Clase # 3 (7 / Septiembre / 2015) Dinmica de sistemas 1.4 Analoga entre los componentes de diferentes sistemas. En una gran cantidad de casos, es necesario realizar simulaciones de las ecuaciones derivadas del proceso de modelado. Sin embargo, la disciplina ingenierl de la persona que efecta la simulacin determinar la clase de simulador a utilizar. Por lo general los simuladores de procesos estn enfocados hacia usuarios de una especialidad en particular por lo que es necesario convertir las ecuaciones diferenciales a sistemas ya sean mecnicos o elctricos cuyo comportamiento sea anlogo al original. Dentro de las analogas de sistemas ms comunes estn aquellas que relacionan sistemas mecnicos y elctricos, por lo que enfocaremos nuestra atencin a este caso en particular. Analoga fuerza-voltaje. Considerando los sistemas mostrados en la figura 1.9 podemos determinar el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales:

Para el circuito elctrico: y para el sistema mecnico:

Si expresamos la ecuacin anterior en trminos de la carga obtenemos:

Si comparamos las dos ecuaciones observamos que son sistemas anlogos, esto es, tienen una ecuacin diferencial idntica, y podemos establecer las relaciones resumidas en la tabla 5:

Fig. 1.9

Analoga fuerza-corriente. De manera similar podemos considerar los sistemas mostrados en la figura 1.10 para establecer la relacin existente entre las ecuaciones de fuerza de un sistema mecnico y un sistema elctrico. Las ecuaciones que describen el sistema para el circuito elctrico son:

que expresada en trminos del flujo magntico nos da:

Dado que el sistema mecnico ha sido considerado el mismo que para la analoga fuerza voltaje podemos comparar las ecuaciones para obtener las relaciones dadas en la tabla 6 que son denominadas analogas fuerza-corriente.

3.38

Fig. 1.10

Tabla 5 Analogas Fuerza-Voltaje

2. Mtodos y obtencin de Modelos matemticos Funciones de transferencia. Una vez que se han definido los diferentes tipos de sistemas, es necesario conocer la dinmica de los mismos a partir de ecuaciones que relacionen el comportamiento de una variable respecto a otra. Para lograr lo anterior se requiere de gran conocimiento de los procesos y de los elementos que los conforman, y de cada una de las disciplinas de la ingeniera involucradas. Es por ello que la ingeniera de control se considera un campo interdisciplinario. Una planta o cada una de las partes que forman un sistema de control, puede ser representada por un conjunto de ecuaciones integro-diferenciales de n-simo orden con coeficientes lineales invariantes en el tiempo que relacionan la variable de entrada con la variable de salida de la forma:

Donde: ai's y bi's son constantes, u(t) es la entrada y y(t) es la salida. Usando la transformada de Laplace para convertir la ecuacin integro-diferencial en una ecuacin algebraica considerando que las condiciones iniciales son iguales a cero llegamos a la siguiente expresin:

Tabla 6 Analogas Fuerza-Voltaje

Relacionando la salida Y(s) con la entrada U(s) tenemos:

Esta ltima expresin es denominada la Funcin de transferencia del sistema. El hecho de trabajar con funciones de transferencia, simplifica en gran medida el manejo matemtico de los sistemas dado que las ecuaciones diferenciales se transforman en ecuaciones algebraicas lineales, y las operaciones en el dominio de la frecuencia compleja s son multiplicaciones simples. Con ello la salida del bloque de la figura 2.1 es Y(s) = H(s)*X(s)

Una metodologa a seguir para la determinacin de la funcin de transferencia de un sistema es la siguiente:

1) Identificar las ecuaciones de equilibrio o leyes fsicas involucradas en el sistema.

2) Siguiendo las ecuaciones de equilibrio plantear las ecuaciones integro-diferenciales correspondientes a cada variable de inters.

3) Obtener la transformada de Laplace de cada ecuacin considerando condiciones iniciales cero.

4) Relacionar la variable de salida con la variable de entrada.

Dada la naturaleza multidisciplinaria de un sistema de control este puede estar conformado por subsistemas interconectados, donde cada uno de ellos contiene elementos cuyo comportamiento es estudiado por diferentes ramas de la ingeniera. Diagramas de Bloques. Los diagramas de bloques son una representacin grfica de las variables de un sistema, y est constituido de tres partes principales:

(a) Elementos. (b) Detectores de error. (c) Puntos de Bifurcacin.

Un elemento muestra la dependencia funcional de una variable con respecto a la otra. Por lo general en un bloque se incluye una funcin de transferencia

Fig. 2.1 Forma grfica de una funcin transferencia

parcial que a su vez puede ser usada para generar un bloque que represente al sistema total.

Un detector de error (figura 2.2) es una parte del diagrama que entrega la diferencia de dos seales incidentes. En ocasiones este elemento puede ser usado como un sumador de seales. Y por ltimo un punto de bifurcacin es aqul donde una salida se deriva hacia otros elementos del diagrama (figura 2.3).

Usando estos elementos bsicos es posible obtener la representacin en diagramas de bloques de un sistema de control de lazo cerrado. La forma general del sistema de lazo cerrado en su forma ms simple se muestra en la figura 2.4 donde se representan las funciones de transferencia esenciales usadas en el mbito del control industrial, as como las principales seales de inters. Estas funciones y seales son:

Funcin de transferencia directa G(s) que es el objeto del control, es decir, la planta a controlar.

Funcin de transferencia de retroalimentacin H(s) que representa al sistema de medicin.

Seal de salida C(s) que es la seal a controlar. Seal de entrada R(s) tambin llamada seal de referencia, y: Seal de error E(s) que nos indica si un sistema ha alcanzado el valor

de salida deseado. Es importante hacer notar que las seales en cada punto del diagrama de bloques pueden ser de naturaleza totalmente diferente una de la otra, es decir, mientras la salida puede ser temperatura , la seal a la salida del sistema de medicin B(s) puede ser voltaje, presin, corriente, intensidad luminosa, etc..

Fig. 2.4 Sistema de control en lazo cerrado

Fig. 2.2 Comparador Fig. 2.3 Punto de difurcacin

Fig. 2.2 Un bloque como elemento

Manipulando algebraicamente las seales presentes en la figura 2.4 llegamos a la siguiente ecuacin que es la forma general de la funcin de transferencia de lazo cerrado:

En esta ecuacin se pueden identificar dos trminos que son de suma importancia para los objetivos de este trabajo. En primer lugar, esta la funcin formada por el producto de la funcin de transferencia directa y de la funcin de transferencia de retroalimentacin:

que es denominada la funcin de transferencia de lazo abierto. En segundo trmino est el observar que los polos de la funcin de lazo cerrado estn en las soluciones del polinomio dado por 1+H(s)G(s). a esta ltima ecuacin se le llama la ecuacin caracterstica.

En este momento es necesario detenerse un poco a meditar sobre la importancia de las ecuaciones anteriores. Estas dos ecuaciones contienen informacin que en los laboratorios siguientes ser utilizada para el desarrollo de las herramientas de anlisis necesarias para la definicin y diseo de sistemas de control. Si despejamos la funcin de transferencia de lazo abierto de la ecuacin obtenemos:

lo cual sugiere el hecho de que cuando la funcin de transferencia de lazo abierto, en algn valor de la variable compleja + j = j s , cumple con esta condicin, el denominador de la funcin de transferencia de lazo cerrado ser cero y por lo tanto dicha funcin quedar indeterminada, lo que fsicamente corresponde a una condicin de inestabilidad. Dado que el valor de la variable compleja s es un nmero complejo, entonces la ecuacin anterior es un fasor que contiene informacin de la magnitud y la fase de la funcin G(s)H(s), esto es, la magnitud esta dada por:

mientras que la fase est dada por:

A estas ecuaciones se le conoce como las condiciones de mdulo y ngulo respectivamente. Continuando con nuestra discusin de los diagramas de bloques, es conveniente comentar que no todos los sistema contienen una sola entrada y una sola salida como los que hemos tratado hasta el momento (sistema SISO

de las siglas en ingles simple-input simple-output). Es comn en la prctica encontrar sistemas que tienen ms de una entrada y ms de una salida (MIMO mltiple-input mltiple-output). Sin embargo para los sistemas que nos interesa estudiar nos limitaremos nicamente al caso donde se tengan dos entradas y una salida, donde la segunda entrada es una seal de perturbacin externa (figura 2.5).

Como la funcin de transferencia se obtiene a partir de sistemas lineales, cuando un sistema tiene una perturbacin externa, este se puede analizar utilizando el principio de superposicin considerando la contribucin de la entrada y la perturbacin por separado para posteriormente sumar las dos respuestas. De esta forma la respuesta esperada C(s) es:

En esta ecuacin se aprecia que el concepto de funcin de transferencia no se aplica en el caso de ms de una entrada. Una de las mayores ventajas de los sistemas de control de lazo cerrado es que las variaciones de las funciones de transferencia directa afectan en menor medida el comportamiento del sistema. Procedimiento para trazar diagramas de bloques. Los diagramas de bloques son importantes cuando se desea conocer las variables importantes en un lazo de control, y el procedimiento para su obtencin es semejante al empleado para determinar una funcin de transferencia. Es importante tomar en cuenta que para simplificar el trazo de diagramas de bloques se debe tener cuidado en establecer adecuadamente las relaciones causa-efecto de una variable respecto a otra. Por lo general estas relaciones se dan de manera natural al plantear las ecuaciones diferenciales del comportamiento dinmico del sistema y obtener la transformada de Laplace con condiciones iniciales igualadas a cero, teniendo cuidado de que cada variable de inters aparezca solo una vez como efecto y que a su vez aparezca como causa en otras ecuaciones, podemos obtener un conjunto de ecuaciones como las que a continuacin se ilustran:

2.1

Fig. 2.5 Sistema con perturbacin

Para trazar adecuadamente el diagrama a bloques, ya se mencion que se sigue un procedimiento similar al usado para la obtencin de la funcin de transferencia. En resumidas cuentas la mecnica es la siguiente:

1. Escribir las ecuaciones diferenciales que representan el comportamiento dinmico del sistema.

2. Tomar la transformada de Laplace de cada elemento con condiciones iniciales iguales a cero.

3. Representar cada elemento en un bloque. 4. Juntar todos los bloques individuales para formar el sistema completo.

Una vez obtenido el diagrama a bloques, es posible llegar a una forma mnima como la mostrada anteriormente en la figura 2.5 cuya funcin de transferencia adopta la forma general dada en la ecuacin (2.1). La reduccin de los diagramas de bloques a su mnima expresin es posible realizarla siguiendo dos reglas muy simples:

1.- El producto de las ganancias de los bloques ubicados en el camino directo debe permanecer constante.

2.- El producto de las ganancias de los bloques en el lazo de retroalimentacin debe permanecer constante.

Ejemplo de construccin de diagrama de bloques:

Reglas de lgebra para los diagramas de bloques:

Ejemplo, simplificacin de diagramas de bloques (Ogata):

Ejercicios. Simplificar los siguientes diagramas de bloques:

Realizar el diagrama de bloques del sistema electromecnico (motor de DC controlado por armadura).