CLASE DE DINAMICA

REALIZADO POR:

ING. ROMEL VALENZUELA

ING. FERNANDO LEIVA

Clase 17

Ejemplo:

Un motor eléctrico que pesa 1000 lbs esta montado sobre una viga simplemente soportada.

El desbalance en motor es de .

Determine la amplitud de la parte estacionaria del movimiento vertical para una velocidad de 900rpm, el amortiguamiento del sistema es el 10% amortiguamiento critico, se desprecia la masa de la viga

𝑚=𝑊𝑔

= 1000 𝑙𝑏𝑠32.20∗12

=2.588 𝑙𝑏𝑠− 𝑠2

𝑝𝑢𝑙𝑔

𝑘=48𝐸𝐼𝐿3

(de AISC)

𝐸=29000𝑘𝑠𝑖

𝑘=48(30𝑥 106 𝑙𝑏𝑠

𝑝𝑢𝑙𝑔2 ) (109.70𝑝𝑢𝑙𝑔4 )

(15 𝑓𝑡 ∗12𝑝𝑢𝑙𝑔𝑓𝑡 )3 =27,086.42 𝑙𝑏𝑠

𝑝𝑢𝑙𝑔

𝜔0=(𝑅𝑃𝑀 ) (2𝜋 )60𝑠𝑒𝑔

=900 (2𝜋 )60𝑠𝑒𝑔

=94.248𝑠−1

𝑟=𝜔0

𝜔=94.248102.30

=0.9213

𝑄=𝜔𝑒′ (𝜔0 )=

(1 𝑙𝑏𝑠−𝑝𝑢𝑙𝑔 ) (94.248 𝑠− 1 )32.2 𝑓𝑡𝑠2

∗12𝑝𝑢𝑙𝑔𝑓𝑡

=22.988 𝑙𝑏𝑠

𝑋=(𝑄𝑘 )

√ (1−𝑟 2)2+(2𝑟 𝜀 )2=

( 22.988 𝑙𝑏𝑠27086.42 𝑙𝑏𝑠

𝑝𝑢𝑙𝑔 )√ (1−0.92132 )2+(2 (0.1 ) (0.9213 ) )2

=0.0036𝑝𝑢𝑙𝑔

Calcule la maxima fuerza transmitida a los apoyos

𝐴𝑇=𝑄√ 1+ (2𝑟 𝜀 )2

(1−𝑟2 )2+ (2𝑟 𝜀 )2=22.988∗√ (1+(2 (0.9213 ) (0.1 ) )2 )

(1−0.92132 )2+(2 (0.9213 ) (0.10 ) )2=98.066 𝑙𝑏𝑠

Ejemplo:

Determine la amplitud maxima de la estacionaria para el movimiento horizontal del marco de acero, la viga se supone infinitamente rígida y se desprecia la masa de las columnas y el amortiguamiento

𝑊=2𝑘𝑖𝑝𝑓𝑡

𝐼 (𝑤 10𝑥 33)=170.00𝑝𝑢𝑙𝑔4

𝑃=5𝑘𝑖𝑝𝑠

𝑓 (𝑡 )=5𝑠𝑒𝑛(12 𝑡)

𝜔0=12𝑠− 1

La Amplitud de la parte estacionaria, esta dada por:𝑃𝑘∗

1

1−𝜔02

𝜔2

=𝑃

𝑘(1−𝜔02

𝜔2 )

𝑚=𝑊𝐿𝑔

=( 2000 𝑙𝑏𝑠𝑓𝑡 ) (20 𝑓𝑡 )

32.20 𝑓𝑡

𝑠2( 12𝑝𝑢𝑙𝑔𝑓𝑡 )=103.53 𝑙𝑏𝑠 𝑠2

𝑝𝑢𝑙𝑔

𝑘=12𝐸𝐼𝐿3

=12(30 𝑥106 𝑙𝑏𝑠

𝑝𝑢𝑙𝑔2 )(2∗170.90𝑝𝑢𝑙𝑔4 )

(15 𝑓𝑡∗ 12𝑝𝑢𝑙𝑔𝑓𝑡 )3 =21,098.76 𝑙𝑏𝑠

𝑝𝑢𝑙𝑔

𝜔=√ 𝑘𝑚=√ (21098.76 𝑙𝑏𝑠𝑝𝑢𝑙𝑔 )

103.52𝑙𝑏𝑠𝑠2

𝑝𝑢𝑙𝑔

=14.276𝑠−1

𝑟=𝜔0

𝜔= 1214.276

=0.8405

𝑥=𝑃

𝑘 (1−𝑟 2 )=

5000 𝑙𝑏𝑠

21098.76𝑙𝑏𝑠𝑝𝑢𝑙𝑔

(1−0.84052 )=0.8073

b.- Si el amortiguamiento del Sistema es del 8% del amortiguamiento critico calculo la amplitud maxima del movimiento horizontal

𝑥𝑝=𝑄𝑘𝐵=

(𝑄𝑘 )√ (1−𝑟 2 )2+(2𝑟 𝜀 )2

=( 5000 𝑙𝑏𝑠

21098.76𝑙𝑏𝑠𝑝𝑢𝑙𝑔2 )

√ (1−0.84052 )2+(2 (0.8405 ) (0.08 ) )2=0.734𝑝𝑢𝑙𝑔

c.- calcule la máxima fuerza transmitida a la cimentación y transmisibilidad

𝐴𝑇=𝑄√ 1+ (2𝑟 𝜀 )2

(1−𝑟2 )2+ (2𝑟 𝜀 )2=5000∗√ (1+ (2 (0.8405 ) (0.08 ) )2 )

(1−0.84052 )2+(2 (0.8405 ) (0.08 ) )2=15624.23 𝑙𝑏𝑠

𝐴𝑇=15.624𝑘𝑖𝑝𝑠

𝑇 𝑟=𝐴𝑇

𝑄=15624.23 𝑙𝑏𝑠

5000 𝑙𝑏𝑠=3.1248

Ejemplo:

Un instrumento esta montado sobre un piso de un edificio y se ha determinado que la vibración vertical del piso son movimientos armónicos de amplitud 0.10pulg a 10 cps(ciclos por segundo). El aparato pesa 100lbs, determine la rigidez del resorte, requerida para reducir la amplitud del movimiento vertical del instrumento a 0.001 pulg, se desprecia el amortiguamiento.

𝑇=1𝑓=110

=0.10

𝜔0=2𝜋𝑇

=2𝜋0.10

=62.83 𝑠− 1

𝑥 (𝑡 )=0.10 𝑠𝑒𝑛(62.83𝑡)

𝑥𝑔=0.1𝑠𝑒𝑛 (62.83𝑡 )

𝑚=𝑊𝑔

= 100 𝑙𝑏𝑠32.20 (12 )

=0.2588 𝑙𝑏𝑠 𝑠2

𝑝𝑢𝑙𝑔

La respuesta causada por el movimiento armónico del terreno es:

𝑥𝑝=𝑑 𝑠𝑒𝑛 (𝜔0𝑡 )( 1

1−𝜔02

𝜔2 )

𝑥𝑝=𝑑𝑠𝑒𝑛 (𝜔0𝑡 )( 1

1−𝑚𝜔0

2

𝑘 )0.001𝑝𝑢𝑙𝑔=

𝑑

( 1

1−𝑚𝜔0

2

𝑘 )1−

𝑚𝜔02

𝑘= 𝑑0.001

=100

𝑘=𝜔2𝑚101

=(62.83 )2 (0.2588 )

101=10.115 𝑙𝑏𝑠

𝑝𝑢𝑙𝑔

Ejemplo:

Se tiene un tanque elevado, expuesto al movimiento del terreno producido por el paso de un tren cercano a la torre. El movimiento del terreno se idealiza como una aceleración armónica en la cimentación de la torre, con una amplitud de 0.10g una frecuencia de 25 cpd(ciclos por segundo). Determine el movimiento relativo de la torre en relación a la cimentación. Suponga un amortiguamiento del 10% del amortiguamiento critico.

𝜔0=2𝜋 𝑓=2𝜋 (25 )=157.08 𝑠−1

𝑊=100𝑘𝑖𝑝𝑠

𝑚=𝑊𝑔

= 10032.20∗12

=0.2588 (𝑘𝑖𝑝𝑠2 )

𝑓𝑡

𝑎𝑔=0.10𝑔𝑠𝑒𝑛 (𝜔0 𝑡 )=0.10𝑔 (𝑠𝑒𝑛 (157.08 𝑡 ) )

𝑚𝑎𝑈+𝑐𝑣𝑈+𝑘𝑈=−𝑚𝑎𝑔

𝑈=𝑥−𝑥𝑔

Solución de la forma:

𝑚𝑎𝑈+𝑐𝑣𝑈 𝑘𝑈=−𝑚 (0.10𝑔𝑠𝑒𝑛 (157.08 𝑡 ) )

𝑚𝑎𝑈+𝑐𝑣𝑈+𝑘𝑈=−𝑚𝑎𝑔

𝑈=

𝑚 (0.10𝑔 )𝑘

𝑠𝑒𝑛 (𝜔0 𝑡−𝜃 )

√(1−𝑟 2 )2+(2𝑟 𝜀 )2

𝑘=3000𝑘𝑖𝑝𝑠𝑓𝑡

=(3000 𝑘𝑖𝑝𝑓𝑡 )12𝑝𝑢𝑙𝑔𝑓𝑡

=250𝑘𝑖𝑝𝑠𝑝𝑢𝑙𝑔

𝜔=√ 𝑘𝑚=√ (250 𝑘𝑖𝑝𝑠𝑝𝑢𝑙𝑔 )0.2588𝑘𝑖𝑝𝑠

𝑠2

𝑝𝑢𝑙𝑔

=31.08𝑠−1

𝑟=𝜔0

𝜔=157.0831.058

=5.054

𝜀=0.10

𝜃=tan− 1( 2𝑟1−𝑟 2 )=tan−1( 2 (5.054 )1−5.0542 )=−0.0412𝑟𝑎𝑑

𝑈=(0.2588 ) (0.10 ) (32.22∗12 )

250∗√ (1−5.0542 )2+(2 (5.05 ) (0.10 ) )2𝑠𝑒𝑛 (157.08 𝑡+0.0412 )

𝑈=0.00163𝑠𝑒𝑛(157.08 𝑡+0.0412)

b.- calcular la transmisibilidad :

𝑚=6000𝑘𝑔Datos:

Ejemplo:Hay un temblor que dura 5 seg y hace que se desplace el suelo de la forma a.- hay resonancia?b.- calcule x(t) c-.- estime el máximo desplazamiento

𝐸=2 𝑥108𝑁𝑚2

𝑥0=0

𝑣0=0

𝑚 𝑑2𝑥𝑑𝑡2

+𝑘 𝑥=𝑘𝑚 (𝑡 )

𝑑2𝑥𝑑𝑡2

+𝜔2𝑥=𝜔2

10𝑠𝑒𝑛(8 𝑡)

𝜔0=8𝑟𝑎𝑑𝑠𝑒𝑔

𝜔=√ 𝑘𝑚h𝑎𝑦 4 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠

𝑘=4 (12𝐸𝐼 )𝐿3

𝑘=4(12𝐸 (𝑎412 ))

𝐿3

𝑘= 4𝐸𝑎4

𝐿3=2 (2𝑥108 ) (0.25 )4

33

𝑘=1.16 𝑋 105𝑁𝑚

Por lo tanto no hay resonancia ya que :

𝜔 ≠𝜔0

𝑑2𝑥𝑑𝑡2

+𝜔2𝑥=𝜔2

10𝑠𝑒𝑛(8 𝑡)

𝐹 0=𝜔2

10

𝑥 (𝑡 )=𝐴 cos (𝜔𝑡+∅ )+(𝜔

2

10 )𝜔2−𝜔0

2 𝑠𝑒𝑛(𝜔0 𝑡)

𝑥 (𝑡 )=𝐴 cos (4.4 𝑡+∅ )+( 4.4

2

10 )4.42−82

𝑠𝑒𝑛(8 𝑡)

𝑥0=0

0=𝐴𝑐𝑜𝑠 (∅ )

cos (∅ )=0

∅=𝜋2

𝑣0=0

0=−4.4 𝐴𝑠𝑒𝑛 (∅ )−8(0.04 )

𝑣 (𝑡 )=−4.4 𝐴𝑠𝑒𝑛 (4.4 𝑡+∅ )−8 (0.04 ) cos (8 𝑡)

0=−4.4 𝐴𝑠𝑒𝑛( 𝜋2 )−8 (0.04)

𝐴=−0.324.44

=−0.07

𝑥 (𝑡 )=−0.07cos (4.4 𝑡+ 𝜋2 )−0.04 𝑠𝑒𝑛 (8 𝑡 )

𝑥𝑚𝑎𝑥=𝐴+(𝜔

2

10 )𝜔2−𝜔0

2

𝑥𝑚𝑎𝑥=0.11𝑚𝑡𝑠

La máxima fuerza inducida es:

𝐹𝑚𝑎𝑥 .=𝑘𝑥𝑚𝑎𝑥=1.16 𝑥105(0.11)

𝐹𝑚𝑎𝑥 .=1.20𝑥 104𝑁

La máxima energía inducida es:

𝐸𝑚𝑎𝑥=12𝑘𝑥𝑚𝑎𝑥

2

𝐸𝑚𝑎𝑥=12

(1.16 𝑥105 ) (0.11)2

𝐸𝑚𝑎𝑥=0.60 𝑥103 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠