4. Variable Aleatoria Discreta y Distribuciones Continuas – Ejercicios Resueltos

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  • 4.- Variable Aleatoria Continua y Distribuciones Continuas

    Ejercicios Resueltos

    Distribucin Uniforme

    Distribucin Normal (Uso de Tabla)

    Distribucin Exponencial

    Aplicaciones

  • 4. Variable Aleatoria Continua y Distribuciones Continuas Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Pgina 56 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas

    1.- La cantidad de lluvia cada en un ao; en cientos de cc.; en cierta ciudad, es una variable

    aleatoria con funcin de densidad:

    () =

    {

    < , < , , , < ,

    Se realiza un estudio en el cual se considera el agua cada en los ltimos aos. Si se toma una

    muestra aleatoria de cinco aos, Cul es la probabilidad de que por lo menos en tres de ellos

    la cantidad de agua cada sea inferior a la esperada? Considere que la cantidad de lluvia

    cada, en aos diferentes, son independientes.

    1) Solucin: Para empezar definiremos las variables a utilizar:

    = Cantidad de lluvia cada en un ao; en cientos de cc

    = Nmero de aos en la muestra, en la que cae una cantidad de lluvia sea inferior a la esperada

    Luego, nos enfocamos a determinar el valor de la cantidad de lluvia esperada, de la siguiente

    manera:

    () = ()

    = (1,6)

    0,5

    0

    + (0,8)

    1

    0,5

    +

    1

    (0,8

    3)

    = 1,63

    3|0,5

    0 + 0,8

    2

    2|1

    0,50,8

    |

    1 = 1,6

    0,53

    3+0,8

    20,8 0,52

    2+ 0,8 =

    7

    6

    El siguiente paso es calcular la probabilidad de que la cantidad de lluvia sea inferior a la esperada:

    ( 7

    6) = 1 ( >

    7

    6) = 1

    0,8

    3

    76

    = 1 [ 0,8

    22|

    76] = 0,706

    Adems notemos que la posee una distribucin binomial, lo que se expresa de la siguiente manera:

    ~ ( = 5 ; = 0,706) () = { (5) (0,706)(0,294)5 ; = 1,2, ,5

    0

    Finalmente, se calcula la probabilidad que el problema nos solicita:

    ( 3) = ( = 3) + ( = 4) + ( = 5)

    ( 3) = (53) (0,706)3 (0,294)2 + (

    54) (0,706)4 (0,294)1 + (

    55) (0,706)5 (0,294)0

    ( 3) = 0,845

    Respuesta: Al tomar una muestra aleatoria de cinco aos, la probabilidad de que por lo menos en

    tres de ellos la cantidad de agua cada sea inferior a la esperada, es 0,845

  • 4. Variable Aleatoria Continua y Distribuciones Continuas Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 57

    2.- Una fabricante de refrigeradores ofrece una garanta de tres aos para su producto, siendo

    la vida til (en aos) modelada por la siguiente funcin de densidad de probabilidad:

    () = { +

    Se toma al azar a uno de los refrigeradores fabricados, Cul es la probabilidad de que se

    haya realizado uso de la garanta, con este producto?

    2) Solucin: Utilizaremos la siguiente notacin:

    = Vida til de los refrigeradores, en aos

    En seguida, para que se haga efectiva la garanta la vida til debe ser como mximo tres, por lo que

    se calcula probabilidad evaluando en estos parmetros, en la funcin de densidad de probabilidad

    antes dada:

    ( 3) = ( + 10

    400)

    3

    0

    = 0,08625

    Respuesta: La probabilidad de que se haya realizado uso de la garanta, con este producto, es

    0,08625

    3.- El fabricante de cierto tipo de compresor ha encontrado que la vida til de un compresor,

    en aos, se puede modelar con la siguiente funcin de densidad:

    () = { +

    .

    3.1) Si un cliente compr un compresor y ha estado funcionando por lo menos 6 meses Cul

    es la probabilidad que falle antes de 18 meses?

    3.2) Cada compresor tiene un costo de 20 u.m. y se vende en 32 u.m. y el fabricante da ciertas

    garantas. Si el compresor falla antes de 3 meses se devuelve el importe de lo pagado. Si

    falla entre 3 meses y 6 meses, se compromete a asumir el costo de mano de obra de la

    reparacin que tiene un valor de 5 u.m. Cul es la utilidad esperada por compresor?

    3) Solucin: Utilizaremos la siguiente notacin:

    = Vida til de un compresor, en aos

    3.1) Solucin: Procedemos a calcular la siguiente probabilidad condicional:

    ( < 1,5 > 0,5 ) = (0,5 < < 1,5)

    ( > 0,5)=(0,5 < < 1,5)

    1 ( < 0,5)

    =

    3+

    8

    1,5

    0,5

    1 3+

    8

    0,5

    0

    =

    1

    251

    64

    = 0,6274

  • 4. Variable Aleatoria Continua y Distribuciones Continuas Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Pgina 58 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas

    Respuesta: Si el cliente compra un compresor, el que ha funcionado por lo menos seis meses, la

    probabilidad de que este falle antes de los dieciocho meses es 0,6274.

    3.2) Solucin: Lo que se debe hacer en este tem es definir la siguiente variable:

    = Utilidad de un compresor, en u.m.

    () = {32 20 32 ; 0 < < 0,25 32 20 5; 0,25 < < 0,532 20; 0,5 < < 2

    () = {20 ; 0 < < 0,25 7; 0,25 < < 0,5 12; 0,5 < < 2

    En seguida, calculamos las respectivas probabilidades:

    (0 < < 0,25) = 3 +

    8

    0,25

    0

    =3

    8 +

    2

    16|0,25

    0 = 0,097656

    (0,25 < < 0,5) = 3 +

    8

    0,5

    0,25

    =3

    8 +

    2

    16|0,5

    0,25= 0,105469

    (0,5 < < 2) = 3 +

    8

    2

    0,5

    =3

    8 +

    2

    16|2

    0,5= 0,796875

    Luego, aplicando la frmula de esperanza, para as poder calcular la utilidad esperada:

    () = () = (20)(0,097656) + (7)

    (0,105469) + (12)(0,796875) = 8,348 ..

    Respuesta: Segn las condiciones que posee la utilidad de los compresores, la utilidad esperada es

    8,348 u.m.

    4.- El tiempo de activacin de los sensores fabricados por una empresa es una variable

    aleatoria con funcin de densidad:

    () = {

    ; < < 0,5

    ( ) ; , < <

    Un sensor se dice rpido si su tiempo de activacin es inferior a 0,2 segundos y lento si su

    tiempo de activacin es superior a 1 segundo. Se pide:

    4.1) Calcular el valor de k para que () sea funcin de densidad.

    4.2) Obtener la funcin de distribucin

    4.3) Determinar: La esperanza, desviacin estndar y el porcentaje de variabilidad del

    tiempo de activacin.

  • 4. Variable Aleatoria Continua y Distribuciones Continuas Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 59

    4.4) De los sensores con tiempo de activacin inferior a 1 segundo. Qu porcentaje supera

    a su tiempo esperado?

    4.5) Cul es la probabilidad de que entre 10 sensores elegidos al azar, como mnimo 3 sean

    lentos?

    4.6) Determinar la probabilidad de que sea necesario examinar 15 sensores para encontrar

    el cuatro sensor rpido.

    4.7) El costo de produccin de un sensor es de 2000 u.m. Los sensores definidos como

    rpidos se venden en 5000 u.m. y los lentos en 3500 u.m. Determine la utilidad esperada

    en la venta de un sensor, si los restantes se venden en 4000 u.m.

    4.1) Solucin: Para calcular el valor de k, partimos con que para que () sea funcin de densidad, se

    debe cumplir lo siguiente:

    ()

    = 1

    Por lo tanto, basndonos en esta propiedad, tenemos:

    (2)

    0,5

    0

    + (2

    3(2 ))

    0,5

    = 1 (0,5)2 +2

    3 [(2

    2

    2)

    7

    8] = 1

    2 4 + 4 = 0 = 2 []

    Respuesta: El valor que debe tomar son dos segundos, para que () sea una funcin de

    densidad.

    4.2) Solucin: Para obtener la funcin de distribucin, aplicaremos la frmula que se muestra a

    continuacin:

    () = ( ) = ()

    < 0 () = 0

    = 0

    0 < 0,5 () = 0

    + (2)

    0

    = 2

    0,5 < 2 () = 0

    + (2)

    0,5

    0

    + (2

    3(2 ))

    0,5

    =16 42 4

    12

    2 () = 0

    + (2)

    0,5

    0

    + (2

    3(2 ))

    2

    0,5

    +0

    2

    = 1

  • 4. Variable Aleatoria Continua y Distribuciones Continuas Ejercicios Resueltos

    ANLISIS ESTADSTICO

    Pgina 60 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas

    Finalmente, que expresa la funcin de distribucin de la siguiente manera:

    () =

    {

    0 ; < 0 2 ; 0 < 0,516 42 4

    12 ; 0,5 < 2

    1 ; 2

    4.3) Solucin

    () = ()

    = (2)

    0,5

    0

    + (2

    3(2 ))

    2

    0,5

    =5

    6= 0,8333

    (2) = 2 ()

    = 2 (2

    3(2 )) =

    7

    8

    2

    0,5

    () = (2) [()]2 () =7

    8 (

    5

    2)2

    =13

    72

    () = () () = 13

    72= 0,4249

    % . () =()

    () 100 =

    0,4249

    0,8333 100 = 50,99%

    Respuesta: Tiempo promedio o esperado de activacin = 0,833 segundos

    Desviacin estndar = 0,4249 segundos

    Porcentaje de variabilidad = 50,8099%

    4.4) Solucin: Definimos la probabilidad condicional, para calcular lo requerido:

    ( >5

    6 < 1 ) =

    ( 56 < < 1)