5. Estabilidad de sistemas de control5.1 El concepto de estabilidad

Un sistema dinmico lineal e invariante en el tiempo se dice estable si cualquier entrada acotada produce una salida acotada

Teorema. Un sistema es estable si

donde h(t) es la respuesta al impulso del sistema.

Teorema. Un sistema con funcin de transferencia H(s) es estable si y solo si los polos de H(s) tienen parte real negativa, esto es, si y solo si los polos de H(s) estn ubicados en la parte izquierda del plano complejo.

5.2 Criterio de estabilidad de Routh-HurwitzEl polinomio a(s) se dice Hurwitz si todas sus races tienen parte real negativa. Si

es la funcin de transferencia de un sistema, entonces el sistema es estable si el polinomio d(s), conocido como el polinomio caracterstico del sistema, es Hurwitz.

Criterio de Routh-HurwitzSirve para determinar si un polinomio a(s) es Hurwitz o no.Considere el polinomio a(s) de grado n escrito en la forma

donde los coeficientes son nmeros reales. Se supone que es decir a(s) no tiene races en s=0.2.Si alguno de los coeficientes es cero o negativo en presencia de al menos un coeficiente positivo, entonces el polinomio a(s) tiene races puramente imaginarias, o que tienen parte real positiva. En este caso a(s) no es Hurwitz.

3. Si todos los coeficientes son positivos (o todos negativos) y diferentes de cero, construya el siguiente arreglo

donde

Se continua de esta forma hasta que la n-sima fila del arreglo ha sido completada.

El criterio de Routh-Hurwitz establece que el nmero de races de a(s) con parte real positiva es igual al nmero de cambios de signo de los coeficientes en la primera columna del arreglo.Entonces, el polinomio a(s) es Hurwitz si y solo si y todos los coeficientes en la primera columna del arreglo son positivos.

Casos especiales del criterio de Routh-HurwitzEl primer elemento de una fila es cero, y es el nico elemento de la fila, o los dems elementos de la fila son diferentes de cero. En este caso, el cero es reemplazado por un nmero positivo muy pequeo y se continua con el clculo del arreglo.Si el signo del coeficiente arriba del cero () en el arreglo es el mismo que el de abajo, entonces el polinomio a(s) tiene un par de races imaginarias. En caso contrario, esto es, si el signo del coeficiente arriba del cero () es diferente que el de abajo, entonces el polinomio a(s) tiene 2 races con parte real positiva.

Si todos los coeficientes de una fila son cero, entonces el polinomio a(s) tiene races de igual magnitud y opuestas en el plano s, esto es, 2 races de igual magnitud y de signo contrario, o 2 races imaginarias conjugadas. En este caso, el arreglo de los coeficientes puede ser completado formando un polinomio auxiliar con los coeficientes de la fila anterior y usando los coeficientes de la derivada de este polinomio en la siguiente fila. Las races de igual magnitud y opuestas en el plano s corresponden a las races del polinomio auxiliar.

El criterio de Routh-Hurwitz tambin puede usarse para estudiar la estabilidad relativa de un sistema; esto es, si el sistema es estable, qu tan cerca est de ser inestable. Nos interesa saber en este caso si el polinomio a(s) tiene races a la derecha de la lnea s=-, donde es una constante. Para ello hacemos la substitucin

en a(s) y aplicamos el criterio de Routh-hurwitz al polinomio El nmero de cambios de signo en la primera columna del arreglo construido para es igual al nmero de races de a(s) a la derecha de la lnea s=-.