Clase 7 Algebra

1

Propiedad Intelectual Cpech

Álgebra2010

Clase Nº 7Álgebra

Propiedad Intelectual CpechPPTCANMTALA04007V1


APRENDIZAJES ESPERADOS• Utilizar conceptos matemáticos asociados al

estudio del lenguaje algebraico inicial.

• Sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones algebraicas.

• Resolver productos notables como cuadrado de binomio, suma por su diferencia, suma de cubos, diferencia de cubos y cubo de binomio.

• Factorizar expresiones algebraicas identificando factor común o a través del reconocimiento de productos notables.

• Determinar el Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor entre expresiones algebraicas.


Contenidos1. Definiciones

1.1 Término algebraico

1.2 Expresión algebraica

2. Operaciones Algebraicas

2.1 Suma y resta

2.2 Multiplicación2.3 Productos Notables2.4 Factorización

1.3 Términos semejantes

2.5 División

3. Mínimo común múltiplo (m.c.m.)

4. Máximo común divisor (M.C.D.)


1.1 Término algebraico

Es la relación entre números y letras donde intervienen operaciones como la multiplicación, división, potencias y/o raíces. Consta de un “factor numérico”, denominado coeficiente y un “factor literal”.

Ejemplos:

1. Definiciones

15a3b5,3w2zab2c, 5x2y,


Es la relación entre términos algebraicos, mediante la suma y/o resta.

1.2 Expresión algebraica

Ejemplos:

1) 4x2 – 3 5y

2) 8a3 + 7xy2 – 3x + 10y

3) 2a3b2 + 5ab – 3a 2


• Clasificación:

Monomio

Expresión algebraica que consta de un término algebraico.

Ejemplos:

Polinomio

Expresión algebraica que consta de dos o más términos algebraicos.

25a3, 45x2z59xy2,

2


2) Trinomio: Polinomio que consta de tres términos algebraicos.

Ejemplo: 2a3b2 + 5ab – 3a2

Ejemplo:

1) Binomio: Polinomio que consta de dos términos.

4x7y2 + 5xy


Son aquellos términos algebraicos, o monomios que tienen los mismos factores literales.

Ejemplo:

- Los términos y son semejantes.

- Los términos y no son semejantes.

1.3 Términos Semejantes

6a2b 5a2b

2x4 7x2


2. Operaciones algebraicas2.1 Suma y Resta

Sólo pueden ser sumados o restados los coeficientes numéricos de los términos semejantes.

Ejemplo:ab2c + 3ab2c – 5ab2c = (1 + 3 – 5) ab2c

= (4 – 5) ab2c

= (– 1) ab2c

= – ab2c


3x ∙ 2xy =

2.2 Multiplicación

Se multiplican los coeficientes numéricos y los factores literales entre sí.

Ejemplo:

• Monomio por monomio:

Se multiplica el monomio por cada término del polinomio.

Ejemplo:

• Monomio por polinomio:

6x2y

3ab4 (5a2b + 2ab2 - 4ab) =

15a3b5 + 6a2b6 – 12a2b5


Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio.

Ejemplo:

• Polinomio por Polinomio:

(2x + y)(3x + 2y) =

= 6x2 + 7xy + 2y2

6x2 + 4xy + 3xy + 2y2


2.3 Productos Notables

Son aquellos cuyos factores cumplen con ciertas características que permiten llegar al resultado, sin realizar todos los pasos de la multiplicación.

• Cuadrado de Binomio:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

3


Ejemplo:

La fórmula del Cuadrado de Binomio se puede obtener geométricamente:

(5x – 3y)2 = (5x)2 - 2(5x∙3y) + (3y)2

= 25x2 - 30xy + 9y2

bab

a ab2

2

a b

b

a

a b

a

b


• Cubo de binomio:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3


Ejemplo:

Aplicando la fórmula...

Desarrollando potencias...

Multiplicando...

(3x)3 – 3∙(3x)2∙2y + 3∙(3x)∙(2y)2 – (2y)3

= 27x3 – 3∙(9x2)∙2y + 3∙(3x )∙(4y2)– 8y3

= 27x3 – 54x2y + 36xy2– 8y3

(3x – 2y)3 =


• Suma por su diferencia:

Ejemplo: Aplicando la fórmula...

(a + b)∙(a – b) = a2 – b2

(5x + 6y)∙(5x – 6y) = (5x)2 – (6y)2

= 25x2 – 36y2


• Producto de binomio:

Esta propiedad sólo se cumple cuando los binomios tienen un término en común.

Ejemplo 1:Aplicando la fórmula...

Desarrollando...

(x + a)∙(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

(x + 4)∙(x + 2) =

= x2 + 6x + 8

x2 + (4 + 2)x + 4∙2


Ejemplo 2:Aplicando la fórmula...

Desarrollando...

(y - 4)∙(y + 2) =

= y2 – 2y - 8

y2 + (-4 + 2)y - 4∙2

4


• Cuadrado de trinomio:

Ejemplo:


Desarrollando...

= (2x)2 + (3y)2 + (4z)2 + 2(2x∙3y) + 2(2x∙4z) + 2(3y∙4z)

(2x + 3y + 4z)2 = ?

= 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy + 16xz + 24yz

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc


Consiste en escribir una expresión algebraica en forma de multiplicación.

• Factor común:Este es el primer caso, y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos).

Ejemplo:

2∙x∙y + 2∙2∙x∙y∙y – 2∙3∙x∙x∙yAl descomponer...

(El factor común es : 2xy)

2.4 Factorización

2xy + 4xy2 – 6x2y =

= 2xy(1 + 2y – 3x)


• Factor común compuesto:Cuando en una expresión algebraica, no todos los términos tienen un factor común, se agrupan convenientemente obteniendo factores comunes en cada grupo.

Ejemplo:

Agrupando...

Factorizando por partes...

Volvemos a factorizar, ahora por (z+w)...

xz + xw + yz + yw =

= (xz + xw) + (yz + yw)

= x(z + w) + y(z + w)

= (z + w)(x + y)

Factorizar:


• Diferencia de cubos:

Ejemplo:


Desarrollando...

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

8x3 – 64y3 = (2x)3 – (4y)3

= (2x – 4y)((2x)2 + 2x ∙ 4y + (4y)2 )

= (2x – 4y)(4x2 + 8xy + 16y2 )


• Suma de cubos:

Ejemplo:


Desarrollando...

a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

27x3 + 8y3 =(3x)3 + (2y)3

= (3x + 2y)((3x)2 – 3x ∙ 2y + (2y)2)

= (3x + 2y)( 9x2 – 6xy + 4y2)


• Reconocer productos notables:

Ejemplos:

1)

Ambos términos son cuadrados perfectos, corresponde a una suma por diferencia.

2)Corresponde a un producto de binomios con un término común..

36a2 – 81y2 = (6a + 9y)(6a – 9y)

x2 + 5x + 6 =(x + 2)(x + 3)

5


(x + 5)(x – 4)(x + 5)(x – 5)

2.5 DivisiónPara dividir expresiones algebraicas es necesario expresarlas mediante productos, es decir, factorizar.

Ejemplos:

1) Si x2 – 25 0, entoncesFactorizando...

Simplificando...

=x2 + x - 20x2 - 25

(x – 4)(x – 5)

=

Recuerda que NO se puede realizar lo siguiente:

(x – 4)(x – 5)


(a + b)

(a – b) 1

a - b= ∙

(a + b)(a – b):

(a + b)(a + b) 1

a - b

2) Si a b y a - b, entonces Factorizando y simplificando

Dividiendo:

(a + b)2

a2 - b2: 1

a - b=

(a + b)

(a – b)

1

a - b:=

= (a + b)


3. Mínimo común múltiplo (m.c.m.)

• Entre monomios:Corresponde a todos los factores con su mayor exponente.

Ejemplo 1:

El m.c.m. entre: 3x5y2, 18x2yz6 y 9y3

es: 18x5y3z6

Ejemplo 2:El m.c.m. entre: x4y2z3 , x2y , xy6z

es: x4y6z3


x2 + 2x +1x2 + x

• Entre polinomios:El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe factorizar previamente.

Ejemplo:Determinar el m.c.m. entre:

y

m.c.m. :

Factorizando... x(x +1) (x +1)2

x(x +1)2


4. Máximo común divisor (M.C.D.)

• Entre monomios:Corresponde a los factores comunes con su menor exponente.

Ejemplo 1:

El M.C.D. entre: 3x5y2, 18x2yz6 y 9y3

es: 3y

Ejemplo 2:

El M.C.D. entre: a4b2, a5bc y a6b3c2

es: a4b


x2 + 2x +1x2 + x

• Entre polinomios:El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe factorizar previamente.

Ejemplo:Determinar el M.C.D. entre:

y

M.C.D. :

Factorizando... x(x +1) (x +1)2

(x +1)

6


Los contenidos revisados anteriormente los puedesencontrar en tu libro, desde la página 54 a la 63.


ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL

REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL.

Equipo Editorial: Patricia ValdésOlga OrchardPablo Espinosa

Clase 7 Algebra

Documents

Transcript of Clase 7 Algebra