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SERIES DE FOURIER.

Cualquier señal periódica puede ser representada por una serie de sumastrigonométricas de senos y cosenos relacionadas armónicamente.

Para que una señal periódica pueda representarse por una serie de Fourier,debe respetar las condiciones de Dirichlet:

1. Debe tener un número finito de discontinuidades en el periodo T, encaso de ser discontinua.

2. El valor medio en el periodo T sea finito.3. Debe tener un número finito de máximos y mínimos.

Si se satisfacen estas tres condiciones, existe la serie de Fourier y puedeescribirse de la forma trigonométrica como:f(x) = a2 + a cos(nωx) + a cos(nωx)+. . +a cos(nωx) ++ b sen(nωx) +b sen(nωx) + . . +b sen(nωx)Es decir, se puede expresar como:

f(x) = a2 + a cos(nωx) + b sen(nωx)Donde ω = (frecuencia angular) y T= periodof(x) debe ser periódica, continua y a , a y b son los coeficientes de la

serie; llamados los coeficientes de Fourier, que pueden ser reales ocomplejos.

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Las funciones pueden ser simplemente periódicas, funciones pares ofunciones impares.

Una función es par cuando ( ) = − ( ) , es decir, es simétricarespecto al eje de las ordenadas ( ).

Una función es impar cuando ( ) = − (− ) , es decir, es simétricarespecto a un eje de 45 que pasa por el origen del sistema decoordenadas.

Una función es simplemente periódica cuando no hay simetríarespecto a ningún eje coordenado.

A. Cálculo de , y para una función simplemente periódica:

a = 2T f(x)dx = 2T f(x)dxa = 2T f(x) cos(nωx) dx = 2T f(x) cos(nωx) dxb = 2T f(x) sen(nωx) dx = 2T f(x) sen(nωx) dx

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B. Cálculo de , y para una función par:

b = 0a = 4T f(x)dx

a = 4T f(x) cos(nωx) dxC. Cálculo de , y para una función impar:

a = a = 0b = 4T f(x) sen(nωx) dx

Ejemplo 1:

Sea f(x) = x ; para −π ≤ x ≤ π calcular la serie de Fourier para esta función.

La gráfica de la función para el dominio dado será:

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Periodo: = 2 Frecuencia angular: ω = = = 1a) Cálculo de :

= 2T f(x)dx = 22π x ∗ dx = 1π ∗ 2 −= 1 2 − (− )2 = 0b) Cálculo de :

a = ∫ f(x) cos(nωx) dx = ∫ x ∗ cos(nx) dx

udv = x ∗ sen(nx)n − sen(nx)n dxa = 1π x ∗ sen(nx)n + cos(nx)n π−π

a = 1π π ∗ sen(nπ)n + cos(nπ)n − −π ∗ sen(n[−π])n + cos(n[−π])na = 1π cos(nπ)n − cos(n[−π])n = 0

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c) Cálculo de :2T f(x) sen(nωx) dx = 22π x ∗ sen(nx) dx

udv = −x ∗ cos(nx)n − cos(nx)n dxb = 1π sen(nx)n − x ∗ cos(nx)n π−π

b = 1π sen(nπ)n2 − π ∗ cos(nπ)n − sen(n[−π])n + π ∗ cos(n[−π])nb = 1π − πcos(nπ)n − πcos(n[−π])n = 1π − 2πcos(nπ)n

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Finalmente f(x) = x será:

f(x) = (−1) ∗ 2n ∗ sen(nx)Para cuatro términos no nulos de la serie sería:f(x) = −2sen(x) + sen(2x) − 23 sen(3x) + 12 sen(4x)Ejemplo 2:

Desarrollar en series de Fourier la siguiente función por partes.

La gráfica de la función por partes para el dominio dado será:

0

1

2

3

4

-4 -2 0 2 4

Función por partes

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Es una función simplemente periódica, puesto que no presenta simetríarespecto a ningún eje.

Periodo: T = 6Frecuencia: ω = = =

a) Cálculo de :a = 2T f(x)dx = 26 (0 + x) ∗ dx = 13 ∗ x2 30= 13 ∗ 32 − 02 = 32

a = 32b) Cálculo de :

a = 2T f(x) cos(nωx) dx = 13 x ∗ cos n π3 x dx13 udv = 3x ∗ sen n π3 xnπ − 3sen n π3 xnπ dx

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u = xdu = dx dv = cos n x

v = sen n π3 xn π3 = 3sen n π3 xnπ= 13 3x ∗ sen n π3 xnπ + 3cos n π3 xnπ ∗ nπ3 30 = 13 3x ∗ sen n π3 xnπ + 9cos n π3 xn π 30

= x ∗ sen n π3 xnπ + 3cos n π3 xn π 30= 3 ∗ sen n π3 ∗ 3nπ + 3cos n π3 ∗ 3n π − 0 ∗ sen n π3 ∗ 0nπ + 3cos n π3 ∗ 0n π

3cos(nπ)n π − 3n π = 3n π [cos(nπ) − 1]Para: n = 1 cos(π) = −1n = 2 cos(2π) = 1n = 3 cos(3π) = −1 a = − para n impar

n = 4 cos(2π) = 1

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c) Cálculo de :b = 2T f(x) sen(nωx) dx = 13 x ∗ sen n π3 x dx

Integral por partes:u = xdu = dx dv = sen n x

v = − cos n π3 xn π3 = − 3cos n π3 xnπ

13 udv = 13 − 3x ∗ cos n π3 xnπ + 3cos n π3 xnπ dx= 13 − 3x ∗ cos n π3 xnπ + 3sen n π3 xnπ ∗ nπ3 30 = 13 − 3x ∗ cos n π3 xnπ + 9sen n π3 xn π 30

= − 3 ∗ cos n π3 ∗ 3nπ + 3sen n π3 ∗ 3n π − 0 ∗ cos n π3 ∗ 0nπ − 3sen n π3 ∗ 0n π= − 3 ∗ cos n π3 ∗ 3nπ

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Para: n = 1 cos(π) = −1n = 2 cos(2π) = 1n = 3 cos(3π) = −1 b = (−1) para n imparn = 4 cos(2π) = 1

f(x) = a2 + a cos(nωx) + b sen(nωx)f(x) = 34 − 6n π cos n π3 x + (−1) 3n π sen n π3 x

Ejemplo 3:

Desarrollar en series de Fourier la siguiente función por partes.

Es una función impar, por lo tanto, solo se determina b .

Su periodo será T = 2.

Su frecuencia angular será w = = = π

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b = 2T f(x) sen(nωx) dx = 4T f(x) sen(nωx) dxb = 42 1 ∗ sen(nπx) dx = 2 sen(nπx) dx = − 2cos(nπx)nπ 30b = − 2cos[nπ(1)]nπ + 2cos[nπ(0)]nπ = − 2cos(nπ)nπ + 2nπb = 2nπ − 2cos(nπ)nπ = 2nπ [1 − cos(nπ)] = 2nπ [1 − (−1) ]

b = 2nπ [1 − (−1) ]f(x) = 2nπ [1 − (−1) ] ∗ sen(nπx)

Función por partes

1

-1

-1

1

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Ejemplo 4:

Dada la función:

a) Grafique su extensión periódica:

Su periodo será T = 2 Su frecuencia angular será w = = = π

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b) Grafique su extensión impar (en serie de senos):

Su periodo será T = 4 Su frecuencia angular será w = =

c) Grafique su extensión par (en serie de cosenos):

Su periodo será T = 4 Su frecuencia angular será w = =

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Ejemplo 5:

Desarrollar en serie de sen(x) la f(x) = cos(x) para −π ≤ x ≤ π.

Solución: la f(x) = cos(x) es una función par, es decir, simétrica respecto aleje de las ordenadas (como se puede apreciar en la gráfica).

Se redefine la f(x) = cos(x) para desarrollarla como impar (en serie desenos).

Su periodo será T = 2π Su frecuencia angular será w = = = 1

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b = 4T f(x) sen(nωx) dx = 42π cos(x)sen(nx)dx= 2π cos(x)sen(nx)dxUsamos la identidad trigonométrica:

cosA ∗ senB = sen(A + B) − sen(A − B)2b = 2π sen(x + nx) − sen(x − nx)2 dx

b = 1π sen[(1 + n)x] − sen[(1 − n)x]dxb = 1π − cos[(1 + n)x]1 + n π0 + cos[(1 − n)x]1 − n π0

b = 1π − cos[(1 + n)π]1 + n + 11 + n − cos[(1 − n)π]1 − n − 11 − n ∀ n ≠ 1f(x) = 1π − cos[(1 + n)π]1 + n + 11 + n − cos[(1 − n)π]1 − n − 11 − n sen(nx)