Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz y lugar geomtrico de races

6 INTRODUCCIN En este captulo se estudia el tema de la estabilidad absoluta de los sistemas de control con

el mtodo de Routh-Hurwitz y el lugar geomtrico de races (LGR), mtodo que es una

poderosa herramienta para el diseo de sistemas de control. El LGR tiene una multitud de

variantes, que van desde el ajuste de ganancia para satisfacer especificaciones de diseo,

estabilidad relativa, etctera, hasta lo que se denomina contorno de races.

Contenido

Arreglo de Routh-Hurwitz y estabilidad absoluta.

Casos especiales y clculo de rangos de ganancias para los cuales los sistemas en lazo

cerrado son estables.

Concepto de LGR y mtodo de Evans.

Aplicaciones: diseo de sistemas mediante LGR, sistemas con retroalimentacin unitaria

y no unitaria, as como respuesta en tiempo para lazo cerrado.

Estabilidad relativa (mrgenes de ganancia y fase).

Variacin de parmetros distintos a la ganancia

Problemas.

Referencias del captulo 6.

Objetivos

Definir el criterio de estabilidad absoluta de Routh-Hurwitz.

Determinar el rango de valores de ganancias para los cuales los sistemas son estables.

Definir el concepto de LGR y enfatizar en el mtodo de Evans.

Aplicar el concepto de LGR en sus muy diversas modalidades.

INTRODUCCIN

Para sistemas retroalimentados, que se representan por sus respectivas funciones de

transferencia de lazo cerrado el hecho ms importante se relaciona con las ecuaciones

caractersticas asociadas a y consiste en determinar si el sistema bajo consideracin es

estable, esto es, si sus polos de lazo cerrado estn localizados en el semiplano izquierdo del

plano

En cuanto a los polinomios caractersticos, se puede establecer que los sistemas de primero

y segundo grados siempre sern estables en lazo cerrado; sin embargo, a partir de

ecuaciones caractersticas de tercer grado, los sistemas pueden ser o no estables, lo cual

depende de la ubicacin en el plano s de los respectivos polos de lazo cerrado de cada

configuracin en particular.

Una primera alternativa para establecer la estabilidad de un sistema consiste en aplicar el

mtodo de Newton-Raphson al polinomio caracterstico bajo consideracin, con lo que se

determinara la posicin de los polos de lazo cerrado.

Como segunda opcin, con octave es posible obtener las races de cualquier polinomio de

grado (Evaluacin de races con el comando ).

Existe una tercera opcin, la cual, aunque no seala la posicin de los polos de la ecuacin

caracterstica bajo consideracin, indica el nmero de races caractersticas que se localizan

a la derecha del plano Esto se conoce como mtodo de Routh-Hurwitz.

MTODO DE ROUTH-HURWITZ

En la dcada de 1890, A. Hurwitz y E. J. Routh publicaron, en forma separada, un

procedimiento numrico para determinar la estabilidad de un sistema a partir de su

ecuacin caracterstica

Este mtodo es un arreglo numrico que tiene como objetivo determinar el nmero de

races de un polinomio caracterstico que estn en el semiplano derecho del plano s.

Por eso, al procedimiento de Routh-Hurwitz se le denomina mtodo de estabilidad absoluta,

ya que el resultado no indica la posicin especfica de los polos, como en el caso de los

distintos mtodos de evaluacin de races de polinomios; sin embargo, an en la actualidad

es una herramienta de suma importancia, pues es posible establecer el rango de valores de

ganancia ajustable para los cuales los sistemas de lazo cerrado son estables.

El primer paso para determinar la estabilidad absoluta de un polinomio caracterstico

es representarlo en su respectivo arreglo de Routh-Hurwitz.

Sea el polinomio caracterstico de grado

Para comenzar el arreglo, se procede a escribir una columna de trminos en iniciando con

la potencia de mayor grado y de ah en orden descendente hasta llegar al trmino

independiente ; a continuacin se distribuyen en el arreglo los coeficientes

en pares de dos en dos, segn se muestra en la figura 6.1.

Figura 1. Estructura del arreglo de Routh-Hurwitz.

Despus se procede a completar el arreglo, agregando los elementos que

corresponden a las filas de los elementos etctera y se calculan de la siguiente

manera:

La tabla contina verticalmente hasta terminar el arreglo, pero una vez que ste ha sido

completado se aplica el criterio de Routh-Hurwitz, el cual establece que el nmero de

cambios de signos en la columna principal corresponde al nmero de races que se

encuentren a la derecha del eje (semiplano derecho SPD). Lo anterior se muestra en la

figura 6.2.

Figura 2. El nmero de cambios de signo en los coeficientes de los elementos de la columna principal del arreglo indica la

cantidad de polos a la derecha del eje j.

Ejemplo:

Para los siguientes polinomios caractersticos, aplique el criterio de Routh-Hurwitz con la

finalidad de determinar el nmero de polos que se encuentren en el semiplano derecho del

plano

Solucin:

a) La representacin en el arreglo de Routh-Hurwitz del polinomio caracterstico:

junto con los coeficientes y se muestra a continuacin:

Los coeficientes y fueron evaluados, segn indica la ecuacin (6.2a), empleando las dos

primeras filas del arreglo:

Una vez que se conocen los elementos que forman la fila para determinar los coeficientes

que darn lugar a la fila se utiliza la segunda fila del arreglo, junto con la ahora conocida

fila ; luego se procede segn lo muestra la ecuacin (6.2b):

Para fi nalizar el arreglo con los elementos , se manejan las dos filas inmediatas superiores

a la fila por evaluar:

Una vez que se completa el arreglo, se observa que en la columna principal no hay cambios

de signo; por lo tanto, el sistema es estable, ya que tiene todos sus polos en el semiplano

izquierdo (SPI).

b) El arreglo de Routh-Hurwitz correspondiente es:

donde hay dos cambios de signo en la columna principal (de a y de a , que hace

inestable el sistema con dos polos en el SPD.

c) Para se obtiene arreglo:

por lo que es inestable el sistema, pues un cambio de signo en la columna principal indica un

polo en el SPD. Con octave puede comprobarse lo anterior de una manera muy simple:

>> p=[1 5 0 -40 -96];

>> roots(p)

ans =

3.0000 + 0.0000i

-4.0000 + 0.0000i

-2.0000 + 2.0000i

-2.0000 - 2.0000i

Casos especiales en el anlisis de Routh-Hurwitz a) Ceros en la columna principal

Sea el polinomio caracterstico: ; el cual es representado en su

correspondiente arreglo de Routh-Hurwitz:

Se observa que la combinacin de coeficientes para cuantificar el elemento da por

resultado un cero:

Aunque es distinto de cero, los elementos de las siguientes filas no pueden evaluarse, ya

que todos ellos quedaran divididos entre cero, lo que dara lugar a indeterminaciones.

Si los coeficientes que componen el numerador de fueran levemente diferentes, el

resultado sera distinto de cero, con lo que el arreglo podra ser completado; para concluir

ste, se define el nmero , que es casi cero, pero positivo, el cual se sustituye por el cero de

la columna principal, con lo que el coeficiente puede ser evaluado:

De esta manera, el arreglo resultante es:

Cuando todos los elementos de una determinada fila han sido evaluados, para facilitar los

clculos, el rengln bajo consideracin puede multiplicarse por cualquier nmero diferente

de cero (en este caso, la cuarta fila se multiplic por ) sin alterar el resultado del arreglo.

Con respecto a la columna principal, sta presenta dos cambios de signo, pues es casi cero,

pero positivo, ; por lo tanto, el sistema es inestable con dos polos en el SPD.

A manera de comprobacin, la ubicacin de los polos obtenida con octave corresponden a:

>> p=[1 1 3 3 10];

>> roots(p) ans = -1.1954 + 1.3329i -1.1954 - 1.3329i 0.6954 + 1.6236i 0.6954 - 1.6236i

b) Terminacin anticipada del arreglo

En ocasiones, ocurre que para ciertos polinomios caractersticos su arreglo correspondiente

finaliza en forma anticipada; esto es, antes de terminar el arreglo ste contiene una fila

formada exclusivamente por ceros en alguno de sus renglones intermedios; por ejemplo, el

caso del polinomio caracterstico: el cual es representado en

su respectivo arreglo de Routh-Hurwitz:

La explicacin de la terminacin prematura del arreglo (alguna fila intermedia compuesta

totalmente por ceros) indica que existe un polinomio divisor cuyas races son imaginarias,

, adems de dividir exactamente al polinomio caracterstico original.

Para completar el arreglo, se procede a sustituir la fila de ceros por la derivada en del

polinomio divisor, el cual se identifica a partir del rengln inmediato anterior no nulo del

arreglo; en este caso, (races complejas conjugadas en el eje imaginario:

Una vez terminado el arreglo, se observa que el sistema es estable, ya que la columna

principal no presenta cambios de signo.

Ejemplo:

Para las siguientes funciones de transferencia aplique el criterio de Routh-Hurwitz a los

respectivos polinomios caractersticos y determine la estabilidad de cada sistema, segn el

nmero de polos existentes en el semiplano derecho del plano s.

Solucin:

a) El denominador de es:

representado en su correspondiente arreglo de Routh-Hurwitz:

Como hay dos cambios de signo en la columna principal del arreglo , el

sistema tiene dos polos en el SPD y, por ende, es inestable (caso correspondiente a ceros en

la columna principal).

b) La ecuacin caracterstica relacionada con T(s) es:

por lo que el arreglo de Routh-Hurwitz es el que se muestra a continuacin:

Es un sistema inestable por tener un polo en el SPD. El caso es una terminacin prematura

con polinomio divisor

c) Para

corresponde el siguiente arreglo de Routh-Hurwitz:

El sistema es estable por no haber cambios de signo en la columna principal (el caso

corresponde a terminacin anticipada del arreglo, donde el polinomio divisor es igual a

.

Ejemplo:

Para los sistemas mostrados en la figura 6.3, obtenga una expresin para la funcin de

transferencia de lazo cerrado y aplique el criterio de Routh-Hurwitz a los polinomios

caractersticos resultantes.

Figura 3. Figuras 3a y 3b

Solucin:

a) La funcin de transferencia de lazo cerrado del diagrama de bloques de la figura 6.3a

corresponde a:

Al aplicar el mtodo de Routh-Hurwitz se determina que el sistema es inestable por tener

dos polos en el SPD.

b) La funcin de transferencia de lazo cerrado del diagrama de flujo de seales de la

figura 6.3b corresponde a:

El resultado de aplicar el mtodo de Routh-Hurwitz es que el sistema es inestable por tener

dos polos en el SPD.

Aplicacin del mtodo de Routh-Hurwitz (ajuste de ganancia) Para sistemas retroalimentados (como el de la figura 6.4), los polos del polinomio

caracterstico dependern tanto de los coeficientes del polinomio original como del valor de

la ganancia , de tal manera que si la ganancia es ajustable para cada valor de los polos

de lazo cerrado tendrn ubicaciones diferentes en el plano

Figura 4. La ecuacin caracterstica del sistema de lazo cerrado depende de los coeficientes a y b, as como de la ganancia

ajustable K: .

En la introduccin a este captulo se coment que los sistemas de primero y segundo grados

siempre sern estables en lazo cerrado para toda ganancia ; sin embargo, para

polinomios caractersticos de grado superior, los sistemas pueden serlo o no.

El hecho de que los signos de los coeficientes de polinomios caractersticos de grado uno y

dos sean iguales (todos positivos o todos negativos) garantiza que el sistema respectivo sea

estable; sin embargo, por desgracia, dicha regla no es aplicable para polinomios de grado

tres en adelante. Es aqu precisamente donde el mtodo de Routh-Hurwitz adquiere gran

importancia, ya que de una manera sencilla es posible determinar todos los valores de

ganancia para los que los sistemas sern estables.

Ejemplo:

Determine el rango de valores de ganancia para los cuales los siguientes sistemas sean

estables.

Solucin:

a) Para la ecuacin caracterstica perteneciente a ; es condicin

suficiente que no haya cambios de signo en el polinomio, por lo que el sistema ser estable

para

b) Con respecto al polinomio caracterstico correspondiente: si

los signos del polinomio sern todos iguales (en este caso positivos), razn

suficiente para asegurar la estabilidad del sistema.

c) La representacin en el arreglo de Routh-Hurwitz de la ecuacin caracterstica:

, se presenta a continuacin. En este caso, la regla de los signos

no es aplicable por el grado del polinomio.

Para que el sistema sea estable, todos los elementos de la columna principal debern ser

positivos, incluidos: y

De las desigualdades anteriores, se obtiene que el sistema ser estable si: . En

caso de que o , el sistema se comporta como marginalmente estable.

d) Para la ecuacin caracterstica , despus de completar el arreglo de

Routh-Hurwitz respectivo, se obtiene que el sistema es estable para .

e) La representacin del arreglo del polinomio en turno corresponde a:

De las desigualdades , se obtiene que el rango de ganancias

para que el sistema sea estable es de:

f) El arreglo del polinomio es:

De la primer desigualdad , se obtiene que .

La segunda desigualdad supone resolver la ecuacin cuadrtica , lo que

hace complejas las races encontradas:

Como no existe ningn valor real de que satisfaga la desigualdad, el sistema es inestable

para cualquier valor de ganancia.

LUGAR GEOMTRICO DE RACES (LGR) En el captulo 5 (secciones 5.2.3 y 5.3.3) se introdujo el concepto de lugar geomtrico de

races (LGR) para sistemas de primero y segundo grados, respectivamente; en esta seccin se

complementar y justificar dicho concepto, pero se pondr nfasis en la condicin de fase

(requisito por satisfacer para generar los LGR de las diversas configuraciones), as como en la

condicin de magnitud (para asignar una escala a cada LGR resultante). Adems, se har una

breve descripcin del mtodo de Evans (en su tiempo uno de los procedimientos ms

ingeniosos para desarrollar aproximaciones grficas de comportamientos analticos).

Asimismo, se indicarn los diversos comandos en Octave, tanto para generar los

correspondientes LGR como para llevar a cabo diseos de sistemas de control para satisfacer

distintas especificaciones de funcionamiento. El captulo finaliza con aplicaciones adicionales

del LGR.

Introduccin al LGR: concepto y justificacin El mtodo del lugar geomtrico de races (en ingls, root locus) es una herramienta que

sirve para determinar todas las posibles races de una ecuacin caracterstica de

cuando vara algn parmetro (en principio, la ganancia de un sistema) y

se utiliza para conocer el comportamiento total del sistema de lazo cerrado en rgimen

transitorio.

Con respecto a la representacin analtica de un sistema en configuracin de lazo cerrado

(figura 6.5):

cuya ecuacin caracterstica es:

en tanto que su funcin de transferencia de lazo abierto corresponde a:

Las ltimas ecuaciones sern la base para presentar el concepto del LGR.

Dada la similitud entre las ecuaciones (6.4) y (6.5), que corresponden respectivamente a la

ecuacin caracterstica y a la funcin de transferencia de lazo abierto

ser posible analizar el comportamiento de sistemas de lazo cerrado a partir de la

funcin de transferencia de lazo abierto, donde la ganancia se supone implcita en la

funcin de transferencia de trayectoria directa .

Figura 5. Representacin en bloques de un sistema de control de lazo cerrado.

Rescribiendo la ecuacin (6.4):

que representa un nmero complejo en notacin binmica: , cuya parte

imaginaria es igual a cero. Es bien sabido que todo nmero complejo admite varias

representaciones: polar, exponencial y trigonomtrica, por lo que se proceder a

representar a la ecuacin (6.6) en forma polar, cuya interpretacin ser la de un vector con

magnitud y direccin segn se muestra en la figura 6.6.

Figura 6. La representacin polar del nmero complejo 1 + j0 corresponde a un vector de magnitud r y direccin .

Por lo anterior, la representacin polar2 de la ecuacin (6.6) es:

La ecuacin anterior es de gran relevancia, pues relaciona la ecuacin caracterstica

con En la ecuacin (6.7) se observan una expresin de fase y una

expresin de magnitud.

Condicin de fase:

La clave para determinar todos los posibles lugares geomtricos (o polos de lazo cerrado del

polinomio caracterstico) est contenida en la condicin de fase, ya que cualquier valor de s

que satisfaga dicha relacin angular ser una raz de la ecuacin caracterstica considerada.

Condicin de magnitud: 1

Una vez que se han determinado todos los puntos que satisfacen la condicin de fase, es

posible construir el LGR. La condicin de magnitud se utiliza para asignar una escala al lugar

geomtrico resultante, cuya aplicacin directa ser la de cuantificar las ganancias requeridas

para operar en puntos especficos del LGR con la finalidad de satisfacer las especificaciones

de funcionamiento en rgimen transitorio.

La relacin entre y es fundamental en el anlisis de los sistemas de

control. La conclusin de la ecuacin (6.7) es que todo valor de que satisface la

multiplicidad angular dada por la funcin de transferencia de lazo abierto

ecuacin (6.5), es una raz del polinomio caracterstico ecuacin (6.4), que

contiene a los polos de lazo cerrado. Por lo tanto, para obtener la representacin grfica de

todos los polos de lazo cerrado (o LGR) se parte de la representacin en el plano de los

polos y ceros contenidos en

Ejemplo:

Para las siguientes funciones de transferencia de lazo abierto

1. Obtenga los correspondientes LGR, esto es, grafique en el plano todos los posibles

polos de lazo cerrado.

2. Calcule la ganancia para que el sistema opere en el punto indicado del LGR.

Solucin:

a) El primer paso para obtener el LGR es graficar en el plano a los polos y ceros de la

funcin de transferencia de lazo abierto Lo anterior se muestra en la figura 6.7a.

Figura 7. Grfica en el plano s del nico polo contenido en G(s)H(s).

Para encontrar los lugares geomtricos se debe satisfacer:

por lo que habr de expresarse en notacin polar para que la ecuacin

considerada sea congruente:

En relacin con la expresin anterior, cabe enfatizar que el efecto resultante de la fase que

tiene que ver con es negativa, ya que en general hay mayora de polos con

respecto a ceros, por lo que la fase resultante ser la suma algebraica de las contribuciones

angulares de los ceros menos las contribuciones angulares de los polos.

Con respecto a la figura 6.7a, en el plano se ubican distintos puntos de prueba para

determinar cules de ellos satisfacen el requisito de la condicin de fase; esto es, que

; lo anterior se muestra en la figura 6.7b.

En la figura se observa que los puntos de prueba ubicados en , y no satisfacen el

requisito de fase, ya que las contribuciones angulares en cada caso son distintas de

Los ngulos del polo hacia los diversos puntos de prueba son: con respecto a , se tiene un

ngulo de cero grados; para el caso de , el ngulo resultante es de y para , la

contribucin angular corresponde a El nico punto que cumple con el requisito

angular de es ; de hecho, cualquier lugar que se elija en el eje real a la izquierda del

polo (segn se muestra en la figura 6.7b) ser un lugar geomtrico; esto es, una

raz de la ecuacin caracterstica , lo que equivale a un polo de lazo

cerrado.

Una vez que se ha determinado el LG correspondiente, se procede a establecer una escala

para determinar la ganancia necesaria para operar en algn punto especfico del LG (en

este caso, en ), para lo cual se emplea la condicin de magnitud, ecuacin (6.7):

, particularizando:

De acuerdo con lo anterior, la ganancia que requiere el sistema para operar exactamente en

es de 0.75 unidades.

Qu parmetro de referencia puede utilizarse para elegir un punto especfico sobre un

determinado LGR? En este caso, la contestacin a la pregunta sera obtener una

determinada velocidad de respuesta por parte del sistema.

Se supone que se requiere que el sistema bajo consideracin alcance su valor final prctico

en 3.2 seg, por lo cual deber ser igual a 3.2/4 0.8, cuyo recproco es 1.25; por lo

que si se ajusta la ganancia a 0.75 unidades se forzar al sistema para que en lazo cerrado

opere en el punto sobre el LGR.

b) La representacin de polos y ceros de la funcin de transferencia de lazo abierto

), junto con diversos puntos de prueba se muestran en la figura 6.7c.

Para satisfacer la condicin de fase, hay que considerar las contribuciones angulares de cada

uno de los dos polos contenidos en con respecto a los distintos puntos de prueba.

Para la contribucin angular total es de 0, y para la suma de los ngulos polares es de

Por lo tanto, ninguno de los puntos considerados son lugares geomtricos.

Con respecto a , la contribucin angular del polo ubicado en es de 0, mientras la

contribucin angular del polo que est en es de ; por lo tanto, la suma total

de las fases polares es de , con lo que se satisface el requisito de fase. De hecho,

cualquier punto de prueba ubicado en el eje real entre corresponde a un lugar

geomtrico del sistema.

Los lugares geomtricos tambin pueden tener componentes complejos, como es el caso del

punto de prueba ; el polo ubicado en aporta una contribucin angular de ,

mientras que el polo restante contribuye con . De esta manera se adquiere la

contribucin angular total de , la cual satisface el requisito de la condicin de fase.

El LG correspondiente se muestra en la figura 6.7d.

A todo LGR se le pueden asignar flechas, las cuales indican el sentido que toman los polos de

lazo cerrado cuando se incrementa la ganancia ; adems, el LGR es una grfica continua de

valores.

Al igual que en el inciso anterior, es vlido formular la pregunta de cul puede ser la

referencia para elegir algn punto especfico en el LGR. Las respuestas en este caso suelen

ser varias; por ejemplo, seleccionar un punto que satisfaga una velocidad de respuesta o un

determinado amortiguamiento u operar bajo cierta frecuencia angular de oscilacin ,

etctera.

A manera de ejemplo, se calcular la ganancia para que la configuracin en lazo cerrado se

comporte como un sistema crticamente amortiguado; esto es, que el sistema opere en

, lo que supone un par de polos reales repetidos.

De la condicin de magnitud:

De esta manera, se establece que la ganancia requerida para que el sistema se comporte

como crticamente amortiguado es de .

Como comprobacin, si se considera que

y , la funcin

de transferencia de lazo cerrado es:

Como complemento del ejercicio, se aaden diversos valores de ganancias requeridas para

operar en diferentes puntos del LGR de la figura 6.7d:

Hasta ahora se ha justificado la generacin del LGR a partir de satisfacer la condicin de fase

asociada a toda funcin de transferencia de lazo abierto . Un mtodo alternativo

para obtener el LGR es determinar y graficar las races del polinomio caracterstico de

grado considerando que la ganancia vara en

un rango infinito de valores (de hecho ste es el mtodo que utiliza Octave para generar los

correspondientes LGR).

Mtodo de Evans

En la seccin anterior se coment que una de las alternativas para obtener el LGR de un

sistema descrito mediante su funcin de transferencia de lazo cerrado era simplemente

determinar las races del polinomio caracterstico asociado de grado .

Esto tiene el inconveniente de que dicho clculo debe realizarse para cada ganancia , ante

lo que hay que considerar que tal ganancia vara en un rango infinito de valores.

A finales de la dcada de 1940, Walter R. Evans3 public varios trabajos relacionados con el

comportamiento en lazo cerrado de los sistemas de control, a partir de funciones de

transferencia de lazo abierto . Para ello hay que considerar variaciones infinitas de

algn parmetro, en principio el de la ganancia El mtodo propuesto por Evans es un

procedimiento grfico sumamente ingenioso, ya que, de manera paradjica, en vez de

determinar las races de polinomios de grado (que implican una gran cantidad de

clculos), mediante aproximaciones grficas y prcticamente sin llevar a cabo ningn

procedimiento analtico, logr sintetizar el concepto de lugar geomtrico de races en un

conjunto de reglas que se describen a continuacin.

Para aplicar el mtodo de Evans y obtener el LGR correspondiente a cada sistema en

particular, se tomar como punto de partida la representacin en el plano de los polos y

ceros de la funcin de transferencia de lazo abierto .

1. Nmero de ramas del LGR.

En general, un sistema de control tiene mayora de polos con respecto a ceros. El nmero de

ramas de un LGR ser igual al nmero de polos contenidos en la funcin de transferencia de

lazo cerrado; dichos polos corresponden a la cantidad de polos existentes en la funcin de

transferencia de lazo abierto Por lo tanto, un LG tendr tantas ramas como

polos contenidos en G(s)H(s). Por rama, se entiende toda trayectoria que sigue un

determinado polo de lazo cerrado como consecuencia de la variacin de ganancia, de

manera que habr tantas ramas como corresponda al grado de la funcin de transferencia

de lazo abierto.

2. Principio y fin del LGR.

Los LG inician en los polos y terminan en los ceros; en ausencia de ceros, los

lugares geomtricos terminarn en el infinito. La funcin de los ceros es atraer los lugares

geomtricos que provienen de los polos.

Cabe mencionar que con estas dos primeras reglas an no es posible dibujar ningn lugar

geomtrico. Uno de los principales problemas para bosquejar el LGR es saber para qu

configuracin se aplica una determinada regla. Por ello, se tratar de especificar con claridad

el porqu y el cundo de la aplicacin de cada una de las siguientes reglas. Hasta ahora es

posible decir que las dos primeras reglas siempre son aplicables a cualquier configuracin

3. Lugares geomtricos en el eje real.

Los lugares geomtricos que existen en el eje real se ubican a la izquierda de

elementos impares, pero empiezan por el elemento ms alejado a la derecha.

Cundo se aplica esta regla

Esta regla es aplicable siempre y cuando exista(n) polo(s) y/o cero(s) en el eje real.

Ejemplo:

Bosqueje el LGR a partir de las siguientes funciones de transferencia de lazo abierto

Solucin:

a) El sistema tiene dos polos y un cero, por lo que el LG contar con dos ramas (tantas ramas

como polos de lazo abierto); adems, como los lugares geomtricos parten de los polos y

terminan en los ceros (o en el infinito, en ausencia de ceros), una rama finalizar en el cero

, mientras que la otra acabar en el infinito.

Como existen elementos de en el eje real, dos polos ( y ) y un

cero ( ), se aplicar la regla para ubicar los lugares geomtricos a la izquierda de

elementos impares comenzando por el elemento ms alejado a la derecha; una de las ramas

se dirigir del polo hacia el cero , en tanto que la otra ir del polo

hacia el infinito. Lo anterior se muestra en la figura 6.8a.

Figura 8. LGR de G(s)H(s)=K(s+2)/(s+0.5)(s+4)

b) La funcin de transferencia de lazo abierto tiene dos polos complejos

( y ) y un cero ( ) en el eje real, por lo que en este eje

existir el LG desde el cero hasta .

La figura 6.8b muestra el lugar geomtrico respectivo. Con las reglas aplicadas hasta ahora,

no es posible bosquejar el lugar geomtrico completo ocasionado por las ramas complejas.

4. Simetra de los lugares geomtricos complejos.

De hecho tal propiedad, ms que ser una regla, es una consecuencia lgica del conocimiento

del comportamiento de los nmeros imaginarios, por lo que es una caracterstica de los LG

complejos, donde la parte real es la misma y el componente imaginario siempre ser el

complejo conjugado de la rama asociada. La figura 6.9 muestra un LG cuya existencia es,

mientras la contraparte correcta corresponde a la figura 6.8b.

Cundo se aplica esta regla

Esta regla es aplicable siempre que haya lugares geomtricos complejos; adems, no es

necesario determinar la parte imaginaria negativa, ya que con reflejar la rama imaginaria

positiva, con respecto al eje real, se obtiene la rama complementaria.

Figura 9. LG imposible de ser vlido, ya que la rama inferior debe ser reflejo de la rama superior con respecto a la horizontal.

Reglas que se aplican cuando los lugares geomtricos tienden al infinito: asntotas y centroide

Uno de los principales problemas que se presentan al bosquejar los lugares geomtricos

corresponde a determinar hacia donde se dirigen las ramas cuando estas tienden a infinito

(debido a la ausencia de ceros que atraigan hacia si los LG). El par de reglas siguientes

aclarara tal disyuntiva.

5. Asintotas.

Para ganancias elevadas, y en ausencia de ceros, las ramas del lugar geomtrico

tienden a comportarse como lneas rectas a manera de asntotas, las cuales

abandonan el eje real con un ngulo , dado por:

Cundo se aplica esta regla

Esta regla es aplicable cuando haya uno o ms polos que no tengan ceros hacia donde llegar,

por lo cual dichos polos tendern al infinito. Las asntotas se aplican junto con el centroide.

6. Centroide. El centroide es el punto en el eje real del cual divergen las asntotas y

se determina mediante:

Cundo se aplica esta regla

Esta regla es aplicable cuando haya uno o ms polos que no tengan ceros a donde llegar, por

lo cual dichos polos tendern al infinito. El centroide se aplica junto a las asntotas.

Ejemplo:

Para las siguientes funciones de transferencia de lazo abierto, obtenga los respectivos

lugares geomtricos. Para ello, considere que la ganancia vara de cero a infinito:

Solucin:

Para cada uno de los incisos, se indicara por que se aplica o no cada una de las reglas vistas

hasta este punto.

Como se recordara, todo LG inicia representando en el plano los polos y ceros de

.

a) La funcin de transferencia de lazo abierto tiene tres polos y carece de ceros:

Las reglas a aplicar son:

1. Nmero de ramas del LGR. El lugar geomtrico tendr tres ramas, ya que estas son

determinadas por el numero de polos de

2. Principio y fin del LGR. Los lugares geomtricos inician en los polos, mientras que con

incrementos de ganancia y en ausencia de ceros, las tres ramas procedentes de los polos

terminaran en el infinito.

3. Lugares geomtricos en el eje real. Como hay un elemento en el eje real, en este

caso un polo , habra un LG en dicho eje situado a la izquierda de dicho polo, que se

prolonga hasta .

4. Simetra de los lugares geomtricos complejos. La existencia de polos complejos

es razn suficiente para concluir que el LG respectivo tendr componentes complejos; por lo

tanto, las partes conjugadas presentaran simetra con el eje real.

5. y 6. Asntotas y centroide. El hecho de que los lugares geomtricos tiendan al infinito

(regla 2), es motivo suficiente para asegurar la presencia de asntotas, las cuales

abandonaran el eje real en el punto denominado centroide.

El clculo de las asntotas se lleva a cabo al aplicar la ecuacin (6.8), donde hay que

considerar que el sistema tiene tres polos y ningn cero:

La primera pregunta con respecto a las asntotas consiste en determinar cuantos valores

de se toman en cuenta. La respuesta es que la ecuacin se cuantifica tantas veces como

ramas tiendan al infinito, por lo cual, para este caso, la ecuacin se evala para ,

y . (Es conveniente seguir el orden indicado; si se requirieran mas valores de ,

el siguiente numero seria , luego , etcetera).

Por lo anterior, las tres asntotas corresponden a:

Rigurosamente se cuantifico tres veces la ecuacion (6.8); sin embargo, con haber aplicado

una sola vez dicha ecuacin hubiera sido suficiente, ya que si se sabe que a la izquierda de

elementos impares en el eje real existe lugar geomtrico, ya se tiene una de las tres

asntotas. Al aplicar la ecuacin (6.8) para se obtiene la segunda asntota con

inclinacin de 60; adems, en virtud de la simetra de los lugares geomtricos complejos

con respecto al eje real, la tercera asntota ser simplemente igual a .

Qu ocurrira si se siguiera evaluando la ecuacin (6.8) para distintos valores de ? La

respuesta es que simplemente se obtendrian valores mltiplos a los ya encontrados.

Ahora que se conocen las tres asntotas requeridas, se proceder a calcular el centroide es

el punto en el eje real del cual divergen las asntotas) de acuerdo con la ecuacin (6.9):

La figura 6.10a muestra el lugar geomtrico resultante, que representa el comportamiento

del sistema en lazo cerrado cuando la ganancia varia en rangos infinitos para . Se

observa que a partir de cierto valor de ganancia, el sistema se hace inestable.

b) La funcin de transferencia de lazo abierto a considerar difiere del inciso anterior solo por

la adicin de un cero en el origen; la inclusin de este elemento ocasionara que el LG cambie

radicalmente, como se ver a continuacin.

Figura 10. LGR de G(s)H(s)=ks/(s+1)(s^2+s+1.5)

Con respecto a

se obtiene:

1. Nmero de ramas del LGR. El LGR tendr tres ramas.

2. Principio y fin del LGR. Los LG inician en los polos, una de las ramas tendera hacia el cero y

las dos restantes tendern a infinito.

3. Lugares geomtricos en el eje real. Debido a la existencia de dos elementos en el eje real,

habr un LG entre el cero en el origen y el polo ubicado en .

4. Simetra de los lugares geomtricos complejos. La existencia de polos complejos es motivo

suficiente para concluir que el LG respectivo tendr ramas complejas.

5. y 6. Asntotas y centroide. Dos de los tres lugares geomtricos tendern a infinito, por lo

que hay que calcular la inclinacin de dos asntotas, as como la ubicacin del centroide:

El LGR respectivo se muestra en la figura 6.11. Hay que recordar que las asntotas son las

direcciones que tienden a tomar los LG para ganancias elevadas. Hasta ahora no hay manera

de calcular las trayectorias de los LG para ganancias pequeas (posteriormente se ver la

regla correspondiente: ngulos de salida de los LG.).

Figura 11. LGR de G(s)H(s)=ks/(s+1)(s^2+s+1.5)

La simple inclusin del cero en el inciso b) modific radicalmente la configuracin del inciso

a), haciendo que el sistema sea totalmente estable para toda ganancia. Esto hace suponer

que la adicin de ciertos elementos especiales (denominados controladores) dar

flexibilidad al sistema para lograr satisfacer especificaciones particulares de diseo.

c) Con respecto a la funcin de transferencia de lazo abierto:

El sistema tiene tres polos (dos de ellos repetidos) y un cero.

1. Nmero de ramas del LGR. El LGR tendr tres ramas.

2. Principio y fi n del LGR. Los LG inician en los polos, una de las ramas tender hacia el

cero y las dos restantes tendern a infinito.

3. Lugares geomtricos en el eje real. En el eje real existen tres polos y un cero. A la

izquierda de los elementos impares habr lugar geomtrico, el cual se presentar entre el

polo y el cero .

4. Simetra de los lugares geomtricos complejos. La existencia de polos repetidos

denominados polos adyacentes, ocasionar que, con incrementos de ganancia,

los LG respectivos tengan ramas complejas.

5. y 6. Asntotas y centroide. Dos de los tres lugares geomtricos tendern al infinito,

por lo que hay que calcular la inclinacin de dos asntotas, as como la ubicacin del

centroide:

El LGR resultante se muestra en la figura 6.12, el cual es estable en lazo cerrado para toda

ganancia

Figura 12. LGR de G(s)H(s)=K(s+0.5)/((s+2)^2 (s+1) )

Hasta ahora se han definido y aplicado seis reglas de un total de diez, por lo que a

continuacin se Definirn las cuatro restantes.

7. Cruce del LG con el eje imaginario.

Los puntos en los cuales los lugares geomtricos cruzan el eje imaginario , as como el

valor de la ganancia en dicho punto, se obtienen sustituyendo por en la ecuacin

caracterstica.

Esta regla es de gran importancia, ya que los valores de ganancia en el cruce del eje , as

como la frecuencia en dicho punto, sern fundamentales en el diseo de controladores.

Cundo se aplica esta regla

Esta regla se aplica cuando los lugares geomtricos cruzan el eje imaginario, lo que supone

que los incrementos adicionales de ganancia harn inestable al sistema. Es obvio resaltar

que para sistemas siempre estables (figuras 6.11 y 6.12) esta regla no se aplica.

Ejemplo:

Para el sistema de la figura 6.13, obtenga la ganancia con la cual el LG cruza el eje , as

como la frecuencia de cruce en dicho punto.

Figura 13. Sistema de control del cual se pretende determinar su comportamiento en lazo cerrado para variaciones de

ganancia.

Solucin:

La funcin de transferencia de lazo abierto es:

Puesto que el bosquejo del LG se desarroll, se proceder a determinar la ganancia en el

punto de cruce con el eje , as como la frecuencia en ese punto. La funcin de

transferencia de lazo cerrado es:

Para determinar el punto de cruce del LG con el eje , se procede a sustituir por en la

ecuacin caracterstica:

La ecuacin anterior puede agruparse en parte real e imaginaria:

Parte real Parte imaginaria

La parte imaginaria de la ecuacin anterior se utiliza para obtener el valor de frecuencia en

el cruce del LG con el eje :

Si se conoce , se procede a determinar la ganancia en 1.5811, pero tambin habr que

considerar la parte real de la ecuacin anterior:

Las figuras 6.14 y 6.15 muestran la configuracin en lazo cerrado del sistema y su respuesta

cuando unidades, lo que corresponde a un comportamiento marginalmente

estable.

Figura 14. Sistema de lazo cerrado con ganancia K = 3.5 unidades.

Figura 15. Respuesta libre oscilatoria del sistema para K = 3.5.

8. ngulos de salida y ngulos de llegada .

Con respecto a los ngulos de salida :

El ngulo de salida de una rama asociada con un polo complejo (tomado como polo bajo

consideracin) corresponde a la suma de las contribuciones angulares de todos los

polos restantes de G(s)H(s) al polo bajo consideracin la suma de todas las

contribuciones angulares de los ceros de G(s)H(s) al polo bajo consideracin

.

Cundo se aplica esta regla

La presencia de polos complejos origina la existencia del ngulo de salida y corresponde al

ngulo con el cual la rama asociada abandona al polo complejo con incrementos de

ganancia.

Por lo tanto, dicha regla se aplica cuando hay polos complejos.

Con respecto al ngulo de llegada :

El ngulo de llegada asociado a un cero complejo (tomado como cero bajo consideracin)

corresponde a la suma de las contribuciones angulares de todos los polos de

G(s)H(s) al cero bajo consideracin la suma de todas las contribuciones

angulares de los ceros restantes de G(s)H(s) al cero bajo consideracin

.

Cundo se aplica esta regla

La presencia de ceros complejos origina la existencia de ngulos de llegada y corresponde al

ngulo con el cual la rama asociada, procedente de algn polo, llega al cero complejo bajo

consideracin. Por lo tanto, dicha regla se aplica cuando hay ceros complejos.

Ejemplo:

Para las siguientes funciones de transferencia de lazo abierto , si procede, obtenga

los ngulos de salida y los ngulos de llegada:

Solucin:

Todo LGR empieza con la representacin en el plano de los polos y ceros de ).

a) Para tal inciso se tiene un cero, ubicado en , y tres polos, uno en origen, , y

los restantes complejos . El hecho de contar con polos complejos asegura la

existencia de ramas, las cuales abandonarn al polo complejo con un determinado ngulo de

salida (cualquier polo complejo puede ser elegido como polo bajo consideracin; en este

caso, dicho polo ser .

La figura 6.13 muestra las contribuciones angulares de los ngulos de los polos restantes, as

como el ngulo del cero hacia el polo bajo consideracin; el ngulo de salida asociado a

es:

Por lo tanto, el ngulo de salida de la rama correspondiente con el polo es

, pero, debido a la simetra de los lugares geomtricos complejos, el ngulo de

salida de la rama que le corresponde al polo

Figura 16. Contribuciones angulares de los polos restantes y del cero hacia el polo considerado.

Como comentario, el LG de la funcin de transferencia considerada presenta las

asntotas ubicadas en el centroide . El LG resultante se muestra en la

figura 6.17.

Figura 17. LGR de G(s)H(s)=(s+2)/s(s^2+2s+5)

b) En este caso, presenta ceros y polos complejos, respectivamente:

y Los polos complejos aseguran la existencia de ramas, cuyos ngulos de

salida abandonarn al polo bajo consideracin con un ngulo , mientras los ceros

complejos confirman la presencia de ramas que llegarn al cero bajo consideracin con un

ngulo . Las figuras 6.18a y 6.18b muestran las contribuciones angulares para los ngulos

de salida y los respectivos de llegada.

Figura 18. Contribuciones angulares del polo restante y de los ngulos de los ceros hacia el polo considerado.

La figura 6.18a muestra la contribucin angular del polo restante, as como los ngulos de los

ceros hacia el polo bajo consideracin. Entonces, el ngulo de salida relacionado con

es:

La figura 6.18b muestra las contribuciones angulares de los polos, as como el ngulo del

cero complejo restante hacia el cero bajo consideracin , donde el ngulo de

llegada se relaciona con el cero :

Por lo tanto, el ngulo de llegada es . Al cero complejo restante le corresponde

un ngulo de llegada de

9. Puntos de salida y puntos de llegada.

Concepto de polos adyacentes. Con respecto a la configuracin mostrada en la figura 6.19a,

que consta de tres polos reales repetidos, se podra decir simplemente que el LGR

correspondiente es el mostrado en la figura 6.19b; sin embargo, es conveniente hacer la

siguiente consideracin.

Figura 19. Sistema con tres polos repetidos LGR correspondiente.

Con respecto a la figura 6.19a, supongamos que inicialmente los polos no estn en el mismo

lugar, sino que se encuentran separados, pero todos ellos an sobre el eje real, segn se

muestra en la figura 6.19c. Ya a estas alturas, contamos con argumentos suficientes para

establecer que los lugares geomtricos se ubican a la izquierda de elementos impares

situados en el eje real, razn por la cual observamos que entre los polos ,

asi como desde hasta habra lugares geomtricos. De lo anterior, se concluye

que cuando se presenta lugar geomtrico entre polos ( ), estos se denominan polos

adyacentes, pero al no haber lugar geomtrico entre los polos y , no sern

polos adyacentes.

En cuanto a la figura anterior, es posible aadir que siempre que existan polos adyacentes,

los inicios de sus correspondientes lugares geomtricos tendern a encontrarse, con lo que

provocaran un punto de salida, de tal manera que con incrementos de ganancia los lugares

geomtricos abandonaran el eje real, lo que dar lugar a ramas complejas.

Punto de salida (de separacin o de ruptura). Los lugares geomtricos que salen del

eje real (como consecuencia de adyacencia entre polos) lo harn con la ganancia

mxima posible que puede presentarse entre la regin real acotada por los

polos adyacentes.

Cundo se aplica esta regla

La presencia de polos adyacentes asegura la existencia de puntos de salida. Para determinar

el punto de salida hay dos alternativas: La primera de ellas consiste en evaluar la condicin

de magnitud, expresada por la ecuacin (6.7), para determinar el punto s, donde se presenta

la ganancia mxima para la regin acotada por los polos adyacentes:

Al rescribir la ecuacion anterior, obtenemos:

En el caso de la segunda opcion para determinar el punto de salida, simplemente hay que

aplicar el concepto de mximos y mnimos a la ecuacin (6.10).

Ejemplo:

Obtenga el punto de separacin para un determinado sistema cuya funcin de transferencia

de lazo abierto es:

Solucin:

El LG correspondiente es precisamente el mostrado en la figura 6.19c, por lo que se

proceder a cuantificar el punto de salida, pero hay que aplicar los dos mtodos

mencionados.

a) Obtencin de la ganancia mxima entre una regin real acotada.

La regin a considerar esta entre los polos adyacentes y , por lo que se

proceder a determinar el valor de s, en el que la ganancia sea mxima.

La tabla 6.1 muestra las diversas ganancias obtenidas para diferentes valores de

.

Tabla 1. Clculo de la ganancia mxima en el intervalo 6 < s < 1 al utilizar la ecuacin (6.10): K = |(s + 1)(s + 6)(s + 8)|.

s K

En la tabla anterior, se observa que el punto de separacin se ubica en el eje real cuando

, cuya ganancia es igual a 30.0411 unidades, que corresponde a la ganancia

mxima entre la regin real acotada por los polos adyacentes y .

b) Obtencin analtica de la ganancia mxima.

Sea el polinomio caracterstico de una funcin de transferencia de lazo cerrado:

donde la ganancia esta implcita en el factor (funcin de transferencia de trayectoria

directa). Para el caso por analizar:

de tal manera que si reordenamos la ecuacion anterior, obtenemos:

El maximo valor de ganancia se obtiene al derivar la ecuacin (c). Con respecto a :

En tanto que a partir del polinomio resultante se obtienen las races, las cuales indicaran el

mximo o los mximos de la funcin:

Las raices son y , por lo que el punto de salida corresponde a

.

Comentario sobre el punto de salida

Cuando existen dos nicos polos reales distintos sobre el eje real, el punto de salida se ubica

exactamente en la media geomtrica de ambos polos. La presencia de elementos

adicionales, ya sean ceros o polos, modifica la posicin del punto de salida, por lo cual habr

que calcularlo mediante alguno de los mtodos mencionados.

Punto de llegada. Las ramas de los lugares geomtricos (provenientes de polos)

llegan al eje real con una ganancia que corresponde al valor mnimo posible,

dentro de un rango acotado sobre el eje real.

Cundo se aplica esta regla

La presencia de cuando menos un cero en el eje real asegura la aplicacin de dicha regla.

Ejemplo:

Para la siguiente configuracin, expresada en forma de funcin de transferencia de lazo

abierto, obtenga e interprete el LGR:

Solucin:

La existencia de ceros reales: y , asegura la presencia de un punto de

llegada, el cual se evaluara ya sea a partir de la condicin de magnitud, dada por la ecuacin

(6.10), o bien, de manera analtica.

a) Obtencin de la ganancia mnima entre los polos: y .

A partir de la condicin de magnitud:

se evala la siguiente ecuacin para

Los resultados obtenidos se muestran en la tabla 6.2.

Tabla 2. Clculo de la ganancia mnima en el intervalo 6 < s < 3 al sustituir diversos valores s en la ecuacin (a).

s K

s K

Por los resultados mostrados, se observa que el punto de llegada est en , a la

que le corresponde una ganancia de 8.8942 unidades.

b) Obtencin analtica de la ganancia mnima.

Al reordenar la ecuacin

, se obtiene:

Las raices del polinomio son y (este ltimo

resultado carece de inters), por lo que el punto de llegada corresponde a y la

ganancia en dicho punto es . El LGR se muestra en la figura 6.20.

Figura 20. LGR de K(s+3)(s+6)/(s^2+2s+10)

La interpretacin del LGR radica en que en lazo cerrado el sistema se comportara en forma

subamortiguada para (REGION I), mientras que cuando es exactamente igual

a 8.8942, el sistema se comportara como crticamente amortiguado (REGION II) y si

8.8942, la respuesta del sistema ser de forma sobreamortiguada (REGION III). La

importancia del LGR radica en que indica el comportamiento total del sistema en lazo

cerrado cuando se varia la ganancia , por lo que es posible elegir una region de

funcionamiento que satisfaga, si es posible, los requisitos de funcionamiento. En caso de que

no se cumplan las especificaciones de operacin, queda el recurso de aadir controladores

(elementos que modifican el comportamiento del sistema.

10. Asignacin de escala al LGR.

Cualquier grafica de lugares geomtricos sin escalas carece de utilidad; por lo tanto, a todo

LGR se le debe asignar su respectiva escala.

Cundo se aplica esta regla

Esta regla siempre se aplica, ya que con dicho procedimiento es posible cuantificar la

ganancia en cualquier punto requerido del LGR.

Los polinomios presentan diversas caractersticas especiales, una de ellas, la que a nosotros

nos resulta de particular inters, es la siguiente: Sea un polinomio de grado , donde el

coeficiente correspondiente al trmino de mayor grado es unitario:

Las races del polinomio (6.11) son .

La suma de las races es igual a:

Para designar una escala todo LGR, primeramente se considera que la ecuacin (6.11)

representara los coeficientes de la ecuacin caracterstica , de manera

que la suma de todas las races de dicho polinomio caracterstico, ecuacin (6.12), siempre

corresponder al coeficiente multiplicado por ). El segundo factor a considerar,

para asignar la escala relacionada con todo LGR, es la condicin de magnitud definida por la

ecuacin (6.10), esto es:

en donde la ganancia ajustable esta implcita en la funcin de transferencia de trayectoria

directa

La asignacin de escala puede llevarse a cabo mediante forma analtica o por medio grafico

(en sus orgenes, el mtodo grafico era primordial; en la actualidad, con octave, matlab y

labview, etc. resulta obsoleto).

Ejemplo:

Con respecto a la siguiente funcin de transferencia de lazo abierto, justifique por que se

aplica o no cada una de las reglas para obtener el LGR respectivo; adems, asigne la escala

respectiva para diversos puntos de la configuracin, por lo que es:

Solucin:

Para obtener el LGR respectivo se justificara cada regla que tenga aplicacin. Todo LG

empieza con el diagrama de polos y ceros de G(s)H(s), que consta de tres polos reales:

1. Nmero de ramas del LGR. El LGR contara con tres ramas, porque tiene

tres polos.

2. Principio y fin del LGR. Los tres lugares geomtricos terminaran en el infinito (ya que

no existen ceros en la configuracin).

3. Lugares geomtricos en el eje real. Habr dos LG en el eje real ubicados en

.

4. Simetra de los LG complejos. La presencia de polos adyacentes asegura que, con

incrementos de ganancia, dos de las ramas tendrn comportamiento complejo, por lo cual

habr simetra de tales elementos con respecto al eje real.

5. y 6. Asntotas y centroide. Como los tres lugares geomtricos tienden al infinito, se

requieren tres asntotas, las cuales se obtienen por medio de la ecuacin (6.8), as como un

centroide para ubicar el punto de divergencia de las asntotas sobre el eje real; el centroide

se obtiene por medio de la ecuacin (6.9).

7. Cruce del LG con el eje imaginario. Debido a que dos de las asntotas se ubican a

60, se supone que con incrementos de ganancia los lugares geomtricos cruzaran el eje

La funcin de transferencia de lazo cerrado asociada a , donde se supone que

corresponde a:

De esta manera, al sustituir por , en la ecuacin caracterstica, se obtienen tanto la

ganancia , en el punto de cruce con el eje imaginario , como la frecuencia en dicho

punto de cruce:

Si la ganancia , el cruce del lugar geomtrico con el eje es de: 7.8740 .

8. ngulos de salida y de llegada. Puesto que no presenta polos ni ceros

complejos, no existirn ngulos de salida ni de llegada.

9. Puntos de salida y llegada. La presencia de los polos adyacentes y

confirman la existencia de un punto de salida, el cual se ubica en . Como no

existen ceros en el eje real, no se presentaran puntos de llegada.

El LGR resultante se muestra en la figura 6.21.

10. Asignacin de escala al LGR. Una vez que se tiene el LGR, se proceder a establecer una

escala a dicha representacin en diversos puntos del LG. Para ello, hay que utilizar tanto el

procedimiento analtico como el respectivo grafico.

Como ya se conoce el polinomio caracterstico descrito mediante la ecuacin (a), se

empleara la ecuacin (6.12), por lo cual la suma de todas las races de la ecuacin (a) ser

igual a:

Figura 21. LGR correspondiente a K/(s+1)(s+6)(s+8)

Ya que nuestro polinomio caracterstico es de tercer grado, para cada ganancia siempre

habr tres polos de lazo cerrado. Sabemos hasta ahora que la ganancia mxima que se le

pueda asignar al sistema, antes de que se comporte en forma inestable, es de

unidades; para tal valor de conocemos la ubicacin de dos de los tres polos,

, por lo que queda pendiente la ubicacin del tercer polo (obviamente tambin para

882). Como :

Lo anterior se interpreta de la siguiente forma. Con respecto a la rama que va desde

hasta , el punto mas alejado a elegir en dicha zona del eje real es de , ya

que cualquier punto seleccionado que sea menor que har inestable al sistema.

El rango de ganancias tiles es de , por lo que se proceder a determinar la

ganancia para que el sistema opere en diversos puntos del LGR. De qu depende la eleccin

de tales puntos?

La respuesta a tal pregunta es en si la razn de ser del LGR, ya que, si conocemos el

comportamiento total del sistema en lazo cerrado (significado de las ramas del lugar

geomtrico), sabremos si el sistema es capaz de comportarse con un determinado

amortiguamiento o, a una particular frecuencia angular de oscilacin , relacionar la

velocidad de respuesta practica de un sistema (ya que el reciproco del polo cerrado

correspondiente a una determinada rama equivale a la constante de tiempo de un sistema),

determinar en que momento un cierto(s) polo(s) pasa(n) a ser dominante(s), etctera.

Otro punto de inters reside en ubicar las races restantes de lazo cerrado cuando

(que corresponde al punto de salida por la adyacencia entre los polos

y ). Dicho punto de salida supone que , por lo que queda

pendiente determinar la posicin del polo . Como

Aunque ya sabemos que la ganancia en el punto de separacin es unidades,

mediante la condicin de magnitud expresada por la ecuacin (6.10) es posible verificar

dicho valor de ganancia:

Por lo tanto, podemos observar que para cualquier punto seleccionado en el LGR es posible

ubicar la posicin de los polos de lazo cerrado restantes, segn lo indica la ecuacin (6.12),

as como la ganancia que les corresponde, mediante la ecuacin (6.10).

Antes de la aparicin de software para resolver este tipo de problemas, se utilizaba el

mtodo grafico. Se seleccionaba un punto especifico de una rama y se proceda a cuantificar

la ganancia en dicho punto para, de esta manera, sintonizar al controlador proporcional

correspondiente (segn se indicara en el captulo 8). Aunque el mtodo grafico es obsoleto

frente al uso de octave, labview, Matlab, por su importancia se aplicara a continuacin, una

vez que se ha elegido un punto especifico de LGR, segn se muestra en la

figura 6.22. La ganancia en dicho punto se evala a partir de la condicin de magnitud,

ecuacin (b), al multiplicar las magnitudes individuales de las contribuciones vectoriales

de los polos de lazo abierto hacia el punto seleccionado del LGR:

Figura 22. Clculo de la ganancia K en s =-2 + 3.746 j.

LUGAR GEOMTRICO DE RACES CON OCTAVE Es conveniente enfatizar que con la simple instruccin rlocus, octave genera el

correspondiente LGR de la funcin de transferencia de lazo abierto por analizar.

Sin embargo, es de suma importancia que antes de utilizar dicha instruccin se tenga el

concepto del LGR; de ah la importancia del mtodo de Evans y lo expuesto en la seccin 6.3.

Uso de los comandos: rlocus(g), rlocus(g,incremento,kmin,kmax) y axis

Ejemplo:

Obtenga con Octave el LGR de:

Solucin:

Para obtener el lugar geomtrico de por medio de Octave, primero se definen,

mediante matrices fila, el numerador y el denominador de la funcin de transferencia de

lazo abierto:

>> pkg load control

>> num[1 6 10]; denconv(conv([1 0.5],[1 2]),[1 4]); % Definicin de G(s)H(s) % Para aplicaciones posteriores, G(s)H(s) se expresa como funcin % racional:

>> g=tf(num,den)

Transfer function 'g' from i

nput 'u1' to output ...

s^2 + 6 s + 10

y1: ----------------------

--

s^3 + 6.5 s^2 + 11 s + 4

Continuous-time model.

>> rlocus(g)

% Si se desea que el LGR se muestre mediante una serie de referencias

% espaciadas, se define el rango de ganancias K y el intervalo deseado: >> rlocus(g,0,0.1,50)

>> rlocus(g,0.1,0,20)

>> rlocus(g,0.1,0,1)

>> axis([5 0.2 2.5 2.5]) % Comando para personalizar los ejes. La figura 6.23 muestra el LGR resultante.

Figura 23. LGR de G(s)H(s)=K (s^2+6s+10)/(s+0.5)(s+2)(s+4)

DISEO DE SISTEMAS DE CONTROL MEDIANTE EL LGR El LGR indica, de manera grfica, la evolucin de un sistema en lazo cerrado para variaciones

de ganancia, mientras la informacin suministrada en dicha grfica muestra las

caractersticas y las limitaciones propias de cada sistema, de aqu que con el conocimiento

de su comportamiento es posible seleccionar un punto especfico del LGR, segn los

requisitos a satisfacer por parte del diseador.

ESTABILIDAD RELATIVA, MRGENES DE GANANCIA Y FASE Es bien sabido que un sistema es estable si todos sus polos estn a la izquierda del eje ,

segn se muestra en la figura 6.24a. Sin embargo, la regin til del plano puede acotarse

an ms, como lo indica la figura 6.24b, ya que polos reales situados a la izquierda del

origen, pero cercanos a ste, presentan una respuesta lenta; si adems los polos son

complejos, la respuesta presentar un comportamiento muy oscilatorio.

Figura 24. Regin de estabilidad en el plano s. a) Definicin formal de estabilidad. b) Acotamiento a la izquierda del eje j.

Con el objetivo de cuantificar la regin til del semiplano izquierdo, se introduce el concepto

de estabilidad relativa, la cual en principio establece qu tanto se puede recorrer el eje

hacia la izquierda hasta llegar al polo o los polos dominantes (si se supone que stos son

complejos). La figura 6.25 ilustra este concepto en forma grfica.

Figura 25. Concepto de estabilidad relativa.

El criterio de Routh-Hurwitz es un procedimiento que indica simplemente si un sistema es

estable o no, de ah que a dicho mtodo se le catalogue como de estabilidad absoluta.

Segn se mencion, el polo dominante es el elemento que ejerce mayor influencia sobre el

sistema; si dicho polo presenta parte real e imaginaria, , la parte real ser

indicativa de la velocidad de respuesta (ya que el recproco en valor absoluto del polo define

a la constante de tiempo ) y la parte imaginaria ser la responsable de la frecuencia angular

de oscilacin del sistema.

Por lo tanto, la estabilidad relativa ser un indicador de cun estable es un sistema con

respecto a los componentes real e imaginario.

Si se considera que la ganancia de diseo es el factor por el que hay que multiplicar a

para que el sistema opere en un punto especfico del LGR (el cual se elige segn

las especificaciones particulares que deba satisfacer cada sistema), el margen de ganancia

se define como el factor positivo por el que se multiplica la ganancia de diseo para

que el sistema se torne marginalmente estable. Hay que recordar la regla que hace

referencia al punto de cruce del LGR con el eje (llamada frecuencia ); a la ganancia en

dicho punto de cruce se le denomina ganancia mxima , por lo que ser de gran

importancia en la sintonizacin de los diferentes tipos de controladores, lo cual se expondr

en el captulo 8.

El margen de ganancia se obtiene a partir del LGR al aplicar la siguiente ecuacin:

Si , el sistema es inestable, ya que excedera el valor de la ganancia mxima .

Para configuraciones en los que el LGR nunca cruza el eje , se dice que el sistema tiene un

margen de ganancia infinito, lo cual indica que los sistemas son estables para toda ganancia,

por ejemplo, los sistemas de primero y segundo grados. El rango de mrgenes de ganancia

recomendable est comprendido en el intervalo: unidades.

Ejemplo:

Para el sistema definido por , cuyo LGR se muestra en

la figura 6.26, obtenga el margen de ganancia en donde se ha elegido una ganancia de

diseo unidades (los polos de lazo cerrado para tal ganancia son

. Considere que la ganancia mxima del sistema es unidades y

que el punto de cruce con el eje es rad/seg.

Figura 26. LGR de G(s)H(s)=40K/(s(s+4)(s+10))

Solucin:

Al aplicar la ecuacin (6.13), se obtiene el margen de ganancia:

Cmo se interpreta el resultado anterior?

La estabilidad relativa relacionada con unidades est muy cercana al lmite

inferior recomendado, razn por la cual la respuesta del sistema de lazo cerrado al escaln

ser oscilatoria, segn se muestra en la figura 6.33. La estabilidad relativa del sistema en

cuanto a margen de ganancia mejorara si se disminuyera la ganancia de diseo El

significado del escaso margen de ganancia se relaciona con la parte real de los polos

dominantes del sistema, y la constante de tiempo correspondiente es:

, por lo que el sistema alcanzar su valor final prctico en 4.848 seg.

La aproximacin polinmica a segundo grado es vlida por la lejana del tercer polo de lazo

cerrado ( ) con respecto a los polos cuadrticos dominantes.

Figura 27.

Para Definir y cuantificar el margen de fase hay que hacer ciertas consideraciones

previas. Como se mencion en la seccin 6.3.1, la ecuacin (6.7) lleva implcito un factor de

magnitud y un factor de fase:

por lo que toda funcin de transferencia es de la forma:

que puede ser representada en forma polar:

Cada factor

representa vectores dirigidos desde los ceros y los

polos a puntos especficos situados en el eje

La ecuacin anterior queda expresada en trminos de magnitudes y fases. El factor de

magnitud corresponde a:

y el factor de fase queda representado por:

La ecuacin (6.14) indica que la magnitud del vector resultante es igual a la ganancia

multiplicada por el cociente de las magnitudes de los ceros y dividida entre las magnitudes

de los polos. La ecuacin (6.15) representa la fase del vector resultante debido a la suma

algebraica de las contribuciones angulares de los ceros menos las contribuciones angulares

de los polos.

El margen de fase de un sistema definido por se obtiene a partir del LGR al

sustituir por para determinar el punto , donde se satisfaga:

para el valor seleccionado de ganancia de diseo :

Para cuantificar el valor de que satisfaga la ecuacin anterior, en general hay que emplear

algn mtodo recurrente. Una vez que es conocido, el margen de fase se obtiene a

partir de la ecuacin:

Si el sistema es inestable, ya que (que en general es negativo por la

mayora de polos con respecto a ceros), excedera al ngulo positivo de 180. El rango de

mrgenes de fase recomendable est comprendido en el intervalo

Ejemplo:

Para el sistema definido por , cuyo LGR se mostr en la

figura 6.26, obtenga el margen de fase donde se ha elegido una ganancia de diseo

6 unidades.

Solucin:

La figura 6.28 contiene los vectores de los polos dirigidos al

punto en el eje

Figura 28. Contribuciones de magnitudes polares al punto 3.963 j.

Si se particulariza la ecuacin (6.7) con respecto a la condicin de magnitud y se considera

que unidades:

por lo que:

Habiendo determinado que el punto satisface el requisito impuesto por la

ecuacin (6.16), se procede a obtener la fase de empleando la ecuacin

(6.15):

Finalmente, el margen de fase se calcula como lo indica la ecuacion (6.17):

Los margenes de ganancia y fase pueden Definirse de una manera alternativa al llevar a cabo

un anlisis en frecuencia (tema no cubierto en el texto). El margen de ganancia y el margen

de fase se determinan con Octave al aplicar la instruccin: [Gm,Pm,Wcg,Wcp] margin(g)

donde:

Gm margen de ganancia.

Pm margen de fase.

Wcg frecuencia , en la que el LGR cruza el eje Wcp frecuencia , donde se cumple la condicion:

Ejemplo:

Con Octave, obtenga los mrgenes de ganancia y fase para el sistema ,

considerando que unidades:

Solucin:

El siguiente cdigo permite cuantificar directamente los mrgenes de ganancia y fase con

Octave:

>> num[240];

>> denconv(conv([1 0],[1 4]),[1 10]);

>> g=tf(num,den);

>> [Gm,Pm,Wcg,Wcp]margin(g)

Gm 2.3333

Pm 23.6516

Wcg 6.3246

Wcp 3.9627

GENERALIZACIN DEL LGR (VARIACIN DE PARMETROS DISTINTOS A LA GANANCIA K) En la seccin 6.3 se comento que, en principio, el mtodo del lugar geomtrico de races

serva para determinar todas las posibles races de una ecuacin caracterstica de

cuando se variaba la ganancia de un sistema, y de esta forma era

posible conocer el comportamiento total de la configuracin en lazo cerrado para el rgimen

transitorio. Sin embargo, el mtodo de LGR puede utilizarse para hacer variar cualquier otro

parmetro del sistema, por ejemplo, ubicar un determinado polo , ajustar el

amortiguamiento de un polinomio caracterstico, etctera.

Ejemplo:

Obtenga el LGR de las configuraciones mostradas en la figura 6.29 y 6.30 para el intervalo

indicado del parmetro ajustable respectivo.

a) Considere en principio , por lo que los polos de lazo cerrado se

ubicaran en y ; por lo tanto, el sistema resultante logra

aproximarse a un polinomio cuadrtico. Si se mantiene fija la ganancia , analice el

comportamiento del parametro a para el intervalo

Figura 29. Configuracin donde se analizarn las variaciones del parmetro ajustable a.

b) Analice las variaciones de amortiguamiento para .

Figura 30. Configuracin donde se analizarn las variaciones del amortiguamiento .

Solucin:

a) Al considerar una ganancia fija y un factor ajustable, la funcin de

transferencia de lazo abierto resultante es:

Para graficar el lugar geomtrico de races en funcin del parmetro ajustable , la ecuacin

(a) debe escribirse de cierta forma para obtener una expresin adecuada para la nueva

funcin de transferencia de lazo abierto resultante:

El denominador de la ecuacin (b) debe llevarse a la forma para obtener la

nueva expresin . As, la ecuacin (b) se multiplica y divide por el factor:

de donde se obtiene la nueva representacin de la funcin de transferencia de lazo cerrado

La expresin resultante para es:

El LGR respectivo, que indica las variaciones del factor , se muestra en la figura 6.31;

el sistema es estable si .

Figura 31. LGR de G(s)H(s)^'=a s(s+4)/(s^3+4s^2+32.4854)

La tabla 6.3 muestra los polos de lazo cerrado para , 10 y 15 unidades, pero hay que

considerar que la ganancia es constante.

b) Para este inciso, se obtendr el LGR, para lo cual hay que tomar en cuenta que el

amortiguamiento vara en el rango

Tabla 3. Ubicacin de los polos de lazo cerrado para el parmetro a = 5, 10 y 15; la ganancia K en todos los casos es de 32.4854 unidades.

a = 5 a = 10 a = 15

Polo

Polo

Polo

La funcin de transferencia de lazo cerrado de la figura 6.30 es:

La ecuacin anterior debe modificarse para encontrar una nueva representacin de

en terminos del parmetro ajustable , para proceder a representar su

respectivo LGR:

La nueva expresin es:

El LGR de , que indica las variaciones de , se muestra en la figura 6.37. El sistema

es estable para 0. La tabla 6.4 presenta los polos de lazo cerrado para 0, 3.1623 y 5.

Tabla 4. Ubicacin de los polos de lazo cerrado para el parmetro = 0, 3.16 y 5.

= 0 = 3.1623 = 5 Polo

Polo

Figura 32. LGR de G(s)H(s)^'= 2s/(s^2+10)

CONTORNO DE RACES

En la seccin anterior se uso el mtodo del LGR para determinar el comportamiento de un

sistema variando un parmetro diferente a la ganancia. En esta seccin, se variaran dos

parmetros, de tal forma que al lugar geomtrico resultante se le denominara contorno de

races.

Ejemplo:

Para el sistema mostrado en la figura 6.33, obtenga el contorno de races, considerando que

tanto la ganancia como la posicin del polo relacionado con el factor son

parmetros ajustables.

Figura 33. Sistema donde se consideran dos parmetros ajustables, K y a. A la configuracin resultante se le denomina

contorno de races.

Solucin:

Primero se obtendr el LGR, pero habr que suponer variaciones de ganancia en el rango

y considerar que , por lo que la primera funcin de transferencia de lazo

abierto que ser representada como lugar geomtrico es:

El LGR de que se muestra en la figura 6.34 indica que el sistema resultante en lazo

cerrado siempre ser inestable. La tabla 6.5 presenta la ubicacin de los polos de lazo

cerrado para determinadas ganancias.

Tabla 5. Ubicacin de los polos de lazo cerrado para K = 21; 118.36 y 365.77.

K = 21 K = 118.36 K = 365.77

Polo

Polo

Polo

Figura 34. LGR de K/(s^2 (s+4) )

La funcin de transferencia de lazo cerrado considerando al parmetro corresponde

a:

donde la nueva expresin de la funcin de transferencia es de lazo abierto:

A continuacin se proceder a obtener el LGR de la ecuacin (b), el cual se muestra en la

figura 6.35, considerando una ganancia constante de 21 unidades (las variaciones en las

posiciones de las ramas indican ajustes del parmetro dentro del rango

Figura 35. LGR de G(s)H(s)^'=a s(s+4)/(s^3+4s^2+K)

El punto seleccionado en la figura anterior es , con lo que la funcin de

transferencia de lazo cerrado corresponde a:

Por lo tanto, si y , las posiciones de los polos de lazo cerrado son

.

A la representacin simultanea de dos o ms parmetros ajustables se le denomina

contorno de races; para el caso analizado, se graficaran a la par los LGR de las ecuaciones (a)

y (b), que estn representados en la figura 6.36.

Figura 36. Contorno de races de K

Los puntos , y , referidos en la figura 6.36, se eligieron para diversos valores de y

que estn indicados en la tabla 6.6 junto con los polos resultantes de lazo cerrado, en cada

caso.

Tabla 6. Ubicacin de los polos de lazo cerrado para K = 21, 118.36 y 365.77.

p1 p2 p3

PROBLEMAS 6.1 Para los siguientes polinomios caractersticos, aplique el criterio de Routh-Hurwitz con la

finalidad de determinar el nmero de polos que se encuentran en el semiplano derecho del

plano .

6.2 Para las configuraciones mostradas en la figura 6.37, determine la estabilidad o

inestabilidad de los sistemas, aplicando el criterio de Routh-Hurwitz al polinomio

caracterstico resultante de la funcin de transferencia de lazo cerrado

Figura 37. Diagrama de bloques por analizar.

Figura 38. Diagrama de bloques por analizar.

Figura 39. Diagrama de bloques por analizar.

6.3 Por el mtodo de Routh-Hurwitz, analice la estabilidad de los siguientes polinomios

caractersticos:

6.4 Para los siguientes polinomios caractersticos, determine el rango de ganancias para los

cuales los sistemas sean estables.

6.5 Para las configuraciones mostradas en la figura 6.40, determine el rango de ganancias

para el cual los sistemas son estables.

Figura 40. Diagrama de bloques por analizar.

Figura 41. Diagrama de bloques por analizar.

6.6 Sea el sistema mostrado en la figura 6.42, que representa un motor de CD controlado

por corriente de armadura y el cual queda definido por:

donde:

La adicin a la configuracin original de un comparador, as como un amplificador de

ganancia ajustable y de un tacmetro hacen posible la configuracin de lazo cerrado

mostrada en la figura 6.42b. El acoplamiento de un tacmetro (a manera de sensor) al eje

del motor permite generar un voltaje que es proporcional a la velocidad del motor

( ). Determine el rango de valores de ganancia para los cuales el

sistema es estable.

Figura 6.42a Motor de CD controlado por corriente de armadura.

Figura 42. Sistema retroalimentado.

6.7 Cul es el significado del lugar geomtrico de races?

6.8 Para las siguientes funciones de transferencia de lazo abierto, indique cules de las

reglas propuestas por Evans se aplican para obtener el LGR correspondiente.

6.9 Un sistema de control de la temperatura en un tanque se ilustra en la figura 6.43. La

temperatura en el tanque cambia a razn de 0.28 C por cada 5 mv aplicados a la

servovlvula. La variacin de la temperatura en el tanque es de 3.5 C/seg por cada volt

aplicado. Como sensor de temperatura se utiliza un termopar tipo , que genera 6.36 mv/C,

el cual se coloca a una cierta distancia del flujo de salida, por lo que se produce un atraso de

tiempo . Obtenga:

a) La aproximacin de Pad de tercer grado para el atraso de tiempo dado.

Figura 43. Sistema de control de temperatura en un tanque.

b) El LGR de la funcin de transferencia de lazo abierto resultante, suponiendo que la

ganancia del controlador es unitaria.

6.10 Con respecto al problema 6.9, ajuste la ganancia del controlador, de tal manera que

el sistema tenga un comportamiento crticamente amortiguado. Para el resultado obtenido,

indique si la aproximacin a polinomio cuadrtico es vlida.

6.11 Escriba un archivo en Octave que lleve a cabo la solucin del problema 6.10.

6.12 Con respecto al problema 6.9, empleando Octave, obtenga una expresin analtica

para la funcin de transferencia de lazo cerrado , considerando que la ganancia del

controlador es de 12.7767 unidades. Verifique que los polos de lazo cerrado estn

ubicados en y . Adems, obtenga la

representacin grfica de la respuesta del sistema cuando se le aplica una entrada escaln

unitario.

6.13 Para un sistema con funcin de transferencia de lazo abierto:

ajuste la ganancia con la finalidad de que la respuesta del sistema en lazo cerrado al

escaln unitario tenga un mximo pico de sobreimpulso de 13.324%. Para el valor calculado

de , obtenga la frecuencia natural no amortiguada, as como la velocidad de respuesta

prctica del sistema; adems, indique si es vlida la aproximacin a polinomio cuadrtico

para la ganancia seleccionada.

6.14 Cul es la interpretacin fsica del margen de fase y del margen de ganancia ?

Qu parmetros del rgimen transitorio pueden asociarse con los mrgenes de fase y

ganancia?

REFERENCIAS Barrientos, A., Sanz, R., Matia, F. y Gambao, E., Control de sistemas continuos, problemas resueltos, McGraw-Hill, 1996.

Bishop, H. R., Modern control systems analysis and design using MATLAB and Simulink, Addison- Wesley, 1997.

Diestefano, J. J., Stubberaud, A. R. y Williams, I. J., Feedback and control systems, serie Schaum, Mc

Graw-Hill, 1990.

Leonard, N. E., Using MATLAB to analyze and design control systems, Addison-Wesley, 1995. Lewis, P. H. y Yang Ch., Sistemas de control en ingeniera, Prentice-Hall, 1999. Nise, N. S., Control solutions to accompany Control Systems Engineering, John Wiley & Sons, 2004.

Ogata, K., Solving control engineering problems with MATLAB, Prentice Hall, 1994. Rodriguez A., J. E., Introduccin a la ingeniera de control automtico, McGraw-Hill, 1998.