2

Solución:Por lo tanto el porcentaje expresado en tanto por uno para cada fase será:Qx = 0.60 ± 0.029 (ls),Q2 = 0.20 ± 0.033 (ls),Qz = 0.04 ± 0.010 (ls),Q4 = 0.01 ± 0.001 (ls),Q5 = 0.14 ± 0.019 (ls).

2.7 Incertidumbre asociada al tiempo cronológico determinado según elmétodo de datación CRS

El tiempo cronológico [13] establecido para cada sección de un testigo de sedimento se basa en el cálculodel flujo de Pb-210 no soportado (expresado en Bq/m2) de cada sección según la expresión general

dondeAQO = Actividad acumulada de Pb-210 en todo el testigoAM = Actividad acumulada de Pb-210 has ta la sección analizadaA = Constante de desintegración de Pb-210

11

2.7.1 Datación en un testigo de cinco secciones

El flujo acumulado de cada sección AMi, AM^, . . . AMs, tendrá las expresiones

AM&= A + B + C + D + E,donde A, B, C, D, E, son las actividades de las secciones 1, 2, 3, 4 y 5 respectivamente.

Para cada sección el tiempo cronológico se calcula según las fórmulas

1 A+B+C+D+E ,*1 = AlD B+C+D+E ( 2 0 )

1 A+B+C+D+E . .¿ 2 = A l n C + D + E ( 2 1 )

3 A D+E K }

1 A+B+C+D+EU=Xln E ( 2 3 )

Cada tiempo tendrá su incertidumbre característico que se obtendrá al derivar las expresiones 20,21, 22, 23, obteniéndose

±^1^ +A A + B + C + D + E [ '

*'* A A + B + C + D + E ^ '

C' = A J A + B + C + D + E ^26)

u AA A+B+C+D+EEjemplo práctico 6:

Un testigo de sedimento de 5 secciones tiene para cada sección un flujo de Pb-210 en exceso de:Sección 1 = 310(Bq/m2) ± 10 (ls)Sección 2 = 270 (Bq/m2) ± 5 (ls)Sección'3 = 120(Bq/m2) ± 3 (ls)Sección 4 = 110 (Bq/m2) ± 4(ls)Sección 5 = 30 (Bq/m2) ± 2(ls)El flujo acumulado seráAMK = 310, AM2 =580, AM3 = 700, AM< = 810, AM¡ = 840.El tiempo cronológico asociado a cada sección es según 20, 21, 22, 23,Í1 = 32 .17m § 5 f* !_ = 14.8

Í2 = 32.17 ln 84O_58o = 37.7

*3 = 32.17 ln 531^5 = 5 7 . 6

<4 = 32.17 ln gifÉlro = 107.2

12

Sus incertidumbres asociados, según 24, 25, 26, 27, seránA., ~

j y (3T0+130+110+30)3

X 310+270+120+110+30

i J(io3+Si)+í21S(130+110+30)3

""'a = + -J 310+270+i20+110+30

310+270+120+110+30

= XX 310+270+120+110+30Solución:

El tiempo cronológico para cada sección será:ti= 14.8 (años) ± 0.4 (ls)¿ 2 = 37.7(años)±0.6(ls)¿3= 57.6 (años) ± 0.9 (ls)í4 = 107.2(años)±2.1(ls)

2.7.2 Datáción en un testigo de dieciocho secciones

Se aplican las ecuaciones anteriormente obtenidas para la determinación del tiempo y su incertidumbreasociada. El testigo tiene un flujo de Pb-210 no soportado en cada sección A, B, D, ... R. Según lasfórmulas del apartado anterior tendremos las siguientes expresiones para el tiempo y su incertidumbre

( 2 8 )

+ B + C + --- + R(29 )

C+--- + R(30)

(31)A l n

1 V

V A

c4 + 54

^+B

1 3( < T 3 3 + . . . + ff3i)

B+C + ---+fi)3

+ •• • + /?

(it + B)3(<,3;+... + <7¿)

(C+D+-+K)3

I J i? ' — (33)

1A

Je" 1 -r-y A ' ,B

A-i

ÜP "T

h5 +

• + <r;

(A+B+---+P)2(cr:1 +I73,)(Q+ñ)2

••• + i?

, (^+B+--+Q) ; 1<T2R

A + B + ----

13

(34)

(35)

La expresión general de la incertidumbre en Lotus para el tiempo de la primera sección es

(32,17/$E$19)*®RCUAD((((®SUMA($E$2..E2))"2*($G$19-®SUMA($G$2..G2)))/($E$19-fflSUMA($E$2..E2))~2)+®SUMA($G$2..G2))

Se copia esta ecuación en las casillas siguientes, obteniéndose la incertidumbre asociada atB, ...,

2.8 Prueba estadística entre duplicados

Una práctica común en un laboratorio es analizar en la misma muestra un radionucleido por dos métodosdiferentes. Los resultados de la actividad calculada para ambos métodos generalmente difieren por loque se precisa realizar una prueba estadística entre los duplicados para asignar estadísticamente suigualdad o su diferencia La diferencia entre duplicados según [10] es

(36)

d o n d e d. = i ^ ^El resultado indica en qué porcentaje difieren los duplicados de las muestras y con qué fiabilidad.Ejemplo práctico 7:

Supongamos que hemos realizado la medida de Po-210 por análisis radioquímico y la medida de Pb-210directamente por espectrometría gamma. Los resultados son los siguientes:Po-210 = 50 (Bq/kg) ± 0.5 (ls)Pb-210 = 60 (Bq/kg) ± 10 (ls)¿Son estos duplicados estadísticamente idénticos?Aplicando la fórmula 36

//60-50\3

V 2 ~~Solución:

Los resultados obtenidos para esta muestra son significativamente iguales en un 87% con un 65% deconfianza (ls).

3 Conclusiones

Los métodos implantados permiten un fácil cálculo de incertidumbre asociada al recuento en las medidasde radiactividad. Los ejemplos prácticos sirven como guía para personas no familiarizadas con este tipode cálculos.

14

4 Bibliografía

Referencias

[1] E. IRANZO, A. ESPINOSA. Procedimiento Específico MA-04 (01): "Procedimiento para la determi-nación de 239+240Pu y 241 Am en muestras de aire." Madrid, 1992.

[2] C. GASCÓ. Procedimiento Especifico PR-X3-03:"Procedimiento parala determinación 239+240Puy 238Pu en sedimentos y suelos. (Grandes Cantidades. Nivel de Poso radiactivo)." Mad/id, 1992.

[3] M. P. ANTÓN, A. ARAGÓN. Procedimiento Específico PR-X3-05: "Procedimiento para la especiaciónde Pu y Am en muestras de sedimento y suelo." Madrid, 1993.

[4] L. ROMERO. Procedimiento Específico PR-X3-01: "Procedimiento para la determinación 241 Am ensedimentos." Madrid, 1988.

[5] A. ALVAREZ. Procedimiento Específico MA/16: "Procedimiento para la determinación 239+240Puy 238Pu en tejidos y muestras biológicas." Madrid, 1988.

[6] C. GASCÓ. Procedimiento Específico PR-X3-06: "Procedimiento para la determinación 241 Amen sedimentos (nivel de actividad poso radiactivo) utilizando extracción cromatográfica." Madrid,1994.

[7] L. ROMERO. Procedimiento Específico PR-X3-02:"Procedimiento para la determinación indirectade 241Pu." Madrid, 1990.

[8] Ll. CURRIE. "Limits for qualitative detection and quantitative delermination." Anal. Chem. 40 (3),586. 1958.

[9] R. GAETA. Tratamiento de datos experimentales. Lección en el curso superior de protección radio-lógica. Estadística nuclear. CIEMAT.

[10] L. GASCÓ. Fundamentos de estadística. I Curso sobre estudio de la radiactividad ambiental entorno a Instalaciones Nucleares. Instituto de Estudios Nucleares de la J. E. N. Madrid, 1960.

[11] Qualiiy Assurance for Analytical Laboratories. Edited, M. Parkany. Geneva. Royal Society of Chem-istry.

[12] A. S. NAKAGAWA. LIMS: Implementation and Management. McDonald, Royal Society of Chem-istry. Pennsylvania, 1994.

[13] L. ROMERO. Estudio del transporte tierra-mar de elementos transuránicos: aplicación al accidentede Palomares (Almería) de 1966. Tesis doctoral. Madrid, 1991.

15

5 Anexos

Formato para el registro de datos en Hoja Lotus

Formato de hoja con los datos ya insertados

Formato de hoja para el cálculo de otros incertidumbres

16

Formato para el registro de datos en Hoja Lotus 1, 2 , 3 WIN

17

1234567691011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818283

A B C

I

D E F G H I J

! ! I

K L M

I

N 0 P Q R S T U V w X Y Z AA AS AC AO

18

Formato de Hoja Lotus 1 ,2 , 3 WIN con los datos del espectro a introducidos

19

B123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536

AMuestraPaSD234PaSD235PaSD236PaSD237URBAR(07)URALI(03)URTAR(12)URTAR(O9)URTAR(04)URTAR(06)URBAR(12)URBAR(14)URBAR(16)URVAL(07)URVAL(08)URVAL(09)Uivalam(0i)urvalam(02)Urvalam(03)UrvaIam(O4)Urvalam(05)Uivalam(06)Un/alam(07)Uivalam(08)Urvalam(09)Urt>aram(12)Urt>aram(14)Urt>aram(16)Urt>arpu(i3)Umarpu(18)menotpu(01)Menocpu(02)Menorpu(03)Menotpu(04)Am13(01)P8S

BC Pu-242

34200100

11949687943990

1166619532529326445265

60

55686937357346

171

Ca Pu-242

21123012101244221

641614

DCPu-239

45345656

91S21215152469637110118465

1135811

13715093

108109

ECf Pu-239

122191110201

115548

1015855

4100

67234345567234

72312

89345342556

051034

1023

124210421270941563118959587828752

11391403

448734

1167326

185147162118921492564747

14277

81

I Kg63235

528004220410

2

L MUtros

0.010.010.010.010.020.020,020.020.020,02

0.0120.0120.0120.0120.0120.012

0.010.010.010.010.010,010,010.010,010,010.010.010.010,010.010.010.010.01

0,012

N 0TrazPu Act Pu-2391

0.0115 2,9192310.0163 0.184925

0,6454086,75625

0,1808180,3157940.1785710,2336340.1967680.048729

ERRERRERRERRERRERRERRERRERRERRERRERR

0.2655450.1980920,2720430,2028220.1277780.027545

0.0111 ERR

Introducción de los datos del análisis de las muestras en la hoja Lotus 1, 2, 3 WIN según el criterio de la pág. 5.

Las fórmulas para el cálculo de actividades e incertidumbres asociadas al recuento están descritas en las págs. 6 y 7

ERR ( Es la expresión de Lotus cuando realiza un cálculo y no tiene datos para ejecutarlo )

20

B123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536

P Q1sActPu-238f

1.7942830,0370920.1107843.365773

0,0198910,0290280,026861

0,026010.0311880,071095


0,0278150.0176830.0337130.0234790.1008720,025858

ERR

0.2653850.0057790.011735

0,2875000000

0,0018080.0036510.0089290,01298

0,010932-0,04873


0,0104550.0119650.0092740,008113

00

ERR

R S1sActAnv241

0,3301520,0100180.0117970,24374

ERRERRERRERRERRERR

0.001810,0063250.0066740,0053350,010953•0.03689


0,005550,0040090,0081930.006423

ERRERRERR

2,2548332,4028450.1525150,0633570,179159

ERRERRERRERRERRERRERRERRERRERRERR

0.2369950,2276970.1989060.2059310.2654160,1429820,1547470,1514970,0933130.0935780.2021370.089843

ERRERRERRERRERRERR

0.084896

T U1a Kg/m2

0,4178790,20814

0.0297820.0154710.029892


0,0193660,0204390,0177580,0201360,0298620,0622240,017428

0.022290.0140020.0159160,0181650.010519

ERRERRERRERRERRERR

0.051836

V W X Y Z A A A B A CInv239Pu lnv238Pu lnv241Am Detector Pu DetectorAm EflcienciaPiEficienctaArRq Pu-242

1.2 3,503077 0,318462 2,70581/4(4)2.3 0,425327 0,013291 5,528543 2/4(2)3.4 2.194388 0.039898 0,51855 2/4(3)5,6 37,835 1,61 0,3547991/4(1)1.2 0 0 0,214991 1/4(2)

1/4(4)2/4(2)2/4(3)1/4(1)1/4(2)

2/4(3)1/4(4)2/4(4)1/4(2)2/4(4)

2/4(2)2/4(3)1/4(1)1/4(2)1/4(3)1/4(4)

2/4(3)1/4(4)2/4(4)1M(2)2/4(4)2/4(3)1/4(1)1/4(2)1/4(4)2/4(2)2/4(3)2/4(4)

1/4(1)

0,20,220,230,180.18

0.20.220.230.180.180,04

0.230,2

0.250,180,25

0.220,230,160,180,04

0,2

0,230.2

0,250.180,250,230,180,18

0.20,220,230.25

0,18

0,94202913,109356.1751730,64412276.40902

ERRERRERRERRERR

38,405834.5849820.2898835.6682821.1755221,37681


36.2318854.5053629,9516945.6521716,3043512,10145

ERR

AORqAm-243

2,66737811.8609413,9877332.151789.488753


55.036953,0674851,6155453.0561223.108385,068018

53,851433,0038641,97342

34,811350,5468157,13701

ERRERRERRERRERRERR

4,544422

21

Formato de hoja para el cálculo de otras incertidumbres

22

2.4 Incertidumbre asociada a la relación isotópica o entre radionucleidos

A E F G H I J K1 Act Pu-239 Inct Act Pu-2381nct S22 230 20 20 5 11,53 Inct ratio4 3,056 Fórmula J4 (@RCUAD((I2/H2)A2)+((G2/F2)A2))*S2

F 1 = Actividad del Pu-239 expresada en Bq/kgGl = Incertidumbre asociada al recuento de la actividad del Pu-239Hl = Actividad del Pu-238 expresada en Bq/kgII = Incertidumbre asociada al recuento de la actividad del Pu-238Jl = Relación isotópicaJ3 = Fórmula para el cálculo de la incertidumbreJ4 = Incertidumbre asociada a la relación isotópica calculada según la fórmula que se indica J4

Introducción en la hoja Lotus 1, 2, 3 WIN de los datos del ejemplo práctico 3 ( pág.9 )

23

12345678910111213

R

2.5 Incertidumbre asociada a un sumatorio de actividades.Inventarios,

WsSecciónABCDEFG

T UInventario Inct

300604020

517

lnctA

10131218

Vo

10019141

64

Fórmula v9 (@RCUAD(@SUMA(V2..V8)))

SI = Código de la sección A ( lcm ), B( 2cm ), C ( 3cm )etc...TI = Inventario de las secciones del testigo de sedimento expresado en Bq/m2

Ul = Incertidumbre asociada al inventario de cada secciónVI = Cuadrado de la Incertidumbre asociada al inventario de cada sección

Introducción en la hoja Lotus 1, 2, 3 WIN de los datos del ejemplo práctico 4 ( pág.9 )En V9 se obtiene la incertidumbre asociada calculada según la fórmula v9

24

2.6 Incertidumbres asociadas a los porcentajes de extracción de un radionucleido

12345678910111213141516171819

ACÓDIGO

12345

EjemploExp LotusE2Exp LotusE3Exp LotusE4Exp LotusE5Exp LotusE6

EjemploExp LotusF2Exp LotusF3Exp LotusF4Exp LotusF5Exp LolusF6

B CA(Bq/Kglnct

30102

0,57

12

0,50,0

1

DlnctA2

14

0,250,0004

1

Qp Qlnct0,6060,2020,0400,0100,141

0,0290,0330,0100,0010,019

(B2/@SUMA($B$2..$B$6))(B3/@SUMA($B$2..$B$6))(B4/@SUMA($B$2..$B$6))(B5/@SUMA($B$2..$B$6))(B6/@SUMA($B$2..$B$6))

(@RCUAD(((B2A2)*(@SUMA($D$2.(@RCUAD(((B3A2)*(@SUMA($D$2.(@RCUAD(((B4A2)*(@SUMA($D$2.,(@RCUAD(((B5A2)*(@SUMA($D$2..(@RCUAD(((B6A2)*(@SUMA($D$2.,

,$D$6)-D2))+(D2*((@SUMA($B$2.$D$6)-D3))+(D3*((@SUMA($B$2.$D$6)-D4))+(D4*((@SUMA($B$2.$D$6)-D5))+(D5*((@SUMA($B$2.$D$6)-D6))+(D6*((@SUMA($B$2.

.$B$6)-B2)A2))))/(@SUMA($B$2..$B$6))A2

.$B$6)-B3)A2))))/(@SUMA($B$2..$B$6))A2

.$B$6)-B4)A2))))/(@SUMA($B$2..$B$6))A2,$B$6)-B5)A2))))/(@SUMA($B$2..$B$6))A2$B$6)-B6)A2))))/(@SUMA($B$2..$B$6))A2

Al = Código de la fase ( 1, 2, 3, 4 , 5 ) Cada fase representa la cantidad de radionucleido extraída en la lixiviaciónsecuencial (Fracción soluble, asociada a carbonatos, asociada a hidróxidos, asociada a materia orgánica, residual)

B1 = Actividad del radionucleido expresada en BqCl = Incertidumbre de la actividad del radionucleido de cada faseDI = Cuadrado de la incertidumbre de la actividad del radionucleido de cada faseEl = Porcentaje de extracción calculado según las expresiones Lotus E2,E3,E4,E5 y E6Fl = Incertidumbre asociada al porcentaje de extracción calculado según las expresiones Lotus F2,F3,F4,F5 y F6

Introducción en la hoja Lotus 1, 2, 3 WIN de los datos del ejemplo práctico 5 ( pág. 11)

25

2.7 Incertidumbre asociada al tiempo cronológico ( C.R.S.)

A12345678910111213141516171819202122232425

ASección

123456789

1011121314151617

Bg/cm2

1,18511,14060,93020,99731,17571,19580,90081,06411,24631,3111272

1,10661,1893129521,52391,43621,9487

Fórmula t (12)

Fórmula Inc t(t2)

C D E FPb210Bq/kglnct 1s Inventario PSnct

177,497,999,979,160238,123,615,26,46,65,26,3

12,110

8,121

152012,9010,05112511,906,555,405,358255,057,955,155,455,00425

21

L

21024111,6692,9378,8970,7845,56212616,177,988,656,616,97

14,3912,9512,342,871,95

723.91j|

(32,17*@LN($E$19/($E$19-H2)))

(32,17/$E$19)-

18,0114,719,35

112213,997,834,865,69

10286,62

10,115,706,486,486,482,871,95

@RCUAD((((@SUMA($E$2..E2))'

G H I Jlnct*2 Inv acumulaiTtempo cronlnct t

324,49216,49

87,39125,88195,7461,3523,6632,41

105,7243,83

1022632,4842,0141,9441,95

8,243,80

L__ 1492,53|

21024321,90414,83493,71564,49610,05631,31647,49655,46664,11670,73677,70692,09705,04717,397202672221723,91 ij

'2*($G$19-@SUMA($G$2..

11,0418,9227,3836,8648,6859,5166,1572,3375,88802284,0088,52

100,52117,34151,51170,19194,76

G2)))/($E$'

1,013521,5077332,0772882,8629573,9128715,4110386,6365677,8976587,75642

8,3389067,5532077,9052779,751323

12,638218,9666322,7586432,14025

19-@SUM/

M

Al = Sección del testigo cmBl = Densidad superficial g/cm2 en cada secciónCl = Actividad de 210Pb en exceso expresada en Bq/kgDI = Incertidumbre asociada al cálculo de la actividad de 210Pb en excesoEl = Inventario de 210Pb en excesoFl = Incertidumbre asociada al inventario de 210Pb en excesoGl = Cuadrado de la incertidumbre asociada al inventario de 210Pb en excesoHl = Inventario acumulado de210Pb en excesoII = Tiempo cronológico según la expresión en fórmula tJl = Incertidumbre asociada al tiempo según fórmula Inc t

Introducción en la hoja Lotus 1, 2, 3 WIN de los datos de un ejemplo figurado de 17 secciones

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Cálculo de la Incertidumbre Asociada al Recuento en ...

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