ANUALIDADES EN EL TIEMPO

- Es un flujo de efectivo constante que se paga

o se cobra cada cierto período.

- Las cantidades deben ser iguales y el intervalo de tiempo entre ellas siempre es el mismo.

- Los intereses se acumulan una vez cada período.

Las anualidades pueden clasificarse en:

– Anualidades ordinarias. Cuando: La primera anualidad está un período después

que el presente, o; La última anualidad está junto con el futuro.

– Anualidades anticipadas. Cuando: La primera anualidad está junto con el presente,

o; La última anualidad está un período antes que el

futuro.

P = A * ( 1 + i )n - 1 ( 1 + i )n * i

P = A ( P/A, i%, n )

P = valor presente A = anualidad i = tasa de interés para un solo período n = número de períodos

F = A* ( 1 + i )n - 1 i

F = A ( F/A, i%, n )

F = valor futuro A = anualidad i = tasa de interés para un solo período n = número de períodos

A = P * ( 1 + i )n * i ( 1 + i )n - 1

A = P ( A/P, i%, n )

A = F * i ( 1 + i )n - 1

A = F ( A/F, i%, n )

P = A * ( 1 + i )n – 1 *(1+i) ( 1 + i )n * i

P = A ( P/A, i%, n - 1 )

F = A * [ ( 1 + i ) n - 1 ] * ( 1 + i ) i F = A ( F/A, i%, n - 1 )

A = P /(1+i) * ( 1 + i )n * i ( 1 + i )n - 1

A = P ( A/P, i%, n - 1 )

A = F * i [ ( 1 + i )n - 1 ] * ( 1 + i )

A = F ( A/F, i%, n - 1 )

EJEMPLOS:

1. Un ingeniero vende su patente a una empresa y se le ofrece la opción de un monto de US$ 12,500 en una sola exhibición (es decir, inmediatamente) el día de hoy (t = 0) o, alternativamente, un pago de US$2,000 por año por los próximos 10 años, empezando el próximo año (t = 1).

Como el ingeniero está pagando un 12% de interés anual por año por concepto de hipoteca sobre su casa, decide usar esta misma tasa para evaluar las alternativas. Si usted fuera este ingeniero, ¿cuál de las dos alternativas escogería?

EJEMPLOS:Juan, cumpliendo 40 años y pensando en su jubilación, planea ahorrar la suma de $ 1,500 por año sobre un período de 25 años. En promedio el espera ganar 12% de interés anual c/anualmente, sobre todos los fondos invertidos. ¿Cuánto tendría Juan al final de 25 años? Respuesta: $200,000 (ignorando fracciones).

Pensando un poco más allá, Juan como demógrafo sabe que si llega a cumplir 65 años, tendría una esperanza de vida de más o menos 16 años. Asimismo, estima que necesita un ingreso de unos $25,000 anuales para vivir cómodamente con su esposa. La lógica financiera dicta que a esa edad ya no se debe tomar mucho riesgo con los fondos, y el piensa poner el ahorro estimado arriba en una cuenta de ahorros que le daría a lo mucho 9% de interés anual c/anual. ¿Si Juan retira cada año $25,000, cuánto tiempo -es decir- cuántos años durarán sus fondos? Respuesta: 14 años (ignorando fracciones).

Como su fondo de retiro NO cubre su expectativa de vida a los 65 años, ¿Cuánto debería ahorrar entonces cada año hasta cumplir los 65 años para que le diera los

$25,000 cada año por 16 años? Respuesta: $1,558.60.

EJEMPLOS: REMOCASA

• Remodela tu casa, solicita el préstamo REMOCASA. Si tienes más de 3 años como socio y has cumplido con tus compromisos económicos con la Cooperativa, puedes ser acreedor de un préstamo de hasta $100,000.00 para remodelar tu casa a una tasa de interés del 1.75% mensual sobre saldos insolutos, con un plazo de hasta 36 meses.

• Si quieres pagar este préstamo en 36 pagos iguales incluyendo intereses y amortización del préstamo, cuánto pagarías mensualmente?

• Respuesta: $ 3,767.51

• Después de 15 pagos (o meses) recibes la noticia que has ganado un premio en la lotería y decides de re-embolsar el resto en una sola exhibición a la fecha del pago número 16, cuánto habría que pagar entonces?

• Respuesta: $ 66,884.10

¿Cuál es el valor actual de 6 pagos iguales de $1,500 a una tasa del 40%, (a) si los pagos se hacen al final de cada año; (b) si los pagos se hacen al inicio de cada año?

(a) P = $1,500 * ( P/A, 40%, 6 ) = $3,251.96(b) P = $1,500 * ( P/A, 40%, 6 - 1 ) = $4,552.75

n = 6 años

i = 40% anual

P

A n = 6 años

i = 40% anual

P

A

Se va a comprar un auto nuevo cuyo valor total es de $240,000. Se pagará un enganche de $40,000 y el resto a 24 mensualidades a una tasa del 8% mensual sobre saldos insolutos. ¿Cuál será el monto de las mensualidades si se pagan al final de cada mes?

A = $200,000 * ( A/P, 8%, 24 ) = $18,995.59

n = 24 meses

i = 8% mensual

$200,000

A

¿Que cantidad constante tendrá que depositar en un banco al 36% anual si quiere obtener $450,000 al final del séptimo año, haciendo los depósitos al inicio de cada año?

A = $450,000 * ( A/F, 36%, 7 - 1 ) = $15,662.19

n = 7 años

i = 36% anual

$450,000

A

Se ha tomado la convención de expresar la tasa de interés en una tasa anual nominal y al aplicarla debe de especificarse la fracción del período anual en la que se capitaliza.

F = P ( 1 + j /m )n * m

j = tasa de interés nominal anual

m = número de períodos en un año n = número de años

Obtenga el monto a recibir al final de un año para $1,000,000 a una tasa de interés del 48% anual si se capitaliza: (a) anual; (b) trimestral.

(a) F = $1,000,000 * ( 1 + 0.48 ) 1 = $1,480,000 (b) F = $1,000,000 * ( 1 + 0.48/4 ) 4 = $1,573,519

n = 1 año

i = 48% anual

F

$1,000,000

n = 4 trimestres

i = 48% anual

F

$1,000,000

Calcule el valor de $80,000 después de dos años y seis meses colocados a una tasa del 42% con capitalización trimestral.

n * m = 2.5 años * 4 trimestres por año = 10 trimestres F = $80,000 * ( 1 + 0.42/4 ) 10 = $217,126.47

i = 42% anual

F

$80,000

n = 2.5 años

m = 4 trimestres

¿En cuanto tiempo se triplica una inversión colocada al 40% con capitalizaciones trimestrales?

n = ln ( F / P ) = ln ( 3 ) = 11.53 trimestres ln ( 1 + i ) ln ( 1 + 0.4/4 )

n = ? trimestres

i = 10% trimestral

3 * P

P

Una inversión ofrece una tasa del 40% con capitalización mensual y otra ofrece el 45% con capitalización trimestral. ¿Cuál prefiere usted? (analice un año).

(a) F = $1 * ( 1 + 0.4/12 )12 = $1.4821

(b) F = $1 * ( 1 + 0.45/4 )4 = $1.5318

La mejor opción es la tasa del 45% con capitalización trimestral.