Cii2751 Clase3 Distribuciones Continuas Importantes

8/19/2019 Cii2751 Clase3 Distribuciones Continuas Importantes

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Clase 3

Curso: Inferencia Estadística (CII-2751)Prof: Paula Fariña


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ALGUNAS DISTRIB. CONTINUAS IMPORTANTES: NORMAL

X ∼N (µ, σ 2)

f (x ) = 1√ 2πσ 2 e

−12 (

x − µσ

)2

−4 −2 0 2 4

0 . 0

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

z1

p z

1


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DISTRIBUCIÓN NORMAL

E (X ) = µ

V (X ) = σ2

Si se trata de la distribución Normal Estándar:

µ = 0

yσ2 = 1


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DISTRIBUCIONES NORMALES CON DISTINTA MEDIA

−5 0 5 10

0 . 0

0

. 1

0 . 2

0

. 3

0 . 4

x

f ( x

)

mu=0 mu=5


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DISTRIBUCIONES NORMALES CON DISTINTA VARIANZA

−5 0 5

0 . 0

0

. 1

0 . 2

0

. 3

0 . 4

x

f ( x

)

sigma2=1

sigma2=3


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La probabilidad en un punto es siempre 0,P (X = b ) = 0

.Ejemplo: P (X = 2) = 0

−4 −2 0 2 4

0 . 0

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

f ( X )

P(X=2)


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Se CalculaP (a < X < b ) = P (X < b ) −P (X < a )

.Ejemplo : Para la distribución Normal Estándar

P (0 < X < 2) es:

−4 −2 0 2 4

0 . 0

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

f ( X )

P(0


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P (X < 2) es:

−4 −2 0 2 4

0 . 0

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

x

f ( X )

P(−inf


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P (X < 0) es:

−4 −2 0 2 4

0 . 0

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

x

f ( X )

P(−inf


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P (0 < X < 2) = P (X < 2) −P (X < 0) es:

−4 −2 0 2 4

0 . 0

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

x

f ( X )

P(0


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Esta fórmula permite obtener la probabilidad de unintervalo a partir de la función de probabilidad acumuladaF (X ):

x

F ( X )

−4 −2 0 2 4

0 . 0

0 . 5

1 . 0

P(X


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En el caso normal no se puede obtener una fórmulacerrada de de la f.d.a.

F (x ) = x −∞

1√ 2πσ 2 exp {−

12σ2

(t −µ)2}dt

Hay dos opciones:

1 usar el computador.2 se puede recurrir a la tabla de la Normal Estándar o


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OPCIÓN 1. MEDIANTE EL COMPUTADOR.

Se puede calcular P (a < X < b ) con X ∼N (µ, σ 2 ) mediante:En SPSS:CDF.NORMAL(b,mu,sigma)-CDF.NORMAL(a,mu,sigma)abriendo la ventana transformar/Calcular variable .En Excel: o bienDISTR.NORM.N(b;mu;sigma;VERDADERO)

-DISTR.NORM.N(a;mu;sigma;VERDADERO) entrandoen formulas/funciones estadísticas .


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OPCIÓN 2. MEDIANTE LA TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN NOR

Se puede calcular P (a < X < b ) con X ∼N (µ, σ 2 ) mediante laTabla de la Normal Estándar:Primero hay que estandarizar la variable:Si X ∼N (µ, σ 2) entonces se emplea la transformación:

Z = x −µ

σEntonces

Z ∼N (0 , 1)¿Por qué?


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DISTRIBUCIÓN NORMAL. PROPIEDAD 1

Propiedad 1: Sea X una v.a. con X ∼N (µ, σ 2) y a un númeroreal, entonces

Y = X + a es una v.a. N (µ + a , σ2)

Y = aX es una v.a. N (a µ, a 2σ2)

De aquí se deduce que Z = X − µσ

es una v.a. N (0 , 1)(Vericar como tarea)


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DISTRIBUCIÓN NORMAL. USO DE LA TABLA

Para emplear la Tabla de la Normal Estándar:Primero hay que estandarizar la variable:Si X

∼N (µ, σ 2) entonces se emplea la transformación:

Z = x −µ

σEntonces

P (a < X < b ) = P ( a −µσ < Z < b −µσ )Luego se emplea la Tabla de la Normal Estándar


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DISTRIBUCIÓN NORMAL. EJEMPLO 1

Sea X ∼N (200 , 20 ). Determinar:1 P (185 ≤X ≤210 ).2 x tal que P (X ≤x ) = 0,95


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DISTRIBUCIÓN NORMAL. RESPUESTA A EJEMPLO 1.1

1

P (185 ≤X ≤210 ) = P (185 −200√

20≤Z ≤

210 −200√ 20

)

= P (Z ≤2 ,236 ) −P (Z ≤ −3 ,354 ) = 0,9869Se puede emplear el comando:CDF.NORMAL(210,200,4.472)-CDF.NORMAL(185,200,4.472)

abriendo la ventana transformar/Calcular variable de SPSS.o bien =DISTR.NORM.N(210;200;4.472;VERDADERO)-=DISTR.NORM.N(185;200;4.472;VERDADERO) entrandoen formulas/funciones estadísticas de Excel.


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DISTRIBUCIÓN NORMAL. RESPUESTA A EJEMPLO 1.2

1

2

P (X ≤x ) = 0,95 ⇔P (Z ≤ x

−200

√ 20 ) = 0,95x = 1,645 √ 20 + 200 = 207 ,36

Se puede emplear el comando:IDF.NORMAL(0.95,200,4.472) abriendo la ventanatransformar/Calcular variable de SPSS.También empleando =INV.NORM(0,95;200;4.472) deExcel.


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DISTRIBUCIÓN NORMAL. PROPIEDAD 2

Sea X 1 ∼N (µ1 , σ21 ) y X 2 ∼N (µ2 , σ22 ), entonces

Y = X 1 + X 2 es una v.a. N (µ1 + µ2

µ, σ21 + σ22 + 2ρσ1σ2

σ 2)

Si X 1 y X 2 son indep. ( ρ = 0)

Y = X 1 + X 2 es una v.a. N (µ1 + µ2

µ, σ21 + σ22

σ 2)


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DISTRIBUCIÓN NORMAL. GENERALIZACIÓN DE PROPIEDAD

Sea X 1 ∼N (µ1 , σ21 ) y X 2 ∼N (µ2 , σ22 ) y sean a y b reales,entonces

Y = aX 1+ bX 2 es una v.a. N (a µ1 + b µ2

µ, a 2σ21 + b 2σ22 + 2ab ρσ1σ2

σ 2Si X 1 y X 2 son indep. ( ρ = 0)

Y = aX 1 + bX 2 es una v.a. N (a µ1 + b µ2

µ, a 2σ21 + b

2σ22

σ 2)


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DISTRIBUCIÓN NORMAL. PROPIEDADES 2 PARA n VARIABLESINDEPENDIENTES.

Sea X 1 , X 2 ; ..., X n son v.a.s independientes y a 1 , a 2 , ..., a n sonnúmeros reales. Si X i ∼N (µi , σ2i ) para i = 1, ..., n

Y = X 1 + X 2 + ... + X n es una v.a. N (n

i = 1µi

µ,

n

i = 1σ2i

σ 2)

Y = a 1X 1 + a 2X 2 + ... + a n X n ∼N (n

i = 1

a i µi

µ

,n

i = 1

a 2i σ2i

σ 2

)


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DISTRIBUCIÓN NORMAL. PROPIEDADES

Ejercicio : Sea X 1 , X 2 , ..., X n v.a.s independientes N (µ, σ 2).Obtener la distribución de X̄ =

n i = 1 X i n


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DISTRIBUCIÓN NORMAL. PROPIEDADES

Ejercicio : Sea X 1 , X 2 , ..., X n v.a.s independientes N (µ, σ 2).Obtener la distribución de X̄ =

n i = 1 X i n

X̄ = 1n X 1 +

1n X 2 + ... +

1n X n es una v.a.

N (1n

µ + 1n

µ + ... + 1n

µ

n veces, 1n 2

σ2 + 1n 2

σ2 + ... + 1n 2

σ2)

n veces≡

≡N (µ, σ2

n )


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DISTRIBUCION CHI CUADRADO

Si X es normal estándar.¿Cual es la distribución de Z = X 2?


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Z = X 2

Distribuye Chi-cuadrado.Se escribe Z ∼χ 2 (ν = 1) donde ν = 1 es un parámetroque se conoce como grados de libertad.

f (z ) = 1

212 Γ(12 )

z 12

− 1e −z 2 si z ≥0, Γ(a ) =

∞

0t a − 1e − t dt


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En generalSi X 1 , ..., X n son v.a. normales estándar independientes,

entonces Z = X 21 + X

22 + ... + X

2n distribuye chi cuadradocon ν = n grados de libertad.

f (z ) = 1

2ν2 Γ(ν 2 )

z ν2

− 1e −z 2 si z ≥0,

donde Γ(a ) = ∞0 t a − 1e − t dt


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DIST. CHI CUADRADO. GRÁFICOS

0 5 10 15 20

0 . 0

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

Función de Densidad Chi Cuadrado nu=3

x

f

0 5 10 15 20

0 . 0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1 . 0

Función de Dist.Ac. Chi Cuadrado nu=3

x

f d a


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DISTRIBUCIÓN CHI CUADRADO

E (Z ) = ν.

V (Z ) = 2ν.


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DISTRIBUCIONES CHI CUADRADO CON DISTINTOS GRADOSLIBERTAD

0 5 10 15 20

0 . 0

0

0 . 0

5

0 . 1

0

0 . 1

5

0 . 2

0

0 . 2

5

z

f ( z

)

chi2(nu=3)

chi2(nu=5)


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DISTRIBUCIÓN CHI CUADRADO. EJEMPLO 2

Sea Z

∼χ 2(3). Determinar:

1 P (5,3 ≤Z ≤6 ,2).2 z tal que P (Z ≤z ) = 0,80


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DISTRIBUCIÓN CHI CUADRADO. RESPUESTA A EJEMPLO 2.1

1 P (5,3 ≤Z ≤6 ,2) = [ 1 −P (Z ≥5 ,3)] −[1 −P (Z ≥6,2)] =P (Z ≤

6,2)

−P (Z

≤5,3) 0,05.

Se puede emplear el comando:CDF.CHISQ(6.2,3)-CDF.CHISQ(5.3,3) abriendo laventana transformar/Calcular variable de SPSS.O la función de Excel:(1-DISTR.CHI(5,3;3))-(1-DISTR.CHI(6,2;3))


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DISTRIBUCIÓN CHI CUADRADO. RESPUESTA A EJEMPLO 2.2

1

2 P (Z ≤z ) = 0,80⇔[1 −P (Z ≥z ] = 0,8⇔P (Z ≥z ] = 0,2Luego z = 4,64Se puede emplear el comando: IDF.CHISQ(0.8,3) abriendola ventana transformar/Calcular variable de SPSS.


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DISTRIBUCION t DE STUDENT

Si X

∼N (0 , 1) y Z

∼χ 2 (ν ) independientes, ¿Cuál es la

distribución deT =

X

Z ν ?


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T distribuye t de Student

se escribe T ∼t (ν ) donde ν son los grados de libertad.

f (t ) = Γ( ν + 12 )√ νπ Γ( ν 2 ) (1 +

t 2

ν )−

ν + 12 , − ∞< t < ∞


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GRÁFICOS: DIST. t DE STUDENT

−4 −2 0 2 4

0 . 0

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

Función de Densidad t de Student nu=3

x

f

−4 −2 0 2 4

0 . 0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1 . 0

Función de Dist.Ac. t de Student nu=3

x

f d a


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si ν > 1,E (T ) = 0

si ν > 2V (T ) =

ν ν −2


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DISTRIBUCIONES t DE STUDENT CON DISTINTOS GRADOS DLIBERTAD Y NORMAL ESTÁNDAR

−6 −4 −2 0 2 4 6

0 . 0

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

t

f ( t ) t(nu=1)

t(nu=5)

N(0,1)


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DISTRIBUCION F DE FISHER

Si Z 1

∼χ 2(ν 1) y Z 2

∼χ 2(ν 2) independientes, ¿Cómo distribuye

W = Z 1 /ν 1Z 2 /ν 2 ∼

F (ν 1 , ν 2).?


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Distribuye F de Fisher.

se escribe X ∼F (ν 1 , ν 2) donde ν 1 y ν 2 son los grados delibertad del numerado y del denominador resp.

f (w ) = Γ( ν 1 + ν 22 )ν

ν 12

1 ν ν 22

2Γ( ν 1

2 )Γ( ν 2

2 )

w ν 1 − 2

2 (ν 2 + ν 1w )−

ν 1 + ν 22


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GRÁFICOS: DIST. F DE FISHER

0 5 10 15 20

0 . 0

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

0 . 5

0 . 6

0 . 7

Función de Densidad F de Fisher nu1=3 y nu2=5

x

f

0 1 2 3 4 5

0 . 0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1 . 0

Función de Dist.Ac. F de Fisher nu1=3 y nu2=5

x

f d a


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si ν 2 > 2

E (W ) = ν 2ν 2 −2

si ν 2 > 4

V (W ) = ν 22 (2ν 2 + 2ν 1 −4)ν 1(ν 2 −2)2 (ν 2 −4)


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DISTRIBUCIONES CONJUNTAS

Se denen también distribuciones conjuntas para vectoresaleatorios:

p (x 1 , x 2 , ..., x k ) y F (x 1 , x 2 , ..., x k ), en el caso discreto.f (x 1 , x 2 , ..., x k ) y F (x 1 , x 2 , ..., x k ), en el caso continuo.


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DISTRIBUCIONES MARGINALES Y CONDICIONALES

A partir de la distribución conjunta siempre es posible calcularlas distribuciones marginales y condicionales:

Probabilidad marginal de X i esp (x i ) en el caso discretof (x i ) en el continuo.

Probabilidad de X i condicionada en X j en el caso discreto es:

p (x i |x j ) = p (x i , x j )

p (x j )

en el caso continuo es:

f (x i |x j ) = f (x i , x j )

f (x j )


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DISTRIBUCIONES CONJUNTAS. CASO DISCRETO

Supongamos dos variables aleatorias Bernoulli que surgen deuna población de estudiantes:

X 1 = 1, si un/a estudiante practica algún deportes ;0 , si no.

X 2 = 1, si un/a estudiante fuma ;0 , si no.


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DISTRIBUCIONES CONJUNTAS. CASO DISCRETO

X 2 / X 1 no hace deportes hace deportes p (fumar )no fuma 0.1 0.3 0.4fuma 0.4 0.2 0.6p (deportes ) 0.5 0.5 1.0

p (x 1 = 1, x 2 = 1) = 0,2 (prob.deportes y fumar)p (x 1 = 1, x 2 = 0) = 0,3 (prob.deportes y no fumar)p (x 1 = 0, x 2 = 1) = 0,4 (prob.no deportes y fumar)p (x 1 = 0, x 2 = 0) = 0,1 (prob.ni deportes ni fumar)


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DISTRIBUCIONES MARGINALES. CASO DISCRETO


p (x 1 = 1) = 0,5 (probabilidad que haga deportes)p (x 1 = 0) = 0,5 (probabilidad que no haga deportes)

p (x 2 = 1) = 0,6 (probabilidad que fume)p (x 2 = 0) = 0,4 (probabilidad que no fume)


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DISTRIBUCIONES CONDICIONALES. CASO DISCRETO


probabilidad que fume dado que hace deporte:

p (x 2 = 1|x 1 = 1) = p (x 1 = 1, x 2 = 1)

p (x 1 = 1) =

0,20,5

= 0,4

probabilidad que no fume dado que hace deporte

p (x 2 = 0|x 1 = 1) = p (x 1 = 1, x 2 = 0)

p (x 1 = 1) =

0,30,5

= 0,6

de nuevo suma 1.


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DISTRIBUCIONES CONDICIONALES. CASO DISCRETO


probabilidad que haga deportes dado que no fuma

p (x 1 = 1|x 2 = 0) = p (x 1 = 1, x 2 = 0)

p (x 2 = 1) =

0,30 ,4

= 0,75

probabilidad que no haga deportes dado que no fuma

p (x 1 = 0|x 2 = 0) = p (x 1 = 0, x 2 = 0)

p (x 2 = 1) =

0,10 ,4

= 0,25

ambos suman 1.


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INDEPENDENCIA DE V.A.’s

dos v.a. X 1 y X 2 con una distribución conjunta se dicenindependientes si:

p (x 1 , x 2) = p (x 1)p (x 2 ), en el caso discreto.f (x 1 , x 2 ) = f (x 1)f (x 2), en el caso continuo.

Además en caso de independencia:

p (x 1

|x 2) =

p (x 1 , x 2 )p (x 2 ) = p (x 1), en el caso discreto.

f (x 1|x 2) = f (x 1 ), en el caso continuo.

INDEPENDENCIA CASO DISCRETO


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INDEPENDENCIA. CASO DISCRETO

X 2 / X 1 no hace deportes hace deportes p (fumar )no fuma 0.1 0.3 0.4

fuma 0.4 0.2 0.6p (deportes ) 0.5 0.5 1.0

p (x 1 = 1, x 2 = 1) = 0,2

p (x 1 = 1)p (x 2 = 1) = ( 0 ,5)(0 ,6) = 0,3NO son variables aleatorias independientes.

DISTRIBUCIONES CONJUNTAS CASO CONTINUO


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DISTRIBUCIONES CONJUNTAS. CASO CONTINUO

Supongamos dos variables aleatorias normales.La distribución conjunta es:f (x 1 , x 2 ) = 12πσ 1 σ 2√ 1− ρ 2 exp {−

12(1− ρ 2 ) [(

x 1 − µ 1σ 1

)2 + ( x 2 − µ 2σ 2

)2 −2ρ (x 1 − µ 1 )( x 2 − µ 2 )

σ 1 σ 2]}

La distribución marginal de x 1 es

f (x 1) = 1

2πσ 21exp {−

12

[(x 1 −µ1

σ1)2}

La distribución condicional de x 2 dado x 1

f (x 2|x 1) = 1

2πσ 22 (1 ρ2)exp {−

12

[x 2 −(µ2 + ρ σ 2σ 1 (x 1 −µ1))]2σ22 (1 −ρ2) }

INDEPENDENCIA DE VA ’ (C t )


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INDEPENDENCIA DE V.A.’s (Cont.)

En el ejemplo de la normal bivariada:Si ρ = 0 tenemos:

f (x 1 , x 2) = 1

2πσ 1σ2exp

{−1

2[(

x 1 −µ1σ1

)2 + (x 2 −µ2

σ2)2]

}=

1√ 2πσ 1 exp {−

12

(x 1 −µ1

σ1)2}

f (x 1 )1

√ 2πσ 2 exp {−12

(x 2 −µ2

σ2)2}

f (x 2 )X 1 y X 2 son variables aleatorias independientes si ρ = 0.

GRÁFICOS DIST NORMAL BIVARIADA


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GRÁFICOS: DIST. NORMAL BIVARIADA

x 1

−3−2

−1

0

1

2

3

x 2

−3

−2

−1

0

1

2

3f ( x 1 , x

2 )

0.00

0.05

0.10

0.15

Densidad Conjunta Normal Bivariada s1=s2=1, rho=0.5

x 1

−3−2

−1

0

1

2

3

x 2

−3

−2

−1

0

1

2

3

f ( x 1 , x 2 )

0.2

0.4

0.6

0.8

FDA Conjunta Normal Bivariada s1=s2=1, rho=0.5

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