Distribuciones Continuas de Probabilidad -...

Dr. Víctor Aguirre Torres, ITAM. Guión 7.

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Distribuciones Continuas de

Probabilidad


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Contenido

1. Ejemplo.2. Diferencia entre variables aleatorias discretas y

continuas.3. Diferencia de f(x) entre variables aleatorias

discretas y continuas.4. Valor Esperado, Varianza y Desviación Estándar

de una Variable Aleatoria Continua.5. Propiedades de Valor Esperado y Varianza de una

Variable Aleatoria Continua.6. Distribución de Probabilidad Normal.


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1. Ejemplo.

Compañía productora de quesos de México. Plantade manufactura de Quesos procesados de Vallejo,Ciudad de México.Se lleva a cabo un muestreo para la variable peso en la presentación de 180gm, de queso tipo Crema.El objetivo es el de observar el comportamiento de la precisión del operador-maquina para la variable peso.De una producción de 27,000 Kg. diarios se tienenalrededor de 152,000 cajas.


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1. Datos Muestrales.Muestra Aleatoria Fecha Operador Peso en Grs.

1 26430 19/11/2003 JQUIN 180.032 25729 19/11/2003 JQUIN 1803 25836 19/11/2003 JQUIN 181.074 25647 19/11/2003 JQUIN 181.095 25749 19/11/2003 FERNAN 182.136 25803 19/11/2003 JQUIN 181.037 25649 19/11/2003 JQUIN 180.018 25905 19/11/2003 JQUIN 181.049 25690 19/11/2003 JQUIN 181.0710 25551 19/11/2003 JQUIN 179.0511 25921 19/11/2003 FERNAN 182.1212 25451 19/11/2003 FERNAN 180.713 25634 19/11/2003 FERNAN 177.9914 25512 19/11/2003 JQUIN 181.0415 25801 19/11/2003 JQUIN 179.0216 25670 19/11/2003 JQUIN 18017 25505 19/11/2003 FERNAN 17818 25616 19/11/2003 JQUIN 179.0419 25473 19/11/2003 JQUIN 180.0720 25543 19/11/2003 FERNAN 178.9521 25495 19/11/2003 FERNAN 178.0222 25661 19/11/2003 JQUIN 18123 25455 19/11/2003 FERNAN 178.0224 25459 19/11/2003 JQUIN 181


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2. Diferencia entre variables aleatorias discretas y continuas.

ExperimentoVariable aleatoria

Valores posibles de la variable aleatoria

Fabricación de barras de jabón

Humedad de la pasta de jabón. 0<x<100%

Manufactura de un detergente

Concentración de ingrediente activo 0<x<30%

Llenar un botella de cerveza. (max

365 ml)Volumen de

líquido 0<x<365 ml

ExperimentoVariable aleatoria

Valores posibles de la variable aleatoria

Inspección de una muestra de 50 radios

Número de radios

defectuosos 0, 1, 2,..., 49, 50

Llenado de un formato

Número de errores en el

llenado 0, 1, 2,...

Intento de venta de un bien raíz

Resultado del intento 0, 1

Funcionamiemto de una agencia de autos

un díaNúmero de autos

vendidos 0, 1, 2,...

VA Continuas:Conceptualmente podrían tomar TODOS los valores sobre un intervalo

VA Discretas: Solo tomalos valores 0,1,2,...,etc


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3. Diferencia de f(x) entre variables aleatorias discretas y continuas.

Discreta Continua

Función de Probabilidad.

Función de Densidad de Probabilidad.

f(x)=probabilidad de observar x

f(x)= NO da directamente una

probabilidad

P( a<x<b)=área bajo f(x) encima de (a,b)

P(x)=0


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3. El Área Bajo la Curva como Medida de Probabilidad

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Valores de de la VA

f(x)∫=<<4

2

dx)x(f)4X2(P

)x(f


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3. Distribución Continua de Probabilidad

Da la Probabilidad de que el valor de la VA continua caiga en un intervalo

Probabilidad= Area bajo la curva f(x)Condiciones de consistencia

∫ =≥ 1dx)x(f ii) 0)x(f )i

∫=<<b

a

dx)x(f)bXa(P


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4. Valor Esperado de una VA Continua

Valor esperado de una VA: valor promedio de la VA si se observa una infinidad de veces.Da una medida de tendencia central de la distribución de probabilidad.Fórmula de cálculo:

dx)x(xf)x(E ∫== µ


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4. Varianza y Desviación Estándar de una VA Continua

Varianza: Es una medida de variabilidad cuadrática promedio alrededor del valor esperado.Fórmula de cálculo:

Desviación Estándar: Es una medida de variabilidad promedio alrededor del valor esperado

222 )x(Edx)x(f)x()x(Var µµσ −=−== ∫

2σσ =


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5. Propiedades de Valor Esperado y Varianza de una VA Continua.

Si a es una constante entonces:)x(aE)ax(E =

)x(Ea)xa(E +=+

)x(Vara)ax(Var 2=

)x(Var)xa(Var =+


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6. Distribución de Probabilidad Normal.

La distribución más importante de probabilidad.Gran variedad de aplicaciones.Mediciones biológicas, físicas, astronómicas, industriales, etc.Se utiliza en Inferencia Estadística para resultados de muestreos planeados científicamente.


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3. Función de Densidad de Probabilidad Normal.

µ=Valor esperado de x.σ=Desviación Estándar de x.

22 2

21 σµ

σπ/)x(e)x(f −−=

13.5

13.8

14.1

14.4

14.7 15

15.3

15.6

15.9

16.2

16.5

f(x)

µ= 15σ= 0.5


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Ejemplo.

Para la variable peso del envase de queso, un posible modelo sería una distribución Normal conµ= 180.2375σ= 1.1926

175.44176.64 177.84 179.04 180.24 181.44 182.64 183.84 185.04f(x)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35


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3. Características Distribución Normal de Probabilidad.

1. Es una familia de distribuciones de probabilidad. Para cada valor distinto de µ y σ se tiene un modelo distinto.

2. f(x) es simétrica acampanada alrededor deµ. Los extremos se extienden teóricamente hasta infinito en ambas direcciones.

3. µ = E(x). f(µ) alcanza la máxima altura. 4. µ puede ser positivo, cero ó negativo.5. σ solo puede ser +, determina el ancho y el

alto de f(x).


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-4-3

.2-2

.4-1

.6-0

.8 0

0.8

1.6

2.4

3.2 4

f1(x)

0

0.5

1

1.5

Densidades Normales

f1(x)f2(x)

f1µ= 0σ= 1.33

f2µ= 2σ= .33


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6. Área total=1. Área total a la izquierda de µ= Área total a la derecha de µ=0.5. Por lo tanto µ=mediana.

7. Porcentajes de intervalos de uso común. Son válidos para cualquier µ y σ . (Regla Empírica)

a) P(µ -σ<x< µ +σ ) =0.6826 ó 68.26%b) P(µ -2σ<x< µ +2σ )=0.9544 ó 95.44%c) P(µ -3σ<x< µ +3σ )=0.9972 ó 99.72%


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3. Distribución de Probabilidad Normal Estándar.

Es el caso en que µ=0, σ=1.Se encuentra en la TABLA 1. -3

-2.4

-1.8

-1.2

-0.6 0

0.6

1.2

1.8

2.4 3

f(x)

P(0<z<1)=0.3413

z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359

0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.07530.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.11410.3 ...0.4

0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.22240.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.25490.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.28520.8 ...0.9

1 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.36211.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.38301.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.40151.3 ...1.4

1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.44411.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.45451.7 ...


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3. Distribución de Probabilidad Normal Estándar.

Calcular1. P( z < 1.65)2. P(-0.5< z).3. P(-1< z <1).4. P(1< z <1.58).5. El percentil del 75%.6. El percentil del 15%.


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3. Determinación de Probabilidades para Cualquier Distribución Normal.

Las probabilidades de todas las distribuciones normales se determinan con las probabilidades de la normal estándar.Supongamos que x tiene una distribución normal con µ, σ arbitrarios.

Conversión a la distribución normal estándar.

)bza(P)bxa(P

xz

σµ

σµ

σµ

−<<

−=<<

−=


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Supongamos que x tiene una distribución normal con µ=10 y σ=2.Deseamos calcular P(10<x<14)Haciendo la conversión:

0.4772

=<<=

−<<

−=<<

)2z0(P

)2

1014z2

1010(P)14x10(P


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Supongamos que x tiene una distribución normal con µ=10 y σ=2.Deseamos calcular el pocentil del 60%Haciendo la conversión:

52.10)2(26.010x

26.02

10x6026.0)26.0z(P

)2

10xz(P)xx(P

6.0

6.0

6.06.0

=+=

=−

=<

−<==<

entonces tablala De

0.6


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3. Ejemplo. Grear Tire Co.

x=Millas que dura una llanta.Supongamos que x tiene una distribuciónnormal con µ= 36500 millas y σ= 5000 millas.¿Qué % de neumáticos durarán más de 40000 millas?Deseo garantizar solo un 10% de las llantas ¿cuál debe ser el millaje de garantía?


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3. Ejemplo. Grear Tire Co. Primer pregunta.

Lo que se pregunta es la probabilidad de que la variable aleatoria exceda 40000 millas.

Entonces la proporción de llantas que excederán 40000 millas es de 24.2 %.

2420.02580.05.0)z70.0(P

)z5000

3650040000(P)x40000(P

=−=<=

<−

=<


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3. Ejemplo. Grear Tire Co. Segunda pregunta.

Se desea encontrar un millaje tal que la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor que ese millaje es de 0.1. Ese millaje debe ser el percentil del 10%.

Entonces, si la garantía es de 30100 millas, ésta se pagará a lomás al 10% de las llantas.

30100)5000(28.136500x28.15000

36500x1.0)28.1P(z

9.08997.0)28.1z(P

)5000

36500xz(P)xx(P

1.01.0

1.01.0

=−=∴−=−

=−<≈=<

−<==<

simetríapor entonces tablala De

0.1


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3. Distribución de Probabilidad Normal. Cálculo con Excel.

Distribución acumulada=DISTR.NORM(40000,36500,5000,1)

Percentiles=DISTR.NORM.INV(0.1,36500,5000)

xµσAcumulado (0=no, 1=si)

pµσ


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Problemas recomendados Capítulo 6

Distribución Normal de Probabilidad: 13, 15,18, 24.Ejercicios complementarios: 39, 41.

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