CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN

Se caracterizan por una ecuacion diferencial de segundo orden, constan de resistores y el equivalente de dos elementos de almacenamiento de energia.

VS

R1

L1

C1

R CL1S

R2

VS

R1

L1 L2

R

C1IS

C2

Determinación de valores iniciales y finales:

Polaridad C v(t) C v¿

L i(t) L i ¿

El intérprete de la figura ha estado cerrado mucho tiempo se abre en t=0.

Halle:

a) i ¿,v¿b) di ¿¿,dv ¿¿c) i (∞ ) , v (∞)

12V

R1 L1

C1

R2

T=0

+88.8

Volts

.t<0

12V

R1 L1

R2

T=0+88.8

Volts

i ¿

v¿

a). . i¿

v¿

.t>0

12V

4 0,25 H

0.1F +88.8

Volts

iC=iL

iC=c .dvdt

=iL

b).

dv ¿¿

12=4 iR+v L+vc

vL=12−4(2)−4

vL=0 [V ]

Ldidt

=vL

dv ¿¿

c)

v (∞)= 12[V]

i (∞ ) ,=0[ A] Ya que la bobina y el condensador regresan al estado estable

El interruptor de la figura estuvo abierto mucho tiempo y se cero en t=0 .

Determine:

a) i ¿b) di ¿¿, dv ¿¿c) i (∞ ) , v (∞)

24 V2

0.4 H

1/20 F+88.8

Volts

10

T=0

.t<0

24R1

10

+88.8

Volts

v¿i ¿

a)i ¿v¿

t>=0

24 V2

0.4 H

1/20 F+88.8

Volts

Cdvdt

=ic

dvdt

=ic

C=i¿¿

Ldidt

=vL

didt

=vL

L=v ¿¿

i (∞ )=242

=12[A ]

v (∞ )=24=24[V ]

En el circuito de la figura calcule:a) v¿b) v (∞ ) , i (∞ ), vR (∞ )c) dv ¿¿

20V

2

4

1/2F0.6H

3U(T)[A]+88.8

Volts

Volts

+88.8

-t<0 3u(t)=0

V1

R1

R2

+88.8

Volts

Volts

+88.8

i ¿v¿vR ¿

20V

2

4

1/2F0.6H

3

20V

6

1/2F0.6H

6 V

Cdvdt

=iL

didt

=iC

C=i¿¿

LCK

1. 3=v R

2+

v ab

412=2 vR+vab

12=3 vR

vR=4 [V ]vR ¿

Ldidt

=vL

didt

=vL

L=v ¿¿

LVKvR−vab−vc¿

vR−vab−(−20)−20=0vR=vab

vab=4 [V ]

vab

4=ic¿

vab

4=44=1 [ A ]=ic ¿

dvC ¿¿

LVK

vR−vab−vc−20=0

d vR

dt=

d v ab

dt+d vc ¿¿

d vR

dt=2+

d v ab

dt

LCK nodo a

3=vR

2+

vab

4

0=d vR

dt∗2+

d vab

dt ( 14 )0=2

d v R

dt+

d v ab

dt

0=2d v R

dt+

d v R

dt−2

23=

d vR

dt

v (∞ )=20 [V ]

iC ( ∞ )=3 [ A ] . 26=1 [ A ]

Circuito RLC enserie sin fuente

v (0 )= 1C∫−∞

0

idt=V 0

i (0 )=I 0

R L

C +88.8

Volts

LVKV R+V L+V C=0

Ri+Ldidt

+ 1C∫−∞

0

idt=0

Derivando:

Rdidt

+Ldi2

d2 t+ 1

Ci=0

RL

.didt

+ di2

d2t+ i

LC=0

Se necesitan las condiciones iniciales:

Ri (0 )+Ldi (0 )dt

+Vo=0

di (0 )dt

=−1L

(Vo+RIo )

i=A est A y s son constantes

A s2 est+ ARL

sest+ ALC

est=0

A est(s2+ RL

s+ 1LC )=0

s2+ RL

s+ 1LC

=0 Ecuación característica

s=−RL

±√ R2

L2−¿ 4

LC¿

s1=¿−R

L+√ R2

L2−¿ 4

LC¿¿

s2=¿−R

L−√ R 2

L2−¿ 4

LC¿ ¿

s1=¿−α+√α 2−ωo2¿

s2=¿−α−√α 2−ωo2¿

α= RL

Factor de amortiguamiento

ωo= 1

√LC Frecuencia de resonancia o no amortiguamiento

i1=A1 es1 t

i2=A2 es2 t

Solucion completa :i1=A1 e

s1 t

i2=A2 es2 t

Soluciones:Si α >ωo, sobreamortiguadoSi α=ωo, críticamente amortiguadoSi α >ωo, subamortiguadoCaso1. Sobre amortiguado

C> 4 L

R2 i (t )=A1es1 t+ A2e

s2 t

Caso2.crìticamenteamortiguado

α=ωo ,C= 4 L

R2

s1=s2=−α=−R2 L

i (t )=A1e−αt +A2 e

−αt+ A3 e−αt

i (t )=( A2+ A1 t)e−αt

Caso3.Subamortiguado

α=ωo ,C< 4 L

R2

s1=−α+√−|ωo2−α2|=−α+ jωo

s2=−α−√−|ωo2−α 2|=−α− jωo

j=√−1 ωd=√ωo2−α 2

i (t )=e−αt[ ( A1+ A2 )cosωdt+ j ( A1−A2 ) senωdt ]Para la figura calcule las raíces características del circuito. La respuesta natural esta sobre, sub o críticamente amortiguada.

40 4 H

1/4 F +88.8

Volts

i (0 )=Io

v (0 )=Vo

α= R2L

= 402 (4 )

=5

ωo= 1

√LC= 1

√1=1 rad

segα >ωo∷ Sobreamortiguado

s1,2=¿−α ±√α 2−ωo2

s1=−5+√24=−5+2√6s2=−5−√24=−5−2√6

Halle i(t) en el circuito de la figura suponga que el circuito ha llegado a estado estable en t=0.

3 0.5H

0.02F+88.8

Volts

6

4T=0

10 V

3

6

4T=0

10 V

+88.8

Volts

i (0 )=106

=1 [ A ]

v (0 )= 610

(10 )=6 [V ]

3 0.5H

0.02F 6

9 0.5H

0.02F

α= R4 L

= 9

1( 12 )=9 Ω

H

ωo= 1

√LC= 1

√0.5 (0.02 )=10 rad

segωo>α : : Subamortiguado

s1,2=−α ±√α2−ωo2

s1,2=−9±√92−102s1,2=−9±√81−100

s1=−9+ j √19s2=−9− j√19

ωd=√19i (t )=e−αt(B1 cosωdt+B2 senωdt )

i (0 )=B1B1=1

di(t)dt

=ωo e−αt (−B1 senωdt+B2 cosωdt )−α e−αt (B1cosωdt+B2 sen ωdt)

di (0 )dt

=√19 B2−9 B1

di (0 )dt

=√19 B2−9

di (0 )dt

=−1L

[Ri (0 )+Vo]

di (0 )dt

=−10.5

[9−6]

di (0 )dt

=−6

−6=√19B2−9B2=0.688

i (t )=e−9 t(cos √19 t+0.688 sen√19 t)

CIRCUITO RLC EN PARALELO SIN FUENTE

R L C i (0 )=Io= 1L∫∞

0

v ( t )dt

v (0 )=Vo

LCK

VR

+iL+iC=0

VR

+ 1L∫∞

0

v ( t ) dt+Cdvd t

=0

dv2

d2t+ 1

RCdvdt

+ 1LC

=0

s2+ 1RC

s+ 1LC

=0 Ecuacion caracteristica

s1,2=12 RC

±√( 12RC

)2

− 1LC

s1,2=−α ±√α2−ω2

α= 12RC

ωo= 1

√LC

Posobles soluciones

Sobreamortiguado α >ωo cuando L>R2C

v (t )=A1 es1 t+ A2 e

s2 t

Crìticamente amortiguado (α=ωo)

Para α=ωo ,L=4R2C

v (t )=¿

Subamortiguado

α <ωo ,L<4R2C

s1,2=−α ± jωd

ωd=√ωo2−α 2

v (t )=e−αt ( A1 cosωdt+ A2 sen ωdt)

Las constantes A1 y A2 pueden determinarse en cada caso con base en las condiciones iniciales. Se necesita v(0 y dv(o)/dt)

VoR

+ Io+Cdv (0)

dt=0

dv (0)dt

=−(Vo+R Io)

RC

REPUESTA ESCALÒN DE UN CIRCUITO RLC EN SERIE

VS

RT=0 L

C+88.8

Volts

APLICANDO LVK

Ldidt

+Ri∗v=Vs

i=Cdvdt

d2 vd t2

+ RL

dvdt

+ vLC

= VsLC

v (t )=v t (t )+vss(t)

vss (t )=v ( ∞)=Vs

SOLUCION COMPLETA:

v (t )=Vs+ A1es1 t+ A2e

s2 t (Sobreamortiguado)

v (t )=Vs+¿ (Crìticamente amortiguado)

v (t )=Vs+e−αt(A1cosωdt+ A2 senωdt ) (Subamortiguado)

vs=v

i=Cdvdt

vR=iR

vL=Ldidt

EJEMPLO:

Para el circuito de la figura determine la respuesta completa para t>0 para v(t) y la corriente iL

24 V

4T=01H

0.25F+88.8

Volts

1

v¿

i ¿

24 V

4 1H

0.25F+88.8

Volts

α= R2L

=42=2

ω= 1

√LC= 1

√0.25=2

α=ω Crìticamente amortiguado

s=−2

v (t )=Vs+¿

v (0 )=A1+24

4.8=A1+24

A1=4.8−24

A1=−19.2

iC=Cdvdt

= 4.80.25

dv (0)dt

=19.2

dv ( t )dt

=−2¿

dv (0 )dt

=−2( A1)+A2

19.2=−2(A1)+ A2

A2=19.2+2(−19.2)

A2=−19.2

v (t )=24−19.2¿

iC=Cdvdt

iC=0.25 [38.4 (1+t ) e−2 t−19.2e−2 t]

iC=e−2 t [9.6 (1+t )−4.8]

iC=e−2 t [9.6+9.6 t−4.8 ]

iC=e−2 t [9.6 t+4.8]

iC=2e−2 t[2 t+1]

RESPUESTA ESCALON DE UN CIRCUITO RLC EN PARALELO

T=0 R L1 C1I1 +88.8

Volts+88.8AC Volts

Aplicando LCK al nodo superior para t>0

vR

+i+Cdvdt

=Is

vL=Ldidt

d2 id t 2

+ 1RC

didt

+ iLC

= ILC

SOLUCION COMPLETA:

i (t )=it ( t )+iss(t)

i (t )=I s+A1 es1 t+A2 e

s2 t (Sobreamortiguado)

i (t )=I s+¿ (Crìticamente amortiguado)

i (t )=I s+e−αt (A1 cosωdt+A2 senωdt ) (Subamortiguado)

EJEMPLO :

En el circuito de la figura halle i(t)e iR (t)

30U(-T)

T=0

2020H 8MF

4 A

20

i (0 )=4v (0 )=302

=15

T=0

2020H 8MF

4 A

Req=20∗2020+20

=10

α= 12RC

α= 12(10)(8mF )

α=6.25ω= 1

√LC

ω= 1

√20 (8mF)

ω=2.5

α >ω Sobreamortiguado

i (t )=Is+ A1 es1 t+ A2e

s2 t

s1,2=−6.25±√(6.25)2−(2.5)2

s1,2=−6.25±5.728

s1=−0.521

s2=−11.978

i (t )=4+ A1e−0.521 t+ A2e

−11.978 t

i (0 )=4+ A1 e−0.521 t+ A2 e

−11.978 t

4=4+ A1+ A2

A1=−A2

vL=Ldi(0)

dt

di(0)dt

=1520

=0.75

didt

=−0.521 A1e−0.521 t−11.978 A2 e

−11.978 t

di(0)dt

=−0.521 A1−11.978 A2

0.75=−0.521 A1−11.978 A2

A2=−0.065

A1=0.065

i (t )=0.065 A1e−0.521 t−0.065 A2 e

−11.978 t

vL=20[−0.033e−0.521 t+0.77 A2e−11.978 t ]

vL=−0.66e−0.521 t+15.4 A2e−11.978 t

iR=vL

R=

−0.66e−0.521t +15.4 A2 e−11.978 t

20

iR=−0.033e−0.521 t+0.77e−11.978 t

Halle v0 ( t ) para t >0

7U(-T)

3 1/2H

1 1/5H+88.8

Volts

.t<0 7u(t)=0

v¿

i1¿

i2¿

.t>0 7u(t)=7

7U(-T)

3 1/2H

1 1/5H+88.8

Volts

vL2=vo=1¿

7−3 i1−V L1=0

V L1=7

d i1¿¿

d i2¿¿

7U(-T)

3

1+88.8

Volts

i1 ( ∞)=73

A

i2 ( ∞)=73

A

Se debe eliminar la fuente para obtener la respuesta natural

3

1+88.8

Volts

4 i1+vL 2−i2=0

4 i1+Ld i1(t)

dt−i2=0

4 i1+Ld i1(t)

dt=i2

i2−i1+v L1=0

i2−i1+ Ld i2(t )

dt=0

3 i1+Ld i1(t)

dt+L

d i2( t)dt

=0

d i2dt

=4d i1dt

+ 12

d2i2d t 2

3 i1+12

d i1(t )dt

+ 45

d i1(t)dt

+ 110

d2i1d t 2

=0

d2i1d t 2

+13d i1 (t )

dt+30 i1=0

i1' '+13 i1

' +30 i1=0

s2+13 s+30=0

s=−13±√132−4 (30)

2

s=−13±72

s1=−10

s2=−3

i1 (t )=73+A1 e

−10t+ A2 e−3 t

d i1 ( t )dt

=−10 A1 e−10 t−3 A2 e

−3 t

d i1 (0 )dt

=−10 A1 e−10(0)−3 A2 e

−3(0)

14=−10 A1−3 A2 Ecuacion 1

i1 (0 )=73+ A1e

−10 (0 )+ A2 e−3 (0)

0=73+ A1+ A2

−7=3 A1+3 A2 Ecuacion 2

1+2

14=−10 A1−3 A2

−7=3 A1+3 A2

7=−7 A1

A1=−1

Reemplazando en la ecuacion 2

−7=−3+3 A2

A2=−43

i1 ( t )=73−(e−10t + 4

3e−3 t)

d i1 (t )dt

=10e−10 t−4e−3 t

7=4 i1+12

d i1dt

−i2

i2=4 i1+12

d i1dt

−7

i2=283

−4 e−10t−163

e−3 t+5 e−10 t+2e−3 t−7

i2=73+e−10t−10

3e−3 tvo=1( i1−i2)

vo=73−e−10 t−4

3e−3 t−7

3−e−10 t+ 10

3e−3 t

vo ( t )=−2e−10t+2e−3 t