ndice

Introduccin--------------------------------------------------------------2Desarrollo-----------------------------------------------------------------3 Forma de ondas bsicas, funcin escaln----------------------3-4 Funcin rampa-----------------------------------------------------4 Funcin rampa modificada---------------------------------------5 Pulso rectangular--------------------------------------------------5-6 Funcin impulso o Delta de Dirac------------------------------6-7 Ondas peridicas-------------------------------------------------- 7-8 Ondas triangulares-------------------------------------------------9 Ondas no peridicas-----------------------------------------------10-18 Circuitos RL sin fuente--------------------------------------------19-22 Circuitos RC sin fuente--------------------------------------------23-24Conclusiones--------------------------------------------------------------25Bibliografa---------------------------------------------------------------26Anexos--------------------------------------------------------------------27-

Introduccin

Tomando en cuenta que cada seal de origen elctrico viene dado en forma de onda, podemos explicar sus reacciones en los elementos mediante mtodos matemticos que nos permiten crear o modificar cualquier funcionamiento de un circuito elctrico y electrnico. De all partimos con las herramientas matemticas fundamentales que explican el comportamiento del fenmeno elctrico las cuales son: ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden, funcin rampa, escaln y ondas sinusoidales; de esta ltima se derivan sus aplicaciones ms eficientes como son los ngulos de fase, amplitud, frecuencia y periodo que son caractersticas bsicas para analizar ya sea la corriente, impedancia, voltaje o potencia de una seal.Debido que en corriente alterna (CA) las seales son peridicas y en su mayora de forma sinusoidal, significa que la seal va de baja frecuencia a alta frecuencia indefinidamente, por lo tanto sus valores cambian en el tiempo. Por ello utilizamos algunos conceptos matemticos que definen una cantidad especfica la cual cumple un papel de gua para determinar de forma general estas cantidades, estos son: valor promedio y valor eficaz. Estos valores son aquellos que utilizamos cuando nos referimos a una corriente, voltaje o potencia que produce un generador de CA. Es importante sealar que en corriente directa (CD) las funciones no son peridicas de ningn tipo, por lo tanto un valor eficaz sera completamente innecesario. Se debe destacar que este trabajo tiene como objetivo dar una explicacin detallada de cmo funcionan las seales electicas mediante ondas peridicas y no peridicas.

Desarrollo

-Formas de Onda BsicasEn el estudio de circuitos, son de especial inters las formas de onda en escaln, rampa, pulsos e impulsos.

- Funcin Escaln Esta funcin vale 0 para tiempos negativos y una cantidad constante A para tiempos positivos (ms adelante definiremos escalones desplazados en el tiempo).Figura 1

Su expresin matemtica podemos verla en la ecuacin (1):Ecuacin 1

Se observa que en t=0, esta funcin presenta una discontinuidad, por lo que su derivada no existir en dicho punto. Podemos avanzar que la derivada de la funcin escaln ser la funcin impulso (o delta de Dirac), que veremos posteriormente. Cuando A = 1, la funcin recibe el nombre de escaln unitario y se utiliza el smbolo U(t). En los textos de mbito matemtico, esta funcin recibe el nombre de funcin de Heaviside, y se la representa como H(t).

Podemos considerar cualquier funcin escaln como el producto de una constante (que llamaremos amplitud) por la funcin escaln unitario. En general, multiplicar una funcin por la funcin escaln unitario se asocia a asignar el valor cero para t0.

- Funcin Rampa La forma de esta funcin en la indicada en la Fig. 2.Figura 2

Matemticamente la podemos expresar de la siguiente forma:Ecuacin 2

Como es obvio, la funcin derivada de la funcin rampa (que s es una funcin continua) es la funcin escaln.

- Funcin Rampa Modificada En este caso, la funcin est indicada en la Fig. 3 y su expresin matemtica viene dada por la ecuacin (3).Figura 3

Ecuacion 3

Tambin avanzamos que su funcin derivada es un pulso rectangular.

- Pulso Rectangular Esta forma de onda tan utilizada en electrnica, se representa en la Fig. 4 y su expresin matemtica viene dada por la ecuacin (4).Figura 4

Ecuacion 4

Diremos que la anchura del pulso (o duracin del pulso) es T = t1 - t0.

Funcin Impulso o Delta de Dirac

Esta funcin (que en realidad es lo que en matemticas se denomina una distribucin de funciones) se representa de la forma indicada en la Fig. 5.Figura 5

Matemticamente es la ms compleja de las vistas hasta ahora (de hecho no tiene sentido como funcin convencional), pero podemos expresarla de la forma:

Verificando que: Ondas peridicas

Las ondas ms interesantes de la naturaleza son peridicas. Eso quiere decir que no es una nica perturbacin la que viaja, sino que son muchas (muchsimas) perturbaciones en el tiempo, una atrs de la otra, todas iguales y equies-paciadas. Eso es una onda peridica.

Dos grficas diferentes para una onda peridica -como ejemplo- son las siguientes:

De manera anloga las ondas no peridicas no se repiten en el tiempo, son arbitrarias e impredecibles.

En una onda peridica se cumple (sinusoidales):

Donde el periodo propio fundamental es;

Joseph Fourierdemostr que las ondas peridicas con formas complicadas pueden considerarse como suma de ondas armnicas (cuyas frecuencias son siempre mltiplos enteros de la frecuencia fundamental). As, supongamos querepresenta el desplazamiento peridico de una onda en una cierta posicin. Siy su derivada son continuas, puede demostrarse que dicha funcin puede representarse mediante una suma del tipo:

Entre estos casos de seales peridicas compuestos por infinitos armnicos se encuentran lasondas cuadradas(onda compuesta exclusivamente por armnicos impares cuya amplitud es inversamente proporcional al nmero de armnico, es decir:

)

Onda triangular La onda triangular es un tipo de seal peridica que presenta unas velocidades de subida y bajada (Slew Rate) constantes. Lo ms habitual es que sea simtrica, es decir, los tiempos de subida y bajada sean iguales.

Mediante el trmino generales de clculos de pendientes de rectas podemos determinar las caractersticas de este tipo de ondas. Caractersticas de una onda sinodal-Una est determinada por un valor mximo de amplitud, llamado valor pico, y un tiempo de desarrollo llamado periodo.-La funcin sinodal grafica una onda sinodal, partiendo de "cero", con un valor pico positivo, y otro igual negativo. -El ciclo es el desarrollo completo de la onda, y corresponde al periodo "T".La cual tiene esta forma:

La suma algebraica de ondas o seales sinusoidales de realizan mediante el estudio de nmeros complejos, ya que representan una forma rectangular a partir del faso que lo represente. Ondas no peridicasLas son aquellas ondas cuya periodicidad no sigue ningn tipo deciclo. Son ondas que: O bien, se da aisladamente. Las ondas aisladas se denominan tambinpulsos. O bien, en el caso de que se repita, las perturbaciones sucesivas tienen caractersticas diferentes.

La forma de hallar algunas caractersticas de este tipo de ondas no peridicas seria estudindolas mediante sumatorias (integral) de cada aporte en un intervalo especifico.

Valores Asociados a las Ondas Peridicas

Para las formas de onda peridicas podemos definir los siguientes trminos:

a) Valor de cresta, mximo o pico: Son los valores mximos y mnimos que toma la funcin: A+c y A-c

b) Valor pico a pico o cresta a cresta (VPP): Es la diferencia A+c - A-c (considerados con signo).c) Valor medio: Es la media aritmtica de los valores que toma la onda en un periodo:

Geomtricamente es la altura de un rectngulo que tiene como base el periodo T y la misma rea que la funcin f(t) bajo la misma.

d) Valor eficaz: Es el valor medio cuadrtico; es decir, la raz cuadrada del valor medio de la funcin al cuadrado, en un periodo.

Este valor es de sumo inters en las expresiones de potencia y energa. Ntese que, aunque el valor medio de algunas funciones peridicas puede ser cero, el valor eficaz nunca puede ser nulo.

e) Factor de pico o de cresta: Es la relacin

f) Factor de forma: Es la relacin

Valores Asociados a las Ondas sinodales

-Valor medio

En un periodo, el valor medio es cero. En las funciones sinodales se considera el valor medio en un semi-ciclo, lo que permite dar un factor de forma caracterstico de estas ondas. Se tiene, pues

-Valor eficaz

Aplicando la frmula:

Luego:

-Factor de cresta

En las ondas sinodales se les suele llamar tambin factor de amplitud.

Amplitud

La amplitud de una onda se define como la distancia a la que se encuentra un punto material en vibracin respecto de la posicin de equilibrio. Dado que se trata de una distancia, su unidad de medida ser el metro. Habitualmente se asocia la amplitud de una onda con la mxima elongacin de la vibracin; en tal caso, debemos hablar de amplitud mxima. En la imagen que representa una onda sinusoidal transversal en la cual la amplitud del punto p1 es A1, la de p2 es A2, etc.

La amplitud de una onda se asocia con la cantidad de energa que la misma transporta (ms especficamente, con la potencia promedio que la misma entrega por unidad de tiempo, aunque esta magnitud depende de la cantidad de energa transportada). Una onda ms amplia es una onda ms potente, aunque no en proporcin directa, sino que la potencia promedio es proporcional al cuadrado de la amplitud.

Entre las ondas peridicas mas comunes podemos determinar su aplicacin de la siguiente panera: Onda Sinodal

Se denomina corriente alterna a la corriente elctrica en la que la magnitud y direccin varan cclicamente. La forma de onda de la corriente alterna ms comnmente utilizada es la de una onda sinodal, puesto que se consigue una transmisin ms eficiente de la energa

Utilizada genricamente, la CA se refiere a la forma en la cual la electricidad llega a los hogares y a las empresas. Sin embargo, las seales de audio y de radio transmitidas por los cables elctricos, son tambin ejemplos de corriente alterna.

-Onda Cuadrada

Se conoce por onda cuadrada a la onda de corriente alterna (CA) que alterna su valor entre dos valores extremos sin pasar por los valores.

Se usa principalmente para la generacin de pulsos elctricos que son usados como seales (1 y 0) que permiten ser manipuladas fcilmente, un circuito electrnico que genera ondas cuadradas se conoce como generador de pulsos, este tipo de circuitos es la base de la electrnica.

- Onda triangular

La onda triangular es un tipo de seal peridica que presenta unas velocidades de subida y bajada (Slew Rate) constantes.

Voltaje de c.a sinusoidal

A partir de cero, el voltaje se incrementa a un mximo positivo, disminuye a cero,Cambia de polaridad, se incrementa a un mximo negativo y entonces retorna denuevo a cero. Una variacin completa se conoce como un ciclo.

Ya que la forma de onda se repite a intervalos regulares, se le llama una forma deOnda peridica.

Corriente de c.a sinusoidal

Durante el primer medio ciclo, el voltaje de la fuente es positivo; por lo tanto, la corriente avanza en direccin de las manecillas del reloj. Durante el segundo medio ciclo, la polaridad del voltaje se invierte, entonces, la corriente va en direccin contraria a la de las manecillas del reloj.Ya que la corriente es proporcional al voltaje, su forma tambin es sinodal.

Desfasaje de la corriente y el voltaje en c.a

Inductancia y c.a sinusoidal

Para un inductor ideal la tasa de cambio del voltaje es proporcional a la corriente, debido a ello el voltaje y la corriente no estn en fase como ocurre en un circuito resistivo. En este caso la corriente se atrasa 90 grados al voltaje de la siguiente manera:

Capacitancia y c.a sinusoidal

Para un capacitor ideal la corriente es proporcional a la tasa de cambio del voltaje, por lo cual no estn en fase.

En este caso la corriente se adelanta 90 grados al voltaje de la siguiente manera:

Potencia activa

Es la potencia comnmente conocida en cd ya que el voltaje y la corriente deben estar en fase, y viene determinada de la siguiente manera:

p =vi = (Vmsen wt)(Imsen wt) =VmImsen2 wt

Debido a que la corriente y el voltaje varan de polaridad cada medio ciclo, entonces es necesario determinar una potencia promedio que limitara una lnea constante (asntota vertical) en medio de la relacin de fase de V.I

Potencia reactiva

Es la energa que oscila de ida y vuelta por todo el sistema aplicados a elementos reactivos (inductores y capacitores).

Potencia aparente

Para trminos prcticos y de control en un sistema elctrico conformado por circuitos con miles de elementos, es necesario nombrar una potencia ms eficaz que nos de un valor promedio de la potencia. Esta potencia se denomina Potencia aparente que es el promedio de la potencia activa y reactiva.

Circuito RL sin fuente.

El anlisis de circuitos que contienen inductores y/o capacitores depende de la formulacin y solucin de ecuaciones integro diferenciales que caracterizan a los circuitos. Se llamar ecuacin diferencial homognea al tipo especial de ecuacin que se obtiene, la cual es simplemente una ecuacin diferencial en la que cada trmino es de primer grado en la variable dependiente o en una de sus derivadas.

Se obtiene una solucin cuando se encuentra la expresin de la variable dependiente que satisface la ecuacin diferencial y tambin la distribucin de energa prescrita en los inductores o capacitores en el instante preestablecido, por lo general t=0.

La solucin de la ecuacin diferencial representa una respuesta del circuito y se conoce con muchos nombres. Puesto que depende de la naturaleza general del circuito(los tipos de elementos, sus tamaos, la interconexin de los elementos), se denomina a menudo respuesta natural.

Sin embargo, todo circuito real que se construya no puede almacenar energa por siempre; necesariamente, las resistencias asociadas con los inductores y capacitores a la larga convertirn toda la energa almacenada en calor. La respuesta debe al final extinguirse, razn por la cual con frecuencia se le conoce como respuesta transitoria.

Cuando se analizan las fuentes independientes que actan sobre un circuito, parte de la respuesta recordar la naturaleza de la fuente particular(o funcin forzada) que se utiliza; dicha parte, denominada solucin particular, respuesta de estado permanente o respuesta forzada, se complementa con la respuesta complementaria producida en el circuito sin fuente. La respuesta del circuito estar dada entonces por la suma de la funcin complementaria y la solucin particular.

Se examinaran varios mtodos diferentes de solucin de estas ecuaciones diferenciales. Sin embargo, la manipulacin matemtica no significa analizar los circuitos. El mayor inters se encuentra en las propias soluciones, en su significado y su interpretacin.

Se comenzara con el anlisis transitorio considerando un simple circuito RL en serie, se va a designar la corriente variable en el tiempo como i (t) en t= como i0; en otras palabras, i(0)=i0. Por tanto, se tiene:

O

Ecuacin 1

La meta es una expresin de i (t) que satisfaga esta ecuacin y tambin tenga el valor I0 en t=0. La solucin se obtiene mediante varios mtodos diferentes.

Mtodo directo:

Un mtodo muy directo para resolver una ecuacin diferencial consiste en expresarla de manera que se separen las variables y luego se integre cada miembro de la ecuacin. Las variables de la ecuacin 1 son i y t, resulta evidente que la ecuacin se podra multiplicar por dt, dividirse entre i y arreglarse con base en las variables separadas:

En razn de que la corriente es Io en t=0 e i(t) en el tiempo t, se igualaran las dos integrales definidas que se obtienen al integrar cada miembro entre los lmites correspondientes:

Efectuando la integracin indicada,

La cual tiene como resultado Despus de un poco de manipulacin, se puede ver que la corriente i (t) est dada por:

3

Se comprueba la solucin si se demuestra primero que la sustitucin de la ecuacin 3 en la 1 produce la identidad 0=0, y despus que la sustitucin de t=0 en la ecuacin 3 tiene como resultado i(o)=Io. Ambos pasos son necesarios; la solucin debe satisfacer la ecuacin diferencial que caracteriza al circuito y tambin la condicin inicial.

Mtodo alterno:

La solucin tambin se podra obtener por medio de una ligera variacin del mtodo anterior. Luego de separar variables, se tendra la integral indefinida de cada lado de la ecuacin 2 si tambin se incluye una constante de integracin. De tal modo,

y la integracin origina:

La constate K no puede evaluarse mediante la sustitucin de la ecuacin (4) en la ecuacin diferencial original (1); resultar la identidad 0=0, pues la ecuacin (4) es una solucin de la ecuacin (1) para cualquier valor de K. La constante de integracin debe elegirse para satisfacer la condicin inicial i(0)= Io. As, en t=0, la ecuacin (4) se convierte en: y se emplea este valor de K en la ecuacin (4) para obtener la respuesta deseada:

Como se hizo antes.

Mtodo general:

Los dos mtodos anteriores se utilizan cuando las variables son separables, aunque sta no es siempre la situacin. En los casos restantes se confiar en un mtodo muy poderoso, cuyo xito depender de nuestra intuicin o experiencia.

Se supondr una solucin de la ecuacin (1) en forma exponencial,

Ecuacin 5 donde A y s1 son constantes que se deben determinar. Despus de sustituir esta supuesta solucin en la ecuacin (1), se tiene:

Con el fin de satisfacer la ecuacin para todos los valores del tiempo, se requiere que A=0, o s1=-, o s1=-R/L. Pero si A=0 o si s1=-, entonces toda respuesta es nula; ninguna puede ser una solucin para el problema en cuestin. Por lo tanto, se debe elegir:

As que la solucin supuesta toma la forma La constante restante debe evaluarse aplicando la condicin inicial i(0)=Io. De tal modo, A= Io, y la forma final de la solucin supuesta es otra vez, i(t)=Io*ex(-R*t/L)

Circuitos RC sin Fuente.

Los circuitos que se basan en combinaciones resistencias-capacitor son ms comunes que su anloga resistencia-inductor. Las principales razones consisten en las menores prdidas que se entregan en un capacitor fsico, el menor costo y el hecho de que el modelo matemtico simple concuerda mejor con el compromiso real del dispositivo, as como su tamao y peso menores(que son dos aspectos) muy importantes en las aplicaciones de circuitos integrados).

El capacitor seleccionado se supondr una energa almacenada inicial de v(0)=Vo. La corriente total que sale del nodo de la parte superior del esquema de circuito debe ser cero, por lo que se debera escribir La divisin entre C da como expresin Se compara con la siguiente ecuacin muestra que la sustitucin de i por v y L/R por RC da una ecuacin idntica a la que se consider antes. As debe ser, pues el circuito RC que se analizar ahora resulta el dual del circuito RL considerando primero. Dicha dualidad obliga a que v (t) en el circuito RC e i(t) en el circuito RL tengan expresiones idnticas, si la resistencia de un circuito es igual al reciproco de la resistencia del otro circuito y si L es numricamente igual a C. En consecuencia, la respuesta del circuito RL,

Permite escribir de inmediato,

= Vo*exp(-t/R*C) ecuacin 2 para el circuito RC.

Suponiendo que se hubiese elegido la corriente i como la variable del circuito RC en vez de la tensin v. Al aplicar la ley de Kirchhoff de tensin,

Se obtiene una ecuacin integral que se opone a la ecuacin diferencial. Sin embargo, al tomar la derivada del tiempo de ambos lados de esta ecuacin, y sustituyendo i por v/R, se obtiene de nuevo la ecuacin 1:

La ecuacin 3podra utilizarse como punto de partida, pero la aplicacin de los principios de dualidad no habra sido tan natural.

Conclusiones.

La forma de la respuesta natural (denominada tambin como respuesta transitoria) depende slo de os valores de las componentes y de la forma en que se alambran entre ellas. Un circuito reducido hasta una solo inductancia equivalente L y una sola resistencia equivalente R tendr una respuesta natural dada por Un circuito reducido hasta una sola capacitancia equivalente C y una sola resistencia equivalente R tendr una respuesta natural dada por . La funcin de escaln unitario constituye una manera til para hacer el modelo del cierre o la apertura de un interruptor, siempre que se tenga cuidado de vigilar las condiciones iniciales. La respuesta completa de un circuito RL o RC puede determinarse tambin escribiendo una sola ecuacin diferencial de la cantidad de interese y resolvindola.

Bibliografa

1. HAYT, William-KEMMERLY, Jack. Anlisis de Circuitos en Ingeniera. Mc Graw Hill.

2. HUELSMAN. L.P. Basic Circuit Teheory With Digital Computations prentice-Hall.

Anexos.

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