clase 7+solucionario

8/16/2019 clase 7+solucionario

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UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA FAING EPIE

MATEMATICA ISesión 7

UNIDAD I: RELACIONES Y FUNCIONES

Tipos de Funciones

1. Función Inyecti!

Una función f de A → B de A en B. Se dice que f es inyectiva si cada ee!ent" de B es i!a#en a "

!as de un ee!ent" de A " dic$" de "t%" !"d"&

Una función f& A → B es inyectiva si 'a%a t"d"a1

, a2 que 'e%tenecen a A&

i( f) a

1¿

* f) a

2 ( en B → a1=a

2 en A

ii( Dos elementos distintos del dominio A no pueden tener la misma imagen.

C%ite%i" de a %ecta $"%i+"nta 'a%a %ec"n"ce% si una función es IN,ECTIVA

Una función es inyectiva si ninguna recta horizontal corta a su gráfica en más de un punto.


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Ejemplo 1: Sea la función denida en los reales, f(x) = 2x+3. !a funciónes in"ec#i$a%

Ejemplo 2: &ada la función f(x) = e x+1

, demos#rar 'ue f es in"ec#i$a∀ x∈ R .

Ejemplo 3: !a función : −∞ ,0¿ , denida por (x) = x2

*1, es

in"ec#i$a ∀ x∈ −∞ ,0¿ %

". Función so#$eyecti!

Una función f de A → B de A en B. Se dice que f e una función s"-%eyectiva )su%yectiva

" e'iyectiva( de A en B si t"d" ee!ent" de B es i!a#en de '"% " !en"s un ee!ent" de

A es decir cuando el rango o imagen es todo B )c"n/unt" de e#ada(.

Ejemplo 1: !a función f: → R #al 'ue: f(x) = 2x+3, es sore"ec#i$a%

Ejemplo 2: !a función f: → R #al 'ue: f(x) = x2−1 . -$eriuar si es o no

función sore"ec#i$a.

Ejemplo 3: omproar 'ue la función f: /*1, 0 →


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%. Funcion &iyecti!

na funcion f de A → B es -iyectiva si es aa ve+ inyectiva y s"-%eyectiva.

Inte%'%etación #%1fica.

Ejemplo 1: &emos#rar 'ue la función f: → R conregla de correspondencia f(x) =

mx+n, m, n ∈ , m ≠0 , es i"ec#i$a%

Ejemplo 2: Sea la función f: /*1, −7,11>¿

→¿ denida por f(x) = 2x*0. Es

i"ec#i$a%

Co'posición de Funciones

&adas dos funciones f " #ales 'ue f: - → B 4 : 5 →C " 'ue f ∩ &f ≠ϕ , en#onces la función compues#a of es a'uella función denida por:

i) Dgof = 6x7x ∈ &f ∧ f(x) ∈ &8

ii) ( gof ) = (f(x)) es la rela de correspondencia

iii) Dfog = 6x7 x ∈ Dg ∧ (x) ∈ Df }

i$) (fog) = f((x)) es la rela de coorrespondencia

Ejemplo 1: Sean f = 6(9,1), (1,2), (2,3), (,3), (0,2)8

" = 6(,;), (0,), (,3), (2,), (1,), (9,;)8


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Dfog + 213 "3 4

alculemos fofo(1) = f((1)) = f() = 3fo(2) = f((2)) = f() = 3fo(0) = f((0)) = f() = 3

En#onces: o( + 2)13%*3 )"3%*3 )3%*4) Solución: &of = Dgof = 6x7x ∈ &f ∧ f(x) ∈ &8

& = 69, 1, 2, , 0, 8&f = 69, 1, 2,, 0f(9) = 14 f(1) = 24 f(2) = 34 f() =34 f(0) = 2&of = 69, 1, 08alculemos of of(9) = (f(9)) = (1) = of(1) = (f(1)) = (2) = of(0) = (f(0)) = (2) = En#onces: (o + 2)53,*3 )13,*3 )3,*4

Ejemplo 2: Sean f " dos funciones denidas por f(x) = √ x2−4

" = 6(*1, *2 √ 2 ), (2,*1), (, √ 5 ), (3,)8

¿

& = 6*1, 2, 3,8

(*1)=*" √ 2∈ Df - (2) = *1 ∈ Df 4 (3) = , ∈ Df 4 () = √ 5 ∈ Df

& fo = (*1, 3, 8 alculo de fo

fo(*1) = f((*1)) = f(*2

√ 2

) =√ (−2√ 2)

2−4

=

√ 8−4

=

√ 4

= 2 fo(3) = f((3)) = f() = √ (4)

2−4 = √ 12 = 2√ 3

fo() = f(()) = f( √ 5 ) = √ (√ 5 )2

−4 = 1

fo = 6(*1,2), (3, 2√ 3¿ ,(4,1)}

Ejemplo 3: &adas las funciones: f(x) = {2 x−1, x≤−1 x+2, x≥2 (x) = { x , x≤0

2 x , x>0


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Sea la función f: - → B , cu"a rela de correspondencia es f(x,") = 6(x,")7

x ∈ Df 8, si f #iene la propiedad de ser iun>$oca (función in"ec#i$a),

en#onces se dene la función in$ersa de f, expresada por f −1

, a la

función f −1

= 6(",x)7x ∈ D f −1 }

&onde podemos no#ar 'ue: & f −1= Rf " f

−1= Df

Ejemplo : Sea la función in"ec#i$a : f = 6(2,1), (3,), (,2), (0,3)8f −1

= 6((1,2), (,3), (2,), (3,0)8

& f −1

=61, 2, 3, 8 = f " f −1

= 62, 3, , 08 = &f

6$opied!des

Si la función es in"ec#i$a " si & f −1

esinversade f , en#onces

i) f of −1= I

donde ? = xii) f

−1

o f = ? donde ? =x

iii) & (fog)−1

= g−1

o f −1

Ejemplo 1: Si la función f: /*2, 1 denida por f(x) = 2x+3, @allar f −1

.


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2. -$eriua si la función f: B , donde f(x) = x2 + 1, es sore"ec#i$a:

3. &emos#rar 'ue f es in"ec#i$a donde f(x) = 5 x

, ∀ x∈ R .

. &e#erminar si la función f: *,3−9,13>¿

→¿ denida por f(x) = *2x+1 es

i"ec#i$a.0. &e#erminar fo , cuando f= 6(1,3), (2,), (3,0), (,)8 " =6(,1),(1,2),

(,3),(9,*2)8.


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III) IV)

10. Asocia cada ecuación con su correspondiente gráfica:

2

1

a) += x y

1b) += x y

2

1c)

−

=

x y

x y −= 1d)

I) II)

III) IV)

Facna, 9C de aril del 291

&ocen#e: ?n. !uis Gina Honce


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EIEJH!KS &E LG?KGES ?GMEF?N-S


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Ejemplos de funciones sore"ec#i$as


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Ejemplos de funciones i"ec#i$as


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omposición de funciones


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Ejemplos de funciones in$ersas


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