Jueves 28 de Abril 2011

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Jueves 28 de Abril 2011. Capítulo 7. - PowerPoint PPT Presentation

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  • Jueves 28 de Abril 2011

  • Captulo 7Equilibrio Hidrosttico. Conservacin de la Masa. Ecuacin de Estado de la Presin. Presin de Radiacin. Fuentes de Energa Estelar. Contraccin Gravitacional. Procesos Qumicos. Procesos Nucleares. Ciclo Protn-Protn. Ciclo CNO. Ciclo CNO y PP. Proceso Triple Alfa. Combustin de Carbono y Oxgeno. Transporte de Energa.

  • Equilibrio HidrostticoLa fuerza gravitacional es siempre atractiva, por lo que una fuerza opuesta debe existir para evitar el colapso de una estrella. Esa fuerza proviene de la presin. Si las fuerzas de presin fueran iguales se cancelaran, sin embargo la fuerza en la cara ms cercana al centro de la estrella (b) es mayor que en la cara ms lejana a la misma (a).La diferencia entre ambas genera una diferencia de presin que empuja este cilindro hacia la superficie. La gravitacin, por el contrario, empuja este cilindro hacia el centro.

  • Equilibrio HidrostticoLa presin se define como una fuerza por unidad de superficie por lo que

    y diferenciando esta ecuacin se tiene que la diferencia de fuerzas es

    La masa del cilindro se puede escribir como

    donde es la densidad.

  • Equilibrio HidrostticoLas estrellas poseen, en primera aproximacin, simetra esfrica, por lo que la fuerza de gravitacin sobre una cscara esfrica es

    donde Mr es la masa interior, dm es la masa de la cscara, r su radio y dr su espesor.

  • Equilibrio HidrostticoEn el caso de equilibrio las fuerzas debe equilibrarse, sino la estrella se expande o colapsa. Por lo queRecordar que

  • Conservacin MasaPara una estrella esfricamente simtrica se tiene que el volumen de una cscara ser

    y de donde la masa de esa cscara es

    Pasando de trmino se tiene finalmente que

  • Ecuacin de Estado de la PresinLa ecuacin de estado de un gas ideal esPV=NkT donde V es el volumen del gas, N es el nmero de partculas, T la temperatura y k=1.3806504(24) 1016 erg/KEsta ecuacin, se deduce pensando al gas como un sistema compuesto por masas puntuales de masa m que interactan a travs de colisiones perfectamente elsticas (es decir conservan la energa).Si n=N/V es la densidad numrica de partculas entonces se tiene que P=nkTUtilizando el valor de la presin central computado anteriormente se puede hallar la temperatura. Por ejemplo para el Sol se obtienen T~1.44107 K.

  • Ecuacin de Estado de la PresinConsidere un cilindro de gas de longitud x y rea A. El gas contenido en el cilindro se asume compuesto de partculas puntuales de masa m que interactan a travs de colisiones perfectamente elsticas (gas ideal). Por la 2da ley de Newton se tiene que:

    Y por la 3era ley de Newton se tiene que:

    Donde px es la componente x del momento inicial de la partcula. Debdo a que una partcula debe recorrer 2 veces el cilindro para efectuar una nueva colisin con la misma pared, el intervalo de tiempo entre 2 colisiones es:

  • Ecuacin de Estado de la PresinDe donde se tiene que la fuerza promedio ejercida en la pared por una partcula en ese perodo de tiempo es:

    Debido a que px es proporcional a vx, se tiene que la fuerza es proporcional a vx2Teniendo en cuenta las 3 componentes del vector velocidad estan relacionadas por:

    Dado que las 3 direcciones son igualmente probables se tiene que: De donde la fuerza promedio por partcula teniendo momento p es:

  • Ecuacin de Estado de la PresinSi el nmero de partculas con momento entre p y p+dp esta dado por Npdp luego el nmero total ser:

    La contribucin a la fuerza total dF(p) por todas la partculas en ese rango de momentos p a p+dp esta dada por:

    Luego integrando sobre todos los valores posibles de momento se tiene la fuerza total ejecida por colisiones de partculas:

    Dividiendo por el rea se obtiene la expresin para la presin:

  • Ecuacin de Estado de la Presindonde np=Np/V es el nmero de partculas por unidad de volumen.La funcion nvdv depende del sistema que se considere, que para el caso de un gas ideal en particular est dada por la funcin distribucin de Maxwell-Boltzmann:

    Calculando la integral, se tiene finalmente la ecuacin de estado de un gas ideal.

    Esta ecuacin permite estimar la temperatura central del Sol en T~1.44 x 107 K

  • Energa Cintica por PartculaUtilizando

    Se tiene que

    y usando la definicn de velocidad cuadrtica media que vimos en mecnica estadstica para la funcin de Maxwell-Boltzmann

    Se tiene

  • Presin de RadiacinUna ecuacin anloga se puede deducir para los fotones pensandolos como partculas con momento p=h/c (Recordar que E=h y que p=h/ para los fotones)

    donde y y representa la densidad numrica de fotones teniendo frecuencias en el rango y +d. Que como est multiplicada por la energa de cada fotn da la densidad de energa:

    Pero usando que la distribucin de densidad de energa est dada por la funcin de Plank se tiene que integrando:

  • Presin de Radiacin

    Es la presin de radiacin, donde a=4/c y se conoce como constante de radiacion, con la constante de Stefan-Boltzmann y c la velocidad de la luz. Para el Sol esta presin es despreciable respecto a la del gas.

  • Fuentes de Energa EstelarLa luminosidad de una estrella como el Sol es extremadamente alta. Una medida de la vida de una estrella puede ser computada teniendo en cuenta cuanto tiempo es capaz de manter dicha luminosidad. Distintas fuentes de energa son posibles: gravitacin, procesos qumicos, procesos nucleares. Analizaremos algunas de ellas en detalles.

  • Contraccin GravitacionalLa energa potencial gravitatoria de un par de masas puntuales M y m separadas por una distancia r es:

    Para una distribucin esfrica de masa Mr la contribucin a la energa potencial debido a una cscara es:

    Integrando, se tiene la energa gravitacional total:

  • Contraccin GravitacionalPara poder calcular la integral anterior, es necesario asumir algn perfil de densidad. Asumiendo que esta es constante

  • Contraccin GravitacionalAsumiendo que el radio original del Sol era Ri, mucho ms grande que su radio actual, tendremos que la energa liberada en su colapso sera:

    Por lo tanto le alcanzara solamente para irradiar durante

    Sin embargo, sabemos por tcnicas radioactivas que la edad de la Luna y de la Tierra es del orden de 4.5x109 aos. Por lo que parece muy improbable que el Sol sea ms joven que la Luna y la Tierra.

  • Procesos QumicosDado que las reacciones qumicas estn basadas en las interacciones de los electrones orbitales en los tomos, la energa involucrada en cada una de ellas ser del orden de 13.6eV. Teniendo en cuenta el nmero de tomos de una estrella se ve tambin que el tiempo que podria brillar una estrella es muy bajo.N=MSol/mp=1.99x1030kg/1.67x10-27kg=1.19x1057Etot=EN=13.6eV 1.19x1057=1.62x1058eVUsando que 1eV=1.6x10-19J se tiene queEtot=2.6x1039JT=Etot/Lsol=2.6x1039J/3.8x1026W=6.75x1012s=2x105 aos

  • Procesos NuclearesMolcula: partcula neutra formada por al menos 2 tomos que comparten electrones (se denomina enlace covalente).

    Las reacciones qumicas en general involucran la transformacin de tomos en molculas o de molculas de un tipo en otras de otro tipo. En cambio, las reacciones nucleares involucran un cambio de un tipo de ncleo atmico en otro tipo.

  • Procesos NuclearesLos electrones orbitales involucran energas del orden de algunos eV, mientras que los ncleos de algunos MeV.El ncleo de un elemento particular, est especificado por el nmero de protones que contiene. En un tomo neutro, el nmero de protones es igual al de electrones.Un istopo de un elemento est determinado por el nmero de neutrones que tiene en su ncleo. Todos los istopos de un elemento tienen el mismo nmero de protones que el elemento mismo.Muchas veces la masa de las particulas nucleares se expresa en unidades de energas teniendo en cuenta la famosa ecuacin de Einstein de equivalencia entre masa y energia E=mc2El istopo ms simple del Hidrgeno se llama Protio y consta de un protn y un electron. Su masa es ligeramente menor (13.6 eV menos, es decir el potencial de ionizacin) que las masas sumadas del protn y del electrn. Esto se debe a que la ecuacin que vale es la de conservacin de la masa-energa, por lo tanto si se toman separadamente un protn y un electrn y se los combina para formar un istopo parte de la masa-energa debe ir a parar en generar la energa de ligadura entre ambos. 1 electron volt=1eV=1.60217646x10-19 joules

  • Procesos NuclearesUn ncleo de Helio (formado por 2 protones y 2 neutrones), se puede formar por una serie de reacciones nucleares que involucran originalmente un 4 ncleos de hidrgeno. (4H--He +remanentes de baja masa). Estas reacciones se conocen como fusiones ya que particulas ms livianas son fusionadas para dar lugar a ms pesadas). Contrariamente, se denomina fisin cuando un ncleo masivo se divide en fragmentos ms pequeos. La masa de 4 tomos de hidrgeno es 0.7% mayor que la masa de un tomo de helio. Luego la masa total liberada cuando se forma un ncleo de helio es

    Igualmente, esta es la energa necesaria para romper un ncleo de helio en los protones y neutrones que lo constituyen.Asumiendo que el Sol est compuesto por 100% de Hidrgeno y que solo el 10% de su masa se convierte en Helio se tendr:

    Lo que permite radiar a la tasa actual durante La generacin de energa nuclear parece ser el nico mecanismo plausible para generar la cantidad de energa que irradian las estrellas durante largos perodos de tiempo.

  • Lunes 2 de Mayo 2011

  • Reacciones NuclearesPueden las reacciones nucleares efectivamente ocurrir en los interiores estelares? Dado que los ncleos tomicos tienen todos cargas positivas, es necesario que vencer la fuerza de repulsin Culombiana para que los ncleos puedan ponerse en